projet TDS

Mouad Semlali
Hadil Naanai
TD2
Exercice 1 : Série de Fourier
On écrit un programme permettant la reconstitution d'un signal x(t) à partir de la série de Fourier, en
faisant varier le paramètre M.
En exécutant ce programme, on obtient les spectres suivant pour différentes valeurs de M :
M=2
M=3
M=7
M=100
M=10000
Ainsi, il est remarqué que lorsque la valeur de M augmente, le signal x(t) tend à se rapprocher de
celui présenté dans le sujet. De même, en se référant à la série de Fourier fournie dans le sujet, on
peut envisager que l'augmentation du paramètre m’entraîne une augmentation du nombre
d'harmoniques. Par conséquent, plus il y a d'harmoniques, plus le signal x(t) est échantillonné et se
rapproche du signal initial. En effet, lorsque la valeur de M est faible, la somme de la série de Fourier
est également faible, ce qui conduit à un échantillonnage médiocre de x(t). En conclusion, lorsqu'on
examine les spectres générés avec Matlab, celui correspondant à la valeur de M la plus grande est
celui qui ressemble le plus au signal x(t), car il se rapproche le plus du signal de base.
EXERCICE 2 : Analyse de la TFD

Mouad Semlali
Hadil Naanai
TD2
Soit le signal de la figure f(k) de la figure 2 .
1. Calcul manuel de la TFD du signal f(k), module, phase
On rappelle la formule de la TFD :
Dans notre cas, nous avons :
Nous obtenons alors en utilisant la formule :
 =
 =3+2+3=8
 =3+2
 +3  =
 -  = 2,5 - 4,3301j
=
-   = 0,5+0,866j
F[4]=
-  == 0,5-0,866j
F[4]=
 +  = 2,5 + 4,3301j
On récapitule dans le tableau ci-dessous le module, la phase.
0
1
2
3
4
5£
F[m]
8
2,5 -4,3301j
0,5+0,866j
4
0,5+0,866j
2,5 +4,3301j
| F[m]|
8
5
1
4
1
5
< F[m]
(argument)
0
 = -60°
 = 60°
0
 = -60°
 = 60°

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Hadil Naanai
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2)
EXERCICE 3 : Comparaison des spectres signal périodique et non périodique
1)
Soit le signal rectangulaire d’une durée de 6 secondes, avec une valeur de 1 pendant 2 secondes. On
écrit le programme suivant et on obtient le signal suivant :
2) On écrit le programme suivant et on obtient le spectre sinus cardinal suivant en faisant la
transformée de Fourier :
3)

Mouad Semlali
Hadil Naanai
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3)On écrit le programme suivant, qui permet de réaliser l’étude sur 6 périodes de signal rectangulaire
complète, et non 6, et on obtient le signal périodique suivant :
4) On obtient le spectre suivant qui correspondent aux résultats de la compilation du signal
rectangulaire répété dans le temps:
5)
Il est observé que lorsqu'on examine une seule période du signal rectangulaire, sa transformée de Fourier se
présente sous la forme d'un sinus cardinal, centré autour de fe/2. Malgré cela, les harmoniques demeurent
distinctes sur le spectre et interfèrent avec le pic de la fondamentale. En étudiant le spectre et la transformée
de Fourier sur une période de 6, on constate que les harmoniques ainsi que le pic de la fondamentale se
regroupent davantage. Cela indique une meilleure qualité d'échantillonnage. Par conséquent, il est possible de
conclure que plus on analyse de périodes du signal rectangulaire, plus le pic de la fondamentale à fe/2 devient
prédominant sur le spectre, tandis que les harmoniques sont réduites et atténuées.
EXERCICE 4. Études des paramètres d’échantillonnage
1)
Nous utilisons Matlab pour générer un programme x(t) ainsi qu'un spectre, ce qui nous
permettra d'observer différentes valeurs de f et d'analyser les paramètres de fréquence et
de nombre des points.

Mouad Semlali
Hadil Naanai
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Signal X(t) : Spectre :
Nous compilons en utilisant divers paramètres, puis nous observons les résultats suivant :
Pour M = 64 ; Fe = 1024 :
Pour M = 2048 ; Fe = 1024 :
Signal
Spectre
Signal
Spectre