mesure de la conductivité thermique d'un matériau composite d'argile et de biomasse

Université Ibn Zohr
Département de
Physique
Master Energétique et
Energies renouvelables
Faculté des Sciences
Agadir
Projet de Fin d’Etudes
En vue de l’obtention du diplôme :
MASTER
Thème :
Mesure de la conductivité
thermique d’un matériau composite
d’argile et de biomasse
Réalisé par :
Encadré par :
Pr. Lahcen BAMMOU
Jamal IDJAA
Pr. Ahmed AHAROUNE
Soutenu le 28 /10 /2020 devant le jury composé de :
Mr : Ahmed AHAROUNE
Professeur à la Faculté des Sciences, Agadir
Mr : Lahcen BAMMOU
Professeur à la Faculté des Sciences, Agadir
Mr : Mohamed HSSIKOU
Professeur à la Faculté des Sciences, Agadir
Laboratoire de
Thermodynamique et
Energétique
Année universitaire
2019/2020
Dédicaces
Je dédie ce travail:
A ma mère et mon père qui me sont
les plus chers au monde
A mes frères et sœurs, à ma famille
A tous mes amis et collègues
A tous mes enseignants qui m’ont éclairé sur ce
chemin
du savoir.
A tous ceux qui m’ont Aidé à finir ce
mémoire.
2
Remerciements
Il m’est offert ici, par ces quelques lignes, la possibilité de remercier les
personnes qui ont contribué à faire de ce stage un « bon stage ».
Je tiens à remercier sincèrement Mr. BAMMOU Lahcen, Professeur à
l’Université Ibn zohr, en tant qu’encadreur, qui à toujours été a mon
écoute et très disponible tout au long de la réalisation de ce mémoire.
Aussi, Je tiens également adresser mes sincères remerciements à Mr.
AHAROUN Ahmed, Professeur à l'Université Ibn Zohr et le Chef du
Département de Physique, en tant que mon encadrant au cour de ce
stage, pour son assistance et son suivi au début de ce travail.
Enfin, Je tiens à remercier spécialement mes amis de promotion du
master pour leur esprit de cohésion et de partage qui ont contribué à
rendre brillante et enrichissante cette année universitaire. Merci à tous.
3
Sommaire
Introduction générale ................................................................................................. 7
Objectif du travail...................................................................................................... 8
Chapitre 1 : Généralités et revue bibliographique
1
Introduction........................................................................................................ 9
2
Le transfert de chaleur ........................................................................................ 9
3
4
2.1
Modes de transfert de chaleur ...................................................................... 9
2.2
Équation de la chaleur ............................................................................... 10
2.3
Transferts de chaleur dans les milieux poreux............................................ 10
Les propriétés thermiques des matériaux .......................................................... 11
3.1
La conductivité thermique ......................................................................... 11
3.2
Capacité thermique .................................................................................... 11
3.3
Diffusivité thermique ................................................................................ 11
3.4
Effusivité thermique .................................................................................. 11
Présentation des composites bio-sourcés........................................................... 12
4.1
Matériaux biosourcés ................................................................................ 12
4.2
Matériaux composites................................................................................ 12
4.2.1
Le renfort ........................................................................................... 13
4.2.2
La matrice .......................................................................................... 13
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux
1
Introduction...................................................................................................... 14
2
Classification des méthodes de caractérisation thermique ................................. 14
3
2.1
Le régime .................................................................................................. 14
2.2
La géométrie ............................................................................................. 14
2.3
Le type de mesure ..................................................................................... 14
2.4
Facteurs influant sur les mesures ............................................................... 15
Les méthodes en régime permanent .................................................................. 15
3.1
La méthode « Plaque chaude gardée » ....................................................... 15
3.1.1
Principe de la méthode ....................................................................... 15
3.1.2
Estimation de la conductivité thermique ............................................. 16
3.1.3
Avantages et inconvénients ................................................................ 17
3.2
La méthode « mini-plaque chaud » ............................................................ 17
3.2.1
Principe .............................................................................................. 17
4
4
3.2.2
Estimation de la conductivité thermique ............................................. 18
3.2.3
Avantages et inconvénients ................................................................ 18
Les méthodes en régime transitoire ................................................................... 18
4.1
