THÈSE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE POITIERS
Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées
(Diplôme National – Arrêté du 7 août 2006)
École Doctorale des Sciences pour l’Ingénieur
Secteur de Recherche : Génie Mécanique, Productique et Transports
présentée par
Houssein ABBOUCHI
_______________
Etude de la fatigue de contact de roulement.
Approche expérimentale dans un matériau fragile
et modélisation numérique
_______________
Directeur de Thèse : Bernard VILLECHAISE
Codirecteur de Thèse : Arthur FRANCISCO
Soutenue le 11 décembre 2008 devant la commission d’examen
J. FRENE
M. C. BAIETTO
M. PASCOVICI
D. NELIAS
J. ABSI
T. ZEGHLOUL
B. VILLECHAISE
A. FRANCISCO
Professeur Emérite, Université de Poitiers
Directeur de Recherche, CNRS - INSA de Lyon
Professeur, Université Polytehnica, Bucarest
Professeur, INSA de Lyon
Professeur, Université de Limoges
Maître de Conférences, Université de Poitiers
Professeur, Université de Poitiers
Maître de Conférences, Université de Poitiers
_______________
(Président )
(Rapporteur)
(Rapporteur)
AVANT PROPOS
Cette étude a été réalisée dans le Laboratoire de Mécanique des Solides (Unité Mixte
de Recherche CNRS n° 6610) de l’Université de Poitiers, dirigé par Monsieur le Professeur
Olivier BONNEAU. Je tiens à le remercier pour m’avoir accueilli au sein du laboratoire.
Je remercie vivement Monsieur Bernard VILLECHAISE, Professeur à l’Université de
Poitiers et Monsieur Arthur FRANCISCO, Maître de Conférences, à l’Université de Poitiers,
pour leur patience pendant les trois années de ma thèse. Leurs conseils, leur disponibilité
ainsi que leur soutien moral ont été une aide précieuse durant l’étude et surtout durant la
réalisation de ce mémoire.
Je suis extrêmement sensible à l’honneur que me font Madame Marie-Christine
BAIETTO, Directeur de Recherche au CNRS à l’INSA de Lyon et Monsieur Mircea
PASCOVICI Professeur à l’Université ‘Politehnica’ de Bucarest, en acceptant d’être
rapporteurs de cette étude et de faire partie du jury de cette thèse.
Je suis également très reconnaissant à Monsieur Jean FRENE, Professeur Emérite à
l’Université de Poitiers pour l’intérêt qu’il porte à ce travail en acceptant de faire partie du
jury de cette thèse.
J’adresse mes vifs remerciements à Monsieur Daniel NELIAS, Professeur à l’INSA de
Lyon, et Monsieur Joseph ABSI, Professeur de l’Université de Limoges pour l’intérêt qu’ils
ont manifesté pour ce travail de thèse en acceptant de faire partie du jury.
Je voudrais remercier tout spécialement Monsieur Thami ZEGHLOUL, Maître de
Conférences, à l’Université de Poitiers, pour avoir accepté d’examiner ce travail et de faire
partie du jury de ma thèse.
Il m’est très agréable de remercier d’une part tous les membres du L.M.S et d’autre
part tous les membres de l’IUT d’Angoulême pour l’amitié qu’ils m’ont manifestée et pour la
contribution que chacun d’eux a pu m’apporter.
Finalement un grand merci à Mo (mon frère) qui m’a encouragé pendant toutes mes
études, à mes chers amis de DEA Tarek, Samir et Mihai, au Pauvre Abdel qui a partagé avec
moi le bureau, et à Hélène qui m’a supporté et m’a soutenu jusqu’au bout.
A Salma (ma mère)…………………………………………
A Mahmoud (mon père)…………………..
A Hélène (ma femme)
Tables des matières
___________________________________________________________________________
Table des matières
TABLE DES MATIÈRES ....................................................................................................... 7
TABLE DES FIGURES......................................................................................................... 11
LISTE DES TABLEAUX ...................................................................................................... 17
NOMENCLATURES............................................................................................................. 19
INTRODUCTION GÉNÉRALE .......................................................................................... 23
CHAPITRE I :ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE .................................................................. 25
1.1
INTRODUCTION À LA FATIGUE DE CONTACT DE ROULEMENT ..................................... 25
1.2
PRÉSENTATION GÉNÉRALE ........................................................................................ 26
1.2.1
Contact normal de solides élastiques : théorie de Hertz ................................. 26
1.2.1.1 Cas du contact ponctuel [Joh85] .................................................................. 27
1.2.1.2 Cas du contact linéique [Joh85] ................................................................... 28
1.2.2
Loi de frottement .............................................................................................. 29
1.2.3
Force tangentielle et glissement....................................................................... 30
1.2.3.1 Contact cylindre-plan (2D) / adhérence totale [Joh85] ................................ 30
1.2.3.2 Contact cylindre-plan (2D) / adhérence partielle [Joh85]............................ 31
1.2.4
Contact de roulement de corps élastiques [Joh85] [AC05] ............................ 31
1.2.5
Fatigue [BB97] [FPZ93] ................................................................................. 33
1.2.5.1 Généralités.................................................................................................... 33
1.2.5.2 Les étapes de l’endommagement par fatigue ............................................... 35
1.2.5.3 Critères d’initiation (ou amorçage) de fissures ............................................ 35
1.2.6
Mécanique élastique linéaire de la rupture ..................................................... 36
1.2.6.1 La rupture [BUI78]....................................................................................... 36
1.2.6.2 Les modes élémentaires de fissuration......................................................... 37
1.2.6.3 Facteur d’intensité de Contrainte [FIC] K [Eng90] ..................................... 37
1.3
APPROCHE MÉCANIQUE DU PHÉNOMÈNE RCF ........................................................... 39
1.4
ETUDES NUMÉRIQUES EN RCF .................................................................................. 40
1.4.1
Principales études d’une fissure débouchante en RCF.................................... 40
1.4.2
Propagation et branchement d’une fissure débouchant .................................. 46
1.5
ETUDES EXPÉRIMENTALES EN RCF ........................................................................... 49
1.5.1
Etudes de RCF dans des matériaux polymères ................................................ 50
1.5.2
Etudes de RCF à sec......................................................................................... 51
1.5.3
Effet de la force tangentielle et de la rugosité ................................................. 52
1.5.4
Effet du mésalignement .................................................................................... 55
1.5.5
Divers ............................................................................................................... 55
1.6
RCF DANS LE DOMAINE FERROVIAIRE....................................................................... 58
1.7
ETUDE COMPARATIVE DES BANCS D’ESSAIS .............................................................. 61
1.8
CONCLUSION ............................................................................................................. 64
CHAPITRE II : DISPOSITIFS EXPÉRIMENTAUX........................................................ 67
2.1.
INTRODUCTION .......................................................................................................... 67
2.2.
PRÉSENTATION DU BANC D’ESSAIS ............................................................................ 67
2.2.1.
Machine bi-disques .......................................................................................... 68
___________________________________________________________________________
7
Tables des matières
___________________________________________________________________________
2.2.2.
Acquisition des signaux et surveillance ........................................................... 71
2.3.
CARACTÉRISTIQUES DES GALETS ............................................................................... 72
2.3.1.
Caractéristiques physiques .............................................................................. 72
2.3.2.
Caractéristiques géométriques......................................................................... 72
2.4.
DISPOSITIF DE VISUALISATION DES FISSURES ............................................................ 73
2.4.1.
Montage de visualisation ................................................................................. 74
2.4.2.
Source de lumière............................................................................................. 75
2.4.3.
Estimation de l’erreur de mesure..................................................................... 76
2.5.
CONTRÔLE D’ÉTAT DE SURFACE ................................................................................ 78
2.6.
PROTOCOLE D’ESSAIS................................................................................................ 80
2.7.
CONCLUSION ............................................................................................................. 82
CHAPITRE III : EXPLOITATION EXPÉRIMENTALE ................................................ 83
3.1
INTRODUCTION .......................................................................................................... 83
3.2
LES ACQUIS DES TRAVAUX PRÉCÉDENTS ................................................................... 83
3.3
INFLUENCE DE LA POSITION ‘MENÉ’ / ‘MENANT’ ....................................................... 85
3.4
TEST DE REPRODUCTIBILITÉ ...................................................................................... 88
3.5
EXPLOITATION GÉNÉRALE D’UN ESSAI ...................................................................... 92
3.5.1
Evolution de la densité de fissures ................................................................... 93
3.5.2
Evolution en surface......................................................................................... 94
3.5.3
Evolution en profondeur................................................................................... 95
3.6
ETUDE DE L’EFFET DE CHARGE NORMALE ................................................................. 95
3.6.1
Evolution en surface......................................................................................... 96
3.6.2
Evolution en profondeur................................................................................... 97
3.6.3
Etat de surface.................................................................................................. 98
3.7
ETUDE DE L’EFFET DE LA FORCE TANGENTIELLE. ...................................................... 99
3.7.1
Evolution en surface....................................................................................... 100
3.7.2
Evolution en profondeur................................................................................. 101
3.7.3
Etat de surface................................................................................................ 103
3.8
TAUX DE GLISSEMENT ............................................................................................. 104
3.9
DÉTERMINATION DE LA FORME TRIDIMENSIONNELLE DES FISSURES ........................ 105
3.10 COMPARAISON PHÉNOMÉNOLOGIQUE AVEC DES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS .............. 109
3.11 ETUDE INTRODUCTIVE DE L’EFFET D’UN LUBRIFIANT.............................................. 111
3.12 CONCLUSION ........................................................................................................... 118
CHAPITRE IV : SIMULATION NUMERIQUE ............................................................. 121
4.1
INTRODUCTION ........................................................................................................ 121
4.2
LES PLANS D’EXPÉRIENCES [JAC00] [JAC97] .......................................................... 122
4.2.1
Introduction.................................................................................................... 122
4.2.2
Principes de base ........................................................................................... 122
4.2.2.1 L’espace expérimental................................................................................ 123
4.2.2.2 La modélisation mathématique .................................................................. 125
4.2.2.3 Modèle de l’expérimentateur ..................................................................... 125
4.2.2.4 Système d’équations................................................................................... 126
4.2.3
Choix du plan d’expériences .......................................................................... 127
4.2.4
Application. .................................................................................................... 127
4.2.4.1 Expérience ‘type’ ....................................................................................... 127
4.2.4.2 Choix des grandeurs d’intérêt .................................................................... 128
4.2.4.3 Choix des facteurs. ..................................................................................... 128
4.3
DESCRIPTION DE L’OUTIL DE MODÉLISATION .......................................................... 130
___________________________________________________________________________
8
Tables des matières
___________________________________________________________________________
4.3.1
Introduction.................................................................................................... 130
4.3.2
Types de corps de contact .............................................................................. 130
4.3.3
Mouvement de corps rigide ............................................................................ 131
4.3.4
Détection de contact....................................................................................... 131
4.3.5
Modélisation de frottement............................................................................. 133
4.3.6
Contact ‘Rigide – Déformable’ ...................................................................... 134
4.4
CINÉMATIQUE DE CONTACT..................................................................................... 137
4.5
MODÈLE NUMÉRIQUE .............................................................................................. 138
4.6
DISCRÉTISATION TEMPORELLE. ............................................................................... 139
4.7
DISCRÉTISATION SPATIALE...................................................................................... 140
4.7.1
Effet de ‘y’ observation .................................................................................. 144
4.7.2
Effet de type d’éléments.................................................................................. 145
4.7.3
Effet de la taille des éléments......................................................................... 147
4.7.4
Effet (influence) de la modélisation du haut de la fissure.............................. 150
4.8
CONCLUSION ........................................................................................................... 153
CHAPITRE V : ANALYSE ET SYNTHESE.................................................................... 155
5.1
INTRODUCTION ........................................................................................................ 155
5.2
RÉSULTATS NUMÉRIQUES. EXEMPLES TYPIQUES DE CHAMPS DE CONTRAINTES ...... 156
5.2.1
Modèle sans fissures....................................................................................... 156
5.2.2
Modèle avec fissures ...................................................................................... 157
5.3
RÉSULTATS DES PLANS D’EXPÉRIENCES .................................................................. 159
5.3.1
Grandeurs d’intérêt........................................................................................ 160
5.3.2
Qualité des modèles issus des plans d’expériences ....................................... 163
5.3.3
Effets des facteurs sur les valeurs d’intérêts. ................................................. 165
5.3.3.1 Le maximum de contrainte Sxx et sa position ........................................... 166
5.3.3.2 L’amplitude et le niveau de Sxx................................................................. 169
5.3.3.3 Taux de glissement..................................................................................... 170
5.3.3.4 Remarques sur les plans d’expériences ...................................................... 171
5.4
MODÈLE NUMÉRIQUE / RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX ............................................. 171
5.4.1
Avantage du galet menant sur le galet mené.................................................. 171
5.4.2
Pas régulier entre les fissures. ....................................................................... 172
5.5
CONCLUSION ........................................................................................................... 174
CONCLUSION GÉNÉRALE ............................................................................................. 177
BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................................... 181
ANNEXE I ............................................................................................................................ 187
ANNEXE II........................................................................................................................... 189
___________________________________________________________________________
9
Tables des matières
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
10
Table des figures
___________________________________________________________________________
Table des figures
Chapitre I
FIGURE 1. 1: EXEMPLES D'AVARIES DU TYPE RCF ...................................................................... 25
FIGURE 1. 2: SCHEMA REPRESENTATIF DES AXES PRINCIPAUX DE LA RCF.................................... 26
FIGURE 1. 3: CONTACT PONCTUEL ............................................................................................. 27
FIGURE 1. 4: CONTACT LINEIQUE ............................................................................................... 29
FIGURE 1. 5: A) CONTACT CYLINDRE/PLAN, B) DISTRIBUTION DE LA CONTRAINTE TANGENTIELLE, 30
FIGURE 1. 6: DISTRIBUTION DE CONTRAINTE TANGENTIELLE DANS LE CAS DE CONTACT DE
ROULEMENT ....................................................................................................................... 32
FIGURE 1. 7: CHANGEMENT DE DISTRIBUTION DE LA CONTRAINTE TANGENTIELLE PENDANT LE
PASSAGE D'UN CONTACT STATIQUE A UN CONTACT ROULANT .............................................. 33
FIGURE 1. 8: PARAMETRES DE CHARGEMENT CYCLIQUE .............................................................. 33
FIGURE 1. 9: COURBE DE WÖHLER, A GAUCHE ASPECT STATISTIQUE, A DROITE LES TROIS ZONES DE
FATIGUE ............................................................................................................................. 34
FIGURE 1. 10: ZONES DE FATIGUE .............................................................................................. 35
FIGURE 1. 11: REPRESENTATION D’UNE DISCONTINUITE ............................................................. 37
FIGURE 1. 12: LES TROIS MODES PRINCIPAUX DE RUPTURE ......................................................... 37
FIGURE 1. 13: SCHEMA REPRESENTATIF POUR UNE FISSURE ...................................................... 38
FIGURE 1. 14: SCHEMA REPRESENTATIF DU PHENOMENE DE RCF............................................... 39
FIGURE 1. 15: MODELE 2D DE KEER ET BRYANT POUR UNE ROUE FISSUREE ............................... 40
FIGURE 1. 16: A) MODELE 3D DE KANETA, CONTACT DEMI-SPHERE. B) 4 POSSIBILITES POUR LA
FISSURE DANS LE CONTACT ................................................................................................. 41
FIGURE 1. 17: PRESENTATION DE L’EFFET DE PENETRATION POUR LE CAS F=0.1 ET E/C=-1
(MAILLE BLANCHE=FISSURE OUVERTE, MAILLE NOIRE =FISSURE FERMEE) ........................... 41
FIGURE 1. 18: PRESENTATION DE L’EFFET DE PIEGEAGE POUR F=-0.1 ET A/C=1 (MAILLE
BLANCHE=FISSURE OUVERTE, MAILLE NOIRE =FISSURE FERMEE)......................................... 42
FIGURE 1. 19: SCHEMA REPRESENTATIF DU CYCLE OUVERTURE, FERMETURE ET GLISSEMENT DES
LEVRES DE FISSURES PENDANT LE PASSAGE DE CHARGEMENT A) SANS PRESSION SUR LES
LEVRES, B) AVEC PRESSION. ................................................................................................ 42
FIGURE 1. 20: PRESENTATION DE PRESSION DE LUBRIFIANT SUR LES LEVRES DE LA FISSURE
(MODELE BOWER) .............................................................................................................. 43
FIGURE 1. 21: SCHEMA REPRESENTATIF DU CYCLE OUVERTURE, FERMETURE ET GLISSEMENT DES
LEVRES DE DEUX FISSURES PENDANT LE PASSAGE DU CHARGEMENT ..................................... 44
FIGURE 1. 22: PRESSION DANS LA FISSURE DANS LE CAS DE ROULEMENT PUR............................... 45
FIGURE 1. 23: PRESSION DANS LA FISSURE DANS LE CAS DE ROULEMENT AVEC GLISSEMENT ......... 45
FIGURE 1. 24: SCHEMATIQUE DE PROPAGATION D’UNE FISSURE EN SURFACE (HAUT) ET EN
PROFONDEUR (BAS) ............................................................................................................ 46
FIGURE 1. 25: VITESSE DE PROPAGATION EN FONCTION DE –A) ANGLE DE BRANCHEMENT –B)
LONGUEUR DE LA FISSURE. ................................................................................................. 47
FIGURE1. 26: VITESSE DE PROPAGATION EN FONCTION DE –A) COEFFICIENT DE FROTTEMENT DANS
LE CONTACT f r –B) COEFFICIENT DE FROTTEMENT INTER-LEVRES f i .................................. 48
FIGURE 1. 27: SCHEMA REPRESENTATIF DE L’APPARITION ET EVOLUTION DE FISSURES A SEC ET
AVEC LUBRIFIANT ............................................................................................................... 48
FIGURE 1. 28: SCHEMA REPRESENTATIF DU BRANCHEMENT DE MULTI-FISSURES. ......................... 49
FIGURE 1. 29: ILLUSTRATION DU BANC D’ESSAIS DE WAY (1930)................................................. 49
___________________________________________________________________________
11
Table des figures
___________________________________________________________________________
FIGURE 1. 30: FORME DE PRE-FISSURES USINEES DANS DES GALETS TRANSPARENTS ..................... 50
FIGURE 1. 31 TROIS CATEGORIES D’EVOLUTIONS DES FISSURES ARTIFICIELLES ............................ 50
FIGURE 1. 32: EVOLUTION D’UN TROU DANS UN DISQUE POLYMERE ............................................ 51
FIGURE 1. 33: USURES DU DISQUE MENANT (ROUE) ET DU DISQUE MENE (RAIL) EN FONCTION DU
NOMBRE DE CYCLES ............................................................................................................ 51
FIGURE 1. 34: ORGANIGRAMME DE COMPETITIVITE ENTRE USURE ET RCF. ................................. 52
FIGURE 1. 35: ILLUSTRATION DES BANCS D’ESSAIS UTILISES PAR MURO ET AL. ............................. 52
FIGURE 1. 36: PROPAGATION DE FISSURES EN PROFONDEUR EN FONCTION DE LA DIRECTION DE LA
FORCE TANGENTIELLE......................................................................................................... 53
FIGURE 1. 37:RELATION ENTRE LES CONTRAINTES RESIDUELLES DE TRACTION ET L’ECAILLAGE
(MURO) ............................................................................................................................. 53
FIGURE 1. 38: UN ECAILLAGE (A GAUCHE) ET UN SCHEMA REPRESENTATIF POUR SA PRODUCTION (A
DROITE) ............................................................................................................................. 54
FIGURE 1. 39: A)ILLUSTRATION DU BANC D’ESSAI (SODA), B) DUREE DE VIE DES DISQUES EN
FONCTION DE LA FORCE TANGENTIELLE ET DE LA RUGOSITE................................................. 54
FIGURE 1. 40: A) ANGLE DE MESALIGNEMENT, B) TEMPS D’INITIATION D’ECAILLAGE EN FONCTION
DE L’ANGLE DE MESALIGNEMENT. ....................................................................................... 55
FIGURE 1. 41: A) ILLUSTRATION DU BANC D’ESSAIS (ZHAO), B) APPARITION DES FISSURES
SECONDAIRES ..................................................................................................................... 56
FIGURE 1. 42: UNE FISSURE EN SURFACE ET EN PROFONDEUR .................................................... 57
FIGURE 1. 43: MULTI-FISSURES EN SURFACE ET EN PROFONDEUR. .............................................. 58
FIGURE 1. 44: CRIQUES DU CHAMPIGNON DE RAIL DE TRAMWAY DE BUCAREST ........................... 59
FIGURE 1. 45: CRIQUES DU CHAMPIGNON EN SURFACE ............................................................... 59
FIGURE 1. 46: COUPE METALLURGIQUE POUR LES CRIQUES DU CHAMPIGNON, VUE EN
PROFONDEUR. .................................................................................................................... 60
FIGURE 1. 47: FISSURES DU RAIL, EN SURFACE ET EN PROFONDEURS, POUR DIFFERENTES NUANCES
D’ACIERS............................................................................................................................ 60
Chapitre II
FIGURE 2. 1: CINEMATIQUE DU CONTACT D’UNE ROUE DURANT L’ACCELERATION ET LE FREINAGE.
.......................................................................................................................................... 68
FIGURE 2. 2: SCHEMA DU BANC D’ESSAIS. A- FACE AVANT B- FACE ARRIERE................................. 68
FIGURE 2. 3: FONCTIONS CINEMATIQUES DU BANC D’ESSAIS ....................................................... 69
FIGURE 2. 4: MACHINE BI-DISQUES, VERSION ACTUELLE ............................................................. 70
FIGURE 2. 5: ANGLE DE MESALIGNEMENT ENTRE GALETS ............................................................ 71
FIGURE 2. 6: DEFAUTS ENTRE GALETS ........................................................................................ 73
FIGURE 2. 7: DIMENSIONS DES GALETS ....................................................................................... 73
FIGURE 2. 8: BANC DE VISUALISATION........................................................................................ 74
FIGURE 2 9:LES TROIS POSITIONNEMENTS PRINCIPAUX................................................................ 75
FIGURE 2 10: DIRECTION D’ECLAIRAGE IDEAL ............................................................................ 75
FIGURE 2.11:VISUALISATION AVEC LUMIERE GUIDEE .................................................................. 76
FIGURE 2. 12: MESURE MANUELLE POUR LA LARGEUR, A), ET LA PROFONDEUR, B), DES FISSURES 77
FIGURE 2.13: MIRE DE RESOLUTION UTILISEE............................................................................. 77
FIGURE 2.14: PROFILOMÈTRE .................................................................................................... 79
FIGURE 2. 15: EXEMPLE DE CIRCULARITE MESUREE SUR UN GALET NEUF .................................... 79
___________________________________________________________________________
12
Table des figures
___________________________________________________________________________
FIGURE 2.16: PROFIL DE RUGOSITE ET D’ONDULATION D’UNE RECTITUDE VERTICALE DE LA PISTE
D’UN GALET NEUF .............................................................................................................. 80
Chapitre III
FIGURE 3.1: A) CONTACT SANS MESALIGNEMENT, B) CONTACT AVEC MESALIGNEMENT ................ 84
FIGURE 3 2: CINEMATIQUE DE CONTACT DU GALET MENE. A GAUCHE ‘AVEC MESALIGNEMENT’. A
DROITE ‘SANS MESALIGNEMENT’. ........................................................................................ 84
FIGURE 3. 3:ESSAI 01 NT = 4100X103, GAUCHE Β= 044°, A DROITE Β = 260°, ZOOM 50 FOIS .... 85
FIGURE 3.4: ESSAI 02, ONDULATION DE LA SURFACE DU GALET L02, NT = 1000X103, A GAUCHE LA
CIRCULARITE DU GALET, A DROITE Β = 100°, ZOOM 30 FOIS ................................................ 86
FIGURE 3.5:ESSAI 03 NT = 200X103, A GAUCHE Β = 060°, A DROITE Β = 180° ZOOM = 50 FOIS 86
FIGURE 3.6: ESSAI N°4 NT = 80X103, A GAUCHE Β = 270° A DROITE Β = 350° ZOOM = 50 FOIS. 87
FIGURE 3.7: CINEMATIQUE DE CONTACT - A) ‘MENE’ - B) ‘MENANT’.......................................... 87
FIGURE 3. 8: VUE EN PROFONDEUR. PHOTO DE GAUCHE ESSAI 1 ‘MENE’ Α = 090° - Β = 044° - Γ =
000°. PHOTO DE DROITE ESSAI 4 ‘MENANT’ Α = 090° - Β = 280° - Γ = 000°. ZOOM 50 FOIS.
.......................................................................................................................................... 87
FIGURE 3.9: FISSURES A Β = 090°.............................................................................................. 90
FIGURE 3.10: FISSURES A Β = 120°............................................................................................ 91
FIGURE 3.11: A) RECTITUDE VERTICALE DU PROFIL DU GALET A003, B) RECTITUDE VERTICALE DU
PROFIL DU GALET I001 ....................................................................................................... 92
FIGURE 3.12: MESURE D’UNE FISSURE EN SURFACE ET EN PROFONDEUR..................................... 92
FIGURE 3.13: COURBES D’EVOLUTION EN SURFACE ET EN PROFONDEUR POUR L’ESSAI 05 ........... 93
FIGURE 3.14: ALLURE ET DISPERSION DES MESURES DE LARGEUR DE L’ESSAI 05.......................... 94
FIGURE 3.15: EVOLUTION DU NOMBRE MOYEN DE FISSURES........................................................ 94
FIGURE 3.16: EXEMPLE DES COURBES DE TENDANCE POUR LA LARGEUR ET LA PROFONDEUR D’UNE
FISSURE.............................................................................................................................. 95
FIGURE 3.17: EVOLUTION DE LA LARGEUR DES FISSURES EN FONCTION DE LA CHARGE NORMALE . 96
FIGURE 3.18: DISTANCE INTER-FISSURES POUR LE PLAN ESSAI 03................................................ 97
FIGURE 3.19: EVOLUTION DE LA PROFONDEUR DES FISSURES EN FONCTION DE LA CHARGE
NORMALE ........................................................................................................................... 98
FIGURE 3.20: PROFIL DU GALET EN FIN D’ESSAI ......................................................................... 99
FIGURE 3. 21: EVOLUTION DE LA LARGEUR DES FISSURES EN FONCTION DE FORCE TANGENTIELLE
........................................................................................................................................ 100
FIGURE 3.22: TEMPS D’INITIATION MOYEN EN FONCTION DE LA FORCE DE TRACTION................. 101
FIGURE 3.23: DISTANCE INTER-FISSURES MOYENNE .................................................................. 101
FIGURE 3.24: EVOLUTION DE LA PROFONDEUR DES FISSURES EN FONCTION DE LA FORCE
TANGENTIELLE.................................................................................................................. 102
FIGURE 3.25: L’EVOLUTION DE LA LARGEUR MOYENNE ET DE LA PROFONDEUR MOYENNE EN
FONCTION DE LA CHARGE NORMALE (ESSAIS 5,7,8 ET9). .................................................... 102
FIGURE 3. 26: PROFIL DES GALETS EN FIN D’ESSAI .................................................................... 103
FIGURE 3.27:LLE PROFIL DU GALET E029 AVANT ET APRES L’ESSAI ........................................... 104
FIGURE 3.28: TAUX DE GLISSEMENT EN FONCTION DE LA FORCE DE TRACTION. ......................... 105
FIGURE 3.29: PHOTOS EN PERSPECTIVE DE QUATRE FISSURES, ZOOM 175 FOIS ......................... 106
FIGURE 3.30: FISSURE EN SURFACE PHOTO A), ET RECONSTITUTION EN PERSPECTIVES PHOTOS B) ET
C) .................................................................................................................................... 107
___________________________________________________________________________
13
Table des figures
___________________________________________________________________________
FIGURE 3.31: PARAMETRES GEOMETRIQUES DEFINISSANT UNE FISSURE ..................................... 108
FIGURE 3 32: EVOLUTION DE LA FORME D'UNE FISSURE. .......................................................... 109
FIGURE 3.33: COMPARAISON ENTRE LES FISSURES CREEES DANS NOS ESSAIS ET CELLES CREEES SUR
UN CHEMIN FERROVIAIRE. ................................................................................................. 110
FIGURE 3.34: FISSURES APPARAISSANT DURANT UN CONTACT GLISSANT SUR UN FILM DE
POLYSTYRENE ................................................................................................................... 111
FIGURE 3.35: DIFFERENCES POUR L’INITIATION ET LA PROPAGATION DES FISSURES ENTRE LE
CONTACT DE ROULEMENT ET LA FRAGMENTATION.. ............................................................ 111
FIGURE 3.36: FISSURES APPARUES A SEC APRES 530 000 CYCLES, A) EN SURFACE B) EN
PROFONDEUR POUR Β = 119°, C) EN SURFACE ET D) EN PROFONDEUR POUR Β = 151°, ZOOM
100 FOIS .......................................................................................................................... 112
FIGURE 3.37: EVOLUTION DE FISSURES AVEC LUBRIFIANT EN POSITION MENANT, A) Β = 119°, B) Β
= 151° , ZOOM 100 FOIS .................................................................................................. 113
FIGURE 3.38: LES ESSAIS 13 ET 14 EN FIN DE TEST A SEC. ......................................................... 114
FIGURE 3.39: CINEMATIQUE DE CONTACT POUR LES ESSAIS 13 ET 14 AVEC LUBRIFIANT............. 114
FIGURE 3.40: EVOLUTION DES FISSURES, POUR LES ESSAIS 13 ET 14, EN POSITION ‘MENE’ AVEC
LUBRIFIANT. ..................................................................................................................... 115
FIGURE 3 41: EFFET DU LUBRIFIANT SUR L’EVOLUTION DE FISSURE, EN SURFACE ET EN
PROFONDEUR, ESSAI 15 .................................................................................................... 117
Chapitre IV
FIGURE 4. 1: FORMATION TYPIQUE D’UNE FAMILLE DE FISSURES (P=600N, T=75N) ............... 121
FIGURE 4. 2: DISTANCE INTER-FISSURES POUR DIFFERENTE FORCE DE TRACTION ...................... 121
FIGURE 4. 3: DOMAINE DE VARIATION DU ‘FACTEUR’ ............................................................... 123
FIGURE 4. 4: DEFINITION DE L’ESPACE EXPERIMENTAL ............................................................. 123
FIGURE 4. 5: NIVEAUX DES FACTEURS DEFINISSANT DES POINTS EXPERIMENTAUX...................... 124
FIGURE 4. 6: DEFINITION DU DOMAINE D’ETUDE...................................................................... 124
FIGURE 4. 7: DEFINITION DE LA SURFACE DE REPONSE ............................................................. 125
FIGURE 4. 8: LE CONTACT GALET/GALET ET SON EQUIVALENT ................................................... 127
FIGURE 4. 9: LES ZONES INTERESSANTES AUTOUR D’UNE FISSURE ............................................. 129
FIGURE 4. 10: CORPS DEFORMABLE ......................................................................................... 131
FIGURE 4. 11: DETECTION DE CONTACT ENTRE CORPS DEFORMABLE ET RIGIDE......................... 132
FIGURE4. 12: REPRESENTATION DE LOI DE COULOMB .............................................................. 133
FIGURE 4. 13: REPRESENTATION DE LOI ARCTANGENTE DE FROTTEMENT ................................... 134
FIGURE 4. 14 ALGORITHME DE CONTACT DU CODE MSC.MARC ................................................ 136
FIGURE 4. 15: CINEMATIQUE DE CONTACT ............................................................................... 137
FIGURE 4. 16: CAS RÉELS ET LES MODÈLES CORRESPONDANTS .................................................. 138
FIGURE 4. 17: DISCRETISATION TEMPORELLE DE CHARGEMENTS ............................................... 140
FIGURE 4. 18: PRESENTATION GEOMETRIQUE DU MODELE ........................................................ 141
FIGURE 4. 19: DISCONTINUITE REPRESENTANT UNE FISSURE ..................................................... 141
FIGURE 4. 20: LE MAILLAGE DU PLAN DEFORMABLE ................................................................. 142
FIGURE 4. 21: LES GROUPES DES ELEMENTS DANS LE PLAN DEFORMABLE. ................................. 143
FIGURE 4. 22: MAILLAGE GLOBAL TESTE .................................................................................. 143
FIGURE 4. 23: DISTRIBUTION DES CONTRAINTES POUR LE CAS I350_L625_T075_F000, ‘MENE’,
‘STICK-SLIP’ ..................................................................................................................... 144
FIGURE 4. 24: LES NŒUDS ET LES POINTS DE GAUSS POUR L’ELEMENT DE TYPE 3...................... 145
___________________________________________________________________________
14
Table des figures
___________________________________________________________________________
FIGURE 4. 25: INFLUENCE DU TYPE D’ELEMENTS SUR LES CONTRAINTES. ............................... 146
FIGURE 4. 26: LES NŒUDS ET LES POINTS DE GAUSS POUR L’ELEMENT DE TYPE 114.................. 146
FIGURE 4. 27: TAILLE DES FICHIERS ET TEMPS DE CALCUL POUR LES DIFFERENTS TYPES
D’ELEMENTS ..................................................................................................................... 147
FIGURE 4. 28: MAILLAGES UTILISES POUR ETUDIER L’INFLUENCE DES TAILLES D’ELEMENTS SUR LE
CALCUL ............................................................................................................................ 147
FIGURE 4. 29: INFLUENCE DE LA TAILLE D’ELEMENTS SUR LES CONTRAINTES ............................. 148
FIGURE 4. 30: TAILLE DE FICHIER ET TEMPS DE CALCUL POUR LES DIFFERENTES TAILLES DE
MAILLAGES. ...................................................................................................................... 149
FIGURE 4. 31: σXX A LA SURFACE DU CONTACT POUR LE CAS I350_L625_T075_F000, PAS = 157
........................................................................................................................................ 149
FIGURE 4. 32: LES MAILLAGES DE HAUT DE FISSURE TESTES ...................................................... 150
FIGURE 4. 33: σXX POUR LES DIFFERENTES MODELISATIONS DE HAUT DE FISSURE ...................... 151
FIGURE 4. 34:MAILLAGE FINAL ADOPTE ................................................................................... 152
FIGURE 4. 35: PRESENTATION DU MODELE FINAL ..................................................................... 152
Chapitre V
FIGURE 5. 1: SCHEMA DE RAPPEL DU MODELE ADOPTE ............................................................. 155
FIGURE 5. 2: REPARTITIONS SXX ET SXY POUR LES CAS STICK-SLIP, ARCTANGENTE EN MENANT ET
MENE............................................................................................................................... 156
FIGURE 5. 3: COMPARAISON DE SXX ET SXY AVEC LA CINEMATIQUE DE CONTACT CORRESPONDANTE.
