Examen de Logique Formelle - Niveau L11

ECOLE
SUPERIEURE
DES
SCIENCES
ET
DE
lA
TECHNOLOOIE
0
1
SOUSSE
~Ogique
;~~,:;;-;
~-
..
1
~:;~é:m
--T
~~;l
~0
2_2
__
-1
EXAMEN
~ant:
A
~~ddi~e
KHARRAT
Niveau:
lll
_j
~~~
ion
~e r
a~~~~g
_e
-1
__
-·-
0rnbre
total
de pages :
2
pages
Documents autorisés :
un
e feuille
au
format
A4
uniquement
Important:
.,frant de ,·ompou
r,
'
/'
étudiant s
'a
sw
re
ra
que
/,
sujPt compo,.,e bim l
pa~e~
numh;
tér~ d
t'
Ill
à
111.
Exer
cice
1 : (25
minutes)
Soit k domaine
D = [Les êtres
humains
, Riadh, Yassine, Eya, A
mira
};
Soit
les
pr~dicats
s
ui
vants
:
-H(x) :
x est
un
homme
-
F(x
) :
x est une
femme
-B
(x)
: x est beau/belle
Soit
le
s fonnules
suivantes
:
A(x,
y)
: x est amoureux
de
y
C(
x,
y) :
x est
nssis
à coté de y
-
Fl
=
'flx 'fly
(H(x)
/\
F(y)
/\
C(x,y.)
/\
C(y,x)
⇒
A(x,y)
/\ A(y,
x)
);
-
F2
=
'flx
(H(x)
/\ A(x, Eya)
ç=>
C(x, Riadh) V C(x,
Yas
srne)) ;
-
F3
=
'flx
(H(x)
/\
B(x)
⇒
3y
3z
(F(y)
/\
F(z)
⇒
A(y, x) /\ A(z,
x)));
Questions:
1) Fonnaliser
les
deux
phrases
ci-dessous
en
langage
de
calcul
de
premier
ordre
.
(2
points)
(6.S
po
ints)
-Phrase
n°
J :
«
L
'homme Riadh est amoureux
de
la
belle femme Eya et de toutes les autres f emmes
qui
sont assises à côté de lui.
»
Phrase
n°2:
((
A mira est amoureuse des
hor.'1mes
qui sont
eicc
même
amouretn
des femmes qui
sont
assises au plus à côté du beau Riadh et
la
belle Eya.
»
2)
Traduire
les
fonnules F1,
F2
et
F3
en
langages
usuel
(le
français).
(3 points)
3)
Mettre
la
formule
F3
sous
forme
nonnale
prénexe. (
1 point)
4)
Donner
la
fonne normale
Skolem
de
la
formule
F3.
(O.
75
point)
Exercice 2 :
(20
minute!)
Soit
les
fonnules
F4, F5,
F6
et
F1
suivantes :
F4
=
Vx (P(x)
⇒
G(x,
1));
FS =
't/x
(P(x)
⇒
G(x,
2)) ;
Questions:
~oints)
-F6 =
't/x 3y
(P(x)
/\
P(y)
/\
,G(x,y));
-F7
=
't/x
't/y
(P(x)
V -,G(x, y))
1) Trouver
une
interprétation
/4
qui
n'est
pas
un
modèle
pour
la
formule
F4,
et
démontrer à partir
de
cette
interprétation
que
la
formule
F4
est
satisfiable.
(1
point)
l)
Soit l'ensemble
des
fonnules E = (F4,
FS,
F6}. Montrer
que
l'ensemble E
est
satisfiable. (] points)
J)
Peut-on déduire
que
la
formule
F1
est
une
conséquence
logique
de
1 'ensemble
E?
Justifier votre réponse
( J
point)
Page
1/2

Exercice J :
(25
minutes)
S · , - .
(4
B et
C)
en
plastique contenant
chacun
un
fr
Jit, et !.
Olt
k
'>
fa1t
'-t
,
ui
vant
s:
OI i J
sJCS
. •
Si k sac
A
ne contient pas une pomme,
le
sac
B
contient une pomme ,
Si
le
sac
A
contient une
pomme
, le sac C contient une
pomm
e aussi ;
Si
le sac C contient une
pomme
, le sac B ne contient pas de
pomme
;
Si
le
sac B contient une
pomme
, le sac A ne contient pas
de
pomme
;
Questions :
1) Définir les variables propositionnelles de
cet
énoncé
. (0.5 point)
2)
Formaliser les faits
ci-dessus
en logique propositionnelle. (]
point)
3)
Evaluer la
combinaison
de ces différents faits dans une table de vérité.
