Université Cadi Ayyad
Faculté polydisciplinaire
Département de physique
Safi
Année Universitaire: 2018 /2019
Filières SMPC/ SMIA
El Mokhtar El Ouardi
TD de mécanique du point matériel
Correction de la série N°3 : dynamique du point (Facultatif)
Exercice N°1
Dans un plan Oxy un cercle de diamètre OA tourne à la
vitesse angulaire constante autour du point O. On
associe au centre du disque deux axes rectangulaires CX′
et CY′. A t = 0, le point A est sur OX′ et un point M
initialement en A parcourt la circonférence dans le sens
contraire au sens trigonométrique avec la vitesse
angulaire .
1- Exprimer les composantes des vecteurs vitesse et
accélération de M dans le repère Oxy.
2- Exprimer les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M par rapport au
repère CX′Y′.
3- Déterminer les expressions de la vitesse et l’accélération d’entrainement.
Correction de l’exercice N°1
1- dans le repère Oxy:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
Posant R le rayon du cercle
On a dans Oxy : ⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ et
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x ⃗⃗⃗
) ⃗⃗⃗
OM
⃗⃗⃗⃗ = (1
⃗⃗⃗⃗
La vitesse de M: on dérive x et y par rapport au temps.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM
⃗⃗⃗ =
R cos t ⃗⃗⃗
e
| = R sin t e⃗⃗⃗
L’accélération de M : on dérive le vecteur vitesse par rapport au temps.
d ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ =
R sin t ⃗⃗⃗
e
| = = R cos t e⃗⃗⃗
2- dans le repère CX′Y′ :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
CM = Rcos( t)e⃗⃗⃗⃗⃗ Rsin( t)e⃗⃗⃗⃗⃗
La vitesse de M : on dérive X′ et Y′ par rapport au temps.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
CM
⃗⃗⃗ =
| = R sin t e⃗⃗⃗⃗⃗ R cos t e⃗⃗⃗⃗⃗
L’accélération de M: dériver le vecteur vitesse par rapport au temps.
Mécanique du point matériel
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⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗
|
=
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R
t e⃗⃗⃗⃗⃗
R
|
⃗⃗ (R R)
Safi
sin t e⃗⃗⃗⃗⃗
3La vitesse d'entraînement
⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗
OC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
CM
⃗⃗⃗ = R sin te⃗⃗⃗ R cos te⃗⃗⃗
e R ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ = R sin te⃗⃗⃗ R cos te⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
e
⃗⃗⃗ = R sin te⃗⃗⃗ R (1 cos t)e⃗⃗⃗ )
L’accélération d'entraînement :
La rotation étant uniforme
=0
L'accélération d'entraînement est :
⃗⃗⃗⃗⃗
OC
⃗⃗ (R R)
⃗⃗⃗ =
|
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
CM
⃗⃗ (R R)
(⃗⃗ (R R)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
CM
⃗⃗⃗ =
R cos t e⃗⃗⃗ R sin t e⃗⃗⃗
e⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗
e
⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗ =
R cos t e⃗⃗⃗ R sin t e⃗⃗⃗
e
⃗⃗⃗
e⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ =
R cos t e⃗⃗⃗ R sin t e⃗⃗⃗
e
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ =
R cos t e⃗⃗⃗ R sin t e⃗⃗⃗
OM
⃗⃗⃗ (M)
L’accélération complémentaire:
⃗⃗⃗ (M) = 2 ⃗⃗ (R R) V
⃗⃗⃗ (M) = 2 ⃗⃗⃗
e ( R sin t e⃗⃗⃗⃗⃗ R cos t e⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗ (M) = 2 R sin t ⃗⃗⃗⃗⃗
e
2R
cos t e⃗⃗⃗⃗⃗
Exercice N°2
Soient ℜ( ,𝑥 𝑧) un référentiel absolu muni de la base ( , , ⃗k) et ℜ (O , u
⃗ ,u
⃗ , ⃗k) le
référentiel relatif dont l’origine O1 est en mouvement rectiligne sur l’axe ( 𝑧). On donne
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OO = at ⃗k où 𝑎 est une constante positive et t le temps.
