coursetTddephysiquedeslasersP3-V2016(1) 124026

Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Cours
&
Travaux dirigés de Physique des lasers
Fait par
Dhaouadi Zoubeida
Années Universitaires 20102013
Programme du cours
1. Introduction à la physique des lasers
2
2. Interaction rayonnement matière - Détermination des coefficients d’Einstein et Effet laser
7
3. Cavité laser – Propagation des faisceaux Gaussiens et Modes de fonctionnement d’un laser 18
4. Références du cours
34
5. Exercices et Examens corrigés
35
1
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Chapitre I : Introduction à la physique des lasers
I/ Historique
-En 1905 Einstein découvre l’émission stimulée.
-En 1950 Shawlow et Townes découvrent le fonctionnement d’une cavité Fabry-Perrot et
mettent au point le premier Maser à ammoniac en 1958.
-En 1962 Maiman met au point le premier laser à Rubis.
Et depuis une foulée de lasers (lasers à gaz, lasers à solide, lasers à semi-conducteurs, lasers à
colorants, diodes lasers, …) est réalisée agissant en mode continu ou pulsé, émettant des
longueurs d’onde dans différents domaines spectraux (UV, visible, IR, …). Les lasers ont
permis d’accéder à plusieurs informations concernant la matière et à lire les mystères de
l’infiniment petit et aussi de découvrir l’infiniment grand, ils nous ont renseigné sur les faces
cachées de la matière et du monde jusque là inconnues. Toutes ces découvertes ont donné
naissance à un ensemble de prix Nobels liées de façon directe ou indirecte aux lasers.
Et depuis, différentes applications des lasers sont nées, ces applications sont liées à plusieurs
domaines :
- atomique : refroidissement des atomes par laser (1997 prix Nobel attribué à Claude CohenTannoudji) ou la spectroscopie de haute précision (2005 prix Nobel attribué à Roy J. Glauber)
- médical : en dermatologie (destruction des tumeurs, traitement de l’acné, dé-tatouage,
épilation, stimulation de la repousse des cheveux,…), en chirurgie (bistouri laser, …), en
ophtalmologie (traitement du glaucome, traitement du décollement de la rétine, rectification
de la courbure de la cornée, …).
- bâtiment : alignement des chantiers, mesure des distances, nettoyage des pierres, des
monuments et des sculptures, …
- industrie : gravures, perçage, soudage, stockage et lecture des données (disques lasers,
lecture des codes barres) …
Après 50 années d’histoire, les lasers sont partout et deviennent de plus en plus un outil
indispensable à notre vie quotidienne et c’est de la physique fondamentale que tout a démarré.
La recherche fondamentale a été à l’origine de la plupart des progrès industriels et techniques
actuels et sans cette recherche on peut dire à dieu au développement !!!
II/ Rappels :
1/Le rayonnement
 L’optique géométrique : traite la lumière en tant que rayons lumineux qui se déplacent
rectilignement dans les milieux homogènes, se réfléchissent et se réfractent à leur
interface. Une des propriétés d’interaction de la lumière avec la matière rend les objets
visibles ou invisibles à nos yeux (indice de réfraction : cette propriété est largement
utilisée en magie). Les instruments réalisés grâce à l’optique géométrique sont
nombreux : les miroirs, les projecteurs, les microscopes, les lunettes astronomiques et
les télescopes, les lunettes de vue et les lentilles de contact, la loupe, les appareils
photos, les fibres optiques pour le transport des informations …
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 L’optique ondulatoire : traite le rayonnement en tant qu’onde électromagnétique :
champs électrique couplé à un champ magnétique tous les deux oscillants, la direction
de propagation de l’onde est appelée vecteur d’onde⃗⃗k et ⃗E, ⃗B et ⃗k sont
perpendiculaires entre eux.
Une onde se propage et à chaque onde est associée une longueur d’onde  (mesurée en
mètre dans le système international), une période T (en seconde), une fréquence (en
Hertz : s-1).
La célérité du rayonnement dans le vide est c = 3.108m/s, sa vitesse V dans un milieu
d’indice de réfraction n est :
V=
c
n
La fréquence de l’onde est reliée à sa longueur d’onde  ou à sa période T par :
ν=
c
λ
=
1
T
Le rayonnement appartient à différents domaines spectraux, caractérisés par des
gammes de longueurs d’ondes allant de domaine vers les ondes radio. Le domaine
du rayonnement visible communément appelé lumière est encadré par l’ultra-violet
(UV) et l’infrarouge (IR) et a des longueurs d’onde comprises entre :
400nm < < 700nm
Les différents domaines spectraux du rayonnement (ou spectre électromagnétique) sont
représentés sur la figure ci-dessous. Chaque domaine spectral est caractérisé par des
fréquences et des énergies bien déterminées.
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Le rayonnement se comporte à la fois comme une onde et comme un corpuscule, le
corpuscule est un photon caractérisé par une énergie :
E = hν =
hc
λ
Où h est la constante de Planck (6,625.10-34J.s)
Cette loi est appelée loi de Planck, elle indique que tout rayonnement est porteur d’une
énergie qui est proportionnelle à sa fréquence et inversement proportionnelle à sa longueur
d’onde. Il est alors décrit par un flux de particules ‘photons’ (quanta d’énergie).
Le rayonnement est le messager de l’homme, il interagit avec la matière et donne accès à
différentes informations selon le domaine ou la région spectrale qui vont de l’infiniment petit
vers l’infiniment grand. Dans le domaine  on peut détecter les noyaux atomiques, dans le
domaine des rayons X, nous accédons aux transitions électroniques, les transmissions radio ou
télévision sont détectables dans le domaine radio...
2/ La matière
Nous avons vu que le rayonnement est quantifié et que cette onde peut agir comme
corpuscules ou grains de lumière. La matière peut aussi selon les circonstances se comporter
comme des ondes ou comme des particules. Cette dualité onde-corpuscule de la matière est
énoncée par Louis De Broglie en 1924 :
p=
h
λ
Où p = m V est la quantité de mouvement de la particule et est la longueur d’onde qui lui est
associée.
III/ Interaction matière-rayonnement
Lorsqu’ un rayonnement interagit avec la matière, il pourra être réfléchit, diffusé, absorbé,
transmis (corps transparent) ou émis.
Dans le cas particulier des métaux, quand ils sont soumis au rayonnement ils peuvent émettre
des électrons à condition que la fréquence des radiations à la quelle ils sont soumis soit
supérieure à un seuil caractéristique du métal (comme énergies de liaison des électrons au sein
des atomes). Cet effet est appelé ‘effet photoélectrique’ et a été expliqué par Albert Einstein
en 1905, en se servant de la théorie des quanta énoncé par Max Planck en 1900.
Tout échange entre la matière et le rayonnement se fait par des quanta d’énergies discontinues
ou quantifiés que sont les photons.
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« Une radiation lumineuse de fréquence ν se compose de particules indivisibles (quanta)
d’énergie hν ; elle ne peut être émise ou absorbée que par la création où l’annihilation
d’un tel quantum »
Dans cette partie nous allons nous intéresser particulièrement à l’absorption et à l’émission du
rayonnement par la matière.
Nous rappelons juste que tout atome a des niveaux d’énergies discrets ou quantifiés. Nous
allons au début nous intéresser à un système possédant deux niveaux d’énergie E1 et E2 (par
exemple E1 état fondamental et E2 état excité). N1 et N2 désignent respectivement les
populations du niveau 1 et 2 et g1 et g2 leurs dégénérescences respectives (On rappelle que la
dégénérescence d’un niveau d’énergie est le nombre d’états ou de fonctions d’ondes associées
à ce niveau énergétique).
A l’équilibre thermodynamique, la population des niveaux suit la loi de Boltzmann. Les
populations des 2 niveaux sont alors reliées par la relation ci-dessous:
N1 g1

e
N2 g2
  E1  E2 
kT
Dans le processus d’interaction du rayonnement de fréquence avec la matière, l’atome subit
une modification de son énergie d’une quantité E = E2 – E1 alors que le champ
électromagnétique (rayonnement) perd ou gagne un photon de fréquence :

E2  E1
h
Il existe 3 principaux processus d’interaction entre le rayonnement et la matière :
 l’absorption (gain du rayonnement par l’atome) : l’atome (ou électrons de l’atome)
passe du niveau inférieur E1au niveau supérieur E2 en absorbant le rayonnement h.
 L’émission (perte du rayonnement par l’atome) : tout état excité ne dure pas dans le
temps et l’atome a toujours tendance à retourner de manière spontanée à son état
fondamental en émettant un photon d’énergie h.
 L’émission stimulée : on peut provoquer le retour à l’état fondamental par apport d’un
rayonnement h. (ce processus est à l’origine de l’effet laser).
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Le schéma ci-dessus explique les trois modes d’interaction rayonnement-matière. Nous
remarquons que les processus d’absorption et d’émission stimulée nécessitent un
rayonnement extérieur, alors que l’émission spontanée se fait de manière ‘naturelle’ une
fois l’atome est dans un état excité.
IV/ Conclusion
Dans ce chapitre nous avons rappelé de manière très simple, quelques notions fondamentales
de l’électromagnétisme, de l’optique ondulatoire et de la physique quantique que l’étudiant
doit posséder avant de commencer le cours de physique des lasers. Nous allons traiter les
notions théoriques fondamentales relatives à l’étude des lasers et détailler quelques unes de
leurs applications dans les chapitres suivants.
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Chapitre II : Interaction rayonnement matière
Détermination des coefficients d’Einstein et effet laser
I/ Introduction
Le mot LASER vient de l’acronyme anglais ‘Light Amplification by Stimulated Emission of
Radiation’. Le principe de fonctionnement des lasers est basé sur l’émission stimulée du
rayonnement. Nous allons déterminer les probabilités des 3 modes d’interactions du
rayonnement avec la matière, émission spontanée, absorption et émission stimulée. Nous
allons également déterminer les relations entre ces différentes probabilités en écrivant les
équations de la dynamique des populations qui occupent les niveaux d’énergie du système.
Nous verrons par la suite sous quelles conditions arrive-t-on à favoriser l’émission induite.
L’étude se fera en premier sur un système à 2 niveaux, nous allons montrer qu’il présente des
inconvénients, nous présenterons par la suite les systèmes à 3 et 4 niveaux d’énergie, les
conditions nécessaires à la réalisation une inversion de population et avantager ainsi
l’émission laser dans ces deux systèmes.
II/ Coefficients d’Einstein
On appelle coefficients d’Einstein la probabilité d’absorption, d’émission spontanée ou
induite. Si on se place dans le cas d’un système à deux niveaux 1 et 2 tel que E1< E2, sous
l’effet d’un rayonnement h = E2– E1, l’absorption du rayonnement se fait du niveau 1 vers le
niveau 2 avec une probabilité notée ‘B12’, l’émission spontanée se fait du niveau 2 vers le
niveau 1 avec une probabilité notée ‘A21’ et l’émission induite se fait également du niveau 2
vers le niveau 1 avec une probabilité notée ‘B21’.
Nous avons vu que l’absorption et l’émission induite nécessitent un rayonnement extérieur
c’est la raison pour laquelle les deux coefficients d’Einstein relatifs à ces deux modes
d’interaction du rayonnement avec la matière sont appelés par la lettre ‘B’
Le coefficient d’Einstein qui a été déterminé en premier est celui relatif à l’émission
spontanée puisqu’il ne dépend d’aucun rayonnement extérieur il est juste lié à la durée de vie
de l’état excité.

Coefficient d’Einstein pour l’émission spontanée et dynamique des populations des
niveaux 1 et 2
Ce coefficient d’Einstein noté A21, il représente la probabilité qu’a un électron de passer
spontanément du niveau 2 au niveau 1. C’est le premier coefficient calculé par Einstein, il ne
dépend que de la durée de vie du niveau 2 et s’exprime en s-1. On se place, pour simplifier le
problème, dans le cas de deux niveaux non dégénérés (g1 =g2 =1). Les populations du niveau
1 est notée N1 et celle du niveau 2 est notée N2, ces population sont liées par :
(E1 −E2 )
N1
= e− k T
N2
(1)
Pendant un intervalle de temps dt, la population du niveau 2 varie de la quantité dN2 selon la
loi :
dN2 = −A21 N2 dt
(2)
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Le signe – indique une diminution de la population N2, pendant le même intervalle de
temps la population du niveau 1 augmente de la même quantité :
dN1 = A21 N2 dt
(3)
A cette transition électronique correspond un photon h, on peut bien comprendre que le
photon émis spontanément a une direction aléatoire (elle se fait dans toutes les directions on
dit qu’elle est isotrope) puisque son origine pourrait être les chocs entre atomes ce qui donne
naissance à des trains d’ondes qui n’ont aucune relation de phase entre eux. Cette émission est
dite incohérente.
Une intégration simple de l’équation 1 donne :
N2 = N20 𝑒 −A21 t
(4)
Le temps correspondant à N2 = N20/e est appelé durée de vie du niveau 2 :
τ=
1
A21
(5)
On peut l’obtenir en dessinant la fonction (4), en effet la tangente à la courbe à l’origine
coupe l’axe des temps en .
La durée de vie d’un niveau dépend des atomes qui le constituent, elle peut varier de la
seconde à ces sous unités (ms, s, .. .).

