Série 13 «Satellites artificielles et planètes »

Année scolaire : 2022-2021
Lycée IBN SINA BIOUGRA
Prof : M.BIMICH
Série «Satellites artificielles et planètes»
2éme bac
Exercice 1 :
En Juillet 2004, la sonde européenne Cassini-Huygens nous a livré ses premiers clichés des anneaux de
Saturne.
Elle a également photographié Titan, le plus gros satellite de Saturne, situé à une distance RT de
Saturne. L’excentricité orbitale des satellites étant très faible, on supposera leurs trajectoires circulaires.
Dans tout l’exercice, on se place dans le référentiel saturno-centrique, centré sur Saturne et dont les
trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines supposées fixes.
On considère que la planète Saturne et ses satellites sont des corps dont la répartition des masses est à
symétrie sphérique. Les rayons des orbites des satellites sont supposés grands devant leur taille.
Données : G = 6,6710–11 S.I. : constante de gravitation universelle.
Concernant Titan : RT = 1,22106 km (rayon de l’orbite de Titan).
Concernant Saturne : RS = 6,0104 km (rayon de la planète Saturne).
Ts = 10 h 39 min (période de rotation de Saturne sur elle-même).
MS = 5,691026 kg (masse de Saturne).
1. Quelques caractéristiques de Titan :
1.1. Forces :On considère que la seule force gravitationnelle exercée sur Titan provient de Saturne.
1.1.1. Nommer la (les) force(s) extérieure(s) appliquée(s) au satellite Titan, de masse MT.
1.1.2. Représenter qualitativement sur un schéma, Saturne, Titan, et la (les) force(s) extérieure(s) appliquée(s)
sur Titan.
1.1.3. Donner l’expression vectorielle de cette (ces) force(s).
1.2. Accélération et vitesse:
On étudie le mouvement du centre d’inertie T de Titan. S est le centre d’inertie de Saturne.
Soit
u
le vecteur unitaire porté par la droite ST dirigé de S vers T.
1.2.1. Exprimer son accélération vectorielle
a
en précisant la loi utilisée.
1.2.2. On se place dans la base orthonormée (
t
,
n
) centrée en T dans laquelle
t
est un vecteur unitaire porté
par la tangente à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement et
n
un vecteur unitaire perpendiculaire à
t
et dirigé vers l’intérieur de la trajectoire (
n
= –
u
).
On donne l’expression de
a
dans la base orthonormée (
t
,
n
) :
a
= at
t
+ an
n
.
Donner les expressions littérales de at et de an en fonction de la vitesse v du satellite.
1.2.3. À quelle composante se réduit l’accélération vectorielle
a
de Titan dans la base orthonormée (
t
,
n
) ?
Compléter alors le schéma précédent, avec la base orthonormée (
t
,
n
) et l’accélération
a
de Titan.
1.3. Type de mouvement
1.3.1. Montrer que le mouvement de Titan est uniforme.
1.3.2. Retrouver l’expression de la vitesse de Titan sur son orbite autour de Saturne : v =
S
T
GM
R
2. D’autres satellites de Saturne :
Après le survol de Titan, la sonde Cassini a survolé le satellite Encelade en février 2005.
On peut considérer que dans le référentiel saturno-centrique, Encelade à un mouvement de révolution
circulaire uniforme, dont la période (en jour terrestre), est TE = 1,37 et le rayon est RE.
2.1. Loi de Kepler
La relation qui lie la période T de révolution d’un satellite, sa vitesse v et le rayon R de son orbite est
T =
2R
v
. Sa vitesse de révolution autour de Saturne est donnée par : v =
S
GM
R
.

