TD 1

Travaux dirigés: Série 1 - Eléctricité II
September 11, 2014
Abstract
1
Université Mohammed V
Faculté des Sciences
Année Universitaire 2014-2015
SMP: S3
Electricité II
Travaux Dirigés: Série 1
Exercice I : Rappels et complements mathématiques
1) Gradient d’une fonction scalaire,
⃗ en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques,
a) Donner grad V = ∇V
( )
b) En déduire l’expression de grad 1r ,
2) Divergence d’un vecteur,
⃗ = ∇.
⃗ E
⃗ en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques,
Donner div E
3) Rotationnel d’un vecteur,
⃗ ∧A
⃗ en coordonnées cartésiennes,
a) Donner ∇
(
)
⃗ ∧ grad V , (ii) ∇.
⃗ ∇
⃗ ∧A
⃗ ,
b) En déduire : (i) ∇
4) Calcul intégral,
a) Donner le théorème de Green Ostogradsky reliant une intégrale triple à une intégrale
double,
b) Donner le théorème de stokes reliant une intégrale double à une simple.
⃗ crée par une boucle de courant
Exercice II: champ B
Un courant d’intensité I circule dans une spire circulaire de centre O et de rayon R. On
se propose de calculer le champ d’induction magnétique ⃗b (M ) crée au point M de l’axe
−
→
Oz de la spire.
1) Par des considérations de symétrie, déterminer:
a) Les variables dont dépend ⃗b (M ),
b) La direction de ⃗b (M ) ,
2) A l’aide de la loi de Biot et Savart, déterminer:
a) L’expression du champ ⃗b (M ) en fonction de z,
b) L’expression de ⃗b (M ) en l’angle α,
3) En déduire la valeur du champ:
a) Au centre de la spire, point z = 0,
b) Dans la limite z tend vers l’infini,
4) Un enroulement de spires jointives identiques d’épaisseurs très faibles vis-à-vis des
rayons des spires constitue une bobine plate.
⃗ (z) de la bobine,
a) Déduire de la question précédente le champ d’induction B
b) Justifier la réponse,
→
⃗ (z) le long de tout l’axe −
5) Calculer circulation de B
Oz
2
⃗ crée par un solénoide
Exercice III: champ B
Un solénoı̈de S fini est constitué d’un enroulement d’un fil conducteur autour d’un cylin−
→
dre d’axe ∆ que nous prenons Oz. Le fil, parcouru un courant permanent I, est suffisamment mince permettant d’imaginer le solénoı̈de comme une juxtaposition continue
−
→
de spires coaxiales de rayon R d’axe Oz,
1) Faire un schéma illustratif, on notera les angles limites α1 et α2 ,
2) Si pour une épaisseur dz autour du point P du solénoı̈de, nous avons N spires ; donner
la densité dn de spires par unité de longueur du solénoide,
3) On se propose de calculer le champ d’induction sur l’axe du solénoide,
−→
a) Donner l’expression du champ élémentaire dB en fonction de ⃗b (z) ,
⃗ (z) en fonction de α1 et α2 ,
b) Calculer le champ total B
4) En déduire la valeur du champ pour le cas d’un solénoide infini
⃗ et potentiel vecteur A
⃗
Exercice IV: champ B
On considère un conducteur cylindrique homogène de base circulaire de rayon R et de
longueur L supposée grande ( L tendant vers l’infini). Ce conducteur est parcouru par
un courant volumique axial d’intensité I et de densité volumique ⃗j = j⃗ez .
1) Par des considérations de symétrie, déterminer:
⃗ (M ) ,
a) Les variables dont dépend l’induction magnétique B
⃗ (M ),
b) La direction de B
⃗ = 0,
c) Vérifier que div B
⃗ (M ) en tout point de l’espace,
2) Déterminer l’expression du champ B
⃗ (M ) ,
3) Déterminer les variables dont dépend le potentiel vecteur A
⃗ (M ) ,
4) Déterminer la direction de A
⃗ = 0,
5) Vérifier que div A
⃗ =∇
⃗ ∧ A,
⃗ déterminer l’expression de A
⃗ (M ) en tout point de
6) A partir de la relation B
l’espace,
⃗ (ρ = R).
