Contribution à l`analyse topologique des images : étude d

UNIVERSITÉ DE MARNE-LA-VALLÉE
THÈSE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE MARNE-LA-VALLÉE
Discipline : Informatique Fondamentale et Applications
présentée et soutenue publiquement
par
Christophe LOHOU
le 20 décembre 2001
Titre :
Contribution à l’analyse topologique des images :
étude d’algorithmes de squelettisation pour images 2Det3D,
selon une approche topologie digitale ou topologie discrète.
Directeur de thèse :
M. Gilles BERTRAND
JURY
M. Christian Ronse Président,Rapporteur
M. Rémy Malgouyres Rapporteur
M. Didier Arquès Examinateur
M. Gilles Bertrand Examinateur
M. Antoine Manzanera Examinateur
Thèse préparée au laboratoire A2SI de l’ESIEE
(École Supérieure d’Ingénieurs en Électronique et Électrotechnique -
Noisy-le-Grand)
(c) Université de Marne-La-Vallée, Christophe Lohou - 2004.
Origine : http://pelleas.univ-mlv.fr - URN : http://pelleas.univ-mlv.fr/document/UMLV-2004-000167-PDF

ii
Remerciements
Je remercie :
– M. Christian RONSE d’avoir accepté d’être rapporteur et président du jury. Sa lecture
minutieuse et ses remarques ont largement contribué à améliorer mon mémoire,
– M. Rémy MALGOUYRES d’avoir accepté d’être rapporteur, ainsi que pour ses critiques
constructives,
– M. Didier ARQUÈS et M. Antoine MANZANERA, qui m’ont fait l’honneur de participer
au jury.
Je remercie :
– les membres du laboratoire A2SI de l’ESIEE :
– Gilles BERTRAND pour sa disponibilité, ses qualités pédagogiques et l’encadrement
scientifique exceptionnel dont il m’a permis de bénéficier, ses précieux conseils lors de
la rédaction et la correction d’articles. Je lui suis infiniment reconnaissant d’avoir par-
tagé pistes et nombreuses idées brillantes, qui nous ont permis l’obtention de résultats
significatifs dans le domaine de la squelettisation. Enfin, je le remercie de m’avoir éga-
lement autorisé une grande liberté dans mes travaux et de m’avoir fait confiance. C’est
un privilège d’avoir été initié à la Recherche dans de telles conditions.
– Michel COUPRIE pour ses conseils toujours pertinents, tant scientifiques (travail sur les
isométries) que rédactionnels (relecture d’articles), et ses encouragements,
– Laurent PERROTON pour m’avoir encadré durant mon stage de DEA et m’avoir fait
connaître les BDD, outils indispensables dans ma thèse, ainsi que pour son visualisateur,
– et toutes les autres personnes du département informatique, en particulier : Dominique,
Fabiana, Mohammed, Denis, Thierry, Eric et Christophe,
– mes amis stagiaires, thésards, ou docteurs :
– Shahram, pour sa gentillesse légendaire,
– les occupants de la “cellule” 5352 :
– Jean-Christophe (pour ses nombreux conseils en tout genre),
– Petr, entre autres pour la collaboration sur l’étude topologique du réseau vasculaire
du foie,
– Francisco (sa bonne humeur permanente et surtout sa disponibilité),
– (puis par ordre d’apparition) Zouina, Hervé, Ahmed, Ailton, Junia, Khaled, Eva, Sébas-
tien, Stéphane, Yukiko, Silvio, Xavier, Cédric, Marco, Alain ...
Je remercie mes parents Annette et Marcel, mes sœurs Nathalie et Céline (et leurs maris
Christophe et Hervé) pour m’avoir encouragé durant ces années d’étude.
Je remercie infiniment ma compagne Delphine pour sa patience et son soutien, pour avoir
“réglé son horloge sur la mienne”.
Ce travail leur est dédié.
Merci à mes amis Carole et Hervé, Lydia et Étienne, Agnès et Fabrice, Paulo, la famille de
Delphine et la mienne, Pacha ....

Table des matières
Introduction 1
I Topologie digitale, simplicité et schémas de squelettisation 7
1 Notions de base de topologie digitale 9
1.1 Espace discret de représentation d’une image binaire ............... 9
1.1.1 Pavage et maillage [CM91] . . . . . . ................... 9
1.1.2 Image discrète binaire et maillage . . ................... 9
1.1.3 Cas des images binaires tridimensionnelles . ............... 10
1.2 Distances . . . . . ................................. 11
1.3 Voisinages, voisins et points adjacents . . . . ................... 12
1.4 Théorème de Jordan dans R2............................ 13
1.4.1 Illustration du paradoxe de l’analogue discret du théorème de Jordan . . . 13
1.5 Définitions [KR89] ................................. 15
1.5.1 Image et points . . . . . .......................... 15
1.5.2 Adjacence . ................................. 16
1.5.3 Connexité . ................................. 16
1.5.4 Chemin . . ................................. 16
1.5.5 Points particuliers et courbes . . . . . ................... 17
1.5.6 Théorème de Jordan dans Z2........................ 18
1.6 Notion de trou . . . ................................. 18
2 Genre 2D et simplicité 21
2.1 Définition du genre [Mor80] . . .......................... 21
2.1.1 Genre du complémentaire . . . . . . ................... 23
2.2 Calcul du genre 2D de façon locale . . . . . . ................... 23
2.3 Exemples de calcul de genre 2D .......................... 25
2.3.1 Objet simplement connexe . . . . . . ................... 25
2.3.2 Objet avec trou . . . . . .......................... 26
2.3.3 Autre exemple . . . . . .......................... 26
2.4 Simplicité d’un point . . . . . . .......................... 27
2.5 Caractérisations en pratique d’un point simple ................... 29