2.1.1. Retrouver la troisième loi de Kepler
22
3S
T4
=
R GM
.
2.1.2. Utiliser la troisième loi de Kepler pour déterminer la valeur du rayon RE de l’orbite d’Encelade.
3. Sonde saturno-stationnaire :
On cherche dans cette partie à déterminer l’altitude h à laquelle devrait se trouver la sonde Cassini pour
être saturno-stationnaire (immobile au-dessus d’un point de l’équateur de Saturne).
3.1. Quelle condition doit-on avoir sur les périodes Ts (rotation de Saturne sur elle-même) et Tc (révolution de
Cassini autour de Saturne) pour que la sonde soit « saturno-stationnaire »?
3.2. Altitude de la sonde:
3.2.1. En utilisant la troisième loi de Kepler donnée à la question 2.1.1. , montrer que l’altitude h de la sonde
peut se calculer avec la relation: h =
2
CS
3S
2
T GM - R
4
3.2.2. Calculer la valeur de h.
Exercice 2 :
Des comètes circulent dans le système solaire et laissent dans leur sillage des grains de matière de tailles plus
ou moins importantes. Il arrive que la Terre croise ces grains de matière abandonnés par une comète
derrière elle et qui pénètrent alors dans l’atmosphère terrestre. Lors de leur chute, ils échauffent les gaz
de l’atmosphère qui émettent de la lumière pour éliminer l’énergie reçue lors de cet échauffement. On
peut alors observer des phénomènes bien connus : les étoiles filantes.
Données :
Masse de la Terre : MT = 5,98.1024 kg
Masse du Soleil : MS = 1,98.1030 kg
Constante de gravitation universelle : G = 6,67.10–11 SI
Mouvement de la Terre :On considère le mouvement de la Terre autour du Soleil dans le référentiel
héliocentrique considéré comme galiléen. On suppose que ce mouvement est circulaire uniforme, de rayon
R = 1,50.1011 m. On néglige l’action de tout autre astre. On s’aidera du schéma donné au dessous .
On notera
a
le vecteur accélération du centre d’inertie de la Terre.
1.Donner l’expression vectorielle de la force subie par la Terre en utilisant le vecteur
u
du schéma.
2. Énoncer, puis appliquer la deuxième loi de Newton à la Terre.
3.En déduire l’expression du vecteur accélération
a
; on donnera sa direction, son sens et l’expression de sa
norme ; le représenter sans considération d’échelle sur le schéma fourni en annexe.
4.On rappelle que le mouvement est circulaire uniforme. Quelle relation peut-on alors écrire entre
l’accélération a et la vitesse v du centre d’inertie de la Terre autour du Soleil ?
5.Donner l’expression de la vitesse v du centre d’inertie de la Terre en fonction de la constante de gravitation

universelle G, la masse du Soleil MS et le rayon R de la trajectoire.
6. Calculer la valeur de cette vitesse.
7.Donner l’expression de la période de rotation T de la Terre autour du Soleil en fonction de la vitesse v et du
rayon R de sa trajectoire.
8. Montrer alors qu’on peut écrire que
3
2
S
2 π R
TGM
, puis calculer sa valeur.
Exercice 3:
Mars est l’une des planètes du système solaire facilement repérable dans le ciel grace à sa luminosité et sa
couleur rouge. Ses deux satellites naturels sont Phobos et Déimos. Les savants se sont intéressés à son étude
depuis longtemps, et dans les dernières décennies, on a réussi à l’explorer à l’aide des sondes qui ont permis de
nous communiquer d’importantes informations. L’exercice propose de déterminer quelques grandeurs
physiques liées à cette planète.
Données :
 Masse du soleil :
30
2.10
S
M kg
 Constante d’attraction universelle :
11
6,67.10 ( )G SI
 Rayon de Mars :
3400
M
R km
 Période de révolution de Mars autour du soleil :
687
M
T jours
;
1 86400jour s
 intensité de pesanteur à la surface de la Terre :
1
09,8 .g N kg
. On considères que le soleil et Mars
sont à répartitions sphériques de masses.
1-Détermination du rayon de la trajectoire de Mars et sa vitesse :
On considère que le mouvement de mars dans le repère héliocentrique est circulaire de vitesse
V
et de rayon
r
(On néglige les dimensions de la planète Mars devant la distance qui la sépare du centre du Soleil, ainsi que
les forces qui lui sont appliquées devant la force d’attraction universelle exercée par le Soleil).
1-1- Représenter sur un schéma le vecteur force modélisant l’action appliquée par le Soleil sur la planète Mars.
1-2- Ecrire en fonction de
G
,
S
M
,
M
M
, et
r
, l’expression de l’intensité
/SM
F
de la force de gravitation
universelle exercée par le Soleil sur Mars. (
M
M
représente la masse de la planète Mars)
1-3- En appliquant la deuxième loi de Newton montrer que :
a- Le mouvement de Mars est circulaire uniforme.
b- La relation entre la période et le rayon est :
22
34
.
M
S
T
r G M
et que la valeur du rayon
r
est :
11
2,3.10rm
.
1-4- Déterminer la valeur de la vitesse
V
.
2- Détermination de la masse de Mars et l’intensité de pesanteur à sa surface :
On considère que la lune Phobos est en mouvement circulaire uniforme autour de Mars à une distance
6000z km
de sa surface. La période de ce mouvement est
460min
P
T
. (On néglige les dimensions de
Phobos devant les autres dimensions). En étudiant le mouvement de Phobos dans un repère d’origine confondu
avec le centre de Mars et supposé galiléen, déterminer :
2-1- La masse
M
M
de Mars.
2-2- L’intensité de la pesanteur
0M
g
au niveau du sol marsien et la comparer à la valeur
1
3,8 .
Mex
g N kg
mesurée à l’aide des appareils développées.