En plus, ℜ1 tourne autour de l’axe ( 𝑧) avec une
)= ⃗
vitesse angulaire constante 1 telle que ⃗⃗ (
( = ̇ ). Dans le plan horizontal (O , u
⃗ ,u
⃗ ), une tige
(𝑇) tourne autour de l’axe ( 1𝑧) avec une vitesse
angulaire constante 2, tel que =
= ( ⃗̂
, ) ) où
est le vecteur unitaire porté par la tige (T).
Un point est assujetti à se déplacer sur la Tige (𝑇). Il
est repéré dans le référentiel ℜ1 par : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
où
( , , ⃗ ) est une base mobile dans ℜ1.
N.B : Toutes les expressions vectorielles doivent être
exprimées dans la base ( , , ⃗ ).
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I-Etude de la cinématique de M par décomposition de mouvement :
1) Déterminer ⃗ (
2) Déterminer ⃗ (
3) En déduire ⃗ (
4) Déterminer (
5) Déterminer (
6) Déterminer (
7) En déduire (
) la vitesse relative de .
) la vitesse d’entrainement de .
)la vitesse absolue de .
) l’accélération relative de .
) l’accélération d’entrainement de
) l’accélération de Coriolis de .
) l’accélération absolue de .
.
II-Etude de la cinématique de M par calcul direct :
8) Retrouver ⃗ ( ) par calcul direct.
9) Retrouver ( ) par calcul direct.
Correction de l’exercice N°2
I-Etude de la cinématique de M par décomposition de mouvement :
1- la vitesse relative de :
d ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
O M
⃗⃗⃗ (M) =
V
e⃗⃗⃗⃗
| = ̇ e⃗⃗⃗⃗
dt
2- La vitesse d’entrainement de :
⃗⃗⃗ (M) = V
⃗ (O R) ⃗⃗ (R R)
V
3- La vitesse absolue de :
⃗⃗⃗ (M) = ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ (M) = ̇ e⃗⃗⃗⃗
V
V (M) V
4- l’accélération relative de :
⃗⃗⃗ (M) = ( ̈
5- L’accélération d’entrainement de
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
O M=
e⃗⃗⃗⃗
(
) e⃗⃗⃗⃗
) e⃗⃗⃗⃗
2 ̇
⃗
ak
a ⃗k
e⃗⃗⃗⃗
:
⃗
⃗
⃗⃗⃗ (M) = ⏞
⃗ (O R)
⏞⃗⃗
d (R R)
|
dt
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
O M
⃗⃗ (R R)
6- L’accélération de Coriolis de :
⃗⃗⃗ (M) = 2 ⃗⃗ (R R) ⃗⃗⃗
V (M) = 2
7- L’accélération absolue de :
⃗ (M) = ⃗ (M)
⃗ (M) ⃗ (M) = ( ̈
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
O M) =
(⃗⃗ (R R)
( ̇ e⃗⃗⃗⃗
e⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
e )
) ) e⃗⃗⃗⃗
2 ̇ ((
) e⃗⃗⃗⃗
II-Etude de la cinématique de M par calcul direct :
⃗⃗⃗ (M) par calcul direct :
8- V
⃗⃗⃗ (M) =
V
d ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM
|
dt
⃗⃗ (R R)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
OM
9- ⃗⃗⃗ (M) par calcul direct :
d ⃗⃗⃗
V (M)
d ⃗⃗⃗
V (M)
⃗⃗⃗ (M) =
| =
|
dt
dt
= ( ̈
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(
(
̇ e⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ (R R)
) ) ⃗⃗⃗⃗
e
2 ̇ ((
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)e⃗⃗⃗⃗
a ⃗k
⃗⃗⃗ (M)
V
) e⃗⃗⃗⃗
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Exercice N°3
Correction de l’exercice N°3
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Exercice N°4
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Correction de l’exercice N°4
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Exercice N°5
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Correction de l’exercice N°5
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Exercice N°6
Soit ℜ( ,𝑥 𝑧) un référentiel orthonormé direct et
Galiléen, muni de la base ( , , ⃗ ). Soit un point
matériel de masse 𝑚. Le point
glisse sans
frottement le long de la tige (𝑇) qui tourne dans le
plan horizontal (𝑥 ) autour de l’axe ( 𝑧) avec
une vitesse angulaire constante ( = et >0).
est soumis, en plus de son poids ⃗⃗ et de la
réaction de la tige ⃗⃗ , à une force ⃗ =𝐹 ⃗ . Dans
ces conditions, le mouvement de
le long de la
tige suit la loi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ , ( étant le temps et 𝑎
une constante positive). ( , , ⃗ ) est la base
cylindrique liée à la tige.
