Maintenabilité. Maintenance

Maintenabilité. Maintenance
par
Pierre CHAPOUILLE
Ingénieur de l’Institut Électrotechnique de Grenoble
Ancien Chef de la Division Fiabilité et Qualification des Procédés de Bull SA
Ancien Chargé d’Enseignement de la Fiabilité au Conservatoire National
des Arts et Métiers
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Concepts de base.....................................................................................
Notion de maintenabilité ............................................................................
Définition ......................................................................................................
Décomposition des durées de maintenance active ..................................
Différence entre maintenabilité et maintenance.......................................
Notions sur la maintenance........................................................................
Fiabilité .........................................................................................................
Disponibilité .................................................................................................
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—
2
—
2
—
2
—
2
—
2
—
3
—
3
2.
2.1
2.2
Éléments théoriques ...............................................................................
Généralités sur les durées de maintenance ..............................................
Fréquence des actions de maintenance ....................................................
—
—
—
3
3
5
3.
3.1
3.2
3.3
3.4
Prévisions de maintenabilité ................................................................
Solution théorique.......................................................................................
Méthode de simulation ...............................................................................
Cas particuliers ............................................................................................
Durée totale d’immobilisation d’un système ............................................
—
—
—
—
—
8
8
8
9
9
4.
4.1
4.2
Vérification expérimentale....................................................................
Vérification qualitative ................................................................................
Vérification quantitative ..............................................................................
—
—
—
10
10
10
5.
5.1
5.2
5.3
Tests de démonstration statistique ....................................................
Méthode 1 de la norme MIL-STD 471 ........................................................
Méthode 2 de la norme MIL-STD 471 ........................................................
Test non paramétrique de la norme MIL-STD 473 ....................................
—
—
—
—
11
11
12
12
Références bibliographiques .........................................................................
—
13
et article est spécialement consacré à la maintenabilité et à la maintenance.
Cependant, la maintenabilité est si intimement liée à la fiabilité et à la
disponibilité que l’on devra parler sommairement de ces deux caractéristiques.
En effet, si la maintenabilité permet de réduire la durée des pannes et leur
coût, la fiabilité permet de réduire la fréquence de ces pannes. Toutes deux, grâce
au choix d’une politique de maintenance appropriée, ont pour but d’augmenter
la disponibilité des systèmes ou des équipements et de diminuer les coûts
d’entretien et les stocks de pièces de rechange.
T 4 305
12 - 1987
C
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T 4 305 − 1
MAINTENABILITÉ. MAINTENANCE
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1. Concepts de base
1.4 Différence entre maintenabilité
et maintenance
1.1 Notion de maintenabilité
La maintenabilité est une caractéristique précisant la facilité et la
rapidité avec lesquelles un système peut être remis en un état de
fonctionnement total avec une fiabilité correspondant à son âge.
La rapidité de remise en état d’un système peut être mesurée par
la durée active du dépannage. Par active, on entend qu’on ne
comptera pas les temps morts non imputables à la conception du
système, tels que les délais de réponse des dépanneurs, les durées
d’attente des pièces de rechange ou les temps passés à la rédaction
des pièces administratives, car ces temps dépendent de l’organisation et de l’efficacité du service de maintenance et non de la
conception du système.
Pour rendre le dépannage plus facile et plus rapide, on devra
prévoir, dès la conception, les moyens pour faciliter :
— le diagnostic des pannes existantes et de celles risquant de
survenir rapidement (défaillances par dégradation) ;
— l’accès aux pièces à remplacer, leur démontage et leur
remplacement ;
— le contrôle de la validité de l’action de maintenance.
La maintenabilité est une caractéristique du système et est définie
en terme de probabilité. En revanche, la maintenance est une action
réalisée par les techniciens de maintenance sur le système pour le
remettre en état.
1.5 Notions sur la maintenance
1.5.1 Types d’actions de maintenance
On distingue généralement trois types d’actions :
— l’entretien de routine, tel que le graissage ou les réglages
simples souvent confiés à l’utilisateur ;
— la maintenance corrective ou non programmée, qui a pour
but de réparer une panne déclarée ;
— la maintenance préventive ou programmée, qui a pour but de
prévenir des pannes prévisibles par des remplacements de pièces
non encore défaillantes ou des révisions périodiques.
1.5.2 Politiques de maintenance préventive
1.2 Définition
La durée de maintenance active, qui concerne la maintenabilité
comme la durée de maintenance totale incluant les temps morts,
est très variable en fonction de la panne, de l’aptitude du dépanneur
et des moyens d’aide dont il dispose. Ce sont des variables aléatoires
caractérisées par une densité de probabilité et une fonction de
répartition appelée fonction maintenabilité. Il en résulte que la
maintenabilité peut être mesurée par une probabilité, d’où une
définition possible :
« La maintenabilité est une caractéristique d’un système mesurée
par la probabilité d’être remis, par une action de maintenance, dans
des conditions opérationnelles définies, dans une durée fixée, les
ressources et les conditions d’environnement étant préalablement
spécifiées ».
Les conditions opérationnelles comprennent l’aptitude à remplir
les fonctions spécifiées avec un niveau de fiabilité et de sécurité
conforme au cahier des charges. Les ressources et les conditions
d’environnement doivent être conformes au plan de maintenance
du système.
1.3 Décomposition des durées
de maintenance active
Une action de maintenance comporte plusieurs tâches
successives. On peut considérer les tâches suivantes comme
typiques :
— vérifier la réalité de la panne ;
— identifier la pièce défaillante ;
— démonter le système pour accéder à la pièce ;
— retirer la pièce ;
— la remplacer par une pièce en bon état ;
— remonter le système ;
— contrôler le bon résultat de la réparation.
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La maintenance préventive permet de remplacer des pièces qui
se dégradent par suite d’usure, de fatigue, etc., avant qu’elles ne
provoquent une défaillance. Ces pièces présentent un taux de
défaillance croissant avec l’âge. La détermination de la durée entre
remplacements nécessite la connaissance de la distribution des
durées de vie. Elle fait appel à la théorie du renouvellement.
On a le choix entre plusieurs politiques de maintenance préventive. Les plus fréquentes sont les suivantes.
■ Dans la maintenance préventive systématique, on fixe les règles
strictes pour déterminer les dates de maintenance.