7) En déduire la constante d’intégration pour la condition A
3
Solution
Exercice I: Rappels et compléments mathématiques
1) Gradient d’une fonction scalaire
(a) en coordonnées cylindriques
∂V
1 ∂V
∂V
⃗eρ +
⃗eφ +
⃗ez
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
grad V =
en coordonnées sphériques
∂V
1 ∂V
1 ∂V
⃗er +
⃗eθ +
⃗eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
( )
(b) En déduire l’expression de grad 1r
( )
1
⃗er
⃗r
=− 2 =− 3
grad
r
r
r
grad V =
2) Divergence d’un vecteur
(a) en coordonnées cylindriques
⃗ =
div E
1 ∂ (ρEρ ) 1 ∂Eφ ∂Ez
+
+
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
en sphériques
⃗ =
div E
1 ∂ (r2 Er )
1 ∂ (sin θEθ )
∂Eφ
+
+
r2 ∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ∂φ
(b) a priori
(
div
⃗r
r3
)
=
1 ∂ (1)
= 0!
r2 ∂r
mais ceci n’est vrai que pour r ̸= 0. Pour r = 0, cette quantité diverge; en effet on
⃗ = q ⃗r3 , on a:
sait que pour le champ électrostatique E
4πε0 r
⃗ = ϱ =
div E
̸ 0
ε0
ce qui conduit à:
div
⃗r
ϱ
= 4π ,
3
r
q
ϱ = qδ (r) ,
4
avec δ distribution de Dirac
3) Rotationnel d’un vecteur
⃗ ∧A
⃗ en coordonnées cartésiennes
(a) Donner ∇
⃗ ∧A
⃗=
∇
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
∂Az
∂y
∂Ax
∂z
∂Ay
∂x
Ax
∧ Ay =
Az
y
− ∂A
∂z
z
− ∂A
∂x
x
− ∂A
∂y
(b)
⃗ ∧ ∇V
⃗ = ⃗0
rot (grad V ) = ∇
(
)
⃗ = 0
div rot A
4) relations de Stokes
∫∫∫
⃗
div Edτ
∫∫ V
→
⃗ −
rotB.
dS
∫∫
=
I
→
⃗ −
E.
dS :
−
⃗ →
B.
dl
=
S
Relation 1: Green-Ostogradsky
Σ=∂V
:
Relation 2: Stokes
C=∂S
⃗ crée par une boucle de courant
Exercice II: champ B
pour des détails voir section 4.2 du cours
1) i) ⃗b = ⃗b (z), ii) ⃗b = b (z) ⃗ez
2) loi de Biot et Savart
⃗b =
=
µ0 I sin3 α
⃗ez
2R
µ0 I
R2
2 (R2 +z 2 ) 32
3) valeur du champ:
(a) Au centre de la spire: point z = 0
⃗b = µ0 I ⃗ez
2R
(b) Dans la limite z tend vers l’infini
⃗b → ⃗0
5
⃗ez
4) bobine plate.
⃗ est obtenu par application du
Le champ B
principe de superposition
⃗ (z) créé par la bobine est la somme des champs
c’est à dire que le champ total B
créés par chacune des N spires: N⃗b
⃗ (z) =
B
µ0 N I
2R
µ0 N I
b3
2R (R2 +z 2 ) 23
=
−
→
5) circulation de B le long de tout l’axe Oz
∫∞
∫∞
Bdz
=
−∞
−∞
=
sin3 α ⃗ez
µ0 N I
R2
2 (R2 +z 2 ) 32
∫ ∞ ( µ0 N I
−∞
⃗ez
2R
dz
)
sin3 α dz
Ensuite utilisons les relations
sin3 α
=
tan α
z
dz
=
=
=
et les bornes
pour
R3
3
(R2 +z 2 ) 2
R
z
R
= R cot α
tan α
−R
dα
sin2 α
α
= R cos
sin α
z = −∞ ⇐⇒ α = π −
z=∞
⇐⇒ α = 0+
∫∞
Bdz
−∞
=
=
=
=
=
∫ 0+ ( µ0 N I
)
−R
dα
2R
π−
sin2 α
∫
+
0
− µ02N I π− sin αdα
µ0 N I ∫ 0+
d (cos α)
2
π−
µ0 N I
[cos α]0π
2
sin3 α
µ0 N I
⃗ crée par un solénoide S
Exercice III: champ B
voir sous -section 4.3 du cours:
On considerera 2 cas:
6
• solénoide fini avec: −z1 < z < z2
ou encore d’ouverture vu de M donnée par α1 , α2 ,
• solénoide infini avec: −∞ < z < ∞
ou encore α1 = π, α2 = 0.
