PCSI TD du Chapitre 2 : Nombres réels, sommes et produits Corrigés
Exercice 12 — Formule de Chu-Vandermonde
Montrer que pour tous entiers naturels n, p et q:
n
X
k=0 p
k! q
n−k!= p+q
n!.
Remarque : Cette formule n’est qu’une conséquence de la relation de Pascal. Elle établit qu’un
coefficient binomial p+q
n!est une combinaison linéaire (somme coefficientée) des coefficients
binomiaux de la ligne pdu triangle de Pascal (on parle de « convolution »).
Si l’on pose q= 1, on obtient exactement la relation de Pascal :
p+ 1
n!= p
n−1! 1
1!+ p
n! 1
0!= p
n−1!+ p
n!
(on se souvient qu’assez naturellement j
i!= 0 si i > j)
Pour atteindre la formule avec q= 2, il suffit d’appliquer la relation de Pascal à chacun des
deux termes. On comprend qu’une récurrence sur qpermet d’établir le résultat.
Démontrons par récurrence que la propriété ci-dessous est vraie pour tout entier naturel q:
P(q) : ∀(n, p)∈N2:
n
X
k=0 p
k! q
n−k!= p+q
n!.
On a : ∀(n, p)∈N2:
n
X
k=0 p
k! 0
n−k!= p
n! 0
0!= p
n!. P (0) est donc vraie.
Supposons que pour un rang qdonné, P(q)est vrai.
Démontrons qu’alors P(q+ 1) est également vrai.
D’après la relation de Pascal :
p+q+ 1
n!= p+q
n!+ p+q
n−1!
D’après l’hypothèse de récurrence :
p+q+ 1
n!=
n
X
k=0 p
k! q
n−k!+
n−1
X
k=0 p
k! q
n−1−k!
= p
n! q
0!+
n−1
X
k=0 p
k! q
n−k!+ q
n−1−k!! par linéarité
= p
n! q+ 1
0!+
n−1
X
k=0 p
k! q+ 1
n−k!d’après la relation de Pascal
=
n
X
k=0 p
k! q+ 1
n−k!d’après la relation de Chasles
On conclut par récurrence que la formule de Chu-Vandermonde est valable aussi quel que soit
l’entier naturel q.
Remarque : On doit cette formule au mathématicien chinois Zhu Shìjié (1270-1330), trouvée
ensuite par le français Alexandre-Théophile Vandermonde en 1772.
Lycée Sainte-Anne Brest 4/ 5