Suivant l’importance d’un équipement dans un système, celle-ci
peut s’effectuer :
— pour un âge fixé de l’équipement ; il faut alors disposer d’un
moyen pour connaître l’âge de l’équipement durant la vie du
système ;
— pour un âge fixé du système ; c’est le cas des révisions des
automobiles préconisées par les constructeurs ;
— à des dates fixes.
Les deux premières sont plus efficaces, mais difficiles à gérer. La
troisième se gère bien, mais elle est plus coûteuse en temps et en
pièces de rechange.
■ La maintenance préventive conditionnelle consiste à vérifier
périodiquement l’état des pièces qui se dégradent et à n’intervenir
que si l’état de dégradation est suffisamment avancé pour
compromettre la fiabilité du système. Elle nécessite des moyens de
mesure ou de test permettant d’apprécier l’état de dégradation.
L’évolution des capteurs de mesure (par exemple, les capteurs de
vibrations) et des dispositifs d’analyse automatique (par exemple,
l’analyse des huiles de graissage) associés aux télémesures et aux
ordinateurs rendent cette politique plus accessible. Elle est très
efficace, mais la gestion des ressources de maintenance est plus
difficile et nécessite souvent le recours à l’ordinateur.
Dans la pratique, on est amené, pour réduire les coûts de
maintenance et assurer la disponibilité des systèmes, à combiner
ces différentes politiques dans le plan de maintenance, par exemple
à prévoir une partie des actions de maintenance à dates fixes et à
en profiter pour effectuer les vérifications sur les pièces soumises
à la maintenance conditionnelle.
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1.5.3 Échelons de maintenance
Lorsque la maintenance s’applique à un parc important de
systèmes complexes ou techniquement difficiles à réparer sur place,
on prévoit des échelons de maintenance. En général, trois échelons
sont prévus :
— le premier correspond à des opérations simples, ne nécessitant
pas d’outillage spécial ni de compétences étendues, et habituellement effectuées par l’utilisateur ;
— le deuxième concerne des opérations effectuées sur le site par
des techniciens spécialisés, disposant de moyens de test mobiles
et d’un outillage adéquat, mais relativement réduit ;
— le troisième est réservé aux réparations difficiles, aux révisions
générales ou aux reconstructions ; elles s’effectuent soit en usine,
soit dans des centres de maintenance très équipés.
La définition des opérations à effectuer aux différents échelons
est liée aux choix réalisés concernant les niveaux d’échange des
éléments réparables (composant, sous-ensemble, équipement).
1.5.4 Problème des rebuts
Lors de l’étude de la maintenabilité et de l’établissement du plan
de maintenance, on doit faire le choix entre réparer ou rebuter un
élément défaillant. Si la maintenance se fait au niveau du composant,
le choix du rebut est fréquent. En revanche, si la maintenance se
fait à un degré d’intégration plus élevé, le choix doit être dicté par
des considérations économiques, en fonction des coûts de
réparation, du prix de revient de l’élément neuf, des stocks de maintenance, des délais et de la disponibilité à assurer au système.
Dans le cas le plus simple du régime permanent, en désignant par τ
la moyenne des durées de maintenance et par θ la MTBF, on a :
A = θ / (θ + τ)
Pour augmenter la disponibilité, il faut donc augmenter la durée
de bon fonctionnement et réduire la durée de maintenance.
2. Éléments théoriques
Ces éléments ne comprendront pas les éléments de probabilité
et de distribution statistiques communes à la fiabilité et à la maintenabilité qu’on trouvera dans l’article spécialisé du présent traité,
mais un exposé général sur les durées de réparation (§ 2.1) et sur
la fréquence des actions de maintenance et la théorie du renouvellement (§ 2.2).
2.1 Généralités sur les durées
de maintenance
On utilise souvent le terme de temps de réparation, alors qu’en
réalité, on s’intéresse à un intervalle de temps, donc à une durée.
De même, le terme de réparation ne concerne que la maintenance
corrective, alors qu’il faut également considérer la maintenance
préventive dans les études de maintenabilité. Enfin, rappelons qu’on
ne s’intéresse qu’à la durée de la maintenance active (§ 1.1).
2.1.1 Caractéristiques statistiques
1.6 Fiabilité
La fiabilité est une caractéristique d’un système mesurée par la
probabilité qu’il accomplisse les fonctions requises dans des
conditions données pendant une durée spécifiée.
Elle est donc concernée par un fonctionnement sans défaillance
du système pendant une durée donnée et est caractérisée par la
fonction de répartition R (t ) des durées jusqu’à défaillance (fonction
fiabilité).
La durée moyenne jusqu’à défaillance θ (moyenne des temps de
bon fonctionnement : MTBF) est une caractéristique fondamentale :
θ =
∞
0
La durée de maintenance est une variable aléatoire constituée par
la somme des durées des opérations élémentaires décrites au
paragraphe 1.3. Elle est caractérisée par une distribution de probabilité g (t ) dont la fonction de répartition :
M (t ) =
t
0
g ( u ) du
est la fonction maintenabilité. Cette fonction représente la probabilité de terminer la maintenance dans une durée au plus égale à t.
À partir de cette fonction maintenabilité, on peut calculer des
durées caractéristiques de la maintenance.
R ( t ) dt
Le taux instantané de défaillance z (t ) caractérisant la probabilité
de défaillance à l’âge t est donné par :
2.1.1.1 Durée moyenne de maintenance
C’est l’espérance mathématique de la durée :
dR ( t )
1
z ( t ) = – --------------- ⋅ ------------------R (t )
dt
Dans de nombreux cas, le taux de défaillance est constant avec
l’âge. On le représente par λ. Dans ce cas, la MTBF est :
θ = 1/ λ
et la fiabilité :
R (t ) = exp (– λt )
τ =
aussi égale à :
τ =
∞
0
t ⋅ g ( t ) dt
∞
0
[ 1 – M ( t ) ] dt
Elle est représentée par le sigle MTTR (en anglais : Mean Time To
Repair, en français : moyenne des temps techniques de réparation).
2.1.1.2 Durée maximale de réparation
1.7 Disponibilité
La disponibilité A est une mesure de la fraction du temps pendant
laquelle un système est disponible, c’est-à-dire en fonction ou apte
à fonctionner. C’est une probabilité fonction du temps.
