Arbres et Arborescences: Théorie des Graphes - Chapitre de Cours

Table des matières
3 Arbres et arborescences 2
3.1 Définitions .................................. 3
3.2 Codage et décodage de Prufer ....................... 3
3.2.1 Codage ................................ 3
3.2.2 Décodage .............................. 4
3.3 Arbre couvrant ............................... 5
3.3.1 Arbre couvrant de poids minimum ................ 5
3.4 Arborescence de poids minimum ...................... 6
3.4.1 Définitions .............................. 6
3.4.2 Arborescence de coût min ..................... 7
3.5 Exercices ................................... 8
1

Chapitre 3
Arbres et arborescences
Contents
3.1 Définitions .............................. 3
3.2 Codage et décodage de Prufer .................. 3
3.2.1 Codage .............................. 3
3.2.2 Décodage ............................. 4
3.3 Arbre couvrant ........................... 5
3.3.1 Arbre couvrant de poids minimum ............... 5
3.4 Arborescence de poids minimum ................ 6
3.4.1 Définitions ............................ 6
3.4.2 Arborescence de coût min .................... 7
3.5 Exercices ............................... 8
2

3.1 Définitions
•On appelle arbre tout graphe connexe sans cycle.
•Un graphe sans cycle mais non connexe est appelé forêt.
•Une feuille ou sommet pendant est un sommet de degré 1.
Theorem 3.1. Les affirmations suivantes sont équivalentes pour tout graphe Gàn
sommets.
a. Gest un arbre,
b. Gest sans cycle et connexe,
c. Gest sans cycle et comporte n−1arêtes,
d. Gest connexe et comporte n−1arêtes,
e. chaque paire u,vde sommets distincts est reliée par une seule chaîne simple (et
le graphe est sans boucle).
3.2 Codage et décodage de Prufer
Le codage de Prufer (1918) a été proposé par le mathématicien allemand Ernst Paul
Heinz Prufer (1896-1934). Il permet coder un arbre T= (V, E)sous forme d’une suite
Sde n−2termes nombres choisis parmi 1, ..., |V|.
3.2.1 Codage
Soit l’arbre T= (V, E)tel que V={1,2, ..., n}. Le code Prufer de Tpeut être trouvé
en appliquant l’algorithme 1.
Algorithm 1: Codage d’un arbre
(1) Répéter tant qu’il reste plus de deux sommets dans l’arbre T:
a. identifier la feuille vde l’arbre ayant le numéro minimum ;
b. ajouter à la suite Sle seul sommet sadjacent à vdans l’arbre T;
c. enlever de l’arbre Tle sommet vet l’arête incidente à v.
3

3.2.2 Décodage
Algorithm 2: Décodage d’un arbre
Donnée : Suite Sde n−2nombres appartenant à I={1, ..., n}.
(1) Répéter a,bet ctant que S̸=∅et |I|>2:
a. choisir le plus petit élément i∈Itel que i /∈S;
b. ajouter [i, s]àEtel que sest le premier élément de la suite S;
c. enlever ide Iet sde S.
(2) Les deux éléments qui restent dans Iconstituent les extrémités de la dernière
arête à ajouter à T.
4

3.3 Arbre couvrant
Un arbre couvrant (aussi appelé arbre maximal) est un graphe partiel qui est aussi
un arbre.
3.3.1 Arbre couvrant de poids minimum
Soit le graphe G= (V, E)avec un poids associé à chacune de ses arêtes. On veut
trouver, dans G, un arbre couvrant A= (V, F )de poids total minimum.
Algorithm 3: Kruskal (1956)
Résultat : Arbre ou forêt maximale A= (V, F )de poids minimum.
Données : Graphe G= (V, E) (|V|=n, |E|=m)et un poids c(e)|e∈E.
(1) Trier et renuméroter les arêtes de G dans l’ordre croissant de leur poids :
c(e1)≤c(e2)≤...c(em).
(2) Poser F← ∅,k←0
(3) Tant que k < m et |F|< n −1faire :
— Si ek+1 ne forme pas de cycle avec Falors F←F∪ {ek+1}
—k←k+ 1
Remarque : S’il y a plusieurs arêtes de même poids, il peut y avoir plusieurs arbres
couvrants de poids minimum : tout dépend de l’ordre dans lequel ces arêtes ont été
triées.
Algorithm 4: Prim (1959) [Vojtech Jarnik (1930)]
Résultat : Arbre ou forêt maximale A= (V, F )de poids minimum.
Données : Graphe G= (V, E)et un poids c(e)pour chaque e∈E.
(1) Choisir un sommet quelconque dans G et le mettre dans un ensemble S ;
(2) Tant que S ne contient pas tous les sommets de G faire :
— Déterminer une arête [u, v]de coût minimum avec u∈Set v /∈S;
— Mettre cette arête [u, v]dans l’arbre et rajouter vàS.
5