td3 Code lineaire Parti 1

Théorie des codes correcteurs d’erreurs
TD3 : Code linéaire Partie 1
Exercice 1
Les codes binaires suivants sont-ils linéaires ? Si oui, en donner une base et calculer leur
distance.
1. {101,111,011}
2. {000,001,010,011}
3. {0000,0001,1110}
4. {0000,1001,0110,1111}
5. {abcd;a+b+c= 0}
6. {abcd;a+b+c= 1}
Exercice 2
On définit un code binaire systématique C de taille (9,4) de la façon suivante : on place
le mot à coder a1a2a3a4dans un tableau 2 ×2, et les cinq bits de contrôles c1c2c3c4c5
correspondent aux sommes (dans Z/2Z) des lignes et des colonnes, comme indiqué ci-
dessous :
1. Expliquer pourquoi c1+c2=c5+c4. Coder les mots 1001, 0111.
2. Montrer que ce codage est linéaire.
3. Déterminer la matrice génératrice du codage. Donner tous les mots du code. Quelle
est sa distance de Hamming ?
4. Corriger et décoder les mots suivants : 011111011, 101001101, 110111101, 111111111.
Exercice 3
On définit le code linéaire binaire C par une matrice génératrice :
1111111
1000101
1100011
0110001
1. Trouver la matrice génératrice standard G′de C.
2. Utiliser les matrices G′puis Gpour coder les mots. suivants : 0111, 1011, 1101,
1010.
Exercice 4
Pour chacune des matrices génératrices suivantes, déterminer les mots du code, la distance
du code, un tableau standard, la matrice de contrôle et la liste des syndrômes.
1

1. 10101
01010!
2. 
10010
01001
00111
3. 
10011
01010
00111
Dans chacun des cas, corriger et décoder les messages suivants : 01101, 10000, 10100,
11101.
Exercice 5
On définit un codage linéaire systématique de taille (7, 4) de la façon suivante : les trois
bits de contrôles c1c2c3se déduisent du mot à coder a1a2a3a4par les sommes (dans Z/2Z)
c1=a1+a2+a3, c2=a1+a2+a4, c3=a1+a3+a4
1. Montrer que ce codage est linéaire. Donner sa matrice génératrice.
2. Déterminer les mots du code. Quelle est sa distance ? Montrer que le code est parfait.
3. Déterminer la matrice de contrôle et la liste des syndrômes.
4. Corriger et décoder les messages suivants : 1110111, 0110001, 1011110, 1001100.
Exercice 6
On définit un codage linéaire de taille (7,3) par la matrice suivante :
1000111
0101011
1100011
0011101
1. Ce codage est-il systématique ? Coder tous les mots de 3 bits.
2. Quelle est la distance de ce code ?
3. Déterminer la matrice de contrôle et la liste des syndrômes.
4. Corriger et décoder les messages suivants : 1111100, 0111000, 1110101, 1111101,
1100111, 0100000.
2