Elle est généralement définie comme une durée telle que 95 % des
durées de maintenance lui seront inférieures ou égales. À noter que,
quelquefois, cette limite est ramenée à 90 %. Cette valeur Tmax est
donnée par M (Tmax ) = 0,95 (ou 0,90).
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MAINTENABILITÉ. MAINTENANCE
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2.1.1.3 Taux de maintenance
Fonction maintenabilité :
Cette notion est semblable à la notion de taux de défaillance en
fiabilité. Le taux de maintenance est donné par :
M (t ) = Φ (u )
fonction de répartition de la loi normale.
g (t )
µ ( t ) = -------------------------1 – M (t )
Durée moyenne de maintenance :
C’est généralement une fonction croissante du temps, ce qui
signifie que plus une action de maintenance progresse dans le
temps, plus il est probable qu’elle se termine rapidement.
Cependant, on suppose souvent le taux constant pour faciliter les
calculs.
Estimation de la durée moyenne :
τ=µ
1
^
µ = m = ----n
n
∑
ti
i=1
Estimation de l’écart-type :
2.1.2 Distribution des durées de maintenance
Dans de nombreux cas, il est difficile de choisir sans ambiguïté
la distribution représentant le mieux les données expérimentales.
Une analyse du processus et des causes de génération des
événements permet de mieux guider le choix de la distribution la
plus appropriée. Si cette analyse ne peut être faite, et en l’absence
de très nombreuses données expérimentales, on choisit souvent une
distribution qui facilite la résolution mathématique des problèmes.
^
σ = s
Remarque
En posant ϕ ( u ) = ( 1/ 2π ) exp ( – u 2 /2 ) et x = 1/ ( 1 + pu ) on
a approximativement (d’après [7]) :
Φ (u ) = 1 – [ϕ (u ) · (a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 )]
avec
2.1.2.1 Distribution exponentielle
C’est la plus facile à utiliser. Le taux de maintenance est constant,
généralement représenté par la lettre µ.
Distribution de probabilité :
g (t ) = µ exp (– µt )
p
= 0,332 67 ,
a 1 = 0,436 183 6 ,
a 2 = – 0,120 167 6 ,
a 3 = 0,937 298 0.
De même, la fonction inverse donnant u en fonction de Φ est
approximativement (d’après [7]) :
a0 + a1 x
u = x – -----------------------------------------1 + b1 x + b2 x 2
Fonction maintenabilité :
M (t ) = 1 – exp (– µt )
Durée moyenne de maintenance :
avec
τ = 1/µ
Durée maximale de réparation pour une probabilité α :
Tmax = – τ ln (1 – α)
soit, pour α = 0,95 :
et, pour α = 0,90 :
Tmax = 3 τ
x
p
a0
= 2 ln p ,
= (1 – Φ) < 0,5 ,
= 2,307 53 ,
a 1 = 0,270 61 ,
b 1 = 0,992 29 ,
b 2 = 0,044 81.
Durée maximale de maintenance :
— pour une maintenabilité de 0,95 :
Tmax = 2,3 τ
Estimation de τ à partir de n durées mesurées t i :
^
τ =
1
-------------- ∑ ( t i – m ) 2
n–1
≈
n
Tmax = µ + 1,65 σ
— et pour une valeur de 0,90 :
∑ ti /n
Tmax = µ + 1,28 σ
i=1
2.1.2.2 Distribution normale
2.1.2.3 Distribution log-normale
Si les durées de maintenance sont concentrées symétriquement
autour d’une valeur centrale, on peut utiliser la loi normale, dans
la mesure où le coefficient de variation σ/µ est plus petit que 1/3.
Le taux de maintenance est toujours croissant.
Distribution de probabilité :
La distribution log-normale représente assez bien les durées de
maintenance, avec un taux de maintenance croissant au départ, puis
passant par un maximum. Elle est caractérisée par le fait que le logarithme des durées suit une loi normale. Malgré ses avantages de
représentativité, elle est d’une utilisation difficile, en particulier pour
les systèmes redondants.
Si l’on désigne par ϕ (u ) la distribution normale réduite et par Φ (u )
la fonction de répartition correspondante, et que l’on fait la transformation u = (ln t – m )/s, où m et s sont les deux paramètres de
la loi log-normale, on a :
Distribution des durées de maintenance :
t–µ
1
g ( t ) = ------------------ exp ------------σ
σ 2π
avec σ écart-type.
En posant u = (t – µ)/σ on obtient la variable réduite de
distribution :
1
u2
ϕ ( u ) = -------------- exp – --------- = σ g ( t )
2
2π
qui est tabulée (article Statistiques [A 166] dans le traité Sciences
fondamentales).
T 4 305 − 4
g (t ) = ϕ (u )/ts
Fonction maintenabilité :
M (t ) = Φ (u )
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Taux de maintenance :
ϕ (u )
z (u)
µ ( t ) = ------------------------------------- = -------------ts [ 1 – Φ ( u ) ]
ts
avec
z (u )
Le tableau ci-après donne les valeurs de λTmax en fonction de k
pour des maintenabilités de 90 % et 95 %.
(0)
Valeurs de T max
taux de maintenance de la loi normale réduite.
Durée moyenne de maintenance :
Maintenabilité
s2
τ = exp m + -------2
Durée maximale de maintenance :
Tmax = exp (m + 1,65s ) pour 95 %
k
90 %
95 %
2
3
4
5
6
3,89
5,32
6,68
7,99
9,27
4,74
6,30
7,75
9,15
10,51
Tmax = exp (m + 1,28s ) pour 90 %
Pour des valeurs de k > 6 on a approximativement :
— pour 90 % : Tmax = k + (1,28 /k ) à mieux de 2 % ;
— pour 95 % : Tmax = k + (1,65 /k ) à mieux de 5 %.
Estimation de m :
^
m =
n
∑ ln ti /n
i=1
Remarque : la distribution d’Erlang est duale de la loi de
Poisson.
Estimation de s :
^
s ≈
n
( ln t i – m ) 2
M (t ) est donné par la probabilité cumulée de la loi de Poisson
de paramètre m = λt pour c = k – 1 événements.
