Stationnarité et Ergodisme Exercice 1: Stationnarité On considère le processus aléatoire à temps continu défini par X(t)=Acos(2*pfot+F) où A et fo sont des constantes • Ce signal est t-il stationnaire à l’ordre 2 ? Exercice 2: Stationnarité et ergodisme On considère le processus aléatoire à temps continu défini par X(t)=Acos(2*pfot+F) où A et fo sont des constantes et où F est une variable aléatoire uniforme sur [0,2p] • Déterminer l’expression des moments statistiques d’ordre 1 et 2. Le signal est t-il stationnaire à l’ordre 2 ? • Sous Octave, • Pour fo=10Hz, t=t1=0.15s, calculer la valeur moyenne statistique pour t=t1 pour 1000 réalisations. • Déterminer l’expression des moments temporels d’ordre 1 et 2 • Sous octave, • Pour fo=10Hz, T=10s, calculer la valeur moyenne temporelle. • calculer la moyenne temporelle . • Que deviennent ces moments si T tend vers l’infini. • Le signal est-il stationnaire à l’ordre 2 et ergodique ? • Retrouver ce Exercice 3 : Manipulation de variables aléatoires On considère x1(t) et x2(t) deux processus stationnaires réels de moyenne m1 et m2 respectivement et on construit le processus y(t)= x1(t) + x2(t) • Formaliser graphiquement ce problème à l’aide de schéma bloc. • Trouver la moyenne de y(t) si x1(t) et x2(t) sont indépendants • Trouver la fonction d’autocorrélation Gy(t)=f(Gx1(t), Gx2(t), m1, m2) • Préciser alors la densité spectrale de puissance gy(f). • Pour quelle condition a t-on Gy(t) = Gx1(t) + Gx2(t) • Préciser alors la densité spectrale de puissance gy(f). Exercice 3 : Application x1(t) et x2(t) sont deux processus réels stationnaires dont les fonctions d’autocorrélation sont (i=1,2) 𝛤"# (𝜏) = 𝑎# 𝑒 *|,| +𝑏# avec ai>0 et bi>0 En considérant que deux échantillons du même processus xi(t) deviennent décorrelés pour t tendant vers l’infini • Etablir la relation entre mi et bi (i=1,2) • Donner les expressions de Gx1(t),Gx2(t) • Trouver les densités spectrales de puissances gx1(f), gx2(f) On suppose que x1(t) et x2(t) sont indépendants: • Préciser mY la moyenne de y(t), la fonction d’autocorrélation Gy(t) et la densité spectrale de puissance gy(f) • Donner la densité de probabilité de Y(t)
