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Lycée Louis-le-Grand – MPSI 2
Exercices de mathématiques supérieures
D’après Monsieur Merle, rédigé par Quentin De Muynck
Version du 12 juillet 2020
2 septembre 2019 - 3 juillet 2020

Préface
Cet ouvrage vise à rassembler l’ensemble des exercices de mathématiques m’ayant été posés lors de mon année de
sup. Ils proviennent de mon professeur de mathématiques, Eric Merle ainsi que d’autres colleur·euse·s, voire de sites
internet divers.
J’ai mis du coeur à associer à chaque exercice une correction, ce qui manque cruellement dans les différentes res-
sources que l’on peut trouver.
Ces corrections proviennent pour leur grande majorité de mes camarades de la promotion 2019-2020 de la HX II.
Remerciements particuliers à Tess B., Mattéo B., Maurice D., Sylvain G., Léo L., Bastien L., Jules M.-F., Claire
R., Victor Z. pour les quelques corrections dactylographiées qu’iels m’ont fait parvenir.
Les exercices sont proposés dans l’ordre où ils ont été vus en classe. Les premiers chapitres sont donc abordables
en début de sup, et la fin en fin de sup.
Ce recueil d’exercices fait toutefois appel à certaines (beaucoup) de notions hors-programme. En voici un petit
aperçu :
– Expression de cos,sin,tan en fonction de u= tan θ
2, trigonométrie hyperbolique : fonctions réciproques
argch,argsh,argth et leurs expressions sous forme logarithmique.
– Valuation p-adique, définition du PGCD et du PPCM par les groupes nZ, idéaux de Z/nZ, automor-
phismes de Z/nZet cyclicité de ce groupe, isomorphe à U(Z/nZ).
– Ordre lexicographique, ordre bien fondé, préordre, ensemble bien ordonné, chaîne et cochaîne.
– Structures algébriques (programme de 2eannée) : monoïdes, groupes (caractérisation de la cyclicité),
anneaux, corps (caractère archimédien, intégrité), algèbres, caractéristique d’un anneau, groupes et an-
neaux quotients, idéaux, morphismes, automorphismes intérieurs et sous-groupes distingués, actions de
groupe, groupe symétrique, groupe alterné, injectivité d’un morphisme de corps, théorème de Lagrange.
– Construction de N,Z,Q,(R)et C, développement décimal d’un réel, caractérisation d’un rationnel par
périodicité de son développement décimal.
– Caractérisation de l’injectivité et de la surjectivité par simplification à gauche ou à droite et par carac-
térisation ensembliste sur les images directes et réciproques, par cardinaux, formule du Crible, formule
du multinôme de Newton.
– Intégration par parties itérée, égalité de Taylor-Lagrange.
– Fonctions à valeurs dans C, dérivabilité, intégration, bornage, exponentielle complexe et développement
en séries entières de exp,cos et sin (programme de 2eannée), polynômes de Tchebychev de première et
seconde espèce. Caractérisation de l’orthogonalité et de la colinéarité, similitudes directes et indirectes.
– Théorème de Cauchy-Liptschitz, équations différentielles à variables séparables et séparées.
– Espaces métriques, norme psur un K-espace vectoriel, inégalité de Hölder et de Minkowski.
– Suites homographiques, suites dans un K-espace vectoriel quelconque et un espace métrique, caractéri-
sation par epsilon d’une valeur d’adhérence, suites de Cauchy, notions de complétude et d’espace de
Banach.
– Séries dans un espace de Banach, convergence absolue et critère de Cauchy, séries de Bertrand,
séries alternées (2eannée), transformation et théorème d’Abel.
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– Topologie (programme de 2eannée), caractérisation topologique de l’ensemble des valeurs d’adhérence
d’une suite, notions de points isolés et d’accumulation, caractérisation de la compacité par Borel-
Lebesgue.
– Caractérisation topologique de la continuité globale d’une application (images directes et réciproques,
continuité sur un compact).
