C4Phy radioactive

Terminale S
Physique – Partie B – Chapitre 4 : Décroissance radioactive
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1. Stabilité et instabilité des noyaux
1.1. Composition d’un noyau et notation
Rem. 1 : A est appelé nombre de masse (la masse (en g) d’une mole de noyau est proche de la valeur de A).
Rem. 2 : Z est appelé nombre de charge ou numéro atomique pour un atome.
Exemple : 206
82Pb : le noyau contient 82 protons et 206 – 82 = 124 neutrons
1.2. L’isotopie
Rem. : il existe 90 éléments chimiques naturels et 350 nucléides naturels (on parle de nucléide pour des noyaux
strictement identiques : même nombre de protons et de neutrons). On connait environ 1500 nucléides.
Exemple : 206
82Pb et 208 82Pb : ces nucléides sont deux isotopes du plomb Pb.
206
82Pb et 206 83Bi : ces nucléides ne sont pas isotopes l’un de l’autre.
1.3. Les noyaux radioactifs
Les deux nucléides 12
6C et 14 6C, bien qu’isotopes, ne possèdent pas les mêmes propriétés. En effet le carbone 12 est un
nucléide stable alors que le carbone 14 est un nucléide instable (on parle alors de radionucléide) : il peut se
désintégrer spontanément pour se transformer en un autre noyau.
Lors de sa désintégration, il émet une particule.
1.4. Le diagramme (N, Z) de Segré
Sur le document ci-contre, sont reportés les noyaux avec en
abscisse le numéro atomique Z et en ordonné le nombre de
neutrons N
1
. Les nucléides stables sont en rouge et occupent la
partie centrale appelée vallée de stabilité.
Jusqu’à Z = 20, les nucléides stables se situent au voisinage de la
droite N = Z : ils possèdent autant de protons que de neutrons.
2. La radioactivité
2.1. Lois de conservation (lois de Soddy)
Le noyau radioactif
2
est appelé le noyau père. Il se
transforme en un noyau fils en émettant une particule.
Cette réaction nucléaire obéit à des lois de conservation
(dite loi de Soddy) :
1
Retrouver ce diagramme sur l’animation d’Adrien Willm sur le site Ostralo : http://www.ostralo.net/3_animations/swf/diagrammeNZ_1.swf
Autre animation sur le site d’Adrien Willm concernant le diagramme (N,Z) : http://www.ostralo.net/3_animations/swf/diagrammeNZ_2.swf
2
Voir l’animation sur la radioactivité sur le site du CEA : http://www.cea.fr/UserFiles/File/Animations/animations/atome.html
 Conservation de la charge électrique (mais pas du nbre de protons).
 Conservation du nombre de nucléons.
Un noyau radioactif peut se transformer spontanément en
un noyau différent, avec émission d’un « rayonnement ».
Des noyaux isotopes sont des noyaux possédant même nombre de protons Z (ils appartiennent donc au même
élément chimique) mais des nombres de nucléons A différents (ils ne différent que par leur nombre de neutrons).
Le noyau d’un atome est noté sous la forme : A
ZX.
X représente le symbole de l’élément considéré.
A représente le nombre de nucléons qui constituent le noyau (protons + neutrons).
Z représente le nombre de charges (pour un atome : nombre de protons du noyau).
Le nombre N de neutrons se détermine donc par l’expression : N = A – Z
Chapitre 4 : Décroissance radioactive
Partie B : Transformations nucléaires
Notation des particules :
électron : 0
–1e : 0 nucléon ; charge –1
positon : 0
1e : 0 nucléon ; charge +1
proton : 1
1p : 1 nucléon ; charge +1
neutron : 1
0n : 1 nucléon ; charge 0
Frederick Soddy
Prix Nobel en 1921

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Physique – Partie B – Chapitre 4 : Décroissance radioactive
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2.2. La radioactivité 
Les noyaux très lourds (Z et N très grands) ont un excédent de nucléons. Pour se rapprocher de la vallée de stabilité,
ils éjectent une particule , constituée de deux protons et deux neutrons (noyau d’hélium : 4
2He).
Ces noyaux sont radioactifs .
Ex : le bismuth 209 est radioactif  : 209
83Bi  205 81Tl + 4 2He
Conservation du nombre de nucléons : 209 = 205 +4
Conservation de la charge : 83 = 81 + 2
2.3. La radioactivité 
Les noyaux situés au dessus de la vallée de stabilité ont un excédent
de neutrons N. Ils éjectent un électron ( 0
–1e ou particule –).
Ces noyaux sont radioactif –. Exemple : le thallium 208 est
radioactif – : 208
81Tl  208 82Pb + 0 –1e (Pb est le plomb).