........................................................................................................................................ 157
FIGURE 5. 4: EFFET D’EXISTENCE D’UNE FISSURE SUR LES REPARTITIONS DES CONTRAINTES SXX ET
SXY. ................................................................................................................................. 158
FIGURE 5. 5 ............................................................................................................................. 158
FIGURE 5. 6: SXX ET SXY POUR LE CAS I350_L625_T075_F050_MENANT_STICK_SLIP ............... 159
FIGURE 5. 7: ZONE D’ETUDE .................................................................................................... 160
FIGURE 5. 8: σXX_MAX ET LA DISTANCE ................................................................................... 161
FIGURE 5. 9: SOLLICITATION σXX D’UN POINT .......................................................................... 162
FIGURE 5. 10: AMPLITUDE ET NIVEAU DE σXX .......................................................................... 162
FIGURE 5. 11: NŒUD CHOISI POUR CALCULER LE TAUX DE GLISSEMENT. ................................... 163
FIGURE 5. 12: N-PLOT POUR LE CAS ‘MENANT_STICK-SLIP_SXX_MAX’ .................................... 164
FIGURE 5. 13: DIAGRAMME D’EFFETS POUR LE CAS MENANT_STICK-SLIP_SXX_MAX .................. 166
FIGURE 5. 14:DIAGRAMMES DES EFFETS DES FACTEURS POUR SXX_MAX ET SXX_DIS ................. 167
FIGURE 5. 15: EFFETS DE ‘IN’ ET ‘LO’ SUR SXX_DIS ET DE ‘IN’ ET ‘TR’ SXX_MAX POUR LE CAS
MENANT_STICK-SLIP ........................................................................................................ 168
FIGURE 5. 16: DESCRIPTIF STATISTIQUE DE SXX_MAX ............................................................... 168
FIGURE 5. 17 : DIAGRAMMES D’EFFETS POUR SXX_AMP ET SXX_NIV ......................................... 169
FIGURE 5. 18: EFFETS DE ‘INTER-DISTANCE’ SUR SXX_NIV ET SXX_MAX ET DE ‘INTER-DISTANCE’
SUR SXX_AMP POUR LE CAS MENANT_STICK-SLIP .............................................................. 170
FIGURE 5. 19: DESCRIPTIF STATISTIQUE POUR LE GLISSEMENT.................................................. 170
FIGURE 5. 20: σXY DANS LA ZONE DE CONTACT .......................................................................... 172
FIGURE 5. 21: APPARITION DE PAS QUASI-REGULIER ENTRE FISSURES........................................ 173
FIGURE 5. 22: SXX_MAX ET SXX_DIS EN FONCTION DE L’INTER-DISTANCE. ................................ 174
___________________________________________________________________________
15
Table des figures
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
16
Liste des Tableaux
___________________________________________________________________________
Liste des tableaux
Chapitre I
TABLEAU 1. 1: PRINCIPALES ETUDES EXPERIMENTALES .............................................................. 63
Chapitre II
TABLEAU2. 1: CARACTERISTIQUES TECHNIQUES DU BANC D’ESSAIS ............................................. 69
TABLEAU2. 2: VALEURS TYPIQUES DES CARACTERISTIQUES MECANIQUES DES MATERIAUX DES
GALETS ............................................................................................................................... 72
Chapitre III
TABLEAU 3.1: PARAMETRES DU PLAN D’ESSAI N°1....................................................................... 85
TABLEAU 3.2: PARAMETRES DE PLAN D’ESSAIS N°2...................................................................... 88
TABLEAU 3.3: NOMBRE DE CYCLES DES PAS DES ESSAIS 05 ET 06 ................................................. 89
TABLEAU 3.4: PARAMETRES DU PLAN D’ESSAI N°3....................................................................... 95
TABLEAU 3.5: PARAMETRES DU PLAN D’ESSAI N°4 .................................................................... 100
TABLEAU 3.6: PARAMETRES DES COURBES DE TENDANCE POUR L’ESSAI 5 .................................. 108
TABLEAU 3.7: PARAMETRES DU PLAN D’ESSAI N°5 .................................................................... 112
Chapitre IV
TABLEAU 4. 1: NIVEAUX DES FACTEURS .................................................................................... 129
TABLEAU 4. 2: NOTATIONS DES NIVEAUX DE FACTEURS ............................................................. 130
TABLEAU 4. 3: COMPARAISON DE CARACTERISTIQUES DE CHARGEMENT ET GEOMETRIQUE ENTRE
MODELE ET CAS REEL........................................................................................................ 139
Chapitre V
TABLEAU 5. 1: QUALITE DU MODELE DE PLANS D’EXPERIENCES ................................................ 165
___________________________________________________________________________
17
Liste des Tableaux
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
18
Nomenclatures
___________________________________________________________________________
Nomenclatures
a
grand axe de l’aire du contact
[mm]
a’
demi largeur de la fissure
[mm]
A1, A2
les deux coins de haut de fissure
A1A2
l’arc de la fissure à la surface du contact
b
petit axe de l’aire du contact
[mm]
b’
profondeur de la fissure
[mm]
C
coefficient quantifie l’écart entre les modèles arctangente et Coulomb
Cf
couple de freinage
[N.m]
e
épaisseur du galet
[mm]
E
module d’Young
[GPa]
fc
coefficient de frottement dans le contact
fi
coefficient de frottement inter lèvres
fn
force normale
[N]
ft
force tangentielle
[N]
i, in
inter-distance entre deux fissures
[mm]
KIc
ténacité
[MPa.m1/2]
l, lo
profondeur d’une fissure = longueur d’une fissure
[mm]
L
largeur ou profondeur maximale dans une courbe Fit
[mm]
N
nombre de cycles
[cycles]
Ns
nombre de cycles à sec
[cycles]
Nl
nombre de cycles avec lubrifiant
[cycles]
Nt
nombre de cycles total
[cycles]
N0
nombre de cycles initial d’initiation de fissures
[cycles]
P
charge normale
[N]
p0
pression de contact maximale
[MPa]
R
rayon du galet
[mm]
Ra
moyenne arithmétique de la rugosité
[µm]
Rb
rayon du bombé du galet
[mm]
Rq
moyenne géométrique de la rugosité
[µm]
Sxx, Syy, Sxy contraintes
[MPa]
___________________________________________________________________________
19
Nomenclatures
___________________________________________________________________________
T, t, tr
force de traction, force tangentielle
[N]
W
vitesse de rotation
[tr/mn]
x, y, z
repère orthonormé
α
angle de position de vidéo-microscope
[°]
β
angle de surface du galet
[°]
γ
angle de position du support du galet (perspective)
[°]
δ
angle de mésalignement entre les galets
[°]
τ
taux de glissement
[%]
φ
diamètre du galet
[mm]
ν
coefficient de Poisson
σe
limite élastique
[MPa]
σr
résistance en traction
[MPa]
σxx, σyy, σxy
contraintes
[MPa]
σ-1
limite de fatigue à traction
[MPa]
λ
angle polaire repérant le haut de la fissure
[°]
λ1
demi angle de l’arc A1A2
[°]
µ
coefficient de frottement
___________________________________________________________________________
20
Nomenclatures
___________________________________________________________________________
Fissure
z
Largeur de la fissure
x
Profondeur ou longueur
de la fissure
z
Largeur de la fissure
y
Profondeur ou longueur
de la fissure
Définition de largeur et de profondeur d’une fissure
___________________________________________________________________________
21
Nomenclatures
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
22
Introduction Générale
___________________________________________________________________________
Introduction Générale
Les concepteurs des structures métalliques et des systèmes mécaniques sont
confrontés en permanence avec les problèmes de fatigue. Des sollicitations cycliques peuvent
parfois être catastrophiques, même si elles respectent largement les niveaux d’un
dimensionnement statique.
La fatigue peut se produire de multiples façons. Les seules sollicitations mécaniques
externes appliquées à la structure engendrent de la fatigue mécanique. Les efforts cycliques
appliqués à haute température causent un endommagement de type fatigue fluage. Les petits
mouvements relatifs, les vibrations ou bien les battements de deux solides donnent lieu à du
fretting fatigue. Les sollicitations répétées dues au contact de roulement entre deux pièces
mécaniques engendrent la fatigue de contact de roulement (Rolling Contact Fatigue :
RCF) à laquelle nous allons nous intéresser.
Les avaries qui apparaissent par RCF se caractérisent, à la surface des pièces
roulantes, par des fissures, des piqûres et des écaillages. Cette fatigue est une cause
importante de défaillance des systèmes, surtout quand les fissures se propagent en profondeur
et conduisent à la rupture des pièces.
L’étude du problème de la RCF est très complexe, car d’une part c’est un problème
tribologique qui nécessite une approche multidisciplinaire, incluant la mécanique du contact,
la mécanique de la fatigue, la mécanique de la rupture,… et d’autre part c’est un problème
fréquent dans différentes applications, tel que les éléments de machines comme les
engrenages et les roulements, le contact roue/rail de train, les systèmes de stockage
magnétique et enregistrements,...
On trouve dans la littérature scientifique que ce problème a été le sujet des nombreux
travaux expérimentaux et numériques. Le problème a conduit à considérer différentes
situations et effets : l’effet du chargement normal et tangentiel, les fissures débouchantes, les
fissures sub-surfaciques, le contact et le frottement entre les lèvres des fissures, la présence du
lubrifiant, l’effet de rugosité, etc. Les études numériques et les mesures expérimentales sont
majoritairement en 2D.
Notre objectif principal est l’étude du comportement de fissures de RCF. Nous avons
suivi leur initiation et leur propagation, dans un polymère époxy. C’est un matériau élastique
fragile et transparent, cette dernière propriété nous aide au suivi 3D de phénomène.
Cette étude comporte deux volets, l’un expérimental et l’autre modélisation
numérique.
Ce mémoire s’articule en cinq chapitres :
___________________________________________________________________________
23
Introduction Générale
___________________________________________________________________________
Au chapitre I, nous présentons une étude bibliographique divisée en deux grandes
parties. Dans la première partie, nous exposons brièvement et de façon générale, les théories
principales concernant la RCF : le contact de Hertz, les zones d’adhérence et du glissement
dans le contact, la fatigue et l’initiation de fissure et la rupture et ces modes principaux. Dans
la deuxième partie, nous exposons les principales études numériques et expérimentales sur le
problème de la RCF pour une fissure débouchante.
Au chapitre II, nous présentons la mise en œuvre de la technique expérimentale
utilisée dans cette étude. Notre banc d’essais qui impose, de façon peu habituelle la force de
traction, est décrit. Puis nous présentons le dispositif d’observation et de prise de vue pour les
fissures. Puis nous quantifions les erreurs de la mesure. Nous terminons par le protocole
adopté pour réaliser un essai type.
Au chapitre III, nous exposons les résultats expérimentaux de quatre plans d’essais
réalisés à sec et d’un plan d’essais réalisé avec lubrifiant. Nous étudions l’effet de la position
du galet éprouvette ‘menant’ ou ‘mené’, la reproductibilité du phénomène sur notre banc
d’essais, l’effet de la charge normale et celui de la force tangentielle et l’effet du lubrifiant.
Nous présentons aussi un modèle 3D pour la forme de la fissure.
Au chapitre IV, nous présentons le modèle numérique et le moyen du calcul, utilisés
pour modéliser le phénomène. Nous étudions l’effet de l’existence d’une fissure, dans une
plaque déformable en contact avec un disque rigide, sur les répartitions des contraintes à la
surface. Nous présentons aussi les étapes suivies pour choisir le maillage le plus approprié à
notre modèle.
Au chapitre V, nous commençons par l’exposé des répartitions des contraintes à la
surface de plaque non fissurée, pour deux lois de frottement et pour les deux positions du
galet ‘menant’ et ‘mené’. En suite nous présentons le changement dû à l’existence d’une
fissure. Nous expliquons la méthode utiliser pour extraire les grandeurs d’intérêt sur
lesquelles portent les plans d’expériences. Nous exposons les résultats de ces plans, en
indiquant les facteurs les plus influents sur les grandeurs d’intérêts. Nous terminons par une
comparaison entre les résultats expérimentaux et numériques.
Enfin, une conclusion générale permettra de dégager les principaux résultats de cette
étude et les différents prolongements possibles de celle-ci.
___________________________________________________________________________
24
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Chapitre I :ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
1.1 Introduction à la fatigue de contact de roulement
Les avaries telles que les fissures, piqûres, écaillages etc. (figure 1.1), qui se manifestent sur
la surface des pièces en contact hertzien roulant, (engrenages, pièces de roulements, roues et rails
de train, etc.) sont dues en partie à la fatigue de contact de roulement (Rolling Contact Fatigue ou
RCF).
Fissures et piqûres sur un rail de train
[GNBFH02]
Ecaillage sévère sur un palier de butée
[Fer97]
Figure 1. 1: Exemples d'avaries du type RCF
Le contact entre solides, localisé autour d’un point ou d’une ligne est dit contact hertzien.
Quand ce contact est roulant, il se traduit par une sollicitation normale et tangentielle répétée, et
par des zones d’adhérence et de micro-glissement dans l’aire de contact. Sous l’influence de
cette sollicitation répétée, de petites fissures (~50 micromètres) peuvent apparaître en surface ou
sous la surface de contact.
Plusieurs études expérimentales et numériques ont été menées sur les fissures subsurfaciques ( [YRH84] [KBH82] [CCSB84] [SS84] [KMO86] [Kom96] [LK05] [LLM07]).
Dans cette étude nous nous intéressons plus particulièrement au phénomène de fissures
surfaciques
On peut considérer que la fatigue de contact de roulement se situe à l’intersection de trois
domaines principaux de la physique. Ce sont, la mécanique du Contact, la mécanique de la
Fatigue et la mécanique de la Rupture’. Le schéma de la figure 1.2 représente cette situation.
___________________________________________________________________________
25
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Mécanique
du
Contact
Fatigue
de
Contact
de
Roulement
Mécanique
de la
Fatigue
Mécanique
de la
Rupture
Figure 1. 2: Schéma représentatif des axes principaux de la RCF
Ce chapitre comporte les parties suivantes :
- Les modèles généraux de contacts élastiques, identifiant les zones de glissement et
d’adhérence.
- Les définitions de la fatigue et de l’endurance ainsi que les étapes d’endommagement
en fatigue, amenant deux théories d’initiation de fissure.
- La rupture fragile. Nous donnons les définitions de la rupture et des modes principaux
de rupture, puis nous décrivons les théories principales de propagation des fissures.
- En fin, la dernière partie recense les études bibliographiques spécifiques à la RCF
d’un point de vue numérique d’une part et expérimental d’autre part.
1.2 Présentation générale
1.2.1 Contact normal de solides élastiques : théorie de Hertz
On peut localement représenter le contact élastique entre deux pièces mécaniques par un
contact de type :
- Ponctuel, le plus souvent sphère – plan (3D),‘ellipsoïde - -plan était le cas le plus
général’.
- Linéique, cylindre – plan (2D).
Sous l’action d’une charge, les solides se déforment aux alentours du contact, en créant une
zone de contact dont les dimensions restent petites par rapport à celles des corps. Le but de la
mécanique du contact élastique est de déterminer la forme de l’aire de contact, la distribution
surfacique des contraintes normales et tangentielles dans le contact, en fonction de la charge et
des caractéristiques géométriques et physiques des corps afin de calculer les contraintes et les
déformations dans les corps.
La théorie de Hertz [Her1881] répond à ces besoins à partir des hypothèses suivantes :
___________________________________________________________________________
26
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
-
1.2.1.1
Les dimensions de la zone de contact sont petites par rapport aux dimensions des corps.
La limite élastique des matériaux n’est pas dépassée
Les corps en contact peuvent être assimilés à des massifs semi-infinis, parfaitement
élastiques, homogènes et isotropes.
Les surfaces peuvent être assimilées géométriquement à des surfaces elliptiques du
second ordre au voisinage du point de contact et les rayons de courbures sont connus.
Il n’y a pas de frottement à l’interface et par conséquent les réactions mutuelles se
réduisent à des efforts normaux.
Cas du contact ponctuel [Joh85]
Soit (figure 1.3) :
- a le rayon du disque de contact [mm]
- r le rayon en coordonnées polaires (r ² = x ² + y ² ) d’un point du disque [mm]
- p(r ) la distribution de pression dans l’aire de contact [MPa]
- δ l’enfoncement des corps [mm]
- R ∗ rayon équivalent [mm]
- E ∗ module d’Young équivalent [MPa]
- P la charge normale [N]
On a alors (avec E module d’Young et ν coefficient de Poisson, les indices 1 et 2 relatifs au
corps inférieur et supérieur) :
3PR *
a =
*
4E
1
3
(1.1)
Figure 1. 3: Contact ponctuel
6 PE *2
3P
p0 =
=
2πa 2 π 3 R *2
1
3
(1.2)
___________________________________________________________________________
27
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
r2
p (r ) = p0 1 − 2
a
1
2
a 2 9P 2
δ = * =
R 16 R * E *2
(1.3)
1
3
(1.4)
1
1
1
=
+
*
R
R1 R2
(1.5)
1 1 −ν 12 1 −ν 22
=
+
E*
E1
E2
(1.6)
La contrainte de cisaillement atteint une valeur maximale τ = 0.31 p0 à une profondeur
(profondeur de Hertz) z = 0.48 a.
Dans le cas général où les rayons principaux des corps en contact ne sont pas égaux, comme
pour un tore par exemple, la forme de l’aire de contact est une ellipse. La pression maximale est
obtenue au centre de l’ellipse et est égale à :
p0 =
3P
2πab
(1.7)
avec a et b les grands et petits axes de l’ellipse. La pression, en un point de la surface de contact,
en fonction des coordonnées cartésiennes x et y de ce point est donnée par :
x2 y2
p (x, y ) = p0 1 − 2 − 2
b
a
1.2.1.2
1
2
(1.8)
Cas du contact linéique [Joh85]
En supposant la dimension des deux corps grande dans la direction Y, le problème devient
bidimensionnel Figure 1.4. Soit :
- a la demi-largeur de contact [mm]
- p( x ) la distribution de pression dans le contact [MPa]
- R ∗ le rayon équivalent [mm]
- E ∗ le module d’Young équivalent [MPa]
- P la charge normale (charge linéique) [N/mm]
On a alors :
PR *
a = 2 *
πE
1
2
(1.9)
___________________________________________________________________________
28
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
2 P PE *
p0 =
=
πa πR *
x2
p (x ) = p0 1 − 2
a
1
2
(1.10)
1
2
(1.11)
La contrainte de cisaillement atteint une valeur maximale τ = 0.3p0 à une profondeur z = 0.78a.
Figure 1. 4: Contact linéique
1.2.2 Loi de frottement
Du fait de son efficacité et de son apparente facilité d’application, la loi de frottement la plus
utilisée aujourd’hui est celle d’Amontons – Coulomb. Obtenue à l’issue d'études expérimentales
d’Amontons (1699) et de Coulomb (1781), cette loi relie, par l’intermédiaire d’un coefficient de
frottement supposé constant, les composantes normale et tangentielle des contraintes de contact.
La loi de frottement formulée par Coulomb synthétise plusieurs conclusions quantitatives
tirées des essais systématiques réalisés sur différents matériaux. Ces conclusions sont :
- la force de frottement varie proportionnellement avec la charge normale ; le rapport de
proportionnalité correspond au coefficient de frottement µ ;
- la force de frottement est indépendante de l’aire apparente de contact ;
- le coefficient de frottement dynamique µ d est plus petit que le coefficient de frottement
-
statique µ s ;
la force de frottement est indépendante du module de la vitesse de glissement.
___________________________________________________________________________
29
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Autrement dit, si pt (M ) est le module de la composante tangentielle du vecteur contrainte
en M , p n (M ) le module de sa composante normale et µ le coefficient de frottement, nous
avons les relations suivantes :
p t (M ) ≤ µ p n (M )
(1.12)
Plus spécifiquement, nous avons :
Si M est en adhérence : pt (M ) < µ p n (M )
(1.13)
Si M est en glissement : pt (M ) = µ p n (M )
(1.14)
Dans ce cas la composante tangentielle pt (M ) est orientée dans le sens opposé au glissement.
1.2.3 Force tangentielle et glissement
Sous l’application de la force normale P et de la force tangentielle Q < µP sur deux corps
en contact, la zone de contact entre les deux corps se divise en deux parties. Dans l’une d’elles
on observe des petits mouvements relatifs entre les deux surfaces en contact, on dit que cette
partie est en glissement. Dans l’autre partie on n’observe aucun déplacement relatif entre les
deux surfaces des corps en contacts, on dit qu’il y a adhérence.
On va donc étudier le champ de contraintes tangentielles du contact plan/cylindre pour les
deux cas suivants : adhérence totale et adhérence partielle.
q ′ = µp
A
q′ = µp
q = q′ + q′′
B
P
2
Q
a
q
z
adhérence
c
q ′′ = − µp
a
c
a)
b)
glissement
a
1
x
σx
glissement
V
Q
a
c
a
Figure 1. 5: a) Contact cylindre/plan, b) Distribution de la contrainte tangentielle,
A-adhérence totale, B- adhérence partielle.
1.2.3.1
Contact cylindre-plan (2D) / adhérence totale [Joh85]
___________________________________________________________________________
30
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
On considère un cylindre entrant en contact avec un plan. Une charge normale linéique P et
une force linéique de traction Q < µP sont appliquées au cylindre.
La largeur de contact 2a (Figure 1.5-a) et le champ de pression p(x) sont donnés par la
théorie de Hertz. On suppose que le coefficient de frottement µ est suffisamment élevé pour ne
pas avoir de glissement dans zone de contact.
La distribution surfacique de la contrainte tangentielle dans la zone de contact
correspondante a la forme :
q( x) =
Q
= q ′′
π ( a − x 2 )1 2
2
(1.15)
q( x ) tend vers l’infini aux bords de l’aire de contact (graphe A –figure 1.5-b). Pour que le
contact puisse tenir ces efforts tangentiels, il faudrait que le coefficient de frottement tende vers
l’infini, ce qui est impossible. Il y a donc de glissement au bord de contact et adhérence au
centre, où la contrainte de cisaillement est faible et la contrainte normale élevée.
1.2.3.2
Contact cylindre-plan (2D) / adhérence partielle [Joh85]
La solution du problème de contact avec micro-glissement a été donnée la première fois par
Cattaneo en 1938. Elle correspond, après une mise en charge normale à une sollicitation
tangentielle au glissement, sans roulement.
Au bord du contact, on suppose que q atteint la limite de frottement µ p . La charge
tangentielle est donnée par l’équation suivante :
q ′( x) = µ p 0 (1 − x 2 a 2 )1 2
(1.16)
On considère une deuxième distribution de charge de traction (graphe B – figure 1.5-b)
appliquée sur la zone − c ≤ x ≤ c définie par :
c
q ′′( x) = − µ p 0 (1 − x 2 c 2 )1 2
a
(1.17)
La zone d’adhérence peut être déterminée en fonction de Q :
c
Q
= 1 −
a µP
12
1.18
1.2.4 Contact de roulement de corps élastiques [Joh85] [AC05]
On présente dans cette partie, des cas de roulement pour lesquels une force tangentielle est
transmise entre les deux corps en contact, comme c’est le cas pour une roue motrice de voiture
pendant l’accélération et le freinage. Une solution 2D a été présentée pour la première fois en
1926 par Carter [Car26]. Dans ce cas, contrairement au cas glissement précédent, la zone
___________________________________________________________________________
31
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
d’adhérence est en avant de l’aire de contact et la zone de glissement en arrière (Figure 1.6). La
distribution de contraintes tangentielle q( x ) dans la zone de contact est donnée par la somme des
deux termes q ′( x ) et q ′′( x ) définis par :
q′( x) = µp0 (1 − x 2 a 2 )1 2
[
c
2
q ( x) = − µp 0 1 − ( x + d ) c 2
a
(1.19)
]
12
(1.20)
Figure 1. 6: Distribution de contrainte tangentielle dans le cas de contact de roulement
Le centre de la distribution, q ′′( x ) est décentré d’une distance d = a − c . La largeur de la
zone d’adhérence est déterminée à l’aide de Q :
d
12
= 1 − (1 − Q µP )
a
(1.21)
L’application d’une force tangentielle Q , même très petite, crée du glissement à l’arrière de
la zone de contact. Cette zone se propage vers l’avant avec l’augmentation de Q . Quand Q = µP
la zone de glissement arrive à l’entrée du contact, on a alors glissement total communément
appelé dérapage.
Le passage du contact statique (cas Cattaneo) au début du roulement au roulement permanent
(cas Carter) a été traité par Kalker [Kal70]. Il a montré que la distance de roulement nécessaire
pour cette transition est de 2a. Un exemple est donné sur la figure 1.7.
___________________________________________________________________________
32
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Figure 1. 7: Changement de distribution de la contrainte tangentielle pendant le passage d'un contact
statique à un contact roulant
1.2.5 Fatigue [BB97] [FPZ93]
1.2.5.1
Généralités
La fatigue, ou l’endommagement par fatigue, est la modification des propriétés des
matériaux, consécutive à l’application de cycles d’efforts, cycles dont la répétition peut conduire
à la rupture des pièces et des structures mécaniques constituées avec ces matériaux.
La fatigue implique la micro-structure des matériaux. Elle est donc de nature différente pour
un matériau cristallin et pour une polymère par exemple. La fatigue a été particulièrement
étudiée dans le cas des métaux. La description qui suit correspond à ces matériaux. Les entités
définies sont également utilisées, par analogie de comportement macroscopique, à d’autres types
de matériaux.
Les contraintes (Figure 1.8) seront définies par l’amplitude maximale atteinte au cours d’un
cycle, σ max , par la valeur moyenne de la contrainte, σ m , et par le rapport de la contrainte
minimale à la contrainte maximale R = σ min σ max .
Figure 1. 8: Paramètres de chargement cyclique
___________________________________________________________________________
33
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
En général, la fatigue se produit sans déformation plastique d’ensemble mais avec une
déformation plastique très localisée. D’abord autour de défauts, en fond d’entaille ou en surface
puis à l’extrémité de la fissure une fois que celle-ci s’est formée.
La durée de vie est généralement mesurée par le nombre de cycles à rupture N . L’exécution de
n cycles (n<N) entraîne un certain endommagement de la pièce, qu’il est important de chiffrer
car il détermine sa capacité de vie résiduelle.
On appelle endurance la capacité de résistance à la fatigue des pièces et des assemblages.
L’essai de fatigue le plus simple, consiste à soumettre chaque éprouvette à des cycles d’efforts
périodiques et d’amplitude maximale σ . On relève le nombre de cycles N au bout duquel la
rupture se produit. A chaque éprouvette correspond un point du plan (σ , N ) . A partir d’un lot
d’éprouvettes soumises à des contraintes maximales différentes, on obtient une courbe qui a
l’allure de celle représentée sur la figure 1.9.
Figure 1. 9: Courbe de Wöhler, à gauche aspect statistique, à droite les trois zones de fatigue
Sur cette courbe, connue sous le nom de ‘courbe de Wöhler’ ou ‘courbe S-N’, on peut
distinguer trois domaines :
-
Une zone de fatigue oligocyclique (low-cycle fatigue, LCF), sous contrainte très élevée
(supérieure à la limite d’élasticité du matériau), où la rupture survient après très peu de
cycles et est précédée d’une déformation plastique notable.
- Une zone de fatigue (d’endurance) limitée (high-cycle fatigue, HCF), c’est le domaine de
la fatigue habituellement considéré où la rupture apparaît sans être accompagnée d’une
déformation plastique d’ensemble mesurable.
- Une zone d’endurance illimitée, sous faible contrainte, pour laquelle la rupture ne se
produit pas avant un nombre de cycles donné, supérieur à la durée de vie envisagée pour
la pièce.
Cette méthode de détermination de l’endurance d’une structure ne distingue pas les
différentes phases de naissance et de croissance des fissures.
Une autre définition (figure 1.10) existe pour les deux premières zones de fatigue
[KCAL03] : le LCF implique une initiation de fissure rapide et une propagation très longue
proportionnellement à la vie totale d’une fissure ; tandis que le HCF implique une initiation de
fissure très longue et une propagation courte.
___________________________________________________________________________
34
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Figure 1. 10: Zones de fatigue
1.2.5.2
Les étapes de l’endommagement par fatigue
Il existe différents stades de l’endommagement par fatigue dans une pièce mécanique où les
défauts peuvent se développer dans une partie initialement saine (non endommagée) puis se
propager de façon stable jusqu’à la rupture catastrophique. Le développement de cet
endommagement peut schématiquement se décrire de la façon suivante :
1) Des modifications microstructurales engendrent l’apparition d’un dommage irréversible ;
2) L'apparition de microfissures ;
3) La croissance et la coalescence de défauts microscopiques forment des fissures
principales qui peuvent éventuellement mener à la rupture catastrophique ;
4) La propagation stable d’une fissure principale ;
5) La rupture finale.
Ainsi l’examen d’une surface rompue fait ressortir généralement trois zones :
- Un site d’amorçage ;
- Une zone de propagation stable ;
- Une surface de rupture finale.
Les sites préférentiels pour l’amorçage sont le plus souvent situés en surface, dans des
zones de fortes contraintes comme les entailles, les rayures, les pics de corrosion, sur une
inclusion etc.
1.2.5.3
Critères d’initiation (ou amorçage) de fissures
Ces critères sont nombreux et classés dans les deux zones de fatigue LCF et HCF. En
générale, un critère d’initiation de fissures (critère de fatigue) est représenté à l’aide d’une
fonction de fatigue dans laquelle interviennent le cycle multiaxial de contraintes et plusieurs
limites d’endurance ou limites de fatigue de matériau.
Comme exemple, on va présenter le critère de Dang Van [VM02] formulé comme suit :
max t {τ (t ) + ap (t )} ≤ b
(1.22)
___________________________________________________________________________
35
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
où τ (t ) est le contrainte mésoscopique de cisaillement et p(t ) le contrainte hydrostatique. Les
constantes a et b sont des constantes de matériau déterminées par des tests de fatigue classiques.
Elles sont données par les relations suivantes :
a=
t −1 − ( f −1 2 )
( f −1 3)
(1.23)
b = t −1
où t −1 est la limite d’endurance en torsion alternée symétrique et f −1 est la limite d’endurance en
flexion alternée symétrique.
Ces critères sont définis pour de problèmes complexes et nécessitent de connaître les limites
d’endurance de matériau. Dans cette étude on va adopter de critères beaucoup plus simples
comme l’amplitude maximale de contrainte en traction ou en compression et on parlera plutôt de
probabilité d’occurrence
1.2.6 Mécanique élastique linéaire de la rupture
La mécanique de la rupture est une étude qui met en jeu les paramètres habituels de la
mécanique à partir d’une discontinuité existante : fissure ou défaut. Elle permet dans certains cas
de prévoir, en fonction des dimensions d’une fissure et de l’état de chargement, la vitesse de
propagation de la fissure et la dimension à partir de laquelle cette fissure peut entraîner une
rupture brutale [Eng90].
1.2.6.1
La rupture [BUI78]
La rupture est caractérisée, au moins localement, par la séparation irréversible d’un milieu en
deux parties, de part et d’autre d’une surface géométrique S. La coupure existante ou
nouvellement créée est appelée ‘fissure’. C’est une surface de discontinuité pour le champ de
déplacements u. Cette discontinuité [ui] peut s’écrire :
[ui ] = ui+ − ui−
(1.24)
i représentant une direction de l’espace.
La discontinuité normale est l’ouverture de la surface proprement dite. Elle n’est jamais
négative, car les faces supérieures de la surface ne peuvent que s’écarter et non s’interpénétrer.
La discontinuité tangentielle appelée glissement relatif peut avoir un signe arbitraire.
Lorsque la séparation du milieu continu est effective, les tractions surfaciques des lèvres S+ et Ss’annulent :
Ti ≡ σ ij n j = 0
(1.25)
avec σij le tenseur des contraintes, nj la normale à l’une ou l’autre des surfaces (Figure 1.11).
___________________________________________________________________________
36
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Figure 1. 11: Représentation d’une discontinuité
1.2.6.2
Les modes élémentaires de fissuration
Si l’on s’intéresse à l’aspect cinématique de la rupture, on est amené à distinguer trois modes
de rupture (Figure1.12)
Mode I – Mode d’ouverture de la fissure, où les déplacements des lèvres de la fissure sont
perpendiculaires à la direction de propagation.
[u1 = 0]
[u2 > 0]
[u3 = 0]
Mode II – Mode de cisaillement dans le plan, où les déplacements des lèvres de la fissure
sont parallèles à la direction de propagation.
[u2 = 0]
[u3 = 0]
[u1 ≠ 0]
Mode III – Mode de cisaillement anti-plan, où les déplacements des lèvres de la fissure
sont parallèles au fond de fissure.
[u1 = 0]
[u2 = 0]
[u3 ≠ 0]
Mode I
Mode II
Mode III
Figure 1. 12: Les trois modes principaux de rupture
La présence simultanée de 2 ou 3 de ces modes, dont le mode I, donne lieu à un mode de
propagation dit mixte.
1.2.6.3
Facteur d’intensité de Contrainte [FIC] K [Eng90]
En 1957, IRWIN [Irw57] donna, pour les milieux bidimensionnels relativement simples
et en ignorant les phénomènes plastiques en fond de fissure, la forme du premier terme,
singulier, du développement limité des contraintes au voisinage d’un front de fissure.
Le champ singulier en
1
r
des contraintes s’exprime sous la forme :
___________________________________________________________________________
37
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
σ ij (r ,θ ) =
K
2π r
f ij (θ )
(1.26)
r et θ étant les coordonnées polaires du point considéré (Figure 1.13) par rapport au fond de la
fissure, i et j indiquant les différentes composantes de contraintes :
σ xx , σ yy et τ xy (dans le plan)
Figure 1. 13: Schéma représentatif pour une fissure
Le champ des déplacements s’exprime, quant à lui, sous la forme :
ui = K
r
gi (θ )
2π
(1.27)
Le paramètre K , qui fait la synthèse à lui tout seul de la géométrie de la pièce fissurée, de la
longueur de la fissure et du chargement appliqué, est appelé facteur d’intensité des contraintes.
K s’exprime en N ⋅ m −3 2 , l’unité la plus usuelle étant le MPa ⋅ m .
Les facteurs fij(θ) et gi(θ) prennent des valeurs finis. Les facteurs K I , K II et K III sont
définis respectivement pour les modes I, II et III.
Le FIC est très important dans la mécanique de rupture. En général, les sollicitations dans ce
domaine sont définies en fonction du FIC. Les critères de rupture, critère de la contrainte de
tension maximale [ES63], critère de la contrainte de cisaillement maximale [OMM75], critère de
la densité d’énergie de déformation minimale [Sih74] et critère de la vitesse de propagation
maximum (da dN ) max [HP82], sont tous liés, de façon directe ou indirecte, avec le FIC. Les
lois de propagation de fissures sont aussi écrites en fonction FIC.
