TD Fluide complet-corrige

M. TAHA JANAN – H.BENAKRACH – M. EL YADRI
Filière d'Ingénieurs Conception et Production Industrielles
Travaux Dirigés de Mécanique des Fluides
Enoncés et corrigés
Mourad TAHA JANAN – Hind BENAKRACH – Mohamed EL YADRI
Version Avril 2020

M. TAHA JANAN – H.BENAKRACH – M. EL YADRI
Partie 1 : Statique

M. TAHA JANAN – H.BENAKRACH – M. EL YADRI
1. On peut établir une expression approchée de la variation de la pression atmosphérique en
fonction de l'altitude z comptée à partir du niveau de la mer si l'on suppose que la densité de
l'air est proportionnelle à la pression (ce qui est approximativement juste si l'on suppose que
la température de l'air est constante).
En utilisant cette approximation, et en supposant que g, accélération de la pesanteur,
ne dépend pas de l'altitude, établir l'expression de la pression en fonction de l'altitude.
On prend ρ = ρ0 et p = p0 pour z = 0.
Corrigé :
La détermination de la distribution de la pression peut être faite en intégrant les équations de
la statique des fluides :
0=− pgradf ρ
On suppose que seules les forces de presanteur sont à prendre en considération. Dans ce cas :
gf = . Il vient donc :
0=− pgradg ρ
On prend un repère dans lequel l'axe Oz est vertical ascendant, les projections de l'équation
précédentes donnent :
=
∂
∂
−−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
(3) 0
(2) 00
(1) 00
z
p
g
y
p
x
p
ρ
Des équations (1) et (2) on déduit que la pression n'est fonction ni de x ni de y, on en déduit
donc :
0=+
dz
dp
g ρ
C'est une équation à deux fonctions inconnues que sont p et ρ. Une équation ou une hypothèse
supplémentaire est nécessaire, c'est pour cela qu'on suppose que la masse volumique est
propoptionnelle à la pression, on pose donc : ρ = k.p
0.. =+
dz
dp
gpk .. gpk
dz
dp −= .. dzgk
p
dp −=

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En intégrant il vient :
.. ctezgkpLn +−=
D'où :
..
0zgk
epp
−
=
0
0
p
k
ρ
=
..
0
0
0
zg
p
epp
ρ
−
=
2. Calculer la pression atmosphérique à une altitude de 6000 m en considérant que l'air est un
gaz parfait au repos et en utilisant successivement les hypothèses suivantes :
a- l'air a une densité constante
b- la température de l'atmosphère est constante
c- conditions isentropiques
d- variation linéaire de la température : 0.0065 °C/m
On prendra à z = 0 : t = 15°C et p = 1 atm.
Corrigé :
Les équations de la satatique des fluides s'écrivent : 0=− pgradf ρ . Comme précédemment,
la seule force à prendre en considération est celle de la pesanteur et l'on a :
0=− pgradg ρ
La projection sur 3 les axes donne :
=
∂
∂
−−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
(3) 0
(2) 00
(1) 00
z
p
g
y
p
x
p
ρ
Ici encore on retient, de part le fait que les équations (1) et (2) permettent d’établir que la
pression n’est fonction que de la variable spaatiale z, la relation finale suivante :
0=+
dz
dp
g ρ
Ou encore
dz
dp
g−= ρ (4)
Une relation (ou une hypothèse) supplémentaire est donc nécessaire (2 inconues : pression et
masse volumique). On examinera dans ce qui suit plusieurs hypothèses possibles.

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a- L’air a une densité constante :
Dans ce cas, la masse volumique de l’air est supposée constante, et l’intégration de l’équation
(4) est directe et donne le résultat suivant :
g
dz
dp
ρ −= , soit :
0
p(z) pgz +−= ρ
La constante d’intégration p
0
est à déterminer en considérant les conditions aux limites, soit
p(z=0)=p
0
= 1.10
5
Pa
A.N. :
Avant d’effectuer l’application numérique, il va falloir déterminer la valeur de la masse
volumique. Comme elle est constante, on peut la déterminer pour z = 0 où nous dsiposons des
données suivantes : p
0
= 1 atm et t
0
= 15°C. Comme l’air est supposé se comporter comme un
gaz parfait (énoncé), on peut utilier la loi des gaz parfait :
rT
p=
ρ
soit :
rT
p
= ρ A.N.
rT
p
= ρ
3
5
kg/m 1.21
)27315.(287 10 = +
= ρ
A z = 6000 m : p = 10
5
-1.21*9.81*6000 = 10
5
– 71220,6 = 28779.4 Pa
b- La température de l’air est constante :
Si on suppose que la température de l’ai est constante on a
0
0
ρρ
p
cte
p== et
0
0p
p
ρρ =
En reportant dans la relation (4) :
.
0
0dz
dp
g
p
p−=
ρ
soit gdz
pp
dp
0
0
ρ
−= et en intégrant : ctegz
p
pLn +−= 0
0
ρ
Soit :
gz
p
Kep
0
0
ρ
−
= , K constante réelle déterminée par les conditions aux limites. Il est clair
que K = p
0
. Soit finalement
gz
p
epp
0
0
0
ρ
−
=
A.N :
Paep 49056.10 6000.81.9
10
21.1
5
5
== −