∑ -----------------------------n–1
i=1
Dans le cas de la loi log-normale, on utilise fréquemment la durée
médiane de maintenance Tmed = exp (m ) correspondant à une
probabilité (maintenabilité) de 0,5. Les spécifications sont souvent
exprimées par une durée médiane et une durée maximale à ne pas
dépasser. On doit alors avoir :
m < ln Tmed
et si la durée maximale est donnée :
ln ( T max /T med )
s = -------------------------------------------- pour une maintenabilité de 0,95
1,65
ln ( T max /T med )
s = -------------------------------------------- pour une maintenabilité de 0,90
1,28
2.1.2.4 Distribution Gamma entière ou d’Erlang
Lorsque la durée de maintenance peut être considérée comme la
somme de k durées élémentaires distribuées exponentiellement
avec une même moyenne 1/ λ, elle peut être représentée par une
distribution Gamma entière d’ordre k.
Distribution des durées de maintenance :
λ
g ( t ) = --------------------- ( λt ) k – 1 exp ( – λt )
( k – 1 )!
Fonction maintenabilité :
M ( t ) = 1 – exp ( – λ t )
k–1
i=0
Taux de maintenance :
( λt ) k – 1
µ ( t ) = -------------------------------------------------k – 1 ( λt ) i
( k – 1 ) ! ∑ --------------i!
i=0
τ = k/λ
Durée maximale de maintenance : Tmax .
2.2.1 Notion de taux de renouvellement
Si un composant est remplacé lors d’une défaillance, on peut
déterminer le nombre moyen de pièces remplacées pendant une
durée t.
Soit H (t ) ce nombre moyen de remplacement, le taux de
renouvellement est alors : h (t ) = dH (t )/dt et peut être calculé par
l’équation du renouvellement (§ 2.2.3).
Il ne faut pas confondre le taux de renouvellement avec le taux
de défaillance. Ce n’est que dans le cas où le taux de défaillance
est constant, et qu’alors une maintenance préventive est inutile, que
les deux sont égaux à λ = 1/θ, θ étant la MTBF.
Le taux de renouvellement est donc en général une fonction du
temps. Cependant, dans le cas d’une maintenance uniquement
corrective, il tend vers une valeur limite λ c = lim h (t ) = 1/θ.
2.2.2 Renouvellement préventif à âge fixé
Si un composant a un taux de défaillance croissant, il peut être
remplacé préventivement lorsque son âge atteint une valeur T.
La moyenne des temps entre défaillances observées devient :
(λt ) i
∑ --------------i!
Durée moyenne de maintenance :
2.2 Fréquence des actions
de maintenance
T
θ0 =
0
R ( t ) dt / [ 1 – R ( T ) ]
plus élevée que la MTBF du composant. Le taux de renouvellement
correctif limite est :
λc = 1/θ0
et il apparaît un taux de renouvellement préventif limite :
R (T )
R (T )
λ p = ------------------------------- = -------------------------- ⋅ λ c
T
1 – R (T )
R ( T ) dt
0
Un exemple est donné figure 1.
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T 4 305 − 5
MAINTENABILITÉ. MAINTENANCE
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La moyenne du nombre de renouvellements au cours d’une
période t est solution de :
H (t ) = [1 – R (t )] +
t
0
H ( t – x ) ⋅ f ( x ) dx
ou de la forme équivalente :
H (t ) =
t
0
[ 1 + H ( t – x ) ] ⋅ f ( x ) dx
2.2.3.2 Renouvellement préventif à période fixe
Si un renouvellement préventif a lieu avec une période fixe T, sans
tenir compte des défaillances qui se sont produites pendant cette
période, la moyenne des temps entre maintenance (préventive et
corrective) est :
T
m (T ) =
0
T
[ 1 – H ( t ) ] dt = T –
0
H ( t ) dt
correspondant à un taux limite de renouvellement :
λG = 1/ m (T )
le taux moyen de renouvellement préventif étant évidemment :
λp = 1/ T
et le taux moyen de renouvellement correctif valant :
λc = λG – λ p = 1/ m (T ) – (1/ T )
correspondant à une durée moyenne entre défaillances observées :
θ0 = 1/ λc
2.2.3.3 Cas de la distribution exponentielle
Le processus de renouvellement est un processus de Poisson,
d’où :
h (t ) = λ
H (t ) = λ t
et
2.2.3.4 Cas de la loi normale
Figure 1 – Renouvellement à âge fixé. Cas d’une distribution
de Weibull
Si ϕ (u ) est la fonction de distribution de la loi normale réduite
t–iµ
et Φ (u ) sa fonction de répartition, on a, en posant u i = ---------------- :
σ i
2.2.3 Éléments de la théorie du renouvellement
h (t ) =
2.2.3.1 Processus de renouvellement simple
Dans ce processus, on suppose qu’un composant défaillant est
immédiatement remplacé par un neuf. On ignore les durées de
maintenance, en ne tenant compte que des durées de fonctionnement et du nombre de défaillances.
Dans ce cas, si f (t ) est la densité de probabilité des temps
jusqu’à défaillance, le taux de renouvellement est donné par :
h (t ) = f (t ) +
∞
∑ ϕ ( ui )/ ( σ/
i)
1
tendant vers 1/ µ (figure 2) ;
et
H (t ) =
∞
∑ Φ ( ui )
1
t
0
h ( t – x ) ⋅ f ( x ) dx
(intégrale de convolution).
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Figure 2 – Renouvellement gaussien ( = 10 h)
2.2.3.5 Loi de Weibull
∞
β
h ( t ) = ----η
i∑= 1 ( –1 ) i + 1 ⋅ iki ----η- t
iβ–1
qui tend vers Γ [1 + (1/ β)]/η.
∞
H (t ) =
∑ ( –1 ) i + 1 ⋅ ki ----η- t
iβ
i=1
n–1
avec A n = C n –
∑ Ci An – i
i=1
Ci = Γ (1 + i β)/i !
ki = Ai /[Γ (1 + i β)]
Cette série converge assez rapidement pour t /η < 1. La figure 3
donne les valeurs de k i pour quelques valeurs de β (d’après [8]).
Figure 3 – Loi de Weibull. Coefficient de développement de H (t )
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T 4 305 − 7
MAINTENABILITÉ. MAINTENANCE
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3. Prévisions
de maintenabilité
Cette résolution se fait assez facilement sur un ordinateur de
bureau.
Les prévisions de maintenabilité doivent être entreprises au cours
de l’étude du produit, dès que les informations sur les moyennes
des durées entre maintenances correctives et préventives des
composants, issues des études de fiabilité, deviennent disponibles,
et que des estimations vraisemblables des durées de maintenance
et de leurs distributions statistiques pour les différents types ou
modes de défaillances des composants sont faites.