___________________________________________________________________________
38
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
1.3 Approche mécanique du phénomène RCF
Compte tenu des enseignements bibliographiques recueillis, nous pouvons situer le point de
vue que nous avons adopté pour traiter le phénomène de RCF. Le RCF est positionné (figure
1.14) au centre des interacteurs considérés.
a)
Fatigue de Contact de Roulement
Zone de glissement et d’adhérence
Direction de fissure
Pas d’avancement
Champs de contraintes et de déformations
Fissure subsurfacique
Branchement – Même direction
Aire de contact
Fissure surfacique
Seuil de propagation
Contact
Initiation
Propagation
et
de
de
roulement
fissure
fissure
Chargements
Amplitude de contraintes (LCF - HCF)
Coefficient de frottement - Lubrifiant
Etats de surface - Rugosité
Taille critique d’une fissure
Lubrifiant – coefficient de frottement dans
la fissure
Plastification - Cisaillement
Inclinaison de la fissure
Critères d’initiation
Chargement - Direction de chargement
Modes de chargement – Mixte et simple
b)
Figure 1. 14: Schéma représentatif du phénomène de RCF
___________________________________________________________________________
39
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
1.4 Etudes numériques en RCF
1.4.1 Principales études d’une fissure débouchante en RCF
Keer et Bryant [KB83] ont étudié numériquement le problème de fatigue de contact de
roulement d’une roue fissurée (fissure débouchant à la surface de contact.). Ce modèle se résume
à:
-
Un modèle 2D simple.
On suppose qu’il existe une fissure (discontinuité 1D) linéaire inclinée d’angle ζ = 25°
dans un plan semi-infini.
La direction d’inclinaison de la fissure est celle du mouvement de charge normale, c’est à
dire dans le sens inverse du roulement de la roue (figure 1.15)
Figure 1. 15: Modèle 2D de Keer et Bryant pour une roue fissurée
-
-
Les contraintes normales de contact sont représentées par une répartition semi-circulaire
et les contraintes tangentielles par la même répartition multipliée par le coefficient de
frottement f
Il existe un coefficient de frottement f c entre les lèvres de la fissure fermée
Il y a une partie supérieure λ de la fissure qui est ouverte 0 < λ < 1
L’effet de la pénétration du lubrifiant dans la partie supérieure ouverte de la fissure est
une transmission le long de cette partie, de la pression du contact hertzien.
Le modèle de Kaneta et al. [KSM86] quant à lui formulait le problème de la manière
suivante :
-
Modèle 3D (figure 1.16-a)
Fissure en demi-cercle (discontinuité 2D) dans un corps semi-infini
Chargement normal semi-sphérique
L’existence d’une fissure n’a pas d’influence sur ce chargement.
Le chargement tangentiel est égal au chargement normal multiplié par un coefficient de
frottement
___________________________________________________________________________
40
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
-
La charge hydrodynamique est appliquée de façon décroissante sur les lèvres de la fissure
Surface ‘Mené’
Glissement négatif
Surface ‘Mené’
Glissement négatif
a)
Surface ‘Menant’
Glissement positif
Surface ‘Menant’
Glissement positif
b)
Figure 1. 16: a) Modèle 3D de Kaneta, contact demi-sphère. b) 4 possibilités pour la fissure dans le
contact
-
-
Ils ont décrit (figure 1.16-b) quatre possibilités pour une fissure donnée. Selon la
direction du déplacement de la charge normale et la direction de la force tangentielle.
Dans le cas A, la charge passe à la verticale du haut de la fissure puis à la verticale du
fond. Dans le cas B, c’est la séquence est inversée. Ils ont constaté dans le cas A que :
o la fissure est tout le temps ouverte dans le cas mené où f < 0
o l'ouverture est minimale quand la fissure est à proximité de l’aire de contact, pour
le cas f ≤ 0.1 Figure 1.20 (le cas de roulement pur f = 0 est inclus)
o la fissure est fermée pour le cas de menant f > 0.1 .
Ils ont constaté dans le cas B que la fissure se ferme du fond vers le haut, c’est à dire
qu’il n’y a pas de pénétration du lubrifiant. Au contraire, celui-ci est chassé de la fissure.
Figure 1. 17: Présentation de l’effet de pénétration pour le cas f=0.1 et e/c=-1 (maille blanche=fissure
ouverte, maille noire =fissure fermée)
-
Ils ont montré la possibilité de piégeage du lubrifiant (figure 1.18) surtout pour les
grandes fissures mais ils n’en ont pas tenu compte dans leur calcul.
___________________________________________________________________________
41
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Figure 1. 18: Présentation de l’effet de piégeage pour f=-0.1 et a/c=1 (maille blanche=fissure ouverte,
maille noire =fissure fermée)
a)
b)
Figure 1. 19: Schéma représentatif du cycle ouverture, fermeture et glissement des lèvres de fissures
pendant le passage de chargement a) sans pression sur les lèvres, b) avec pression.
Bower [Bow88] a étudié l’effet du changement de sens de rotation sur le FIC au fond d’une
fissure incliné (2D). Il a supposé que la fissure a une profondeur initiale (critique) égale à la
moitié du rayon de contact et que le lubrifiant agit constamment sur la fissure. Il a distingué trois
cas pour l’influence du lubrifiant sur une fissure dans le contact de roulement :
-
Les lèvres de fissures sont légèrement lubrifiées. Le lubrifiant n’exerce pas de pression
sur elles mais il diminue le frottement entre les lèvres de fissure ( µ = 0.1 ). Il a donné un
exemple pour le cycle ouverture, fermeture et glissement des lèvres de fissures pendant le
passage du chargement (figure 1.19-a). Il a constaté que le FIC est sensible au sens de
direction de mouvement.
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42
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
-
Le lubrifiant exerce une pression sur les lèvres de la fissure (figure 1.20). Cette pression
est maximale et égale à la pression hertzienne sur le haut de la fissure. Elle diminue
jusqu'à être nulle au fond de la fissure. La pression a tendance à ouvrir la fissure.
Figure 1. 20: Présentation de pression de lubrifiant sur les lèvres de la fissure (modèle Bower)
-
Le lubrifiant est piégé au fond de la fissure et est forcé à se propager. Bower a considéré
que le lubrifiant piégé est incompressible, que la pression du fluide est déterminée par la
condition que le volume de fissure reste constant (figure 1.19-b). Il a donné un exemple
pour le cycle ouverture, fermeture et glissement de lèvres de fissures pendant le passage
de chargement.
Dubourg et Villechaise [DV92] ont étudié le problème des multi-fissures. Ils ont proposé un
modèle 2D, qui contient 2 fissures inclinées. Ils ont présenté un cycle d’ouverture, de fermeture
et de glissement des lèvres des deux fissures inclinées pendant le passage du chargement (figure
1.21). Ils ont constaté qu’il y a changement significatif des FIC par rapport à ceux obtenus avec
une seule fissure.
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43
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Figure 1. 21: Schéma représentatif du cycle ouverture, fermeture et glissement des lèvres de deux fissures
pendant le passage du chargement
Bordi [Bor98] a développé une approche 2D en élasticité linéaire du problème de fatigue de
contact de roulement.
- Elle a réalisé une étude comparative des effets hydrodynamiques, élastohydrodynamiques
iso et piezovisqueux sur la pression du lubrifiant dans une fissure débouchante.
- Une étude élastohydrodynamique dans une fissure a été menée.
- Les six possibilités définies par Kaneta et Murakami [KM91] sont reprises
- Il ressort que pour le roulement pur, la pression dans la fissure décroît du haut vers le
fond de la fissure (figure 1.22). Le même résultat est constaté pour le cas de glissement
positif, ce qui est compatible avec la proposition de Kaneta et Bower. Pour le cas de
___________________________________________________________________________
44
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
glissement négatif, on constate une surpression dans la fissure, essentiellement au fond.
(figure 1.23)
Figure 1. 22: Pression dans la fissure dans le cas de roulement pur
On conclut de ces études que le lubrifiant peut jouer deux rôles : – lubrifier les lèvres de
la fissure c’est à dire diminuer le frottement entre les lèvres ou – exercer une pression sur
les lèvres de la fissure ouverte. Il semble que cette pression décroît linéairement du haut
jusqu’au fond de la fissure.
Figure 1. 23: Pression dans la fissure dans le cas de roulement avec glissement
___________________________________________________________________________
45
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Les fissures inclinées existant sur la surface menée favorisent les phénomènes de
pénétration du lubrifiant et de son piégeage, quand le contact passe du haut de la fissure
vers le fond (Cas A(a) figure 1.16-a).
1.4.2 Propagation et branchement d’une fissure débouchant
Bower [Bow88] a conclu que :
- pour le cas où il n’y a pas de pression hydrodynamique exercée sur les lèvres de la
fissure, la propagation de la fissure se fait en mode II (cisaillement) et son évolution est
sensible au sens du roulement. Dans ce cas, il y a propagation de la fissure quand :
celle-ci est placée sur la surface menée
le coefficient de frottement inter-fissure est inférieur à 0.2
le haut de la fissure passe avant le fond sous le contact.
Mais, dans ces conditions il n’y aura pas de possibilité de branchement ni
d’écaillage.
-
pour le cas où il y a une pression hydrodynamique sur les lèvres et pas de piégeage, le
FIC au fond de la fissure est surestimé.
-
pour le dernier cas où il y a piégeage du lubrifiant, il a supposé que la fissure bifurque.
Mais comme au fond de la fissure le chargement est de mode mixte non proportionnel, il
n’a pas pu prédire la direction et le pas de propagation de la fissure.
Kaneta et al. [KSM86] [KM91] ont adopté les critères de contraintes de traction maximale et
de cisaillement maximal pour calculer la propagation et la direction d’extension de fissure. Ils
ont constaté que les fissures courtes ( 0.1< a c < 0.5 ) ne peuvent pas remplir la condition de
pression hydrodynamique et qu’elles se propagent en mode II dans la direction initiale de la
fissure. La propagation de ces fissures croît avec l’augmentation de la force tangentielle de
contact.
Kaneta et al. ont favorisé le mode I pour les grandes fissures a c > 0.5 qui remplissent les
conditions de pression hydrodynamique. Ils ont supposé que la transition fissure-écaillage se fait
en mode I.
Figure 1. 24: Schématique de propagation d’une fissure en surface (haut) et en profondeur (bas)
Les auteurs ont élaboré un schéma descriptif (figure1.24) de la propagation en profondeur et
en surface d’une fissure.
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46
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
BORDI [Bor98] a constaté que les fissures débouchantes avec des lèvres lubrifiées se
propagent par mode II selon leur direction initiale.
Dans ces études, les auteurs n’ont pas expliqué l’inclinaison initiale des fissures. La
propagation pour les très courtes fissures a c < 0.1 (selon le modèle de Kaneta) n’a pas non
plus été abordée dans ces études.
Il semble que pour les fissures courtes, ( 0.1< a c < 0.5 ) l’effet du lubrifiant se limite à la
diminution du frottement entre les lèvres. La propagation se fait en mode II et dans la
direction initiale de la fissure.
Pour les grandes fissures a c > 0.5 , les résultats entre les études de Kaneta d’une part
et Bower et Bordi d’autre part sont différents. Selon Kaneta, les différences de résultats
sont dues aux modèles utilisés dans les études (un modèle 3D pour l’étude de Kaneta, un
modèle 2D pour Bower). Ceci montre l’importance qu'il y a à considérer la vraie forme
de la fissure.
a)
b)
Figure 1. 25: Vitesse de propagation en fonction de –a) angle de branchement –b) longueur de la fissure.
Dubourg et Lamacq [DL02] ont utilisé le critère de rupture de Hourlier et Pineau
(da dN ) max pour étudier le branchement de fissures en fatigue de contact de roulement sous
chargement de mode mixte non proportionnel.
Un exemple pour l’évolution du maximum de vitesse de propagation est donné sur la figure
1.25-a). Deux possibilités de propagation sont trouvées, une selon la direction principale et
l’autre avec un branchement d’angle 75°.
Ils existent, selon les auteurs, une longueur initiale seuil pour le branchement d’une fissure.
Cette longueur est égale à 4.2mm (figure 1.25-b) ou bien a c = 0.62 où ‘a’ est la longueur
initiale de fissure et ‘c’ est la demi-largeur de contact.
___________________________________________________________________________
47
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
a)
b)
Figure1. 26: Vitesse de propagation en fonction de –a) coefficient de frottement dans le contact f r –b)
coefficient de frottement inter-lèvres f i .
Les effets du coefficient de frottement dans le contact f r et du coefficient de frottement
inter-lèvres f i sur la bifurcation d’une fissure ont également été étudiés. Ils ont déterminé une
valeur seuil de f r en-dessous de laquelle il n’ y a pas de branchement et inversement une valeur
seuil de f i au-dessus de laquelle il n’y a pas de branchement (figures 1.26a et b). Selon ces
résultats, f i et f r ont des effets inverses sur l’évolution et le branchement de fissures, que l’on
peut écrire de façon suivante :
- Une petite valeur de f r implique une faible traction tangentielle dans le contact, pas de
branchement, une faible vitesse de propagation et un arrêt de la propagation, tandis qu’
une petite valeur de f i stimule le déplacement en mode II le long des faces de la fissure
et favorise un branchement.
- Une grande valeur de f r implique une forte traction tangentielle dans le contact, ce qui
favorise l’ouverture accentuant le glissement dans la fissure, favorisant le branchement et
augmentant la propagation. A l’inverse une grande valeur de f i correspond à une
résistance de frottement élevée c’est à dire adhérence et chute de da dN .
Figure 1. 27: Schéma représentatif de l’apparition et évolution de fissures à sec et avec lubrifiant
___________________________________________________________________________
48
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Dubourg et Lamacq ont donné un schéma (figure 1.27) résumant l’endommagement de
surface en fatigue de contact de roulement, à sec et avec lubrifiant, basé sur les résultats
précédents.
Elles ont également étudié l’effet de l’existence d’une deuxième fissure au voisinage de la
première, sur le branchement (figure 1.28). Une fissure seule bifurque à une longueur de 4.2mm.
En revanche, quand il existe une deuxième fissure, la première bifurque à une longueur de
3.2mm ( a c = 0.47 )
Figure 1. 28: Schéma représentatif du branchement de multi-fissures.
On conclut de cette partie que :
- les fissures longues a c > 0.5 sont favorables au branchement
- le coefficient de frottement de contact et le coefficient de frottement d’inter-fissure
ont des effets inverses sur le branchement
- l’existence d’une deuxième fissure rapproche le branchement de la première et
retarde le branchement de la deuxième.
1.5 Etudes expérimentales en RCF
Le travail, de Way [Way35] dans les années 1930, dans le domaine de Fatigue de Contact de
Roulement est remarquable. Une machine bi-disques (figure1.29) est utilisée, en supposant que
le roulement est un roulement pur, et cinq résultats essentiels ressortent :
Figure 1. 29: Illustration du banc d’essais de Way (1930).
___________________________________________________________________________
49
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
1. Les piqûres ou écaillages ne se produisent pas sur la surface de contact sans l’existence
d’un lubrifiant.
2. L’écaillage résulte du développement d’une fissure apparaissant à la surface du contact.
3. Les surfaces de dureté élevée et de rugosité faible résistent mieux à l’écaillage.
4. L’utilisation d’un lubrifiant à haute viscosité empêche l’apparition de piqûres ou
d’écaillages.
5. La forme d’une piqûre est elliptique selon la direction de mouvement de l’aire de contact.
1.5.1 Etudes de RCF dans des matériaux polymères
Figure 1. 30: Forme de pré-fissures usinées dans des galets transparents
Kaneta et Murakami [KM87], ont utilisé une machine bi-disques avec des disques
éprouvettes fabriqués dans des matériaux transparents. Ils ont percé des trous (figure1.30-a) et
utilisé des entailles (Figure1.30-b) pour observer leur évolution en profondeur en présence de
lubrifiant. Ils ont distingué trois catégories d’évolutions de fissures (figure1.31).
Ils ont conclu que :
- les fissures se propagent plus rapidement sur les surfaces de glissement négatif (disque
mené) que celles sur les surfaces de glissement positif (disque menant.).
- l’effet de la présence d’un lubrifiant sur la RCF est important et qu’une fissure inclinée
se propage plus rapidement qu’une fissure verticale de même taille.
Ils ont alors supposé que les fissures inclinées sont à l’origine des écaillages.
Figure 1. 31 Trois catégories d’évolutions des fissures artificielles
___________________________________________________________________________
50
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Al-Sabti et Stolarski [AS98] ont utilisé des disques éprouvettes fabriqués dans un matériau
polymère fragile, présentant un trou artificiel et ont présenté l’évolution de cette discontinuité
(figure1.32) comme propagation d’une fissure.
Stolarski et al. [SHT98], ont utilisé un banc d’essais billes sur plan pour étudier la R.C.F. sur
différents types de polymères. Ils ont constaté que la forme d’endommagement (fissures et
écaillages) en polymère est similaire à celle des métaux.
Figure 1. 32: Evolution d’un trou dans un disque polymère
Ces travaux mettent en évidence l’influence du lubrifiant sur la propagation et la bifurcation
de fissure. On signale que les travaux de Kaneta et Al-Sabti ont été effectués avec des fissures
pré-usinées. On remarque que dans ces deux travaux les fissures n’ont pas évolué jusqu’à la
surface. Le travail de Stolarski [SHT98] a montré que l’endommagement en RCF de polymère
est similaire à celui du métal.
1.5.2 Etudes de RCF à sec.
Figure 1. 33: Usures du disque menant (roue) et du disque mené (rail) en fonction du nombre de cycles
___________________________________________________________________________
51
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Tyfour et al. [TBK95] ont étudié le problème d’usure de RCF à sec. Ils ont utilisé une machine
bi-disques à glissement imposé et des éprouvettes usinées dans les matériaux de la roue et du rail
de train. Ils ont observé des fissures sur la piste de roulement. Ils ont supposé que ces fissures
sont à l’origine de tout écaillage. Ils ont constaté que l’usure du disque menant (roue de train) est
plus importante que celle du disque mené (rail de train), figure 1.33.
Figure 1. 34: Organigramme de compétitivité entre usure et RCF.
Donzella et al. [DFGMR05] ont essayé d’expliquer la compétitivité entre usure et RCF. Ils
ont proposé un organigramme, figure 1.34, pour la prédiction de RCF et de l’usure. Ils ont
constaté que l’usure est plus importante dans le cas où il y a glissement.
1.5.3 Effet de la force tangentielle et de la rugosité
Figure 1. 35: Illustration des bancs d’essais utilisés par Muro et al.
___________________________________________________________________________
52
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Muro et al. [MTN75] ont utilisé deux bancs d’essais différents : le premier, un bi-disques
avec maîtrise du glissement et le deuxième un disque-bille (figure1.35.). Ils ont constaté que :
- le temps d’initiation diminue avec l’augmentation de la contrainte normale
- le nombre de fissures ne change pas avec l’augmentation des contraintes normales de
contact pour le roulement sans glissement mais qu’il augmente pour le cas du roulement
avec glissement.
Direction de roulement
Direction de roulement
Direction de force tangentielle
Direction de force tangentielle
Figure 1. 36: Propagation de fissures en profondeur en fonction de la direction de la force tangentielle
-
le sens de la force tangentielle influe sur la direction de propagation des fissures
(figure1.36).
une difficulté pour initier des fissures avec des surfaces bien polies,(rugosité de 0.05 à 0.1
µm), contrairement aux autres surfaces à rugosité de 1 à 3 µm.
écaillage
écaillage
écaillage
Non écaillage
Figure 1. 37:Relation entre les contraintes résiduelles de traction et l’écaillage (Muro)
___________________________________________________________________________
53
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
-
Ils ont lié l’endommagement surfacique aux contraintes de traction résiduelles
(figure1.37.). Ils ont signalé que le nombre de fissures initiées peut être affecté par le taux
de glissement.
Ils ont présenté un écaillage (figure1.38 photo à gauche) et donné une explication pour sa
production. Dans un premier stade, plusieurs fissures apparaissent (Figure 1.48 photo à
droite) puis évoluent en profondeur. Dans un deuxième stade, ces fissures bifurquent
dans différents sens et quand elles se rencontrent l’écaillage se produit. Ils ont supposé
que la propagation de ces fissures lors du deuxième stade se déroule en traction.
-
Figure 1. 38: Un écaillage (à gauche) et un schéma représentatif pour sa production (à droite)
Soda et Yamamoto [SY81] ont étudié l’effet de la force tangentielle et de la rugosité sur
l’initiation et la propagation de fissures. Ils ont utilisé un banc d’essai à quatre disques
(figure1.39-a), en imposant les vitesses des disques extérieurs et intérieurs (le disque éprouvette
est le disque intérieur) et ont mesuré le couple transmis au disque intérieur.
a)
b)
Figure 1. 39: a)Illustration du banc d’essai (Soda), b) Durée de vie des disques en fonction de la force
tangentielle et de la rugosité.
Ils ont constaté que la durée de vie des disques menés est plus courte que celle des disques
menants (figure1.39-b), et que la vie d’un disque augmente avec la diminution de rugosité en
surface. De plus, ils ont observé que les petites fissures, apparaissant à la surface ou bien dans
une couche très superficielle, sont à l’origine de la RCF.
___________________________________________________________________________
54
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Ishida et Abe [IA96] ont utilisé une machine conçue spécialement pour étudier la RCF
ferroviaire. Les disques éprouvettes sont fabriqués à partir des mêmes métaux et de la même
façon que les roues et les rails.
Les fissures sont apparues seulement dans les tests avec lubrifiant à la surface du disque
mené. Ces fissures se propagent jusqu’à l’arrachement d’une petite portion de disque. Ils ont
constaté une forte corrélation entre les contraintes résiduelles longitudinales en compression et la
RCF. En outre l’effet de la force tangentielle sur les contraintes résiduelles longitudinales est
significatif
On peut conclure de ces études que :
- la rugosité joue un rôle important dans l’initiation de fissure
- la force tangentielle influe l’évolution de la fissure, jusqu’à l’arrachement de portion
de surface
- l’endommagement de RCF apparaît sur la surface menée, où la force tangentielle est
dans le sens inverse du déplacement de la charge normale.
- la force tangentielle influe le nombre de fissures tandis que la charge normale influe
le temps d’initiation.
1.5.4 Effet du mésalignement
Yokoyama et al. [YMYF02] ont étudié l’effet d’angle d’attaque (mésalignement), pour cela
ils ont utilisé une machine bi-disques permettant d’ajuster l’angle entre les axes de rotation
(figure1.40-a). Ils ont ainsi constaté que le temps d’initiation d’une fatigue est diminué avec
l’augmentation de l'angle d’attaque (figure1.40-b).
a)
b)
Figure 1. 40: a) Angle de mésalignement, b) Temps d’initiation d’écaillage en fonction de l’angle de
mésalignement.
1.5.5 Divers
Plusieurs technologies ont été utilisées pour la détection de piqûre dans son stade primaire,
citons Garnham et Beynon [GB91] qui ont utilisé le test par courant de Foucault et Manoj et al.
___________________________________________________________________________
55
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
[MMG08] qui ont étudié les signaux de vibrations et de sons, pour détecter les différents stades
d’usure et découvrir la piqûre et l’écaillage à son stade primaire.
a)
b)
Figure 1. 41: a) Illustration du banc d’essais (Zhao), b) Apparition des fissures secondaires
Zhao et al. [ZHWV04] ont étudié le problème de RCF. avec lubrifiant sur des billes de
céramique de nitrure de silicium Si3N4. Ils ont utilisé une machine à quatre billes (figure1.41-a)
et des billes éprouvettes pré-fissurées, de fissures en arc.
Ils ont constaté qu’il y a formation de fissures secondaires (figure1.41-b) qui jouent un rôle
important dans l’endommagement de la surface de contact.
Pour étudier la propagation en profondeur et le branchement d’une fissure, ZHAO et al.
[ZHWV06] ont sectionné une bille de céramique, après l’avoir testée pendant 300h sous une
pression de contact de 5.03 GPa et avant l’écaillage. Les photos de la fissure en surface et avec
trois sections en profondeur sont présenter sur la figure1.42. Ils ont observé que la fissure a
évolué parallèlement à la surface. Un autre exemple a été donné pour multifissures avec écaillage
(figure 1.43).
___________________________________________________________________________
56
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Figure 1. 42: Une fissure en surface et en profondeur
Les auteurs ont conclu que des fissures secondaires sont initiées autour de la première fissure
et évoluent parallèlement à elle. Ils ont constaté que le branchement de la fissure initiale et
l’initiation des fissures secondaires sont à la base de tout écaillage surfacique.
Les résultats de cette étude rejoignent ceux de l’étude de Muro [MTN75] : ce n’est pas
une seule fissure qui est responsable de l’écaillage mais un réseau de fissures.
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57
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Figure 1. 43: Multi-fissures en surface et en profondeur.
1.6 RCF dans le domaine ferroviaire
Le phénomène de RCF dans le domaine du chemin de fer provoque des défaillances
regroupées en deux catégories :
1. ‘Shelling’ : fissures initiées à partir d’ inclusions non métalliques situées à 5 – 10 mm en
dessous de la surface de contact qui évoluent jusqu’à l’écaillage .
2. ‘Spalling’ et ‘crique du champignon de rail’ (figure1.44) : Les criques du champignon
sont des fissures transversales parallèles initiées à la surface du congé du champignon,
qui se propagent à l’intérieur du champignon jusqu’à l’écaillage ‘Spalling’. Ces
défaillances ne sont pas attribuées à des anomalies métallurgiques
___________________________________________________________________________
58
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Figure 1. 44: Criques du champignon de rail de tramway de Bucarest
La relation claire entre ‘Shelling’ et les causes métallurgiques, conduit au début des années
80 à fabriquer des aciers pour les rails de chemin de fer ne contenant pas d’inclusions non
métalliques
Plusieurs études ont été menées pour mieux comprendre le problème de Spalling et des
criques du champignon afin de les éviter
Muster et al. [MSWP96] ont étudié deux qualités d’acier de dureté différentes (260 HB et
370 HB) sur 4 sites différents en Allemagne, Suisse, Pologne et Hongrie. Les paramètres des
sites de test sont : 20 –25 t de charge à l’essieu, 90 –110 km h-1 de vitesse pour les 4 sites. Le
rayon de courbure du virage varie entre 350et 800 m (2 – 5°) et la charge annuelle transportée
varie entre 10 et 60 MGT. Le test a duré 2 ans et 9 mois pour la catégorie de 260HB et 3 ans et 9
mois pour la catégorie de 370 HB.
Figure 1. 45: Criques du champignon en surface
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59
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Les criques du champignon ont fait un angle de 20 – 40° avec l’axe longitudinale et une
distance d’inter fissure de 2 – 4 mm pour le rail de 260HB et de 40 – 50°, 1 –2 mm de distance
inter fissure pour le rail de 370HB (figure1.45).
Les études de section transversale des criques du champignon donnent une profondeur de
fissures de 2 mm avec un angle d’inclinaison de 20° avec la surface et de longueur de fissures
variant autour de 5mm pour les rails de catégories 260HB, une profondeur de fissures de 2 mm
avec de longueur de fissure comprise entre 2 et 3 mm et un angle d’inclinaison de 30° avec la
surface pour les rails de catégories 370HB (figure1.46)
Figure 1. 46: Coupe métallurgique pour les criques du champignon, vue en profondeur.
Figure 1. 47: Fissures du rail, en surface et en profondeurs, pour différentes nuances d’aciers.
___________________________________________________________________________
60
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Heyder et Grisch [HG05] ont testé trois nuances d’acier de rail pendant trois ans sur une voie
ferrée de vitesse de train 200 km/h et de charge transportée de moins de 22.5 t. Les résultats
surfaciques, la largeur de la fissure et la distance inter fissure, sont présentés figure 1.47 gauche.
Les fissures en profondeur sont présentées figure 1.47 droite.
La famille de fissures apparaît dans le domaine ferroviaire, il y a une distance interfissures qui est quasi constante et les fissures se propagent parallèlement en profondeur et
en surface.
1.7 Etude comparative des bancs d’essais
Le tableau 1.2, compare les différents bancs d’essais présentés précédemment. On a
porté notre attention sur les six caractéristiques de banc d’essais suivantes :
la nature géométrique du contact :
o disque/disque (D/D)
o bille/bille (B/B)
o bille/plan (B/P)
le contrôle cinématique :
o roulement pur (R.P.), les deux éprouvettes roulent à même vitesse sans glissement
o à cinématique imposée (C.I.), les vitesses de rotation de deux éprouvettes sont
imposées et sont différentes, il y a de glissement imposé et contrôlé
o à traction imposée (T.I.), une vitesse de rotation est imposée sur une éprouvette et
un couple de freinage sur l’autre, un glissement non contrôlé est induit entre les
deux éprouvettes
le choix des matériaux :
o métallique (M.)
o polymère (P.)
l’existence d’un lubrifiant :
o avec lubrifiant (A.L.)
o sans lubrifiant (S.L.)
les mesures des endommagements :
o en surface (S.)
o en profondeur (P.)
les méthodes d'observations :
o non destructif (N.D)
o destructif (D.), s’il y a par exemple une section métallurgique pour quantifier la
profondeur d’une fissure dans les matériaux.
La dernière ligne dans le tableau, présente les caractéristiques du banc d’essai utilisé dans
cette étude. On peut conclure que :
- La majorité des bancs d’essais sont à bi-disques car ils simulent mieux le phénomène de
RCF et les applications réelles.
- La totalité de ces bancs sont à cinématique imposée pour du roulement pur ou même pour
du roulement avec glissement. Le banc d’essai présenté dans cette étude fait exception à
ce choix.
- Les matériaux étudiés sont choisis pour une application bien définie. Dans la majorité des
études les matériaux sont métalliques. Kaneta et Al-Sabti ont utilisé un matériau
transparent pour visualiser l’évolution d’une pré-fissure en profondeur. Nous utilisons
___________________________________________________________________________
61
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
dans cette étude un matériau transparent pour observer l’évolution en profondeur et la
forme 3D des fissures.
- L’utilisation d’un lubrifiant est quasi systématique. Les deux études à sec, de Tyfour et
Donzella, traitent l’usure et expliquent la compétitivité entre l’usure et le RCF. Notre
étude est majoritairement à sec pour quantifier le RCF.
- Enfin, l’observation et la mesure, d’endommagements, sont deux choses
complémentaires. On constate que tous les essais qui ont utilisé des matériaux
métalliques et qui ont essayé de mesurer l’évolution en profondeur en même temps, ont
utilisé des méthodes destructives, par exemple la coupe métallurgique. Ces observations
restent incomplètes parce qu’elles sont faites dans une section (2D). Il existe aujourd’hui
des travaux qui tentent d’utiliser des techniques telles que la tomographie [PBF07] pour
résoudre cette difficulté. Ils ne semblent pas qu’il y ai aujourd’hui des résultats
marquants dans le contexte RCF obtenus ainsi.
Nous pouvons dire qu’il n’existe pas d'observation d’évolution d’une fissure en 3D. c’est la
raison essentielle qui nous a poussé à utiliser un matériau transparent. Nous avons ainsi
privilégié la possibilité d’un suivi 3D des fissures à un choix de matériau plus réaliste vis à vis
des applications industrielles.
___________________________________________________________________________
62
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
Auteur
Année
Way
Soda
Kaneta
Ishida
Garnham
Tyfour
Murakami
Stolarski
Al-Sabti
Yokoyama
Zhao
Donzella
L.M.S.
1935
1981
1987
1996
1991
1995
1997
1998
1998
2002
2004
2005
2008
Contact
D/D
B/B
X
X
X
X
X
X
X
B/P
X
X
X
X
X
X
Cinématique
R.P.
C.I.
T.I.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Matériaux
P.
M.
X
X
X (pré)
X
X
X
X
X
X (pré)
X
X (pré)
X
X
Lub.
A.L. S.L.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Mesure
S.
P.
X
X
X (2D)
X (2D)
X
X (2D)
X
X (2D)
X
X(2D)
X
X (2D)
X
X
X (2D)
X
X
X (2D)
X
X (2D)
X
X(3D)
Observation
D.
N.D.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Tableau 1. 1: Principales études expérimentales
63
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
1.8 Conclusion
Cette étude bibliographique a pour objectif de faire le point sur les caractéristiques de
l’endommagement par Fatigue de Contact de Roulement (RCF). Nous pouvons découper cette
étude en deux grandes parties.
- dans la première partie nous avons présenté une approche mécanique du phénomène
RCF. Cette approche est développée sur trois domaines de la mécanique :
o En ce qui concerne le contact de roulement, la théorie de Hertz permet de
déterminer la pression de contact et les dimensions de l’aire de contact. Les
travaux de Carter et Kalker permettent de préciser les zones d’adhérence et de
glissement dans le contact pendant le roulement.
o Nous avons présenté brièvement les principes de la fatigue des matériaux, sous
sollicitation cyclique. On a rappelé les caractéristiques générales de la
fatigue : l’amplitude de la contrainte, la contrainte moyenne, le nombre de
cycles à rupture, les étapes de l’endommagement par fatigue. On a rappelé les
critères d’initiation d’une fissure. On a précisé qu’on utilisera un critère
simplifié pour cette étude.
o La mécanique de la rupture linéaire, les modes élémentaires de fissuration et
les facteurs d’intensité de contraintes sont également brièvement définis. On a
cité les principaux critères de rupture.
-
dans la deuxième partie nous avons présenté les principaux travaux sur le phénomène
de RCF. Cette partie est divisée en deux grandes sous-parties :
o Les différentes hypothèses et modélisations numériques faites sur le problème
d’une fissure débouchante en RCF.
La quasi-totalité de ces études ont été faites sur des fissures inclinées
et en présence de lubrifiant. Il semble qu’il existe une longueur seuil
égale 0,5a , ‘a’ le demi-largeur de contact, en dessous de laquelle
l’effet du lubrifiant se limite à la diminution du frottement interlèvres. Ce qui favorise le mode II de propagation.
Au-dessus de cette longueur seuil, le lubrifiant exerce une pression
sur les lèvres de la fissure, qui favorise la mode I de propagation.
Lorsque la fissure est à la surface du solide mené, là où le
déplacement de l’aire de contact et la force tangentielle sont
d'orientations inverses, le phénomène est amplifié. Ceci est dû au fait
que l'entrée du lubrifiant dans la fissure est facilitée.
Il semble aussi que lorsque le contact fonctionne à sec, la valeur
importante du coefficient de frottement dans le contact favorise
l’initiation des fissures. Mais, a contrario, il entraîne aussi un grand
coefficient de frottement inter-lèvres qui bloque l’évolution des
fissures.
___________________________________________________________________________
64
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
o les études expérimentales réalisées sur les banc d’essais ou les applications
directes sur le contact roue / rail de train.
Des travaux, en RCF avec lubrifiant, ont été faits sur des disques
polymères avec des ‘fissures’ pré-usinées. Dans ces travaux, les
fissures n’ont pas bifurqué jusqu’à la surface. Le travail de
Stolarski [SHT98] a montré que l’endommagement dû au RCF
d’un polymère est similaire à celui d’un métal.
Les travaux en RCF à sec ont été dirigés vers le problème de
l’usure et sa compétitivité avec l’initiation des fissures.
La rugosité joue un rôle important dans l’initiation de fissures. La force
tangentielle influe sur l’évolution des fissures, jusqu’à l’arrachement
d’une portion de surface. L’endommagement en RCF apparaît sur la
surface menée. La force tangentielle influe sur le nombre de fissures
tandis que la charge normale influe sur le temps d’initiation.
Il semble qu’il soit nécessaire d’avoir un réseau de fissures et non pas
une seule fissure pour voir apparaître un écaillage..
La famille de fissures est apparente dans le domaine ferroviaire.
