GRANDEURS COMPOSEES. Cette grandeur peut être le produit de deux grandeurs de même nature ou de deux grandeurs de ttnatures différentes.

THEME :
GRANDEURS COMPOSEES
Grandeurs simples :
Une longueur, une masse, une capacité, … sont des grandeurs simples.
Ces grandeurs s’expriment avec une ( et une seule) unité .
longueur : mètre ( ou centimètre, ou décimètre, ou kilomètre , … )
masse : kilogramme ( ou gramme, ou tonne , ….)
capacité : litre ( ou hectolitre, ou centilitre , … )
Grandeurs composées – Grandeur produit :
Le produit ( résultat d’une multiplication ) de deux grandeurs s’appelle une grandeur produit.
Cette grandeur peut être le produit de deux grandeurs de même nature ou de deux grandeurs de natures
différentes.
 Exemple : ( grandeurs de même nature )
L’aire est une grandeur produit. L’aire d’un rectangle est le produit de la longueur ( unité le mètre ) par la
largeur ( unité le mètre )
L’aire
A de ce rectangle est égale à :
A = 5  3 = 15
Nous ne devons pas, dans l’écriture du produit, écrire les
unités.
Mais, … en faisant une faute, nous pouvons écrire :
A = 5 m  3 m = 5  3  m  m = 15 m²
Le volume est une grandeur produit obtenu en faisant le produit de trois longueurs ( ou le produit d’une
aire et d’une longueur ). Son unité sera donc, si les longueurs sont exprimées en mètres,
m  m  m soit m3
Remarque :
Sur certaines copies d’élèves n’ayant pas appris les formules donnant les volumes ( !!! ), très souvent, le
volume d’un cylindre ( dont le rayon de base est R et la hauteur h ) apparait sous la forme
V = π R h
Cette formule fausse ne peut pas être une formule donnant un volume.
π est un nombre sans unité. Le rayon R est exprimé ( par exemple ) en mètre et la hauteur est alors
exprimée en mètre. L’expression π  R  h s’exprime donc en m  m, soit en m²
π R h
Sans unité
m
m
Cette formule n’est donc pas la formule d’un volume qui s’exprime en m 3. Cette formule peut
éventuellement représenter une aire, mais pas le volume d’un cylindre.
Rappelons que le volume d’un cylindre ( de révolution ) est V = π  R2  h
π  R2  h
m²  m , soit m2+1, c'est-
Sans unité
m²
m
à-dire m3
 Exemple : ( grandeurs de natures différentes )
Un appareil électrique consomme de l’électricité. Si en une heure, un même appareil consomme une
certaine quantité d’énergie, en deux heures, ce même appareil consommera deux fois plus. L’énergie
consommée est donc proportionnelle au temps d’utilisation.
Le watt (symbole W) est
Les appareils électriques ont également des puissances différentes
(certaines ampoules ont une puissance de 60 W, d’autres de 100 W .). Une
une unité de puissance.
ampoule de 100 W consommera deux fois plus d’énergie électrique qu’une
ampoule de 50 W. L’énergie consommée est donc
proportionnelle à la puissance de l’appareil.
Il existe une formule permettant de calculer l’énergie
consommée E pour un appareil d’une puissance égale à P et
pendant un temps t. Cette formule est :
E=P  t
Si la puissance P est exprimée en watt ( W ) et la durée en
heure (h),l’énergie E sera exprimée en Wattheure ( Wh ).
E=P  t
W (watt)
h ( heure )
W  h , soit W·h ou Wh
(watt-heure ou
wattheure)
Remarque :
Dans la vie quotidienne, le watt-heure est peu utilisé. L’unité
usitée est le kilowatt-heure (symbole kW·h ou kWh)
Remarque :
Une ampoule de 100 W de puissance consomme pendant 2 heures une énergie égale à :
E = P  t = 100  2 = 200 Wh
Une ampoule de 40 W de puissance consommera pendant 5 heures la même énergie :
E = P  t = 40  5 = 200 Wh
Exercice :
Une ampoule de 60 W fonctionne pendant 3 h 45 min par jour. Quelle est l’énergie électrique consommée
par cette ampoule pendant 30 jours ?
1
h ( 1 h = 60 min ), nous avons :
60
1
45
3  15
3
45 min = 45
h=
h
h  h  0,75h
60
60
4  15
4
Donc 3 h 45 min = 3 h + 0,75 h = 3,75 h
Sachant que 1 min =
Energie consommée pendant 3 h 45 min ( ou 3,75 h ) :
Nous pouvons laisser également le
résultat sous forme fractionnaire.