N.B : Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base (⃗ , ⃗ , ⃗ ).
1- Calculer la vitesse ⃗ ( /ℜ) et l’accélération ( /ℜ) de dans ℜ en fonction de 𝑎, et
.
2- Déterminer ⃗ ( ℜ) le moment cinétique en du point
ainsi que sa dérivée par
rapport au temps dans ℜ.
3- Déterminer les moments de chacune des forces agissant sur le point .
4- En appliquant le théorème du moment cinétique, trouver les expressions des
composantes de ⃗⃗ .
5- Déterminer ( /ℜ) l’énergie cinétique du point
dans ℜ ainsi que sa dérivée par
rapport au temps dans ℜ.
6- Déterminer les puissances de chacune des forces agissant sur le point .
7- En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, trouver l’expression de ⃗ .
Correction de l’exercice N°6
Soit ℜ( ,𝑥 𝑧) un référentiel orthonormé direct et
Galiléen, muni de la base ( , , ⃗ ). Soit
un point
matériel de masse 𝑚. Le point glisse sans frottement
le long de la tige (𝑇) qui tourne dans le plan horizontal
(𝑥 ) autour de l’axe ( 𝑧) avec une vitesse angulaire
constante ( = et >0). est soumis, en plus de
son poids ⃗⃗ et de la réaction de la tige ⃗⃗ , à une force ⃗
=𝐹 ⃗ . Dans ces conditions, le mouvement de le long
⃗ , ( étant le temps et 𝑎
de la tige suit la loi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
une constante positive). (
cylindrique liée à la tige.
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,
, ⃗ ) est la base
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N.B : Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base (⃗ , ⃗ , ⃗ ).
1- Calculons la vitesse ⃗ ( /ℜ) et l’accélération ( /ℜ) de dans ℜ en fonction de 𝑎,
et .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗(
⃗
) =
| = ⃗
⃗(
) =
⃗(
)
| =
2- On détermine ⃗ ( /ℜ) le moment cinétique en
rapport au temps dans ℜ.
⃗
du point
⃗
ainsi que sa dérivée par
3- On déterminer les moments de chacune des forces agissant sur le point
.
4- En appliquant le théorème du moment cinétique, les expressions des composantes de
⃗⃗ .
5- On déterminer ( /ℜ) l’énergie cinétique du point
rapport au temps dans ℜ.
dans ℜ ainsi que sa dérivée par
6- On déterminer les puissances de chacune des forces agissant sur le point
.
7- En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, l’expression de ⃗ .
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Exercice N°7
Une masse m glisse { partir d’un point A et sans vitesse initial sur une surface formée par
une sphère de rayon a et de centre O on négligera les frottements.
1- En utilisant les coordonnées FRENET et le Principe fondamentale
de la dynamique, déterminer l’expression de la vitesse de la masse m
puis déduire l’expression de la réaction R de la surface sur la masse,
est-il possible que m quitte la surface.
2- En utilisant le théorème du moment cinétique et les coordonnées
intrinsèques (base de Frenet) l’expression de la vitesse de la masse m.
Correction de l’exercice N°7
La masse est soumise à deux forces son poids et la réaction du support a) On applique le
principe fondamental de la dynamique :
⃗
⃗ = 𝑚 ( ) si on choisi la base de Frenet, il faut
projeter cette équation sur cette base
⃗ =
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗
⃗ =
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
L’équation tangentielle sera :
=
=
(1)
L’équation normale sera :
=
De l’équation (1) on déduit l’expression de la vitesse
=
=
avec
=
∫
=
(2)
=
=
=∫
Donc
= √
(
Détermination de la réaction :
[
=
]
)
- la masse quitte la surface pour R=0
= 𝑚 (3
2)
= 2 3
d’où
= 48°
⃗
b) En utilisant le théorème du moment cinétique
= ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM F
Puisque on a deux forces donc on aura deux moments de force celui du poids et celui de la
réaction.
⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑚⃗ =
𝑎⃗⃗⃗⃗
𝑚 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 𝑚 ⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗
=𝑎𝑚
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Donc on aura
Mécanique du point matériel
⃗ =
𝑎⃗⃗⃗⃗
(𝑚
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
sin
⃗ =
⃗⃗⃗⃗
𝑚 cos ⃗⃗⃗⃗ ) =
( ⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗
𝑎⃗⃗⃗⃗
⃗
=
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Exercice N°8
Un point matériel M de masse m parcourt dans le référentiel ( , , ⃗ ), une
trajectoire plane d’équation paramétrique : x(t) = t et y(t) = A cos( t).
1 Trouver l’équation de la trajectoire. Quelle est sa nature ?
2 Ecrire l’expression du vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ). En déduire l’expression de la vitesse
⃗(
) puis l’expression de l’accélération (
).
3 Tracer l’allure de la trajectoire dans le plan xOy. Représenter en un point maximum de
la trajectoire le vecteur vitesse et le vecteur accélération. Trouver les expressions des
accélérations normale ⃗⃗⃗ et tangentielle ⃗⃗⃗ en ce point maximum choisi.
4/ Calculer la résultante 𝐹 des forces appliquées au point M lors de son mouvement.
5/ Calculer son énergie cinétique Ec(M/ R).
Correction de l’exercice N°8
1- Equation de la trajectoire : y(x) = A cosx, c’est une trajectoire sinusoïdale.
2- Vecteur position : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) = 𝑥
=
( ) .
) =
Vecteur vitesse : ⃗ (
( ) .
) =
Vecteur accélération : (
3- L’allure de la trajectoire :
(
) =
⃗
) et ⃗⃗⃗ = 0
Au point maximum, M, on a : ⃗⃗⃗ = (
4- La résultante des forces appliquées au point M : d’après le principe fondamentale de la
dynamique, on a :
)
𝐹 = 𝑚 (
5- L’énergie cinétique
1
1
) = = 𝑚 [1
( )]
= 𝑚⃗ (
2
2
Exercice N°9
Une masse m glisse sans vitesse initiale d’un point A dans un demi-cercle de rayon R
figure.
I - Si on néglige les frottements :
1- Est-ce que l’énergie totale (mécanique) de la masse se
conserve durant son mouvement ?
2- déterminer sa vitesse au point B.
3- A quelle hauteur h1 la masse atteint ?
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II- si on a la présence de frottements sur l’arc AB et la vitesse de la masse au point B vaut
√ , calculer le travail des forces de frottements. A quelle hauteur h 2 la masse atteint si
l’arc BC est lisse (pas de frottements).
III- si on suppose qu’on se trouve dans le 2ème cas, et la masse m démarre avec une vitesse
initiale V0. On remarque qu’elle arrive au point C avec une vitesse nulle.
- déterminer le travail de la force de frottement. Calculer la vitesse de la masse au point B.
Correction de l’exercice N°9
I) 1- puisque que la masse n’est soumise qu’a son poids ⃗ et la réaction du support sur la
masse ⃗
( ⃗ ) = 0 par ce que la ⃗ est perpendiculaire au déplacement.
Comme le poids est une force qui dérive d’un potentiel alors
( )
( )=
( )
( )
21
𝑚
0= 0
𝑚
2
( )=
( )
c𝑚
= 𝑚
=
( )=
=
( )
donc la masse
atteint le point C.
II- le chemin AB n’est pas lisse donc présence des forces de frottements
totale ne se conserve pas
et l’énergie
( )
( ) =
( )=
1
𝑚
𝑚
=
( ) = 𝑚(√ )
2
2
Comme le chemin BC est lisse, pas de force de frottement, donc l’énergie totale se
conserve :
III-
( )=
( )
𝑚
= 𝑚
=
( )=
Exercice N°10
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Correction de l’exercice N°10
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Exercice N°10
Correction de l’exercice N°11
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Exercice N°12
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Correction de l’exercice N°12
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Exercice N°13
Soit un référentiel de repère ( , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ). Une bille assimilée à un point P, de
masse m, est astreinte { se déplacer sans frottements le long d’un demi-cercle de rayon a
(Figure ci-dessous).
