Mouad Semlali Hadil Naanai TD2 Exercice 1 : Série de Fourier On écrit un programme permettant la reconstitution d'un signal x(t) à partir de la série de Fourier, en faisant varier le paramètre M. En exécutant ce programme, on obtient les spectres suivant pour différentes valeurs de M : M=2 M=100 M=3 M=7 M=10000 Ainsi, il est remarqué que lorsque la valeur de M augmente, le signal x(t) tend à se rapprocher de celui présenté dans le sujet. De même, en se référant à la série de Fourier fournie dans le sujet, on peut envisager que l'augmentation du paramètre m’entraîne une augmentation du nombre d'harmoniques. Par conséquent, plus il y a d'harmoniques, plus le signal x(t) est échantillonné et se rapproche du signal initial. En effet, lorsque la valeur de M est faible, la somme de la série de Fourier est également faible, ce qui conduit à un échantillonnage médiocre de x(t). En conclusion, lorsqu'on examine les spectres générés avec Matlab, celui correspondant à la valeur de M la plus grande est celui qui ressemble le plus au signal x(t), car il se rapproche le plus du signal de base. EXERCICE 2 : Analyse de la TFD Mouad Semlali Hadil Naanai TD2 Soit le signal de la figure f(k) de la figure 2 . 1. Calcul manuel de la TFD du signal f(k), module, phase On rappelle la formule de la TFD : 𝑁−1 𝑚 𝐹[𝑚] = ∑ 𝑓(𝑛)𝑒 −𝑗2𝜋 𝑁 𝑛 𝑛=0 Dans notre cas, nous avons : 5 𝑚 𝐹[𝑚] = ∑ 𝑓(𝑘)𝑒 −𝑗2𝜋 6 𝑘 𝑘=0 Nous obtenons alors en utilisant la formule : 𝐹[0] = ∑5𝑛=0 𝑓(𝑘)𝑒 −𝑗2𝜋×0 =∑5𝑘=0 𝑓(𝑘)=3+2+3=8 1 𝐹[1] = ∑5𝑛=0 𝑓(𝑘)𝑒 −𝑗2𝜋×6 =3+2𝑒 𝐹[2] = 𝑓[0] + 𝑓[1]𝑒 −𝑗2𝜋 3 −𝑗𝜋 3 +3𝑒 + 𝑓[2]𝑒 −𝑗2𝜋 3 −𝑗4𝜋 3 5 =2 - 1 5√3 𝑗 2 √3 𝑗 2 =2 - = 2,5 - 4,3301j = 0,5+0,866j 𝐹[3] = 𝑓[0] + 𝑓[1]𝑒 −𝑗𝜋 + 𝑓[2]𝑒 −𝑗2𝜋 = 4 F[4]=𝑓[0] + 𝑓[1]𝑒 F[4]=𝑓[0] + 𝑓[1]𝑒 −𝑗4𝜋 3 −𝑗5𝜋 3 + 𝑓[2]𝑒 + 𝑓[2]𝑒 −𝑗8𝜋 3 −𝑗10𝜋 3 1 =25 2 = + √3 𝑗== 2 5√3 𝑗 2 0,5-0,866j = 2,5 + 4,3301j On récapitule dans le tableau ci-dessous le module, la phase. 0 1 2 3 4 5£ F[m] 8 2,5 -4,3301j 0,5+0,866j 4 0,5+0,866j 2,5 +4,3301j | F[m]| 8 1 4 < F[m] (argument) 0 5 𝜋 𝜋 3 3 − = -60° = 60° 0 1 5 𝜋 𝜋 3 3 − = -60° = 60° Mouad Semlali Hadil Naanai TD2 2) EXERCICE 3 : Comparaison des spectres signal périodique et non périodique 1) Soit le signal rectangulaire d’une durée de 6 secondes, avec une valeur de 1 pendant 2 secondes. On écrit le programme suivant et on obtient le signal suivant : 2) On écrit le programme suivant et on obtient le spectre sinus cardinal suivant en faisant la transformée de Fourier : 3) Mouad Semlali Hadil Naanai TD2 3)On écrit le programme suivant, qui permet de réaliser l’étude sur 6 périodes de signal rectangulaire complète, et non 6, et on obtient le signal périodique suivant : 4) On obtient le spectre suivant qui correspondent aux résultats de la compilation du signal rectangulaire répété dans le temps: 5) Il est observé que lorsqu'on examine une seule période du signal rectangulaire, sa transformée de Fourier se présente sous la forme d'un sinus cardinal, centré autour de fe/2. Malgré cela, les harmoniques demeurent distinctes sur le spectre et interfèrent avec le pic de la fondamentale. En étudiant le spectre et la transformée