tt IS2 ENSGSI POLY p42

École Nationale Supérieure en Génie des Systèmes et de l’Innovation
– Cours de deuxième année ingénieur –
Contrôle des Systèmes Linéaires
Benoît Marx, Maître de Conférences HDR à l’Université de Lorraine

Table des matières
1Introduction et outils théoriques 1
1.1 Signauxetsystèmes............................... 1
1.1.1 Systèmes................................. 1
1.1.2 Signaux ................................. 2
1.2 Systèmes linéaires et équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Systèmes décrits par des équations différentielles linéaires, invariantes 3
1.3 TransforméedeLaplace ............................ 6
1.3.1 Définitions................................ 7
1.3.2 Propriétés des transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Fonctiondetransfert .............................. 12
1.4.1 Détermination de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Schémas fonctionnels et algèbre des blocs . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 Exemple................................. 13
1.5 Réponse temporelle d’un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Pôles simples distincts réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.2 Pôles multiples réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.3 Pôles complexes conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Annexe : table de transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2Étude des systèmes linéaires du premier ordre 18
2.1 Intérêt des systèmes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Réponsestemporelles.............................. 18
2.2.1 Réponse impulsionnelle d’un premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Réponse Indicielle d’un premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Réponseàunerampe.......................... 20
2.2.4 Réponse à une sinusoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Réponsefréquentielle.............................. 22
2.3.1 Étude d’un intégrateur pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 Étude du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3Étude des systèmes linéaires du deuxième ordre 25
3.1 Intérêt des systèmes du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Réponsestemporelles.............................. 25
3.2.1 Réponse impulsionnelle d’un second ordre . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2 Réponse indicielle d’un second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Réponses fréquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Résumé ..................................... 31
3

4Étude des systèmes linéaires d’ordre quelconque 32
4.1 Introduction................................... 32
4.2 Réponse temporelle d’un système linéaire d’ordre quelconque . . . . . . . . 32
4.3 Analysefréquentielle .............................. 33
5Systèmes en boucle fermée 35
5.1 Introduction................................... 35
5.2 Effet de la boucle fermée sur un système simple . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 Effet de la boucle fermée sur un système du premier ordre . . . . . 37
5.2.2 Effet de la boucle fermée sur un système du second ordre . . . . . . 39
5.3 Structures classiques de régulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.1 Commande en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3.2 Commande en boucle ouverte avec compensation des perturbations 43
5.3.3 Commande en boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.4 Commande en boucle fermée avec compensation des perturbations . 44
6Analyse d’un système 46
6.1 Objectifs..................................... 46
6.2 Stabilité ..................................... 46
6.2.1 Définition ................................ 46
6.2.2 CritèredeRouth ............................ 47
6.2.3 Critères de Nyquist et du revers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3 Précision..................................... 51
6.3.1 Précisionstatique............................ 51
6.3.2 Précision dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 Robustesse.................................... 53
6.4.1 Robustesse aux incertitudes de modélisation . . . . . . . . . . . . . 53
6.4.2 Robustesse aux entrées de perturbations . . . . . . . . . . . . . . . 55
7Synthèse de quelques correcteurs 57
7.1 Objectifs..................................... 57
7.2 Augmenter le gain : correcteur P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3 Augmenter le gain en BF : correcteur à retard de phase . . . . . . . . . . . 59
7.4 Précision statique parfaite : correcteur PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.5 Améliorer la robustesse : correcteur à avance de phase . . . . . . . . . . . . 60
7.6 Améliorer précision et robustesse : correcteur PID . . . . . . . . . . . . . . 61
7.7 Comparaison des résultats de quelques régulateurs . . . . . . . . . . . . . . 63
7.8 Robustesse et suivi de trajectoire : correcteur RST . . . . . . . . . . . . . . 64
Sujets de travaux dirigés 68
TD1Approchesystème................................ 68
TD2 Transformée de Laplace et équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . 71
TD3 Linéarisation et schéma-blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
TD4Identification .................................. 73
TD5 Approche fréquentielle, diagrammes de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
TD6 Amélioration des performances en boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . . 75
TD7 Robustesse et boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
TD8 Réglages de correcteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Bibliographie 79

Chapitre 1
Introduction au traitement du signal, et
outils théoriques
1.1 Signaux et systèmes
1.1.1 Systèmes
La plupart des systèmes physiques peuvent être décrits au moyen de relations ma-
thématiques reliant les variables d’entrées aux variables de sorties au cours du temps.
L’action du système est alors équivalente à un opérateur mathématique de l’espace des
entrées, à valeurs dans l’espace des sorties. Par exemple dans un bassin versant on va
chercher à exprimer le débit (sortie) en fonction des pluies (entrées) ou dans une station
d’épuration on étudie la concentration en polluants rejetés dans le milieu naturel (sorties)
en fonction de la composition des eaux usées arrivant (entrées).
Les frontières du système, le nombre et la nature des entrées et des sorties, sont dictés
par la physique du système, mais aussi (voire surtout) par la vision qu’on s’en donne.
Considérons un vélo, les déplacements sont bien sûr fonction de la vitesse de pédalage, du
freinage, et de l’angle du guidon, mais on se rend vite compte qu’il est illusoire de ne pas
prendre en compte la vitesse du vent, l’état de surface du sol (relief, adhérence, etc). La
complexité du modèle résultera de la précision souhaitée de ce modèle. Ainsi, à un même
système physique, plusieurs modèles peuvent donc être associés.
Pour résumer, un système est un ensemble d’éléments reliés par un lien fonctionnel, par
exemple des équations mathématiques. Un système physique peut alors être représentés
par le schéma fonctionnel de la figure 1.1. En adoptant cette approche système, plusieurs
problèmes peuvent se poser :
—l’identification : les entrées et les sorties du système étant connues, on cherche
un modèle mathématique représentant le comportement entrée/sortie observé ;
—la commande : le modèle du système est connu, on cherche les entrées à appliquer
au système pour que les sorties aient un comportement donné.
SYSTEME
Entrée(s) Sortie(s)
Figure 1.1 – Schéma fonctionnel de l’approche système
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