1) schéma illustratif, voir fig
−→
Figure 1: Induction magnétique créé par un solénoide d’axe OZ
avec
dz = −
R
dα
sin2 α
2) densité dn de spires par unité de longueur du solénoide S
→
⃗ créé par S en un point M ∈ −
Pour calculer le champ B
Oz, on suppose que:
i) le fil est suffisamment mince et imaginer:
le solénoide S comme une juxtaposition continue de
−
→
spires coaxiales Si de rayon R d’axe Oz,
ii) pour une épaisseur dz autour du point P du solénoide, nous avons N spires.
dz
→
N spires
Cela veut dire que la densité dn de spires par unité de longueur du solénoide est
dn
=N
dz
⇒
7
dn = N dz
2 remarques:
X le solénoide S a donc les mêmes propriétés de symétrie que les spires Si .
X en fonction de l’angle α :
tan α =
⇒
R
z
z=
⇒
R
tan α
d’ou
dn = −N
Rdα
dz = − sin
2α
Rdα
sin2 α
⃗
3) (a) champ élémentaire: dB
⋆ une spire S, parcourue par I, créé un champ ⃗b; càd:
1 spire S
⃗b =
créé
µ0 I sin3 α
⃗ez
2R
−
→
⃗
⋆ une densité dn de spires autour de P créé en tout point M de Oz un champ dB
dn spires
⃗
dB
créé
Remplaçons ⃗b par sa valeur, on a:
(
⃗ = − N×
dB
= ⃗bdn
= N⃗bdz
= −N⃗b sinR2 α dα
µ0 I sin3 α
⃗ez
2R
)
×
R
dα
sin2 α
− µ02N I sin αdα⃗ez
=
⃗
(b) champ total: B
∫
⃗ (z) =
B
=
α2
⃗
dB
α1 ∫
α2
−⃗ez
α1
µ0 IN sin3 α
2R
∫
×
Rdα
sin2 α
= −⃗ez
α2
α1
d’ou
⃗ (z)
B
=
α1 )
µ0 IN (cos α2 −cos
⃗ez
2
4) Solénoide infini: α1 = π, α2 = 0,
⃗
B
= µ0 IN ⃗ez
−
→
= cte
−
→
⃗ est constant
sur l’axe Oz le champ B
8
µ0 IN
2
sin αdα
⃗ et potentiel vecteur A
⃗
Exercice IV: champ B
schéma illustratif: voir fig 2
Figure 2: conducteur cylindrique parcouru par J = jez . Coordonnées M = (ρ, φ, z) . Γ
est la courbe d’Ampère.
⃗ (M )
1) Propriétés de symétrie de B
(a) symétrie cylindrique implique (ici L est supposé infini)
⃗ =B
⃗ (ρ)
B
⃗ : le plan
(b) direction de B
Πs ≡ (⃗eρ , ⃗ez ) ⊥ ⃗eφ
contenant M
est un plan de symétrie du conducteur. Ceci implique
⃗ ⊥ Πs
B
⇔
⃗ = Bφ (ρ) ⃗eφ
B
⃗ :
(c) calcul de div B
En coordonnées cylindriques, on a:
⃗
div B
=
=
=
⃗ B
⃗
∇.
∂(ρBρ )
φ
+ ∂B
ρ∂ρ
ρ∂φ
∂Bφ
= 0 car
ρ∂φ
z
+ ∂B
∂z
Bφ = Bφ (ρ) ne dépendant ni de φ ni de z
9
⃗ (M ) en tout point de l’espace
2) Expression du champ B
⋆ le calcul se fait par le th d’Ampère (voir chap 2 pour plus de détails sur ce th)
I
→
⃗ −
B.
dl = µ0 I : Théorème d’Ampère
Γ
ou Γ est la courbe d’Ampère.