Exercice 4:
Le pigeon bleu est un satellite artificiel marocain assurant le contrôle des frontières géographiques du
royaume et les télécommunications. Il a été instauré par des experts du centre royal de télédétection
spatiale en collaboration avec experts internationaux. Le pigeon bleu a été mis en orbite le 10 décembre
2001 à une altitude h du sol. Ce satellite artificiel
()S
effectue environ 14 tours autours de la terre par
jour.
 On assimile l’orbite de
()S
à un cercle de centre O, et on étudie son mouvement dans le repère
géocentrique.
 La Terre est considérée comme une sphère à répartition sphérique de masse.
 On néglige les dimensions de (S) devant sa distance au centre de la Terre.
Données :
-La valeur de la constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 (SI) ;
-La valeur du rayon de la Terre :
6350
T
r km
- La valeur de l’intensité de pesanteur à la surface de la Terre :
2
09,8 .g m s
-La valeur de la période de rotation de la Terre autour de son axe polaire :
84164Ts
-La valeur de l’altitude :
1000h km
-
TS
u
: Vecteur unitaire dirigé de O vers S.
1- Recopier le schéma de la figure 1, et représenter dessus le vecteur vitesse
S
V
du satellite artificiel, et le
vecteur force d’attraction universelle modélisant l’action de la Terre sur
()S
.
2- Donner l’expression vectorielle de la force d’attraction universelle modélisant l’action de la Terre sur
()S
.
3- Ecrire dans le repère de Freinet, l’expression du vecteur accélération du mouvement de
()S
.
4- Par application de la 2ème loi de Newton sur le mouvement du centre de gravité du satellite
()S
:
4-1- Montrer que le mouvement de
()S
est circulaire uniforme.
4-2- Ecrire l’expression de
S
V
en fonction de
0
g
,
T
r
et
h
. Calculer sa valeur.
5- Montrer que la masse de la terre est :
24
6.10
T
M kg
.
6- Montrer que le satellite
()S
artificiel n’apparait pas immobile par rapport à un observateur terrestre.
7- Un autre satellite artificiel
( ')S
tourne autour de la Terre avec une vitesse angulaire
et apparait
immobile par rapport à un observateur terrestre. Le satellite
( ')S
envoie à la terre des photos utilisées dans les
prévisions météo.
7-1- Montrer que
3
2T
r z cte
où
z
est la distance séparant le sol terrestre du satellite
( ')S
.
7-2- Trouver la valeur de l’altitude
z
.

Exercice: Corrigé de l’exercice 1
1- Quelques caractéristiques de Titan :
1.1 Forces
1.1.1 Titan subit la force d’interaction gravitationnelle exercée par Saturne.
1.1.2 1.1.3
S
T
2
T
GM M
Fu
R
où
u
est le vecteur unitaire de la droite ST dirigé de S
vers T.
1.2 Accélération et vitesse.
1.2.1 D’après la seconde loi de Newton, appliquée à Titan, réduit à son centre
d’inertie T, dans le référentiel Saturno-centrique :
T
M .a F
(
F
étant la seule force subie par Titan).
Donc :
S
T
T2
T
G.M .M
M .a .u
R
donc
S
2
T
G.M
a = .u
R
1.2.2 Pour Titan, en orbite circulaire de rayon RT autour de Saturne, on a :
T
dv v²
a .t .n
dt R
Donc :
2
tn
T
dv v
a et a
dt R
1.2.3 La force
F
est centripète (colinéaire à
n
), le vecteur accélération est lui aussi centripète. Il se réduit
donc à la composante normale an
n
.
1.3 Type de mouvement
1.3.1 Le vecteur accélération de Titan étant normal on a donc
t
dv
a 0
dt
, la valeur de la vitesse v de Titan
est donc constante. Le mouvement de Titan autour de Saturne est uniforme.
1.3.2 D’après la deuxième loi de Newton on a :
S S S
22
T T T
TT
G.M G.M G.M
v² v²
a= .n .n v²
R R R
RR
S
T
G.M
v R
2- D’autres satellites de Saturne :
2.1.1 Loi de Kepler
2 2 3 2 2
S S S
2 2 2 3 S
G.M G.M G.M
2 .R 4 .R R T 4
vT R R G.M
T T 4 R
2.1.2
3SS
32
2 2 2
G.M G.M
RR .T
T 4 4
S2
32
G.M
R .T
4
Soit : RE =
11 26 2
32
6,67x10 x5,69x10 x(1,37x3600x24)
4
= 2,38 x 108 m
3- Satellite saturno-stationnaire
3.1 Un satellite saturno-stationnaire reste à la verticale du même point. Sa période de révolution est égale à
la durée d’un jour sur Saturne. TC = TS.
3.2 Altitude de la sonde
3.2.1. On a vu à la question 2.1.2 :
S2
3
CC
2
G.M
R .T
4
où RC est le rayon de l’orbite de la sonde Cassini.
Or RC = RS + h et TC = TS donc :
S2
3SS
2
G.M
h .T R
4
3.2.2. h =
11 26 27
32
6, 67x10 x5,69x10 x(10x3600 39x60) 6, 0x10
4
= 5,2 x 107 m
Pensez à convertir TS en secondes, RS en m
+
+
S
T
F
u
t
n
Sens du
mouvement