iv TABLE DES MATIÈRES
2.5.1 Nombre de Hilditch . . . .......................... 29
2.5.2 Nombre de Rutovitz . . .......................... 29
2.5.3 Nombres topologiques . .......................... 30
2.5.4 Table de consultation . . .......................... 34
2.5.5 Graphes de décision binaire . . . . . ................... 34
2.6 Suppression en parallèle de points . . . . . . ................... 34
2.6.1 Suppressibilité et suppressibilité forte [Ron86][Ron88] . . ........ 35
2.6.2 Ensembles minimaux non supprimables . . . ............... 38
2.6.2.1 Définition et caractérisation par Ronse . . . . . ........ 38
2.6.2.2 Caractérisation par Hall . . ................... 39
2.6.2.3 Exemple . . . .......................... 39
2.7 Conclusion . . . . ................................. 41
3 Genre 3D et simplicité 43
3.1 Introduction . . . . ................................. 43
3.2 Définition du genre ................................. 44
3.2.1 Nouvelle approche du concept de trou [Mor80] . . . . . . ........ 44
3.2.2 Définition du genre 3D........................... 44
3.2.3 Genre du complémentaire . . . . . . ................... 45
3.3 Calcul du genre 3D de façon locale . . . . . . ................... 45
3.4 Exemples de calcul de genre 3D .......................... 47
3.4.1 Objet avec une composante connexe . ................... 47
3.4.2 Objet avec une composante connexe et un trou . . . . . . ........ 47
3.4.3 Objet avec une composante connexe et deux trous . . . . . ........ 47
3.4.4 Objet avec une composante connexe et un trou (cas (26,6)) ou quatre
composantes connexes (cas (6,26)) .................... 49
3.4.5 Objet avec une composante connexe et un trou . . . . . . ........ 49
3.4.6 Objet avec une composante connexe et une cavité . . . . . ........ 52
3.5 Simplicité d’un point . . . . . . .......................... 53
3.6 Caractérisations en pratique d’un point simple ................... 58
3.6.1 Nombres topologiques . .......................... 58
3.6.1.1 Voisinages géodésiques . . ................... 60
3.7 Classification topologique . . . .......................... 61
3.8 Suppression en parallèle de points . . . . . . ................... 62
3.9 Conclusion . . . . ................................. 65
4 Schémas d’algorithmes de squelettisation 67
4.1 Introduction . . . . ................................. 67
4.2 Terminologie concernant l’amincissement ou la squelettisation . . ........ 68
4.2.1 Algorithme d’amincissement ou de squelettisation. Noyau homotopique
ou squelette ................................. 68
4.2.2 Différences entre l’approche itérative ou parallèle de suppression de points 68
4.2.2.1 Approche itérative . . . . . ................... 68

TABLE DES MATIÈRES v
4.2.2.2 Approche parallèle . . . . . ................... 69
4.3 Stratégies mises en œuvre dans les algorithmes parallèles de squelettisation . . . 69
4.4 Complexité des algorithmes . . .......................... 73
4.5 Conclusion . . . . ................................. 73
II Points P-simples, et nouveaux algorithmes de squelettisation pour
images 3D binaires, basés sur la suppression de points P-simples 75
5 Points P-simples 79
5.1 Introduction . . . . ................................. 79
5.2 Définitions [Ber95a] . . . . . . .......................... 79
5.2.1 Exemples . ................................. 81
5.2.1.1 Points non Pn-simples : miseen défaut de chacune des conditions 81
5.2.2 Autres caractérisations . .......................... 81
5.3 Un schéma de squelettisation valide opérant par suppression de pointsP-simples
[Ber95a] . . . . . . ................................. 83
5.3.1 Description ................................. 83
5.3.2 Commentaires et résultats . . . . . . ................... 84
5.3.2.1 Remarques sur la décision d’appartenance à l’ensemble P... 84
5.3.2.2 Résultats . . . .......................... 87
5.4 Liens entre les points P-simples, les ensembles simples et les MNS ........ 87
5.4.1 Propriétés des ensembles P-simples par rapport aux MNS ........ 87
5.5 Démarche systématique de la vérification de la validité d’un algorithme . . . . . 89
5.5.1 Condition suffisante de la validité d’un algorithme . . . . ........ 89
5.5.2 Condition suffisante mais non nécessaire . . ............... 89
5.5.3 Homotopie et homotopie forte . . . . ................... 90
5.5.4 Récapitulatif concernant une démarche systématique . . . ........ 92
5.6 Conclusion . . . . ................................. 92
6P-simplicité d’algorithmes et nouveaux algorithmes basés sur les points P-simples 95
6.1 Introduction . . . . ................................. 95
6.1.1 Notations utilisées . . . .......................... 96
6.2 Points Px-simples . ................................. 97
6.2.1 Ensemble Px................................ 97
6.2.2 Exemple . ................................. 98
6.2.3 Schémas d’algorithmes de squelettisation basés sur la suppression de
points P-simples . . . . .......................... 99
6.3 Mode opératoire de tests et de propositions d’algorithmes . . . . . ........101
6.4 Algorithmes à base de sous-mailles . . . . . . ...................101
6.5 Algorithmes en 6sous-itérations directionnelles . . . ...............103
6.5.1 Étude de la P-simplicité de l’algorithme de Gong et Bertrand . . . . . . 103
6.5.1.1 Rappels de l’algorithme de Gong et Bertrand (GOBE) [GB90] . 103