– Moyenne de Cesàro, restes de Cauchy, exponentiation et logarithme d’un équivalent, théorème de
sommation des relations de comparaison (2eannée).
– Dérivation d’une application bilinéaire, théorème de Rolle généralisé, notion de Cn-difféomorphismes,
barycentres et convexité (2eannée), inégalité de Jensen, lien entre convexité et dérivabilité.
– Polynômes à plusieurs indéterminées (K[X1, . . . , Xp]), anneau des séries formelles K[[X]], notion d’an-
neau euclidien, principal et factoriel, arithmétique sur un anneau principal, corps de rupture, corps de
décomposition et clôture algébrique, construction de K[X]et de K(X), calcul de décomposition en élé-
ments simples par les développements limités, règles de Bioche, intégration de fractions rationnelles en
sin et cos,ch et sh.
– Sous-algèbres des matrices diagonales, triangulaires supérieures, matrices élémentaires, pivot total et
méthode de Gauss-Jordan, rang d’un projecteur. Début de la théorie de la réduction des endomor-
phismes (2eannée) : éléments propres (vecteurs, valeurs et espaces), condition de diagonalisation et de
trigonalisation, polynôme caractéristique, annulateur et minimal, stabilité des sous-espaces propres par
les commutants, groupe spécial linéaire, mineur, étude de la dualité (base duale et préduale), détermi-
nants tridiagonaux et circulants, densité de GLndans Mn.
– Équivalence des normes en dimension finie (2eannée), complétude des espaces de dimensions finies,
théorème de Bolzano-Weierstrass en dimension finie quelconque, caractérisation de la compacité en
dimension finie, fermeture des espaces vectoriels de dimension finie, continuité des applications linéaires,
multilinéaires, polynômiales à indéterminées multiples sur un espace de dimension finie, matrice d’un
produit scalaire ; inégalité de Bessel, stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable, endomorphismes
symétriques, théorème spectral et interprétation matricielle, réduction des matrices orthogonales (2e
année), crochet de dualité, orthogonalité et dualité.
– Dénombrabilité, familles sommables, théorème de sommation par paquets (2eannée), théorèmes de
Fubini et produit de Cauchy, introduction à la cardinalité.
– Probabilités : programme de première et deuxième année (sauf les fonctions génératrices), notions d’évè-
nements asymptotiques, lemme de Borel-Cantelli, loi zéro-un de Kolmogorov, loi hypergéomé-
trique, convergence en loi, coefficient de corrélation linéaire.
– Intégration : applications réglées, critère de Cauchy pour les applications, intégration dans un K-espace
vectoriel de dimension finie quelconque.
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4.0/).

Table des matières
Exercices 1
I Trigonométrie et Dérivation 2
II Dérivation et Intégration 4
III Ensembles, Récurrences, Logique 7
IV Relations binaires 11
V Arithmétique 14
VI Réels, bornes supérieures 16
VII Applications 18
VIII Dénombrement et sommes finies 20
IX Formules de Taylor et Leibniz 23
X Complexes (sans géométrie) 25
XI Complexes (avec géométrie) 28
XII Groupes et anneaux 30
XIII L’anneau Z/nZ33
XIV Équations différentielles linéaires 35
XV Espaces vectoriels 37
XVI Normes et suites 39
XVII Série de réels ou de complexes 42
XVIII Topologie 46
XIX Continuité 48
XX Calculs asymptotiques 52
XXI Dérivation et convexité 56
XXII Polynômes 59
XXIII Fractions rationnelles et Calculs d’intégrales 63
XXIV Matrices 65
XXV Familles libres et génératrices, dimension d’un espace vectoriel 67
XXVI Algèbre linéaire 70
XXVII Déterminants 74
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TABLE DES MATIÈRES 5
XXVIIIEspaces euclidiens 77
XXIX Ensembles dénombrables et familles sommables 82
XXX Probabilités et sommes de Riemann 85
Solutions 91