Coefficient d’Einstein pour l’absorption et dynamique des populations des niveaux
1 et 2
Rappelons que la transition s’effectue dans le sens 1 2 et que l’absorption se fait sous l’effet
d’une excitation extérieure (h), donc la probabilité pour qu’une absorption ait lieu dépend de
la densité de photons absorbée u, de la population N1 du niveau 1 de départ. Cette population
varie au cours du temps :
dN1 = −B12 uν N1 dt
(6)
Le signe – indique une diminution de la population du niveau 1 et le coefficient B12 est la
probabilité pour que cette absorption ait lieu, B12 est également le coefficient d’Einstein pour
l’absorption.
De la même manière que pour l’émission spontanée, la diminution de la population du niveau
1 engendre une augmentation de celle du niveau 2 :
dN2 = +B12 uν N1 dt
(7)
8
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
Dhaouadi Zoubeida
Coefficient d’Einstein pour l’émission stimulée et dynamique des populations des
niveaux 1 et 2
Cette émission dite stimulée ou induite est liée à la présence d’un rayonnement extérieur qui
forcera la désexcitation de l’atome du niveau 2 vers le niveau 1. Elle a été postulée
théoriquement par Einstein en 1917 afin de reproduire le modèle du corps noir de Planck,
nous verrons par la suite cette correspondance. L’observation expérimentale de l’émission
stimulée a été faite 11 années plus tard. C’est une émission qui est en compétition avec
l’absorption, tout dépend de la population des niveaux 1 et 2 et du rayonnement. Nous en
donnerons par la suite quelques exemples pour bien situer le problème.
La dynamique des populations ou aussi appelée équation d’évolution de la population du
niveau 2 pour l’émission induite est identique à celle de l’absorption à part que la transition se
fait dans le sens inverse (2 1) :
dN2 = −B21 uν N2 dt
(8)
Où B21 est la probabilité de la transition 2 1 ou coefficient d’Einstein relatif à l’émission
induite.
La perte de population du niveau 2 entraine une augmentation de la population du niveau 1 de
la même quantité :
dN1 = +B21 uν N2 dt
(9)
L’un des avantages de l’émission induite est que le photon émis est identique à celui qui a
provoqué son émission, il a sa direction, sa phase, sa polarisation et sa longueur d’onde. C’est
une émission de lumière cohérente. Le nombre de photons émis de façon induite augmente
avec l’augmentation de la population du niveau 2, et si cette population devient supérieure à
celle du niveau 1 l’émission stimulée l’emporte sur l’absorption et on aura une amplification
du rayonnement par émission stimulée d’où le nom ‘laser’.
II/ Relation entre les coefficients d’Einstein
Le corps noir a permis d’expliquer pas mal de phénomènes physiques souvent observés mais
dont on ignore l’origine par exemple le changement de couleur du fer quand on le chauffe (il
vire du rouge au jaune au bleu en fonction de l’augmentation de sa température de chauffage).
Le corps noir est une enceinte idéale qui absorbera toute l’énergie électromagnétique sans la
réfléchir ou la transmettre. Si ce corps absorbe toute l’énergie de l’onde électromagnétique
alors il doit paraitre noir. A l’équilibre thermodynamique où tous les atomes qui constituent ce
corps ont la même vitesse (on est alors dans le cas d’un corps parfaitement isolé du milieu
extérieur), seule la température détermine la distribution énergétique du rayonnement de ce
corps.
En 1900 Planck a postulé la loi de rayonnement du corps noir :
8𝜋ℎ𝜈 3
𝑢𝜈 =
𝑐3
1
(10)
ℎ𝜈
𝑒 𝑘𝑇 − 1
u étant la densité spectrale ou densité du rayonnement h, k est la constante de Boltzmann
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(k= 1,38.10-23 J.K-1) et T est la température en degré kelvin (K).
Cette loi a été confirmée expérimentalement, elle explique aussi bien le spectre continue du
soleil, le changement de couleur du fer chauffé, … et Einstein va donc tester son modèle en
essayant de la retrouver.
En tenant compte à la fois des trois processus : absorption, émission spontanée et émission
stimulée, la variation des populations des niveaux 1 et 2 s’écrit :
dN1 = + A21 N2 dt − B12 uν N1 dt + B21 uν N2 dt
(11)
dN2 = − A21 N2 dt + B12 uν N1 dt − B21 uν N2 dt
(12)
On remarque bien que :
dN1
dN2
= −
dt
dt
(13)
Et à l’équilibre thermodynamique rien ne varie plus alors :
dN1
dN2
= −
=0
dt
dt
(14)
N1
=
N2
(15)
Ce qui entraine :
A21 + B21 uν
B12 uν
En se servant de la relation (1) on aboutit à :
A21 + B21 uν
B12 uν
ℎ𝜈
= 𝑒 𝑘𝑇
(16)
Ce qui implique que la densité spectrale d’énergie u est donnée par :
uν =
A21 /B21
B12 ℎ𝜈
B21 𝑒 𝑘𝑇 − 1
(17)
La relation (17) peut correspondre à la loi de Planck (équation 10) en posant :
A21
8 𝜋ℎ𝜈 3
=
B21
𝑐3
(18)
B12
=1
B21
(19)
Et :
Les relations (18) et (19) montrent clairement que le coefficient B21 est nécessaire (c’est pour
cette raison que Einstein avait postulé son existence). Elles montrent aussi que les probabilités
d’émission induite ou d’absorption dépendent de la fréquence du rayonnement et augmentent
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ou diminuent en relation avec l’émission spontanée et en fonction du domaine spectral du
rayonnement.
La relation (19) montre également, qu’à l’équilibre thermique la probabilité de l’émission
induite et celle de l’absorption sont identiques et qu’il y a donc compétition entre les deux, on
se demande alors dans quelles conditions peut-on aboutir à favoriser l’émission stimulée ???
Si la population totale du système est N atomes telles que N1 atomes sont dans le niveau 1 et
N2 atomes dans le niveau 2 alors :
N = N1 + N2
(20)
Nous pouvons alors déduire la population du niveau 1 et celle du niveau 2 en fonction de N en
se servant des relations (11) ou (12) et (14) et (20):
N1 =
A21 + B21 uν
N
A21 + (B12 + B21 ) uν
(21)
N2 =
B12 uν
N
A21 + (B12 + B21 ) uν
(22)
Les relations (21) et (22) montrent que si la densité spectrale de rayonnement tend vers
l’infini alors N1 et N2 tendent vers N/2. On remarque également à l’instant initial quand u est
nul alors N1 = N et N2 = 0.
III/ Conditions de réalisation d’une inversion de population et amplification
du rayonnement par émission stimulée
Nous avons vu qu’à l’équilibre thermodynamique l’inversion de population des niveaux 1 et 2
est impossible à réaliser, le niveau le plus bas énergétiquement est celui qui est toujours le
plus peuplé (relation 1). Ce qui rend compte de l’impossibilité de réaliser un laser si on se
restreint à cette condition. Il faut donc essayer de trouver dans quelles situations peut-on
privilégier l’émission stimulée par rapport à l’absorption ou à l’émission spontanée.
 En ce qui concerne le milieu matériel il faut bien le choisir, par exemple chercher des
milieux dont le temps de vie des états excités est relativement grand pour désavantager
le retour rapide à l’état fondamental par émission spontanée ce qui dépeuple
rapidement le niveau excité.
 Il faut également mettre le milieu dans les bonnes conditions de température et de
pression (pour les gaz). En effet nous avons vu que l’émission stimulée et l’absorption
ont des chances égales (B21 = B12), donc afin de favoriser l’émission induite il faut
jouer sur la population du niveau E2 et l’augmenter (N2>N1). Ce peut se faire en allant
vers les hautes températures ce qui permet d’augmenter la population du niveau 2.
Une basse pression est nécessaire quand le milieu est un gaz ce qui permet de
diminuer les collisions entre atomes du milieu et désavantage le dépeuplement du
niveau 2 par émission spontanée.
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 Afin d’avantager également l’émission induite, il faut éclairer le milieu avec un
grand nombre de photons afin de l’obliger à émettre de façon provoquée et non
spontanée. Pour le faire il faut mettre le milieu éclairé dans une cavité de manière à
ce qu’il soit toujours en présence de photons identiques. La cavité sera étudiée dans
le chapitre suivant.
1-Inversion de population
Une inversion de population est obtenue quand la population de l’état excité devient
supérieure à celle du niveau de basse énergie. Cette technique d’inversion de population se
réalise par un pompage. Le pompage pourrait être fait par décharge électrique, par une
lumière, …. Le pompage consiste à obliger les atomes à aller d’un niveau de basse énergie
vers un niveau excité par le biais d’une excitation extérieure. La première technique de
pompage a été découverte par le physicien Alfred Kastler en 1950 et s’appelle pompage
optique pour lequel il a reçu le prix Nobel de physique en 1966. Il consiste à inverser les
populations (ramener plus d’atomes vers les niveaux excités) par irradiation lumineuse.
Pour qu’un effet laser se produise entre les niveaux i et j, la transition laser est dans le sens
ji, il faut qu’il y ait obligatoirement une inversion de population entre les niveaux i et j :
Nj > Ni
(23)
La condition (23) est nommée condition d’inversion de population ou condition
d’amplification. En écrivant la dynamique ou les équations d’évolution des populations des
niveaux mis en jeu (ici i et j) on détermine une relation entre Ni et Nj ce qui permet d’aboutir
à la relation d’amplification optique du rayonnement ou condition de fonctionnement d’un
laser.
Dans le cas d’un système à 2 niveaux impossible de réaliser la condition (23) puisqu’au plus
on arrive juste à égaliser les populations des niveaux 1 et 2.
La première idée est de choisir un système dont le nombre de niveaux est supérieur à deux, on
peut par exemple imaginer soit un système à 3 niveaux l’état fondamental et deux états
excités, soit un système à 4 niveaux.
2- Lasers à 3 niveaux
Rapide, non radiative
Pompage
Effet laser
Principe de fonctionnement d’un laser à 3 niveaux
Dans ce cas, le pompage optique se fait du niveau fondamental 1 vers le niveau 3, le niveau 3
se désexcite rapidement vers le niveau 2 par une transition non radiative. Le niveau 2 en
général est dit métastable (durée de vie plus longue que celle de 3). Ainsi au bout d’un certain
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Cours physique des lasers –P3
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temps la population du niveau 2 devient supérieure à celle de 1. La transition laser
(amplification optique du rayonnement) se fait alors du niveau 2 vers le niveau 1. Quelques
lasers fonctionnent sur ce principe. Le principal inconvénient des lasers à 3 niveaux est que
dès que l’effet laser a lieu, le niveau fondamental (1) se remplie rapidement et on perd
l’inversion de population.
 Evolution des populations
Soit N la population totale des 3 Niveaux 1, 2 et 3 (N = N1 + N2 + N3). La probabilité
d’absorption de la pompe est notée p, on notera p = p u’ la probabilité d’absorption par
unité de temps relative à la transition 13, u’représente la densité de rayonnement absorbée
au cours de cette transition. Les probabilités d’absorption et d’émission stimulée entre les
niveaux 1et 2 sont notées B et celle de l’émission spontanée A. La probabilité des transitions
non radiatives entre les niveaux 3 et 2 est notée . Le pompage résonne avec la transition 13
et l’effet laser se produit entre les niveaux 2 et 3, la densité du rayonnement relative à la
transition 12 est notée u. Le schéma ci-dessous illustre ces différentes notations.
3

2
p
A
B
1
Les équations d’évolutions relatives au niveau 1, 2 et 3 et reproduisant le schéma cidessus sont :
dN1 = −p N1 dt − B uν N1 dt + A N2 dt + B uν N2 dt
(24)
dN2 = − A N2 dt − B uν N2 dt + B uν N1 dt + γ N3 dt
(25)
dN3 = −γ N3 dt + p N1 dt
(26)
On a toujours :
dN1
dt
+
dN2
dt
+
dN3
dt
=0
(27)
A l’équilibre thermodynamique nous avons à partir de la relation (26) :
p
N3 = γ N1
(28)
13
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Or la transition 32 se fait très rapidement ce qui implique que  est très grand et ainsi N3
tend vers zéro.
Nous pouvons alors déterminer une relation entre N1 et N2 en utilisant la relation (24) qui fait
apparaitre la probabilité d’absorption 13 par unité de temps de la pompe :
(p +B uν )
N2 = (A +B u ) N1
ν
(29)
N
Ainsi pour avoir une inversion de population c’est à dire N2 > 1 il faut :
1
p > 𝐴 (30)
Afin de réaliser l’effet laser dans un système à 3 niveaux il faut donc pomper fortement, ce
qui présente l’un de ses inconvénients.
 Exemple d’un laser à 3 niveaux : laser à Rubis
Le premier laser découvert est le laser à rubis (solide), qui est un laser à 3 niveaux. Le
milieu amplificateur est l’ion Cr 3+ placé dans une matrice d’alumine Al2O3 :
- Il présente deux grosses bandes d’absorption très larges qui couvrent le domaine visible et
qui sont capables d’absorber efficacement la lumière blanche d’un flash.
-Les états excités correspondants à ces bandes perdent très vite (10-7 s) leur énergie
potentielle au profit de l’état métastable (longue durée de vie 3 ms).
-L’effet laser se produit entre l’état métastable et le niveau fondamental, et l’émission laser se
fait dans le rouge à la longueur d’onde 694 nm.
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2- Lasers à 4 niveaux
Rapide, non radiative
Pompage
Effet laser
Rapide, non radiative
Principe de fonctionnement d’un laser à 4 niveaux
Pour les lasers à 4 niveaux, le pompage optique se fait du niveau fondamental 1 vers le niveau
4, le niveau 4 a une courte durée de vie et se désexcite rapidement vers le niveau 3 par une
transition non radiative. Le niveau 3 est métastable (longue durée de vie) et la transition laser
s’effectue entre les niveaux 3 et 2. Le niveau 2 ayant une courte durée de vie se vide
rapidement vers le niveau 1, ce qui permet toujours à la population du niveau 3 de rester
supérieure à celle de 2 et l’effet laser dure. Les systèmes à 4 niveaux corrigent les problèmes
observés dans le cas des lasers à 3 niveaux. Ils sont les plus utilisés.
 Evolution des populations
Soit N la population totale des 4 Niveaux (N = N1 + N2 + N3 + N4). La probabilité
d’absorption de la pompe est notée p, on notera p = p u’v la probabilité d’absorption par
unité de temps relative à la transition 1  4 et u’v est la densité du rayonnement absorbée lors
de cette transition. Les probabilités d’absorption et d’émission stimulée entre les niveaux 3 et
2 sont notées B et celle d’émission spontanée A. La probabilité des transitions non radiatives
entre les niveaux 4 et 3 est notée celle relative à la transition non radiative 2 1 est notée ’.
Le pompage résonne avec la transition 14 et l’effet laser se produit entre les niveaux 3 et 2,
la densité du rayonnement relative à la transition 23 est notée u. Le schéma ci-dessous
illustre ces différentes notations.
15
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
4

3
p
B
A
2
’
1
Les équations d’évolution relatives au schéma ci-dessus sont alors :
dN1 = −p N1 dt + ′ γ′ N2 dt
(31)
dN2 = + A N3 dt + B uν N3 dt − B uν N2 dt − γ ′ N2 dt
(32)
dN3 = − A N3 dt − B uν N3 dt + B uν N2 dt + γ N4 dt
(33)
dN4 = +p N1 dt − γ N4 dt
(34)
A l’équilibre thermodynamique les relations (31) et (34) donnent respectivement :
p
N2 = γ′ N1
p
(35) et N4 = γ N1
(36)
Comme  est très grand (transition rapide) donc N4 tend vers zéro et ’ très grand donc
également N2 tend vers zéro. Les deux niveaux 4 et 2 se vident très rapidement ce qui garantit
une inversion de population entre les niveaux 3 et 2 et ne nécessite pas un pompage intense
comme dans le cas d’un laser à 3 niveaux.
N
En écrivant que le rapport N3 > 1, nous obtenons à partir de la relation (32) ou (33) :
2
’ > A ce qui est tout à fait vrai et permet au niveau 2 de se dépeupler rapidement et c’est ce
qui permet de réaliser l’inversion de population.
 Exemple d’un laser à 4 niveaux : laser Hélium-Néon ( He-Ne)
Ci-dessous est le schéma de fonctionnement du laser à 4 niveau He-Ne :
16
Cours physique des lasers –P3
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Un mélange de gaz d’hélium et de néon à des proportions 10 :1 est nécessaire, ce mélange est
introduit dans un tube en verre, à basse pression. Le pompage de ce laser se fait soit par
décharge électrique, qui excite l’hélium et le porte au niveau triplet ou à un niveau singulet.
Ces niveaux sont proches énergétiquement des niveaux 4s ou 5s du néon vers lesquels les
électrons peuvent se désexciter par collision. Les niveaux 4s et 5s du néon sont métastables.
L’effet laser dans ce cas peut produire une longueur d’onde dans l’infrarouge à 3.39 m (la
première à être découverte), une longueur d’onde dans l’infrarouge à 1.15 m et également
une longueur d’onde dans le visible de couleur rouge à 632.8 nm.
Ce laser est très populaire il est largement utilisé dans l’industrie, les chantiers,
l’enseignement et la recherche scientifique pour les alignements optiques, pour l’étude des
interférences et de la diffraction…
IV/ Conclusion
Dans ce cours, nous avons vu comment on peut faire laser un milieu en présence d’un
rayonnement et quelles sont les conditions nécessaires concernant les populations des niveaux
mis en jeu et le pompage. Nous avons pris deux exemples concrets celui d’un laser à 3
niveaux et celui d’un laser à 4 niveaux, nous avons démontré que ce dernier est bien plus
fonctionnel et avantageux à l’inversion de population.
Nous avons vu que l’inversion de population est une condition nécessaire à l’obtention d’un
effet laser et à l’amplification du rayonnement par émission stimulée, mais cette condition à
elle seule n’est pas suffisante à la réalisation pratique d’un laser, afin d’obtenir une importante
amplification du rayonnement, il faut mettre le milieu amplificateur dans un résonateur qui
permettra à la lumière cohérente produite par émission stimulée de faire plusieurs aller et
retour dans le milieu et de l’amplifier considérablement. Cet amplificateur est un résonateur
optique qui se présente sous la forme d’une cavité Fabry-Perrot et qui sera étudié au cours du
prochain chapitre.
17
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Chapitre III : Cavité laser - Propagation des faisceaux gaussiens
et Modes de fonctionnement d’un laser
I/ Introduction
Un laser est formé d’un milieu actif (choix judicieux comme vu dans le chapitre II) qui se
présente sous forme d’un gaz, ou d’un liquide ou d’un solide. Le milieu est excité de
l’extérieur et est soumis à un pompage permettant d’inverser ses populations et d’avantager
l’émission stimulée. Ce pompage pourrait-être un pompage optique, une décharge électrique,
des collisions, des réactions chimiques, …). Tous ces paramètres avantagent l’émission laser
mais ne suffisent pas à faire un concentré de lumière cohérente. Afin d’augmenter le nombre
de photons cohérents, il faut placer le milieu dans une cavité optique qui se présente sous
forme de deux miroirs l’un totalement réfléchissant et l’autre partiellement réfléchissant
(laissant sortir la lumière laser). Ainsi les photons cohérents générés dans le milieu sous
l’effet du pompage pourrons faire plusieurs allers- retours dans la cavité et participer à
générer de nouveaux photons en augmentant les photons cohérents dus à l’émission induite.
Ci-dessous un schéma expliquant le principe de fonctionnement d’un laser.
Figure 1 : Principe de fonctionnement d’un laser
II/ Cavité optique
La cavité optique utilisée est une cavité Fabry Perrot appelée aussi ‘résonateur optique’
(amplification du rayonnement), le milieu actif est placé entre deux miroirs, l’un réfléchi
totalement la lumière et l’autre laisse passer juste une partie. La cavité doit être
judicieusement choisie : nature des miroirs (plans, sphériques (concaves ou convexes),
mélange entre plan et sphérique) et longueur de la cavité. Ces paramètres influencent le
nombre ou le flux de photons émis à la sortie.
1-Types de cavités
Dans le schéma ci-dessus, nous avons montré 5 types de cavités :
18
Cours physique des lasers –P3
a-cavité plane
d-cavité concave-convexe
b-cavité hémisphérique
Dhaouadi Zoubeida
c-cavité confocale
e-cavité sphérique
Figure 2 : Différents types de cavités
a/ Cavité plane : formée de 2 miroirs plans, en effet tous les rayons parallèles feront plusieurs
allers- retours sans s’échapper d’en haut à la cavité, mais des rayons quelconques vont se
réfléchir (i = r) et la pertes du rayonnement par la cavité sera rapide. Dans le cas de ce genre
de cavité, il peut également exister des pertes par diffraction donc une partie de la lumière
échappe. Les cavités plan-plan sont très sensibles au réglage (non parallélisme parfait des
miroirs plans).
b/ Cavité hémisphérique : elle est formée d’un miroir concave et d’un miroir plan. Le miroir
concave va faire converger les rayons lumineux vers son foyer (qui est du côté de son centre
optique) donc va laisser s’échapper moins la lumière. Un miroir concave est avantageux
puisqu’il est convergent et permet ainsi de diminuer la divergence du faisceau par diffraction.
c/ Cavité confocale : formée de deux miroirs concaves dans ce cas particulier, les deux
miroirs ont le même foyer et sont placés à une distance L = R1= R2. Cette cavité fait
converger les rayons lumineux des deux côtés et concentre plus le rayonnement vers son
centre (le foyer commun des deux miroirs).
d/ Cavité concave-convexe : formée d’un miroir concave et d’un miroir convexe, le miroir
concave fait converger la lumière vers son foyer, alors que celui convexe la fait diverger en
semblant provenir de son foyer donc aussi des pertes. Ce genre de cavités est conseillé dans
certains cas où une forte focalisation de la lumière (grande énergie) pourrait détruire le milieu
amplificateur.
e/ Cavité sphérique : formée de deux miroirs concaves ce qui fait deux foyer différents donc
toute une plage de focalisation de la lumière autour de l’axe de la cavité. Si L = R 1 + R2 alors
la cavité est dite concentrique (même centre de courbure pour les deux miroirs). Une bonne
manière de s’affranchir des problèmes de réglage et de pertes par diffraction dues aux cavités
plan-plan est d’utiliser les cavités sphériques.
19
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
 Le type de cavité est choisi selon les besoins de l’application ou de l’expérience à
faire, par exemple si la puissance lumineuse est trop grande il ne faut pas choisir une
cavité qui focalise trop le faisceau laser dans le milieu amplificateur au risque de le
détruire.
 Le type de cavité doit être bien choisi en fonction des pertes produites par la cavité et
de la stabilité de cette cavité. Une cavité est dite stable si elle peut confiner la lumière
pour certaines positions des deux miroirs et évite le plus possibles les pertes.
Une cavité est dite aussi stable si les rayons lumineux la traversant ne s’échappent pas trop en
la parcourant sur plusieurs allers-retours et après plusieurs réflexions (guide d’onde). La
stabilité d’une cavité se mesure également par un bon remplissage optique de la cavité c'est-àdire l’extension spatiale du faisceau dans la cavité remplit le maximum du volume du milieu
actif. Le problème est que pour confiner le maximum de rayons lumineux autour de l’axe
optique de la cavité on aboutit à un faible volume de remplissage de la cavité (exemple cavité
confocale). Si on prend l’exemple de la cavité plane c’est le maximum de volume de
remplissage (étendu sur toute la cavité) qu’elle offre, cette cavité semble être la plus stable
mais réellement ce n’est pas le cas puisque un léger dérèglement des miroirs aboutit à
l’échappement du faisceau de la cavité au bout de quelques allers-retours. En général un
assemblage de miroirs sphériques est souhaitable puisque ces miroirs font converger toujours
les rayons vers l’axe. Une cavité du type confocale n’est pas très stable puisque elle offre un
volume de remplissage très petit. Une cavité du type sphérique est généralement stable, elle
permet de localiser les rayons autour de l’axe optique et offre un bon volume de remplissage.
 La bonne cavité est choisie en fonction du meilleur compromis entre le volume du
remplissage du milieu actif, celui du confinement des rayons lumineux autour de l’axe
de la cavité et le moins de pertes (par diffraction, par réflexions, par diffusion sur les
surfaces des miroirs (choisir des miroirs bien polis), par diffusion dans un milieu actif
non parfaitement homogène, par absorption (surfaces des miroirs), …).
2/ Conditions de stabilité des cavités
a- Représentation des cavités par les matrices de transfert ABCD
Dans ce qui suit nous restons dans le cadre de l’approximation paraxiale (ou approximation de
Gauss) c'est-à-dire que les rayons doivent rester proches de l’axe optique. Nous allons donc
dans tout ce qui suit considérer que sin≃ tg≃
Pour simplifier le problème, nous allons traiter le cheminement des rayons lumineux par
l’optique matricielle. Le formalisme de la matrice ABCD, consiste à représenter tout rayon
lumineux par son élévation par rapport à l’axe optique (r) et son inclinaison par rapport à
l’axe optique . La matrice ABCD est une matrice (2x2) qui relie (rs,s) à la sortie de
n’importe quel composant optique à (re,e) à l’entrée du même composant. Si le système
optique (SO) est composé de plusieurs éléments optiques, la matrice totale est le produit des
matrices relatives à chaque élément à part.
20
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
e
s
Système
rs
re
Optique
(SO)
Ce système optique est représenté en formalisme matriciel par :
r
A B re
( s ) = (
)( )
θs
θe
C D
Exemples de matrices ABCD :

