TABLE DES MATIÈRES
2.1.2 L’implication et l’équivalence de deux propriétés . . . . . . . . . 24
2.2 La table de vérité des différentes propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Lesquantificateurs ............................. 25
2.4 Correspondance entre sous-ensembles et propriétés . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Logique mathématique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Quelques méthodes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.1 Raisonnement direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.2 Raisonnement par double implication . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.3 Casparcas............................. 29
2.6.4 Raisonnement par élimination des cas . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.5 Raisonnement par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.6 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.7 Raisonnement par contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.8 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.9 Raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7 Exercices .................................. 37
3 Relations binaires dans un ensemble 42
3.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Mode de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Diagramme cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Matricebinaire........................... 44
3.2.3 Diagramme sagittal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Quelques propriétés remarquables des relations binaires . . . . . . . . . . 46
3.4 Relationd’ordre .............................. 46
3.4.1 Dénitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2 Eléments singuliers dans un ensemble ordonné . . . . . . . . . . 47
3.5 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1 Dénitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.2 Classes d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.3 Ensemble quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Exercices .................................. 50
4 Applications d’un ensemble vers un autre 52
4.1 Relations d’un ensemble vers un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1 Définitions ............................. 52
4.1.2 Notation .............................. 52
4.1.3 Exemple .............................. 52
4.2 Applications................................. 53
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