C’est à ce moment du développement du projet que les prévisions
seront les plus utiles, puisqu’il sera alors possible de révéler les
insuffisances éventuelles et de modifier le projet avant la
construction des prototypes.
Dans ce qui suit, on supposera que la maintenance du système
est en régime stabilisé et que les taux de renouvellement
correctifs λ c et préventifs λ p peuvent être supposés constants. Les
systèmes seront supposés sans redondance.
3.1 Solution théorique
3.1.1 Distribution des durées de maintenance
d’un système
La distribution des durées de maintenance est une distribution
mélangée. Dans le cas de la maintenance corrective, en désignant
par λ ci le taux de renouvellement correctif du composant i, par λ c
n
le taux de renouvellement correctif du système λ c =
∑
λ ci = 1/θ 0 ,
i=1
par gi (t ) la distribution des durées de maintenance du composant i,
par Mi (t ) sa fonction maintenabilité, et en posant pi = λ ci /λ c , la
distribution des durées de maintenance du système sera :
Exemple : soit un système ayant deux composants de taux de
défaillance λ 1 = λ 2 dont les durées de réparation suivent une distribution exponentielle de moyennes τ 1 = 1 h et τ 2 = 2 h. On a
p 1 = p 2 = 0,5. La durée moyenne de réparation du système sera
τ = 1,5 h et les durées maximales calculées par ordinateur de
Tmax = 3,54 h pour 90 % et de Tmax = 4,78 h pour 95 %. La figure 4
donne la fonction maintenabilité M (t ) et le taux de maintenance µ (t )
du système. On remarquera que le taux de maintenance du système
n’est pas constant et que, donc, la maintenabilité du système ne suit
pas une distribution exponentielle.
3.2 Méthode de simulation
La méthode de simulation permet également de déterminer la
fonction maintenabilité d’un système, particulièrement dans le cas
où l’on ne connaît pas les distributions théoriques des durées de
maintenance des composants, mais où l’on dispose de résultats
expérimentaux sur ces durées, bien qu’en nombre insuffisant pour
ajuster une distribution théorique avec suffisamment de certitude.
Les progrès des ordinateurs de bureau permettent d’appliquer cette
méthode pour des systèmes relativement complexes, sans avoir
recours à des systèmes informatiques de grandes dimensions.
3.2.1 Principe
On effectuera un nombre N de simulations fonction de la
précision e demandée pour M (t ) et de la probabilité p de ne pas
dépasser cette erreur. Le nombre N sera donné par N = (k /e )2,
k étant fonction de p et des hypothèses faites sur la distribution de
M (t ).
Dans le cas où aucune connaissance n’est possible sur M (t ), la
valeur la plus pessimiste de k est donnée par le tableau ci-après :
n
g (t ) =
∑
(0)
pi ⋅ gi ( t )
i=1
et sa fonction maintenabilité :
n
M (t ) =
∑ pi ⋅ Mi ( t )
p
0,90
0,95
0,99
k
1,22
1,36
1,63
n
= 1–
i=1
∑
pi [ 1 – Mi ( t ) ]
Exemple : pour déterminer M (t ) avec une probabilité de 90 % de
ne pas dépasser une erreur de 1 %, il faudra faire :
i=1
N = (1,22/0,01)2 ≈ 15 000 simulations
3.1.2 Durée moyenne
Quelles que soient les distributions gi (t ), on a :
τ =
∞
0
n
t ⋅ g ( t ) dt =
∑
pi
i=1
∞
0
n
t ⋅ g i ( t ) dt =
∑ pi τi
i=1
3.1.3 Durée maximale
Si la probabilité fixée est 1 – α, il faut résoudre :
n
∑
n
pi ⋅ Mi ( t ) > 1 – α
i=1
ou
∑
pi [ 1 – Mi ( t ) ] < α
i=1
Figure 4 – Maintenabilité M (t ) et taux de maintenance (t )
T 4 305 − 8
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On calculera ensuite pour chaque composant la proportion
pi = λ ci / λ c et les proportions cumulées :
j
Pj =
∑
pi
( P 1 = p 1 , P 2 = p 1 + p 2 ,... )
i=1
avec P 0 = 0 et Pn = 1.
On effectuera ensuite N fois les opérations suivantes :
— tirer un nombre aléatoire x (nombre ayant une distribution
uniforme entre 0 et 1). Si P k – 1 < x P k , choisir la distribution des
durées de maintenance du composant k ;
— tirer un autre nombre aléatoire x ′ ; calculer la durée simulée
–1
–1
de maintenance t i = M k ( x ′ ) ( M k représentant la fonction inverse
de la fonction maintenabilité Mk (t ) du composant k ).
Après les N simulations, on classera les durées simulées de
maintenance ti en ordre croissant. Cette suite t j ( t 1 t 2 ... t N )
donnera la fonction maintenabilité M (tj ) du système par :
3.3 Cas particuliers
Si les durées de maintenance des composants suivent toutes des
distributions exponentielles et que les durées moyennes τ i ne sont
pas trop différentes (par exemple si les valeurs extrêmes ne diffèrent
pas de plus de 20 % de la moyenne des valeurs), on peut admettre
que la fonction maintenabilité du système suit approximativement
une distribution exponentielle de durée moyenne τ = pi τ i .
Les durées maximales de maintenance étant alors d’environ :
Tmax = 2,3 τ pour 90 %
Tmax = 3 τ pour 95 %
et
3.4 Durée totale d’immobilisation
d’un système
M (t j ) = j/N
Exemple : une simulation portant sur l’exemple du paragraphe 3.1.2
avec N = 50 valeurs simulées a donné une durée moyenne τ = 1,93 h
et des durées maximales de 3,99 h pour 90 % et de 5,75 h pour 95 %
(figure 5). Elle a été effectuée en 12 s sur APPLE IIe.