Matrice de propagation d’un rayon lumineux
Le rayon lumineux se propage sur une distance z dans son milieu d’origine, son
orientation (ou inclinaison par rapport à l’axe des z) reste toujours la même ce qui
implique que :
e = s
d
e
rs
re
𝑧
z
Nous avons également :
rs = re +d = re +z tg e
Ce qui donne pour les faibles inclinaisons :
21
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
rs = re +z e
La matrice de transfert associée à cette propagation est alors :

r
1 z re
( s ) = (
)( )
θs
θe
0 1
Matrice de propagation d’un rayon lumineux dans un milieu d’indice n
d
s
e
rs
re
n1
n2
𝑧
z
Le rayon lumineux se propage sur une distance z dans le milieu d’indice n2, son
orientation s (ou inclinaison par rapport à l’axe des z) reste toujours la même (dans
son milieu d’origine) sur la distance z de son trajet, mais il provient du milieu n1 où
son inclinaison e (ou angle d’incidence) est reliée à s (ou angle de réfraction) par la
loi de Descartes :
n1 sin e = n2 sins
ce qui donne dans le cas de l’approximation de Gauss :
n1e = n2s
Nous avons également :
rs = re +d = re +z tg s
Ce qui donne pour les faibles inclinaisons :
𝐧
rs = re +z s = re +z 𝒏𝟏 e
𝟐
ainsi on peut relier l’élévation et l’inclinaison par rapport à l’axe à l’interface séparant le
milieu d’indice n1 du milieu d’indice n2 : c'est-à-dire (re, n1e) à (rs, n2s), lors d’une
propagation sur une distance z dans le milieu n2 par une relation matricielle, la matrice
associée à cette propagation dans le milieu d’indice n2 est:
z
rs
re
1
(n θ ) = (
𝑛2 ) (n θ )
2 s
1 e
0 1
22
Cours physique des lasers –P3

Dhaouadi Zoubeida
Matrice ABCD relative au passage d’un rayon lumineux à travers une lentille
mince de focale f
s
e
e
re
rs
rf
f
Plan focal
Le rayon lumineux qui touche la lentille à sa surface d’entrée possède l’inclinaison e,
il est éloigné de l’axe optique de la lentille mince par une élévation re. La lentille est
considérée comme mince ce qui implique que le rayon lumineux à la sortie de la
lentille rs aura la même élévation par rapport à son axe optique donc :
re = rs
Son orientation change puisque la lentille le fait converger vers l’axe, cette orientation
est notées.
Nous savons qu’une lentille fait converger tous les rayons vers son plan focal, si le
rayon de départ est parallèle à l’axe, il touchera le plan focal au foyer principal situé
sur l’axe optique, s’il n’est pas dès le départ parallèle à l’axe il touchera le plan focal
en un point hors de l’axe (cas dessiné sur la figure, l’élévation par rapport à l’axe est
rf). Nous pouvons établir facilement la matrice ABCD soit à partir de la construction
faite dans la figure ci-dessus soit plus simplement en énonçant les 3 propriétés pour
une lentille mince :
 La lentille est mince donc :
rs = A re +Be = re ce qui implique que A =1 et B = 0
 Le rayon passant par le centre de la lentille n’est pas dévié :
s = C x 0 +De = e donc D =1
 Un rayon parallèle à l’axe coupera l’axe à la sortie de la lentille en f :
r
s = C re +D x 0 = − fe (le signe – représente l’orientation de l’angle de sortie) ce qui
1
implique que C = − f
23
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
1 0 r
r
( s ) = ( 1
)( e )
θs
θe
−
1
f

Matrice ABCD relative à un miroir de rayon de courbure R
Le miroir possède un rayon de courbure R = 2f ce qui donne pour un miroir la matrice de
transfert :
1
( 2
−
R
0
)
1
Les différentes matrices ABCD déterminées dans cette partie du cours vont servir à
reconstruire la matrice de transfert totale d’une cavité et à déterminer sa condition de
stabilité.
b- Condition de stabilité des cavités
Représentation d’une cavité de longueur L formée par deux miroirs sphériques de rayons R1
et R2 par la matrice ABCD.
Lors d’un aller- retour dans la cavité, un rayon lumineux va faire un trajet de longueur L dans
le vide avant de frapper le miroir M2 de la cavité de rayon de courbure R2 qui le réfléchit, et
fait encore une fois le trajet L dans le vide pour atteindre le miroir M1de rayon de courbure R1
qui le réfléchit également. La matrice totale M associée à se tour de cavité est :
M = M 1 P M2 P
Où P est la matrice ABCD associée à la propagation dans la cavité de longueur L, M1 et M2sont
les matrices de transfert relatives aux réflexions par les miroirs M1 et M2.
1
M = (− 2
R1
1
M = (− 2
R
1
𝐿
1
2L ) (
2
1− R
−R
1
2
0 1 L
1
2
)
(
)
(
1 0 1 −R
2
0 1 L
1) (0 1)
2L2
2L
1− R
2𝐿 − R
𝐿
2
2
2L ) = (
)
1− R
2
2
2L
2L
2L
2L
− R − R (1 − R ) − R + (1 − R ) (1 − R )
2
1
2
1
1
1
2
La condition de stabilité de la cavité est donnée par la demi-trace de la matrice M :
-1 ≤
A+D
≤1
2
Ce qui donne :
0 ≤ (1 −
𝐿
𝐿
) (1 −
)≤1
𝑅1
𝑅2
𝐿
𝐿
1
2
Nous pouvons poser g1 = (1 − 𝑅 ) et g2 =(1 − 𝑅 ) ce qui conduit à :
0 ≤ g1 g 2 ≤ 1
24
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
La courbe g1 = f (g2) est tracée ci-dessous (Figure 4), tout l’espace coloré en noir représente la
zone de stabilité des cavités. Quelques cas particulier sont représentés sur cette figure (cavité
confocale, cavité plan-plan, cavité concentrique).
Figure 4 : Conditions de stabilité d’une cavité
Une cavité est dite stable, si un rayon la traversant sur un trajet d’un aller retour reste confiné
près de l’axe optique de la cavité. Si ce rayon diverge alors la cavité est dite instable.
Conditions de stabilité pour les 5 cavités utilisées auparavant:
a/ Cavité plane : R1 =R2 =∞ la condition de stabilité donne 1 donc stabilité marginale (limite)
b/ Cavité hémisphérique : R2 = ∞ et R1 donc la cavité est stable pour L < R1
c/ Cavité confocale : L = R1= R2 la condition de stabilité donne zéro donc stabilité marginale
(limite).
e/ Cavité concentrique : formée par deux miroirs concaves tel que R1+ R2 = L cette cavité est
également à la limite de la zone de stabilité, mais quand L >R1ou R2 le cas général d’une
cavité sphérique alors on obtient une cavité stable
3- Modes de résonance d’une cavité
Dans une cavité vide (ne contenant pas le milieu actif), la lumière va faire plusieurs allersretours en subissant des réflexions sur les miroirs. Les ondes issues de cette lumière vont
interférer constructivement ou destructivement entre elles et seules quelques longueurs
d’ondes et les ondes qui leurs sont associées vont être présentes dans la cavité. Ces ondes ou
ces longueurs d’ondes sont appelées les modes de résonance de la cavité et dépendent
également du type de la cavité choisie.
 Modes longitudinaux
Les ondes qui n’échappent pas à la cavité ou qui ne se détruisent pas par interférences
destructives ont des longueurs d’ondes qui sont en relation directe avec la longueur de la
cavité L. Ces modes de résonance ou propres sont tel que :
q = 2L
25
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
où q est un entier, cette condition est prise sur un aller-retour dans la cavité, le schéma cidessous montre quelques ondes parcourant la cavité de longueur L, on remarque bien qu’au
bout de quelques allers-retours les modes non résonnants auront bien une intensité nulle.
L
Figure 5 : ondes dans la cavité
ν=q
c
2L
où représente la fréquence des modes propres longitudinaux de la cavité. Les modes propres
de la cavité sont représentés sur la figure ci-dessous, on représente également l’intervalle
spectral libre qui est l’écart en fréquence entre deux modes propres longitudinaux
successifs de la cavité.
=c/2L
q