(2
point
s)
4) D'un point
de
vue
logique :
a)
Est-il
possible
que
le
sac
B soit le seul sac qui contient
une
pomme
?
Justifier
votre
réponse
.
(J
_
5
points)
b)
Peut-on
déduire
que
le sac A ne contient pas
une
pomme?
Justifier
votre
réponse.
(1.5 p
oi
nt
s)
c)
Peut-on
déduire
qu
'
il
y a forcément au moins
un
sac
contenant
une
pomme
parmi
les trois sacs
?
Justifier
votre
réponse.
(1
.5 points)
Exercices 4 : (20 minutes) (1.5
points+
3.5 points bonus)
Soit les
phrases
suivantes
:
(A)
Tous
les
smartphones
et
les tablettes
sont
des appareils intelligents
et
très
chers
.
(B) Il y a
des
appareils
intelligents
qui
ne
sont
pas
chers
et
contient
au
minimum
deux
puces.
(C)
II
y a
des
smartphones
et
des
tablettes qui
contient
plus
qu'une
puce
.
I)
Fonnaliser
les
phrases
ci-dessus
dans
un
langage
du
calcul
de
premier
ordre.
(2
points)
2)
Peut-on
déduire
(C) à
partir
de
(A)
et
(B) ?
Justifier
votre
réponse
. (3 points)

~
École supérieure des sciences
et
de la technol
de
Hammam
Sous
se
Matière
:
Logique
Forme
lle
Date
:
Ja
nvier 2022 Niveau : Lll
Sessi
on
: Princi
pa
le
i
--1
E
Durée
:
90
min
Xamen
Enseignant : Ala Eddine
KHARRAT
--
---------
--
---+---
-
---
-
Nombre
total de pages : 5 pages
Docu
ments
a
utori
s
és
.
une
feui
lle
au
format
A4 un
iq
uement
Im
portant
:
-. .front
de
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diant
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q11
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jet
cum
1
wI
IC'
h
,rn
5 pages
11wn
fro
h;
e1
cl
e
1/5
ù
515
-L'étudiant doit choisir
seulement
deux
parties
à
tra
ita
. (Partie A
et
B). (Partie A et
C;
ou (Partie B et C1
-L'étudiant qui chois
it
la partie
C
doit remettre avec
sa
copie
la
feuille d'annexe
ri
a
page
515).
Partie_A :
(40
minutes)
(11 points)
Soit
le
domaine
D
=
{Les
êtres
humains
et
Les
mati
è
res}
;
Soit
les
constantes suivantes :
{Maths,Java,
Algo,Aziz,
Loua,Ahmed
,
Eya}
;
Soit les prédicats suivants :
-G(x) :
x
est
un
garçon
F(x)
:
x
est
une
fille
-
E(x)
: x
est
un(e)
étudiant(e)
-
M(x)
: x
est
une
matière
-
I(x)
:
x
est
intélligent(e)
Soit les formules suivantes :
P(x,y)
: x
passe
le
test
de
la
matière
y
V(x,y):
x a
validé
le
test
de
la
matière
y
-
A(x,y):
x
aide
y
R(x,y)
: x
aime
y
-
Egale(x
,
y)
: x
est
égale
à
y
-
F1
=
'<lx
(E(x)
A
I(x)
⇒
Vy
(M(y)
A
R(x,y)
⇒
Egale(y,Java)
V
Egale(y,
Maths)));
F2
=
3x
3y
(M(x)
A
G(y)
A
-,V(y,
x)
A
Vz
3k(F(z)
A
-,R(z,
k)
A
A(z
,
y)))
-
F3
=
Vx
Vy
(M(x)
A
Û(y)
A
-,Egale(x,y)
A
V(Eya,x)
A
V(Eya,y)
⇒
(Vz
F(z)
A
E(z)
A
P(z,
x)
A
P(z,
y)
~
l(z)
A
A(z,
Eya)))
F4
=
3x
(
E(x)
A
(3y
M(y)
A
P(x,
y))
A
(3z
M(z)
A
P(x,
z))
A
-,Egale(y,
z)
/\
(vk
(M(k)
/\
P(x,
k)
⇒
Egale(k,
y)
V
Egale(k,
z)))
Et
soit les phrases suivantes :
-Phrase
n°J:
«
Toutes les étudiantes intelligentes qui ont aidé 1
'étudiant Aziz
à
passer
la mat;ère
Java, ont validé le test de cette matière.
»
Phrase
n°2:
«
Si une étudiante aime un garçon, alors
ce
garçon est un étudiant ;ntelligent qu; a
passé et validé les tests
de
toutes les matières.