4.1.1
Principe de la méthode ....................................................................... 18
4.1.2
Estimation de la conductivité thermique ............................................. 19
4.2
La méthode « plan chaud » ........................................................................ 21
4.2.1
Principe de la méthode ....................................................................... 21
4.2.2
Estimation des propriétés thermo-physiques ....................................... 22
4.2.3
Avantages et inconvénients ................................................................ 23
4.3
5
La méthode « Fil chaud » .......................................................................... 18
La méthode du « ruban chaud » ................................................................. 24
4.3.1
Principe de la méthode ....................................................................... 24
4.3.2
Estimation des propriétés thermo-physiques ....................................... 24
4.3.3
Avantages et inconvénients ................................................................ 25
Conclusion ....................................................................................................... 25
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
1
COMSOL Multiphysics.................................................................................... 26
1.1
Introduction :............................................................................................. 26
1.2
Prise en main du logiciel ........................................................................... 26
1.3
Les potentialités et les performances de COMSOL Multiphysics ............... 27
1.4
L’interface utilisateur de COMSOL........................................................... 27
2
Modélisation de la méthode fil chaud ............................................................... 29
3
Modélisation numérique ................................................................................... 31
3.1
Définition globale...................................................................................... 32
3.1.1
Paramètres ......................................................................................... 32
3.1.2
La géométrie ...................................................................................... 32
3.1.3
Physiques utilisées ............................................................................. 33
3.1.4
Les conditions aux limites .................................................................. 34
3.1.5
Le maillage de la géométrie ................................................................ 34
3.1.6
Post-traitement des données calculées ................................................ 35
4
Résultats et discutions ...................................................................................... 36
5
Etude de sensibilité .......................................................................................... 39
5.1
Influence de la résistance de contact et la capacité thermique du fil ........... 39
5
6
5.2
Sensibilité au flux de chaleur émis par la sonde ......................................... 41
5.3
Influence de la capacité thermique du matériau ......................................... 42
5.4
Influence de la masse volumique ............................................................... 43
5.5
Sensibilité à l’humidité du matériau........................................................... 45
Conclusion ....................................................................................................... 47
Conclusion générale ................................................................................................ 48
Références ............................................................................................................... 49
Annexes .................................................................................................................. 50
6
Introduction générale
Introduction générale
Aujourd’hui, le problème énergétique dans le bâtiment suscite de plus en plus
d’intérêt. La conception, le choix des matériaux de construction, ainsi que les
systèmes énergétiques et thermiques utilisés évoluent très rapidement. Il est en effet
nécessaire de mettre en œuvre des nouvelles solutions et structures permettant un
équilibre entre l’énergie disponible et le confort de l’occupant. Dans les nouvelles
constructions, de multiples raisons, à savoir le coût et l’optimisation de l’espace,
exigent la diminution de l’épaisseur des parois; cela affecte considérablement l’inertie
thermique et la rend insuffisante pour amortir les oscillations dues à la variation des
températures extérieures[1]. Ainsi, la plupart des bâtiments, d’habitation ou
industriels, constituent des systèmes dont la consommation d’énergie est importante
si l’on désire assurer un confort thermique acceptable par leurs occupants. De ce fait,
la mise en œuvre d’un programme d’économie d’énergie dans les bâtiments devrait
être une des actions prioritaires à entreprendre.
A l’heure actuelle, on retrouve un intérêt dans l’utilisation de matériaux
d’origine naturelle tels que le bois, la paille, le chanvre, le lin, la brique de terre cuite,
la laine de mouton. Les matériaux naturels peuvent contribuer à limiter de manière
non négligeable les émissions de gaz à effet de serre grâce à leur capacité
d’emprisonnement du CO2. De plus, l’utilisation de matériaux naturels avec des
constructions innovantes permet également de réduire le coût de construction[2].
