math ts1

Evaluation standardisée TS1 Page 1/2
République Du Sénégal
Un Peuple – Un But – Une Foi
Ministère
de l’Education nationale
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INSPECTION D’ACADEMIE DE DIOURBEL 2022 – 2023
Centre Régional de Formation des Personnels de l’Education
EPREUVE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TERMINALE S1 Durée : 04 heures
EXERCICE 1 : (03,5 points)
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct 
.
Soient  et les points A(2), M() et N().
On définit le polynôme complexe 
1. Montrer que P admet une racine réelle à déterminer. 0.75 pt
2. Factoriser P(z) puis Résoudre l’équation P(z)= 0. 0.25pt+ 0.75pt
3. Montrer que 
 et  . 1pt
4. Montrer que OMAN est un rectangle. 0.5pt
5. Déterminer la valeur de  pour que OMAN soit un carré. 0.75pt
EXERCICE 2 : (04,5 points)
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct 
.
Soient les points A(
Soit l’application qui a tout point M(Z) distinct de A associe le point M’(Z’) tel que 
1. Déterminer les points invariants de . 0.5pt
2. Interpréter géométriquement . 0.5pt
3. En déduire l’ensemble des points M du plan tel que Z’ est strictement positif. 0.5pt
4. Montrer que  0.5pt
5. Exprimer AM’ en fonction de AM ; et (
 0.5pt
6. En déduire l’image directe du cercle ( C ) par . 0.5pt
7. Montrer que si M est sur la droite ( D) perpendiculaire à l’axe des réels passant par A
alors M’ appartient à une droite à préciser. 0.5pt
8. Déterminer l’ensemble des points M tels que  0,5 pt
9. Déterminer et construire l’ensemble des points M tel que
 0,5pt
EXERCICE 3: (5,25points)
Soit  la fonction définie sur 
 par 
1.a Etudier les variations des fonctions  et  définie sur 
 par :
 1pt

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 En déduire que pour tout  
. 0.5pt
c. Etablir que  
 . 0.25pt
2.a. Montrer que  est continue sur 
 . 0.25pt 0.25pt
b. En utilisant (1) montrer que pour tout  
.
c. En déduire que  est dérivable à droite de 0 et donner  0.5pt
3. Soit la fonction  définie sur 
 par 
a. Etudier les variations de  0.75pt
b. Montrer que 
 0.5pt
4. a. Montrer que  réalise une bijection de 
 vers J à préciser. 0.75pt
b. Etudier la dérivabilité de  la bijection réciproque de . 0.25pt
PROBLEME : (6,75 points)
A) Soit  la fonction définie sur  par 
1. a. Montrer que  réalise une bijection de  vers . On note  sa bijection
réciproque. 0,75pt
b. Calculer 
 0,5pt
2. a. Montrer que  est dérivable sur  puis calculer 
. 0,5pt
c. Montrer que pour tout 
 . 0,5pt.
3. Soit  la suite définie par 
 , .
a. Montrer que pour tout 
. 0,5pt
b. En déduire que  converge vers une limite à préciser. 0,25pt
4. Montrer que l’équation 
 admet une unique solution  sur  et que
. 0,75 pt.
B) Soit  la fonction définie sur 
 par 
1.
a. Montrer que  est dérivable sur 
 et calculer . 0,5pt
b. En déduire que pour tout 
. 0,5pt
2. Soit  la fonction définie sur 
 par 
a. Etudier les variations de  et dresser le tableau de variations de . 0,75pt.
b. Donner 
 0,25pt
3. Soit la fonction k définie sur 
par 
a. Montrer que k est dérivable sur 
 0,5pt
b. En déduire que pour tout 
 . 0,5pt