Le point P est attaché { un fil élastique dont l’autre extrémité est fixée en O'(OO' = a).
Le fil possède une raideur k et une longueur à vide l0.
Le point P est repéré par l’angle (Ox,OP) = θ.
1. a/ Exprimer le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
′ en fonction de a, θ dans
la
base
polaire (⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗
, ⃗⃗⃗⃗ ) ,
En
déduire
l’expression du module O'P.
b/ Exprimer la tension ⃗ du fil en fonction de a, k, l0 et
θ dans cette même base.
2. a Déterminer l’expression du vecteur vitesse ⃗
dans la base polaire.
b/ On note ⃗ la résultante des forces exercées sur la bille P. Donner l’expression de la
puissance ⃗ . ⃗ en fonction de a et θ.
(c) En déduire l’énergie potentielle Ep dont dérive la force ⃗ .
3. (a) On suppose vérifiées les relations suivantes entre les paramètres :
=
,
=√ (
)
Quelles sont les positions d’équilibre θ1 et θ2 pour 0
?
(b) Étudier la stabilité des équilibres obtenus.
Correction de l’exercice N°13
1. a On remarque sur a figure de l’énoncé que :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 (⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ }
⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 ⃗⃗⃗⃗
Exprimons le vecteur unitaire ⃗ en fonction de ⃗ et de ⃗ pour obtenir l’expression
demandée :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 (1
⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
) ⃗⃗⃗⃗
𝑎
⃗⃗⃗⃗
Le module de ce vecteur est :
[𝑎
]
)]
‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √[𝑎 (1
‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √2𝑎 (1
1
)
‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 2 𝑎
=2
}
2
⃗ =
b la bille est soumise { une force de rappel d’expression 𝑇
(
2
) ⃗ , où = ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
′ ‖
et ⃗ le vecteur unitaire suivant la direction ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
′ . On peut décomposer le vecteur ⃗ en deux
composantes : ⃗ =
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⃗
⃗ .
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Donc la tension du fil élastique est :
⃗ =
𝑇
[(2 𝑎
⃗
⃗ )]
)(
2
2
2
2.a Le vecteur vitesse est défini par l’expression :
⃗ = 𝑎̇⏟
⃗ =𝑎 ̇ ⃗
⃗
𝑎 ̇⃗
⃗
b- La force 𝐹 est la résultante de trois forces : le poids ⃗ , la tension ⃗ et la réaction:
⃗
⃗
𝐹 = ⃗
𝑇
=𝐹.
= (⃗
⃗.
= (𝑚 cos
⃗.
𝑇
=
[(2𝑎
⃗.
𝑇
= [
2𝑎
⃗.
𝑇
= 𝑎 ̇2 𝑎
⃗
⃗ .
=𝐹.
⃗
𝑇
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ). 𝑎 ̇ ⃗⃗⃗⃗
𝑚 sin
)(
2
2
2
2
=0
2
= (⃗
= 𝑎 ̇ [( 𝑎
⃗ ).
⃗
𝑇
2
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗.
2
2𝑎
2
𝑎 ̇
⃗ ).
=
⃗⃗⃗⃗ )] . 𝑎 ̇ ⃗⃗⃗⃗
2
⃗⃗⃗⃗
⃗.
