Chap 2 les systèmes linéaires continus et invariants

Leçon 1: Les Systèmes Linéaires Continus Et Invariants
I. Introduction
I.1 Les systèmes - Définitions et exemples
-Un système peut être défini comme un
ensemble
d’éléments
exerçant
collectivement une fonction déterminée.
- Un
système
communique
avec
l’extérieur
par
l’intermédiaire
de
grandeurs, fonctions du temps, appelées
signaux.
Dans la suite, on notera par x1(t)...xN(t) les signaux d’entrée, et
y1(t)...yM(t) les signaux de sortie.
08/10/2023
1
y1 (t )  f1  x1 (t ),..., x N (t ) 
Le système est parfaitement connu
quand on peut prédire ces signaux de
sortie, c’est-à-dire lorsqu’on connaît les
relations entre les xi et les yj
Exemple
...
y M (t )  f M  x1 (t ),..., x N (t ) 
avec
1
vs (t ) 
C
i t   C
t
 i dt
0
dvs (t )
dt
?
on a donc l’équation du système :
l’équilibre électrique du circuit se
traduit par l’équation
R i (t )  v?s  ve (t )
08/10/2023
dvs
RC
 vs (t )  ve (t )
dt
?
2
Structure d’un SLCI
Chaîne d’action ou
directe
Tâche à
réaliser
Réflexion
Tâche
réalisée
Action
Observation
Chaîne de retour
Perturbations
Consigne
Comparateur

+
-
Correcteur
Partie
opérative
Capteur
Sortie
Exemple de SLCI
L
u
R
u
i
i
i
uL
u  Ri
x
M
F
F  k x
F  M x
q
C
I
C  I q
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u  kew c  kt i
x
F
C
q
moteur
u
di
dt
k
C w
x
f
F
F   f x
k
C  k q
C
q
f
C   f q
4
I.2 Les systèmes linéaires
Un système est dit linéaire si
sa réponse à une combinaison
linéaire de signaux d’entrée
est égale à la combinaison
linéaire des signaux de sortie
I.3 Les systèmes invariants
Un système est dit invariant si sa
réponse à un signal x(t) différé d’un
temps t est la même que la réponse
y(t) du système mais différée de t
Ainsi si on applique à l’entrée:
x(t) = u.x1(t) + v.x2(t)
(u, v: deux constantes )
On obtiendra en sortie
y(t) = u.y1(t) +
? v.y2(t)
Cette propriété des systèmes
linéaires est aussi appelée
principe de superposition
08/10/2023
Un système invariant est aussi appelé
système à constantes localisées
Cette propriété des systèmes
invariants
est
aussi
appelée
principe de permanence
5
Équation différentielle
e(t)
S.L.C.I.
s(t)
Le comportement du système est régi par une équation différentielle
d ns(t)
d m e(t )
an
 ... a0 s(t )  bm
 ... b0 e(t )
n
m
dt
dt
Dans les cas réels, m  n : système causal: la cause e(t) précède l'effet s(t).
L’objectif est de déterminer s(t) connaissant e(t)
08/10/2023
6
II. Signaux canoniques
Pour caractériser le comportement
d’un système donné, on étudie sa
réponse à des signaux particuliers
appelés "signaux canoniques’’:
l’échelon; la rampe; le signal
sinusoïdal et l’impulsion
II.2 La rampe - réponse en vitesse
Ce signal est le signal de base
permettant d’analyser la réponse
d’un système en vitesse
?
e(t) = a*t *u(t)
II.1 L’échelon - réponse indicielle
La fonction échelon permet de
soumettre le système à une entrée
constante depuis t = 0.
II.3 Signal sinusoïdal
Ce signal est le signal de base
de l’étude fréquentielle des
systèmes linéaires
u(t) : fonction de
Heaviside
e(t) = E0 *u(t)
?
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u(t) = 0 pour t < 0
u(t) = 1 pour t > 0
e(t) = K sin(wt)
? u(t)
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II.4 L’impulsion de Dirac
Cette fonction, permet de simuler l’effet d’une action s’exerçant durant
un temps très bref (choc ; impulsion). La réponse est dite
impulsionnelle.
t  0
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 t   0 et