3.2.2 Durées de maintenance mesurées
Si la distribution des durées de maintenance d’un composant est
définie par une série de N mesures que l’on a ordonnées en ordre
croissant t i – 1 t i t i + 1 , on peut procéder de deux façons
différentes :
— sans interpolation : soit toujours x ′ la variable aléatoire tirée,
si i – 1 < Nx ′ i , prendre ti comme valeur simulée ;
— avec interpolation : on fera, par exemple, une interpolation
linéaire entre deux valeurs successives des durées mesurées ; si
i – 1 < Nx ′ i , on calculera comme valeur simulée :
La durée totale d’immobilisation d’un système se compose de la
durée de maintenance corrective et de la durée de maintenance
préventive. Si λci est le taux de renouvellement correctif moyen d’un
composant et λpi son taux de renouvellement préventif moyen, et
si la durée de maintenance corrective du composant suit une
distribution gi (t ) de moyenne τ i , tandis que la durée de maintenance
préventive suit une distribution fi (t ) de moyenne δi , la distribution
de la durée totale d’immobilisation du système sera :
n
g (t ) =
pi ⋅ gi ( t ) + qi ⋅ fi ( t )
i=1
en posant :
∑ (λ
n
p i = λ ci
ci
+ λ pi )
i=1
∑ (λ
n
q i = λ pi
t = ti – 1 + (ti – ti – 1) (Nx ′ – i + 1)
en posant t 0 = 0.
Ces procédures conduisent à des simulations un peu plus longues,
mais permettent d’utiliser des données d’expérience. Il faut
remarquer que, dans un même programme de simulation, on peut
sans inconvénient utiliser les distributions de maintenabilité pour
certains composants et des durées mesurées pour d’autres.
∑
ci
+ λ pi )
i=1
La durée moyenne d’immobilisation est alors :
n
τ =
∑ pi ⋅ τi + qi ⋅ δi
i=1
Si Mi (t ) est la fonction de répartition des durées de maintenance
corrective M i ( t ) =
t
0
g i ( u ) ⋅ du
et Fi (t ) la fonction de répartition
Fi ( t ) = 0 fi ( u ) ⋅ du t
des durées de maintenance préventives
du
composant i, la fonction de répartition de la durée totale d’immobilisation, c’est-à-dire la fonction maintenabilité du système en
tenant compte des deux types de maintenance, sera :
n
M (t ) =
∑ pi ( t ) ⋅ Mi ( t ) + qi ( t ) ⋅ Fi ( t )
i=1
permettant de calculer les durées maximales d’immobilisation pour
une probabilité fixée.
Figure 5 – Méthode de simulation (résultats pour 50 simulations)
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4. Vérification expérimentale
Dès qu’un système est disponible au stade prototype, il est
nécessaire de procéder à des vérifications expérimentales pour
s’assurer que les prévisions de maintenabilité faites au cours du
développement sont correctes et que le cahier des charges a toutes
chances d’être satisfait. Ces vérifications sont qualitatives ou
quantitatives, ces dernières portant à la fois sur les durées de
maintenance corrective et les durées de maintenance préventive.
Ces vérifications doivent être faites avant de pouvoir procéder à des
tests de démonstration statistiques, s’ils sont prévus dans le contrat.
4.1 Vérification qualitative
Elle constitue une revue du projet, et se fera par des examens
critiques portant sur des points importants pour la maintenabilité
tels que :
— vérification de la clarté et des informations des plans et des
notices destinées aux agents de maintenance et éventuellement aux
utilisateurs, si ceux-ci doivent effectuer des opérations de
maintenance préventive simples (graissages, nettoyages, etc.) ou
corrective (changement de fusibles, changement de roues sur une
voiture, etc.) ;
— vérification de l’existence et de la visibilité de moyens de repérage cohérents avec les plans et les notices ;
— vérification du découpage fonctionnel du système pour
permettre des contrôles indépendants des sous-ensembles ;
— vérification de l’existence et de la fiabilité de dispositifs de
contrôle automatique, de contrôle d’usure, de systèmes
d’autodétection des défaillances ;
— contrôle des possibilités d’accès rapide aux composants à
remplacer ;
— vérification de l’existence et de la clarté du plan de maintenance et de la définition des niveaux d’échanges ;
— vérification de l’existence, si nécessaire, d’outillages spéciaux
et d’équipements de maintenance adaptés.
Cette liste n’est pas limitative et devra être adaptée à chaque cas
particulier de système.
4.2 Vérification quantitative
budgets disponibles, généralement compris entre 20 et 50). On
affectera le composant i du poids λ pi / λ p et le nombre de remplacements de ce composant sera : npi = N (λ pi / λ p ). Pour garantir que
le composant remplacé le moins fréquemment le sera au moins
une fois, en désignant par λ p min son taux de remplacement, on
devra avoir :
N > λp / λp min
L’ordre dans lequel les essais de remplacement seront effectués
est obtenu en affectant un numéro d’ordre à chaque essai et en tirant
une permutation au hasard de ces nombres qui donnera l’ordre des
essais.
Exemple : soit un système dont trois composants doivent être
remplacés préventivement. Les taux de remplacement sont de 4 par an
pour le premier, de 2 pour le second et de 1 pour le troisième (λp1 = 4,
λp2 = 2, λp3 = 1, λp = 7). Prenons N = 7, le tableau suivant donne les
numéros d’ordre initiaux :
C1
C1
C2
C2
C3
Composant C1 C1
Numéro
1
2
3
4
5
6
7
Tirons une permutation des sept premiers nombres, soit : 5, 1, 3, 6,
7, 4, 2, l’ordre des essais sera :
Essai
1
2
3
4
5
6
7
C1
C2
C3
C1
C1
Composant C2 C1
Cette méthode peut être simplifiée si le nombre d’essais est supérieur à 20. Désignons par U un nombre au hasard réparti uniformément sur l’intervalle [0, 1[ tel que ceux donnés dans des tables ou
générés par ordinateur et par E (x ) la partie entière d’un nombre.
Le numéro d’ordre de l’essai sera donné par E (1 + NU ). Si un
numéro est déjà sorti, il suffit d’en tirer un autre. Il est également
nécessaire, pour obtenir une bonne estimation des durées, de faire
effectuer les remplacements par différents agents, qui seront également affectés au hasard à chaque essai.
4.2.2 Durées de maintenance corrective
On procèdera d’une manière similaire pour la maintenance
corrective, mais le nombre de types de défaillances possibles étant
forcément très grand, il faudra effectuer une sélection parmi elles
afin de ne pas devoir faire un nombre trop important d’essais.