>>
_
-~
-Phrase
n°3:
<<
Loua el
Ahmed
ont
passé
tous les tests
sauf
le test
d'Algo
, el ils
n'ont
pas
validé
/rois matières. »
Questions:
1)
Traduire les formules
F1,
F2,
F3
et
F4
en
langages usuel (Français, Anglais
ou
Arabe classique).
r
-J
points,
Q1~
Fnrmaliser les trois phrases précédentes
en
langage
de
calcul de premier ordre.
(-15
points)
~
Ré~crire
la
formule
F2
en
utilisant seulement
le
quantificateur V
et
l'opérateur logique v.
r
125
point
.,
1
_,,
Donner, d-une manière détaillée. i-ensemble des variables libres
et
l'ensemble des variable~ liées
d
an-,
la
formule
F3
: (
l.]
5
point)
Page 1/5

l'ur1Ît•
Il : t4i:;
n11nuh
.'S)
(1
t
poi
nl'i)
..,,111
IL,
l11m1u
l
c..,
FS
.
F6
,
F7
..,u1vant
c~.
FS
v,
Vy
(P(
x)
/\
(;
(y)
⇒
H(x.
y))
.
F7
Vt
:3y
(/
1(
\)/\R
I,,
2)
⇒
G(
y)
/\
-,R(y,
2)):
Fb
Vx
(
I'
(,)
⇒
Jy
R(y,x)
),
1
l
,111(
k,
l,
llh
<;UI\
ùl11S .
( )n a
ce
pt
pcr-,onnc
..,
: S
almn
, Selim,
Sa
lem,
Sa
lima
.
Snul
ei
ma, So11/eim
en
,
et
Sloum
a.
Se
lim
.
So
11/
e
im
e
11
et
S
lowna
u
1m
c
nt
jouer
aux c,irtcs.
Sa
/ma,
Salima
et
Se
lim
aime
nt
jo
uer aux
jcux-vid
éo..,.
Sel
im.
Sa
/ma.
Sa
lem et
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/ima
sont des perso
nn
es
adult
e,·.
So
uleima
.
So
u1<
,
im
e
11
et
Slo
uma
so
nt
des enfant!, .
Se
lim,
Sa
lima
,
Sa
/ma
et
Salem
po
rt
c
nt
<l
es
lun
e
tt
e!,
.
Sa
/ma
e~t
la
mnman de S/o
uma
et la femme
<l
e
Salem
.
Sa
/ima
est In maman de
Sal
em
et
la femme de
Selim
.
S
B:
cc
•
qui
n '
es
t
pa
s
préci
sé
dam
l
es.f
ai
t
,;;
ci-de5s
u\
·
es
t
fuux
(p
ar
exe
mpl
e,
Sa/man
'
es
t
pa
s
un
e
nf
an
l
!).
Qul'~t ions :
1)
a)
Trouver
un
e interpréta
ti
on
/5
qui n·est
pa
s
un
modè
le
pour la formule FS, et
démo
ntrer à partir de
n.:ttc i
nt
erprétation que ln
fo
nnule FS est sa
ti
sfiabl
e.
( / p
oin
l)
b)
So
it
1·enscrnble des
fo
mrnles E =
{FS,
F6}
.
Peut-on déduire que
la
formule F7 est
un
e
con..,équcnce logique de l 'cnscmblc
E ?
Ju
s
ti
fier votre réponse.
(2
point
s)
2)
a)
Pour les faits c
it
és précédemment, décrire le modèle M co
rr
espondant.
(2
point5)
b)
Fonnnliser les
ph.ra
ses ci-dessus dans un langage du calcul de
pr
emier o
rdr
e, et i.ndiquer si elle
es
t
, r
ail;!
ou
fau
sse par rappon au modèle
M.
Jus
ti
fier votre réponse pour chaque phrase.
(.j
point
s)
(
Hl
) Une personne est to
uj
ours laf e
mm
e d'une seule personne
adult
e.
(If])
To
us les
adult
es
so
nt
ma
ri
és
à
des/
l!
mme
s adultes.
(113)
Si une personne est la
maman
d'
un
e
au
tre perso
nn
e. alors
la
p
re
mière personne
es
t un
adulte
1;
•t
la
deuxième est un en
fant
.
(/U
)
Si
tous les
cnfanh
aiment
joue
r aux cartes sauf
Souleima
, alors
Sa/ma
aime
jo
u
er
au
jeux ,
id
éo que si tous k s
ad
ult
es p0rtcnt
dl..'
s lun
l..'
ttcs.
n P
L'u
t-nn Jt:duirl..'
f1
r m1
ir
dl..'
