Stationnarité et Ergodisme: Exercices

Stationnarité et Ergodisme
Exercice 1: Stationnarité
On considère le processus aléatoire à temps continu défini par X(t)=Acos(2*pfot+F) où A et
fo sont des constantes
• Ce signal est t-il stationnaire à l’ordre 2 ?
Exercice 2: Stationnarité et ergodisme
On considère le processus aléatoire à temps continu défini par X(t)=Acos(2*pfot+F) où A et fo
sont des constantes et où F est une variable aléatoire uniforme sur [0,2p]
• Déterminer l’expression des moments statistiques d’ordre 1 et 2. Le signal est
t-il stationnaire à l’ordre 2 ?
• Sous Octave,
• Pour fo=10Hz, t=t1=0.15s, calculer la valeur moyenne statistique pour
t=t1 pour 1000 réalisations.
• Déterminer l’expression des moments temporels d’ordre 1 et 2
• Sous octave,
• Pour fo=10Hz, T=10s, calculer la valeur moyenne temporelle.
• calculer la moyenne temporelle .
• Que deviennent ces moments si T tend vers l’infini.
• Le signal est-il stationnaire à l’ordre 2 et ergodique ?
• Retrouver ce
Exercice 3 : Manipulation de variables aléatoires
On considère x1(t) et x2(t) deux processus stationnaires réels de moyenne m1 et m2
respectivement et on construit le processus y(t)= x1(t) + x2(t)
• Formaliser graphiquement ce problème à l’aide de schéma bloc.
• Trouver la moyenne de y(t) si x1(t) et x2(t) sont indépendants
• Trouver la fonction d’autocorrélation G
y(t)=f(
G
x1(t),
G
x2(t), m1, m2)
• Préciser alors la densité spectrale de puissance g
y(f).
• Pour quelle condition a t-on G
y(t) =
G
x1(t) +
G
x2(t)
• Préciser alors la densité spectrale de puissance g
y(f).

Exercice 3 : Application
x1(t) et x2(t) sont deux processus réels stationnaires dont les fonctions d’autocorrélation sont
(i=1,2)
𝛤
"#
(
𝜏
)
= 𝑎#𝑒*
|
,
|+
𝑏#
avec ai>0 et bi>0
En considérant que deux échantillons du même processus xi(t) deviennent décorrelés pour t
tendant vers l’infini
• Etablir la relation entre mi et bi (i=1,2)
• Donner les expressions de G
x1(t),
G
x2(t)
• Trouver les densités spectrales de puissances g
x1(f),
g
x2(f)
On suppose que x1(t) et x2(t) sont indépendants:
• Préciser mY la moyenne de y(t), la fonction d’autocorrélation G
y(t) et la
densité spectrale de puissance g
y(f)
• Donner la densité de probabilité de Y(t)