On peut mettre en évidence la distance inter-fissures qui est quasiconstante. Les fissures se propagent parallèlement les unes aux
autres en profondeur et en surface. Ces résultats ne sont pas
évidents dans les essais qui ont été réalisés sur des bancs d’essais
(bi-disques et d’autres) dans les laboratoires. Nous pensons que
c’est à cause de la cinématique de chargement et que la condition
d’environnement n’est pas la même.
Ces renseignements, numériques et expérimentaux, sur la RCF, nous ont conduit dans un
premier temps vers, un travail expérimental qui a comme buts principaux :
- d’étudier les avaries initiées en RCF en 3D
- d’essayer de décrire en 3D la forme réelle des fissures
- de constater l’évolution des fissures en profondeur.
Pour cela, comme nous l’avons précisé dans le §1.7, nous utilisons des matériaux
transparents. Nous avons aussi privilégié l’étude du phénomène de RCF à sec.
Un autre point qui est aussi important et original, concerne l’utilisation d’un banc d’essais
à traction imposée. Nous pensons que cette simulation expérimentale pour le contact de
roulement est plus proche des applications réelles.
Enfin, nous avons étudié les disques en position menant et mené.
___________________________________________________________________________
65
Chapitre I : Etude Bibliographique
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
66
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
2.1. Introduction
Dans cette étude, on est intéressé par le RCF en général. On a vu dans le chapitre
précédent l’importance du glissement dans le contact et des positions ‘Menant’ ‘Mené’ des
solides sur le phénomène de RCF. D’autre part, il y a peu d’informations sur la forme 3D des
fissures et sur leur évolution en profondeur. De plus il a été constaté une différence entre les
résultats de modèles numériques en 2D et 3D.
Dans ce chapitre, on va présenter les dispositifs expérimentaux utilisés et les procédés
adoptés dans cette étude pour tenter de répondre à ces manques. Le banc d’essais va simuler
le contact de roulement avec glissement qu’on trouve dans le milieu ferroviaire par exemple
et dans d’autres domaines. Les matériaux transparents des éprouvettes et le dispositif de
visualisation utilisés dans cette étude permettent d’observer, en profondeur, la forme et
l’évolution de fissures. Ceci sera utile pour les modélisations numériques.
2.2. Présentation du banc d’essais
On a vu dans l’étude bibliographique qu’il existe différentes catégories de bancs d’essais
pour étudier le phénomène de la fatigue de contact de roulement. On peut citer les bancs :
- disque – disque, (bi-disques) ou bien multi-disques
- bille – bille, multi-billes
- bille sur cylindre
Notre choix s’est orienté vers le contact bi-disques. Il est proche du contact roue rail.
Une caractéristique importante des bancs d’essais de RCF, disque – disque, est la
possibilité d’avoir du glissement relatif entre les corps en roulement. On peut distinguer les
bancs à cinématique imposée et ceux à force tangentielle imposée.
Dans le 1ère cas, les vitesses de rotation de deux disques sont imposées, le glissement
obtenu est global et est contrôlé (en générale le taux de glissement est constant), le glissement
dans le contact peut être total ou partiel.
Dans le 2ème cas, une vitesse de rotation est imposée sur l’un de deux disques, qui entraîne
le deuxième disque, un couple de freinage est imposé sur ce dernier. Le glissement dans le
contact n’est que partiel car s’il devient total c’est le dérapage du disque freiné.
Dans les deux cas on peut simuler le contact roue rail dans la période d’accélération et de
freinage, figure 2.1, mais le deuxième cas est plus proche au cas réel.
___________________________________________________________________________
67
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
La motrice accélère
Rotation
La motrice freine
Rotation
Pression
de contact
Pression
de contact
Roue développée
Force tangentielle
Déplacement du contact
Figure 2. 1: Cinématique du contact d’une roue durant l’accélération et le freinage.
2.2.1.
Machine bi-disques
Pour ce travail, une machine bi-disque à force tangentielle imposée a été conçue et
réalisée par B. Villechaise, T. Zeghloul et d’autres. On utilise un frein pour imposer un couple
résistant sur le disque entraîné, ce qui induit un glissement relatif entre les deux disques.
Charge normale
Capteur de charge
Charge normale
Galet mené
Frein à poudre
Frein à poudre
Moteur
Moteur
a)
Galet menant
Capteur de rotation
b)
Figure 2. 2: Schéma du banc d’essais. a- face avant b- face arrière
Le banc d’essais, présenter sur la figure 2. 2 et ses fonctions cinématiques sur la figure 2.
3, est composé d’un moteur qui entraîne la broche du galet du bas, dit menant. L’entraînement
se fait par un système de poulies et une courroie crantée. Un variateur permet de contrôler la
vitesse de rotation du galet menant. Le galet menant entre en contact avec le galet du haut, dit
mené, et le fait tourner. Le roulement est pur, c’est à dire que les vitesses linéaires des
surfaces de contact sont égales. Les galets sont coplanaires.
___________________________________________________________________________
68
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
Mise en charge
Contrôle du
mésalignement
Guidage
vertical
Couple résistant
Vitesse imposée
Figure 2. 3: Fonctions cinématiques du banc d’essais
Pour assurer une force tangentielle dans l’aire de contact entre les galets, un frein à poudre
est utilisé pour freiner le galet mené par un système de poulies et une courroie crantée. Le
frein est piloté par sa tension d’alimentation, via un variateur de tension. La mesure du couple
de freinage est assurée par un capteur de couple statique.
La charge normale est obtenue grâce à un système de masse et bras de levier appliqué au
galet mené. La mesure de cette charge est assurée par un capteur de force de traction
compression. Deux encodeurs de rotation incrémentaux sont montés sur les broches pour
compter le nombre de tours.
Puissance
Vitesse
Min
-0
Max
0,37 kW
1500tr/min
Poids
0
1000N
0
1000N±0,04%
Couple
0,4
65Nm
Vitesse
50
1500 tr/min
Capteur de couple statique
Couple
0
26Nm±0,01%
Codeur incrémental
Vitesse
Système
d’entraînement
Moteur
Variateur
Système de masse et de bras de
Système
de levier
chargement normal
Capteur de traction compression
Type ‘S
Etendue
mesure
de
Frein à poudre magnétique
Système de freinage
Broches de disques
12000tr/min
Tableau2. 1: Caractéristiques techniques du banc d’essais
___________________________________________________________________________
69
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
Afin d’étudier l’effet d'un lubrifiant sur le RCF, il y a possibilité d’ajouter sur le banc
d’essai un tuyau avant l’aire de contact, pour assurer la lubrification de contact (voir figure
2.4, encadré rouge). Les caractéristiques techniques sont données sur le tableau2. 1.
Le banc d’essais permet d’introduire un angle d’attaque, 0,2°< δ <4°, (mésalignement),
figure 2. 5, entre les deux disques qui génère un glissement latéral, voir Annexe II.
Figure 2. 4: Machine bi-disques, version actuelle
___________________________________________________________________________
70
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
zMené, Menant
yMené
yMenant
yMenant
yMené
yMené, Menant
xMené
xMené, Menant
Coplanaire
xMenant
δ
Avec mésalignement
Figure 2. 5: Angle de mésalignement entre galets
2.2.2.
Acquisition des signaux et surveillance
Les signaux des capteurs de la charge normale (P), du frein à poudre (Cf) et des deux
encodeurs incrémentaux (WMenant, WMené) de rotation sont envoyés au centre d’acquisition et
de traitement, MUSYCS1, qui est constitué :
- d’une unité de base qui reçoit les signaux bruts, les analyse et les numérise
- d’un logiciel pour le conditionnement des entrées, l’affichage et l’archivage.
MUSYCS est un système de mesure à base modulaire, qui peut être mis en œuvre pour
une grande variété d’applications. Il est conçu pour mesurer des caractéristiques physiques
utilisant des capteurs, sans ajouter aucun instrument électronique. Chaque module inclut toute
l'électronique nécessaire pour son opération.
Dans ce travail, on utilise deux modules enfichables :
o ‘Scanner Optoélectronique’ : un module pour les capteurs de charge et de
couple.
o ‘Interface des encodeurs incrémentaux’ : un module pour les encodeurs de
rotation.
Il y a trois paramètres à entrer dans le logiciel du système : la période d’échantillonnage
(20µs – 200s), la valeur maximale de nombre d’échantillons (20 – 5x106) et le facteur
d’étalonnage, par exemple 100N/1V pour la charge normale qui donne une plage de mesure
de ±1000N. Pour les deux premiers paramètres on a adopté un temps d’échantillonnage de
20ms avec un nombre d’échantillonnage de 5x106 qui donne un essai de durée de 105s (un
jour 3heures).
1
MUSYCS®, MUlti SYnchronous Channel System
___________________________________________________________________________
71
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
Ce centre d’acquisition permet, d’une part de contrôler et de surveiller les signaux du
couple de freinage et d’autre part d’enregistrer les signaux de nombre de tours pour qu’on
puisse calculer ultérieurement le taux de glissement.
2.3. Caractéristiques des galets
Dans des travaux expérimentaux précédents, les chercheurs ont utilisé, pour des
applications directes, des disques éprouvettes usinés dans des matériaux comme les aciers de
rails et des roues de train [MYF02] [CB06], des alliages de cuivre [MOS06], des poudres
métalliques frittées [GG07], des céramiques [WH02] et des polymères [SHT98]. Par ailleurs,
des matériaux transparents ont été utilisés afin de visualiser la propagation en profondeur
d’une fissure pré-usinée et de constater l’effet d’un lubrifiant [KM87] [AS98].
2.3.1.
Caractéristiques physiques
Dans ce travail, pour l’un de deux disques nous utilisons des galets éprouvettes, usinés
dans des matériaux transparents élastiques fragiles, résine époxy et altuglas. Ce choix est
justifié, par la transparence de la matière, ce qui nous permet de suivre l’évolution en
profondeur des fissures et leur forme 3D. D’autre part, la fragilité de la matière, tableau 2.2,
rend plus facile l’initiation des fissures et leurs propagations.
Le deuxième disque est usiné dans de matériaux métalliques inoxydables, aluminium et
acier inoxydable, pour les raisons suivantes :
o limiter l’oxydation pendant les essais avec l’eau comme lubrifiant.
o assurer une rigidité suffisante pour garder l’aire de contact constante.
o dissiper au mieux l’énergie thermique générée dans le contact.
Les valeurs typiques des caractéristiques mécaniques des matériaux utilisés, sont données
dans le tableau2. 2.
Propriétés mécaniques
Module de Young
Coefficient de Poisson
Limité élastique
Résistance en traction
Limite de fatigue
Ténacité
Symbole / unité
E / GPa
ν / --σe / MPa
σr / MPa
σ-1 / MPa
KIc / Mpa.m1/2
Epoxy
2.35-3.77
0.38-0.42
36-72
45-90
22-35
0.4-2.2
Altuglas
2.24-3.8
0.38-0.4
54-72
48-80
15-32
0.7-1.6
Aluminium
72-89
0.32-0.36
50-330
65-386
32-157
18-35
Acier inox
189-210
0.26-0.27
170-1000
480-2240
175-753
62-150
Tableau2. 2: Valeurs typiques des caractéristiques mécaniques des matériaux des galets
2.3.2.
Caractéristiques géométriques
La forme et les dimensions des galets sont des facteurs importants dans la caractérisation
du contact. La piste du galet éprouvette est plane et celle du galet métallique est bombée, pour
assurer un contact ponctuel permanent et ainsi compenser des défauts d’usinage et de réglage
du banc, figure 2. 6.
___________________________________________________________________________
72
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
Surfaces planes avec défauts d’usinage
Surfaces bombée/plane avec défauts d’usinage
le contact a tout de même lieu malgré les défauts
Figure 2. 6: Défauts entre galets
On a utilisé deux dimensions différentes dans cette étude. Les dimensions des deux galets
sont données sur la figure 2. 7
Dimension Dimension
1
2
ΦM
Rb
diamètre
ΦM
eM
Galet
métallique
Galet métallique
ΦP
rayon
bombé
eM
diamètre
ΦP
eP
Galet polymère
160mm
40mm
40mm
10mm
10mm
120mm
80mm
∞
∞
9,6mm
9,6mm
Rb
épaisseur
Galet
polymère
120mm
rayon
bombé
Rb
épaisseur
eP
Figure 2. 7: Dimensions des galets
2.4. Dispositif de visualisation des fissures
L’observation de la forme et de l’évolution des fissures en fonction des cycles sont deux
des objectifs de cette étude. Après avoir fait tourner un galet un nombre de cycles donné, il est
disposé sur un dispositif de visualisation pour déterminer :
- la nature de l’endommagement. (fissures, piqûres ou écaillages)
- les caractéristiques de cet endommagement. (taille des fissures, nombre, …)
___________________________________________________________________________
73
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
2.4.1.
Montage de visualisation
On peut distinguer dans le dispositif de visualisation trois organes principaux, un vidéomicroscope2, un montage de visualisation et un logiciel3 pour prendre des photographies et de
mesurer les fissures.
Le vidéo-microscope permet un grossissement optique entre 25 fois et 175 fois et dispose
d’un éclairage, d’intensité réglable, dans l’axe de visualisation. L’utilisation du logiciel
nécessite un étalonnage pour chaque grossissement utilisé (cf. paragraphe 2.4.3 ‘Estimation
d’erreur de la mesure’).
Axe de focalisation ∆
Vidéo-microscope
β
Galet éprouvette
γ
α
Dispositif
de
positionnement
Règle circulaire
Figure 2. 8: Banc de Visualisation
Le montage de visualisation (figure 2.8) est constitué :
- d’un rail circulaire
- d’un support, pour le réglage de l’angle α, du vidéo-microscope. Un mouvement de
translation par platine micrométrique permet de régler la focalisation du vidéomicroscope sur l’axe ∆ du rail circulaire
- d’un support de galet constitué notamment de deux plateaux de translation et de deux
plateaux tournants de précision. Les deux mouvements de translations permettent de
placer le milieu de la piste de roulement en tangence avec l’axe du rail. Le premier
mouvement de rotation β permet d’observer toute la piste. Le deuxième angle, γ
permet l’observation autour de l’axe de focalisation. C’est à partir de photographies
obtenues avec différents angles α, β et γ qu’une forme géométrique 3D des fissures
sera proposée.
Les trois positionnements principaux utilisés au cours de cette étude sont illustrés dans la
figure 2.9 :
2
3
Keyence, Controlab
Videomet, MICROVISION Instruments
___________________________________________________________________________
74
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
α
a) Surface:
α=0° γ=0°
Observation des fissures en :
b) Profondeur :
α=90° γ=0°
c) Perceptive : α=120° γ=30°
Figure 2 9:Les trois positionnements principaux.
2.4.2.
Source de lumière
Une fissure est une discontinuité dans la matière. Pour la mettre en évidence, les surfaces
doivent réfléchir la lumière incidente. La direction privilégiée est la normale à ces surfaces,
figure 2.10, ce que ne permet pas le vidéo-microscope. De plus l’éclairage apporté par les
fibres optiques incluses dans l’objectif du microscope ne convient pas pour cette observation
parce que la face avant du galet réfléchit cette source lumineuse et gène la prise de vue.
α=0°
Direction
d’éclairage idéal
Lumière de
microscope
α=90°
Figure 2 10: Direction d’éclairage idéal
___________________________________________________________________________
75
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
Eclairage direct
Eclairage guidé
Figure 2.11:Visualisation avec lumière guidée
Ainsi dans ce cas, nous avons donc opté pour une source de lumière déportée avec deux
guides en fibres optique.
L’effet de la lumière guidé sur la visualisation d’une fissure est montré sur les photos de la
figure 2.11.
2.4.3.
Estimation de l’erreur de mesure
Les mesures faites sur les fissures (longueur et profondeur) sont effectuées par
numérisation à l’écran, voir figure 2.12. il faut donc, au préalable, établir la relation distance /
pixels (étalonnage) avec un maximum de précision et estimer l’erreur commise.
Dans un premier temps, on a utilisé des cales étalons pour réaliser l’étalonnage. Bien que
les épaisseurs des cales soient connues avec précision, (±0,17µm à 20°C) la gamme n’est pas
suffisamment étendue. En effet, on peut être amené à mesurer quelques centièmes de
millimètres, or la gamme d’épaisseur des cales ne convient pas à ces valeurs. Un deuxième
inconvénient de l’utilisation des cales étalons c’est qu’elles ont les bords arrondies et qu’elles
réfléchissent la lumière.
Pour résoudre ce problème on a utilisé une mire de résolution. Les mires de résolution
servent à évaluer quantitativement la résolution d’un système optique.
___________________________________________________________________________
76
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
a)
b)
Figure 2. 12: Mesure manuelle pour la largeur, a), et la profondeur, b), des fissures
La mire qu’on a utilisée (RES-1), figure 2.13, présente des lignes claires sur un fond
opaque et son substrat est un verre optique. Cette mire est conforme à la norme USAF-1951
relative aux mires de résolution. La mire est composée de huit groupes de lignes, numérotés
de 0 à 7 par ordre de taille décroissant. Chaque groupe est composé de six éléments. La
spécification de mire de résolution est donnée dans l’Annexe I.
Figure 2.13: Mire de résolution utilisée
Dans une première étape, on a étalonné tous les zooms du vidéo-microscope. Pour
accomplir cette tâche, on a utilisé pour chaque zoom un groupe approprié. Par exemple pour
le zoom 25 on a utilisé le ‘groupe 0’, la taille des carrés est de 2,5-1,404mm.
La deuxième étape est l’estimation de l’erreur de la mesure, on a distingué les trois
sources d’erreur de mesure suivantes :
- l’erreur liée à l’étalonnage même. Pour déduire cette erreur, on a mesuré quelques
éléments dans les cinq premiers groupes, en respectant la proportionnalité entre zoom
et taille des groupes. On a calculé l’erreur due à chaque mesure, voir Annexe I.
- l’erreur liée au montage qui est due au positionnement du microscope, à la
netteté de l’image et à la mise en place d’un zoom donné. Pour trouver cette erreur
on a adopté la méthode suivante :
o on a choisi une fissure qui est très nette,
o on a décidé de la mesurer en surface,
o on a choisi le zoom 100, 100+ (un peu plus grand) et 100– (un peu plus petit),
o on a adopté la succession suivante :
1. on fait la mesure
2. on change la position du microscope, le zoom et la netteté
___________________________________________________________________________
77
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
-
3. on ramène le microscope à sa place, on remet le zoom choisi et on refait la
netteté
4. on refait la mesure.
On a répété ceci plusieurs fois.
l’erreur liée à l’utilisateur et sa décision. Pour quantifier cette erreur, on a demandé
à trois utilisateurs de mesurer plusieurs fissures photographiées en surface et en
profondeur. On a constaté une erreur, due au changement d’utilisateur.
On a essayé de séparé les sources des erreurs dans cette méthode. Mais celles-ci ne sont
pas totalement indépendantes. Pour la première source toutes les mesures sont faites par un
seul utilisateur mais l’erreur due à utilisateur lui-même est comprise dans cette estimation. On
peut généraliser ce raisonnement aux deux autres sources d’erreur.
Finalement, on estime que l’erreur globale de mesure est de l’ordre de 5%, en
prenant en compte l’erreur d’étalonnage, de montage et d’utilisateur à condition que les
photos utilisées soient nettes
2.5. Contrôle d’état de surface
Deux caractéristiques géométriques des galets sont importantes pour l’étude du contact de
roulement :
- Premièrement, la circularité de galet ou bien la fréquence d’ondulations, autrement dit
les écarts de forme. En effet, bien que tournées, les pièces peuvent présenter des
ondulations nuisibles (vibration des machines par exemple)
- Deuxièmement, le profil de la piste de roulement sur galet, la comparaison des
mesures faites en début et en fin d’essais, permet de constater le changement de profil
et l’usure acquise
Pour étudier ces deux paramètres, on a utilisé un profilomètre4, figure 2.14, qui permet de
mesurer la circularité et la rugosité.
Deux types de palpeurs sont utilisés :
–
Palpeur à bille (rubis) de diamètre 1mm pour mesurer la circularité (figure 2.
14 encadrement vert, à gauche)
–
Palpeur conique (diamant) de rayon 5 µm en pointe pour mesurer la rugosité
des surfaces (figure 2. 14 encadrement vert, à droite)
La figure 2.15 présente la circularité d’un galet mesurer, avec tous les paramètres qu’on
peut avoir d’après l’analyse de ce profil. On est intéressé par le battement du galet, qui est la
différence entre le diamètre maximal et minimal, ici moins de 7 µm. Il ne dépasse pas 30 µm
pour tous les autres galets.
4
TALYROND 365 fabriquer par Taylor and Hobson precision
___________________________________________________________________________
78
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
Figure 2.14: Profilomètre
Echelle 5µm/div.
Figure 2. 15: Exemple de circularité mesurée sur un galet neuf
___________________________________________________________________________
79
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
La figure 2.16 présente une rectitude verticale de la piste d’un galet neuf, mesurée avec le
palpeur conique, le profil d’ondulation et la rugosité. On va utiliser cet outil dans le prochain
chapitre pour observer s’il y a usure ou non.
Figure 2.16: Profil de rugosité et d’ondulation d’une rectitude verticale de la piste d’un galet neuf
2.6. Protocole d’essais.
Le protocole suivi pour réaliser un essai est donné sur l’organigramme suivant :
___________________________________________________________________________
80
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
Début
Mise en place des galets sur la machine bi-disques
Mise en charge
normale
Montée progressive de la vitesse jusqu’à la valeur souhaitée
Montée en escalier du couple de freinage
Test des galets un nombre de cycles (un pas) prédéterminé
Arrêt de l’essai en suivant une procédure inverse de
la mise en marche. Démontage de l'éprouvette
Observation du galet éprouvette en surface et en profondeur
sur le vidéo microscope
Non
Est-ce qu'il y a des fissures ?
Les fissures existantes ont-elles évolué ?
Oui
Prise de photos, en surface, en profondeur
tous les 10° d'angle β
Fin des pas de cycles
prédéterminés ?
Non
Oui
Faire une rectitude verticale de la piste de contact pour
constater le changement de profil
Fin
___________________________________________________________________________
81
Chapitre II : Dispositifs Expérimentaux
2.7. Conclusion
D’un point de vue expérimental, nous présentons un banc d’essais bi-disque. Le galet
éprouvette est usiné dans une résine époxy transparente et le contre galet dans un acier
inoxydable. Le banc nous permet de réaliser des essais en roulement pur et d’autres avec
glissement en imposant un couple de freinage à l’un des deux galets. Cette dernière
caractéristique du banc, nous a permis de considérer les deux situations suivantes :
la position ‘menant’ du galet avec une surface du contact de glissement
positive, où le sens du déplacement de la charge normale et le sens de la
force tangentielle dans le contact sont les mêmes.
la position ‘mené’ du galet avec une surface du contact de glissement
négative, où le sens du déplacement de la charge normale et le sens de la
force tangentielle dans le contact sont opposés.
Le glissement induit dans le contact est incontrôlable mais mesurable à l’aide des
encodeurs incrémentaux qui sont montés sur les broches des deux galets.
Le banc d’essais est équipé d’un dispositif qui permet d’alimenter le contact avec du
lubrifiant.
Un dispositif de prise de vue, constitué principalement d’un vidéo-microscope et d’un
support nous a permis de suivre l’initiation et l’évolution des fissures. Ce dispositif nous a
permis de prendre des photos de plusieurs d’angles de vue pour construire la forme de la
fissure en 3D.
Pour quantifier l’usure, c’est à dire mesurer le profil d’ondulation et le profil de la rugosité
d’un galet testé, nous utilisons un profilomètre.
___________________________________________________________________________
82
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
3.1 Introduction
Le but principal de cette étude est de créer le phénomène de RCF, sur des disques
éprouvettes transparents pour suivre l’évolution volumique d’une fissure. Dans le chapitre
précédent on a présenté le dispositif expérimental utilisé par cette étude. C’est une machine
bi-disques à charge tangentielle imposée, qui simule le contact de roulement, avec en
particulier du glissement partiel entre disques.
Nous présenterons dans ce chapitre les résultats expérimentaux obtenus. On peut diviser
ces résultats en deux parties.
La première partie, qui comporte la majorité des résultats de cette étude, a été faite à sec.
La deuxième partie, exploratoire, introduit le lubrifiant dans le contact.
Dans ce chapitre, après avoir résumé les acquis des anciens travaux, on présente:
• l’effet de position du galet en position ‘Menant’ ou ‘Mené’ sur les fissures initiées
en RCF.
• les résultats concernant la productibilité de phénomène.
• les observations générales d’un essai type.
• l’effet de la charge normale et de la force de traction sur les évolutions de fissures
en surface et en profondeurs.
• les mesures de taux de glissement en fonction de la force de traction.
• les informations obtenues sur la forme tridimensionnelle d’une fissure.
Dans la deuxième partie, on a crée des fissures à sec puis introduit du lubrifiant. On va
étudier l’effet de position de galet sur l’évolution des fissures en profondeur.
3.2 Les acquis des travaux précédents
Cette étude s'inscrit dans la continuité de travaux de DEA réalisés au sein de l’équipe
‘Structures et Interfaces’ du Laboratoire de Mécanique des Solides LMS, de Poitiers (
[DZ03], [FV04].
On peut résumer l’essentiel de ces travaux comme suit :
- Deux galets époxy ont été utilisés, l’un avec mésalignement, et l’autre sans dans
les conditions suivantes :
o Charge normale P = 200N
o Pression maximale p0=82,6MPa
o Ellipse de contact 2a × 2b=2,36mm × 1,95mm
o Couple de Freinage de Cf = 1Nm, équivalent à une force de traction T=17N
à la surface de contact
o Vitesse de rotation de Wm = 500 tr/min
o Sans lubrifiant
o Galet éprouvette en position ‘mené’
- Sans mésalignement, la piste de roulement de l’éprouvette, généralement bien
marquée, est recouverte en partie par un film de particules d’usure et de transfert.
Les fissures apparaissent en surface, dans le plan médian de la piste de roulement.
___________________________________________________________________________
83
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
Elles se propagent ensuite latéralement. Elles prennent une forme elliptique proche
de celle de l’aire de contact comme illustré dans la figure 3.1-a)
9.6 mm
Galet Mené
Eprouvette
Galet Mené
Eprouvette
R=60 mm
Couple de
freinage
Couple de
freinage
δ
R’=60 mm
Galet Menant
Métallique
Galet Menant
Métallique
a)
b)
Figure 3.1: a) Contact sans mésalignement, b) Contact avec mésalignement
-
Pour l’essai avec mésalignement, les axes des deux broches forment en angle δ
d’environ 3°. Les fissures apparaissent sur la piste de roulement, à gauche du plan
médian. Elles se propagent quasiment en sens unique, du bord gauche du galet vers
le centre. Elles prennent la forme de virgules orientées comme illustré dans la
figure 3.1-b)
Aire de
Contact
Sens de la
force de
traction
Famille de
fissures
Sens de
déplacement
de l’aire de
contact
Distance entre
fissures
Sens de la force
de traction
Aire de
Contact
Sens de
déplacement de
l’aire de contact
Famille de
fissures
Distance entre
fissures
Figure 3 2: Cinématique de contact du galet mené. A gauche ‘avec mésalignement’. A droite ‘sans
mésalignement’.
On peut retirer de ces résultats les six points importants suivants :
1. Les fissures sont amorcées en surface. Les observations en profondeur n’ont
pas montré de discontinuités subsurfaciques.
2. Les fissures apparaissent en groupe. On parle d’une famille de fissures.
3. Les fissures se distribuent périodiquement à la surface du galet avec un pas
régulier. On parle alors d’une distance caractéristique inter-fissures.
4. Les fissures prennent une forme elliptique proche de celle de l’aire de contact.
___________________________________________________________________________
84
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
5. Il existe une relation entre le sens de la force de traction et la forme de la
fissure en surface, figure 3. 2.
6. Le glissement latéral, dû au mésalignement, a une influence sur la position de
la fissure.
3.3 Influence de la position ‘mené’ / ‘menant’
Pour essayer de reproduire les phénomènes observés précédemment et pour étudier l’effet
de la position de galet en ‘menant’ ou en ‘mené’. Nous avons réaliser 4 essais sous des
chargements proches de ceux de Dang et Zeghloul [DZ03], deux galets, un en époxy (E005)
et l’autre en altuglas (L002), en position ‘mené’ et deux en ‘menant’ (E006 en époxy, L003 en
altuglas, pour voir l'effet des propriétés des matériaux cf. § 2.3.1), contre un galet métallique,
A004, aluminium voir tableau 3.1. Tous les essais sont sans mésalignement entre les galets.
n°
Essai
01
02
03
04
Galet Métallique
Rayon Rb
n°
[mm]
[mm]
A004 60
40
A004 60
40
A003 60
40
A003 60
40
Galet Polymère
Rayon
n°
[mm]
E005 60
L002 60
L003 60
E006 60
Position
Nt
[x1000]
P
[N]
T
[N]
W
[tr/min]
p0
[MPa]
2a
[mm]
2b
[mm]
mené
mené
menant
menant
4100
1000
200
80
200
200
200
200
33
33
33
33
500
500
500
500
82,6
82,6
82,6
82,6
2,36
2,36
2,36
2,36
1,95
1,95
1,95
1,95
Tableau 3.1: Paramètres du plan d’essai n°1
où : T est la force de traction, P la charge normale, W la vitesse de rotation du galet
éprouvette , p0 la pression maximale, a le grand axe de l’aire de contact, b le petit axe de l’aire
de contact, Nt le nombre de cycles totaux et Rb le rayon de bombé du galet métallique.
L’utilisation de l’altuglas est destinée à montrer la reproductibilité des phénomènes de
RCF sur un autre matériau élastique fragile que l’époxy. Il faut signaler que des essais faits
sur des éprouvettes usinées dans du polycarbonate, matériau connu pour son comportement
élastoplastique, n’ont produit aucune trace de phénomène de RCF.
Pour l’essai 01, la première fissure apparaît à 120x103 cycles. En fin d’essai, une petite
partie de la piste de roulement, est couverte par des fissures régulièrement réparties, et une
grande partie reste non fissurée, figure 3.3.
Figure 3. 3:Essai 01 Nt = 4100X103, gauche β= 044°, à droite β = 260°, zoom 50 fois
___________________________________________________________________________
85
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
Pour l’essai 02, on a utilisé un galet éprouvette usiné en altuglas. Durant l’essai on a
observé des petites fissures qui apparaissent au bord de la piste de contact. En fin d’essai la
surface du galet est ondulée. On a une facétisation (‘corrugation’) de la surface, figure 3.4.
50µm/div.
Figure 3.4: Essai 02, ondulation de la surface du galet L02, Nt = 1000x103, à gauche la circularité du
galet, à droite β = 100°, zoom 30 fois
L’essai 03 est le premier essai en position ‘menant’, avec un galet éprouvette en altuglas.
Dès le premier pas (100.103 cycles) on observe que la piste de roulement est couverte de
fissures de la même largeur que la piste de roulement, figure 3.5.
Figure 3.5:Essai 03 Nt = 200x103, à gauche β = 060°, à droite β = 180° zoom = 50 fois
Dans l’essai 04, on a fait tourner un galet éprouvette époxy en position ‘menant’ pendant
80x103 cycles. Dès le premier pas (20x103 cycles), on observe un grand nombre de fissures
réparties sur toute la surface de roulement. En fin d’essai, la surface du galet est couverte de
fissures régulièrement réparties, figure 3.6.
___________________________________________________________________________
86
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
Figure 3.6: Essai n°4 Nt = 80x103, à gauche β = 270° à droite β = 350° zoom = 50 fois
Aire de
Contact
Sens de la force
de traction
Sens de
déplacement de
l’aire de contact
Famille de
fissures
Sens de la
force de
traction
Aire de
Contact
Sens de
déplacement de
l’aire de contact
Famille de
fissures
Distance entre
fissures
Distance
entre fissures
S.F.T
S.D.A.C
S.D.A.C
S.F.T
Figure 3.7: Cinématique de contact - a) ‘Mené’ - b) ‘Menant’.
Figure 3. 8: Vue en profondeur. Photo de gauche essai 1 ‘mené’ α = 090° - β = 044° - γ = 000°.
Photo de droite essai 4 ‘menant’ α = 090° - β = 280° - γ = 000°. Zoom 50 fois.
___________________________________________________________________________
87
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
A partir de ces essais, on peut déduire les résultats suivants :
-
-
-
Il est plus facile d’initier des fissures (à sec), quand le galet est en position
‘menant’.
Le phénomène observé est reproductible sur un autre matériau élastique
fragile que l’époxy.
Les fissures apparues sur le galet époxy sont nettes et clairement séparées les
unes des autres contrairement à celles se formant dans le galet en altuglas.
Pour cette raison, on a abandonné les essais avec l’altuglas.
La forme de la fissure est liée à la direction de la force de traction et non pas
au sens de déplacement de l’aire de contact, figure 3.7.
Les fissures du galet ‘mené’ forment un angle d’environ 30° avec la normale à
la surface tandis que les fissures du galet ‘menant’ sont presque
perpendiculaires à la surface figure 3. 8. Ces résultats sont cohérents avec les
observations de Muro et al. [MTN75]. L’inclinaison de la fissure est telle que
le contact passe du haut de la fissure vers le fond.
La piste de roulement, généralement bien marquée, est partiellement couverte
d’un film de particules d’usure et de transfert, traces noires sur la figure 3.6.
On observe sur l’époxy que les fissures ne sont pas parfaitement dans le plan
médian de la piste. Il existe donc un mésalignement involontaire entre les
deux galets.
L’initiation des fissures est plus rapide sur un galet ‘menant’, c’est pourquoi tous les
essais qui suivent seront faits en position ‘menant’. Pour limiter le transfert de particules
d’usure sur la piste de roulement, nous utiliserons un galet en acier inoxydable.
3.4 Test de reproductibilité
Nous utiliserons maintenant des galets éprouvettes plus petits (R=60mm R=40mm) et
des galets métalliques plus grands (R=60mm R=80mm) pour des raisons économiques. Ce
changement est valable pour tous les essais qui suivent.
N°
Essai
05
06
Galet Métallique
Rayon Rb
N°
[mm]
[mm]
I001 80
40
I001 80
40
Galet Polymère
Rayon
N°
Position
[mm]
E022 40
menant
E023 40
menant
Nt
[x1000]
P
[N]
T
[N]
W
[tr/min]
p0
[MPa]
2a
[mm]
2b
[mm]
4000
4000
350
350
60
60
500
500
88,2
88,2
2,38
2,38
1,82
1,82
Tableau 3.2: Paramètres de plan d’essais n°2
Pour s’assurer de la reproductibilité des phénomènes observés, nous avons réalisé deux
essais dans des conditions identiques, tableau 3.2, avec de pas de cycles différents, tableau
3.3. La seule différence réside dans la fréquence des observations, pour s’assurer que ces
arrêts pour observation n’ont pas d’influence sur les phénomènes observés.