Dans notre cas, Γ est un cercle de rayon ρ passant par M
on a aussi
⃗ = B⃗eφ
B
→
−
dl = dρ⃗eρ + ρdφ⃗eφ + dz⃗ez
soit
→
⃗ −
B.
dl =
ρBdφ
Selon le choix de Γ on distingue deux cas:
a) ρ > R
,
b) ρ < R
i) cas ρ > R
Figure 3: Courbe d’Ampère.
La courbe d’Ampère est:
un cercle de rayon ρ passant par M
10
Comme ρ > R, le courant traversant S délimitée par Γ est
∫
∫
→
−
→−
I=
J .dS =
j dS
S
avec ∂S = Γ et
S
→
−
J =
−
→
dS =
→
j−
ez
→
dS −
ez
∫
d’ou
∫
I=
j dS +
0≤ρ≤R
ρ>R
j dS
|{z}
=0
et donc
I
=
jπR2
Le théorème d’Ampère implique
I
µ0 I
−
⃗ →
B.
dl
=
I
=
=
CΓ
2π
B (ρdφ)
0I
2π
ρB
dφ
0
=
2πρB
D’ou
Bφ
=
µ0 I
2πρ
avec I = jπR2
ii) cas ρ < R
Dans ce cas seule une partie du courant contribue car
Iint
∫ →
∫
→
− −
= S J .dS = j S dS,
= jπρ2
2
= (jπR2 ) Rρ 2
2
= I Rρ 2
le théorème d’Ampère donne
µ0 jπρ2
=
=
=
2
ρ
µ
I 0 I R2
→
⃗ −
B.
dl
C
Γ
I 2π
B (ρdφ)
0
= 2πρB
11
∂S = Γ
soit:
2πρB
=
2
µ0 I Rρ 2
et donc
B
ρ
µ0 I 2πR
2
=
⃗ (M ) :
3) variables de A
symétrie cylindrique implique:
⃗=A
⃗ (ρ)
A
il n’y a pas de variable z ni de variable φ
⃗ (M ).
4) direction de A
Le plan de symetrie Πs implique
⃗ ∈ Πs
A
càd qu’on a chercher 2 composantes.
Mais comme le plan
Πa = (⃗eρ , ⃗eφ )
est un plan d’antisymétrie
et que
⃗ ⊥ Πa
A
on a
⃗ = A (ρ) ⃗ez
A
⃗=0
5) Vérifier que div A
⃗
div A
⃗ A
⃗
= ∇.
ρ)
φ
z
z
= ∂(ρA
+ ∂A
+ ∂A
= ∂A
ρ∂ρ
ρ∂φ
∂z
∂z
= 0, car ne dépend pas de z
⃗ (M ) en tout point de l’espace
6) Expression de A
A partir de
⃗ =∇
⃗ ∧A
⃗
B
soit en éffectuant
Bρ (ρ) = 0
Bφ (ρ) ̸= 0
Bz (ρ) = 0
=
∂
∂ρ
∂
ρ∂φ
∂
∂z
12
Aρ = 0
∧ Aφ = 0 =
Az ̸= 0
0
z
− ∂A
∂ρ
0
soit
z
Bφ (ρ) = − ∂A
∂ρ
∫
Az = − Bφ dρ
⇔
on distingue 2 cas
α) ρ > R
β) ρ < R
µ0 I
Bφ = 2πρ
ρ
Bφ = µ0 I 2πR
2
:
:
α) ρ > R
Az (ρ) =
−
∫
µ0 I
dρ
2πρ
0I
= − µ2π
ln ρ + cte
⃗ permet de déterminer la constante pour ρ = R+
7) la condition sur A
⇒
Az (ρ = R) = 0
cte =
µ0 I
2π
ln R
soit
Az (ρ)
=
0I
ln ρ +
− µ2π
β) ρ < R
Az (ρ) =
−
∫
µ0 Iρ
dρ
2πR2
µ0 I
2π
0I
ln R = − µ2π
ln Rρ
µ0 I 2
′
= − 4πR
2 ρ + cte
⃗ permet de déterminer la constante ρ = R−
La condition sur A
soit
Az (ρ) =
=
cte′ =
⇒
Az (ρ = R) = 0
µ0 I 2
− 4πR
2ρ +
µ0 I
4π
13
(
1−
ρ2
R2
µ0 I
R2
4πR2
µ0 I
R2
4πR2
)