Exercices : Nombres Réels, Sommes et Produits - PCSI

PCSI TD du Chapitre 2 : Nombres réels, sommes et produits Corrigés
Exercice 1 — Pour n∈N∗on définit les rationnels An,Bnet Cnpar :
An=
n
X
k=0
nk;Bn=
n
X
k=0
nk
n+ket Cn=
n
X
k=0 1 + k
nn
.
Calculer An,Bnet Cnpour n∈ {1,2,3}.
Exercice 2 — Pour n∈N∗, factoriser les sommes suivantes, lorsque c’est possible :
1.
n
X
k=0
nk
n+k
2.
n
X
k=0
ekn
n
3.
n
X
k=1
xcos (kx)
2, avec x∈R
4.
n
X
k=0
k(k+ 1)
Exercice 3 — Montrer que pour tout n∈N∗,
n
X
k=1
kk! = (n+ 1)! −1
Exercice 4 — Soit n∈Navec n>3.
Effectuer un glissement d’indice pour se ramener à une somme qui démarre à 0 :
1.
n+1
X
k=3
ak, avec a∈R
2.
n
X
j=1
(2j−1)
3.
n
X
i=3
i(i−1)
4.
n
X
k=2
n!
(n−2)!akbn−k, avec (a, b)∈C2
Exercice 5 — Soit n∈N∗. Calculer les sommes suivantes :
1.
10
X
k=5
k
2. Sn=
n
X
k=1 2k+ 4k+n−3
3.
31
X
k=8 k−5
6
4. Sn=
n
X
k=1
(−1)k
5.
20
X
k=11
k2
6. Sn=
2n
X
k=n
k3
7. Sn=
n
X
k=1 √k−√k−1
8. Sn=
n
X
k=1
2k3n−k
9. Sn=
n
X
k=1
k
(k+ 1)!
10. Sn=
n
X
k=0
k.k!
Question 6. Établissons en préalable la formule de la somme de cubes.
n+1
X
k=1
k4=
n
X
k=0
(k+ 1)4
=
n
X
k=0 k4+ 4k3+ 6k2+ 4k+ 1
=
n
X
k=0
k4+ 4
n
X
k=0
k3+ 6
n
X
k=0
k2+ 4
n
X
k=0
k+
n
X
k=0
1
=
n
X
k=0
k4+ 4
n
X
k=0
k3+ 6 ×1
6n(n+ 1)(2n+1)+4n(n+ 1) 2+n+ 1
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D’où :
4
n
X
k=0
k3=
n+1
X
k=1
k4−
n
X
k=0
k4−n(n+ 1)(2n+ 1) −2n(n+ 1) −(n+ 1)
= (n+ 1)4−(n+ 1)(2n2+n+ 2n+ 1)
= (n+ 1) (n+ 1)3−(n+ 1)(2n+ 1)
= (n+ 1)2(n+ 1)2−2n−1
=n2(n+ 1)2
On obtient donc : n
X
k=0
k3=
n
X
k=1
k3=1
4n2(n+ 1)2
Remarque : On vérifie, pour n= 0 et n= 1 par calcul mental.
Pour n= 2 :1 + 8 = 1
4×4×9.
Pour n= 3 :1 + 8 + 27 = 36 = 1
4×9×16.
On s’assure également que le calcul obtenu fournit un nombre entier quel que soit n.
D’où :
Sn=
2n
X
k=n
k3
=
2n
X
k=1
k3−
n−1
X
k=1
k3
=1
4(2n)2(2n+ 1)2−1 4(n−1)2n2
=n2
44(2n+ 1)2−(n−1)2
=n2
4(15n2+ 18n+ 3)
=n2
4(n+ 1)(15n+ 3).
Exercice 6 — Soit n∈N∗,m∈Navec m6net q∈R\ {1,−1}. Calculer les sommes
suivantes :
1. Sn=
n
X
k=0
(−1)kqk
2. Tm,n =
n
X
k=m
(−2)kqk
3. Un=
n
X
k=1
qk+1
4. Vn=
n
X
k=0
q2k+3
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Exercice 7 — Soit n∈N∗.
Exprimer 2×4× ··· × (2n)puis 1×3× ··· × (2n+ 1) à l’aide de factoriels.
On a :
2×4× ··· × (2n) =
n
Y
k=1
(2k) = 2n
n
Y
k=1
k= 2n×n!
et
1×3× ··· × (2n+ 1) =
n
Y
k=0
(2k+ 1) = Qn
k=0(2k+ 1) ×Qn i=1(2i)
Qn
i=1(2i)=Q2n+1
j=1 j
2n×n!=(2n+ 1)! 2n×n!