q+1
Figure 6 : Modes longitudinaux de la cavité
 Modes Transverses Electro-Magnétiques
En réalité la cavité a trois dimensions, l’onde se propage dans la cavité selon l’axe des z mais
cette onde est représentée par une gaussienne tant qu’on reste dans l’approximation de Gauss
(onde sphérique qui s’approche de l’onde plane si les faisceaux ne sont pas trop écartés de
l’axe de propagation (écart maximum de 30°)). Une onde est dite gaussienne si son amplitude
est caractérisée par une fonction gaussienne.
En partant d’une onde plane monochromatique se propageant sur l’axe des z :
𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒 𝑖𝑘𝑧 = 𝐴(𝜌, 𝑧)𝑒 𝑖𝑘𝑧
Avec 𝜌 = √𝑥 2 + 𝑦 2
26
Cours physique des lasers –P3
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𝜌 représente la distance du front d’onde par rapport à l’axe des z.
Pour que le faisceau représentant cette onde soit gaussien il faut que :
𝐴(𝜌, 𝑧) = 𝐴0 (𝑧) 𝑒
−
𝜌2
𝑤(𝑧)2
W(z) est une distance (se rappeler que le rapport dans l’exponentielle est sans dimensions),
elle représente le rayon de la section droite du faisceau gaussien à la distance z. Une
gaussienne est représentée par :
Figure 7 : Allure d’une gaussienne
Cette onde gaussienne associe à chaque mode longitudinal q (représente l’onde qui se propage
selon z) des modes Transverses Electro-Magnétiques notés TEMnp. Ces modes transverses
représentant la distribution gaussienne en x et y de l’onde. Le mot transverse implique que le
mode décrit est distribué dans une direction transverse ou perpendiculaire à l’axe de
propagation.
Plusieurs modes TEMnp peuvent être observés, La répartition de l’intensité de quelques uns de
ces modes dans le plan (x,y) est représentée sur la figure ci-dessous :
Figure 8 : Répartition en intensité (selon les axes x et y) pour quelques modes TEMnp
Les indices n et p indiquent respectivement le nombre de minima (intensité zéro) relatifs
respectivement aux coordonnées x et y. Pour le mode TEM00 pas de minima dans les deux
27
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
directions, pour le mode TEM10 un minimum dans la direction x et aucun minimum dans la
direction y (Figures 8 et 9).
Pour les lasers le mode prépondérant est le TEM00, mais il suffit d’un léger déréglage de la
cavité pour observer quelques uns des autres modes.
Figure 9 : Cliché représentant une coupe transversale de quelques modes TEMnp
4- Propagation des faisceaux Gaussiens dans la cavité
Les faisceaux lumineux se propageant dans la cavité sont très peu éloignés de l’axe optique et
donc ayant un profil gaussien, onde sphérique presque plane (amplitude gaussienne). Nous
avons caractérisé ce profil gaussien de l’onde auparavant par son amplitude gaussienne selon
les axes transverses à la propagation de l’onde. Nous allons montrer l’intérêt de son utilisation
dans cette partie.
Figure 10 : Définition des paramètres des faisceaux gaussiens
Un faisceau gaussien est un faisceau qui a un front d’onde qui n’est pas parfaitement plan, il
est peu divergent (divergence égale à la moitié de l’angle représenté sur la figure 10), il a
une largeur minimale ou taille minimale (éloignement par rapport à l’axe des z en z =0), cette
taille minimale est appelée ‘waist’, au waist l’onde est presque plane, cette taille augmente en
28
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
fonction de la distance z et notée en chaque z : w(z) et le front d’onde commence à se courber
et se rapprocher d’une onde sphérique au fur et à mesure de l’éloignement (Figure 10).
Pour un faisceau gaussien, on définit également une longueur appelée la longueur de rayleigh
et notée ZR, cette distance correspond à un élargissement du faisceau égal à √2 w0 . Cette
longueur ZR est représentée sur le schéma ci-dessous et la distance b = 2 ZR.
La distance de Rayleigh est reliée au ‘waist’ par la relation ci-dessous, ces deux grandeurs
sont des paramètres caractéristiques des faisceaux gaussiens.
πw02
zR =
λ
Cette longueur de Rayleigh montre que dès qu’on dépasse ZR le faisceau gaussien commence
à s’élargir d’une manière linéaire.
La distribution du rayon du faisceau par rapport à l’axe est hyperbolique et elle tend à devenir
linéaire quand z devient grand devant ZR, cette distribution est alors représentée par la
fonction :
z2
W(z) = w0 (1 + 2 )1/2
zR
Et pour z >> zR alors :
z
λz
W(z) = w0 =
zR
πw0
On remarque alors, que si on dessine w(z) en fonction de z et qu’on cherche la limite de
w(z)
z
quand z tend vers l’infini, on retrouve la divergence du faisceau gaussien (liée directement à
son élargissement) :
λ
𝑡𝑔𝜃 ≃ 𝜃 = πw
0
Nous avons également signalé qu’au waist l’onde est presque plane et qu’elle tend à devenir
sphérique en s’éloignant, le rayon de courbure à une distance z de l’onde est donné par la
relation suivante :
𝑅(𝑧) = 𝑧 [1 + (
𝜋𝑤02 2
) ]
𝜆𝑧
Figure 11 : Rayon de courbure de l’onde gaussienne et divergence du faisceau
Cette relation montre bien qu’en z =0 (au waist), l’onde se comporte comme plane et qu’au
fur et à mesure que z augmente elle devient sphérique.
A partir de la relation sur les rayons de courbures nous pouvons déterminer les propriétés du
faisceau gaussien (waist, divergence, …) à différents endroits de la cavité, en particulier sur
29
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
les miroirs où le rayon du front d’onde de ce faisceau doit épouser la forme du rayon de
courbure du miroir ( R (z) = R(miroir) ) de la cavité afin d’assurer une propagation stable
dans la cavité (Figure 12).
Figure 12 : propagation de l’onde à l’intérieur de la cavité
Application : Le laser He-Ne de longueur d’onde  = 632.8nm a un waist de 1.3mm,
Déterminer la divergence du faisceau laser.
Figure 13 : divergence du faisceau laser
Pourquoi utilise-t-on les faisceaux gaussiens ???
-
Le faisceau gaussien est entièrement définit par sa taille et par la courbure de son front
d’onde, l’onde issue de ce faisceau gaussien est une onde qui se comporte comme une
onde plane au waist (où la taille du faisceau est minimale) et comme une onde
sphérique en allant vers les z supérieurs (vers les miroirs de la cavité). Afin d’assurer
une propagation stable de l’onde dans la cavité, il faut nécessairement que le front
d’onde épouse la forme des miroirs).
-
Le faisceau gaussien a une taille minimale au waist et en un seul point de l’espace
(pris comme origine) et ce waist définit entièrement la divergence de l’onde (dans
notre cas du faisceau laser à la sortie de la cavité (Figure 13). Un grand waist assure
une faible divergence à grande distance donc un bon parallélisme du faisceau laser.
-
Tous les paramètres issus du comportement des ondes gaussiennes, renforcent la
stabilité de la cavité étudiée par l’optique géométrique, et vont dans le sens d’un bon
compromis entre confinement de la lumière autour de l’axe avec diminution des pertes
et un bon remplissage du milieu actif …
30
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
III- Faisceau laser à la sortie de la cavité
Maintenant la cavité contient le milieu amplificateur. L’émission de la lumière ne se produit
dans le milieu amplificateur que lorsqu’il y a résonance entre la lumière éclairant le milieu et
les niveaux énergétiques mis en jeu dans le milieu amplificateur. Cette résonance se traduit
par l’émission d’une raie spectrale. La raie spectrale émise n’est pas totalement
monochromatique mais souvent élargie.
L’élargissement des raies est du à plusieurs causes :
-élargissement naturel : directement relié à la durée de vie de l’état excité (faible
élargissement) (cette durée de vie diffère d’un atome à un autre).
-élargissement Doppler : si la source s’éloigne ou s’approche de l’observateur on observe un
décalage vers le rouge ou vers le bleu du rayonnement émis par cette source. Dans le cas d’un
gaz, les particules (atomes ou molécules) sont en mouvement dans toutes les directions ce qui
provoque cet élargissement.
-élargissement dû aux collisions entre particules, les collisions modifient les niveaux
d’énergie ce qui provoque également un élargissement des raies.
Le schéma ci-dessous place la raie émise par le milieu sur le spectre de fréquence des modes
propres de la cavité vide.
Figure 13 : Sélection des modes pour un laser
Cette figure montre que la largeur de la raie du milieu amplificateur enveloppe uniquement 9
modes de la cavité et que sur ces 9 modes seul 5 modes seront sélectionnés pour une
oscillation laser. Les modes sélectionnés sont ceux pour lesquels le gain produit par le milieu
amplificateur dépasse les pertes produites par la cavité.
Application :
*Le Laser He – Ne (   633 nm ) a une cavité de longueur L = 15 cm. Déterminer les modes de
fonctionnement possibles pour ce laser sachant que la largeur spectrale de la raie émise par le milieu
amplificateur et  = 1.5 GHz. Ce laser est-il monomode ?
Réponse : La fréquence de la raie laser est de  =c/ = 4.7.1014Hz cette fréquence est au centre de la
raie émise par le laser et sa largeur spectrale est  = 1.5 GHz.
31
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
L’intervalle spectral libre de la cavité est = c/2L = 1 GHz, ce qui fait que dans l’enveloppe on
aura un seul mode. Le laser He-Ne est alors monomode et la raie émise est quasi-monochromatique.
 Gain du milieu amplificateur :
Ce gain est proportionnel à l’inversion de population  = N2-N1
Le gain augmente au début avec le taux de pompage.
Le gain sature par la suite (au seuil) puisque l’inversion de population produit l’émission laser
qui repeuple le niveau du bas, qui à son tour se dépeuple par pompage vers les niveaux
instables, ces niveaux instables se vident rapidement vers les états métastables et ainsi de suite
jusqu’à saturation (c'est-à-dire un certain équilibre se produit et l’inversion de population
devient constante). La courbe ci-dessous montre cet effet de saturation du gain (Figure 14).
Figure 14 : Courbe de saturation du gain du milieu amplificateur
Au dessus du seuil, l’inversion de population est constante mais le pompage sert juste à
augmenter le nombre de photons par émission stimulée (puissance optique augmente), la
Figure 15 illustre ce qui se produit :
Figure 15 : gain optique au dessus du seuil
 Pertes dans la cavité :
-pertes par absorption sur la surface des miroirs
-pertes par réflexions sur les miroirs (coefficient de réflectivité différent de 100%)
-pertes par diffraction
-pertes par diffusion (surfaces des miroirs et milieu actif non parfaitement homogène)
 Démarrage du fonctionnement d’un laser :
Le laser commence à fonctionner uniquement : quand le gain du milieu amplificateur
devient supérieur aux pertes de la cavité (Figure 13) au cours de chaque aller-retour dans
la cavité. A la saturation (au seuil c’est à dire quand l’inversion de population devient
32
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
constante) le laser débute son fonctionnement (temps de chauffage), pour que ce régime
s’entretienne il faut toujours dépasser les pertes produites par la cavité à chaque tour dans
celle ci. Les seuls modes susceptibles de laser sont les modes pour lesquels le gain est
supérieur aux pertes.
Un laser peut paraitre monomode alors que dans la réalité il a plusieurs modes qui lasent à
la fois (3 ou 5 par exemple) quand l’appareil de mesure ou de détection n’a pas une
résolution spectrale suffisante pour distinguer ces modes, on aura l’impression qu’il est
monomode.
 Modes de fonctionnement d’un laser
- Continu : la puissance est alors toujours constante et au plus elle est égale à la
puissance maximale du laser (à la sortie)
-
Pulsé : l’émission se fait de manière discontinue. Pour chaque impulsion, la puissance
ne peut pas dépasser la puissance maximale du laser en continu.
La puissance pour chaque crête est énorme et est notée P, chaque crête dure un temps
 et la fréquence des impulsions est  (répétition ou cadence) ce qui fait une puissance
moyenne : Pm =P  
IV-Conclusion
Dans ce cours, nous avons étudié quelques cavités possibles pour les lasers et leurs stabilités.
Nous avons vu que la stabilité se mesure par le meilleur compromis entre la forme des
miroirs, la longueur de la cavité et la longueur qu’elle offre au milieu actif afin qu’une onde
paraxiale puisse se propager dans celui-ci. Nous avons décrit les propriétés des faisceaux
gaussiens (waist-divergence, rayons de courbures, distance de Rayleigh) et souligné leur
importance dans le cas des lasers (guidage de lumière selon l’axe de la cavité dans le but
d’obtenir de la lumière quasi-parallèle). Nous avons également décrit les modes propres
transversaux et longitudinaux de la cavité ainsi que le mode de fonctionnement des lasers
(gain-pertes) et donné l’exemple des lasers continus et ceux impulsionnels.
33
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Références de cours
1/ Pérez, Optique : Fondements et applications
2/ Didier Dangoise et col., Les lasers (cours et exercices corrigés)-édition Dunod
3/ Alain Aspect, Claude Fabre, Gilbert Grynberg, Optique quantique tome 1 les lasers, lien :
http://catalogue.polytechnique.fr/site.php?id=63&fileid=347
4/ Pascal Besnard, le laser et ses applications : 50 ans après son invention-Edtion Hermes
Science Publications (2010)
5/Bernard Cagnac et Jean Pierre Faroux, Les lasers : interaction lumière-atomes- CNRS
éditions
6/René Farcy, Applications des lasers-édition Masson
7/ Sébastien Forget, cours les lasers et leurs applications, lien :
http://www-lpl.univ-paris13.fr:8090/Documents/Cours%20Laser_complet.pdf
8/ Sébastien Forget, cours optique des lasers et faisceaux gaussiens, lien :
http://www-lpl.univparis13.fr:8088/lumen/documents/Optique%20des%20lasers_et%20faisceaux%20gaussiens.pdf
34
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Série n° 1 : Physique des lasers
Interactions rayonnement matière
Exercice 1
1/Calculez la longueur d'onde (en m) d’un rayonnement qui possède une fréquence de
500000 GHz
2. Calculez la fréquence (en MHz) d’un rayonnement qui possède une longueur d'onde de
2,865 m.
Exercice 2
1/Répondre par vrai ou faux :
a- Lorsque la fréquence de la lumière augmente, sa longueur d’onde diminue.
b- Lorsque la période de l’onde augmente, sa fréquence augmente.
c- Lorsque l’indice du milieu change, la vitesse du rayonnement ne change pas.
2/ On considère un récipient en verre remplit par un liquide, on introduit dans ce liquide un
morceau de verre.
Peut-on toujours voir le morceau de verre dans le liquide quelque soit l’indice de réfraction de
ce dernier. Justifier votre réponse.
Faites l’expérience en utilisant différents liquides et donner une explication simple de l’indice
de réfraction.
Exercice 3
Nous considérons un rayonnement électromagnétique tombant sur la surface d’un matériau.
1/ Ce rayonnement comporte t-il- :
a- Un photon
b- Deux photons
c- Plusieurs photons
2/ Les photons associés à un rayonnement visible ont –il tous :
a- La même énergie
b- Deux énergies
c- Plusieurs énergies
3/ Donner un encadrement énergétiques en eV des photons visibles.
Exercice 4
1/La proposition suivante est –elle fausse ou vraie, justifier votre réponse :
Si de la lumière violette de longueur d’onde = 400 nm ne cause pas d’effet photoélectrique
dans un métal, alors il est certain que de la lumière rouge avec  = 700 nm peut provoquer un
effet photoélectrique dans ce métal.
2/L’énergie d’ionisation du Na extrêmement pur est 2.75 eV.
a- Calculez l’énergie cinétique maximale que peuvent avoir des photoélectrons émis par Na
exposé à une radiation ultraviolette de 200 nm.
b- Calculez la plus grande longueur d’onde qui peut causer un effet photoélectrique dans le
Na pur.
Exercice 5
Calculez la longueur d’onde de de Broglie associée à un électron se déplaçant à 1=1/137ème
de la vitesse de la lumière (les électrons ayant cette vitesse sont considérés comme étant non
relativistes), dans quelle région spectrale peut-on trouver cet électron.
Données : h = 6,625.10-34J.s et c = 3.108 m/s, 1eV = 1.6 .10-19 J et me = 9.109 10-31 kg
35
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Corrigé de la série n° 1
Exercice 1
c3.108 / 5.1014 = 0,6.10-6 m soit 0,6 m c’est la lumière rouge
c 3.108 / 2,865 = 104,7.106 Hz soit 104,7 MHz c’est la fréquence correspondante
aux transmissions radio d’Europe 1
Exercice 2
1/ a- vrai ; b-faux ; c-faux
2/ On ne peut voir un objet que si la lumière se réfléchi à la surface de cet objet, si le liquide
et le verre ont le même indice alors vis-à-vis de la lumière il n’y aura pas de changement de
milieu et par la suite aucune réflexion et par conséquent on ne verra pas le verre.
Expérience à faire en classe : mettre le morceau de verre (n=1.5) dans de l’eau (n=1.33), le
montrer dans l’air (n =1) et l’introduire dans une huile végétale (n autour de 1.5). L’indice de
réfraction est la propriété physique relative à l’interaction de la lumière avec la matière. Vis-àvis de la lumière si deux matériaux différents (huile végétale et verre) ont le même indice on
ne distingue pas l’un des objets de l’autre.
Exercice 3
1/ c-Plusieurs photons
2/ c-Plusieurs énergies
3/ pour le visible l’encadrement en longueur d’onde est :
0.4 10-6 m <  < 0.7 10-6 m
L’encadrement en énergie de ces photons est alors :
ℎ𝑐
49.69 10-20 J > E=
> 28.39 10-20 J
𝜆
Sachant que 1eV = 1.6 10-19 J
3.11 eV > E > 1.77 eV
Exercice 4
1/ ‘Si de la lumière violette de longueur d’onde = 400 nm ne cause pas d’effet
photoélectrique dans un métal, alors il est certain que de la lumière rouge avec  = 700 nm
peut provoquer un effet photoélectrique dans ce métal’.
Cette proposition est fausse car les photons de couleur violet sont plus énergétiques que les
photons rouges, s’ils n’arrivent pas à extraire des électrons d’un métal alors il faut des
photons plus énergétiques et non l’inverse.
ℎ𝑐
2/a- à une radiation ayant = 200 nm correspond une énergie E = 𝜆 = 6.2 eV, pour pouvoir
extraire les électrons il faut dépasser le seuil d’ionisation ou vaincre l’énergie de liaison
L’énergie cinétique maximale que peuvent avoir les photoélectrons est alors :
𝑚𝑉 2
= h - Wseuil = 3.46 eV.
b- La plus grande longueur d’onde qui peut causer un effet photoélectrique correspond à
l’énergie seuil, c'est-à-dire extraire des électrons sans pour autant leur communiquer de
ℎ𝑐
l’énergie cinétique donc 𝜆 = Wseuil = 2.75 eV = 4.4 10-19 J d’où = 452 nm
Exercice 5
ℎ
= 𝑚𝑉 = 0.332 nm l’onde associée à cet électron est dans les rayons X.
2
36
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Série n° 2 : Physique des lasers
Interactions rayonnement matière
Exercice 1
1/En vous servant de l’équation de Boltzmann pour un système non dégénéré, calculer la relation entre
les populations des niveaux 1 et 2 correspondantes à un écart énergétique de 0.5 eV (visible) et de 2
eV (UV) à la température ambiante, en donner une interprétation.
2/ Déterminer, dans le domaine visible et l’UV les relations entre les coefficients d’Einstein pour
l’émission spontanée et l’émission stimulée A21 et B21 ? On rappelle que :
A21
8 𝜋ℎ𝜈 3
=
B21
𝑐3
Conclure.
3/ Si on excité un système dans le visible, dans quels domaines du spectre électromagnétique peut-il
émettre ?
Exercice 2
Un système soumis à un rayonnement électromagnétique h est assimilé à un corps noir à la
température T est constitué d’atomes à deux niveaux 1 et 2, d’énergies E1 et E2 (E1 < E2) dont les
populations sont notées N1 et N2. On note la dégénérescence des niveaux 1 et 2 respectivement g1 et g2
et la population totale de ce système N. La densité spectrale de rayonnement reçue par ce système est
u et la fréquence  du rayonnement résonne avec la fréquence de la transition 12.
On donne ci-dessous l’expression de l’équation de Boltzmann pour un système à niveaux dégénérés et
celle de la densité spectrale u du rayonnement du corps noir :
N1
g1