de Fourier sur une période de 6, on constate que les harmoniques ainsi que le pic de la fondamentale se regroupent davantage. Cela indique une meilleure qualité d'échantillonnage. Par conséquent, il est possible de conclure que plus on analyse de périodes du signal rectangulaire, plus le pic de la fondamentale à fe/2 devient prédominant sur le spectre, tandis que les harmoniques sont réduites et atténuées. EXERCICE 4. Études des paramètres d’échantillonnage 1) Nous utilisons Matlab pour générer un programme x(t) ainsi qu'un spectre, ce qui nous permettra d'observer différentes valeurs de f et d'analyser les paramètres de fréquence et de nombre des points. Mouad Semlali Hadil Naanai TD2 Signal X(t) : Spectre : Nous compilons en utilisant divers paramètres, puis nous observons les résultats suivant : Pour M = 64 ; Fe = 1024 : Signal Spectre Pour M = 2048 ; Fe = 1024 : Signal Spectre Mouad Semlali Hadil Naanai TD2 Pour M =128 ; Fe = 300 : Signal Spectre Pour Pour M =8000 ; Fe = 300 : Signal Spectre On conclut que lorsque la fréquence d'échantillonnage est élevée, la période d'échantillonnage est plus courte, ce qui entraîne un plus grand nombre de points et permet de mieux récupérer le signal recherché. En revanche, si la fréquence d'échantillonnage est basse, les pics dans le spectre seront moins évidents. 2) A présent étudier le spectre du signal 𝑥(𝑡) en changeant les paramètres suivants : 𝑓H= 70 Hz ; 𝑓H=200 Hz ; 𝐹H=300 Hz 𝑁=2048. Mouad Semlali Hadil Naanai TD2 On observe que cette situation n'est pas optimale, car le signal obtenu dans ce cas est très bruité et difficile à exploiter. Exercice 5. Système discret domaines temporel/fréquentiel 1) Pour rappel, la convolution y[k] est définie comme suit: ∞ 𝑦[𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛]. ℎ[𝑘 − 𝑛] 𝑛=−∞ Pour notre cas spécifique : x[n]=[3,2,3,0] et h[n]=[2,2] Calculons manuellement y[k]: Pour k=0 : y[0]=3.2=6 Pour k=1 : y[1]=3.2 + 2 . 2 = 10 Pour k=2 : y[2]=3.2 + 2 . 2 + 3 . 2= 18 Pour k=3 : y[3]= 2 . 2 + 3 . 2= 10 Pour k=4 : y[4]= 2 . 2 = 4 Calcul de y[n] par la méthode de la TFD: Calculons d'abord les transformées de Fourier des signaux d'entrée et de réponse impulsionnelle: Pour x[n]=[3,2,3,0]: X(ω)=3𝑒 +2𝑒 +3𝑒 𝑗0𝜔 𝑗1𝜔 𝑗2𝜔 Pour h[n]=[2,2]: H(ω)=2𝑒 +2𝑒 𝑗0𝜔 𝑗1𝜔 Maintenant, multiplions X(ω) et H(ω) ensemble: Y(ω)= (3𝑒 +2𝑒 +3𝑒 ) . ( 2𝑒 +2𝑒 ) 𝑗0𝜔 𝑗1𝜔 𝑗2𝜔 𝑗0𝜔 𝑗1𝜔 Enfin, appliquons la transformée de Fourier inverse (TFI) à Y(ω) pour obtenir y[n]. Affichage des signaux en utilisant « stem » et « plot ». : Mouad Semlali Hadil Naanai TD2 2) Exercice 6. Application Filtrage 1) Mouad Semlali Hadil Naanai TD2 En traitement du signal, un bruit gaussien est un bruit dont la densité de probabilité est une distribution gaussienne (loi normale). 