Dans ce plan d’essais on a 5 arrêts de comparaison. (à 135, 270, 400, 710, 4000x103
cycles)
___________________________________________________________________________
88
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
N° de pas
Nb de cycles
1
10
2
15
3
20
4
25
5
30
6
35
7
40
8
45
9
50
10
60
11
35
12
35
N° de pas
Nb de cycles
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
80 100 130 150 175 200 250 300 400 500 600 715
Essai 05
1
2
N° de pas
Nb de cycles 135 40
3
45
4
5
6
50 130 60
7
80
8
90
9 10 11 12
80 150 175 200
Essai 06
correspondance
13 14 15 16 17 18
N° de pas
Nb de cycles 250 300 400 500 600 715
N° de pas
N° de pas
E 05
6
9
12
15
24
E 06
1
4
5
9
18
Nb de cycles
totales x 1000
135 270 400 710 4000
Tableau 3.3: Nombre de cycles des pas des essais 05 et 06
Les 5 arrêts de comparaison montrent, pour des zones d’observation de la piste de
roulement différentes, de bonnes similitudes, cf. figures 3. 9 (β = 90°) et 3.10 (β = 120°)
Dans ce plan d’essai, on a reproduit le phénomène d’initiation et propagation de
fissure sous chargements identiques mais avec des pas de cycles différents.
On en déduit que l’évolution des grandeurs ‘moyennes’ (nombre, largeur,
profondeur) des fissures n’est pas liée au hasard et que d’autre part la fréquence
d’observations ne semble pas influencer le phénomène.
Observations complémentaires:
Les fissures se distribuent périodiquement à la surface du galet avec un pas
régulier. Il semble que ces fissures de première génération « protègent » une zone
du galet dans laquelle l’amorçage ou la propagation de nouvelles fissures est
gêné. Puis, des fissures de deuxième génération apparaissent entre les premières
et rendent le réseau plus dense, figure 3.9-e), figue 3.10-e). Ce phénomène a
également été observé par Dang et Zeghloul [DZ03].
Les essais 03 et 04 ont nécessité moins de cycles que les essais 05 et 06 pour voir
apparaître les premières fissures. Cette différence peut s’expliquer par le
changement de matériau du galet métallique :
Un coefficient de frottement différent change localement la répartition des
contraintes dans le contact. Ceci est difficilement quantifiable.
Une surface rugueuse peut créer des pics de pressions favorables à
l’apparition de micro-fissures.
On a étudié le profil des galets métalliques, figures 3.11-a) et 3.11-b). On a mesuré la
moyenne géométrique Rq de rugosité de deux profils entre 2 et 5,5 mm de largeur des
galets (partie en contact avec les galets polymères). Rq _A003 = 0,42µm et Rq _I001 =
0,31µm, ces résultats sont cohérents avec ceux de Soda et Yamamoto [SY81], pour qui la
diminution de rugosité augmente le temps d’initiation des fissures.
___________________________________________________________________________
89
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
S.D.A.C
S.F.T
a) 135 000 cycles
b) 270 000 cycles
c) 400 000 cycles
d) 710 000 cycles
e) 4000 000 cycles
Essai 5
Essai 6
Figure 3.9: Fissures à β = 090°
___________________________________________________________________________
90
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
S.D.A.C
S.F.T
a) 135 000 cycles
b) 270 000 cycles
c) 400 000 cycles
d) 710 000 cycles
e) 4000 000 cycles
Essai 5
Essai 6
Figure 3.10: Fissures à β = 120°
___________________________________________________________________________
91
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
mesuré
théorique
mesuré
60
théorique
100
40
50
20
-20 0
1
2
3
4
5
-40
-60
6
7
8
0
Profil µm
Profil µm
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-50
-100
-80
-100
-150
-120
-140
-200
Largeur mm
a)
Largeur mm
b)
Figure 3.11: a) Rectitude verticale du profil du galet A003, b) Rectitude verticale du profil du galet
I001
3.5 Exploitation générale d’un essai
Dans ce paragraphe nous présentons l’observation générale de l’essai 05, cf. tableau 3.2,
sur l’initiation de fissures et leurs évolutions en surface et en profondeur.
Comme on l’a expliqué dans le paragraphe § 2.6, 36 photographies, sont prises en surface
et les 36 photographies correspondantes en profondeur pour chaque pas de cycles. Deux
mesures sont réalisées pour la plus petite fissure parmi les premières qui sont apparues, une
pour la largeur et l’autre pour la profondeur de la fissure, comme représenté sur la figure 3.12.
0.26 mm
Largeur : α = 000°.
profondeur : α = 090°°.
Figure 3.12: Mesure d’une fissure en surface et en profondeur.
Les 36 courbes d’évolution en largeur sont présentées sur la figure 3.13-a). Pour une
représentation plus lisible on ne présente que 8 courbes, figure 3.13-b), illustrant au mieux
l’évolution générale et la dispersion. On présente de la même façon les 36 courbes
d’évolutions en profondeur, figure 3.13-c) -d).
___________________________________________________________________________
92
4
4
3,5
3,5
3
3
Largeur [mm]
Largeur [mm]
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
2,5
2
1,5
2,5
2
1,5
1
1
0,5
0,5
0
000
1000
2000
3000
0
000
4000
Nombre de cycles[1000 cycles]
a)
3000
4000
0,45
0,4
0,4
0,35
0,35
Profondeur [mm]
Profondeur [mm]
2000
Nombre de cycles [1000 cycles]
b)
0,45
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
000
c)
1000
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
500
1000
1500
2000
2500
3000
Nombre de cycles[1000 cycles]
3500
4000
4500
0
000
1000
d)
2000
3000
4000
Nombre de cycles [1000 cycles]
Figure 3.13: Courbes d’évolution en surface et en profondeur pour l’essai 05
On peut distinguer deux zones de dispersion :
- la dispersion d’amorçage: les fissures n’apparaissent pas toutes en même temps.
- la dispersion de la taille finale des fissures: elles n’ont pas toutes la même largeur
et la même profondeur finale, figure 3. 14.
3.5.1 Evolution de la densité de fissures
Comme on l’a expliqué dans les paragraphes §3.3, §3.4 et comme le montrent les figures
3.9 et 3.10, les fissures apparaissent dans un premier temps de façon aléatoire sur la surface de
contact. Avec l’augmentation du nombre de cycles d’autres fissures vont apparaître aux
alentours des premières fissures jusqu’à une densité de fissures limite. Une distance
caractéristique inter-fissures s’établit. En même temps il y a propagation en largeur et en
profondeur des fissures.
___________________________________________________________________________
93
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
4
3,5
Largeur [mm]
3
2,5
2
Dispersion de
largeur finale
1,5
1
0,5
Dispersion d’amorçage
0
000
1000
2000
3000
4000
Nombre de cycles [1000 cycles]
Figure 3.14: Allure et dispersion des mesures de largeur de l’essai 05
Les fissures en surface vont prendre la forme de l’aire de contact et en profondeur une
forme semi-elliptique. Pour la forme tridimensionnelle de fissure voir paragraphe §3.8.
On peut distinguer deux générations de fissures, les premières fissures, principales, qui
apparaissent vont évoluer et prendre la taille de la largeur de la piste de contact. Une
deuxième génération de fissures, secondaires, vont s'intercaler entre les fissures principales.
Les fissures secondaires sont plus petites que les fissures principales.
Nombre de fissures moyenne
030
III
025
020
II
015
010
005
000
000
I
1000
2000
3000
4000
5000
Nombre de cycles [1000 cycles]
Figure 3.15: Evolution du nombre moyen de fissures.
La figure 3.15 présente l’évolution du nombre moyen de fissures principales en fonction
du nombre de cycles. On peut distinguer trois stades d’évolution, un premier stade
d’amorçage lent, un deuxième stade d’amorçage rapide et un troisième stade de saturation à
vitesse lente
3.5.2 Evolution en surface
Les courbes d’évolution en largeur des fissures, illustrées sur la figure 3.15-a) ou b),
montrent que la largeur des fissures augmente avec l’augmentation du nombre de cycles et
qu’il existe deux stades d’évolution. Le premier stade, est une phase de propagation à grande
vitesse en dessous de 106 cycles (2,5 nm/1cycle). Le deuxième stade, est une phase de
propagation lente (0,15nm/1cycle) où la largeur tend vers la largeur de piste de contact, qui
___________________________________________________________________________
94
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
est un peu plus grande que la largeur, 2a, de l’aire de contact, à cause de voilement des galets
pendant le test.
3.5.3 Evolution en profondeur
Les courbes d’évolution de profondeur des fissures, présentées sur la figure 3.13-c) ou d),
montrent que la profondeur de fissures augmente avec l’augmentation du nombre de cycles et
qu’il existe deux stades d’évolution. Le premier stade, est une phase de propagation rapide en
dessous de 106 cycles (0,16 nm/cycle). Le deuxième stade, est une phase de propagation très
lente (0,01nm/cycle).
Les courbes d’évolution en largeur et en profondeur peuvent être approchées par une
équation de type :
N − N 0
Fit = L × 1 − exp −
V
(3.1)
Où L, N0 et V sont de constantes qui représentent respectivement la largeur ou la
profondeur maximale, le nombre de cycles initial d’initiation de fissure et la vitesse
d’évolution. N est le nombre de cycles. Un exemple pour la courbe de tendance, en surface et
en profondeur, est donné sur la figure 3.16 avec les constantes caractéristiques.
0.4
Profondeur mm
Largeur mm
3
2
L =3,07
N0=385
V =325
1
Largeur
Fit
0.3
0.1
0
0
1000
2000
3000
Nombre de cycles x1000
L’ =0,35
N0’=365
V’ =150
0.2
0
4000
Profondeur
Fit
1000
2000
3000
Nombre de cycles x1000
4000
Figure 3.16: Exemple des courbes de tendance pour la largeur et la profondeur d’une fissure.
3.6 Etude de l’effet de charge normale
N°
Essai
05
07
08
Galet Métallique
Rayon Rb
N°
[mm]
[mm]
I001 80
40
I002 80
40
I002 80
40
Galet Polymère
Rayon
N°
[mm]
E022 40
E025 40
E027 40
Position
Nt
[x1000]
P
[N]
T
[N]
W
[tr/min]
p0
[MPa]
2a
[mm]
2b
[mm]
menant
menant
menant
4000
3670
4350
350
400
450
60
60
60
500
500
500
106
111
115
2,87
3,00
3,12
2,19
2,29
2,38
Tableau 3.4: Paramètres du plan d’essai n°3.
___________________________________________________________________________
95
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
Dans cette partie, nous étudions l’effet de la charge normale sur l’initiation des fissures et
sur leurs évolutions en surface et en profondeur. Ce plan d’essais est constitué de 3 essais, les
caractéristiques de ces essais sont données sur le tableau 3.4
3.6.1 Evolution en surface.
4
4
3,5
3,5
3
3
Largeur [mm]
Largeur [mm]
Les courbes d’évolutions de la largeur des fissures sont illustrées sur les figures 3.17 a),
b) et c). La largeur finale moyenne est donnée sur la figure 3.17 d).
Il n’y a pas de changement significatif sur la largeur finale des fissures avec la variation
de la charge normale.
2,5
2
1,5
2,5
2
1,5
1
1
0,5
0,5
0
000
1000
2000
3000
0
000
4000
1000
Nombre de cycles [1000 cycles]
a)
b)
Essai 05 : P=350N
Largeur moyenne finale [mm]
4
3,5
Largeur [mm]
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
000
2000
3000
3000
4000
Essai 07 : P=400N
3,4
3,2
3
2,8
2,6
2,4
2,2
2
300
1000
2000
Nombre de cycles [1000 cycles]
4000
320
340
360
380
400
420
440
460
Charge Noramle [N]
Nombre de cycles [1000 cycles]
c)
Essai 08 : P=450N
d)
Largeur moyenne finale
Figure 3.17: Evolution de la largeur des fissures en fonction de la charge normale
On présente sur la figure 3. 18 a), b) et c), l’état final des fissures en surface. On mesure la
distance inter-fissure moyenne pour chaque cas.
La mesure est faite de la manière suivante : pour chaque cliché on mesure la distance entre
les fissures principales comme indiqué sur la figure 3.20 d), on obtient une valeur moyenne
pour chaque cliché, puis on fait le moyenne de 36 clichés pour avoir la distance inter-fissures
moyenne pour chaque essai.
La figure 3.18 e) présente la distance moyenne inter-fissures en fonction la charge
normale.
___________________________________________________________________________
96
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
S.F.T
S.D.A.C
On peut en déduire que l’effet sur la largeur et sur la distance inter-fissures d’une
augmentation de 30% de charge normale, est presque négligeable.
a)
Essai 07
Inter-fissures moyenne [mm]
Essai 05
c)
b
)
Essai 08
0,34
0,32
0,3
0,28
0,26
0,24
0,22
0,2
300
350
400
450
500
Charge normale [N]
d
) Mesure de la distance interfissures
e)
Distance inter fissures moyenne en fonction de charge
normale
Figure 3.18: Distance inter-fissures pour le plan essai 03
3.6.2 Evolution en profondeur
Les courbes d’évolution de la profondeur des fissures sont illustrées sur les figures 3.19
a), b) et c). La profondeur moyenne finale en fonction de la charge normale est présentée sur
la figure 3.19 d).
On constate qu’il y a une tendance à la diminution de la profondeur finale avec
l’augmentation de charge normale.
___________________________________________________________________________
97
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
0,4
0,4
0,35
Profondeur [mm]
Profondeur [mm]
0,45
0,45
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,1
0,05
0,05
0
000
1000
2000
3000
0
000
4000
1000
Nombre de cycles [1000 cycles]
a)
b)
Essai 05 : P=350N
Profondeur moyenne finale [mm]
0,45
Profondeur [mm]
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
000
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
3000
4000
4500
Essai 07 : P=400N
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
300
Nombre de cycles [1000 cycles]
c)
2000
Nombre de cycles [1000 cycles]
320
340
360
380
400
420
440
Charge noramle [N]
d)
Essai 08 : P=450N
Figure 3.19: Evolution de la profondeur des fissures en fonction de la charge normale
3.6.3 Etat de surface
Les figures 3.20 a), b) et c) présentent le profil des galets en fin d’essais. La piste de
roulement a une longueur comprise entre 3 et 6.5mm, l’état de surface des deux bords est
celui de l’usinage.
On constate qu’il n’y a pas de changement de profil d’ondulation. Il n’y a pas d’usure
macroscopique se caractérisant par un creux dans la piste de roulement mais il y a
changement de rugosité dans la piste de roulement.
La figue 3.20 d) présente la moyenne arithmétique et quadratique de la rugosité, Ra et Rq,
au début de l’essai (courbe continue) et en fin (courbe interrompue), on constate qu’il y a une
baisse générale des valeurs de rugosité à cause de l’effet d'écrasement dû au contact, et qu’il y
a une tendance à la diminution des valeurs de Ra et de Rq (aplatissement de rugosité) avec
l’augmentation de la charge normale.
___________________________________________________________________________
98
460
20
20
10
10
Profile µm
Profile µm
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
0
0
-10
-10
-20
-20
0
2
a)
4
6
Largeur mm
8
0
10
2
b)
Essai 05 : galet E022
4
6
Largeur mm
8
10
Essai 07 : galet E025
20
Ra_Avant
Rq_Avant
Ra_Après
Rq_Après
1,8
1,6
Rugosité [µm]
Profile µm
10
0
1,4
1,2
1
0,8
-10
0,6
300
320
340
360
380
400
420
440
460
Charge normale [N]
-20
0
2
4
6
Largeur mm
8
c)
10
d)
Essai 08 : galet E027
Rugosité au début et enfin d’essai en fonction
de charge normale
Figure 3.20: Profil du galet en fin d’essai
3.7 Etude de l’effet de la force tangentielle.
Nous reprenons le même principe d’étude que pour la charge normale. Ce plan d’essais est
constitué de 3 essais. Les caractéristiques de ces essais sont données sur le tableau 3. 5. Il y a
trois remarques à faire sur les valeurs de ce tableau :
-
on a augmenté la charge normale jusqu’au 600N pour pouvoir augmenter la force
tangentielle sans avoir de glissement total entre les deux disques,
la troisième force de traction est 105N à place de 120N, car c’est la limite du frein
à poudre avant le renouvellement de la poudre magnétique,
pour les essais 10 et 11 on a arrêté juste à la fin de stade d’évolution rapide, quand
les fissures ont la largeur de la piste de contact, (car on a vu dans les essais
précédents que à ce stade là l’évolution est arrivée à sa limite supérieure), pour
gagner un peu de temps et pour avoir des images plus claires en surface et en
profondeur, sans les fissures secondaires.
___________________________________________________________________________
99
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
N°
Essai
09
10
11
Galet Métallique
Rayon Rb
N°
[mm]
[mm]
I004 80
40
I004 80
40
I004 80
40
Galet Polymère
Rayon
N°
[mm]
E024 40
E029 40
E026 40
Position
Nt
[x1000]
P
[N]
T
[N]
W
[tr/min]
p0
[MPa]
2a
[mm]
2b
[mm]
menant
menant
menant
3150
1425
550
600
600
600
60
90
105
500
500
500
127
127
127
3,43
3,43
3,43
2,62
2,62
2,62
Tableau 3.5: Paramètres du plan d’essai n°4
3.7.1 Evolution en surface
Les figures 3.21 a), b) et c) présentent l’évolution de la largeur des fissures. La largeur
moyenne finale des fissures en fonction de la force de traction est illustrée sur la figure 3. 21
d). La largeur augmente avec l’augmentation de la force de traction.
La figure 3.22 présente le temps d’initiation des fissures en fonction de la force
tangentielle. Le temps d’initiation diminue avec l’augmentation de force tangentielle.
4
4
3,5
3,5
3
3
Largeur [mm]
Largeur [mm]
La figure 3.23 présente l’état final de la surface des essais et la distance moyenne interfissures en fonction de la force de traction. On constate que la distance moyenne inter-fissures
principales augmente avec l’augmentation de la force de traction.
2,5
2
1,5
2,5
2
1,5
1
1
0,5
0,5
0
000
1000
2000
3000
0
000
4000
1000
Nombre de cycles [1000 cycles]
2000
3000
4000
Nombre de cycles[1000 cycles]
a)
b)
Essai 09 : T=60N
Essai 10 : T=90N
4
Largeur moyenne finale [mm]
4
3,5
Largeur [mm]
3
2,5
2
1,5
1
0,5
3,8
3,6
3,4
3,2
3
2,8
2,6
2,4
2,2
2
0
000
45
1000
2000
3000
4000
55
65
75
85
95
105
Force de traction [N]
Nombre de cycles [1000 cycles]
c)
d)
Essai 11 : T=105N
Figure 3. 21: Evolution de la largeur des fissures en fonction de force tangentielle
___________________________________________________________________________
100
115
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
Nombre de cycles d'initiation
[1000 cycles]
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
45
55
65
75
85
95
105
115
Force de traction [N]
S.F.T
S.D.A.C
Figure 3.22: Temps d’initiation moyen en fonction de la force de traction.
Essai 09
Essai 10
Distance entre-fissures [mm]
0,6
0,55
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
40
60
80
100
120
Force de traction [N]
Essai 11
Figure 3.23: Distance inter-fissures moyenne
3.7.2 Evolution en profondeur
La figure 3.24 présente les courbes d’évolutions en profondeur de ces essais et la
profondeur moyenne en fonction de la force de traction T. La profondeur augmente avec
l’augmentation de la force de traction.
___________________________________________________________________________
101
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
0,5
0,5
0,45
0,45
Profondeur [mm]
0,4
0,4
Profondeur [mm]
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
000
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0,05
4500
Nombre de cycles [1000 cycles]
0
000
1000
2000
3000
4000
Nombre de cycles [1000 cycles]
Essai 09 : T=60N
Essai 10 : T=90N
Profondeur moyenne finale [mm]
0,5
0,45
Profondeur [mm]
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
000
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
1000
2000
3000
45
4000
55
65
Nombre de cycles [1000 cycles]
75
85
95
105
115
Force de traction [N]
Essai 11 : T=105N
Figure 3.24: Evolution de la profondeur des fissures en fonction de la force tangentielle.
Si on ajoute l’essai 09, P=600N et T=60N, au plan d’essais précédent et si on représente
l’évolution de la largeur et de la profondeur en fonction de la charge normale, figure 3.25, on
peut constater qu’il y a une diminution des deux paramètres avec l’augmentation de la charge
normale.
0,4
Profondeur moyenne [mm]
Largeur moyenne [mm]
3,4
3,2
3
2,8
2,6
2,4
2,2
2
250
300
350
400
450
500
Charge normale [N]
550
600
650
0,38
0,36
0,34
0,32
0,3
0,28
0,26
0,24
0,22
0,2
250
300
350
400
450
500
550
600
650
Charge normale [N]
Figure 3.25: L’évolution de la largeur moyenne et de la profondeur moyenne en fonction de la charge
normale (essais 5,7,8 et9).
___________________________________________________________________________
102
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
3.7.3 Etat de surface
12
12
8
8
Profile µm
Profile µm
La figure 3.26 présente les profils de surface des galets en fin d’essais, on constate qu’il
n’y a pas d’usure macroscopique significative mais qu’il y a une modification de rugosité du
profil, les moyennes quadratiques et arithmétiques de rugosité en fonction de la force de
traction sont présentées sur la figure 3.26 d). Il y a une baisse dans les valeurs de rugosité.
4
0
4
0
-4
-4
-8
-8
0
2
4
6
Largeur mm
8
10
0
2
Essai 9 : galet E024
4
6
Largeur mm
8
10
Essai 10 : galet E029
12
8
Ra_Avant
Rq_Avant
Ra_Après
Rq_Après
0,8
4
0,7
Rugosité [µm]
Profil µm
0,9
0
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
-4
0,1
0
45
55
65
75
85
95
105
115
Force de traction [N]
-8
0
2
4
6
Largeur mm
8
10
Essai 11 : galet E026
Figure 3. 26: profil des galets en fin d’essai
La forme des profils d’essais 10 et 11 semble indiquer la présence d'un creux dû à une
usure macroscopique dans la piste de contact. Une comparaison avec le profil original, figure
3.27, de l’essai 10, montre que cette forme de profil est, en fait déjà présente sur le profil
original.
___________________________________________________________________________
103
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
Profil de rugosit
m
12
8
4
0
-4
Avant
Après
-8
0
2
4
6
8
10
Largeur mm
Figure 3.27:Lle profil du galet E029 avant et après l’essai
3.8 Taux de glissement
Les figures3. 28 a), b) et c) présentent le taux de glissement pour le plan d’essais n°4, en
fonction de nombre de cycles. Le taux de glissement τ est calculé de la manière suivante :
τ (% ) = 2 ×
R Menant N Menant − R Mené N Mené
× 100
R Menant N Menant + R Mené N Mené
(3.2)
où RMenant , RMené sont respectivement le rayon du galet menant et et celui du disque mené.
NMenant , NMené sont respectivement le nombre de cycles du galet menant et du galet mené
Chaque graphe illustre le taux de glissement pour tous les pas d’essais. On les a présentés
‘bout à bout’. On constate qu’au début de chaque pas d’essais le taux de glissement est élevé
et diminue avec le temps. Généralement le taux de glissement d’un essai tend vers une limite.
Le taux de glissement moyen d’un essai en fonction de la force de traction est donné sur la
figure 3.28 d).
On constate que le taux de glissement augmente avec l’augmentation de la force de
traction. On a eu des difficultés pour donner à la force de traction une valeur élevée
directement. On a été obligé de respecter une valeur limite au glissement total, puis on a
attendu la baisse du glissement pour augmenter de nouveau la force de traction jusqu’à
la valeur souhaitée.
___________________________________________________________________________
104
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
5
Taux de glissement %
Taux de glissement %
5
4
3
2
1
0
4
3
2
1
0
0
1000000
2000000
3000000
4000000
Nombre de cycles
a)
0
400000
800000
1200000
1600000
Nombre de cycles
b)
essai 9, T=60N
essai 10, T=90N
4
2.50
Taux de glissement moyenne %
Taux de glissement %
5
3
2
1
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
45
0
65
75
85
95
105
115
Force de traction [N]
0
c)
55
200000
400000
600000
Nombre de cycles
essai 11, T=105N
800000
d)
taux de glissement moyenne d’un essai
Figure 3.28: Taux de glissement en fonction de la force de traction.
3.9 Détermination de la forme tridimensionnelle des
fissures
On a vu dans l’étude bibliographique, que plusieurs auteurs ont essayé de comprendre le
phénomène RCF, avec des modèles numériques 3D simples. Une grande différence a été
constatée entre les résultats des modèles 2D et 3D, [Bow88], [KSM86] et [KM91], ce qui
nous a motivé pour proposer une représentation paramétrique 3D d’une fissure.
Dans ce paragraphe on présente l’observation en profondeur de quelques fissures et on
propose une équation décrivant sa forme, ce qui peut être utile pour des études numériques
3D.
___________________________________________________________________________
105
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
a)
α = 095° - γ = 005°.
c)
α = 095° - γ = 005°.
b)
α = 265° - γ = 005°.
d)
α = 265° - γ = 005°.
Figure 3.29: Photos en perspective de quatre fissures, zoom 175 fois
La figure 3.29 présente, quatre photos reconstituées en perspective pour différentes
fissures. La difficulté est d’obtenir un cliché net sur l’ensemble de la fissure, la profondeur de
champ étant faible pour le grossissement utilisé, seul le voisinage proche du point de
focalisation est net. On a donc utilisé un logiciel de reconstitution d’image qui n’exploite que
les zones ‘nettes’ d’une série de clichés focalisés en des points différents d’une fissure. La
ligne bleue, figure 3. 29-b), présente la forme de la fissure en surface. La ligne rouge, figure
3.29-c), elle, accentue le fond.
___________________________________________________________________________
106
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
Figure 3.30: Fissure en surface photo a), et reconstitution en perspectives photos b) et c)
La figure 3.30 présente, deux photos d’une fissure prisent en surface (a) et en perspective
(b). Une troisième photo illustre la forme proposée de la fissure en 3D (c). On peut
raisonnablement supposer que :
- la fissure, en surface, prend la forme de l’aire de contact
- la fissure se propage perpendiculairement à la surface (cas menant)
- la courbure de la face de fissure est négligeable.
- le fond de fissure prend une forme elliptique.
On peut alors en déduire, que le fond de fissure est l’intersection de deux cylindres semielliptiques donnés par les équations 3.3 et 3.4, voir figure 3. 31.
Demi-cylindre perpendiculaire à la piste
x = − b. cos λ
y = a . sin λ
où
λ ∈ [− λ1 , λ1 ] et
λ1 ∈ [0 , π 2 ]
(3.3)
Où 2a et 2b (figure 3.31-a) sont respectivement, le grand et le petit axe de l’aire de
contact, λ est l’angle polaire repérant le haut de la fissure et λ1 le demi-angle de l’arc A1 A2 ,
qui dépend du nombre de cycles.
Demi-cylindre parallèle à la piste
y = a ′. sin λ ′
z = − b ′. cos λ ′
où
λ ′ ∈ [− π 2 , π 2 ]
(3.4)
___________________________________________________________________________
107
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
a)
Haut de fissure
λ
A1
b)
z
A2
λ1
a
A1
y
a’
b’
b
Face de fissure
Aire de contact
λ’
A2
y
Fond de fissure
x
c)
z
y
Haut de fissure
x
Aire de contact
Fond de fissure
Figure 3.31: Paramètres géométriques définissant une fissure
Où a’ est la demi-largeur de fissure et b’ est la profondeur de fissure qui dépend encore du
nombre de cycles, figure 3. 31-b), λ’ est l’angle polaire de l’arc A1A2, et a′ = a. sin λ1 . On peut
Alors donner le système d'équations paramétriques suivant:
x = −b. 1 − sin ²λ1 . sin ²λ ′
(3.5)
y = a. sin λ1 . sin λ ′
z = −b′. cos λ ′
Si on prend en compte l’équation de tendance d’évolution, cf. (3.1), en surface et en
profondeur on aura le système d’équations paramétriques en fonction de nombre de cycles
suivant :
2
N
N
−
L
0
x = −b. 1 −
′
2a 1 − exp − V . sin ² λ
L
N − N 0
. sin λ ′
y = 1 − exp −
V
2
N − N 0′
z = − L ′1 − exp −
. cos λ ′
V ′
(3.6)
Si on prend comme application expérimentale l’essai 05, on aura le système suivant :
2a
2b
L
N0
V
L’ N’0 V’
2,38 1,81 3,07 385 325 0,35 365 150
Tableau 3.6: Paramètres des courbes de tendance pour l’essai 5
___________________________________________________________________________
108
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
2
N
385
−
x = −0,9. 1 − 1,29 1 − exp −
. sin ² λ ′
325
N − 385
. sin λ ′
y = 1,54 1 − exp −
325
N − 365
z = −0,351 − exp −
. cos λ ′
150
(3.7)
La figure 3.32 présente une illustration d’évolution d’une fissure.
Figure 3 32: Evolution de la forme d'une fissure.
3.10 Comparaison phénoménologique avec des résultats
précédents
La première comparaison concerne le RCF provoquant les criques de champignon de rail,
observées sur le chemin ferroviaire. La figure 3.33 montre le phénomène produit durant nos
essais (en haut) et celui produit sur de rail ferroviaire (en bas). Ce phénomène est différent des
écaillages et des piqûres trouvées sur la surface des engrenages et des roulements, en présence
permanente de lubrifiant, et parfois présent sur le chemin ferroviaire.
Les résultats de Cannon et Pradier [CP96] sur le RCF de rail, montrent que les écaillages
sur des disques usinés en acier de rail et testés avec une machine bi-disques, ne se produit
___________________________________________________________________________
109
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
qu’en présence de lubrifiant et après de pré-endommagement à sec. Ils ont constaté aussi que
pour des essais réels, sur quatre zones, un a produit des écaillages et c’est dans une zone
mouillée.
On pense que ces deux phénomènes, les criques de champignon de rail et les fissures
initiées dans nos essais, sont de même nature : Fatigue de contact de roulement à sec.
La deuxième comparaison est faite avec le phénomène de fragmentation de film
polystyrène en contact glissant [CBGS05]. Même si ce n’est pas de la fatigue de contact de
roulement, les avaries qui apparaissent avec les deux phénomènes se ressemblent
formellement : les fissures ont une forme proche de celle de l’aire de contact voir figure 3.34
et sont perpendiculaires à la surface de contact.
essai 03
essai 05
[HG05]
rail de métro de Bucarest
Figure 3.33: Comparaison entre les fissures créées dans nos essais et celles créées sur un chemin
ferroviaire.
Il existe deux différences importantes entre les deux endommagements.
-
-
la distance moyenne inter-fissures pour le phénomène de fragmentation observé
par [CBGS05] est de l’ordre de 30µm, tandis que dans cette étude elle est de
300µm.
la formation des fissures par fragmentation se déroule en deux stades initiation aux
bords de contact et suivie d'une évolution vers le centre tandis que l’initiation des
fissures observées dans cette étude part du centre et se propage vers les bords de
contact, figure 3.35
___________________________________________________________________________
110
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
Figure 3.34: Fissures apparaissant durant un contact glissant sur un film de polystyrène
3
2
1
Fragmentation
RCF
Figure 3.35: Différences pour l’initiation et la propagation des fissures entre le contact de roulement
et la fragmentation..
Après avoir étudier l’effet de la charge normale et de la force de traction sur l’initiation et
la propagation des fissures en surface et en profondeur, une question se pose : est-ce qu’il y a
un mode de fatigue dominant sur la propagation des fissures ?
En prenant en compte les sollicitations imposées, et la propagation des fissures
perpendiculairement à la surface de contact, on peut dire qu’il y a deux modes de fatigue I et
II. Le passage de la charge normale au-dessus d’une fissure va créer le mode II, et la traction
due à la force de freinage va créer la mode I. On a constaté qu’avec l’augmentation de la force
de traction on diminue le temps d’initiation et on accélère la propagation des fissures. On peut
en déduire que le mode I est plus favorable dans ce cas là.
Une autre remarque concerne le fait que la propagation des fissures est plus importante en
surface qu’en profondeur, ce qui conduit à dire que K I (λ ′ = π 2) > K I (λ ′ = 0) , cette
conclusion est en accord avec les résultats de Wang et Hadfield [WH00] sur la RCF de bille
en céramique.
3.11 Etude introductive de l’effet d’un lubrifiant.
Après avoir étudié l’initiation et l’évolution, en surface et en profondeur, des fissures à
sec, on a entrepris un plan d’essais pour étudier, de manière qualitative, l’effet d’un lubrifiant
sur l’évolution de ces fissures, en menant et en mené.
___________________________________________________________________________
111
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
Ce plan d’essais est constitué de quatre essais, chaque essai est constitué de deux parties
une à sec et l’autre avec lubrifiant. Les caractéristiques de ces essais sont données dans le
tableau 3.7. Le lubrifiant utilisé est de l’eau pour les trois raisons suivantes :
- non polluant
- viscosité faible (permet de passer du couple)
- capacité à pénétrer les fissures
Galet
Métallique
N°
Essai
N°
Galet époxy
N°
Position
menant
12
13
14
15
I001
I004
I003
I001
Ns
[x1000
cycles]
Nl
[x1000
cycles]
530
0
E028
Nt
cycles
[x1000]
P [N]
T [N]
W
[tr/min]
600
75
500
600
30-40
~ 500
600
75
500
600
5-50
~ 500
600
90
500
600
1-25
~ 500
600
75
500
600
30-40
~ 500
1910
menant
0
1380
menant
1730
0
E032
2530
mené
0
800
menant
1580
0
E034
1680
mené
0
100
menant
295
0
E043
1895
mené
0
1600
Tableau 3.7: Paramètres du plan d’essai N°5
a)
S.F.T
S.D.A.C
b)
S.F.T
S.D.A.C
d)
c)
Figure 3.36: Fissures apparues à sec après 530 000 cycles, a) en surface b) en profondeur pour β =
119°, c) en surface et d) en profondeur pour β = 151°, zoom 100 fois
___________________________________________________________________________
112
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
où Ns est le nombre de cycles à sec, Nl est le nombre de cycles avec lubrifiant et Nt
nombre de cycles totaux.
Dans la première partie de l’essai 12, on a testé le galet E028, en position ‘menant’, à sec
jusqu’à l’apparition des premières fissures. On a repéré deux groupes de fissures présentés sur
la figure 3.36
La figure 3.37 présente la deuxième étape de cet essai. Après le premier pas (100 000
cycles), les fissures ont peu évolué, avec une tendance à bifurquer dans le sens inverse du
mouvement du contact et de la force tangentielle. Aucune évolution ultérieure n’a été
observée ni aucune autre initiation. L’initiation et l’évolution de fissures en position
‘menant’ en présence de lubrifiant est très difficile, voire impossible.
Les résultats cités précédemment nous conduisent à tester les galets en position ‘mené’
avec du lubrifiant. On a réalisé les deux essais 13 et 14 en position ‘menant’ à sec, jusqu’à ce
que les galets soient totalement fissurés, figure 3.38, pour s’affranchir d’une éventuelle
profondeur seuil, en dessous de laquelle il n’y aurait plus d’évolution possible.