𝑇
2
𝑎 ̇ 𝑚 sin
=
2
1
= 𝑎 ̇2
2
𝑎 ̇ 𝑚 sin
𝑎 ̇2
⃗⃗⃗⃗
2
𝑎 ̇
1
2
⃗⃗⃗⃗ ] . 𝑎 ̇ ⃗⃗⃗⃗
2
𝑎 ̇
2
𝑚 ) sin
]
2
c A partir de la puissance on en déduit le travail élémentaire qu’on intègre pour obtenir
l’expression de l’énergie potentielle :
=
=
]
= 𝑎 ̇ [( 𝑎 𝑚 )
sin ]
2
=
=
[( 𝑎
𝑎 ∫ [( 𝑎
= 𝑎 [( 𝑎
sin ] 𝑎 ̇
2
𝑚 )
𝑚 )
𝑚 )
sin ]
2
cos ]
2
3. a Pour trouver les positions d’équilibre on cherche les valeurs de θ pour lesquelles la
dérivée première de l’énergie potentielle s’annule. On remplace d’abord a et l0 qui se
trouvent dans la parenthèse par leurs valeurs respectives qui sont données dans
l’expression de Ep :
= 𝑚 𝑎*
2
2√3 cos +
On dérive cette dernière expression par rapport { θ, puis on procède { une transformation
trigonométrique adéquate pour obtenir à la fin le résultat suivant :
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= 𝑚 𝑎[
√3 sin ]
2|
= 𝑚 𝑎 sin [√3 2 cos ]
2
2
sin = 2 sin cos
2
2
On en déduit les deux valeurs de θ pour lesquelles la dérivée première s’annule :
=0
0
|
|
=0
=
b- D’après l’énoncé on doit déterminer les positions d’équilibre stable et d’équilibre
instable. Pour cela on doit chercher le signe de la seconde dérivée de l’énergie potentielle
pour les deux valeurs θ1 et θ2:
√3
= 𝑚 𝑎 [ cos
1]
2
2
(
= 0) = 𝑚 𝑎 *
(
= )=
√
1+
0
0
Equilibre instable
Equilibre stable
Exercice N°14 : Force élastique et oscillateur
Soit un référentiel galiléen de repère ( , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ). Une bille quasi-ponctuelle de
masse M est repérée par le point P. Elle se déplace sans frottements le long d’un demicercle de rayon a. Un ressort de raideur k et de longueur à vide l0 est attaché entre le point
P et un point O′ fixe (OO′ = a). Le
point P est repéré par l’angle = ( ̂
𝑥, ). Cet angle permet de définir la base polaire
(⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ). Le vecteur ⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
est le vecteur unitaire dont la direction est la direction du
ressort. Dans la configuration du schéma, le ressort est en extension.
Figure 2 – Schéma de l’oscillateur.
1. Exprimer le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
′ en fonction de a, θ , En déduire le module de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
′ .
2. Exprimer ⃗ la force exercée par le ressort sur la masse M en fonction de a, k, l0 et θ dans
la base polaire.
3. Exprimer le vecteur vitesse du point P dans la base polaire. En déduire l’expression de
l’énergie cinétique.
Mécanique du point matériel
Prof. El Ouardi El Mokhtar
27
Université Cadi Ayyad
Faculté polydisciplinaire
Département de physique
Safi
4. Le système est-il conservatif ? Justifier. Que peut-on dire de l’énergie mécanique ?
Dorénavant on pose que
=
et
=√ (
).
5. Donner l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur.
6. Donner l’expression de l’énergie potentielle du ressort. En déduire que l’énergie
potentielle totale vaut (à une constante près).
(on pourra utiliser les relations
=
7. Dans l’intervalle
= cos
1
et
= 2
):
𝑎[
2√3 cos ]
2
[0 , ], quelles sont les 2 positions d’équilibre θ1 et θ2 ? Identifier la
position stable.
8. En dérivant par rapport au temps l’énergie mécanique, déterminer l’équation
différentielle du
mouvement de P.
9. On se place maintenant dans le contexte d’une petite variation angulaire α autour de la
position d’équilibre stable θe (voir question 6). La position angulaire θ est donc définie
telle que ( ) =
( ). Montrer que l’équation différentielle du mouvement est de la
forme: ̈
= .
Montrez { l’aide des questions précédentes que A = 0. Donnez la pulsation 0 et en
déduire la période des oscillations T0.
10. On considère maintenant que le mécanisme est plongé dans un fluide visqueux
⃗⃗⃗ où K est le coefficient de viscosité du fluide et ⃗⃗⃗ le
exerçant sur P une force : 𝐹 =
vecteur vitesse du
point P. L’équation différentielle du mouvement devient alors de la forme : ̈
̇
= 0.
Donnez l’expression de b. En considérant que le mouvement a lieu en régime
pseudopériodique, donner l’expression de α(t).
Mécanique du point matériel
Prof. El Ouardi El Mokhtar
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