2) 3) 4) Mouad Semlali Hadil Naanai TD2 Exercice 7. Simulation d’un système de traitement du signal (Simulink) A. Échantillonneur bloqueur En prenant un paramétrage initial avec une fréquence de 0.2 Hz, un sample time de 0.001 et un quantizer de 0.1 , le schéma obtenu est le suivant : Mouad Semlali Hadil Naanai TD2 Comme anticipé, on observe graphiquement une augmentation du nombre d'oscillations dans un intervalle de temps donné. Cette différence est également perceptible dans le spectre, où l'on constate une augmentation de l'amplitude de l'harmonique fondamentale, en corrélation avec l'augmentation de la fréquence d'entrée, ce qui est conforme aux attentes. En effectuant un zoom sur le tracé graphique, on remarque que la courbe représentant l'échantillonnage se rapproche progressivement de la courbe sinusoïdale continue générée en entrée à mesure que la fréquence d'échantillonnage augmente, ce qui est tout à fait attendu. En ce qui concerne le spectre, on observe une réduction des différences d'amplitude entre les harmoniques. B. Système de filtrage continue/discret 1. Choix du filtre : une fréquence de coupure de 10 rad/s : Mouad Semlali Hadil Naanai TD2 Résultat obtenu : Courbe rouge= signal d’entrée sinusoïdal + bruit Courbe bleu= entrée signal sinusoïdal Courbe jaune= signal d’entrée sinusoïdal + bruit(Filtré) -En observant le graphique (à gauche), on peut clairement voir que la courbe jaune (signal filtrée est nettement différente de la bleue (signal d’entrée) donc la fréquence de coupure du filtre passe bas n’est pas la bonne et est trop élevé. Lorsque le filtrage est effectué de manière efficace, cela se traduit par l'obtention d'un signal bien filtré. Ainsi, en comparant le signal jaune (filtré) avec le signal bleu (signal d'entrée), on peut clairement observer les effets du filtrage réussi, sans nécessairement identifier le déphasage induit par le filtre. En augmentant la variance du générateur aléatoire de bruit, il est clair que le signal de bruit devient plus dominant par rapport au signal d'entrée. En conséquence, le signal résultant de l'addition du signal d'entrée et du bruit (filtré) ne correspond pas parfaitement au signal original. À mesure que la variance du générateur aléatoire de bruit augmente, le bruit devient de plus en plus prédominant par rapport au signal d'entrée, ce qui entraîne une dissimilitude croissante entre le signal filtré et le signal d'entrée. Mouad Semlali Hadil Naanai TD2 2. Signal sinusoïdal d’entrée + Bruit = Signal d’entrée+Bruit Le montage avec filtre est le suivant : Le filtre le plus adapté pour cette tâche est un filtre passe-bas d'ordre 8 avec une fréquence de coupure de 2 rad/s. Cela s'explique par le fait que pour des filtres passe-bas de différents ordres et avec des fréquences de coupure différentes, le signal filtré présente davantage de divergences par rapport au signal d'entrée initial. Ce choix permet de mieux éliminer le bruit et les harmoniques présents dans les hautes fréquences. C .Application audio « son des oiseaux dans une forêt » Grâce à la configuration présentée ci-dessus, nous remarquons dans le spectre que les harmoniques augmentent en amplitude dans la plage de fréquences comprise entre environ 2100 Hz et 6000 Hz lorsque les oiseaux chantent. Ainsi, nous envisageons d'utiliser un filtre passe-bande avec des fréquences de coupure de 2100 Hz et 6000 Hz afin de ne conserver que le chant des oiseaux.