Si des prévisions de fiabilité et de maintenabilité ont été faites,
cette sélection peut se faire en affectant chaque type de composant
inventorié dans le système d’un poids :
Elle a pour but de mesurer les durées de maintenance tant
préventive que corrective. Elle consiste à faire effectuer, sur des
équipements prototypes, des opérations de maintenance par des
agents qualifiés disposant des moyens prévus, de mesurer les
durées des opérations et d’en déterminer la statistique (types de distribution et paramètres estimés) afin de comparer les résultats aux
prévisions, et éventuellement de réagir sur le projet si la maintenabilité mesurée est pas trop inférieure à l’objectif.
4.2.1 Durées de maintenance préventive
Le nombre de composants devant être remplacés préventivement
est toujours relativement restreint, et il sera préférable que tous ces
composants soient au moins remplacés une fois pour obtenir une
mesure valable des durées de maintenance préventive. Le nombre
de remplacements de chaque composant au cours de l’expérience
devra être modulé en fonction de son taux de remplacement
préventif déterminé dans le plan de maintenance. Pour déterminer
ce nombre, on pourra appliquer la procédure suivante.
Soit λpi le taux de remplacement du composant i et λp la somme
des taux de remplacement des composants du système, N étant le
nombre de mesures à effectuer (N est à choisir assez grand pour
obtenir une précision acceptable sur les résultats, en fonction des
T 4 305 − 10
n i λ ci τ i
p i = -------------------λc τ
Pratiquement, on procèdera comme suit :
— pour chaque type de composant i, calculer pi avec :
λc =
∑ ni λci
τ =
- τi
∑ --------------λc
et
n i λ ci
— classer les types de composants par ordre de poids décroissant qj :
q 1 = Max (pi )
qj – 1 < qj qj + 1
et
permettant d’établir un tableau de correspondance i (j ), et pour
j
chaque j calculer Q j =
∑ pk ;
k=1
— ayant choisi un nombre N de mesures à effectuer, on tirera
N nombres aléatoires xk (k = 1 à N ) de distribution uniforme
entre 0 et 1 ;
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— pour chaque nombre xk , déterminer le type de composant qui
sera mis en panne et dont on mesurera la durée de maintenance
corrective, en recherchant la valeur j telle que :
Q j – 1 < x k Q j avec Q 0 = 0.
Le composant à dépanner sera de type i ( j ) ;
— mesurer les N durées tk correspondantes qui donneront la
distribution expérimentale de la durée de maintenance corrective.
Exemple : soit un système comportant trois types de composants
dont le tableau ci-après donne les éléments de prévision :
Type i
1
2
3
Nombre ni........................................... 100
7
1
Taux de défaillance λ ci................. (h–1) 0,000 2 0,000 7
0,000 1
Durée de maintenance τ i ............... (h)
0,1
1
31
On a :
λc = (0,000 2 × 100) + (0,000 7 × 7) + (0,000 1 × 1) = 0,025 0 h–1
1
τ = --------------------- ( 0,000 2 × 100 × 0,1 ) + ( 0,000 7 × 7 × 1 )
0,025 0
+ ( 0,000 1 × 1 × 31 ) = 0,4 h
λc τ = 0,025 0 × 0,4 = 0,010 0
sont toutes deux satisfaites. Désignons, comme dans la norme, par
M ct la durée moyenne spécifiée et par Mmax ct la durée maximale.
Un premier plan A1 (figure 6) détermine la conformité à la
moyenne, et deux plans B1 et B2 la conformité à la durée maximale, suivant que la durée maximale se rapporte à une probabilité
de 90 % (B1) ou de 95 % (B2).
Les risques du fournisseur α et du client β sont de l’ordre de 6 %
pour le plan A1 et de l’ordre de 10 % pour les plans B. La figure 6
représente les conditions d’acceptation et de rejet pour ces trois
plans.
La procédure est la suivante :
— le produit est refusé dès qu’un des deux plans conduit à une
décision de rejet ;
— si un plan conduit à une décision d’acceptation, on ne
s’intéressera plus à lui, mais on continuera l’autre jusqu’à une
décision ;
— si aucune décision n’a été atteinte après 100 observations, on
prendra la règle suivante :
• plan A1 : n’accepter que si moins de 30 observations
dépassent Mct ,
• plan B1 : n’accepter que si moins de 6 observations dépassent
Mmax ct ,
• plan B2 : n’accepter que si moins de 3 observations dépassent
Mmax ct .
d’où :
p1 = 0,20
q 1 = 0,49
q 2 = 0,31
q 3 = 0,20
p 2 = 0,49
Q 1 = 0,49
Q 2 = 0,80
Q3 = 1
p 3 = 0,31
d’où i (1) = 2
d’où i (2) = 3
d’où i (3) = 1
Choisissons N = 5 et tirons cinq nombres aléatoires : x 1 = 0,407 21 ;
x 2 = 0,970 29 ; x 3 = 0,285 81 : x 4 = 0,683 29 ; x 5 = 0,800 24.
On aura alors :
Q0 < x 1 Q1
j = 1
i (1) = 2
composant de type 2
Q2 < x 2 Q3
j = 3
i (3) = 1
composant de type 1
Q0 < x 3 Q1
j = 1
i (1) = 2
composant de type 2
Q1 < x 4 Q2
j = 2
i (2) = 3
composant de type 3
Q2 < x 5 Q3
j = 3
i (3) = 1
composant de type 1
5. Tests de démonstration
statistique
Comme pour les essais de démonstration de la fiabilité, on peut
utiliser, pour vérifier la conformité de la maintenabilité d’un système
aux exigences du cahier des charges, des tests statistiques d’après
des résultats d’essais de réparation ou d’entretien portant sur des
pannes simulées. De nombreux types de tests ont été proposés à
cet effet, parmi lesquels nous en décrirons trois issus des normes
américaines MIL-STD 471 et MIL-STD 473 qui ont servi de modèle.
5.1 Méthode 1 de la norme MIL-STD 471
C’est un test séquentiel portant à la fois sur la durée moyenne
et sur la durée maximale de maintenance corrective. Il suppose
que les durées de maintenance suivent une distribution log-normale. Le rapport entre la durée maximale spécifiée et la durée
moyenne spécifiée ne doit pas dépasser 3 et le test est prévu pour
n’accepter le système que si les conditions sur les deux durées
Figure 6 – Plan séquentiel selon la norme MIL-STD 471
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T 4 305 − 11
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5.2 Méthode 2 de la norme MIL-STD 471
Le plan détermine le nombre n d’essais à effectuer et le nombre
maximal c d’essais pour lesquels la durée mesurée t i pourra
dépasser une durée critique T afin d’accepter le produit.
