LOGIQUE 22 - 23

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COURS DE LOGIQUE ET
RAISONNEMENTS MATHEMATIQUES
2022 - 2023
ESATIC UP MATHS
Table des matières
NOTATIONS 4
INTRODUCTION 5
1 Ensembles 7
1.1 Dénitions,Exemples............................ 7
1.2 Ecritures d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 DiagrammesdeVenn............................ 9
1.3.1 Représentation d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Représentation de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Représentation de trois ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Inclusion, égalité, ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Inclusion .............................. 11
1.4.2 Ensembleségaux.......................... 12
1.4.3 Ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Opérations élémentaires dans les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Activité............................... 13
1.5.2 Intersection d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3 Réunion d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.4 Différence de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.5 Différence symétrique entre deux ensembles . . . . . . . . . . . 16
1.5.6 Le complémentaire d’un ensemble contenu dans un autre . . . . . 16
1.5.7 Propriétés des opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.8 Produit cartésien d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.9 Partition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Exercices .................................. 21
2 Eléments de logique 24
2.1 Opérations logiques dans un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Opérations logiques élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1
TABLE DES MATIÈRES
2.1.2 L’implication et l’équivalence de deux propriétés . . . . . . . . . 24
2.2 La table de vérité des différentes propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Lesquanticateurs ............................. 25
2.4 Correspondance entre sous-ensembles et propriétés . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Logique mathématique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Quelques méthodes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.1 Raisonnement direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.2 Raisonnement par double implication . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.3 Casparcas............................. 29
2.6.4 Raisonnement par élimination des cas . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.5 Raisonnement par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.6 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.7 Raisonnement par contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.8 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.9 Raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7 Exercices .................................. 37
3 Relations binaires dans un ensemble 42
3.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Mode de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Diagramme cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Matricebinaire........................... 44
3.2.3 Diagramme sagittal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Quelques propriétés remarquables des relations binaires . . . . . . . . . . 46
3.4 Relationdordre .............................. 46
3.4.1 Dénitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2 Eléments singuliers dans un ensemble ordonné . . . . . . . . . . 47
3.5 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1 Dénitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.2 Classes d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.3 Ensemble quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Exercices .................................. 50
4 Applications d’un ensemble vers un autre 52
4.1 Relations d’un ensemble vers un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1 Dénitions ............................. 52
4.1.2 Notation .............................. 52
4.1.3 Exemple .............................. 52
4.2 Applications................................. 53
ESATIC 2UP Maths
TABLE DES MATIÈRES
4.2.1 Dénitions ............................. 53
4.2.2 Exemples et contre-exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.3 Egalité de deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.4 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.5 Image directe, Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.6 Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.7 Applications injectives, surjectives, bijectives . . . . . . . . . . . 56
4.2.8 Ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.9 Décomposition canonique d’une application . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Exercices .................................. 59
BIBLIOGRAPHIE 61
ESATIC 3UP Maths
Notations
Notation Définition
NEnsemble des entiers naturels
ZEnsemble des entiers relatifs
REnsemble des nombres réels
Im Image d’une application
La composition des applications
L’intersection
L’union
6=La non égalitïé
4
1 / 62 100%

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