e
N2 g2
8 h  3
u 
c3
  E1  E 2 
kT
1
e
h
kT
1
1/ On ne considère dans cette partie que l’absorption du rayonnement avec une probabilité B12 et
l’émission spontanée du rayonnement avec la probabilité A21.
a-Schématiser les deux processus : absorption et émission spontanée
b-Ecrire les équations de dynamique (variation au cours du temps) des populations des
niveaux 1 et 2.
c- Retrouver à l’équilibre thermique une relation entre le rapport N1/N2 et la densité u.
d- La densité spectrale u est elle en accord avec la loi de Planck ?
2/ Afin de retrouver la loi de Planck, Einstein postule l’existence d’un troisième mécanisme
d’interaction du rayonnement avec la matière au quel il donne le nom d’émission stimulée ou induite
et dont la probabilité est notée B21.
a-Schématiser ce mécanisme
b-Ecrire les équations d’évolution des populations N1 et N2 en tenant compte des 3 processus
d’interaction.
c-Donner la relation entre N1 et N2 à l’équilibre thermodynamique.
d-Dans quelles conditions la densité spectrale d’énergie u s’accorde-t-elle avec celle donné
par Planck pour le corps noir ? Donner alors les relations entre les différents coefficients
d’Einstein.
e-L’émission induite est-elle prépondérante dans le domaine des ondes millimétrique, dans le
visible ou celui des rayons X ? Justifier votre réponse.
3/ Donner les expressions de N1 et N2 en fonction de N, des différents coefficients d’Einstein et de la
densité spectrale du rayonnement u.
4/ Représenter sur le même graphique les variations de N1 et N2 en fonction de u. Conclure.
37
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Corrigé de la série 2
Exercice 1
1/ l’équation de Boltzmann est :
N1
 e
N2
  E1  E 2 
kT
*Dans le visible : E = E2 – E1 = 0.5 eV = 0.8 10-19 J donc E/kT = 19.3
N1
= e19.3
N2
*Dans le visible : E = E2 – E1 = 2 eV = 3.2 10-19j donc E/kT = 77.3
N1
= e77.3
N2
Le niveau 1 est peuplé et le niveau 2 ne l’est presque pas dans le visible, en allant vers les petites
longueurs d’onde (UV) la population du niveau 1 devient de plus en plus grande à température
ambiante (27°C = 300K). A la température ambiante on ne risque pas d’augmenter énormément la
population du niveau 2.
2/
A21
8 𝜋ℎ𝜈 3
8 𝜋ℎ
=
= 3
3
B21
𝑐
𝜆
Pour le visible  de l’ordre de 0.5m, pour l’IR =1m et pour l’UV  =0.1m (nous avons pris ici
l’IR proche et l’UV proche)
Visible: A/B = 10-13, IR: A /B= 10-14, UV: A/B = 10-11
En allant vers les grandes longueurs d’onde on accroit la probabilité de l’émission provoquée donc on
peuple plus le niveau 2.
3/ L’énergie absorbée suite à une excitation dans le visible ramènele système d’un niveau d’énergie Ei
vers un niveau d’énergie Ef et est tel que :
E = Ef – Ei =hc/
Lors de l’émission d’un photon le système peut au plus retourner l’énergie qu’il a reçu ou moins,
moins d’énergie pour l’émission entraine une longueur d’onde plus grande par exemple l’infrarouge.
Exercice 2
1/aAbsorption :
Emission spontanée :
38
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
b-
dN1
= + A21 N2
dt
− B12 uν N1
dN2
= − A21 N2 + B12 uν N1
dt
c-à l’équilibre thermodynamique on a :
dN1
dN2
=
=0
dt
dt
Donc :
N1
A
= 21
N2 B12 uν
duν =
g 2 A21
hν
B12 g1 e kT
La densité spectrale de rayonnement ne s’accorde pas avec la loi de Planck.
2/ a- Emission provoquée ou stimulée :
h 12
b-
cdN1
=
dt
(A21 + B21 uν )N2 − B12 uν N1
dN2
= − (A21 + B21 uν ) N2 + B12 uν N1
dt
c-à l’équilibre thermodynamique on a :
dN1
dN2
=
=0
dt
dt
Donc :
N1 A21 + B21 uν
= B u
N2
12 ν
d-
39
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
A21 /B21
g1 B12 ℎ𝜈
g 2 B21 𝑒 𝑘𝑇 − 1
Cette relation s’accorde avec la loi de Planck à condition que :
uν =
A21
8 𝜋ℎ𝜈 3
=
B21
𝑐3
Et :
g1 B12 = g 2 B21
e-le rapport A21/B21 est inversement proportionnel à 3 donc l’émission induite augmente quand
augmente donc on l’avantage dans le domaine des ondes millimétriques.
3/
A21 + B21 uν
N
A21 + (g1 B12 + g 2 B21 ) uν
B12 uν
N2 =
N
A21 + (g1 B12 + g 2 B21 ) uν
4/ Variation de N1 et N2 en fonction de la densité du rayonnement u.
N1 =
N
N1
N/2
N2
u
Nous pouvons conclure qu’au plus et quand la densité de rayonnement un tend vers l’infini nous
arrivons à avoir N1 = N2 = N/2 donc impossible de faire un laser avec un système à deux niveaux.
40
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Examen physique des lasers (Février 2011)
Problème : Les deux parties du problème peuvent-être traitées indépendamment
Partie I
Le laser à rubis est un laser à solide qui fonctionne sur le principe des lasers à 3 niveaux. Son milieu
actif est constitué d’un cristal d’alumine Al2O3 dopé à environ 0.05% d’ions de chrome Cr3+.
Une lumière issue d’un flash (pompage) porte le Cr3+ du niveau fondamental E1 à un groupe de
niveaux excités E3. Les Cr3+ retombent par transition non radiative à un niveau intermédiaire E2.
L’émission induite correspondant à la raie Laser se fait du niveau E2 vers le niveau E1.
1/ Représenter par des flèches les différentes transitions citées ci-dessus, sur un diagramme
énergétique en indiquant le nom des différents niveaux (E1, E2 et E3), le nom des transitions (pompage,
transition rapide et effet laser) ainsi que la stabilité de ces niveaux (stable, métastable, instable)
2/ Le passage du niveau E1 au groupe de niveaux E3 correspond à une bande d’absorption de longueur
d’onde :
𝜆𝑖 = 540 nm ≤ λ ≤ 𝜆𝑠 = 660 nm
a- Donner l’expression de l’encadrement en énergie E relatif à cette bande en prenant le niveau
E1 comme référence énergétique. Calculer en eV cet encadrement énergétique.
b- Sachant que le niveau E2 est à 1.786 eV, calculer la longueur d’onde  de la raie laser.
Données : h =6.626 10-34 Js et 1eV = 1.602 10-19 J et c = 3.108 m/s
3/ Soit : w′ = B′ u′ν et w = B uν
Avec : B’13=B’31=B’ et B12=B21=B
u′ν représente la densité du rayonnement en résonance avec la transition 13 et uν est la densité du
rayonnement qui résonne avec la transition 12.
Afin de faciliter l’écriture des équations dans la partie I du problème tout sera exprimé en fonction de
w’, w, A’, A et .
En vous servant du diagramme ci-dessous
E
E3, N3

E2, N2
w’
A’
w
'
A
E1, N1
a- Expliquer brièvement à quels processus d’interaction matière rayonnement sont liés les
coefficients w’, A’, w, A et .
b- L’émission induite a-t-elle été mise en évidence en premier théoriquement ou
expérimentalement. Qui est le physicien qui l’a proposé et dans quel but ?
c- Ecrire les équations relatives à la dynamique des populations N1, N2 et N3 correspondantes
respectivement aux niveaux énergétiques E1, E2 et E3.
d- Que deviennent ces équations en régime stationnaire. Déterminer alors une relation entre N1
et N2.
41
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
e- Exprimer le rapport N2/N1 quand A’ et w sont presque nuls et  >>w’. Donner alors la
condition de l’inversion de population, l’expliquer en quelques mots.
4/ a-En vous servant de la condition trouvée dans la question (3e), expliquer le désavantage des lasers
à 3 niveaux.
b- Dessiner un schéma illustrant le principe de fonctionnement d’un laser à 4 niveaux en indiquant
devant chaque niveau d’énergie le mot précisant son degré de stabilité (stable, instable ou métastable),
la(es) transition(s) rapide(s), la transition laser et le pompage. Expliquer en quelques mots comment ce
type de lasers peut y remédier au désavantage des lasers à 3 niveaux.
Partie II
Le milieu amplificateur du laser à 3 niveaux utilisé précédemment va être inséré dans une cavité, nous
allons dans ce qui suit choisir la cavité la plus adéquate à son insertion et déterminer quelques
caractéristiques des faisceaux gaussiens qui se propagent dans cette cavité.
1/ Rappeler en quelques mots ce qu’est une cavité optique et pourquoi l’utilise-t-on?
2/ Rappeler également le(s) type(s) de pertes qui peuvent être issues de la cavité.
3/ La cavité considérée a une longueur L et des miroirs M1 et M2 de rayons de courbure R1 et R2. Afin
de choisir la cavité appropriée, nous devons étudier sa stabilité. Nous rappelons que la condition de
stabilité d’une cavité s’obtient à partir la demi-trace (relation ci-dessous) de sa matrice de transfert
A B
totale M = (
) obtenue sur un trajet aller-retour dans cette cavité :
C D
-1 ≤
A+D
2
≤1
a-Montrer que la matrice de transfert totale M sur un aller-retour dans la cavité se met sous la
forme d’un produit de 4 matrices que l’on précisera, calculer alors M.
b- Déterminer alors la condition de stabilité d’une cavité en fonction des rayons de courbures R1 et
R2 de ses miroirs M1 et M2 et en fonction de sa longueur L.
c- Etudier la stabilité d’une cavité plan-plan, d’une cavité sphérique confocale et d’une cavité
hémisphérique. Qui est la plus stable et à quelle condition ?
4/ Nous souhaitons étudier les caractéristiques des faisceaux gaussiens qui se propagent dans une
cavité hémisphérique stable, nous rappelons que l’origine de l’axe des z (axe de la cavité) est toujours
pris au niveau du waist w0. Nous rappelons également que le rayon de courbure de l’onde gaussienne
épouse la courbure des miroirs.
a- Montrer alors que le waist se situe au niveau du miroir plan M1.
b- Déterminer le waist w0 en fonction de la longueur d’onde du rayonnement  et de la longueur
de la cavité L = R2/2. Calculer w0 sachant que L = 0.5m et  = 695.6nm.
c- Calculer la divergence 𝜃 (en mrd) de ce laser.
5/ Sachant que le diamètre de sortie de ce faisceau laser est d=2mm et sa puissance de sortie est
Ps=10mW, à quelle l distance de l’œil humain faut il placer ce laser afin qu’il n’endommage pas
l’œil ? Commenter le résultat trouvé.
On rappelle que la limite tolérée pour l’œil est Pt/S = 2.5 W/m2.
On donne :
1
0
 La matrice de transfert relative à un miroir de rayon Ri est : Mi = (− 2 1)
R
i
1 L
 La matrice de transfert relative à une propagation libre est : P = (
)
0 1
 Le rayon de courbure de l’onde gaussienne qui se propage dans la cavité est :

𝜋𝑤 2
λ
𝑅(𝑧) = 𝑧 [1 + ( 𝜆𝑧0 )2 ] et 𝜃 = πw
0
42
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Corrigé de la série 3 (examen session principale physique des lasers 2011)
Partie I
1E
E3, instable
Transition rapide
E2, métasble
Pompage
Effet laser
E1, stable
2ℎ𝑐
a- E = E3i – E1 = 𝜆 donc
𝑖
ℎ𝑐
𝜆𝑠
ℎ𝑐
≤ E ≤ 𝜆
𝑖
1.9 eV ≤ E ≤ 2.3 eV
ℎ𝑐
b- λ = 𝐸 −𝐸 = 695.6 nm
2
1
3/ En vous servant du diagramme ci-dessous et sachant que
wij′ = Bij′ u′ν et wij = Bij uν
où u′ν représente la densité du rayonnement en résonance avec la transition 13 et uν est la
densité du rayonnement qui résonne avec la transition 12.
E
E3, N3