Rem. : Lors d’une désintégration –, X et Y possèdent autant de
nucléons (208 dans ce cas), mais le nombre de protons du
noyau fils augmente d’une unité. Cette désintégration correspond donc à un neutron du noyau qui s’est
spontanément transformé en un proton avec éjection d’un électron : 1
0n  1 1p + 0 –1e (radioactivité –)
2.4. La radioactivité 
Les noyaux situés en dessous de la vallée de stabilité ont un excédent de protons (Z trop grand). Ils éjectent un
positon – ou positron – (0
1e ou particule +). Ces noyaux sont radioactif +.
Ex : le bismuth 206 est radioactif + : 206
83Bi  206 82Pb + 0 1e.
Rem. : Lors d’une désintégration +, X et Y possèdent autant de nucléons (206 dans ce cas), mais le nombre de
protons du noyau fils diminue d’une unité. Cette désintégration correspond donc à un proton du noyau qui
s’est spontanément transformé en un neutron avec éjection d’un positon : 1
1p  1 0n + 0 1e (radioactivité +)
2.5. Le rayonnement 
Lors de désintégrations  ou , le noyau fils Y est généralement produit dans un état « excité » : il possède un
excédent d’énergie par rapport à son état fondamental et est noté A
ZY*. Ce noyau libère un photon  de très faible
longueur d’onde ( < 10–12 m), emportant l’excédent d’énergie : A
ZY*  A ZY + 
3. Loi de décroissance
3.1. Un phénomène aléatoire
Un noyau radioactif ne vieillit pas : la probabilité qu’un noyau radioactif se désintègre est indépendante de son
« âge ». Elle ne dépend que du type de noyau considéré. Par exemple un noyau de carbone 14, apparu il y a 1000 ans
a la même probabilité de se désintégrer, dans un même laps de temps, qu’un noyau apparu il y a 5 minutes.
3.2. Activité d’une source radioactive
Notons N(t) le nombre de noyau radioactif d’un échantillon à l’instant t et
N(t + t) le nombre de noyau radioactif du même échantillon, à t + t.
Pendant la durée t, La variation du nombre de noyaux radioactifs de la
source est : N = N(t+t) – N(t) < 0 : il a disparu –N noyaux radioactifs.
3
A = – N
t
 : activité en becquerel4 (Bq)
 : variation du nbre de noyau
t : durée en seconde (s)
Rem. : 1 Bq est équivalent à 1 désintégration/s. 1 Bq  1 s–1. C’est une grandeur moyenne !
3
Animation sur le site du CEA : http://www.cea.fr/var/cea/storage/static/fr/jeunes/animation/animations/anim_radioactivite_popup.htm
4
Animation sur le site du CEA : http://www.cea.fr/var/cea/storage/static/fr/jeunes/animation/animations/becquerel.html
N
207
80Hg
208
81Tl
209
82Pb
210
83Bi
211
84Po
126
206
80Hg
207
81Tl
208
82Pb
209
83Bi
210
84Po
125
205
80Hg
206
81Tl
207
82Pb
208
83Bi
209
84Po
124
204
80Hg
205
81Tl
206
82Pb
207
83Bi
208
84Po
123
203
80Hg
204
81Tl
205
82Pb
206
83Bi
207
84Po
Z
80
81
82
83
Source radioactive
Activité (Bq)
homme (70 kg)
8000
1L de lait
80
1 kg de granite
8000
1 L d’eau de mer
10
1 kg de plutonium
2.1012
L’activité d’un échantillon radioactif, mesure le nombre moyen
de désintégrations survenus par seconde.
Écriture générale : A
ZX  A Z–1Y + 0 1e
Écriture générale : A
ZX  A Z+1Y + 0 –1e
Écriture générale : A
ZX  A–4 Z–2Y + 4 2He

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3.3. Loi d’évolution temporelle
Expérimentalement, on constate que l’activité (nombre moyen de désintégrations par seconde) est proportionnelle au
nombre de noyaux N(t) présents à l’instant t et à la nature des noyaux radioactifs. Ainsi : A(t) =  N(t).
 est une constante, appelé constante radioactive (en s–1), qui ne dépend que de la nature des noyaux radioactifs : 
reste constant dans le temps (les noyaux « meurent » sans vieillir).
Ainsi : N
t = – 
N(t). À la limite, lorsque t tend vers 0, on peut écrire : dNt
dt = – 
N(t).
On montre en mathématiques qu’une solution de cette équation (appelée équation différentielle) est de la forme :
N(t) = K.e–t. Or si l’on note N0, le nombre de noyaux radioactifs présents à t = 0 alors N(0) = N0 = K.e0 = K.
Rem. : L’activité (A(t) =  N(t)) de l’échantillon radioactif peut alors s’écrire : A(t) = A0.e–.t avec A0 =  N0
Par ailleurs, à la limite, lorsque t tend vers zéro on écrit : A = lim
t  
– N
t = – dN
dt
3.4. Représentation graphique
3.5. La constante de temps
Nous avons remarqué que la constante radioactive  est homogène à l’inverse d’un temps. On définit la constante de
temps
5
par l’expression :   
 ( en s) : Cette constante de temps est caractéristique de la désintégration.