Exercice 8 — Soit n∈N∗. Calculer les produits suivants :
1.
n
Y
k=2 1−1
k
2.
n
Y
k=1
ek
3.
n
Y
k=1
(2k)
4.
n
Y
k=0
(2k+ 1)
5.
n
Y
k=0
(3k+ 1)(3k+ 2)
Exercice 9 — Soit (n, k)∈N2tels que 26k6n−2.
Montrer que n
k!= n−2 k!+ 2 n−2 k−1!+ n−2 k−2!
Exercice 10 — Soit n∈N. Calculer :
n
X
k=0
2k n
k!.
Exercice 11 — Soit n∈N∗et p∈Ntel que 16p6n,
1. Vérifier que : n
p!=n p n−1 p−1!2. En déduire la valeur de :
n
X
p=1
p n
p!.
1. Appliquer la définition des coefficients binomiaux.
2. D’après la question précédente, par factorisation et décalage d’indice et par la formule du
binôme de Newton,
n
X
p=1
p n
p!=
n
X
p=1
n n−1
p−1!=n
n−1
X
p=0 n−1
p!=n2n−1.
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Exercice 12 — Formule de Chu-Vandermonde
Montrer que pour tous entiers naturels n, p et q:
n
X
k=0 p
k! q n−k!= p+q n!.
Remarque : Cette formule n’est qu’une conséquence de la relation de Pascal. Elle établit qu’un
coefficient binomial p+q
n!est une combinaison linéaire (somme coefficientée) des coefficients
binomiaux de la ligne pdu triangle de Pascal (on parle de « convolution »).
Si l’on pose q= 1, on obtient exactement la relation de Pascal :
p+ 1
n!= p n−1! 1 1!+ p n! 1 0!= p n−1!+ p n!
(on se souvient qu’assez naturellement j
i!= 0 si i > j)
Pour atteindre la formule avec q= 2, il suffit d’appliquer la relation de Pascal à chacun des
deux termes. On comprend qu’une récurrence sur qpermet d’établir le résultat.
Démontrons par récurrence que la propriété ci-dessous est vraie pour tout entier naturel q:
P(q) : ∀(n, p)∈N2:
n
X
k=0 p
k! q n−k!= p+q n!.
On a : ∀(n, p)∈N2:
n
X
k=0 p
k! 0 n−k!= p n! 0 0!= p n!. P (0) est donc vraie.
Supposons que pour un rang qdonné, P(q)est vrai.
Démontrons qu’alors P(q+ 1) est également vrai.
D’après la relation de Pascal :
p+q+ 1
n!= p+q n!+ p+q n−1!
D’après l’hypothèse de récurrence :
p+q+ 1
n!=
n
X
k=0 p
k! q n−k!+
n−1
X
k=0 p
k! q n−1−k!
= p
n! q 0!+
n−1
X
k=0 p
k! q n−k!+ q n−1−k!! par linéarité
= p
n! q+ 1 0!+
n−1
X
k=0 p
k! q+ 1 n−k!d’après la relation de Pascal
=
n
X
k=0 p
k! q+ 1 n−k!d’après la relation de Chasles
On conclut par récurrence que la formule de Chu-Vandermonde est valable aussi quel que soit
l’entier naturel q.
Remarque : On doit cette formule au mathématicien chinois Zhu Shìjié (1270-1330), trouvée
ensuite par le français Alexandre-Théophile Vandermonde en 1772.
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Autre méthode : En utilisant le puissant résultat du binôme de Newton, on dispose d’une dé-
monstration bien plus aisée à mettre en oeuvre, voire à « comprendre ».
Considérons le polynôme : (x+ 1)p+q.
La formule du binôme de Newton nous assure que le membre de droite de l’égalité de Chu-
Vandermonde est alors le coefficient du terme de degré nde ce polynôme.
Nous avons en outre, toujours d’après la formule du binôme de Newton :
(x+ 1)p+q= (x+ 1)p(x+ 1)q=
p
X
k=1 p
k!xk×
q
X
i=1 q
i!xi
Quand on développe ce produit par distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, les
termes de degré nseront obtenus quand le terme de degré kdu premier facteur sera multiplié
par le terme de degré n−kdu second facteur. Or leurs coefficients sont p
k!et q n−k!.
Par identification des coefficients du terme de degré non obtient donc l’égalité :
n
X
k=0 p
k! q n−k!= p+q n!.
∼
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