E2, N2
w’
A’
w
'
A
E1, N1
a- w’ et w sont liés à la probabilité d’absorption ou d’émission induite relatives aux
transitions 13 et 12, A’ et A sont liés à l’émission spontanée des niveaux 3 vers 1 et 2
43
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
vers 1 respectivement et  est la probabilité d’émission non radiative de la transition
rapide 3vers 2.
b- L’émission induite a été mise en évidence en premier théoriquement, Einstein l’a
introduite afin de retrouver la loi du corps noir de Planck.
cdN1
(1)
= −(w ′ + w)N1 + (w + A)N2 + (w ′ + A′ )N3
dt
dN2
(2)
= wN1 − (w + A)N2 + γN3
dt
dN3
(3)
= w′N1 − (w ′ + A′ + γ)N3
dt
d- En régime stationnaire :
dNi
=0
dt
Où i =1,2,3
(3) :
w′
N3 = ′
N
w + A′ + γ 1
(2) ou (1) :
N2 w(w ′ + A′ + γ) + γw′
=
N1 (w ′ + A′ + γ)(w + A)
e- Pour A’ et w presque nuls et  >> w’ alors :
N2 w ′
≃
N1
A
La condition de l’inversion de population est donc :
W’ > A
Ce qui indique qu’il faut un pompage fort et il faut que ce pompage dépasse le taux
d’émission spontanée du niveau 2 vers 1 afin de favoriser l’émission induite et par la
suite l’effet laser.
4/ a-Dans le cas des lasers à 3 niveaux, il est nécessaire de maintenir un pompage fort, car dès
que l’émission laser démarre le niveau 2 se vide par émission stimulée et on pourra ainsi
perdre l’inversion de population si on n’a pas un pompage très fort qui dépeuple le niveau 1 et
une émission rapide qui peuple le niveau 2.
b-Afin de remédier aux désavantages des lasers à 3 niveaux, il faut rajouter un niveau (2)
instable qui se vide rapidement vers le niveau (1) et ainsi on maintient l’inversion de
population entre 3 et 2 sans avoir besoin d’un pompage fort.
44
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
4
Instable
Rapide, non radiative
3
Métastable
Pompage
Effet laser
2
Instable
Rapide, non radiative
1
(Stable
Partie II
Le milieu amplificateur du laser à 3 niveaux utilisé précédemment va être inséré dans une
cavité, nous allons dans ce qui suit essayé de choisir la cavité la plus adéquate à son insertion.
1/Une cavité optique est un résonateur formé par deux miroirs l’un totalement réfléchissant et
l’autre partiellement réfléchissant. Elle va servir comme guide d’onde pour le rayonnement et
va permettre d’amplifier l’émission stimulée en lui faisant faire plusieurs allers-retours dans le
milieu amplificateur.
2/ Plusieurs pertes peuvent provenir d’une cavité optique, pertes utiles qui permettent le
passage du rayonnement laser à travers le miroir semi-réfléchissant et des pertes à minimiser
par un bon choix de la cavité (réflectivité des miroirs, diffraction sur les miroirs, diffusion par
des miroirs non parfaitement polis).
3/ Afin de choisir la cavité appropriée, nous devons étudier sa stabilité. Nous rappelons que la
condition de stabilité d’une cavité s’obtient à partir la demi-trace (relation ci-dessous) de sa
A B
matrice de transfert totale M=(
) obtenue sur un trajet aller-retour dans cette cavité :
C D
A+D
-1 ≤ 2 ≤ 1
a- Sur un aller-retour dans la cavité, le rayon lumineux fait une propagation libre sur le
trajet L de matrice P1 puis une réflexion sur le miroir M2 puis une propagation libre sur le
trajet L de matrice P2 puis une réflexion sur le miroir M1. La matrice totale M = M1P2M2P1.
1
M = (− 2
R1
0 1
1) ( 0
1
L
) (− 2
1
R2
0 1
1) ( 0
2L
1−
L
R2
)=( 2
2
2L
1
− − (1 − )
c- La condition de stabilité est alors :
R1
R2
R1
2𝐿 −
−
2L
R1
+ (1 −
2L2
R2
2L
2L
R1
R2
) (1 −
)
)
𝐿
𝐿
) (1 −
)≤1
𝑅1
𝑅2
𝐿
𝐿
d- Cavité plan-plan : R1 = R2 = ∞ donc (1 − 𝑅 ) (1 − 𝑅 ) = 1 c’est la limite de stabilité
0 ≤ (1 −
(stabilité marginale)
1
2
45
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Cavité sphérique confocale : R1 = R2 = L
Donc (1 −
𝐿
𝑅1
𝐿
) (1 − 𝑅 ) = 0 pareil limite de la stabilité (stabilité marginale)
2
Cavité hémisphérique : R1 = ∞
𝐿
Donc 0 ≤ (1 − ) ≤ 1 cette cavité est stable si L < R2
𝑅
2
La plus stable est l’hémisphérique à condition que L < R2
4/ Nous souhaitons étudier les caractéristiques des faisceaux gaussiens qui se propagent dans
une cavité hémisphérique stable, nous rappelons que l’origine de l’axe des z (axe de la cavité)
est toujours pris au niveau du waist w0.
a-Pour une cavité hémisphérique et au niveau du miroir plan Montrer alors que le
waist se situe au niveau du miroir plan M1 de rayon de courbure R1 = ∞ nous avons :
𝜋𝑤 2
𝑅(𝑧) = ∞ = 𝑧 [1 + ( 𝜆𝑧0 )2 ], la seule variable est z et ceci n’est possible que si z = 0
donc le waist se situe au niveau du miroir plan.
b- au niveau du miroir M2 de rayon de courbure R2,
πw2
R 2 = R(L) = L [1 + ( λL0 )2 ] = 2L
𝜆𝐿
donc : 𝑤0 = √ 𝜋 = 0.33mm
λ
c- 𝜃 = πw = 0.67mrd
0
5/ Sachant que le diamètre de sortie de ce faisceau laser est d =2mm et sa puissance de sortie
est Ps=10mW, à quelle l distance de l’œil humain faut il placer ce laser afin qu’il
n’endommage pas l’œil ? Commenter le résultat trouvé.
On rappelle que la limite tolérée pour l’œil est de 2.5 W/m2.
tg ≃  = (𝐷 − 𝑑)/2𝑙 où d est le diamètre de sortie du faisceau laser et D le diamètre de la
tache laser à une distance l.
D = 2l +d
4𝑃
𝑃
Or 𝜋𝐷𝑠2 = 𝑆𝑡
𝑃𝑠
𝑙=
√𝜋𝑃
𝑡/𝑠
2𝜃
−𝑑
=25.4m
Cette distance est très éloignée ce qui montre le danger des lasers s’ils sont pointés sur l’œil
humain.
46
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Série n° 4 : Physique des lasers
Résonateurs optiques et caractéristiques des faisceaux lasers
Exercice 1:
On s’intéresse à une cavité particulière : cavité confocale de longueur L.
1/ Si on considère un rayon lumineux parallèle frappant l’un des miroirs concaves de cette cavité.
Combien faut il d’allers et retours dans la cavité pour que ce rayon se reboucle sur lui-même ?
2/ quand le rayon se reboucle sur lui-même :
a-comment doit être le déphasage de l’onde relatif à ce trajet lumineux.
b-Déterminer alors dans ce cas la fréquence de résonance de cette cavité.
c- Donner alors l’intervalle spectral libre de cette cavité confocale et schématiser la courbe intensité
des raies de résonance observées en fonction de la longueur L de la cavité.
3/ Si la cavité est éclairée par une onde bi-chromatique de longueurs d’ondes voisines, qu’observera t
– on ?
Définir alors le rôle du Fabry-Perrot.
Exercice 2:
On dispose d'un laser Hélium-Néon, de longueur optique de cavité égale à 20 cm et émettant à
632,8 nm.
a) Quel est l'écart, en fréquence et en longueur d'onde, entre deux modes longitudinaux consécutifs ?
b) On dispose d'un filtre spectral de bande passante 1 nm. De combien faut-il modifier la longueur de
la cavité laser pour pouvoir grâce à ce filtre sélectionner un unique mode longitudinal ?
Exercice 3:
Sur la figure ci-dessous, nous considérons les modes d’une diode laser He-Ne qui émet à =600nm, la
largeur spectrale de la raie est 0=2nm (largeur à mi-hauteur). La cavité de cette diode laser a une
longueur L = 0.35 mm.
1/ Calculer la fréquence de ces modes, leur largeur spectrale 0 et l’intervalle spectral libre 
2/ Sachant que les seuls modes de la cavité dont le gain dépasse les pertes sont ceux dont l’intensité est
supérieure à I0/2, combien de modes observera-t-on donner la fréquence et l’ordre p de ces modes.
Exercice 4:
Un écran est disposé perpendiculairement à un faisceau lumineux. Le diamètre de la tache lumineuse
est d1. On éloigne l'écran d'une distance D dans la direction de l'axe du faisceau; le diamètre de la
tache lumineuse est alors d2.
1- Représentez sur un schéma les deux positions de l'écran ainsi que les taches lumineuses, dans un
plan perpendiculaire aux écrans et contenant l'axe du faisceau.
2- On réalise cette expérience avec 3 sources lumineuses différentes; une diode électroluminescente,
un faisceau laser et une lampe torche. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant:
47
Cours physique des lasers –P3
Diode
Laser
Lampe torche
Dhaouadi Zoubeida
d1
30 cm
2 mm
10 cm
d2
60 cm
6 mm
50 cm
D
50 cm
2m
2m
a-Calculez la divergence de ces différents faisceaux.
b-Que peut-on dire du faisceau laser par comparaison aux deux autres faisceaux?
Exercice 5:
Soit une cavité de longueur d, comportant deux miroirs, l'un plan et l'autre de rayon de courbure R=2d.
1/ Montrez que cette cavité est stable.
2/ Déterminez les caractéristiques géométriques du faisceau laser dans la cavité (waists sur les miroirs,
longueur de Rayleigh, divergence) en fonction de  et d.
Exercice 6 :
1/Le faisceau lumineux à la sortie d'un pointeur laser est circulaire et a un diamètre d = 2mm. Sa
divergence 2 est de 2mrad. Calculer le diamètre D de la tache laser sur un écran situé à L = 15 m de
la sortie du laser. Faire un schéma.
A quel phénomène physique est du cet agrandissement de la tache laser ?
2/Sachant que la puissance de sortie de ce faisceau laser PL est de 3mW et que la puissance surfacique
tolérée (P/S)t par l’œil humain est de 2.5 Wm-2, à quelle distance L doit-on placer le pointeur laser afin
qu’il ne cause pas de dommage à l’œil.
Exercice 7 :
L’intensité énergétique est la puissance émise par unité d’angle solide (rappelons que l’angle solide
d’un cône d’angle est  = 2 (1-cos))
1/ Un laser He-Ne de faible puissance émet en continu 1mw, sa divergence est de 2 =1.2mrad. Quel
doit être la puissance d’une source thermique de même intensité énergétique ?
2/ Même question dans le cas du laser à CO2 utilisé pour le traitement des matériaux de puissance
2.7Kw et de divergence 2 = 10-2 rad. Conclure.
Exercice 8 :
Un laser au dioxyde de carbone émet une radiation de longueur d'onde λ = 9,6µm pendant une
impulsion de durée T=0,1 ns avec une puissance de 1012 W.
1- Quelle est l'énergie d'un photon ?
2- Quel est le nombre de photons émis lors d'une impulsion ?
Exercice 9 :
Un laser à impulsions délivre une énergie de 1 joule pendant 1 milliseconde. La section droite du
faisceau est circulaire, de diamètre 0,10 millimètre.
1- Quelle est la puissance du laser ?
2- Quelle est la puissance par unité de surface du faisceau ?
3- Comparez ce résultat à la puissance reçue du Soleil: l'énergie reçue par seconde par 1 m² de sol
terrestre, éclairé normalement par les rayons du Soleil, vaut 1,3 kJ.
48
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Corrigé de la série 4 : Résonateurs optiques et caractéristiques des faisceaux lasers
Exercice 1:
1/Miroir confocal donc R1 =R2 =L et F =L/2
Pour que le rayon parallèle se reboucle sur lui-même il faut deux allers retours dans la cavité donc un
trajet de 4L
2/Quand le rayon se reboucle sur lui-même :
a- le déphasage doit être un multiple entier (p) de 2 :
= 2p
b- la fréquence de la résonance de la cavité est alors obtenue quand le trajet 4 L est à un multiple
entier (p) de la longueur d’onde donc la fréquence de résonance est :
 = pc/4L
c- l’intervalle spectral libre (ISL)  est l’écart en fréquence entre deux modes de résonance
consécutifs :
c/4L

pc/4 L
(p+1) c/4 L

3/ Si la cavité est éclairée par une onde bi-chromatique de longueurs d’ondes 1 et 2 voisines alors les
modes seront observés à deux fréquences voisines :
 = p1 c/4L et  = p2 c/4L
Le peigne de fréquence montrera alors deux fréquences proches v1 et v2 pour chacune d’elle ISL égal
à c/4L et les deux fréquences sont séparées par un écart fréquentiel  =v2-v1
Ces deux raies seraient vues séparément si la résolution de l’appareil le permettait. En effet chaque
raie spectrale a une largeur  (naturelle, doppler , …) si  est inférieur à la largeur de chaque raie, on
verra un seul mode et si e st supérieur à la largeur de la raie on verra deux modes.
Un Fabry Perrot est en effet un analyseur de modes spectraux, il est caractérisé par sa résolution : il
permet de voir deux modes séparés par ISL et sa finesse F= , ainsi plus la largeur de la raie est
faible plus la finesse est grande et plus la résolution spectrale est grande.
Exercice 2:
On dispose d'un laser Hélium-Néon, de longueur optique de cavité égale à 20 cm et émettant à
632,8 nm.
a-Les longueurs d’onde et les fréquences des modes longitudinaux de la cavité sont tels que :
 = 2L/p et  = pc/2L
L’écart en fréquence entre deux modes consécutifs est :
 = c/2L =3x108/40x10-2 =750 MHz
Or  = c/ donc  = -c /2
Nous remarquons alors que  = -/
c = -1pm
49
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Cette cavité permet de voir séparément deux fréquences espacées de 750 MHz ou deux longueurs
d’ondes espacées de 1 pm.
b-Le filtre a une bande passante de 1nm >1pm donc il laissera passer plusieurs modes, pour
sélectionner un seul mode on peut agir sur la longueur de la cavité afin de rendre l’espace entre deux
modes consécutifs () plus grand par exemple de l’ordre du nm pour en sélectionner un seul mode.
c =  /2L
L ≤  /2 = 0.2 mm
Exercice 3:
1/  = c/THz , 0 = -c /2 = 1.5 THz et  = c/2L =0.43 THz
2/ le nombre de modes N qu’on peut voir à partir de cette cavité est N= 0 / = 3 modes
Qui sont les 3 les plus intenses situés à (selon la courbe) [499.5 ; 500 et 500.5] THz d’ordres respectifs
p (1166, 1167 et 1168) (le diagramme de la figure est en THz et non en GHz)
Exercice 4:
1/ schéma :
d

d2
d1
D
2-a- La divergence est :
d
d2 − d1
=
D
2D
-3
Pour la diode : 𝜃 =0.3 rd ; Pour le laser : 𝜃 = 1.10 rd ; Pour la torche : 𝜃 =0.1 rd
b- Le faisceau laser est le moins divergent.
Exercice 5:
Soit une cavité de longueur d, comportant deux miroirs, l'un plan et l'autre de rayon de courbure R=2d.
1/ Cette cavité hémisphérique est stable si :
𝑑
𝑑
0 ≤ (1 −
) (1 −
)≤1
𝑅1
𝑅2
Pour le miroir plan M1, R1 est infini et pour le miroir M2, R2 = 2d, la condition de stabilité est alors
vérifiée dans ce cas et cette cavité hémisphérique est bien stable
𝑡𝑔𝜃 ≃ 𝜃 =
2/La courbure du faisceau épouse la forme des miroirs donc :
𝜋𝑤 2
𝑅(𝑧) = 𝑧 [1 + ( 𝜆𝑧0 )2 ]
Sur M1, R1 infini donc le z égal à zéro est pris sur M1 et le waist vaut alors w0
50
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Sur M2 la distance est z = d et R(d)= 2d= 𝑑 [1 + (
𝜋𝑤02 2
) ]
𝜆𝑑
D’où w0 = √
𝜆𝑑
𝜋
πw20
=d
λ

zR =

W(d) = w0 (1 + z2 )1/2 = √2w0 = √2√ 𝜋

λ
𝜆
𝑡𝑔𝜃 ≃ 𝜃 = πw = √𝜋𝑑
0
d2
𝜆𝑑
R
Exercice 6 :
1/Schéma :
d
D
2
L
L’agrandissement de la tache laser pourrait avoir la diffraction comme origine.
P
P
2/Pour ne pas endommager l’œil il faut que : (S )t = DL2
π
θ=
D−d
; donc D = 2L + d et :
2L
𝑃𝐿
𝜋(𝑃/𝑠)𝑡
2√
𝐿=
Exercice 7 :
𝑃
1/ Nous devons alors avoir : [𝛺]
sachant
que
4
−𝑑
2𝜃
=18.5m
𝑃
𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒
= [2𝜋(1−𝑐𝑜𝑠𝜃)]
𝐿𝑎𝑠𝑒𝑟
Une source thermique émet de façon isotrope donc l’angle solide est  =4
La Puissance de la source thermique est alors :
2𝑃
𝑃𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒 = [(1−𝑐𝑜𝑠𝜃)] 𝐿𝑎𝑠𝑒𝑟 = 11,1 kw
2/si le laser He-Ne est remplacé par un laser CO2 alors
𝑃𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒 = 4.32 105 kw
Le point fort des lasers en plus de leur directivité c’est leur intensité, l’intensité énergétique défini ce
compromis entre les deux grandeurs, pour une source habituelle émettant de façon isotrope il faut des
intensités énormes pour arriver aux résultats obtenus par les lasers.
Exercice 8 :
1/ L’énergie d’un photon est :
E = hc/ = 2.1 10-20 j
2/ Pour une puissance P =1012 w pour une durée de T=0.1ns on a une énergie par impulsion égale :
E’ =PT = 100 j
Cette énergie englobe N photons avec :
N= E’/E = 47.6 1020 photons
Exercice 9 :
1/P=E/T = 103 w
2/P/S= 4P/d2 = 1.27 1011w/m2
3/(P/S)soleil = 1.3 103w/m2 puissance surfacique très faible comparée à celle du laser
51
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Devoir Physique des Lasers (25 Novembre 2011)
Exercice 1 :
Choisir la seule bonne réponse dans chaque cas en écrivant sur votre feuille de réponse le numéro de la question
suivie de la lettre correspondante à la réponse exacte:
1/ Si un pompage dans le visible ne permet pas aux atomes d’un milieu d’arriver à un état excité éloigné alors
un pompage dans :
a- l’infrarouge serait peut être suffisant ; b- les ondes radio serait peut être suffisant ; c- dans les microondes
serait peut être suffisant ; d- l’ultra violet serait peut être suffisant
2/ Si on excite un système dans l’UV proche peut-il émettre dans :
a- le visible ; b- l’UV lointain ; c- les rayons X ; d- les rayons 
3/ le rapport A/B fait intervenir :
a- la longueur d’onde des atomes du milieu ; b- la longueur d’onde du rayonnement éclairant le milieu ; c- la
longueur d’onde de De Broglie relative à chaque électron du milieu ; d- la longueur d’onde de la lumière dans le
vide
4/ on envoie un rayonnement h isotrope sur un milieu. La densité de rayonnement reçue par une surface S
du milieu est elle :
a-la même quelque soit la position de S ; b- augmente en éloignant S ; c- diminue en éloignant S ; d-dépend de
la nature du milieu et pas de la position de la surface éclairée
5/ on envoie un rayonnement h unidirectionnel sur un milieu. La densité de rayonnement reçue par une
surface S du milieu est elle :
a- la même quelque soit la position de S ; b- augmente en éloignant S ; c-diminue en éloignant S ; d- dépend de
la nature du milieu et pas de la position de la surface éclairée
Exercice 2 :
Afin qu’une cavité soit stable il faut que :
0 ≤ g1 g 2 ≤ 1
Avec g1 = (1 −
𝐿
𝑅1
) et g2 =(1 −
𝐿
𝑅2
) ; où R1 et R2 représentent les rayons de courbures des deux miroirs de la
cavité et L sa longueur.
1/Dessiner sur un graphe g1 en fonction de g2 et indiquer dessus l’espace correspondant à des cavités stables
2/ Nommer les cavités correspondantes aux points (g1, g2) : (1,1) ; (1,0) ; (0,0) ;(-1,1) et étudier leur stablité.
3/ Sous quelle condition une cavité hémisphérique est elle stable ?
Exercice 3 :
Nous considérons le laser à 3 niveaux de la figure ci-dessous :
E
E3, N3