S.D.A.C
S.F.T
a)
100 000cycles
400 000 cycles
860 000 cycles
1380 000 cycles
1380 000 cycles
S.D.A.C
S.F.T
b)
Figure 3.37: Evolution de fissures avec lubrifiant en position menant, a) β = 119°, b) β = 151° , zoom
100 fois
___________________________________________________________________________
113
S.D.A.C
S.D.A.C
S.F.T
S.F.T
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
Essai 14, β = 250°
Essai 13, β = 120°
Figure 3.38: Les essais 13 et 14 en fin de test à sec.
Maintenant, il y a deux possibilités pour placer le galet éprouvette en position ‘mené’. On
peut monter le galet directement sur la broche menée ou bien le renverser ( la face extérieure
est tournée vers l’intérieur). La cinématique du contact, pour les deux cas, est présentée sur la
figure 3.39.
Aire de
Contact
Famille de
fissures
Sens de la force
de traction
Sens de
déplacement de
l’aire de contact
Cas ‘mené’ classique (essai 14)
Aire de
Contact
Famille de
fissures
Sens de la force
de traction
Sens de
déplacement de
l’aire de contact
Cas ‘mené’ inversé (essai 13)
Figure 3.39: Cinématique de contact pour les essais 13 et 14 avec lubrifiant.
Il est à remarquer qu’il est très difficile d’augmenter la force de traction en présence
de lubrifiant. On est resté limité et des valeurs très faibles mais on a tout de même
obtenu des résultats prometteurs.
La figure 3.40, présente l’évolution des fissures, initiées en position ‘menant’, en position
‘mené’, inversée (essai 13) et classique (essai 14). On peut en conclure les points suivants :
- Les fissures bifurquent, pour les deux cas, dans la direction de la force de
traction (avec quelques exceptions pour l’essai 13)
- L’aire de contact se déplace en passant du fond de fissure vers le haut. Ceci
est en contradiction avec la théorie usuelle.
- L’évolution ne concerne qu’une portion de la fissure
___________________________________________________________________________
114
S.D.A.C
S.F.T
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
S.D.A.C
S.F.T
Essai 13, 800 000 cycles, β = 120°.
Essai 14, 100 000 cycles, β = 250°.
Figure 3.40: Evolution des fissures, pour les essais 13 et 14, en position ‘mené’ avec lubrifiant.
Les galets utilisés pour les essais, 13 et 14, étaient très largement préfissurés. On a alors
testé un galet avec le minimum possible de fissures. Dans la première partie de l’essai 15, on a
réussi à initier deux fissures uniquement, sur toute la surface du galet.
En deuxième partie de cet essai, avec lubrifiant, le galet est monté comme l’essai 14, cas
mené classique, car l’évolution était plus rapide. La figure 3.41 présente, cette l’évolution.
Deux stades étaient marqués : premièrement la fissure a tendance à bifurquer dans le sens
de la force de traction (conformément aux essais 13 et 14), vers 200000 cycles,
deuxièmement la fissure principale se propage dans la direction du déplacement du
contact mais il y a toujours bifurcation dans le sens de la force de traction. Ce qui
correspond à la théorie qui dit que les fissures évoluent sur la surface de galet mené dans
le cas où la charge passe sur le haut avant le fond de fissure.
___________________________________________________________________________
115
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
Il faut préciser que le résultat de ce plan d’essais avec lubrifiant, est introductif pour
le travail de notre équipe. On a constaté, comme les études précédentes, le rôle
important joué par le lubrifiant en position ‘mené’. De plus, la direction de propagation
des fissures en profondeur en présence de lubrifiant est très compliquée et étonnante en
même temps, on a observé un stade primaire qui est en contradiction avec la littérature.
___________________________________________________________________________
116
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
S.D.A.C
S.F.T
60 000 cycles
120 000 cycles
200 000 cycles
500 000 cycles
S.D.A.C
S.F.T
1600 000 cycles
Figure 3 41: Effet du lubrifiant sur l’évolution de fissure, en surface et en profondeur, essai 15
___________________________________________________________________________
117
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
3.12 Conclusion
Après avoir présenté, dans le chapitre précédent, le dispositif expérimental et la procédure
adoptée pour ce travail, dans ce chapitre nous avons présenté les résultats de quatre plans
d’essais à sec et un avec lubrifiant.
Le premier plan d’essais a eu comme but de comparer la RCF entre un galet en position
‘menant’ et un galet en position ‘mené’. Nous avons constaté que :
Il est plus facile d’initier des fissures (à sec), quand le galet est en position
‘menant’ qu’en position ‘mené’.
Le phénomène observé est reproductible sur un autre matériau élastique fragile que
l’époxy.
La forme de la fissure est liée à la direction de la force de traction et non pas au
sens de déplacement de l’aire de contact.
Les fissures du galet ‘mené’ forme un angle d’environ 30° avec la normale à la
surface tandis que les fissures du galet ‘menant’ sont presque perpendiculaires à la
surface. L’inclinaison de la fissure est telle que le contact passe sur l’ouverture de
la fissure avant de passer au-dessus du fond de la fissure.
La piste de roulement est généralement bien marquée.
Le deuxième plan d’essais a été fait avec l’intention de vérifier la reproductibilité du
phénomène observé. Deux éprouvettes ont été testées sous les mêmes sollicitations mais avec
des pas de cycles différents. On a constaté que :
Le phénomène d’initiation et propagation de fissures est reproductible sous
chargements identiques.
L’évolution des grandeurs ‘moyennes’ (nombre, largeur, profondeur) des fissures
n’est pas aléatoire.
La période des arrêts pour observations ne semble pas influencer le phénomène.
Ensuite, nous avons présenté une exploitation générale d’un essai type, choisi à partir du
plan d’essais précédent. Nous avons constaté que :
Les fissures en surface vont prendre la forme de l’aire de contact et en profondeur
une forme semi-elliptique.
Les fissures apparaissent dans un premier temps de façon aléatoire sur la surface
de contact. Avec l’augmentation du nombre de cycles d’autres fissures
apparaissent entre les premières fissures jusqu’à une densité de fissures limite.
Une distance caractéristique inter-fissures s’établit.
Il existe trois stades d’évolution du nombre moyen des fissures principales
• un premier stade d’amorçage lent,
• un deuxième stade d’amorçage à rapide,
• un troisième stade de saturation lent.
Il existe deux stades d’évolution pour la largeur et la profondeur de fissures :
• le premier stade, est une phase de propagation à grande
vitesse en dessous de 106 cycles.
• le deuxième stade, est une phase de propagation lente.
Deux temps de dispersion sont distingués :
___________________________________________________________________________
118
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
•
•
la dispersion d’amorçage : les fissures n’apparaissent pas
toutes en même temps
la dispersion de la taille finale des fissures : elles n’ont pas
toutes la même largeur et la même profondeur finale
Le troisième plan d’essais étudie l’effet de la charge normale sur l’évolution du
phénomène, tandis que le quatrième étudie l’effet de la force tangentielle. Nous avons
constaté que :
la largeur finale moyenne de fissures diminue avec l’augmentation de la charge
normale et augmente avec l’augmentation de la force tangentielle
la profondeur finale moyenne de fissures diminue avec l’augmentation de la charge
normale et augmente avec l’augmentation de la force tangentielle
la distance caractéristique inter-fissures augmente avec l’augmentation de la
force tangentielle.
le nombre de cycles d’initiation diminue avec l’augmentation de la force
tangentielle.
le taux de glissement augmente avec l’augmentation de la force tangentielle.
l'usure de la piste de roulement reste est limité à l'échelle microscopique des
rugosités. Nous n’avons pas constaté d’usure macroscopique.
Nous avons terminé l’étude du phénomène de RCF à sec, en présentant la forme
tridimensionnelle d’une fissure. Pour cela un système des équations paramétriques,
définissant le front d’une fissure, a été donné.
Le dernier plan d’essais a eu comme but l'étude des effets de la présence d’un lubrifiant
sur les deux positions du galet, ‘menant’ et ‘mené’. Pour cela nous avons initié des fissures à
sec en position menant, puis nous avons testé le galet fissuré en présence de lubrifiant en deux
positions ‘menant’ et ‘mené’ nous avons constaté que :
la présence du lubrifiant diminue le coefficient de frottement et rend plus difficile
l’augmentation de la force tangentielle.
l’initiation des fissures en position ‘menant’ et ‘mené’ en présence du lubrifiant est
très difficile.
la propagation des fissures en position ‘menant’ en présence du lubrifiant est
difficile voire impossible.
inversement le lubrifiant favorise la propagation des fissures en profondeur en
position ‘mené’.
la présence de lubrifiant défavorise l’évolution en surface des fissures.
la propagation des fissures en profondeur, en présence de lubrifiant, est partielle.
Une partie seulement de la fissure est influencée.
l'existence du lubrifiant provoque une bifurcation des fissures dans leur
propagation en profondeur.
deux tendances de bifurcation ont été observées :
les fissures bifurquent dans la direction de la force tangentielle.
L’aire de contact se déplace en passant du fond de la fissure vers
son ouverture. Ceci est en contradiction avec la théorie classique de
la littérature
la fissure principale bifurque dans la direction du déplacement du
contact. Ceci correspond à la théorie classique de la littérature qui
dit que les fissures évoluent sur la surface du galet mené dans le cas
___________________________________________________________________________
119
Chapitre III : Exploitation Expérimentale
___________________________________________________________________________
où la charge passe sur l’ouverture avant de passer sur le fond de
fissure.
A la fin de cette conclusion, il faut signaler que l’initiation plus facile des fissures à sec en
position ‘menant’ qu’en position ‘mené’, a été étonnante pour nous. En effet, ce phénomène
s’oppose au phénomène décrit usuellement dans la bibliographie lorsqu’un lubrifiant est
présent. Un deuxième point qui a attiré notre attention, concerne la distance quasi-régulière
entre fissures.
Pour essayer de comprendre ces deux points, entre autres, nous avons réalisé une
modélisation numérique. Les deux chapitres suivants ont pour buts, de mettre en œuvre un
moyen de calcul et de développer notre modèle numérique. Dans le dernier chapitre, nous
comparerons les résultats numériques et expérimentaux.
___________________________________________________________________________
120
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
Chapitre IV : SIMULATION NUMERIQUE
4.1 Introduction
Pendant les essais expérimentaux on a observé que l’apparition des premières fissures est
aléatoire sur la piste de roulement de contact. Puis avec l’augmentation du nombre de cycles
Figure 4. 1, de nouvelles fissures apparaissent aux alentours des premières (formation de
‘familles de fissures’) jusqu'au moment où la distance inter-fissures est quasi constante (on a
une saturation de fissure.).
25x103 cycles
135x103 cycles
175x103 cycles
220x103 cycles
270x103 cycles
1095x103 cycles
Figure 4. 1: Formation typique d’une famille de fissures (P=600N, T=75N)
On a observé que cette distance moyenne augmente avec la force tangentielle, figure 4. 2.
On a en outre constaté que l’initiation des fissures (à sec) est plus rapide sur les galets
‘menants’ que sur les galets ‘menés’.
T = 60N
T = 105N
Figure 4. 2: Distance inter-fissures pour différente force de traction
___________________________________________________________________________
121
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
Afin de proposer une explication à ces phénomènes, on a développé des modèles
numériques s’inscrivant dans des plans d’expériences bien déterminés.
En premier lieu, on présente rapidement les points principaux de la méthode des plans
d’expériences et on explicitera les configurations choisies pour traiter notre problématique.
Chaque expérience étant les résultats d’un calcul numérique, le logiciel utilisé pour la
modélisation sera brièvement décrit.
En deuxième étape, on décrira précisément le modèle numérique et les tests réalisés pour
s’assurer de sa qualité.
4.2 Les plans d’expériences [Jac00] [Jac97]
4.2.1 Introduction
Les plans d’expériences sont utiles à toutes les personnes qui entreprennent des recherches
scientifiques ou des études industrielles. Ils sont applicables à toutes les disciplines et à toutes
les industries à partir du moment où l’on recherche le lien qui existe entre une grandeur
d’intérêt, ‘y’, et des variables, ‘xi’, qui peuvent modifier la valeur de ‘y’. Par exemple, quel est
le lien entre la force tangentielle (xi) et le niveau de contraintes dans le galet époxy (y). Dès
lors que l’on s’intéresse à la fonction :
y = f ( xi )
il faut penser aux plans d’expériences. Ils servent, en effet, à optimiser l’organisation des
essais expérimentaux pour obtenir le maximum de renseignements avec le minimum
d’expériences et la meilleure précision possible sur les réponses calculées avec le modèle.
La méthode " une variable à la fois " qui consiste à fixer tous les facteurs sauf un, pour
connaître son effet sur la réponse, est coûteuse en nombre d'essais, et inefficace : elle ne
permet pas d'optimiser le processus ni de trouver un modèle prédictif s'il existe des
interactions entre les facteurs (couplage de paramètres).
Dans un plan d'expérience au contraire, toutes les données sont utilisées simultanément pour
calculer chaque effet. Le résultat de l'essai peut être expérimental ou découler d'une
simulation numérique. Pour ce dernier cas, l’interprétation est plus directe puisqu’un résultat
numérique n’est pas assujetti à une quelconque variabilité.
4.2.2 Principes de base
La compréhension de la méthode des plans d’expériences s’appuie sur deux notions
essentielles, celle d’espace expérimental et celle de modélisation mathématique des grandeurs
étudiées.
___________________________________________________________________________
122
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
4.2.2.1
L’espace expérimental
Supposons qu’on étudie un phénomène. On s’intéresse à une grandeur qu’on mesure à
chaque essai. Cette grandeur s’appelle la réponse, c’est la grandeur d’intérêt. La valeur de
cette grandeur dépend de plusieurs variables. Au lieu du terme « variable » nous emploierons
le mot facteur. On dit que la réponse dépend de plusieurs facteurs.
Le premier facteur peut être représenté par un axe gradué et orienté (figure4. 3). La valeur
donnée à un facteur pour réaliser un essai est appelée niveau. Lorsque l’on étudie l’influence
d’un facteur, en général, on limite ses variations entre deux bornes :
— la borne inférieure est le niveau bas ;
— la borne supérieure est le niveau haut ;
L’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre le facteur entre le niveau bas et le niveau
haut, s’appelle le domaine de variation du facteur, ou plus simplement, le domaine du facteur.
Figure 4. 3: Domaine de variation du ‘facteur’
S’il y a un second facteur, il est représenté, lui aussi, par un axe gradué et orienté. On
définit, comme pour le premier facteur, son niveau haut, son niveau bas et son domaine de
variation. Ce second axe est disposé orthogonalement au premier.
On obtient ainsi un repère cartésien qui définit l’espace expérimental (Figure 4.4).
Figure 4. 4: Définition de l’espace expérimental
Le niveau x1 du facteur 1 et le niveau x2 du facteur 2 peuvent être considérés comme les
coordonnées d’un point de l’espace expérimental (figure4. 5). Une expérience donnée est
alors représentée par un point dans ce système d’axes. Un plan d’expériences est représenté
par un ensemble de points expérimentaux.
___________________________________________________________________________
123
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
Figure 4. 5: Niveaux des facteurs définissant des points expérimentaux.
La réunion des domaines de chaque facteur définit le « domaine d’étude ». Ce domaine
d’étude est la partie de l’espace expérimental retenue par l’expérimentateur pour faire ses
essais. Une étude, c’est-à-dire un ensemble d’expériences bien définies, est représentée par
une série de points disposés dans le domaine d’étude (figure4. 6).
Figure 4. 6: Définition du domaine d’étude
Les niveaux xi représentent les coordonnées d’un point expérimental et y est la valeur de
la réponse en ce point. On attribue à la réponse un axe orthogonal à l’espace expérimental. La
représentation géométrique d’un plan d’expériences et des réponses associées nécessite donc
un espace ayant une dimension de plus que l’espace expérimental. À l’ensemble de tous les
points du domaine d’étude correspond un ensemble de réponses qui se localisent sur une
surface appelée la surface de réponse (figure4. 7).
___________________________________________________________________________
124
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
Figure 4. 7: Définition de la surface de réponse
Le choix du nombre et de l’emplacement des points d’expériences est le problème
fondamental des plans d’expériences. On cherche le minimum d’expériences tout en
conservant la meilleure précision possible sur la surface de réponse.
4.2.2.2
La modélisation mathématique
En l’absence de toute information sur la fonction qui lie la réponse à n facteurs, on se
donne, a priori, une loi d’évolution dont la formulation la plus générale est la suivante :
y = f ( x1 , x 2 , x3 ,..., x n )
(4.1)
Cette fonction est trop générale et il est d’usage d’en prendre un développement limité de
Taylor. Si les dérivées du développement de Taylor peuvent être considérées comme des
constantes le développement précédent prend la forme d’un polynôme de degré plus ou moins
élevé :
y = a 0 + ∑ ai xi + ∑ ai j xi x j + ∑ a i i xi2 + ...
(4.2)
y est mesurée au cours de l’expérimentation et est obtenue avec une précision donnée, sauf
pour le cas d’expériences ‘numériques’.
xi représente le niveau attribué au facteur i. C’est la valeur de la coordonnée du facteur i
retenue pour réaliser un essai. Cette valeur est parfaitement connue.
a0 , ai , ai j , ai i sont donc les coefficients du modèle mathématique adopté a priori. Ils ne
sont pas connus et doivent être calculés à partir des résultats des expériences.
4.2.2.3
Modèle de l’expérimentateur
Deux compléments doivent être apportés au modèle précédemment écrit.
___________________________________________________________________________
125
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
Le premier est le manque d’ajustement. Cette expression traduit le fait que le modèle
choisi par l’expérimentateur avant les essais est probablement un peu différent du modèle réel
qui régit le phénomène étudié. Il y a un écart entre ces deux modèles. Cet écart est le manque
d’ajustement.
Le second est la prise en compte de la nature aléatoire de la réponse mais ceci ne nous
concerne pas.
Ces deux écarts, manque d’ajustement et erreur expérimentale, sont souvent réunis dans
un seul écart, le résidu, noté « e ». Le modèle utilisé par l’expérimentateur s’écrit alors :
y = f ( x1 , x 2 , x3 ,..., x n ) + e
4.2.2.4
(4.3)
Système d’équations
Chaque point expérimental apporte une valeur de la réponse. Or cette réponse est
modélisée par un polynôme dont les coefficients sont les inconnues qu’il faut déterminer. À la
fin du plan d’expériences, on a un système de n équations (s’il y a n essais) à p inconnues (s’il
y a ‘p’ coefficients dans le modèle choisi a priori). Ce système s’écrit d’une manière simple
en notation matricielle :
{y} = [ X ]{a} + {e}
(4.4)
{y} vecteur (n) des réponses,
{X} matrice (n, p) de calcul, qui dépend des points expérimentaux choisis pour
exécuter le plan et du modèle postulé,
{a} vecteur (p) des coefficients,
{e} vecteur (n) des résidus.
Ce système ne peut pas, en général, être résolu simplement car le nombre d’équations est
inférieur au nombre d’inconnues. En effet, il y a n équations et p + n inconnues. Cette
résolution ne peut être menée à bien que si l’on utilise une méthode de régression qui introduit
p équations supplémentaires. La plupart du temps cette méthode est basée sur le critère
d’optimisation des moindres carrés. On obtient ainsi les estimations les plus probables des
coefficients que l’on note : { â }
avec
On utilise le logiciel MODDE, pour résoudre ce problème : résolution des systèmes
d’équations par des méthodes des moindres carrées et traitement des résultats.
Il existe de nombreux plans d’expériences adaptés à tous les cas rencontrés par un
expérimentateur. Parmi les plans classiques qui existent, citons les plans factoriels complets à
deux niveaux (représentation linéaire), plans factoriels complets à trois niveaux
(représentation quadratique) etc., …
___________________________________________________________________________
126
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
4.2.3 Choix du plan d’expériences
Comme nous allons le voir par la suite, nous souhaitons étudier l’influence de 4 facteurs.
Nos essais numériques étant ‘peu coûteux’ en ressources, le type de plan choisi est dit
« complet ».
De plus, ces facteurs variant sur des gammes relativement importantes, leur représentation
est choisie quadratique et non linéaire, ce qui nous amène naturellement à des plans factoriels
complets à 3 niveaux. Cette configuration donnera donc lieu à 34 ‘expériences numériques’.
On considère généralement que les interactions d’ordre supérieur ou égal à 3 sont
négligeables (et de toutes façons difficilement interprétables) par conséquent la modélisation
mathématique est la suivante :
y = a 0 + a1 x1 + a 2 x 2 + a3 x3 + a 4 x 4 + a11 x12 + a 22 x 22 + a33 x32 + a 44 x 42 +
a12 x1 x 2 + a13 x1 x3 + a14 x1 x 4 + a 23 x 2 x3 + a 24 x 2 x 4 + a34 x3 x 4 + e
(4.6)
soit donc, 15 inconnues plus un terme ‘e’ qui représente l’écart entre la prédiction du
modèle mathématique simple et le résultat de l’expérience.
4.2.4 Application.
4.2.4.1
Expérience ‘type’
?
R1 , E1
Réq , E∞
y
x
M
R∞ , Eéq
R2 , E2
contact galet/galet
contact équivalent galet/plaque
Figure 4. 8: Le contact galet/galet et son équivalent
Le contact galet/galet est localisé au voisinage immédiat d’une génératrice de chaque
corps cylindrique. Les hypothèses simplificatrices, mises en œuvre pour le traitement des
contacts hertzien 2D, sont faites.
Le contact galet/galet est caractérisé, entre autres, par un module d’Young équivalent et
un rayon équivalent. Il est remplacé par un contact équivalent galet rigide/plaque déformable,
figure4. 8. On s’intéresse alors à la répartition des contraintes dans la plaque, et plus
___________________________________________________________________________
127
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
particulièrement, à la manière dont celles-ci sont perturbées par la présence de fissures sur le
passage du contact hertzien en surface.
4.2.4.2
Choix des grandeurs d’intérêt
Le matériau ayant un comportement élastique fragile, on privilégie comme ‘moteur
d’endommagement’ la plus grande contrainte principale en traction.
Dans un contact hertzien, avec une charge tangentielle, les zones des tractions fortes se
situent en surface, en avant ou en arrière du contact.
Nous avons donc choisi de focaliser notre attention sur la contrainte de traction σxx,
nommée communément contrainte de peau. Nous ne retenons évidemment que les cas où
cette contrainte est positive, donc susceptible d’endommager un matériau fragile.
On définit deux couples de paramètres pour caractériser la sévérité du contact d’un point
de vue RCF, au voisinage de M.
- le max σ xx y =0 et sa position par rapport à la fissure
(
)
- (σ xx )moy et ∆σ xx
Le premier rend compte la rupture fragile de la plaque et le deuxième de l’intensité des
cycles de fatigue.
4.2.4.3
Choix des facteurs.
On observe expérimentalement au bout d’un grand nombre de cycles une saturation du
galet en fissures avec un pas quasi-régulier. En partant de l’hypothèse que la présence de
fissures abaisse localement le niveau de contraintes, on choisit d’introduire deux fissures dans
la plaque, dont l’inter-distance ‘i’ est le premier facteur.
Une autre hypothèse consiste à dire que plus la fissure est profonde plus la plaque devient
‘souple’ dans son voisinage, ce qui amène à étudier également l’influence de ce paramètre ‘l’.
On cherche donc à expliquer le phénomène de pas régulier avec ces deux facteurs.
Les deux constats expérimentaux suivants :
- la cinétique d’apparition des fissures et
- l’inter-distance,
varient avec la force tangentielle T nous amènent à introduire ‘T’ en troisième facteur.
Enfin, même si le coefficient de frottement peut être estimé entre les deux galets (0,3), il
n’est que très hypothétique entre les lèvres des fissures. Or ce coefficient ‘fi’ peut affecter la
raideur au voisinage d’une fissure et modifier ainsi la répartition des contraintes. Face à cette
interrogation, le quatrième et dernier paramètre ‘fi’ est introduit.
Notons que les positions ‘menant’ et ‘mené’ seront considérées grâce au signe donné à
‘T’, ce qui implique donc deux plans d’expérience complets à 4 facteurs.
___________________________________________________________________________
128
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
Facteurs
Niveau bas Niveau haut Niveau intermédiaire
Inter distance ‘i’ [mm]
0,5
3,5
2
Profondeur ‘l’ [mm]
0,125
0,625
0,375
0,75 f c P
0,5 f c P
Force de traction ‘T’ [N/mm] 0,25 f c P
Coefficient de frottement
0
1
0,5
Inter lèvres ‘fi’
Tableau 4. 1: Niveaux des facteurs
avec fc, coefficient de frottement de contact entre les corps roulants, P la charge normale.
La force de traction est linéique (ce qui explique l’unité choisie) mais nous y reviendrons au §
4.5.
Le choix des niveaux des facteurs est justifié par les raisons suivantes :
‘i’ :
Le niveau bas est de l’ordre des inter-distances observées expérimentalement
§3.7.1. Les zones intéressantes à suivre sont A, B et C (figure 4.9) car elles sont a
priori perturbées, d’un point de vue contraintes, par les fissures. Toutefois, si B est
suffisamment grande on peut le décomposer en B1 et B2 et établir des similitudes
entre A et B2 d’une part et B1 et C d’autre part.
A
B
C
A
B1
B2
C
Figure 4. 9: Les zones intéressantes autour d’une fissure
Il ne faut cependant pas prendre une valeur trop importante : un intervalle trop
grand pourrait rendre le modèle numérique trop imprécis, même avec une
approche quadratique. Un compromis a alors été trouvé avec une zone B de l’ordre
de la taille du contact.
‘l’ :
Les deux niveaux sont choisis proches des résultats expérimentaux.
‘T’ :
Les niveaux sont choisis afin de couvrir les conditions expérimentales de
chargement.
‘fi’ :
Le niveau bas est choisi de façon qu’on n’ait pas de frottement inter lèvres et le
niveau haut à une valeur que l’on est quasi certain de ne pas atteindre.
Les meilleurs emplacements des points d’expériences sont situés aux sommets et aux
milieux des domaines d’étude, l’erreur globale commise y est minimisée (notion de plan
« orthogonal »)
Le plan d’expériences ‘type’ est donc constitué de toutes les combinaisons possibles entre
les 4 facteurs, aux 3 niveaux indiqués dans le tableau4. 2.
___________________________________________________________________________
129
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
Niveau bas Niveau milieu Niveau haut
Inter distance de fissures
Profondeur de fissure
Force de traction
Coefficient de frottement inter lèvres
i050
l125
t025
f000
i200
l375
t050
f050
i350
l625
t075
f100
Tableau 4. 2: Notations des niveaux de facteurs
4.3 Description de l’outil de modélisation
4.3.1 Introduction
MSC.Marc est un logiciel de calcul et d’analyse éléments finis, pour des applications non
linéaires avancées.
La résolution numérique d’un problème de contact avec frottement avec le logiciel
MSC.Marc s’articule autour des trois points :
- détermination du mouvement des corps,
- application de contraintes pour empêcher la pénétration ‘condition d’impénétrabilité’,
- application de conditions aux limites appropriées pour simuler le frottement.
Plusieurs procédures existent pour traiter ce genre de problèmes. Dans Marc, c’est la
méthode d’élimination directe des contraintes de contact qui est adoptée. Sans recourir à
l’utilisation d’éléments spéciaux de contact, l’algorithme analyse le mouvement des corps et
applique des contraintes cinématiques et statiques aux nœuds qui entrent en contact. Les
contraintes cinématiques sont imposées aux nœuds contactant afin d’empêcher qu’ils
pénètrent la cible. Les contraintes statiques expriment la limite de décollement pour les forces
normales et une limite de frottement pour les forces tangentielles.
Cette procédure peut être très précise si le programme peut prévoir la zone de contact.
4.3.2 Types de corps de contact
Il est unanimement reconnu que l’une des difficultés majeures associées au traitement
numérique des problèmes de contact avec frottement est liée à la représentation géométrique
des surfaces de contact. Il y a deux types de ‘corps de contact’ : ‘Déformable’ et ‘Rigide’.
Le corps déformable est constitué, simplement, d’une collection d’éléments finis comme
présenté dans la figure 4.10
___________________________________________________________________________
130
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
Figure 4. 10: Corps déformable
Ce corps a les caractéristiques suivantes :
-
-
Les éléments constituant le corps.
Les nœuds sur la surface extérieure du corps qui peuvent entrer en contact avec
d’autre corps, ces nœuds sont traités comme des nœuds de contact potentiel ou encore
nœuds contactant.
Les cotés et les surfaces, qui définissent la surface extérieure avec laquelle un nœud
d’un autre corps peut entrer en contact. Ces cotés / faces sont traités comme des
segments de contact potentiel ou encore de segments cibles.
Dans MSC-Marc, la désignation des nœuds contactant ainsi que celle des segments cibles
se fait automatiquement, en fonction de l’ordre de déclaration des corps susceptibles d’entrer
en contact.
Les corps rigides quant à eux sont formés de courbes et de surfaces. La caractéristique
évidente des corps rigides est qu’ils ne se déforment pas.
4.3.3 Mouvement de corps rigide
Les corps rigides peuvent se déplacer en contrôlant un ou plusieurs de trois facteurs
suivants :
- la vitesse de translation ou de rotation en fonction du temps,
- la position en fonction du temps,
- la force appliquée en fonction du temps.
On verra dans le § 4.5 que dans cette étude on impose une charge normale et une position
angulaire sur le disque rigide.
4.3.4 Détection de contact
La recherche de la zone de contact est réalisée en deux étapes :
– recherche générale des corps et des éléments finis susceptibles d’entrer en contact,
– détermination des corps et des éléments finis qui sont effectivement en contact
(phase de détection du contact).
La première étape de recherche générale consiste à trier les éléments finis présents à la
surface des corps ainsi que les nœuds susceptibles d’entrer en contact. Cela est réalisé à l’aide
___________________________________________________________________________
131
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
d’un algorithme de type ‘Bounding box’ qui consiste à définir une boîte fictive autour des
surfaces frontières des corps.
Le statut exact des nœuds ainsi sélectionnés est ensuite analysé lors de la deuxième étape,
en fonction de leur positionnement par rapport à une zone de tolérance définie autour de
chaque segment potentiel de contact. Les segments des corps déformables sont représentés
par leurs bords dans le cas 2D et par leurs facettes pour un élément 3D. Les corps rigides
constituent eux-mêmes des segments de contact. Par défaut, la tolérance de contact est définie
à 5% du plus petit bord d’un élément bidimensionnel ou à 25% de l’épaisseur la plus petite
pour le cas d’un maillage tridimensionnel, mais cette valeur est modifiable par l’utilisateur.
Pour les cas de contact entre corps rigide et déformable, on peut distinguer 4 cas, Figure
4.11, selon la position de nœud contactant par rapport à la zone de tolérance :
- Cas 1 : le contact n’est pas détecté ∆u A • n < D − d . Le nœud ‘A’ ne touche pas, les
contraintes d’impénétrabilité ne sont pas appliquées.
- Cas 2 : un contact est détecté ∆u A • n − d ≤ D . Le nœud ‘A’ est à coté du corps
rigide, dans la zone de tolérance, les contraintes d’impénétrabilité tirent le nœud vers
la surface de contact si F < Fs
-
-
Cas 3 : un contact est détecté où ∆u A • n − d ≤ D . Le nœud ‘A’ a pénétré le corps
rigide mais dans la zone de tolérance, les contraintes d’impénétrabilité poussent le
nœud vers la surface de contact
Cas 4 : une pénétration est détectée ∆u A • n > D + d . Le nœud ‘A’ a pénétré le corps
rigide et dépassé la zone de tolérance, l’incrément de temps est décomposé jusqu’à la
non-pénétration.
Corps Rigide
Corps Déformable
(ensemble des éléments)
(ensemble de courbes
ou surfaces)
Cas
Figure 4. 11: Détection de contact entre corps déformable et rigide.
avec
∆uA
n
D
: vecteur de déplacement incrémental de nœud A.
: vecteur unité normal
: distance de tolérance
___________________________________________________________________________
132
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
Fs
: force de séparation
4.3.5 Modélisation de frottement
Le frottement est un phénomène physique compliqué qui implique les caractéristiques de
la surface telles que la rugosité, la température, la contrainte normale et la vitesse relative.
Dans MSC.Marc les modèles numériques de frottement sont les suivants :
a) Le modèle de frottement de Coulomb, loi ‘stick-slip’ décrit par :
f t ≤ −µ f n ⋅ t
où :
(4.7)
f t = force tangentielle.
fn
f n = charge normale.
µ = coefficient de frottement.
v
t = r ; vr = vitesse relative de
vr
glissement
νr
ft
Pour une charge normale donnée, le comportement de la force tangentielle en fonction de
la vitesse relative de glissement vr (ou de la différence de déplacement ∆u ) prend la forme
d’un escalier (échelle) voir Figure 4.12.
adhérence
glissement
Figure4. 12: Représentation de loi de Coulomb
Cette discontinuité dans les valeurs de ft peut créer des difficultés dans le calcul
numérique, c’est pourquoi un deuxième modèle est proposé.
___________________________________________________________________________
133
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
b) loi de Coulomb modifiée ou encore loi Arctangente, Figure 4.13, décrite par :
f t ≤ −µ f n
v
arctan r ⋅ t
π
C
2
(4.8)
Physiquement la valeur de C est égale à la valeur de la vitesse relative à fmax/2, Figure 4.13.
La valeur de C quantifie l’écart du modèle arctangente par rapport au modèle de Coulomb. Il
est souvent recommandé d’utiliser une valeur de C situé entre 1% et 10% de la vitesse de
glissement caractéristique.
Fmax
Fmax/2
Figure 4. 13: Représentation de loi arctangente de frottement
c) Choix du modèle de frottement
Le modèle qui nous semble le plus intuitif est le plus simple, c’est-à-dire le modèle de
Coulomb. Toutefois, et comme cela était prévisible, des instabilités numériques ont été
constatées sur quelques-unes des 81 expériences.
Afin de s’assurer de la qualité des conclusions qui seront tirées des plans d’expériences,
chacune est réalisée deux fois : avec le modèle de Coulomb et le modèle Arctangente. Le
coefficient C est choisi à 0,1.