3 h 45 min  3 h  45 
3 h 45 min  3h 
Ejour = 60  3,75  225 ( Wh )
1
45
h  3h 
h
60
60
3
12
3
15
h h h h
4
4
4
4
Energie consommée pendant 30 jours :
E = Ejour  3,75 = 225  30  6 750 ( Wh )
L’énergie consommée par cette ampoule pendant 30 jours est donc de 6 750 Wh ou 6,750 kWh
Exercice :
Un téléviseur a une puissance de 80 W ( lorsqu’il est allumé ). En veille, sa puissance est de 15 W.
Le téléviseur fonctionne 4 heures par jour.
Quelle est l’énergie consommée pendant les 4 heures de fonctionnement et pendant la veille ?
Energie consommée pendant le fonctionnement ( téléviseur allumé ):
Eallumé = 80  4 = 320 ( Wh )
Energie consommée pendant la veille :
Le téléviseur est en veille pendant ( 24 – 4 ) heures , soit 20 heures
Eveille = 15  20 = 300 ( Wh )
Remarquons que la consommation pendant la veille est pratiquement égale à celle nécessaire pour son
fonctionnement. Il est donc conseillé d’éteindre son téléviseur plutôt que de le mettre en veille !
Grandeurs composées – Grandeur quotient :
Le quotient ( résultat d’une division ) de deux grandeurs s’appelle une grandeur quotient .
Exemples :
 La vitesse ( m/s ; km/h ) est le quotient de deux grandeurs, une longueur par une durée
 La masse volumique d’un corps, en kg/m3 ( kilogramme par mètre cube ), en kg/dm3 ( kilogramme par
décimètre cube ) ou en g/cm3 ( gramme par centimètre cube ) ou en t /m3 ( tonne par mètre cube )
 La vitesse de rotation d’un moteur, en tours par minute (tr/min).
 Le débit en L/min (litre par minute), ou m3/s (mètre cube par seconde)
 La densité de population en hab/km2 (nombre d'habitants par kilomètre carré)
 La consommation de carburant en L/100km.
 L’intensité du traffic est le quotient du nombre de véhicules passant ( par exemple ) à un péage par la
durée ( véhicules/h ).
 La masse surfacique est le quotient de la masse ( d’une feuille de papier par exemple ) par l’aire ( de la
feuille ) exprimée en g/m².
 Etc.
 Exemple :
La vitesse moyenne d’un mobile qui parcourt une distance d pendant une durée t est donnée par la
formule :
d
v
t
L’unité de cette grandeur quotient est :
d
v
t
km (kilomètre)
h ( heure )
Le résultat sera exprimé
km
en
, unité que l’on
h
notera km/h ( ou kmh-1 )
Si la distance est exprimée en mètres ( m ) et la durée en secondes ( s ) ,
la vitesse sera exprimée en m/s (ou ms-1 )
Si la distance est exprimée en mètres ( m ) et la durée en minutes ( min ) ,
la vitesse sera exprimée en m/min (ou mmin-1 )
Etc.
km
 km  h 1  kmh 1
h
Savoir effectuer des changements d’unités de
grandeurs quotients ou de grandeurs produits :
VITESSES :
La vitesse la plus élevée en ligne droite en Formule 1 a
été atteinte par le colombien Juan Pablo Montoya
(McLaren Mercedes) à 372,6 km/h le 25 août 2005
en essais privés à Monza.
Exprimez cette vitesse en m/s ( ou m.s -1 ou ms-1 )
 Méthode 1 : ( Règle de trois )
En 1 heure, la formule 1 parcourt 372,6 km
( Changement 1 : changement km en m )
En 1 heure, la formule 1 parcourt 372 600 m
En 3600 secondes, la formule 1 parcourt 372 600 m
 3600
( Changement 2 : changement h en s )
En 1 seconde, la formule 1 parcourt
372 600
m soit 103,5 m
3600
 3600
 Méthode 2 :
La vitesse de la formule est 372,6 km/h
372,6
v=
1
km
h
Nous désirons changer d’unité et exprimer cette vitesse en m/s. ( « des mètres divisés par des
secondes » ).
Il suffit, dans la fraction que nous avons, de changer, au numérateur, les 372,6 kilomètres en mètres
et, au dénominateur, l’heure en secondes.