A
B
'
’
E2, N2
E1, N1
1/a- Indiquer la stabilité de ses niveaux
b-Expliquer brièvement son principe de fonctionnement, entre quels niveaux s’effectue la transition laser
2/ Le pompage se fait optiquement et la densité de rayonnement correspondante est notée u13, la densité de
rayonnement correspondante à la transition 23 est notée u23.
f- Ecrire les équations de la dynamique des populations N 1, N2 et N3 relatives aux niveaux énergétiques
E1, E2 et E3 respectivement.
g- Que deviennent ces équations en régime stationnaire. Déterminer alors la condition de l’inversion des
populations.
52
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Corrigé du Devoir surveillé 2011
Exercice 1 :
1/d ; 2/a ; 3/b ; 4/c ; 5/a
Exercice 2 :
1/
2/


g1= g2 =1 est obtenu pour R1=R2 = ∞ donc il s’agit d’une cavité plan et a une stabilité marginale
g1= 1 et g2 = 0 est obtenu pour R1= ∞ et R2 =L c’est une cavité hémisphérique qui a une stabilité
marginale
 g1=0 et g2 =0 est obtenu pour R1=R2 = L c’est une cavité sphérique confocale et a une stabilité
marginale
 g1= -1 g2 = -1 est obtenu pour R1=R2 = L/2 c’est une cavité cocentrique de stabilité marginale
 g1= -1 g2 =1 est obtenu pour R1 = L/2 et R2 = ∞ c’est une cavité hémisphérique instable
3/ Sous quelle condition une cavité hémisphérique est elle stable ?
Une cavité hémisphérique (M1 miroir plan et M2 miroir sphérique de rayon R2) est stable si est stable si
(1 −
𝐿
𝑅2
) <1 donc si L < R2 (si L= R2 cette cavité aura une stabilité marginale)
Exercice 3 :
1/a- niveau 1 d’énergie E1 : stable ; niveau 2 d’énergie E2 : instable et niveau 3 d’énergie E3 : métastable.
b-Un pompage ramène les atomes du niveau 1 vers le niveau 3, le niveau 3 va émettre par émission stimulé et
spontanée, le niveau 2 est instable donc se dépeuple rapidement et on pourra réaliser une inversion de population
à condition que le niveau 3 ait une durée de vie assez longue par rapport à celle du niveau 2 ce qui avantagera
son émission de façon provoquée. La transition laser se fera alors du niveau 3 vers le niveau 2.
2/adN1
dt
dN2
dt
dN3
dt
= −γ uν13 N1 + ′γ′ N2
(1)
= −B uν23 N2 + B uν23 N3 + A N3 − γ′ N2
= +γ uν13 N1 + B uν23 N2 − B uν23 N3 − A N3
(2)
(3)
b- En régime stationnaire :
dN1
dt
=
dN2
dt
=
dN3
dt
= 0 donc :
L’équation 1 donne : γ uν13 N1 = ′γ′ N2
et les équations 2 et 3 donnent :
(B uν23 +γ′ ) N2 = (B uν23 + A )N3
Comme la transition laser se fait du niveau 3 vers le niveau 2 alors la condition de l’inversion des populations
est :
𝑁3
𝑁2
=
(B uν23 +γ′ )
(B uν23 + A )
>1
donc :
γ′ > 𝐴
53
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Examen physique des lasers (Janvier 2012)
Exercice 1:
On considère un laser à 4 niveaux représenté sur la figure ci-dessous :
E
1
E4
E3

A
W
E2
2
E1
Soit : W = B uν où B représente la probabilité d’absorption ou d’émission stimulée par unité de
temps, avec : B23=B32=B et uν est la densité du rayonnement qui résonne avec la transition 23.
A étant la probabilité par unité de temps de l’émission spontanée 32.
=  u′ν où  est le taux de pompage par unité de temps et u′ν représente la densité du rayonnement en
résonance avec la transition 14.
1 et 2 sont les probabilités par unité de temps des transitions rapides non radiatives respectivement
43 et 21.
Les seules notations à adopter dans tout ce qui suit sont : , W, A, 1 et 2.
1/ Ecrire les équations relatives à la dynamique des populations N1, N2, N3 et N4
correspondantes respectivement aux niveaux énergétiques E1, E2, E3 et E4.
2/ Que deviennent ces équations en régime stationnaire. Donner alors l’expression du rapport
N3/N2.
3/ Sous quelle condition a-t-on une inversion de populations, cette condition est-elle toujours
réalisée, justifier votre réponse.
Exercice 2:
Un laser hélium-néon émettant à 0 =633nm a une longueur de cavité L = 5 cm et émet en
continu une puissance de sortie de 20mW.
1/Calculer le nombre N de photons émis par seconde
2/Sachant que la largeur à mi-hauteur de la raie laser émise centrée sur 0 est  = 0.02 nm,
calculer en GHz la fréquence 0 de ce laser ainsi que la largeur fréquentielle à mi-hauteur
de la raie laser centrée sur 0 .
3/ Calculer en GHz l’intervalle spectral libre correspondant à la cavité de ce laser.
4/La courbe gain-perte du laser hélium-néon est représentée dans la figure ci-dessous :
gain
pertes
54
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Sachant que les seuls modes susceptibles d’osciller sont ceux pour lesquels le gain laser est
supérieur aux pertes.
a- Expliquer brièvement l’origine du gain
b- Expliquer brièvement l’origine des pertes
c- La courbe ci-dessus est-elle relative à un laser monomode ou multi-mode ?
d- Calculer le nombre n de modes de ce laser hélium-néon
e- Afin d’avoir un laser monomode il faut que l’intervalle spectral libre  soit supérieur
ou égal à /2, à partir de quelle longeur de cavité nous obtenons un laser monomode
centré sur 0 ?
5/Si la cavité de longueur L =5cm est remplie d’un milieu d’indice n et que ce milieu occupe
une longueur l =L/2,
a- Exprimer la nouvelle distance 2L’ parcourue par la lumière sur un aller-retour dans la
cavité.
b- Que devient alors l’intervalle spectral libre ’, l’exprimer en fonction de  aura-ton plus ou moins de modes actifs et pourquoi ?
Données : h = 6,625.10-34J.s et c = 3.108 m/s et 1eV = 1.6 .10-19 J
Exercice 3:
Nous considérons un laser de puissance de sortie P = 4.10-2 W et de divergence 𝜃 =10-2rd.
L’origine des repères est prise à la sortie du laser et on suppose qu’en ce point la tache laser
est presque ponctuelle. On place un écran à la distance d1 du laser, la tache1 sur l’écran est
circulaire de rayon r1, puis l’écran est placé à la distance d2 du laser et la tache2 sur l’écran est
circulaire de rayon r2. On donne d1=10 cm et d2=40 cm.
1/ a- Faites un schéma
b- Calculer r1 et r2 en cm.
2/ a- Calculer la puissance surfacique en W/cm2 notée 𝑃𝑠1 au niveau de la tache1.
b- Calculer la puissance surfacique en W/cm2 notée 𝑃𝑠2 au niveau de la tache2.
c- Que signifient les deux valeurs trouvées dans la question 2-a et 2-b et quelle est la cause
de leur différence.
d- Le nombre de photons au niveau de la tache1 est-il différent du nombre de photons au
niveau de la tache2 ?
3/a-Sachant qu’on éclaire les deux taches par le laser pendant une durée t = 60secondes,
calculer l’énergie transférée en joule par cm2 à la tache1 notée 𝐸𝑠1 et celle transférée à la tache
2 et notée 𝐸𝑠2 .
b- Pour faire fondre un morceau de glace, il faut au minimum une énergie de 50 joules/cm 2,
dans quel cas la glace fond, en plaçant le morceau de glace à la distance d1 ou à la distance d2.
Bonne chance
55
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Corrigé de l’examen physique des lasers (Janvier 2012)
Exercice 1:
E
E4
1
E3

A
W
E2
2
E1
1/La dynamique des populations :
dN1
dt
dN2
dt
dN3
dt
dN4
dt
= −Γ N1 + ′γ2 N2
(1)
= −(W + ′γ2 ) N2 + (W + A)N3
= −(W + A)N3 + W N2 + γ1 N4
= Γ N1 − ′γ1 N4
(2)
(3)
(4)
2/ En régime stationnaire :
dN1
dt
=
dN2
dt
=
dN3
dt
=
dN4
dt
= 0 , on obtient alors :
3/L’inversion de population est réalisée si :
N3
N2
N3
N2
=
W+ ′γ2
W+ A
>1
Ce qui conduit à : γ2 > 𝐴
Cette condition est toujours vraie puisque le niveau 4 est instable donc a une très courte durée de vie (transition
rapide) alors que le niveau 3 est métastable donc de plus grande durée de vie, comme A et γ2 sont inversement
proportionnels au temps de vie, cette condition est toujours réalisée.
Exercice 2:
1/Nombre de photons par seconde
Ce laser émet en continu une puissance de 20mw par seconde
L’énergie du laser est : E=P.t = 20mj ; L’énergie d’un photon rouge est : ER=hc/ = 31.10-20j
Le nombre de photons est n=E/ER =645.1014photons
2/ =c/GHz donc = -c /2 = -15GHz
à une largeur spectrale en longueur d’onde de 0.02nm correspond une largeur fréquentielle de 15GHz. Le signe –
indique que fréquence et longueur d’onde varient de façon inversement proportionnelle.
3/Pour avoir des interférences constructives la sortie de la cavité, il faut que sur un trajet aller-retour on ait un
multiple entier de longueur d’onde :
2L = p =pc/donc pc/2L avec p entierL’intervalle spectral libre est l’espacement entre deux modes
consécutifs dans la cavitéest= c/2L =1,5 GHz
4/La courbe gain-perte du laser hélium néon est représentée dans la figure ci-dessous :
gain
pertes
56
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
4/a-le gain d’un laser provient de l’amplification du rayonnement par émission stimulée donc il est directement
lié à l’inversion de population
b-les pertes proviennent de la cavité et du milieu, elles peuvent être dues à la réflexion et à la diffraction au
niveau des miroirs de la cavité et au niveau du milieu amplificateur, à la diffusion sur des miroirs non
parfaitement polis et par un milieu amplificateur non parfaitement homogène.
c- la courbe est relative à un laser multi-modes (5 modes actifs)
d-le gain dépasse les pertes à partir de la largeur à mi-hauteur , l’espacement entre deux modes consécutifs est
, le nombre de modes actifs est :
N =/ = 15/3=5 modes
e- pour rendre le laser monomode il faut augmenter l’intervalle spectral libre et le rendre supérieur ou égal à
/2 :
L ≤ c/2cm
7/ a-sur un trajet aller retour dans la cavité la lumière traverse deux fois un milieu d’indice n de longueur L/2 et
deux fois une longueur L/2 dans l’air,
Le nouveau trajet sur un aller-retour est alors : 2L’= 2nL/2 +2L/2= (n+1)L
b-Le nouvel intervalle spectral libre est :
’ = c/2L’ = c/(n+1)L= 2/(n+1)
le trajet de parcours de la lumière augmente dans un milieu d’indice n, l’intervalle spectral libre diminue et ainsi
le nombre de modes actifs augmente.
Exercice 3:
1/a-
r1
Laser
r2
d1
d2
r
r
d1
d2
b- tgθ  θ = 1 = 2
r1 = θd1 = 0,1 cm
r2 = θd2 = 0,4 cm
2/ la puissance surfacique est la puissance par unité de surface
𝑃
a-Au niveau de la tache1 : 𝑃𝑠1 = 2 = 1,27 W/cm2
b- Au niveau de la tache2 : 𝑃𝑠2 =
𝜋𝑟1
𝑃
𝜋𝑟22
= 0,08 W/cm2
c- Au niveau de la tache1, une surface unité de1cm2 reçoit 1,27 W alors qu’au niveau de la tache2 la même
surface unité de1cm2 reçoit 16 fois moins de puissance (0, 08 W), ce fait est dû à la divergence du laser.
d- le nombre de photons au niveau des deux taches est égal c’est juste que pour la première il est réparti sur une
petite surface et pour la deuxième il est réparti sur une surface plus grande.
3/a- l’énergie transférée à la tache1 en j/cm2 est : 𝐸𝑠1 = 𝑃𝑠1 𝑡 = 76,2 j/ cm2
L’énergie transférée à la tache1 en j/cm2 est : 𝐸𝑠2 = 𝑃𝑠2 𝑡 = 4,8 j/ cm2
b- l’énergie permettant à la glace de fondre est de 50j/cm2 donc la glace ne fondra que si elle est placée à la
distance d1 du laser.
57
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Examen : Physique des lasers
Exercice 1 :
A/ Le laser Nd-Yag a pour milieu amplificateur un cristal Yag dopé aux ions néodyme Nd3+.
La cavité contenant ce milieu actif est éclairée par une diode laser qui émet une lumière à 850
nm. La lumière de la diode laser est absorbée par les ions néodyme qui passent du niveau
fondamental E0 au niveau excité E3. Ce niveau se désexcite rapidement vers le niveau E2 sans
émettre de lumière. La transition laser se fait du niveau E2 vers le niveau E1. Le niveau E1 se
désexcite rapidement vers le niveau E0 sans émettre de lumière.
1-Schématiser les niveaux d’énergie du laser Nd-Yag, indiquer leur stabilité et montrer dessus
les différentes transitions en les nommant.
2-Calculer en eV l’écart énergétique entre les niveaux E0 et E3.
3-La différence d’énergie entre les niveaux E2 et E1 est 1,167 eV, calculer la longueur d’onde
de l’émission laser du Nd-Yag. A quel domaine du spectre (IR, visible, UV) appartient-elle ?
De quelle couleur est le rayonnement émis par le Nd-Yag ?
4- A l’aide d’un cristal non-linéaire, on double la fréquence de la lumière laser issue du NdYag. On parle de laser doublé en fréquence. Quelle est la nouvelle longueur d’onde ? Préciser
son domaine (IR, visible, UV). S’il est possible de l’observer à l’œil nu quelle est sa couleur ?
B/ La cavité de ce laser est une cavité hémisphérique, le rayon de courbure de son miroir
sphérique M1 est R et la longueur de la cavité est d.
1-Dans un premier temps, on s’intéresse à la cavité vide (ou passive) du laser
a- sous quelle condition cette cavité a une stabilité marginale ?
b- sous quelles conditions cette cavité est stable ?
c- quelles sont les pertes possibles dans cette cavité ?
2-Dans un deuxième temps le milieu amplificateur est placé dans la cavité, ce milieu est collé
au miroir plan, il a un indice de réfraction n et occupe la distance d/2 dans la cavité.
a- sous quelle condition la cavité active a une stabilité marginale ?
b- sous quelles conditions la cavité active est stable ?
c- sachant que le rayon de courbure du miroir M1 est R = 100 mm et l’indice n
du cristal Nd-Yag est 1.5, choisir parmi les longueurs d suivantes (189 mm,
155 mm, 134 mm, 117 mm et 98 mm) celles qui aboutissent à des cavités
actives stables.
Données : constante de Planck h = 6,62.10-34 Js, vitesse de la lumière c = 3.108 m/s, 1 eV =
1,6.10-19 J.
Exercice 2 :
La figure ci-dessous est relative à un laser Hélium –Néon :
58
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
1/ Expliquer le fonctionnement de ce laser ; énumérer les longueurs d’ondes possibles pour
l’effet laser dans ce système He-Ne ; quel élément optique permet de sélectionner la longueur
d’onde rouge à 632.8nm ?
2/ le laser He-Ne émettant à  = 632.8 nm a une puissance de sortie P = 1mW et une
divergence  = 0.8 mrad, le diamètre de la tache laser à sa sortie est d1 = 0.5mm.
a- calculer la puissance par unité de surface à la sortie du laser notée P1 en W/cm2.
b- calculer sa puissance par unité de surface à une distance D = 1m notée P2 en W/cm2.
3/ Sachant que la puissance par unité de surface tolérée par l’œil humain est de 2.5 W/m2
a- le laser endommage t-il l’œil à sa sortie et à la distance D=1m ? justifier votre réponse.
b- si oui, déterminer la distance D à partir de laquelle ce laser ne cause plus de
dommages à l’œil humain.
Exercice 3 :
Un laser émet à =1 µm et a une cavité de longueur L = 30 cm.
1a- calculer la fréquence  de ce laser en GHz et l’ordre p de ce mode.
b- calculer en GHz l’intervalle spectral libre ; en déduire en GHz la fréquence relative
au mode (p-1) et celle relative au mode (p+1).
2-Déterminer le nombre de modes sélectionnés par ce laser, sachant que la largeur à mihauteur de sa bande d’émission (centrée sur la longueur d’onde vaut  =1 pm.
3-Nous souhaitons augmenter le nombre de modes de ce laser, quelles longueurs de la cavité
permettent de sélectionner au moins 3 modes.
Bonne chance
59
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Corrigé de l’examen physique des lasers (principale 2013)
Exercice 1 :
A/1E
Transition rapide
non radiative
Pompage
par diode
à 850 nm
E3
Instable
E2
Métastable
E1
Instable
E0
Stable
Emission
laser
Transition rapide
non radiative
1- E3 – E0 = hc/1.6 10-19  = 1.46 eV
2-  = hc/ (E2 – E1) 1.6 10-19 = 1063.6nm ; c’est l’infrarouge
3- Quand on double la fréquence alors on divise la longueur d’onde par deux, la nouvelle
longueur d’onde est donc :
’ =  /2= 531.8 nm ; c’est le visible et la couleur est verte
B/ 1-La cavité de ce laser est une cavité hémisphérique, passive le rayon de courbure de son miroir
sphérique M1 est R et la longueur de la cavité est d. la condition de stabilité est :
0 ≤ (1- d/R) ≤ 1
1-a/ cavité métastable pour d = R ; 1-b/ cavité stable pour d < R ; 1-c/ les pertes possibles dans la
cavité vide sont par absorption, réflexion et diffraction sur la surface des miroirs et par diffusion sur la
surface des miroirs s’ils ne sont pas parfaitement polis.
2/ la cavité est active contenant un milieu amplificateur d’indice n occupant la distance d/2 et collé au
miroir plan ; La nouvelle matrice M=ABCD décrivant la cavité sur un aller retour est alors (le miroir
plan contribue avec une matrice unité)
d
1 0
d
d
d
d
1
+d
1 0 1
n
1
M=( 2
) (1 2 ) (1 2n ) (
)(
)
(
)
=
(
)
2n
2
2
2d 2d
−
1
0 1
0 1 0 1
0 1
0 1
R
−
1−
−
R
nR R
La condition de stabilité donne :
0 ≤ (1- d (n+1)/2nR) ≤ 1
Stabilité limite quand :
d= 2R (n+1)/n
b-le terme d (n+1)/2nR étant positif
la stabilité de la cavité est alors obtenue pour :
d (n+1)/2nR <1
donc :
d < 2nR /(n+1)
c- le rayon de courbure du miroir M1 est R = 100 mm et l’indice n du cristal Nd-Yag est 1.5
la cavité est alors stable pour toutes les positions :
d < 2nR / (n+1)=120 mm
Seules les longueurs 117 mm et 98 mm donnent des cavités stables.
60
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Exercice 2 :
1/ a- Ce laser est un mélange de gaz d’hélium et de néon. Le pompage se fait par excitations
électroniques de l’hélium qui le portent soit au niveau triplet ou à un niveau singulet. Ces niveaux sont
proches énergétiquement des niveaux 4s ou 5s du néon vers lesquels les électrons peuvent se
désexciter par collision (désexcitations rapides non radiatives). Les niveaux 4s et 5s du néon sont
métastables. L’effet laser dans ce cas peut produire une longueur d’onde dans l’infrarouge à 3.39 m
(la première à être découverte), une longueur d’onde dans l’infrarouge à 1.15 m et également une
longueur d’onde dans le visible de couleur rouge à 632.8 nm ; pour sélectionner juste le rouge il faut
mettre un filtre dont la bande passante est dans le rouge
4P
2-a/ P1 = πd2 = 0.5 W/ cm2
1
2-b/ à la distance D, la tâche laser change de diamètre en devenant plus grande à cause de la divergence
du laser : le nouveau diamètre d2 de la tache laser à la distance D est :
4P
4P
d2 = 2D+ d1 = 2.1 mm d’où P2 = πd2 = π (2Dθ+ d )2 = 0.03 W/cm2
1
2
3/ a-Ce laser endommage l’œil aussi bien à sa sortie qu’à la distance D = 1m car P 1 et P2 sont
supérieurs à la puissance tolérée et qui est de 2,5 10-4 W/cm2.
b-Pour que le laser ne cause plus de dommages à l’œil il faut au moins que :
4𝑃
4P
𝑃𝑡 = π (2Dθ+ d )2
1
donc : 𝐷 =
√𝜋𝑃 −𝑑1
𝑡
2𝜃
= 13.8 m
Toutes les distances D > 13.8 m ne causeraient pas des dommages à l’œil humain.
Exercice 3 :
Un laser a une cavité de longueur L = 30 cm émet à =1 µm.
1-a/la fréquence de ce laser est : = c/ = 3.105GHz, les modes observés sont tel que :
= pc/2L d’où p = 2L /c = 6.107.
1-b/ l’intervalle spectral libre est = c/2L = 0.5 .GHz ; les fréquencesp-1 et p+1 sont :
p-1 =  - 299999,5 GHz
p+1 =  + GHz
2/ La largeur à mi hauteur fréquentielle de la bande d’émission est :
 = c/2 = 0,3GHz donc un seul mode sera sélectionné.
3-Pour avoir plus de modes il faut diminuer l’intervalle spectral libre, la largeur à mi hauteur étant 0.
3Hz pour avoir au moins 3 modes il faut d  soit au plus égal à 0.15 GHz.
c/2L < 0.15 Hz donc L > 50 cm
61
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Examen physique des lasers (Janvier 2016)
Exercice 1 : (Fonctionnement d’un laser à 4 niveaux)
A/ On considère un laser à 4 niveaux notés 1 à 4, on note Ni la population de chaque niveau i, on note
W les coefficients relatifs aux probabilités d’absorption ou d’émission stimulée par unité de temps du
rayonnement impliqué dans les transitions 23 (idem 32), A la probabilité d’émission spontanée
par unité de temps relative à la transition 32, p le taux de pompage par unité de temps de 14 ,  et
’ sont les probabilités par unité de temps des transitions rapides non radiatives respectivement 43 et
21.
1- Représenter le schéma de fonctionnement de ce laser à 4 niveaux, indiquer dessus les
numéros attribués à ces niveaux, leurs énergies/populations et stabilité (stable, métastable,
instable), représenter les transitions par des flèches et les nommer (pompage, laser et rapides
non radiatives).
2- Ecrire les équations relatives à la dynamique des populations Ni.
3- a/ Exprimer la variation au cours du temps de la quantité N=(N3-N2) en fonction de N,
de A, de ’ et de N2.
3- b/ Déduire alors la condition d’inversion de population.
3- c/ Donner une signification physique du rapport N/N, où N est la population totale du
système.
B/ Le milieu amplificateur de ce laser à 4 niveaux est pompé en continu par une puissance P p=1W.
Toute la puissance de la pompe Pp est absorbée. La longueur d'onde de pompage est p = 940 nm, la
longueur d'onde du laser est  =1030 nm. Ce laser fonctionne en régime continu, nous rappelons que
le cas optimal pour un laser serait que chaque photon pompe sert à produire un photon laser et
l’objectif de cet exercice est de vérifier si un laser fonctionne toujours de manière optimale ou non et
d’essayer de comprendre les raisons sans utiliser trop d’équations.
1- Exprimer le nombre de photons délivrés par la pompe Np en fonction de la puissance Pp de
la pompe et de la longueur d’onde du pompagep.
2- a/ Ce laser fonctionne en régime continu, exprimer la valeur maximale de sa puissance de
sortie PL max en fonction de la puissance de la pompe Pp, de la longueur d’onde de pompage p
et de la longueur d’onde du laser.
2-b/ Calculer en mW la puissance maximale du laser PL max.
3- Sachant que ce laser délivre une puissance P = 500 mW en régime continu, sa puissance
est- elle supérieure, inférieure ou égale à la valeur optimale déterminée dans la question 2-b ?
Pouvez-vous expliquer les raisons de la différence si jamais elle existe.
Exercice 2 : (Propagation des faisceaux gaussiens dans les cavités lasers)
On cherche à trouver une cavité linéaire stable à deux miroirs, telle que le mode gaussien TEM00 qui
se propage dans cette cavité ait un col minimal ou waist w0, et que la longueur de la cavité soit la plus
courte possible. La longueur d'onde du laser est  = 1 µm.
1/ Dans la figure ci-dessous, on schématise les modes transverses électromagnétiques TEMnp, reporter
ces modes sur vos copies d’examen et nommer les, quel est généralement le mode prédominant et
pourquoi ? Dans quel cas peut-on observer certains des autres modes ?
62
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
2- Les cavités à étudier sont les suivantes : une cavité sphérique concentrique et une cavité
hémisphérique.
2-a/ Dire sous quelle(s) condition(s) ces cavités sont stables et indiquer leur(s) type(s) de stabilité ?
2-b/ Les miroirs sphériques de ces deux cavités ont un rayon de courbure R = 1m, sachant que l’onde
gaussienne qui se propage dans ces deux cavités a le même waist w0 ; Donner l’expression et la valeur
de w0 lorsque la longueur de la cavité hémisphérique est L=R/2 (penser à utiliser les propriétés des
faisceaux gaussiens)?
2-c/ Déterminer alors la longueur de la cavité concentrique L’ par un raisonnement simple et sans faire
trop de calculs. Cette cavité est-elle plus courte ou plus longue que la cavité hémisphérique.
2-d/ Calculer en rd la divergence donnée par un laser impliquant ces cavités.
2-e/ Est il plus intéressant de choisir la cavité laser la plus longue ou la plus courte et pourquoi ?
𝜋𝑤 2
λ
On donne : 𝜃 = πw , 𝑅(𝑧) = 𝑧 [1 + ( 𝜆𝑧0 )2 ]
0
Exercice 3: (Modes longitudinaux d’un laser)
Un laser hélium-néon émettant à 0 =633nm a une longueur de cavité L = 10 cm.
1/Sachant que la largeur à mi-hauteur de la raie laser émise centrée sur 0 est  = 0.02 nm, calculer
en GHz la fréquence 0 de ce laser ainsi que la largeur fréquentielle à mi-hauteur de la raie laser
centrée sur 0.
2/ Calculer en GHz l’intervalle spectral libre correspondant à la cavité de ce laser.
3/La courbe gain-perte d’un laser a l’allure de celle de la figure ci-dessous :
gain
pertes
Sachant que les seuls modes susceptibles d’osciller sont ceux pour lesquels le gain laser est supérieur
aux pertes,
a- Calculer le nombre n de modes du laser hélium-néon. Ce laser est-il monomode ?
b- À partir de quelle longeur de cavité nous obtenons un laser monomode centré sur 0 ?
Données : h = 6,625.10-34J.s et c = 3.108 m/s et 1eV = 1.6 .10-19 J.
Bonne chance
63
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
Corrigé de l’examen laser Janvier 2016
Exercice 1 :
note Ni la population de chaque niveau i, on note W les coefficients relatifs aux probabilités
d’absorption ou d’émission stimulée par unité de temps du rayonnement impliqué dans les transitions
23 (idem 32), A la probabilité d’émission spontanée par unité de temps relative à la transition
32, p le taux de pompage par unité de temps de 14 ,  et ’ sont les probabilités par unité de
temps des transitions rapides non radiatives respectivement 43 et 21.
E
Rapide non radiative