4.3.6 Contact ‘Rigide – Déformable’
Du point de vue conceptuel, l’algorithme de contact de MSC Marc, Figure 4.14, réduit tous
les problèmes de contact avec frottement à deux classes générales : le contact entre un corps
déformable et un corps rigide et le contact entre deux corps déformables. La différence entre
les deux classes de contact réside dans le nombre des nœuds auxquels des contraintes
cinématiques sont imposées. Les cas bi ou tridimensionnels sont traités de la même manière,
en les réduisant aux classes mentionnées ci-dessus
La solution pour le cas du contact entre un corps déformable et un corps rigide est obtenue à
l’issue des opérations suivantes :
– au début d’un incrément, tous les nœuds du contour sont vérifiés pour identifier ceux qui
sont déjà en contact ;
___________________________________________________________________________
134
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
– pour chaque nœud en contact, un système local d’axes est défini à partir des directions
normale et tangentielle au corps rigide. Connaissant la durée de l’incrément de temps et la
vitesse de la surface rigide, la configuration à la fin de l’incrément est estimée, ce qui permet
d’imposer au nœud considéré le déplacement normal du corps rigide. La valeur de l’incrément
précédent de déplacement est utilisée pour estimer le déplacement tangentiel appliqué au
nœud ;
– chaque incrément est résolu d’une manière itérative et les sous-incréments des déplacements
sont calculés pour être imposés sous la forme de conditions aux nœuds en contact. L’étape
précédente est répétée pour chaque itération ;
– après la convergence de la solution, l’équilibre des forces aux nœuds est vérifié et au cas où
la force normale de traction est supérieure à une limite imposée, le nœud en contact est
relâché (décollement) et l’étape précédente est répétée ;
– tous les nœuds placés sur les frontières du corps déformable sont vérifiés afin de déterminer
si la condition d’impénétrabilité est toujours respectée après l’application des déplacements
imposés. Si ce n’est pas le cas, l’incrément est réduit de telle manière que l’impénétrabilité
soit assurée ;
– le processus continue avec l’incrément suivant ;
___________________________________________________________________________
135
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
Début
Données initiales des corps en contact
Données initiales du processus incrémental
Etude de contact
Commence itération
Commence
Applications des chargements
Assemblage de la matrice de rigidité,
Prise en compte du frottement
Applications des équations d’impénétrabilité
Résolution du système
Modification des équations
de contraintes
Décomposition de
l’incrément
Mise en place des équations d’impénétrabilité
Mise à jour des conditions
Mise à jour des équations d’impénétrabilité
Convergence
OUI
OUI
Séparation
NON
OUI
Pénétration
NON
NON
Dernier incrément
OUI
Fin
Figure 4. 14 Algorithme de contact du code MSC.Marc
___________________________________________________________________________
136
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
4.4 Cinématique de contact
Charge normale
R=40mm
Galet mené époxy
Couple de freinage
Sens de déplacement
de l’aire de contact
Sens de rotation
Aire de contact
10mm
Fissures
R=40mm
Direction de la force tangentielle
Entraînement
R=80mm
10mm
Galet menant métallique
A – Position ‘Mené’
R=80mm
Charge normale
R=40mm
Galet mené métallique
Sens de rotation
Sens de déplacement
de l’aire de contact
Couple de freinage
Aire de contact
Fissures
10mm
Direction de la force tangentielle
R=40mm
Entraînement
10mm
Galet menant Epoxy
B – Position ‘Menant’
Figure 4. 15: Cinématique de contact
Dans ce paragraphe, on explicite la cinématique du contact, la forme et le positionnement
des fissures à la surface de contact par rapport à la position du galet éprouvette, Figure 4.15.
___________________________________________________________________________
137
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
On notera que :
- La direction de la force tangentielle est inchangée.
- La concavité de la fissure est dans le sens de la force tangentielle.
- Le sens de déplacement de l’aire de contact est dans le sens inverse de la force
tangentielle, pour le cas mené, (de glissement négatif) et dans le même sens pour
le cas menant (de glissement positif).
4.5 Modèle numérique
Cas réel
Modèle
Charge normale
Charge normale
Sens de déplacement
de contact
Sens de rotation
Couple de freinage
Corps rigide
Contact
Direction de la force
tangentielle
Sens de rotation
Sens de déplacement
Sens de rotation
Corps déformable
y
z
Force de freinage
x
A – Position ‘Mené’
Cas réel
Modèle
Charge normale
Sens de déplacement
de contact
Sens de rotation
Charge normale
Corps rigide
Contact
Direction de la force
tangentielle
Couple de freinage
Sens de rotation
Sens de déplacement
Corps déformable
Sens de rotation
y
z
Force de freinage
x
B – Position ‘Menant’
Figure 4. 16: Cas réels et les modèles correspondants
___________________________________________________________________________
138
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
On a pris pour le modèle numérique (Figure 4.16) les hypothèses et les approximations
suivantes :
-
-
On a utilisé un modèle 2D, pour des raisons de volumes de calculs (4 plans de 81
expériences) et de stockage (2 giga octets par calculs en 2D).
On a opté pour un état de contraintes planes, car il nous a semblé que le galet
époxy n’est pas suffisamment épais pour justifier un état de déformations planes. Il
faut toutefois noter que quel que soit le type choisi, ce qui nous importe c’est de
comparer les expériences entre elles et non pas de connaître précisément le niveau
de contraintes.
Le contact ‘disque époxy – disque métallique’ est remplacé par le contact de
morphologie identique ‘disque rigide – plan déformable’. Le rayon du disque
1
1
1
rigide est donné par la relation
=
+
et le matériau du plan est tel que
Réq R1 R2
1 − υ éq2
-
-
-
2
1 − υ époxy
2
1 − υ époxy
1 − υ métal
=
+
≅
car E métal >> Eépoxy , c’est-à-dire de
Eéq
E époxy
E métal
E époxy
caractéristiques physiques similaires à l’époxy.
Le couple de freinage est remplacé par une force équivalente répartie à la base du
plan déformable. Le sens de cette force détermine la configuration ‘mené’ ou
‘menant’
La charge normale linéique P du modèle est égale à la charge réellement appliquée
divisée par la largeur de la piste de contact 2a ~ 3mm.
Durant les essais on obtient un coefficient de frottement de ~ 0,25 et il y a
possibilité de l’augmenter un peu, pour cela on a choisi le fc=0,3.
La taille du plan déformable a été choisie de façon à minimiser les effets de bord.
La profondeur du plan est égale au rayon du galet, la largeur est proche du
périmètre.
Le Tableau 4.3 présente les caractéristiques du cas réel et du modèle.
Cas réel (plan d’essai N°4)
Charge normale P = 600N
Coefficient de frottement
fc > 0,25
Niveau bas = 60N
Force
de freinage
Niveau haut = 105N
Galet époxy
R1 = 40mm
E1 = 3,77GPa
ν1 = 0,4
Galet métallique
R2 = 80mm
E2 = 210GPa
ν2 = 0,27
2
Modèle 2D
P = 200N/mm
fc = 0,3
Force
de freinage
Niveau bas = 0,25 f c P
Niveau haut = 0,75 f c P
Plan déformable
Cercle rigide
200mm X 40mm
Réq. = 27mm
E = 3,77GPa
Corps rigide
ν = 0,4
Tableau 4. 3: Comparaison de caractéristiques de chargement et géométrique entre modèle et cas
réel.
4.6 Discrétisation temporelle.
Le temps de calculs est divisé en 1000 pas. La procédure de mise en charge et rotation est la
suivante, Figure 4.17 :
___________________________________________________________________________
139
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
1. Application de la charge normale dans les 60 premiers pas de calcul.
2. Application de la force de freinage dans les 60 pas suivants de calcul.
3. Mise en rotation du cercle rigide pour le reste des pas de calcul.
Chargement Normal
Force de freinage
Angle de rotation
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Temps
Figure 4. 17: Discrétisation temporelle de chargements
4.7 Discrétisation spatiale.
Comme on l’a expliqué dans le paragraphe §4.5, on a deux solides : un corps rigide et une
plaque déformable. La 1ère fissure est placée au milieu de plaque, la 2ème fissure est placée à
droite, figure4. 18. Le disque touche la plaque 2mm avant la première fissure, au début du
monitoring, et atteint 7,5 mm à la fin du monitoring.
___________________________________________________________________________
140
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
y
x
40 mm
0
début de
2 mm
monitoring
t=t0
7,5 mm
fin de
monitoring
t=t1
200 mm
Figure 4. 18: Présentation géométrique du modèle
On utilise le logiciel MSC.PATRAN pour concevoir le maillage de la plaque déformable.
Comme on l’a expliqué précédemment le but principal de cette modélisation est d’examiner le
champ de contraintes entre deux fissures, pour cela on a crée des discontinuités dans le plan
(par dédoublement de nœuds), figure4. 19, qui vont être traitées comme des fissures.
Figure 4. 19: Discontinuité représentant une fissure
En raison de possibles forts gradients de contraintes, le maillage sera très fin à coté des
fissures et grossier plus loin, Figure 4.20. L’élément le plus gros a une taille de 8 mm et le
plus fin a une taille de 4 µm. La taille de l’élément le plus petit est déterminée par le nombre
d’éléments dans la fissure la plus petite qui est de 32 éléments. L’élément utilisé initialement
est un quadrilatère à 4 nœuds avec intégration complète, ‘Elément 3’ dans la bibliothèque des
___________________________________________________________________________
141
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
éléments de MSC.Marc. La taille des éléments en surface et dans les lèvres est choisie
identique Figure 4.21.
Figure 4. 20: Le maillage du plan déformable
On a crée un chanfrein, Figure 4.20 et 4.21, en haut de fissure pour séparer le contact
‘disque – plan’ du contact ‘inter – lèvres’, pour des raisons de stabilité numérique. De plus, la
concentration des contraintes locale est telle que les résultats n’y sont pas exploitables.
Le plan déformable est découpé en 5 groupes, Figure 4.21, quatre groupes représentent les
lèvres des 2 fissures, (‘l1g’ lèvre gauche 1ère fissure, ‘l1d’ lèvre droite 1ère fissure, etc.) et le
cinquième groupe, ‘Plan’, représente le reste des éléments. Ces groupes sont introduits pour
définir les contacts potentiels.
On a deux types de contacts dans le modèle : le premier, est un contact inter-lèvres avec
un coefficient de frottement, f i . Le deuxième, est entre le disque rigide et le groupe ‘Plan’
avec un coefficient de frottement constant, f c = 0,3 . Quand le cercle rigide roule sur le plan,
il n’entre pas en contact avec les lèvres des fissures (grâce aux chanfreins).
On a conçu un maillage de base où il y a quatre fissures potentielles, Figure 4.22. De cette
manière, en joignant les nœuds dédoublés d’une fissure, on la désactive. La première étant
toujours active on en désactive deux autres pour obtenir l’inter-distance voulue (0,5mm, 2mm
ou 3,5mm). Il y a trois avantages à cette méthode :
-
on n’a pas de changement de maillage pour les différents cas de calculs,
on a le même repère de temps de calculs pour tous les cas,
enfin, on assure un maillage uniforme et continu le long du contact pour éviter
toute discontinuité de résultats,
___________________________________________________________________________
142
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
Figure 4. 21: Les groupes des éléments dans le plan déformable.
Ce maillage contient 29953 éléments et 27753 nœuds (au maximum).
Le disque rigide, est placé de façon à ce que le centre du contact existe à 2mm avant la
première fissure, en début d’essai.
3.5mm
2mm
2mm
2mm
0.5mm
Figure 4. 22: Maillage global testé
Il reste à tester la qualité du maillage, c’est à dire la pertinence des éléments choisis, de la
géométrie et la finesse (par rapport aux résultats).
___________________________________________________________________________
143
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
La figure 4.23 présente les contraintes de traction, de compression et de cisaillement en
surface dans le contact entre les deux fissures, pour le cas i350_l625_t075_f000, en position
‘mené’, pour le modèle de frottement ‘stick-slip’, pas 500, comme exemple pour tester ce
maillage. On constate les 2 points suivants :
-
on distingue les zones d’adhérence et glissement dans le contact (théorie de
carter), dans la zone de glissement on a trouvé que σ xy = 0,3σ yy .
les courbes sont légèrement bruitées (mais dans certains cas, elles le sont beaucoup
plus), dans la partie d’adhérence.
contact
adhérence
Contraintes [MPa]
glissement
σxx
σxy
σyy
Distance [mm]
Figure 4. 23: Distribution des contraintes pour le cas i350_l625_t075_f000, ‘mené’, ‘stick-slip’
4.7.1 Effet de ‘y’ observation
Les éléments finis utilisés sont de type 3 (bibliothèque de MSC.MARC), ce sont des
éléments quadrilatères à quatre nœuds, avec intégration complète sur quatre points de Gauss.
Les résultats d’un nœud en surface sont des extrapolations moyennées des points de Gauss de
deux éléments (figure4. 24), tandis qu’en dessous les extrapolations se font avec quatre
éléments, ce qui leur donne plus de robustesse.
___________________________________________________________________________
144
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
y
0
-e
Nœud
Point de Gauss
-2e
Figure 4. 24: Les nœuds et les points de Gauss pour l’élément de type 3.
Il est par conséquent évident qu’en présence de bruitage numérique, les résultats seront
plus lisses sur les nœuds en y = −e . Toutefois, les oscillations observées en stick-slip
demeurent en profondeur, même si elles sont un peu atténuées. Par contre le niveau moyen de
σ xx change de manière significative, ce qui nous conduit à rester en surface.
Cette décision est confortée par le fait que dans le contact on a égalité quasi-parfaite entre
les contraintes calculées, et les conditions aux limites imposées par le contact.
4.7.2 Effet de type d’éléments.
Pour étudier l’effet de l’élément choisi sur les résultats, on a testé quatre types
d’éléments : 3, 114, 26 et 53.
3 : quadrilatère à quatre nœuds (linéaire) et à intégration complète. (le plus simple)
114 : quadrilatère à quatre nœuds (linéaire) et à intégration réduite. (le plus rapide)
26 : quadrilatère à huit nœuds (quadratique) et à intégration complète. (complet)
53 : quadrilatère à huit nœuds (quadratique) et à intégration réduite. (compromis)
La Figure 4.25 présente les contraintes de traction, de compression et de cisaillement en
surface dans le contact entre les deux fissures, pour le cas défini précédemment, pour les
différents types d’éléments.
On a constaté deux avantages pour les éléments à intégration réduite, Figure 4.26, sur les
éléments à intégration complète et pour les éléments linéaires sur les éléments quadratiques.
Les résultats sont moins bruités, prennent beaucoup moins de temps en calcul et génèrent des
fichiers résultats plus petits, Figure 4.27.
Après cette étude comparative, il apparaît évident d’utiliser les éléments linéaires à
intégration réduite (élément 114) dans nos calculs.
___________________________________________________________________________
145
0
contrainte [MPa]
σxx
σxy
σyy
3,5
distance[mm]
-100
-100
contrainte [MPa]
20
20
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
σxx
σxy
σyy
0
élément 26
0
contrainte [MPa]
σxx
σxy
σyy
3,5
distance[mm]
élément 114
-100
-100
contrainte [MPa]
20
20
élément 3
3,5
distance[mm]
σxx
σxy
σyy
0
distance[mm]
élément 53
Figure 4. 25: Influence du type d’éléments sur les contraintes.
Nœud
Point de Gauss
Figure 4. 26: Les nœuds et les points de Gauss pour l’élément de type 114.
___________________________________________________________________________
146
3,5
12
60000
10
50000
8
40000
temps [sec]
taille [Go]
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
6
4
2
30000
20000
10000
0
0
élément 3
élément 114
élément 26
élément 53
élément 3
élément 114
élément 26
élément 53
Figure 4. 27: Taille des fichiers et temps de calcul pour les différents types d’éléments
4.7.3 Effet de la taille des éléments.
Pour quantifier l’effet de la taille des éléments sur le calcul, on a choisi de faire une courte
étude comparative composée de trois maillages différents, Figure 4.28, avec l’élément 114.
Les maillages choisis sont :
fin
moyen
grossier
Figure 4. 28: Maillages utilisés pour étudier l’influence des tailles d’éléments sur le calcul
-
fin, la taille des éléments les plus petits est e = 4 µm (32 éléments dans la fissure la
plus courte)
moyen, la taille des éléments les plus petits est 2e (16 éléments dans la fissure la
plus courte)
___________________________________________________________________________
147
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
-
grossier, la taille des éléments les plus petits est 4e (8 éléments dans la fissure la
plus courte)
contrainte [MPa]
σxx
σxy
σyy
0
3,5
distance[mm]
σxx
σxy
σyy
0
distance[mm]
3,5
moyenne réduit
-100
contrainte [MPa]
20
fin réduit
-100
-100
contrainte [MPa]
20
20
La Figure 4.29 présente les contraintes σxx σyy et σxy en surface dans le contact entre les
deux fissures, pour les mêmes conditions aux limites et pour les différentes tailles d’éléments.
L’écart mesuré est moins de 5%.
σxx
σxy
σyy
0
distance[mm]
3,5
grossier réduit
Figure 4. 29: Influence de la taille d’éléments sur les contraintes
Les avantages évidents qui ressortent pour le maillage grossier sont les temps de calculs
très courts et la taille des fichiers résultats, Figure 4.30.
___________________________________________________________________________
148
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
temps [sec]
taille [Go]
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
Figure 4. 30: Taille de fichier et temps de calcul pour les différentes tailles de maillages.
distance[mm]
fin réduit
3,5
0
distance[mm]
grossier réduit
3,5
0
distance[mm]
moyenne réduit
3,5
-5
σxx [MPa]
15
0
-5
-5
σxx [MPa]
σxx [MPa]
15
15
La figure 4.31 présente la contrainte σxx à la surface de contact pour le pas 157, la
première fissure est juste au bord du contact. On observe un pic à coté de la fissure, l’écart dû
à ce pic est de 28%. On pense que ce pic est dû à la différence de la modélisation du haut de la
fissure entre les différents cas.
Figure 4. 31: σxx à la surface du contact pour le cas i350_l625_t075_f000, pas = 157
___________________________________________________________________________
149
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
4.7.4 Effet (influence) de la modélisation du haut de la fissure.
fin
grossier raffiné_2
grossier
fin droit
grossier raffiné_1
arrondi raffiné
Figure 4. 32: Les maillages de haut de fissure testés
___________________________________________________________________________
150
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
Pour étudier l’effet de la géométrie et de la finesse du maillage de chanfrein, on a crée, en
plus des deux maillages fin et grossier, quatre autres maillages, Figure 4.32.
- grossier raffiné_2 : la géométrie du maillage fin, avec des éléments grossiers
raffinés en haut de fissure.
- grossier raffiné_1 : la géométrie du maillage grossier avec des éléments grossiers
raffinés en haut de fissure.
- fin droit : la géométrie du maillage grossier avec un maillage fin
- arrondi raffiné.
La figure 4.33 présente la contrainte de traction pour les différentes modélisations de haut de
fissure. On constate que le couple géométrie grossier et raffinement de maillage au coin de
fissure, diminue le pic de contrainte.
15
σxx MPa
10
5
0
fin
grossier
droit
coin_1
coin_2
arrondie
-5
-10
0
1
2
distance mm
3
4
Figure 4. 33: σxx pour les différentes modélisations de haut de fissure
Pour avoir une idée à propos de la taille du chanfrein, on a mesuré le profil des lèvres
d’une fissure en utilisant un TALYROND TR365. Le rayon de la pointe du stylet est de 5
micromètres et on n’a pas détecté de chanfrein. Pour éviter des pics de contraintes, on a donc
conservé un chanfrein, mais de petite taille.
A la fin de cette étude comparative on adopte un maillage grossier avec un chanfrein petit,
0,5µm, à coin raffiné, figure 4.34, les éléments sont quadrilatères linéaires à intégration
réduite, type 114. On a 10085 éléments et 10489 nœuds pour ce maillage.
___________________________________________________________________________
151
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
Figure 4. 34:Maillage final adopté
Une dernière remarque avant de terminer ce paragraphe : on a vu dans l’étude
bibliographique que la transition du contact statique au roulement permanent nécessite une
distance de 2a. On a trouvé que la position de la 1ère fissure du contact, qui est de 2mm, n’est
pas suffisante pour atteindre cette transition. On a donc éloigné la position de la 1ère fissure du
contact de 4,5mm à la place de 2mm, on a augmenté la distance de roulement, 10mm à la
place de 7,5mm, et on a augmenté le nombre de pas du calcul, 1200 à la place de 1000.
Le modèle final est donné sur la figure 4.35.
y
x
40 mm
0
début de
2 mm 2,5 mm
monitoring
t=t0, 0 pas
10mm
fin de
monitoring
t=t1, 1200 pas
200 mm
Figure 4. 35: Présentation du modèle final
___________________________________________________________________________
152
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
4.8 Conclusion
Nous venons d’exposer les outils et la démarche, en détail, de notre modélisation
numérique, pour comprendre et expliquer les phénomènes de distance inter-fissures et la
fatigue rapide de surface ‘menant’, que nous avons observés dans les travaux expérimentaux.
En partant de l’idée que l’existence d’une fissure perturbe le champs de contraintes de
contact à la surface du disque, pour ensuite influencer l’apparition d’autres fissures, on a
décidé d’étudier les champs de contraintes entre deux fissures.
Pour pouvoir étudier l’effet de plusieurs facteurs à la fois, optimiser l’organisation des
essais et obtenir le maximum de renseignements avec le minimum d’essais et la meilleure
précision possible, on utilise un plan d’expériences.
Après une présentation rapide et démonstrative des plans d’expériences en général, on
définit quatre facteurs importants et leurs niveaux pour le problème étudié :
- la distance entre les deux fissures,
- la profondeur d’une fissure,
- le coefficient de frottement inter-lèvres,
- la force de freinage
et deux valeurs d’intérêts
- le max σ xx y =0 et sa position par rapport à la fissure,
(
-
(σ xx )moy
)
et ∆σ xx
Pour les calculs de contact on a adopté le logiciel MSC.MARC, qui est reconnu comme
un outil puissant de calculs non linéaires en général et de calculs de contacts en particulier.
On a présenté les points clés pour étudier un problème de contact avec le logiciel Marc, en
explicitant les lois de frottement utilisées dans Marc.
Le dernier point dans cette démarche de modélisation numérique est le modèle lui-même
et le maillage. On a modélisé le contact galet métallique/galet polymère par un contact
équivalent disque rigide/plaque déformable. Un maillage, globalement grossier, mais raffiné
autour des fissures est présenté. Après avoir étudié l’effet de différents types de maillages et
différentes tailles d’éléments, on a adopté un maillage avec un petit chanfrein de 0,5µm et très
raffiné en haut de fissure pour éviter le pic de contrainte au bord d’une fissure.
Nous pensons avoir atteint nos objectifs : notre modèle est capable de décrire les
situations complexes de contact avec frottement entre un disque rigide et un plan fissuré.
Nous présenterons dans la première partie de chapitre V, des résultats types mettant en
évidence l’effet d’une fissure sur les champs de contraintes ainsi que l’effet de l’usage de
deux lois de frottement différentes.
___________________________________________________________________________
153
Chapitre IV : Simulation Numérique
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
154
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
Chapitre V : ANALYSE ET SYNTHESE
5.1 Introduction
L’objectif principal de notre étude est l’analyse de phénomène de RCF (fissures,
écaillages, piqûres, etc.) se produisant à l’interface du contact de deux corps roulants. L’étude
expérimentale, développée et exploitée dans le deuxième et le troisième chapitre, nous éclaire
sur l’initiation et l’évolution des fissures en surface et en profondeur, dans des disques
éprouvettes fabriqués en époxy. On a constaté davantage de fissures en ‘Menant’ par rapport à
la position ‘Mené’ et un pas quasi régulier entre les fissures. Ce pas régulier dépend de
surcroît de la force de traction.
Nous avons présenté dans le chapitre précédent les outils (plan d’expérience et logiciel de
calculs) de modélisation numérique et le modèle adopté. Rappelons que notre outil de calcul
utilise au choix deux lois de frottement (stick-slip et arctangente) et que notre modélisation
permet d’étudier les champs de contraintes pour une plaque fissurée, dans les deux positions
de roulement ‘Menant’ et ‘Mené’.
Nous allons dans un premier temps présenter les champs de contraintes pour une plaque
non fissurée pour les deux lois de frottement, puis pour une plaque avec une fissure pour
constater les changements dus à sa présence. Nous exposerons ensuite les principaux résultats
numériques dans le cadre des quatre plans d’expériences. Nous terminerons avec une étude
comparative qualitative des résultats expérimentaux et numériques.
charge
normale
y
rotation
x
0
début de
2 mm 2,5 mm
monitoring
t=t0, 0 pas
10mm
cas ‘Menant’
force de freinage
fin de
monitoring
t=t1, 1200 pas
cas ‘Mené’
Figure 5. 1: Schéma de rappel du modèle adopté
___________________________________________________________________________
155
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
5.2 Résultats numériques. Exemples typiques de champs
de contraintes
On va donner des exemples typiques de champs de contraintes pour une plaque non
fissurée, pour constater les changements dus à la présence d’une fissure. On rappelle ici que
dans la partie expérimentale, on a relevé que toutes les fissures sont initiées en surface, c’est
pourquoi cette étude sera restreinte aux contraintes surfaciques.
5.2.1 Modèle sans fissures
La figure 5.2, montre les champs typiques des contraintes (Sxx et Sxy) pour le cas
sansfissure_t075. Les cas présentés sont :
stick-slip et stick-slip et
arctangente arctangente
‘Menant’
‘Mené’
5.2.a
5.2.b
modèle de frottement
position du galet
réf.
On observe trois points importants :
60
60
Sxx arctang
Sxy arctang
Sxx stick slip
Sxy stick slip
40
40
20
Contraintes MPa
Contraintes MPa
20
0
-20
-40
0
-20
-40
-60
-60
-80
Sxx arctang
Sxy arctang
Sxx stick slip
Sxy stick slip
-80
-100
-100
0
a)
2
4
Distance mm
Menant
6
8
0
b)
2
4
Distance mm
6
8
Mené
Figure 5. 2: Répartitions Sxx et Sxy pour les cas stick-slip, arctangente en Menant et Mené.
Pour la loi de frottement arctangente, les répartitions de contraintes σxy ne
permettent pas de distinguer une zone d’adhérence. Il y a glissement dans tout le
contact.
Le déplacement de l’aire de contact se fait de la gauche vers la droite. Les
contraintes Sxx > 0 sont derrière le contact pour le cas menant, et devant pour le cas
mené.
___________________________________________________________________________
156
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
Pour le modèle arctangente la part de glissement est plus importante. Par
conséquent, si l’on se réfère au schéma, l’avancée du contact sera plus grande dans
le cas menant (par rapport au modèle stick-slip) et plus petite dans le cas mené. On
retrouve bien ce phénomène sur la figure 5.2.
Outre cette vitesse relative différente, et les intensités des pics de contraintes, la
physionomie générale des courbes est la même.
La figure 5.3 donne les champs de contraintes Sxx et Sxy pour les deux cas ‘Menant’ et
‘Mené’ cas stick-slip avec la correspondance cinématique et la forme des fissures.
Sens de déplacement
de l’aire de contact
Fissures
Sens de déplacement
de l’aire de contact
Aire de contact
Aire de contact
Fissures
Direction de la force tangentielle
Direction de la force tangentielle
50
50
Contraintes MPa
Contraintes MPa
25
0
-25
Sxx stick slip
Sxy stick slip
-50
0
-50
Sxx stick slip
Sxy stick slip
-75
-100
-100
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
Distance mm
Distance mm
Menant
Mené
Figure 5. 3: Comparaison de Sxx et Sxy avec la cinématique de contact correspondante.
5.2.2 Modèle avec fissures
La figure 5.4 montre les répartitions de contraintes Sxx et Sxy avec et sans fissures pour
les deux modèles de frottement. La différence la plus évidente, liée à la forme, concerne le pic
dans la répartition de contrainte. On constate une baisse significative pour la valeur de Sxx>0
et un changement d’allure de répartition de contrainte en dehors du contact. A l’intérieure du
contact, si on enlève le pic dû à la discontinuité de surface, le changement de la répartition de
contrainte est insignifiant.
La figure 5.6 présente les répartitions des contraintes Sxx et Sxy pour les cas :
menant_stick_i350_l625_t075_f050 et sans fissure_t075, en 4 positions remarquables, Figure
5.5 .
___________________________________________________________________________
157
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
Sxx
Sxx_ss
Sxy
Sxy_ss
Sxx
40
40
20
20
1
2
3
4
5
6
7
-40
-60
Sxy_ss
0
1
2
3
4
5
6
7
6
7
-20
-40
-60
-80
-80
-100
-100
-120
-120
distance mm
distance mm
menant_stick-slip
Sxx
Sxx_ss
Sxy
menant_arctangente
Sxy_ss
Sxx
40
40
20
20
Sxx_ss
Sxy
Sxy_ss
0
0
1
2
3
4
5
6
-20
-40
-60
7
contrainte MPa
0
contrainte MPa
Sxy
0
0
-20
contrainte MPa
contrainte MPa
0
Sxx_ss
0
2
3
4
5
-40
-60
-80
-80
-100
-100
-120
1
-20
-120
distance mm
distance mm
mené_stick-slip
mené_arctangente
Figure 5. 4: Effet d’existence d’une fissure sur les répartitions des contraintes Sxx et Sxy.
La longueur de la zone étudiée est égale à 7,5mm. On commence 2mm avant la 1ère fissure
et on termine 2mm derrière la 2ème fissure.
3,5mm
a)
3,5mm
b)
3,5mm
3,5mm
c)
a) le contact juste avant la 1ère fissure,
b) le contact juste avant la 2ème
fissure,
c) le contact juste derrière la 1ère
fissure,
d) le contact juste derrière la 2ème
fissure.
d)
Figure 5. 5
Les figures5.6-a) et 5.6-b) montrent que les répartitions de contraintes derrière la 1ère
fissure et derrière la 2ème fissure sont semblables c’est-à-dire que l’existence de la deuxième
fissure n’a pas d’influence sur la première. On peut observer la même chose pour les cas c) et
d). Cette observation est conforme à la supposition faite dans le § 4.2.4.3.
___________________________________________________________________________
158
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
60
60
Sxx fissure
Sxx
Sxy fissure
Sxy
40
40
20
Contraintes MPa
20
Contraintes MPa
Sxx fissure
Sxx
Sxy fissure
Sxy
0
-20
-40
-60
0
-20
-40
-60
-80
-80
-100
-100
0
2
4
Distance mm
6
8
0
a) Devant 1ère fissure
4
Distance mm
6
8
6
8
b) Devant 2ème fissure
60
60
Sxx fissure
Sxx
Sxy fissure
Sxy
40
40
20
Contraintes MPa
20
Contraintes MPa
2
0
-20
-40
-60
0
-20
-40
-60
-80
Sxx fissure
Sxx
Sxy fissure
Sxy
-80
-100
-100
0
2
4
Distance mm
6
c) Derrière 1 ère fissure
8
0
2
4
Distance mm
d) Derrière 2ème fissure
Figure 5. 6: Sxx et Sxy pour le cas i350_l625_t075_f050_menant_stick_slip
5.3 Résultats des plans d’expériences
Dans ce paragraphe on présente les résultats des plans d’expériences numériques. On
rappel qu’il y a 4 plans d’expériences résultant de la combinaison de :
deux positions pour le galet éprouvette ‘Menant’ et ‘Mené’,
deux lois de frottement, ‘stick-slip’ et ‘arctangente’.
Dans chaque plan d’expérience il y a 81 essais qui sont les résultats de 4 facteurs :
o ‘inter-distance’ entre fissures,
___________________________________________________________________________
159
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
o ‘profondeur’ de fissure,
o force de ‘traction’,
o ‘coefficient de frottement’ inter lèvres.
et ce, sur 3 niveaux :
niveau bas
niveau moyen
niveau haut
On a extrait les résultats entre les deux fissures pour les pas de temps correspondant au
passage du disque, dès l’entrée en contact avec la 1ère fissure jusqu’à la fin de contact avec la
2ème fissure, figure 5.7.
fin
début
zone d’étude
Figure 5. 7: Zone d’étude
5.3.1 Grandeurs d’intérêt
Le but des modèles numériques est de comprendre le phénomène de ‘distance régulière
entre fissures’, et de comprendre pourquoi il existe une différence entre l’initiation des
fissures sur le galet ‘Menant’ et le galet ‘Mené’ à sec. L’idée est de comprendre comment
l’existence d’une fissure peut perturber le champ de contraintes : y a-t-il une diminution de la
valeur des contraintes autour d’une fissure ? et/ou la probabilité d’apparition d’une autre
fissure est-elle modifiée ?
Ces questions nous conduisent aux critères d’initiation de fissure, comme celui de ‘Dang
Van’ [VM02] par exemple. Toutefois ces critères sont destinés aux matériaux métalliques en
fatigue multiaxiale. Il y a deux raisons pour ne pas adopter l’un de ces critères :
o d’une part ce sont des critères trop complexes par rapport au modèle numérique (2D)
simple utilisé dans cette étude,
o d’autre part le matériau testé est élastique fragile.
On va donc utiliser des critères plus simples, applicables aux matériaux fragiles, comme le
maximum de contraintes de traction.
Pour une exploitation plus aisée des plans d’expériences, on isole des grandeurs scalaires
synthétisant les résultats obtenus. Nous avons utilisé 5 grandeurs d’intérêts :
la valeur maximale de la contrainte σxx,
la position où cette valeur est atteinte,
l’amplitude de variation de σxx,
___________________________________________________________________________
160
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
-
la valeur moyenne de σxx.
La procédure pour extraire ces grandeurs des résultats détaillés est :
-
Le maximum de la contrainte σxx et sa position. Le choix de ces deux paramètres
est logique puisqu’en dehors du contact, σxx est une contrainte principale (en
traction). Le maximum de σxx est calculé en deux étapes.
o Dans un 1er temps on garde σxx max pour chaque nœud de la zone étudiée. Ce
maximum est sur l’enveloppe de σxx. Ensuite, figure 5.8, on lisse cette courbe
pour éliminer les artefacts numériques (hautes fréquences).
o Ensuite, on moyenne les valeurs au-dessus de 90% (la partie au-dessus de la
ligne rouge dans la Figure 5.8) de la valeur maximale, pour éviter tout pic
numérique, cette valeur moyenne est désignée comme ‘le maximum de
contrainte σxx’.
La position de σxx_max choisie est illustrée sur la figure 5.8. On a fait une coupe à
90% de la valeur maximum du premier tri (sur le temps) de σxx, on prend le milieu
des deux extrêmes de cette coupe, qui donnent deux distances a et b. La position
retenue est la distance la plus proche à l’une des deux fissures.
Sxx_max
milieu
a
90%
b
d = min(a,b)
Figure 5. 8: σxx_max et la distance
-
L’Amplitude et le Niveau de σxx. Notre étude est une étude en fatigue : la
sollicitation d’un point à la surface du galet n’est pas sinusoïdale dans le temps mais
c’est un pic répété à chaque cycle, figure5.9. Nous avons étudié l’effet des deux
paramètres de fatigue, l’amplitude et le niveau de σxx, figure 5.10.
___________________________________________________________________________
161
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
Sxx
ωr
Figure 5. 9: Sollicitation σxx d’un point
o L’amplitude est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale
dans le temps pour un nœud donné. Le calcul se fait sur des valeurs lissées
pour éviter tout artéfact numérique.
o Le niveau est la valeur moyenne. De la même façon que l’on a moyenné les
valeurs dans le temps pour avoir une courbe moyenne dans l’espace, on lisse
cette courbe puis on la moyenne pour avoir la valeur ‘niveau’.
40
20
Sxx MPa
0
Amplitude
-20
Niveau
-40
-60
-80
-100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
distance mm
Figure 5. 10: Amplitude et niveau de σxx
Pour simplifier, on va donner à ces grandeurs les notations suivantes :
-
La valeur maximale de contrainte σxx : Sxx_max,
la position de σxx maximale : Sxx_dis,
l’amplitude de σxx : Sxx_amp,
le niveau de σxx : Sxx_niv.
Taux de glissement. Ce paramètre est choisi, pour quantifier le glissement et étudier
lequel des deux modèles de frottement est le plus proche de l’expérimentation.
