TD 04 avec solutions

TD 04: Caractéristiques géométriques des sections planes
TD 04 : Caractéristiques géométriques des sections
planes.
4.7.1 ) Exercice 01 :
Pour les sections suivantes, Déterminer leurs caractéristiques géométriques :
(a) (b)
Solution :
Les caractéristiques géométriques sont définies par :
- Le centre de gravité
- Les moments d’inertie centraux et principaux ainsi la direction principale.
a) Section (a) rectangle :
1) Le centre de gravité est déterminé à partir les quantités suivantes :
bx
bbh
xhdx
S
xds
S
m
Xb
b
S
ys
G2
1
2
11 2
0
0
)/( 
et
hy
hbh
yady
S
yds
S
m
Yh
h
S
xs
G2
1
2
11 2
0
0
)/( 
Alors le CDG
ha 2
1
;
2
1
2) Les moments d’inertie centraux et principaux et la direction principale :
b
h
b
h
+h/2
-h/2
dy
2
G
dx
2
+b/2
-b/2
G

TD 04: Caractéristiques géométriques des sections planes
Puisque les axes centraux sont des axes de symétrie, les moments d’inertie
centraux calculés dans ces axes sont aussi les moments d’inertie principaux et la
direction principale égale à zéro.
33
2/
2/
2/
2/
22 12
1
3
1ahyaadyydsyI h
h
h
hS
x
33
2/
2/
2/
2/
22 12
1
3
1haxhhdxxdsxI a
a
a
aS
y
Les axes (x, y) sont des axes centraux, alors
.0
xy
I
b) Section (b) triangle rectiligne :
On a :
xb
b
h
xh )(
et
yh
h
b
yb )(
Alors ;
b
bb
S
ys
Gxbx
b
bh
xbx
b
h
bh
xb
b
h
x
S
xds
S
m
X
0
3
00
)/(
3
1
²
2
1
²
2
2
²
2
bb
b
XG3
1
6
1
²
23
h
hh
S
xs
Gyhy
h
bh
yhy
h
b
bh
yh
h
b
y
S
yds
S
m
Y
0
3
00
)/(
3
1
²
2
1
²
2
2
²
2
hh
h
YG3
1
6
1
²
23
Les moments d’inertie centraux :
b
h
O
y
dy
b
h
O
x
dx

TD 04: Caractéristiques géométriques des sections planes
  43
0
0
32
0
22 4
1
3yy
h
h
b
dyyhy
h
b
dyyh
h
b
ydsyI h
hh
S
x
1212
34 bhh
h
b
Ix
  43
0
0
32
0
22 4
1
3xx
b
b
h
dxxbx
b
h
dxxb
b
h
xdsxI h
bb
S
y
1212
34 hbb
b
h
Iy
On détermine maintenant les moments d’inertie par rapport le centre de gravité à
l’aide de la théorie des axes parallèles de Huygens :
22 xxXGxXGxSdIISdII 
On trouve :
363212
3
2
3bh
I
hbhbh
IXGXG 
22 yyYGyYGySdIISdII 
On trouve :
363212
3
2
3hb
I
bbhhb
IYGYG 
Le produit d’inertie central
dxhx
bh
xIdxydyxxydxdyxydsI b
xy
bhx
bh
b
S
xy    
0
2
0 00 0 2
1
 3
2
422² 3
2
²422²2 ²2²222
0
342
0
23 bbbh
b
x
b
xxh
dx
b
x
b
x
x
h
I
b
b
xy
24²
2hb
Ixy 
Alors ,
SddIISddII yxxyXGYGyxXGYGxy 
On obtient finalement ;
72² 18² 24² 23324²2222 hb
I
hbhbbhbhhb
IXGYGXGYG 
- calcul des moments d’inertie principaux et direction principale :

TD 04: Caractéristiques géométriques des sections planes
2
2
2
3333
1
2)(
2
)()()()(
172²
7272727222 
hbhbbhhbbh II
IIII
IXY
YXYX
2
2
2
3333
2
2)(
2
)()()()(
272²
7272727222 
hbhbbhhbbh II
IIII
IXY
YXYX
et
)(
2
1²
7272
72²
)2( 2233
2
33
2
bh bh
arctg
hbbh hb
hbbh
hb
tg 
Cas particulier pour h=b;
24723622
444
1
2)(
2
)()()()(
1bbb
II
IIII
IXY
YXYX 
72723622
444
2
2)(
2
)()()()(
2bbb
II
IIII
IXY
YXYX 
4
3
4
)2( outg
4.7.2 ) Exercice 02
déterminer les caractéristiques géométriques de la section composée suivante :
- Centre de gravité :
A l’aide du tableau suivant, on détermine les coordonnées du centre de gravité :
Section
xi
yi
Si
I
-35
20
300
II
0
0
800
III
35
-20
300
30
10
10
60
10
30
10
1
y
30
10
30
10
2
y,y
2
x,x
(I)
y
(II)
y
1
x
3
y
3
x

TD 04: Caractéristiques géométriques des sections planes
0
1400 30035800030035
1
1 n
ii
n
iiGi
GS
Sx
x
0
1400 30020800030020
1
1
n
ii
n
iiGi
GS
Sy
y
Donc, il est claire par raison de symétrie que le centre de gravité a les coordonnées suivantes :
CDG
0;0
Moment d’inertie central IX ;
III
X
II
X
IXX IIII )()()()( 
Pour raison de symétrie ;
II
X
IXX III )()()( 2
Pour la section (I)
1
21
3
11
)(1
21)()( 12 Sy
hb
ISdII G
IXX IXG IX
Application numérique :
45
)(
2
3
)( 10.425.130020
12
3010 mmII IX
IX
Pour la section (II)
12
3
22
)()()( hb
III IX
II
XG
II
X
Application numérique :
43
)(
3
)( 10.67.6
12
1080 mmII II
X
II
X
Alors,
45
)(
35
)( 10.917.210.67.610.425.12 mmII XX 
Moment d’inertie central IY ;