E4 instable
E3
p 
A
métastable
W Laser

E2
Rapide non radiative
instable
’
E1
stable
2dN1
dt
dN2
dt
dN3
dt
dN4
dt
= −𝛤𝑝 N1 + ′𝛾 ′ N2
(1)
= −(W + ′𝛾 ′ ) N2 + (W + A)N3
= −(W + A)N3 + W N2 + γ N4
= 𝛤𝑝 N1 − ′γ N4
(2)
(3)
(4)
3 –a/ N = N3 – N2 ; en régime stationnaire les équations 1 et 4 nous donnent une relation entre γ N4 et 𝛾 ′ N2 ∶
𝛾 ′ N2 = γ N4 en la remplaçant dans l’équation 3 nous obtenons :
dN3
dt
= −(W + A)N3 + (W+ 𝛾 ′ ) N2 (3’)
En faisant la différence (3’) – (2) on aboutit à :
d∆N
dt
= −2(W + A)N3 + 2 (W + ′𝛾 ′ ) N2 (5)
En rajoutant et en retranchant 2(W + A)N2 à l’équation (5) on a :
d∆N
dt
= −2(W + A)∆N + 2 (′𝛾 ′ − A) N2 (6)
3-b/ En régime stationnaire :
d∆N
dt
= 0 et pour obtenir l’inversion de population il faut que N > 0 et l’équation
(6) en régime stationnaire donne : 𝛾 ′ > 𝐴 ce qui est toujours le cas donc nous pouvons conclure qu’avec ce
laser à 4 niveaux l’inversion de population est toujours réalisée.
3-c/∆N étant la quantité de la population servant à réaliser l’inversion de population et par conséquent permettant
l’effet laser, si N est la population totale de notre système à 4 niveaux, le rapport N/N représente alors le
pourcentage ou le taux de population par rapport à celle totale minimal ( car le laser fonctionne hors
équilibre thermodynamique) permettant d’induire un effet laser.
B/ Nous avons l’énergie de la pompe Ep = Pp t = 1j , en régime continu c'est-à-dire pour toutes les
secondes (t=1s), et l’énergie d’un photon pompe est Eph p = hc/p = 2,1 10-19j, donc le nombre de
photons pompe Np est égal à : Np = Ep/ Eph p = p Pp/hc = 476,2 1016 photons pompe.
64
Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
2-a/ La puissance maximale de sortie du laser PL max serait celle produite lorsque chaque photon pompe
sert à produire un photon laser : donc le nombre de photons pompe Np sera aussi le nombre de photons
lasers N pho-laser : N pho-laser =  PL max / hc = Np = p Pp/hc
Donc :
𝜆
PL max = 𝜆p Pp
2-b/ PL max = 913 mW
3- la puissance délivrée par le laser est P = 500mW en régime continu elle est inférieure à sa puissance
maximale ou optimale, ce fait peut s’expliquer par les pertes qui se produisent d’une part dans le
milieu amplificateurs et celle aussi qui se produisent dans la cavité, ces pertes empêchent d’atteindre la
puissance optimale même si toute la puissance de la pompe est absorbée.
Exercice 2 : (Propagation des faisceaux gaussiens dans les cavités lasers)
On cherche à trouver une cavité linéaire stable à deux miroirs, telle que le mode gaussien TEM00 qui
se propage dans cette cavité ait un col minimal ou waist w0, et que la longueur de la cavité soit la plus
courte possible. La longueur d'onde du laser est  = 1 µm.
1-La notation TEMnp est relative aux modes gaussiens transverses électromagnétiques, ces modes se
propagent selon la direction z et les indices n et p indiquent respectivement le nombre de minima
observé selon les directions x et y respectivement.
le premier mode (une seule tache lumineuse projeté dans le plan (x,y) est le mode TEM00, ce mode est
le plus intense et c’est toujours le mode prépondérant, les trois taches lumineuses indiquent deux
annulations selon x et aucune selon y c’est donc le TEM20 , les quatre taches représentent le TEM11 et
les 6 taches lumineuses de la figure sont relatives à TEM21, les modes d’ordre supérieur pourraient être
observés par exemple s’il y a un déréglage dans la cavité, pour une cavité plane il suffit d’un petit non
parallélisme entre les miroirs de la cavité pour observer les modes de plus faible intensités autres que
TEM00.
2- Les cavités à étudier sont les suivantes : une cavité sphérique concentrique et une cavité
hémisphérique.
2-a/ La condition de stabilité est :
𝐿
𝐿
0 ≤ (1 −
) (1 −
)≤1
𝑅1
𝑅2
𝐿
𝐿
*Cavité concentrique : L = R1 + R2 donc (1 − 𝑅 ) (1 − 𝑅 ) = 1 c’est la limite de stabilité (stabilité
1
2
marginale).
*Cavité hémisphérique : R1 miroir plan tend vers l’infini et R2 :
𝐿
0 ≤ (1 −
)≤1
𝑅2
Pour L=R2 stabilité marginale et pour L < R2 cavité stable.
2-b/ Sachant que pour les faisceaux gaussiens la courbure de l’onde gaussienne doit être celle des
miroirs, alors pour la cavité hémisphérique et de longueur R/2, sachant que le waist se trouve au
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Cours physique des lasers –P3
Dhaouadi Zoubeida
niveau du miroir plan position comptabilisé comme l’origine des z nous avons en utilisant le rayon de
courbure de l’onde gaussienne au niveau du miroir sphérique de rayon R :
𝑅(𝑧 = 𝐿 = 𝑅/2) = 𝑅 = (𝑅/2) [1 + (
2𝜋𝑤02 2
λR
) ] d’où w0 = √2π = 0.4mm
𝜆𝑅
2-c/ pour la cavité concentrique, les deux miroirs ont le même rayon R donc : L’= R+R=2R
Cette cavité est-elle plus longue que la cavité hémisphérique.
λ
2-d/ 𝜃 = πw ≈ 8. 10−4 rd .
0
2-e/ il est plus intéressant de choisir la cavité laser la plus courte déjà pour fabriquer des lasers moins
encombrants si les deux cavités donnent des lasers à égale divergence.
Exercice 3:
Un laser hélium-néon émettant à 0 =633nm a une longueur de cavité L = 5 cm.
1/ =c/GHz donc = -c /2 = -15GHz
à une largeur spectrale en longueur d’onde de 0.02nm correspond une largeur fréquentielle de 15GHz. Le signe –
indique que fréquence et longueur d’onde varient de façon inversement proportionnelle.
2/Pour avoir des interférences constructives la sortie de la cavité, il faut que sur un trajet aller-retour on ait un
multiple entier de longueur d’onde :
2L = p =pc/donc pc/2L avec p entierL’intervalle spectral libre est l’espacement entre deux modes
consécutifs dans la cavitéest= c/2L =3 GHz
3/La courbe gain-perte du laser hélium néon est représentée dans la figure ci-dessous :
gain
pertes
a- les modes qui sont susceptibles d’osciller sont ceux pour lesquels le gain dépasse et donc ceux comptabilisés à
partir de la largeur à mi-hauteur , l’espacement entre deux modes consécutifs est , le nombre de modes
actifs est :
N =/ = 15/3=5 modes
Ce laser est donc multimodes, il présente 5 modes actifs.
b-pour avoir un laser monomode il faut que N= /2L/c ≤ 1
donc L ≤
c
2 ∆ν
= 10-2 m = 1cm.
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