C’est un ensemble de quatre tests portant sur un nombre fixé
d’observations, 50 au minimum pour les maintenances correctives
et 50 pour les maintenances préventives. Ces tests sont destinés à
vérifier :
— la durée moyenne spécifiée de maintenance corrective M ct ;
— la durée moyenne spécifiée de maintenance préventive M pt ;
En désignant par X la variable aléatoire testée (ici la durée de
maintenance), l’hypothèse nulle est :
— la durée moyenne spécifiée d’immobilisation M ;
— la duréé maximale spécifiée de maintenance corrective
Mmax ct .
Les trois premiers tests sont basés sur le théorème de la limite
centrale et donc peu sensibles à la distribution des durées de
maintenance, le quatrième suppose une distribution log-normale
des durées de maintenance corrective. Pour ces quatre tests, seul
le risque α du fournisseur est fixé.
Les deux premiers tests s’effectuent ainsi :
— calculer la moyenne m et l’écart type estimé s des n mesures
de durées ti :
n
m =
∑ ti /n
et s
i=1
≈
∑ t i – n m 2 /(n – 1)
H 0 : P (X > T ) = p 0
contre l’hypothèse alternative :
H 1 : P (X > T ) = p 1 > p 0
Sous une autre forme, on peut dire que l’hypothèse nulle
correspond à tester si T est la durée dont la fonction de répartition
(fonction maintenabilité) est M (T ) = 1 – p 0 et l’hypothèse alternative
si M (T ) = 1 – p 1 < 1 – p 0 .
Exemple : si p 0 = 0,10 et p 1 = 0,50, on testera l’hypothèse que T
est la durée maximale (1 – p 0 = 0,90) contre l’hypothèse que T est la
durée médiane (1 – p 1 = 0,50).
Pour déterminer n et c, on utilisera les formules suivantes :
a) si 0,20 p 0 0,80 , en désignant par u α et u β les variables
normales réduites correspondant aux risques fournisseurs et
clients, on a :
2
— prendre la valeur de la variable normale réduite u α
correspondant au risque fournisseur α choisi ;
— calculer T = m + (u α · s / n ) ; si T est plus petit ou égal à la
valeur spécifiée, on acceptera le produit pour cette spécification.
Pour le test sur la durée totale d’immobilisation, on fera intervenir
deux paramètres prévisionnels : la fréquence fc des actions de
maintenance corrective et la fréquence fp des actions de maintenance préventive. En désignant respectivement par mc , mp , sc et sp
les moyennes et les écarts types des durées mesurées pour ces deux
types d’actions, et déjà calculés pour les tests précédents, on
calculera la moyenne de la durée d’immobilisation par :
c = n
s
≈
[ np ( fc sc
+ nc ( fp sp
/ [ nc np ( fc + fp
2
uβ p0 p1 ( 1 – p1 ) + uα p1 p0 ( 1 – p0 )
----------------------------------------------------------------------------------------------------------uβ p1 ( 1 – p1 ) + uα p0 ( 1 – p0 )
(prendre l’entier immédiatement inférieur).
b) si p 0 < 0,20, il faut résoudre le système suivant en n et c par
approximations successives :







et l’écart type par :
)2 ]
uβ p1 ( 1 – p1 ) + uα p0 ( 1 – p0 )
------------------------------------------------------------------------------------------p1 – p0
(prendre l’entier immédiatement supérieur),
m = (fc mc + fp mp )/(fc + fp )
)2
n =
)2 ]
exp ( – n p 0 ) ( n p 0 ) j
c
-1–α
∑ -----------------------------------------------------j!
j=0
exp ( – n p 1 ) ( n p 1 ) j
c
-β
∑ -----------------------------------------------------j!
j=0
puis la statistique T = m + u α s qui sera comparée à la valeur
spécifiée M .
Pour le test sur la durée maximale de maintenance corrective, on
prendra les logarithmes des durées de maintenance mesurés :
Remarque : ces deux formulations correspondent à prendre
les approximations normales de la loi binomiale pour le cas a et
de la loi de Poisson pour le cas b.
t i : xi = ln (ti )
^ et l’écart type estimés ^
s de ces
et l’on calculera la moyenne m
valeurs. La statistique T devient :
Le tableau ci-après donne les valeurs de c et de D = n p 0 en fonction de α, β et k = p 1 /p 0 pour quelques valeurs fréquentes dans le
cas b.
(0)
T = exp ( ^
m + uα s )
qui sera comparée à la valeur spécifiée Mmax ct . On notera que dans
ce test la valeur de u α correspond à la probabilité attachée à la durée
maximale, soit 1,28 pour une probabilité de 90 % et 1,65 pour une
probabilité de 95 %.
5.3 Test non paramétrique
de la norme MIL-STD 473
Lorsque la distribution des durées de maintenance est totalement
inconnue, on peut utiliser une méthode de test non paramétrique.
Le test proposé par la norme MIL-STD 473 est basé sur la loi binomiale. Il consiste en un plan d’essai en échantillonnage simple par
attribut pour lequel on fixe les risques du fournisseur α et du client β.
T 4 305 − 12
= 0,05
k = p 1/p 0
1,5
= 0,10
= 0,05
= 0,10
= 0,05
= 0,10
c
D
c
D
c
D
c
D
66
54,1
54
43,4
51
43,0
40
33,0
2
22
15,7
18
12,4
17
12,8
14
10,3
2,5
13
8,46
10
6,17
10
7,02
8
5,43
3
9
5,43
7
3,98
7
4,66
5
3,15
4
6
3,29
5
2,61
4
2,43
3
1,75
5
4
1,97
3
1,37
3
1,75
2
1,10
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Exemple : soit à déterminer un plan d’essai avec p 0 = 0,10 et
p 1 = 0,50 pour des risques égaux α = β = 0,05. On a D = 1,97 d’où le
nombre d’essais n = D /p 0 (entier inférieur) = 19. Le nombre d’essais
dont la durée dépasse la valeur spécifiée ne doit pas dépasser c = 4 pour
accepter l’hypothèse.
Références bibliographiques
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fiabilité, maintenabilité, disponibilité et
recherche opérationnelle associée.
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