___________________________________________________________________________
162
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
Pour calculer le taux de glissement on a choisi deux nœuds, juste après la 1ère
fissure, figure5.11 et juste avant la 2ème. On détermine le déplacement de ces nœuds
pendant la partie « rotation » du calcul. On a enlevé le déplacement pendant les deux
autres parties : « chargement normal » et « chargement tangentiel », pour ne
quantifier que le glissement dû au roulement. Le déplacement d’un point sur le
disque rigide étant de 10 mm, le taux de glissement est :
dep (mm) − 10
taux(%) = 100 ×
10
(5.1)
Figure 5. 11: Nœud choisi pour calculer le taux de glissement.
5.3.2 Qualité des modèles issus des plans d’expériences
Comme on a adopté un plan d’expériences complet de 4 facteurs à 3 niveaux, le modèle
de l’expérimentateur est quadratique et a la forme suivante :
4
y = a 0 + ∑ ai xi +
i =1
4
∑ aij xi x j + ∑ aii xi2 + e
1≤ i < j ≤ 4
(5.2)
i =1
On utilise le logiciel MODDE pour faire les différents calculs statistiques. Il y a deux
méthodes pour faire la régression dans MODDE : la régression ‘PLS’ (Partial Least Squares)
est utilisée quand il manque des données et la régression ‘MLR’ (Multiple Linear
Regression). La méthode retenue est MLR, régression des moindres carrées sur plusieurs
facteurs.
Après avoir calculé les coefficients du modèle de régression, il faut vérifier la validité de
ce modèle.
Une première méthode pour contrôler la pertinence du modèle est le ‘Normal Probability
plot’ du résidu des réponses ou bien N-plot. Le résidu ‘e’ est la différence entre la valeur de
modèle ‘ ŷ ’ et la valeur d’essai ‘y’ : e = y − yˆ .
Cette technique graphique, pour vérifier si les résidus ont une distribution normale ou non,
est un bon outil pour détecter les points ‘hors modèle’. Un exemple est donné pour le cas
‘Menant_Stick-slip_Sxx_max : distance’ sur la figure5.12-a).
___________________________________________________________________________
163
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
a)
avant d’avoir supprimé les points hors modèle
b)
après avoir supprimé les points hors modèle
Figure 5. 12: N-plot pour le cas ‘Menant_Stick-slip_Sxx_Max’
L’axe vertical de ce graphe donne la probabilité normale de la distribution des résidus des
réponses. L’axe horizontal présente les valeurs des résidus moyennés par l’écarte type. Tous
les points qui sont en dehors des deux lignes rouges, 4 fois l’écart type des résidus, sont
considérés hors modèle. On peut supprimer ces points pour avoir un modèle plus stable. Dans
cette étude on a enlevé systématiquement 8 points de données (à peu près 10% du modèle
initial), figure5.12-b).
Après avoir supprimé les points ‘hors modèle’, un deuxième outil de diagnostique, très
important, est basé sur deux paramètres R² et Q².
Le paramètre R² ,‘coefficient de détermination’, peut être interprété comme une mesure de
la ‘qualité du modèle’ ou bien à quel point le modèle de régression peut s’adapter aux
données brutes. R² peut varier entre 0 et 1, où 1 indique un modèle parfait (tous les points
résultats sont situés sur le modèle). Par conséquent, plus la valeur de R² s’écarte de 1 et plus
les points sont dispersés. A partir de R 2 = 0,75 , on considère que le modèle est fidèle aux
données brutes.
___________________________________________________________________________
164
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
L'inconvénient principal de R² est qu'il peut être rendu arbitrairement près de 1, en
incluant plus de termes dans le modèle, par exemple. Par conséquent, R² seul n'est pas
suffisant pour estimer la validité d'un modèle.
Une indication complémentaire de la validité d'un modèle de régression est donnée par le
paramètre Q². Ce paramètre qui quantifie ‘la qualité de la prévision’, estime la puissance
prédictive du modèle. C’est un indicateur indispensable à la prévision de nouvelles
expériences. Comme R², Q² a une limite supérieure à 1, mais n’a pas de limite inférieure.
Pour qu'un modèle ‘passe’ cet examen de diagnostic, R² et Q² doivent être proches de 1, et de
préférence non séparés de plus de 0.2. Une différence plus grande constitue un avertissement
d'un modèle probablement inadéquat. D’une façon générale, un Q² > 0.5 doit être considéré
comme acceptable, et un Q² > 0.9 comme excellent, mais ces limites sont dépendantes de
l'application.
On va maintenant présenter les valeurs de R² et Q² pour tous les plans d’expériences dans
le tableau5.1.
Menant
stick-slip
arctangente
Mené
stick-slip
arctangente
Sxx max
Sxx dis
Sxx amp
Sxx niv
Sxx max
Sxx dis
Sxx amp
Sxx niv
Sxx max
Sxx dis
Sxx amp
Sxx niv
Sxx max
Sxx dis
Sxx amp
Sxx niv
R²
0,95
0,93
0,99
0,97
0,95
0,97
0,99
0,97
0,96
0,98
1,00
0,96
0,97
0,94
0,99
0,93
Q²
0,94
0,90
0,99
0,95
0,94
0,96
0,99
0,96
0,95
0,97
1,00
0,95
0,96
0,92
0,99
0,91
Qualité du
modèle
T.B.
B.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Tableau 5. 1: Qualité du modèle de plans d’expériences
Ce tableau montre la très bonne qualité des modèles car les valeurs de R² et Q² sont
au-dessus de 0,9.
5.3.3 Effets des facteurs sur les valeurs d’intérêts.
Il est important d’étudier l’effet des facteurs sur les grandeurs d’intérêt. Il faut d’abord
savoir quels facteurs ont les plus grandes influences et ensuite comment les grandeurs
réagissent avec ces facteurs. On présente les effets des facteurs à l’aide d’un diagramme à
barres, figure5.13. Une barre représente l’effet d’un facteur quand les autres restent constants
(à leur valeur moyenne). Ce diagramme donne les effets en ordre décroissant de leur
importance en valeur absolue.
___________________________________________________________________________
165
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
Sur chaque barre est superposé un intervalle de confiance à 95%, qui représente
l’incertitude de chaque facteur. La taille de cet intervalle de confiance dépend de trois points :
(i)
la qualité du plan d’expérience,
(ii)
la qualité de la régression,
(iii) le nombre de degrés de liberté.
Quand l’intervalle de confiance est plus grand que la barre d’effet d’un facteur, cela
signifie que ce dernier n’a globalement aucun effet sur la grandeur d’intérêt.
5.3.3.1
Le maximum de contrainte Sxx et sa position
La figure 5.13-a) présente les effets de tous les termes des facteurs (linéaires, croisés et
quadratiques), pour le cas menant_stick-slip_Sxx_max. Dans cette étude on limitera la
présentation aux 6 premiers termes de facteurs les plus influents, figure 5.13-b).
a)
b)
Figure 5. 13: Diagramme d’effets pour le cas menant_stick-slip_Sxx_max
La figure5.14-a) montre que les facteurs dominants sur Sxx_max sont :
o la ‘traction’ au premier degré (terme linéaire),
o l’‘inter-distance’ entre fissures au deuxième degré
La figure5.14-b) montre que les facteurs dominants sur Sxx_dis sont :
o ‘inter-distance’ entre fissures au premier degré,
o ‘longueur’ de fissure au deuxième degré.
La figure5.15 illustre, pour le cas Menant_Stick-slip :
l’effet des facteurs ‘inter-distance’ et ‘longueur’ sur Sxx_dis
l’effet des facteurs ‘inter-distance’ et ‘traction’ sur Sxx_max.
-
la figure5.15-a) montre que Sxx_dis est proportionnelle à l’‘inter-distance’, avec un
facteur de 0,4. ce qui donne, statistiquement, une forte possibilité d’avoir une fissure
à cette endroit là.
-
la figure 5.15-b) montre que Sxx_dis diminue avec l’augmentation de ‘longueur’ de
fissure.
___________________________________________________________________________
166
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
menant stick-slip
mené stick-slip
menant arctangente
mené arctangente
a) Sxx_max
b) Sxx_dis
Figure 5. 14:Diagrammes des effets des facteurs pour Sxx_max et Sxx_dis
-
Le graphe5.15-c) montre que Sxx_max augmente avec l’augmentation de ‘inter
distance’ et qu’il existe une valeur à partir de laquelle Sxx est égale la valeur
maximale de Sxx pour un plan non fissuré. On peut déduire qu’au-delà de cette
inter-distance la deuxième fissure n’a plus d’influence sur Sxx_max. Ce point
renforce notre choix des niveaux d’inter-distance dans les plans d’expériences.
-
le graphe5.15-d) montre que Sxx_max augmente avec l’augmentation de ‘traction’.
On trouve les mêmes tendances, pour les autres cas, Mené_Stick-slip, Menant_Arctang et
Mené_Arctang.
___________________________________________________________________________
167
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
mm
Sxx_dis
Sxx_dis
mm
0,4
µm
µm
a)
b)
MPa
Sxx_max
Sxx_max
MPa
µm
c)
d)
Figure 5. 15: Effets de ‘in’ et ‘lo’ sur Sxx_dis et de ‘in’ et ‘tr’ Sxx_max pour le cas Menant_Stick-slip
min
moy
max
50
Sxx max [MPa]
40
30
20
10
m
en
e_
ar
ct
an
ge
nt
e
m
en
e_
st
ic
ksl
ip
en
an
t_
ar
ct
an
ge
nt
e
m
m
en
an
t_
st
ic
ksl
ip
0
Figure 5. 16: Descriptif statistique de Sxx_max
La figure5.16 est un descriptif statistique pour Sxx_max. Ces résultats soulignent le
constat important qui est que globalement les valeurs de Sxx max sont plus élevées pour
les cas ‘menant’ que pour les cas ‘mené’.
___________________________________________________________________________
168
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
5.3.3.2
L’amplitude et le niveau de Sxx
menant stick-slip
mené stick-slip
menant arctangente
mené arctangente
a) Sxx_amp
b) Sxx_niv
Figure 5. 17 : Diagrammes d’effets pour Sxx_amp et Sxx_niv
La figure5.17 montre les diagrammes d’effets de Sxx_amp et Sxx_niv. On constate que
la ‘traction’ et ‘l’inter-distance’ sont les facteurs dominants de Sxx_amp et Sxx_niv.
Les figure 5.18-a) et b) présentent respectivement l’effet de l’inter distance sur Sxx_amp
et Sxx_niv, pour le cas Menant_Stick-slip. On constate le même effet d’asymptote que l’inter
distance sur Sxx_max.
La figure 5.18-c) montre que Sxx_amp augmente avec la traction. D’après les figures
5.15-d) et 5.18-c), les niveaux de Sxx_max et Sxx_amp augmentent avec l’augmentation de la
force de traction. D’autre part, expérimentalement on a constaté que le nombre de fissures
diminue avec l’augmentation de la force de traction et que la largeur et la profondeur
augmentent avec l’augmentation de la force de traction. Il nous semble qu’il y a une bonne
corrélation entre ces deux constats.
On observe les mêmes tendances pour les autres cas Mené_Stick-slip, Menant_Arctang et
Mené_Arctang.
___________________________________________________________________________
169
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
MPa
Sxx_niv
Sxx_amp
MPa
µm
µm
a)
b)
Sxx_amp
MPa
c)
Figure 5. 18: Effets de ‘inter-distance’ sur Sxx_niv et Sxx_max et de ‘inter-distance’ sur Sxx_amp
pour le cas Menant_Stick-slip
5.3.3.3
Taux de glissement
Les modèles pour les cas du taux de glissement donnent des paramètres R²&Q² à 1, c’est-à
dire que les modèles sont quasi-parfaits. La traction est le seul facteur qui a de l’influence sur
le taux de glissement. Un descriptif statistique des cas étudiés est présenté sur la figure5.19.
Cette figure montre qu’il y a plus de glissement pour le modèle arctangente (ce qui est
tout à fait attendu), qu’il y a plus de glissement pour le point à coté de la 1ère fissure que pour
celui à coté de la 2ème et qu’il y a plus de glissement pour le cas menant que le cas mené.
moy
min
max
4
3
3
2
2
taux2 %
1
rc
ta
ng
en
te
m
en
e_
a
en
e_
st
ic
ksl
ip
m
-2
ng
en
te
en
an
t_
st
ic
ksl
ip
-1
m
rc
ta
ng
en
te
m
en
e_
a
en
e_
st
ic
ksl
ip
m
ng
en
te
m
en
an
t_
ar
ct
a
en
an
t_
st
ic
ksl
ip
m
-2
max
0
0
-1
moy
1
m
en
an
t_
ar
ct
a
taux1 %
min
4
Figure 5. 19: Descriptif statistique pour le glissement.
___________________________________________________________________________
170
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
5.3.3.4
Remarques sur les plans d’expériences
D’un point de vue général, on peut faire trois remarques importantes sur les plans
d’expériences.
1- choix de modèle quadratique (trois niveaux) : il y a deux raisons qui disent
que c’est un bon choix, d’une part la figure5.15-c), comme exemple, montre
que l’effet de l’inter-distance sur Sxx_max est quadratique avec une petite
barre d’incertitude, et d’autre part les figures5.14 et 5.17 montrent que les
termes quadratiques de l’inter-distance ‘in’, de traction ‘tr’ et de longueur ‘lo’
ne sont pas négligeables sur les valeurs d’intérêts.
2- choix de la loi de frottement : l’artéfact numérique constaté sur les calculs
avec la loi de frottement stick-slip nous a conduits à utiliser la loi arctangente.
A part des résultats plus propres sans pics numériques, de façon générale, nous
n’avons pas constaté de différences significative de comportement entre les
deux lois, sauf pour le cas du taux de glissement, où les résultats en stick-slip
étaient plus proches des résultats expérimentaux.
3- choix du coefficient de frottement inter-lèvres : contrairement au cas du
coefficient de frottement entre les galets, choisi d’après les essais
expérimentaux, il n’existe pas de moyen fiable pour quantifier sa valeur. Pour
cela trois valeurs ont été choisies :
fi=0, pas de frottement,
fi=1, frottement très important,
fi=0.4, valeur probable utilisée par Lamacq et Baietto pour des cas à
sec.
Dans tous les cas, notre modélisation montre que le coefficient de frottement
inter-lèvres a des effets presque négligeables sur les grandeurs d’intérêt
étudiées.
5.4 Modèle numérique / Résultats expérimentaux
5.4.1 Avantage du galet menant sur le galet mené.
On a constaté numériquement que la contrainte Sxx est plus grande dans le cas ‘menant’
que dans le cas ‘mené’. Pour essayer d’expliquer cette différence entre ‘menant’ et ‘mené’, on
a considéré avec attention le fait qu’il y a dans le contact deux zones : une zone de glissement
et une zone d’adhérence.
Carter [Car26] a montré que la zone d’adhérence se situe à l’avant du contact (là où les
points entrent en contact).
Dans la zone d’adhérence :
σ xy < f c σ yy
Dans la zone de glissement :
___________________________________________________________________________
171
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
σ xy = f c σ yy
Il en résulte que du côté de l’entrée du contact, la contrainte tangentielle augmente moins
vite que du côté de la sortie du contact, figure5. 20.
Glissement
Adhérence
d (σ xy )
dx
>
G
d (σ xy )
dx
A
Figure 5. 20: σxy dans la zone de contact
La contrainte σxx, à l’extérieur du contact mais dans un voisinage immédiat, dépend
fortement de la façon dont la charge tangentielle est répartie. Il est naturel que vers la limite
où la contrainte tangentielle augmente rapidement (en sortie du contact) on ait des valeurs de
σxx plus importantes.
Pour le galet ‘mené’, la zone où σxx est en traction se situe du côté avant du contact.
Pour le galet ‘menant’, la zone où σxx est en traction se situe du côté sortie du contact.
Il paraît donc logique, comme le montre le modèle numérique que la contrainte σxx
atteignent en traction des valeurs plus élevées pour le galet menant que pour le galet mené.
Notre conclusion est que c’est la raison essentielle pour expliquer le fait que dans nos
conditions le galet menant se fissure plus rapidement que le galet mené.
Rappelons que pour établir cette corrélation, il faut avoir respecté les points suivants :
Expérimentalement :
o Un contact sans lubrifiant.
o Un chargement transmis par le contact.
o Un taux de glissement global faible préservant une zone d’adhérence dans le
contact.
Numériquement :
o Une simulation incrémentale du roulement d’un corps sur l’autre.
o Une loi de frottement à seuil.
5.4.2 Pas régulier entre les fissures.
Expérimentalement, on a observé un pas quasi-régulier entre les fissures. Pour tenter
d’expliquer ce point on utilise la courbe de Sxx_max entre deux fissures, pour une interdistance de 3,5mm par exemple, figure 5.21-a). Deux points importants sont à préciser :
La zone de haute probabilité d’initiation d’une nouvelle fissure ou bien zone de
probable occurrence, se localise là où Sxx_max est le plus élevé durant le passage du
contact (zone hachurée en rouge).
Il existe une valeur critique, au-dessus de laquelle il y a fissuration. Dans cette étude
on prend la limite de fatigue en traction de l’époxy, égale à 28Mpa (ligne bleu).
___________________________________________________________________________
172
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
Pour avoir une troisième fissure, il faut que la valeur de Sxx dans la zone d’occurrence
soit plus élevée que la valeur critique, figures 5.21-a), b) et c). Quand une nouvelle fissure
apparaît, l’inter-distance diminue. L’analyse faite sur la valeur d’intérêt Sxx_dis a montré que
la zone d’occurrence est centrée vers le milieu de la zone entre fissures (40% - 60%), figure 5.
22-b)
Nous faisons l’hypothèse, que statistiquement, ce lieu verra plus probablement
l’apparition d’une fissure que les zones situées immédiatement au voisinage des fissures.
En conséquence, dès l’apparition d’une nouvelle fissure, la zone d’inter-fissure se divise
en deux et l’inter-distance de chacune des deux nouvelles zones inter-fissure est de l’ordre de
grandeur de la moitié de l’inter-distance initiale.
Par ailleurs, on a montré (figure5. 22a) que la valeur de Sxx_max diminue avec l’interdistance.
Ce processus dichotomique se poursuit jusqu’à ce que la valeur de Sxx_max passe en
dessous du seuil, figure5. 21-d).
Nous proposons cette analyse pour expliquer les pas quasi-constant constatés sur les
familles de fissure liées à la RCF.
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
0
1
2
3
4
a)
1
2
3
4
0
1
2
3
4
b)
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
0
c)
0
1
2
3
4
d)
Figure 5. 21: Apparition de pas quasi-régulier entre fissures
___________________________________________________________________________
173
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
mm
Sxx_dis
Sxx_max
MPa
µm
a)
b)
µm
Figure 5. 22: Sxx_max et Sxx_dis en fonction de l’inter-distance.
5.5 Conclusion
Après avoir présenté dans le chapitre précédent, les plans d’expérience, l’outil de calcul et
le modèle numérique adopté, nous présentons dans ce chapitre des résultats pour les
répartitions de contrainte à la surface d’une plaque avec et sans fissure, les résultats des plans
d’expériences et une comparaison entre résultats expérimentaux et numériques.
Les premiers résultats pour les répartitions de contraintes sans fissures nous montrent
que :
Pour la loi de frottement arctangente, les répartitions de contraintes σxy ne
permettent pas de distinguer une zone d’adhérence. Il y a glissement dans tout le
contact.
Les contraintes Sxx > 0 sont derrière le contact pour le cas menant, et devant pour
le cas mené. Les fissures apparaissent du côté où la contraintes Sxx est en traction.
La comparaison entre les répartitions des contraintes à la surface avec et sans fissures
montre que l’existence de fissure influe la contrainte Sxx en-dehors du contact de façon
significative.
Les outils de diagnostic des modèles des plans d’expériences montrent une bonne qualité
pour ces modèles. Trois remarques importantes ressortent de l’analyse des résultats des plans
d’expériences :
L’utilisation d’un modèle quadratique est très raisonnable.
L’utilisation de la loi arctangente de frottement n’a pas montré beaucoup de
différence de comportement de celle de stick-slip.
Le coefficient de frottement inter-lèvres n’a pas d’influence sur les grandeurs
d’intérêt étudiées.
Nous avons constaté que les niveaux de contraintes Sxx sont plus élevés pour la position
‘menant’ que pour la position ‘mené’. Nous avons traité le problème d’un contact roulant de
façon incrémentale, ce qui nous a aidés à expliquer que cette dissymétrie est due à la
disposition des zones d’adhérence et de glissement dans le contact. Ceci est en accord avec le
constat expérimental que les fissures apparaissent plus facilement sur la surface ‘menant’ que
la surface ‘mené’.
___________________________________________________________________________
174
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
Un autre constat important est que la contrainte Sxx atteint ses plus grandes valeurs vers
le milieu de la zone de l’inter distance de fissures, ce qui nous aide à expliquer le pas quasi
régulier trouvé expérimentalement dans la famille de fissures.
___________________________________________________________________________
175
Chapitre V : Analyse et Synthèse
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
176
Conclusion Générale
___________________________________________________________________________
Conclusion Générale
Notre travail a consisté à étudier le phénomène de la fatigue de contact de roulement (RCF).
Cette dégradation est pénalisante pour le fonctionnement et pour la fiabilité d’un certain
nombre de mécanismes qui transmettent des efforts tangentiels au travers de contacts peu
étendus dans des conditions cinématiques proches du roulement. Aussi, ce phénomène a-t-il
été étudié largement par de nombreux auteurs. Nous avons décrit les travaux qui nous ont
semblés déterminants dans le premier chapitre. Notre lecture a fait ressortir les points
suivants :
• Le phénomène se manifeste par l’apparition d’une famille de fissures débouchantes.
Ces fissures semblent s’initier en surface, même si ceci n’est pas dit explicitement par
tous les auteurs.
• Une dissymétrie de comportement existe entre les deux solides en contact. L’étude de
Murakami et Kaneta, reprise par de nombreux auteurs, explique cette dissymétrie par
le rôle joué par le lubrifiant lorsque celui-ci est présent. C’est la surface du solide
‘mené’ qui est la plus endommagée du fait du piégeage du liquide dans les fissures.
• Les modélisations numériques sont pour la plupart réalisées en 2D. Malgré les outils
de calcul par éléments finis performants, il est toujours compliqué de gérer des
contacts en 3D et peu d’informations sont disponibles sur la forme 3D des fissures
impliquées.
Ces constats ont guidé notre démarche. Nous avons entrepris une étude du phénomène luimême, découplée de toute application précise. Nous avons tenté de répondre aux questions
posées par les constats suivants :
• Les fissures de RCF sont mal décrites, dans leur forme géométrique, dans les travaux
cités en référence. Ceci nous a conduits à une approche expérimentale utilisant un
dispositif bi-disques dans lequel le disque éprouvette est réalisé dans un matériau
transparent : une résine époxyde. Ceci nous éloigne de la plupart des applications
particulièrement en ce qui concerne les phases d’initiation des fissures. Par contre,
dans la phase de développement des fissures une résine et un acier sont tous deux des
matériaux élastiques et répondent aux mêmes équilibres de la mécanique des milieux
continus, de la mécanique de la rupture et à des lois de comportement analogues.
• La conception du dispositif permet d’imposer une force tangentielle à transmettre.
Beaucoup de bancs expérimentaux contrôlent cinématiquement un taux de glissement.
___________________________________________________________________________
177
Conclusion Générale
___________________________________________________________________________
•
•
Bien que critique pour des conditions proches du dérapage, l’architecture retenue
permet de créer des conditions de roulement à taux de glissement très faibles,
déterminées par le frottement dans le contact. Ce sont des situations de glissement
partiel.
Une modélisation numérique de cette situation expérimentale se devait de respecter au
mieux les conditions de chargement. L’outil de calcul par éléments finis utilisé nous a
permis de réaliser une description incrémentale de la mise en charge du contact.
Le choix de la loi de frottement a été plus délicat à réaliser. La loi classique, à seuil, de
Coulomb semble proche des observations expérimentales. Une loi, dite ‘arctangente’,
régularisant mathématiquement la loi précédente a également été mise en œuvre pour,
éventuellement, éliminer certains artefacts numériques.
Le premier des résultats obtenus expérimentalement est que notre dispositif fait apparaître une
dégradation de l’éprouvette transparente. Elle consiste en l’apparition d’une famille de
fissures débouchantes. Ceci est proche dans la forme du phénomène de RCF tel qu’il est
ordinairement décrit.
Nous avons pu effectivement suivre avec précision le développement des fissures, dans la
matière en 3D. En reconditionnant les informations visuelles recueillies, nous avons proposé
des équations paramétriques pour décrire la forme géométrique du front de fissure.
De plus, les expérimentations menées ont permis une étude de la cinétique d’apparition et de
développement de la famille de fissure. Une variation paramétrique a été faite sur les niveaux
de chargement normaux et tangentiels. Les faits principaux sont :
• Sans lubrifiant les fissures sont quasi perpendiculaires à la surface.
• Avec lubrifiant, les fissures bifurquent en profondeur mais on ne retrouve pas les
tendances énoncées usuellement dans les travaux de RCF, à la suite de ceux de
Kaneta.
• De façon très claire, l’endommagement de RCF, à sec, s’est établi pour la position
‘menant’ de l’éprouvette. Ce résultat est également différent de ce qui ressort de
l’étude bibliographique. Nous avons utilisé la modélisation numérique pour expliquer
ceci.
• C’est une famille de fissures qui apparaît. Le pas des fissures se stabilise au cours du
développement à une valeur à peu près constante. C’est également un des points pour
lequel nous avons proposé une explication à partir des enseignements du modèle
numérique.
La modélisation numérique a été réalisée avec le logiciel MSC MARC. Nous avons choisi de
décrire l’action d’un contact roulant sur un massif fissuré de façon incrémentale. Ceci permet
d’obtenir les répartitions de pression et de cisaillement dans ce contact conformes à la loi de
frottement et à la cinématique expérimentale. Notre attention s’est portée sur la « tension de
peau » de la surface du massif (contrainte Sxx) qui nous a semblée être la quantité influente
pour la fissuration dans un matériau fragile. Les paramètres définissant le modèle sont
nombreux et aucun résultat simple et déterminant ne ressort d’un seul champ de contrainte
pour expliquer les constats expérimentaux. Aussi, avons-nous réalisé des plans d’expériences
numériques pour faire ressortir les tendances principales des champs de contraintes.
Ces analyses ont permis dans un premier temps de déterminer les paramètres influents sur la
contrainte Sxx.
Puis, ce modèle nous a montré que cette contrainte atteint des niveaux plus élevés pour la
position ‘menant’ que pour la position ‘mené’. Ceci est en plein accord avec les résultats
expérimentaux. Nous défendons donc la théorie suivante : il existe, à sec, une dissymétrie
___________________________________________________________________________
178
Conclusion Générale
___________________________________________________________________________
entre le galet ‘menant’ et le galet ‘mené’. Elle est due à la disposition des zones d’adhérence
et de glissement dans le contact. Ceci conduit à une ‘surcharge’, en ce qui concerne la RCF,
du galet ‘menant’.
La zone où la contrainte Sxx atteint ses plus grandes valeurs se situe, en tendance, plutôt vers
le milieu de la zone inter-fissure. Nous avons décrit, à partir de ce résultat, un scénario qui
permet d’expliquer que la famille de fissures montre un pas quasi-régulier.
Ces deux résultats de la confrontation expérimentation/modélisation numérique, qui nous
semblent probant, nous confortent a posteriori dans les choix que nous avons faits. Ceci
concerne notamment le modèle numérique pour lequel la méthode incrémentale, lourde en
temps de calcul, s’est avérée indispensable.
Compte- tenu des résultats prometteurs de cette étude, elle pourra être reprise et poursuivie.
De multiples perspectives sont envisageables pour la suite de ce travail :
•
•
Essayer de mieux comprendre la cinétique du phénomène et les facteurs influents, en
s’appuyant sur deux axes principaux :
o refaire un plan d’expériences complet à sec pour répondre à toutes les lacunes
trouvées,
o réaliser une modélisation 3D qui nous rapproche du cas réel et nous permet de
faire une comparaison directe avec les résultats expérimentaux.
Continuer les essais avec lubrifiant et comparer les résultats avec ceux des études
précédentes.
___________________________________________________________________________
179
Conclusion Générale
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
180
Bibliographie
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Bibliographie
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185
Bibliographie
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___________________________________________________________________________
186
ANNEXE I
___________________________________________________________________________
ANNEXE I
Mire de résolution :
La mire est composée de huit groupes de lignes, numérotés de 0 à 7 par ordre de taille
décroissant. Chaque groupe est composé de six éléments. Chaque élément est constitué de
deux ensembles de lignes, les unes horizontales et les autres verticales. Chaque ensemble est
constitué de cinq traits, 3 clairs (blanc) et 2 sombres (noirs.). Le tableau A.I.1 donne, pour
chaque élément d’un groupe, LP=paire de traits /mm (paire de traits = un trait blanc + un
noir), ce qui donne la largeur de trait (en mm) égal à 1/(2LP).
RES-1
Traits distincts sur fond opaque chromé (2.0 OD), sur substrat de verre optique 50 x 50 x 1,5 mm
Paires de lignes par millimètre
Numéro de groupe
Numéro d'élément
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1.00
2.00
4.00
8.00
16.00
32.00
64.00
128.00
2
1.12
2.24
4.49
8.98
17.96
35.92
71.84
143.70
3
1.26
2.52
5.04
10.08
20.16
40.32
80.63
161.30
4
1.41
2.83
5.66
11.31
22.63
45.25
90.51
181.00
5
1.59
3.17
6.35
12.70
25.40
50.80
101.60
203.20
6
1.78
3.56
7.13
14.25
28.51
57.02
114.00
228.10
Paire de traits/mm = LP
Largeur trait (mm) = 1/(2LP)
Espacement (mm) - 1/(2LP)
Longueur trait = 5(largeur trait)
Tableau AI.1 : Spécification de mire de résolution
Tableau d’erreur des mesures pour différents grossissements :
Pour quantifier les erreurs de mesures dues aux grossissements étalonnés, on a réutilisé la
mire et on a mesuré la taille des carrés d’un groupe avec un grossissement approprié, par
exemple pour le groupe 0 on a utilisé le grossissement 25 et ainsi de suite, ce qui explique le
vide en haut et en bas dans le tableau, et comme les tailles des éléments dans un groupe sont
proches on a choisi quelques éléments dans chaque groupe. Si on prend le grossissement 50
par exemple, on trouve une erreur inférieure à 5%.
___________________________________________________________________________
187
ANNEXE I
___________________________________________________________________________
Tableau AI.2 : Erreur des mesures pour différents grossissements
___________________________________________________________________________
188
ANNEXE II
___________________________________________________________________________
ANNEXE II
WMené
O
WMenant
yMenant
yMené, Menant
xMené, Menant
yMené
xMené
xMenant
δ
Coplanaire
Avec mésalignement
Glissement pour le cas de disques coplanaires :
− WMené RMené
Vitesse linéaire du point O sur la surface ‘mené’ 0
0
− WMenant RMenant
Vitesse linéaire du point O sur la surface ‘menant’ 0
0
___________________________________________________________________________
189
ANNEXE II
___________________________________________________________________________
Glissement entre les deux disques :
g = VMenant − VMené
WMené RMené − WMenant RMenant
= 0
0
Glissement pour le cas de disques avec mésalignement :
− WMené RMené cos δ
Vitesse linéaire du point O sur la surface ‘mené’ − WMené RMené sin δ
0
− WMenant RMenant
Vitesse linéaire de point O sur la surface ‘menant’ 0
0
Glissement entre les deux disques :
g = VMenant − VMené
WMené RMené cos δ − WMenant RMenant (longitudinal )
= WMené RMené sin δ (latéral )
0
Pour le cas de roulement pur où les deux disques ont des vitesses linéaires longitudinales
égales (glissement longitudinal nul), on un glissement latéral non nul.
___________________________________________________________________________
190
ANNEXE II
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
191
___________________________________________________________________________
Résumé :
Ce travail a consisté à étudier le phénomène de la fatigue de contact de roulement (RCF). Les
avaries qui apparaissent par RCF se caractérisent, à la surface des pièces roulantes, par des
fissures, des piqûres et des écaillages.
Les fissures de RCF sont mal décrites, dans leur forme géométrique, dans les travaux
précédents. Ceci a conduit à une approche expérimentale utilisant un dispositif bi-disques
dans lequel le disque éprouvette est réalisé dans un matériau transparent. La conception du
dispositif permet d’imposer une force tangentielle et de créer des conditions de roulement
avec glissement partiel. On résume les résultats expérimentaux par :–faire apparaître une
famille de fissures débouchantes.–suivre avec précision l’évolution des fissures, dans la
matière en 3D.–proposer des équations paramétriques pour décrire la forme géométrique du
front de fissure.–constater que l’endommagement de RCF, à sec, s’est établi pour la position
‘menant’ de l’éprouvette.–et l’existence d’un pas quasi régulier entre les fissures.
On a proposé un modèle numérique pour comprendre les deux derniers points. Le calcul a été
réalisé avec le logiciel MSC.MARC. On a réalisé quatre plans d’expériences. On a décrit
l’action d’un contact roulant sur un massif fissuré de façon incrémentale. Ceci permet
d’obtenir les répartitions de pression et de cisaillement dans ce contact conformes à la loi de
frottement et à la cinématique expérimentale. Ce modèle a montré que la contrainte de ‘peau’
σxx atteint des niveaux plus élevés pour la position ‘menant’. C’est en accord avec les
résultats expérimentaux. En s’appuyant sur la valeur de σxx max, on a expliqué le pas quasi
régulier de fissures.
Mots clés : Tribologie, Frottement, Mécanique du contact, Modélisation numérique,
Expérimentation, Plan d’expérience, Fissure, Fatigue de surface.
Abstract :
This work consisted to study the phenomenon of the rolling contact fatigue (RCF). The
damages that appear by RCF are characterized, on the rolling contact surface, by cracks, pits
and spalls.
The geometrical form of RCF cracks is badly described, in the previous works. This point led
us to an experimental approach using a twin-discs machine in which the specimen disc is
made of a transparent material. The design of the experimental device permits us to impose a
tangential force in the contact and to create conditions of rolling combined with partial slip.
We can summarize the experimental results by:–the initiation of multi surface cracks–the
evaluation, with precision, of the evolution of the cracks, on the contact surface and in the
matter (3D).–we proposed parametric equations to describe the geometrical form of crack
front.–we noted that the RCF damage, in dry conditions, is more important on the driver disc
than in the driving disc.–the existence of a quasi regular distance between the cracks.
We proposed a numerical model to understand the last two points. Calculation was carried out
with MSC.MARC software. We carried out four Design of Experiments. We have modeled
the rolling contact of a disc on a cracked plate in an incremental way. This makes it possible
to obtain the distributions of contact and shearing stresses in the contact area according to the
law of friction and the experimental kinematics. This model showed that the tensile surface
stress σxx reaches higher levels for the driver disc. This is in agreement with the experimental
results. Based on the position of σxx max, a justification of the quasi-regular distance
between cracks has been proposed.
Keywords: Tribology, Friction, Contact Mechanic, Numerical model, Experimentation,
Design of experiences, Crack, Surface fatigue.