  t  dt  1

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Méthode de résolution
L’objectif est la résolution de l’équation différentielle
Domaine temporel
Domaine symbolique
Variable : t
Transformée de Laplace
Variable : p
Équation
différentielle
Fraction
rationnelle
e(t) → s(t) = ?
E(p) → S(p) = ?
2
Résolution : S(p) = ?
1
Transformée inverse
3
La résolution de l’équation différentielle se fait en 3 étapes
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9
III. Transformation de Laplace
La transformée de Laplace permet de remplacer les équations
différentielles qui relient les grandeurs caractéristiques de nos systèmes
par des relations à base de fractions rationnelles.
III.1 Définition
Considérons une fonction f de la variable réelle t supposée nulle pour les
valeurs négatives de t.
La transformée de Laplace de f, notée F est une fonction de la variable
complexe p définie par :

F  p   L f t    e pt f t  dt
0
Cette fonction n’est définie que pour les
valeurs de p telles que l’intégrale converge
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lim e pt f t   0
t 
10
III.2 Propriétés de la T.L
1. Linéarité:
si f et g ont des transformées
de Laplace alors :
La f t   b g t   a F  p  b G p
2. Transformée de la dérivée :
On procédant par une intégration par
partie du transformé de la fonction f(t)
en prenant
dv  e
 pt
et u  f t 
Montrer que:
 df 
L
 p F  p   f 0 

 dt 
Pareillement on aura :
d 2 f 
L
 p 2 F  p   p f 0  f ' 0
2 
 dt 
?
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3. Transformée de l’intégrale :
g t    f x  dx
Soit :
0
On exploitant la formule de la
Transformée du dérivée montrer
que:
t
1
1
L   f t  dt   G  p  
F  p 
g 0 




p
p
4. Théorème du retard
L f t  T    e pT F  p 
5. Théorèmes des limites
– Théorème de la valeur initiale :
lim f t   lim pF  p 
t 0
p 
– Théorème de la valeur finale :
lim f t   lim pF
?  p
t 
p 0
11
III.4 Recherche de l’originale d’une
transformée de Laplace
III.3 T.L. des signaux usuels
Impulsion de Dirac


0


0
0
 t e pt dt    t e0 dt  e0 .  t  dt  1
F  p 
Echelon unitaire
F  p 
1
p
?
F ( p) 
 pt
kte
dt 

0
?
Signal sinusoïdal
F ( p) 
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w
p2  w 2
 p  z1  p  z 2 ...
 p  p1  p  p2 ...
il suffit ensuite de décomposer la
fraction en éléments simples :
Rampe

Les
T.L.
se
présentent
généralement sous forme d’une
fraction rationnelle.
k
p2
F  p 
A
B

 ...
p  p1
p  p2
Nous
cherchons
ainsi
les
correspondants des termes dans le
tableau des transformées usuelles
12
1. Cas des pôles simples
On suppose pour commencer que d°(N(p))<d°(D(p)) et que les pôles pi
de F(p) sont simples:
F  p 
N  p
 p  p1  p  p2 ...  p  pm 
avec pi  p j si i  j
On peut alors toujours écrire :
F  p 
A1
p  p1
On en déduit :

A2
p  p2
 ... 
Am
p  pm
Avec

Ai  F  p  p  pi  p  p
i

f t   A1e p1t  A2 e p2t ?...  Am e pmt u t 
Application
Rechercher l’originale des fonctions F  p  
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p 1
1


F
p

p2  4
p 2  3 p  2 et
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2. Cas des pôles doubles
Supposons maintenant qu'on a toujours d°(N(p))<d°(D(p)), mais que F(p)
possède des pôles doubles
F  p 
F  p   ... 
Ai1
p  pi

N  p
2
... p  pi  ...
Ai 2  F  p  p  pi 
n
Ai 2
 p  pi 
2
 ...
Avec

p  pi
d F  p  p  pi 
Ai1 
dp
n

p  pi
Ainsi la contribution des fractions simples dues aux pôles doubles sont :


f t   ...  Ai1e pi t  A?i 2 t e pi t u t   ...
Application
Rechercher l’originale de la fonction
08/10/2023
F  p 
3p
p2  4 p  4
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3. Cas d’une fraction rationnelle quelconque
Dans le cas au d°(N(p))≥d°(D(p)) Il suffit de diviser le polynôme N(p) par
D(p)
R p 
Avec d R   d D
F  p   Q p  
D p 
L'inversion de la fraction rationnelle en R(p) se fait comme
précédemment, et l'inversion de Q(p) donne:


F  p   q0  q1 p  ...  qk p k  ...


f t   q0 t   q1 ' t  ?...  qk  k t   ...
Application
Rechercher l’originale de la fonction
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p3  3 p 2  4 p  3
F  p 
p2  2 p 1
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Décomposition en éléments simples
N(p)
D(p)
degré de D(p) > degré de N(p)
Cas 1 : toutes les racines de D(p) sont réelles et différentes (« pôles simples »)
D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p+a) (p+b) (p+c)…
a, b, c, réels
N(p) =
C
A + B
Alors :
+
[il y a autant de termes que le degré de D(p)]
p+a
p+b
p+c
D(p)
Cas 2 : des racines de D(p) sont réelles et égales (« pôles multiples, de mutiplicité n »)
D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p+a)n (p+b) (p+c)…
a, b, c, réels
A1
A2
A3
An
Alors :
N(p) =
C
+
+… +
+ B
+
+
p+a (p+a)2
p+b
p+c
D(p)
(p+a)3
(p+a)n
Cas 3 : des racines de D(p) sont complexes (pôles « complexes »)
D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p2+ap+b) (p+c)…
Alors :
N(p)
D(p)
Ap+B
C
=
+
p+c
p2+ap+b
Tel que le discriminant Δ est < 0
Cas 4 : des racines de D(p) sont complexes et multiples
D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p2+ap+b)n (p+c)…
A1p+B1
A2p+B2
Anp+Bn
C
N(p)
Alors :
+
+..+
+
p+c
D(p) = p2+ap+b (p2+ap+b)2
(p2+ap+b)n
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IV. Les Transmittances Opérationnelles
La transmittance opérationnelle (ou fonction de transfert) désigne le
rapport sortie sur entrée dans le domaine de Laplace
La
forme
initiale
de
l’équation différentielle est :
Appliquons l’opérateur de
Laplace à cette équation:
En prenant l’hypothèse de
conditions initiales nulles
C p  0
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dy t 
d n y t 
a0 y t   a1
 ...  an
dt
dt n
dx t 
d m xt 
 b0 xt   b1
 ...  bm
dt
dt m
a0 Y  p   a1 p Y  p   ...  an p n Y  p 
?
 b0 X  p   b1 p X  p   ...  bm p m X  p   C  p 
(C(p) polynôme en p)
Y  p  b0  b1 p  ...  bm p m
H  p 

X  p  a0  a1 p  ...  an p n
?
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V. Le minimum à apprendre
- Transformée de Laplace
F  p   L f t    e pt f t  dt

- Transformée de l’intégrale
1
1
L   f t  dt   G  p  
F  p 
g 0 




p
p
?
?
0
- Théorème du retard
L f t  T    e pT?F  p 
- Théorème de la valeur initiale
- Transformées des dérivées
lim f t   lim pF
?  p
t 0
 df 
L
  p F  p   f 0 
dt


?
d 2 f 
L
 p 2 F  p   p f 0  f ' 0
2 
 dt 
?
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p 
- Théorème de la valeur finale
lim f t   lim pF
?  p
t 
p 0
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- Transformée des signaux usuels
fonction
f(t)
- Transformée d’une équation
F(p)
Impulsion
 t?
Echelon
E0 . u(t)
?
?
a . t . u(t)
?
a
p?2
K sin(wt) u(t)
kw
p2  w 2
Rampe
Sinus
Exponentielle
------------------
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?
e−at
?
t.
e−at
?
?1
E0
p
?
1
pa
?
1
 p  a 2
?
Exemple
dy t 
d n y t 
a0 y t   a1
 ...  an
dt
dt n
dxt 
d m xt 
 b0 xt   b1
 ...  bm
dt
dt m
a0 Y  p   a1 p Y  p   ...  an p n Y  p 
?
 b0 X  p   b1 p X  p   ...  bm p m X  p   C  p 
- l’originale d’une transformée
Exemples
F  p 
1
p2  3 p  2
F  p 
3p
p2  4 p  4
p3  3 p 2  4 p  3
F  p 
p2  2 p 1
f(t)=?
19