Nous avons :
372,6 km = 372 600 m et
1 h = 3600 s
Donc
372 600
v=
3600
m
s
Soit, en effectuant :
v = 103,5 ( m/s )
Voir
Vitesses - Formules
et changement
d'unites
VITESSE DE ROTATION
La vitesse de rotation d’un disque dur ( pour ordinateur ) est de 7200 tours/min.
Quelle est sa vitesse en tours par seconde ?
Le tour par minute ou tr/min
(Revolution Per Minute, Rotation Per
Minute ou RPM, expressions utilisées
par les anglophones) est une unité
pour mesurer une vitesse de rotation.
 Méthode 1 :
Une vitesse de rotation de 7200 tours/min ( tr/min ) signifie que :
En 1 minute, le disque effectue 7200 tours
En 60 secondes, le disque effectue 7200 tours
 60
7200
En 1 seconde, le disque effectue
tours
60
Soit 120 tours
 60
La vitesse de rotation est donc de 120 tours par seconde ( 120 tr/s )
 Méthode 2 :
Le disque effectue 7200 tours par minute, donc
tours
7200
v=
1
min
Comme 1 min = 60 s, alors :
v=
Quelle est la vitesse en m/s, puis en km/h
tours
7200
60
= 120 ( tours/s )
s
d’un point situé sur le bord du disque ( du
plateau ) si ce dernier a une diamètre de 9
cm ?
DEBIT :
Le débit d’une source est égal à 1,8 L/s ; exprimer ce débit en m 3 /h
En appelant d le débit de cette source, nous avons :
1,8
d
1
 1,8 L = 1,8 dm3 = 0,0018 m3
 1 h = 3 600 s donc
Nous avons donc :
1s=
L
s
1
h
3600
0,0018
d
1
3600
m3
h
Donc le débit est :
0,0018
d
 0,0018  3600  6,48 m3/h
1
3600
MASSE VOLUMIQUE :
Pour un corps donné ( solide, liquide ou gazeux ), la masse volumique est la masse de ce corps par unité de
volume.
La masse volumique est une grandeur quotient correspondant au quotient d’une masse m par un volume V.
Son unité principale est donc le kilogramme par mètre cube ( kg/m 3 ou kg.m-3)
La masse volumique est souvent exprimée en g/cm 3 ou en kg/dm3 ou en t/m3
La masse volumique du fer vaut 7,84 g·cm −3. Convertir en kg·m−3.
( g·cm−3 signifie g/cm−3 et kg·m−3 signifie kg/m−3 )
La masse volumique est généralement notée par la lettre
grecque ρ ( prononciation : rho).
Elle est déterminée par le rapport :
m
ρ=
V
où m est la masse du corps occupant un volume V.
Nous , pour effectuer cette conversion, utiliser la règle de
trois ( ou un tableau de proportionnalité ). Nous pouvons
également écrire :
7,84
ρ=
1
g
cm3
Or,
7,84 g = 0,00784 kg = 7,84  10-3 kg
1 cm3 = 10-6 m3
Donc :
kg
7,84  10 3
ρ=
-6
10
m3
ρ  7,84  103  106  7,84  103  7840 kg/m3  7840 kg.m3
La masse volumique du fer est donc de 7840 kg·m−3.
Un exercice présenté par un élève qui demandait de l’aide sur un forum d’Internet.
La vitesse d’essorage d’un lave linge est 600tr/min ( le tambour effectue 600 tours par minute).
a) Exprimer cette vitesse en tr/s.
b) Un essorage dure 3min 30s. Calculer le nombre de tours effectués par le tambour.
c) Le tambour a effectué 3360 tours pendant un essorage. Calculer, en minutes et secondes, la durée de
cet essorage.
Solution :
a) Vitesse en tr/s :
La vitesse de rotation est de 600tr/min
600
v=
1
tours
min
Comme 1 min = 60 s, alors :
600
v=
60
tours
= 10 ( tours/s )
s
b) Nombre de tours effectués par le tambour en 3 min 30 s :
3 min 30 s = 3  60 s + 30 s = 180 s + 30 s = 210 s
La machine fait 10 tours par seconde.
En 210 secondes, elle effectue :
210 10
soit
c) Durée de l’essorage :
2100 tours
Durée en secondes de l’essorage :
Pour faire 10 tours, la machine à laver demande 1 seconde.
3360
Pour faire 3360 tours, la machine à laver demande
secondes, soit 336 secondes
10
Or 336 = 60  5 + 36 ( 5 paquets de 60 secondes et 36 secondes )
Donc 336 secondes correspondent à
5 min 36 s