cours de theorie des graphes chap1 et 2

Table des matières
Chapitre 1 / GENERALITES SUR LES GRAPHES ................................................................................... 2
Introduction ......................................................................................................................................... 3
Quelques définitions concernant les graphes orientés. ...................................................................... 3
Définition d’un graphe orienté. ....................................................................................................... 3
Définitions de base relatives aux arcs et aux sommets d’un graphe .............................................. 4
Notion de p-graphe ......................................................................................................................... 5
Définitions de notions liées à la connexité d’un graphe. ................................................................ 7
Quelques concepts non orientes. ........................................................................................................ 9
Chapitre 2 / QUELQUES PROBLEMES IMPORTANTS DE L’ETUDE D’UN GRAPHE ORIENTE. .............. 10
Quelques catégories de graphes. ...................................................................................................... 10
Graphe symétrique. ....................................................................................................................... 10
Graphe antisymétrique. ................................................................................................................ 10
Graphe transitif ............................................................................................................................. 11
Graphe complet ............................................................................................................................. 11
Fermeture transitive d’un graphe. .................................................................................................... 11
Définition ....................................................................................................................................... 11
Organigramme de l'algorithme d'obtention de la fermeture transitive d'un graphe ................... 12
Graphe sans circuit ............................................................................................................................ 12
Propriétés d'un graphe sans circuit ............................................................................................... 12
Organigramme de l'algorithme permettant de tester l'absence de circuit .................................. 13
Organigramme de l'algorithme d'obtention d'un circuit .............................................................. 14
Organigramme de l'algorithme d'obtention des niveaux d'un graphe sans circuit ...................... 15
Chapitre 1 / GENERALITES SUR LES GRAPHES
On regroupe généralement sous le titre de théorie des graphes des problèmes assez variés
qui ont tous comme caractéristique commune de pouvoir être visualisés : des points
représentant des individus, des objets, des situations... sont joints par des flèches ou des
lignes symbolisant les relations existantes entre eux.
L'histoire de cette théorie met en relief la diversité des questions abordées. Le premier
problème généralement cité remonte à Euler (19] : "Est-il possible de parcourir les rues de

Koenigsberg en franchissant une et une seule fois chacun des sept ponts de la ville " ?
Jusqu'au milieu du vingtième siècle, la théorie des graphes s'est développée en liaison avec
des problèmes de physique et de chimie, mais aussi dans le cadre de recréations
mathématiques (cf. par exemple [7 ],[ 29] ,[ 30 ] ,[ 31 J ,[ 34 ] et [44 ]). Ce n'est qu'après 1945
qu'on vit apparaître des applications dans le domaine de la gestion, classées, avec beaucoup
d'autres, sous le titre général de problèmes de recherche opérationnelle.
Introduction
La théorie des graphes concerne de nombreux domaines d'application. Leurs objectifs sont distincts
mais le langage utilisé est le même, tout au moins en ce qui concerne les définitions et propriétés
générales. C'est pourquoi nous consacrons ce premier chapitre a la présentation des concepts de
base que nous développerons dans la suite. Pour illustrer notre propos, nous recourrons à des
exemples élémentaires, historiques et même à l'un ou l'autre. Nous ne serons pas exhaustifs : ceux
qui désirent se constituer une encyclopédie des termes utilisés en théorie des graphes devront se
référer à des ouvrages plus spécialisés (cf. par exemple [3], [24] et [40]).
Quelques définitions concernant les graphes orientés.
Il convient de distinguer les graphes orientés de ceux qui ne le sont pas. Nous nous intéressons ici
aux premiers et nous donnerons quelques exemples des seconds dans le paragraphe 1.4.
Définition d’un graphe orienté.
Les graphes orientés (finis) dont nous traiterons ici peuvent être considérés comme des schémas
représentant simplement la structure d'un problème. Ils sont généralement déterminés par la
donnée de :

Définitions de base relatives aux arcs et aux sommets d’un graphe

Notion de p-graphe