Rem. 1 :  représente une durée : la durée nécessaire à la désintégration de tous les noyaux radioactifs si l’activité restait constamment égale à A0.
Rem. 2 : N(t) = N0.e–.t donc N() = N0.e–. = N0.e–1 (car  = 
 donc .=1) ainsi N() = N
e = 0,37.N0
Rem. 3 : Si t = 5., N(5.) = N0.e–.5. N0.e–5 = 6,7.10–3.N0 : 99,3 % des noyaux radioactifs se sont désintégrés.
3.6. La demi-vie
6
A(t1/2) = A
 ou N(t1/2) = N  = N0.e–.t1/2 donc e–.t1/2 = 1
2.
Par suite : –.t1/2 = ln 1
2 = – ln 2. Ainsi : t1/2 = ln 2
 = .ln 2
4. Effet biologique
Effets ionisants nocifs et utilisation médicale (radiodiagnostic et radiothérapie)
http://www.cea.fr/var/cea/storage/static/fr/jeunes/animation/animations/rayon.htm
5. La datation
t = 
.ln A At ou t =  .ln N Nt Voir exercices n°21, 22, 23 et 24 p104 – 105 et Sujets bac page 107
5
Voir une animation montrant l’influence de  (donc de t1/2 ou de ) : http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/equadiff/ordre1.swf
6
Voir une animation sur le site du CEA : http://www.cea.fr/var/cea/storage/static/fr/jeunes/animation/animations/DecroissanceRadioFr.swf
élément
radioactif
demi-vie
bore 13
17 ms
radon 220
58 s
iode 123
13,2 h
iode 131
8,1 jours
carbone 14
5730 ans
uranium 238
4,5.109 ans
La demi-vie t1/2 d’un échantillon radioactif est la durée nécessaire pour que son activité soit divisée par deux.
La loi de décroissance radioactive donne le nombre de noyaux radioactifs présents à l’instant t : N(t) = N0.e–.t
Formulaire mathématique :
ea+b = ea×eb e0 = 1
(ea)b = ea×b ln 1 = 0
ln a + ln b = ln (a×b)
ln a – ln b = ln a
b
– ln a = ln 
a ln ab = b×ln a
ln ea = a et eln a = a
N(t)
t (s)
N0
N0
2
N0
4
N0/8
t1/2
2t1/2
3t1/2
4t1/2
N0/16
N0
e = 0,37.N0
tangente à la courbe à l’instant t = 0
constante de temps  : abscisse de la tangente
lorsqu’elle coupe l’axe des abscisses
demi-vie

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Physique – Partie B – Chapitre 4 : Décroissance radioactive
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Annexe 1
La démonstration suivante n’est pas à connaître pour l’épreuve de physique au bac.
dNt
dt = – 
N(t)  dNt
N(t) = – 
dt (1) si N(t)  0
Intégrons cette expression (1) entre l’origine des dates t = 0 et l’instant t :
tdNt
N(t) = 
t– 
dt
Or  est une constante indépendante du temps t, donc 
tdNt
N(t) = – 
tdt (2)
L’expression dNt
Nt est la forme différentielle de la fonction logarithme népérien. En effet : d(ln N(t)) = dNt Nt.
Par conséquent (2) devient : [ln N(t)]t
 = – 
[t]t
. C’est-à-dire :
ln N(t) – ln N(0) = –  (t – 0)  ln Nt
N = – 
t (3)
Appliquons la fonction exponentielle aux deux membres de l’équation (3) :
eln N (t)
N0 = e−λ .t. Ainsi : Nt
N = e−λ .t et donc N(t) = N0.e–.t
Annexe 2
La démonstration suivante n’est pas exigible au baccalauréat. Mais elle peut éclairer les esprits.
La tangente à la courbe de décroissance radioactive à l’instant initial t = 0 est une droite dont la pente est égale
à la dérivée de la courbe de décroissance à l’instant t = 0.
En notant y = a.x + b l’équation de cette droite, la pente (ou coefficient directeur) de cette droite est a = 
dN
dt t = 0
avec N = N0.e–.t. Ainsi : a = 
dN.e–.t
dt t = 0 = –.N0.e0 = –.N0
En effet d(N0e–.t)
dt = N0.d(e–.t) dt = N0.–.e–.t = –N0.e–.t Propriété mathématique : dea.x dx = a.ea.x
b est l’ordonnée à l’origine de la tangente. De toute évidence, b est en l’occurrence égale à N0 : b = N0.
Ainsi l’équation de la tangente à la courbe à t = 0 est : y = –.N0.x + N0.
La tangente coupe l’axe des abscisses pour y = 0, c’est-à-dire –.N0.x + N0 = 0. Donc x = 
 = 