"
dcu,
phr:L..,cs
Ill
et
112
que
: « Toutes les
femm
es so
nt
des adulte.
,•
>··
l
I
IIIÎ
L' r \ l
•l
f
l'
n:-
pnn
<.,
L'
.
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)
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}

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0 minutes)
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515).
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c
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s a!Ttr
mati
ons suivantes, en
cochant
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clusions
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p
ose
(b plus p
ertin
ente).
QOl)
T
ûU
S
k:- T
~
om
S :
aucun
S
n'est
R,
donc
0
.-\
) Quelques
T
ne so
nt
pas
R
B)
.
..\
ucun
R
n'est
T
C)
Quel
qu
es R
ne
so
nt
pas T
Q01) .
..\
ucun Z
n ·
est O ; quelques O sont E, donc ?
. .\)
qu
elques
E
ne sont pas Z
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En·e
st
Z
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Q03)
Aucun
G
n · est l : tous les
H
so
nt
l donc ?
A) aucun H
n'e
st G
B) quelques
G
ne sont pas
H
C)
quelques H ne sont pas G
Q04)
T
ous'ks..A sont
C;
aucun B..n:est
C
donc
?
A)
au
cunBn
'es
tA
B)
quelques A ne sont pas B
C)
quelques B sont A
Q05)
Quelques
K
sont
M ;
tous les
K
sont
L
donc
?
A)
tous les M sont L
B)
quelques
M
ne sont pas L
C)
quelques
L
sont
M
Q06
}-ettetq
ue
s-
W
-s
ont Y ; teus les Y sont X donc
?
A) quelques W ne sont pas X
B)
quelques
X
sont W
C)
tous les X sont W
Q07)
Le nom d'une variable peut
être:
A)
en même temps libre et lié.
B)
l
ib
re
et
lié mais pas en même temps.
C)
en même temps libre et lié mais pas son
occurrence.
Q08)
La formule suivante est égale
à:
"fx
(A(x)
fi
B(x)
⇒
Vy (
C(y)
fi
R(x,
y)))
A)
'vx
"fy(-,(-,A(x)
fi
-,B(x))
⇒
-,C(y)
V
-,R(y
))
B) 'vx
Vy(-,(-,A(x)
V
-,B(x))
⇒
C(y)
fi
R(y))
C) -,'r/x
Vy(-,(-,A(x)
fi
-,B(x))
⇒
C(y)
V
R(y))
Q09~interpréter une formule
il
faut:
A)
définir une structure .
8)
définir
un
ensemble de valeurs, un ensemble
de prédicats,
et
un
ensemble de constantes.
c,
définir
une intérprétation.
Q l
0) Une
lonnu
le
cl
ose :
A) Ne possède
pa
s de va
ri
abl
es
libre
s.
B) Possède de
va
ri
ables libr
es.
C)
Est une
fo
rmule ouverte.
Qll)
Une formule ouverte:
A)
Ne possède p
as
de variables
li
ées.
B)
Ne pos
sè
de pas de variables
I
ibres.
C)
Possède de variables liées.
Q12) La substituli
on:
A)
interdit l'introduction de variables libres
B)
interdit l'introduction de nouvelles variables
C) interdit l'introduction
de
variables liées
QjJ Une valuation
est
une fonction qui associe :
A) à chaque variable une valeur.
B)
à
chaque variable
un
élément
du
domain
e.
C)
une interprétation
I
avec une valeur.
Ql4)
Dans
la
substitution :
A)
on doit passer par le renommage
B)
on peut passer par le renommage
C)
la notion de renommage n'existe pas
Ql-S)-
L-a
-formule-A
⇒
-
B
⇒
Cest-éga+
e...
à:
A)
=(A
⇒
B)
⇒
C
B) =
(A
fi
B)
⇒
C
C) =
(A
V
B)
⇒
C
Ql6)
Une occurrence :
A)
ne
peut être que libre ou liée mais pas les deux
en même temps.
B)
peut être libre et liée en même
temp
s.
C)
est liée la plus pat du temps.
Ql
7) La substitution :
A)
ne s'applique qu'aux occurrences des
variables libres.
8)
ne
s'applique
qu'aux
occurrences des
variables liées.
C)
s'applique
sur
n'importe
que
ll
e occurrence.
Q18)
Le
ré
sultat de
la
substitution suivante
3xVy(P(x)
fi
Q(z)
fi
F(y))lx\a,
z\y,
y\x]
est :
A) =
3av'x(P(a)
fi
Q(y)
fi
F(x))
8)
=
3xv'y(P(x)
fi
Q(y)
fi
F(y))
C)
=
3av'y(P(a)
fi
Q(z)
fi
F(y))