Cours de Logique et Raisonnements Mathématiques

COURS DE LOGIQUE ET
RAISONNEMENTS MATHEMATIQUES
2022 - 2023
ESATIC UP MATHS

Table des matières
NOTATIONS 4
INTRODUCTION 5
1 Ensembles 7
1.1 Définitions,Exemples............................ 7
1.2 Ecritures d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 DiagrammesdeVenn............................ 9
1.3.1 Représentation d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Représentation de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Représentation de trois ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Inclusion, égalité, ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Inclusion .............................. 11
1.4.2 Ensembleségaux.......................... 12
1.4.3 Ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Opérations élémentaires dans les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Activité............................... 13
1.5.2 Intersection d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3 Réunion d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.4 Différence de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.5 Différence symétrique entre deux ensembles . . . . . . . . . . . 16
1.5.6 Le complémentaire d’un ensemble contenu dans un autre . . . . . 16
1.5.7 Propriétés des opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.8 Produit cartésien d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.9 Partition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Exercices .................................. 21
2 Eléments de logique 24
2.1 Opérations logiques dans un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Opérations logiques élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1

TABLE DES MATIÈRES
2.1.2 L’implication et l’équivalence de deux propriétés . . . . . . . . . 24
2.2 La table de vérité des différentes propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Lesquantificateurs ............................. 25
2.4 Correspondance entre sous-ensembles et propriétés . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Logique mathématique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Quelques méthodes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.1 Raisonnement direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.2 Raisonnement par double implication . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.3 Casparcas............................. 29
2.6.4 Raisonnement par élimination des cas . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.5 Raisonnement par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.6 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.7 Raisonnement par contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.8 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.9 Raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7 Exercices .................................. 37
3 Relations binaires dans un ensemble 42
3.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Mode de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Diagramme cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Matricebinaire........................... 44
3.2.3 Diagramme sagittal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Quelques propriétés remarquables des relations binaires . . . . . . . . . . 46
3.4 Relationd’ordre .............................. 46
3.4.1 Dénitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2 Eléments singuliers dans un ensemble ordonné . . . . . . . . . . 47
3.5 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1 Dénitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.2 Classes d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.3 Ensemble quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Exercices .................................. 50
4 Applications d’un ensemble vers un autre 52
4.1 Relations d’un ensemble vers un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1 Définitions ............................. 52
4.1.2 Notation .............................. 52
4.1.3 Exemple .............................. 52
4.2 Applications................................. 53
ESATIC 2UP Maths

TABLE DES MATIÈRES
4.2.1 Définitions ............................. 53
4.2.2 Exemples et contre-exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.3 Egalité de deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.4 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.5 Image directe, Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.6 Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.7 Applications injectives, surjectives, bijectives . . . . . . . . . . . 56
4.2.8 Ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.9 Décomposition canonique d’une application . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Exercices .................................. 59
BIBLIOGRAPHIE 61
ESATIC 3UP Maths

Notations
Notation Définition
NEnsemble des entiers naturels
ZEnsemble des entiers relatifs
REnsemble des nombres réels
Im Image d’une application
◦La composition des applications
∩L’intersection
∪L’union
6=La non égalitïé
4