En effet, l’utilisation des matériaux composites à base de matériaux naturelles
est une bonne réponse dans le souci de préserver la santé de l’occupant, de répondre à
ses besoins de bien-être et de confort et de réduire les impacts environnementaux[3].
Les matériaux composites à base d’argile et la biomasse étaient les plus
anciens qui sont utilisés par l’humanité dans le domaine de construction, tel que les
murs, toitures, for traditionnel, …. Pour cela nous étudierons ces matériaux dans le
coté thermique pour connaitre scientifiquement l’intérêt et le secret du choix de ces
matériaux. Dans ce contexte nous nous intéressons à la mesure de la conductivité
thermique d’un matériau à base d’argile et la biomasse.
7
Objectif du travail
Objectif du travail
L’objectif de ce travail est de mesurer la conductivité thermique d’un matériau
composite bio-sourcé par les méthodes fil chaude, plaque chaude en régime
transitoire.
Pour ce faire, dans un premier temps, il a fallu faire une étude bibliographique
sur le transfert de chaleur et les méthodes de mesures suivi d’une définition des
modèles mathématiques et des paramètres à prendre en compte dans la détermination
de la conductivité thermique.
Dans un second temps, on va mesurer la conductivité thermique
expérimentalement à partir de la sonde fil chaud, ainsi nos valeurs obtenues seront
confrontées aux résultats issus de la littérature (ou de mesures par la méthode
normalisée de la plaque chaude gardée). Enfin, le logiciel COMSOL Multiphysics
sera utilisé pour étudier l’influence des paramètres tels que les constituants de la
sonde, la résistance de contact et les propriétés thermiques des matériaux.
8
Chapitre 1 : Généralités et revue bibliographique
Chapitre 1 : Généralités et revue bibliographique
1
Introduction
Les Scientifiques et Ingénieurs ont attachés une grande importance à la
détermination des propriétés thermophysiques des matériaux depuis plusieurs
centaines d’années. L’étude des propriétés thermophysiques s’est accentuée ces
dernières années avec le vaste développement des nouveaux matériaux et l’avènement
des nouvelles technologies de mesure. Ces propriétés thermophysiques sont
particulièrement la conductivité et la diffusivité thermique[4].
Ce chapitre se propose dans un premier temps de faire quelques rappels sur le
transfert de chaleur et les propriétés thermiques des matériaux. Dans un second temps
il s’agira de faire une présentation des matériaux composite bio-sources.
2
Le transfert de chaleur
2.1
Modes de transfert de chaleur
Le transfert de chaleur est la transmission de l’énergie contenue dans une
région vers une autre. Ce transfert se produit sous trois formes : la conduction sous
l’effet d’un gradient de température, la convection et le rayonnement.
La conduction désigne le transfert d’énergie par contact sans déplacement
global de matière. Ce sont des porteurs élémentaires (molécules, électrons ou
phonons) qui véhiculent l’énergie. Ce mode de transfert est très étudié car il dépend
uniquement de la structure du matériau et de ses composants. La conductivité λ est
donc une valeur caractéristique intrinsèque du matériau[5].
La convection caractérise le transfert de chaleur entre une matrice solide
immobile et un fluide qui s’écoule le long de la paroi solide, ces deux éléments étant à
des températures différentes. On distingue la convection naturelle et la convection
forcée. La convection naturelle recouvre les écoulements de fluides interstitiels,
induits par les variations de masse volumique dues aux différences de température. La
convection forcée quant à elle, recouvre les cas où le fluide a un mouvement donc une
vitesse de déplacement imposée par une cause d’origine mécanique (pompage…). La
convection mixte mêle de manière équivalente les deux modes de convection
précédemment cités[5].
Le rayonnement enfin est dû aux émissions d’ondes électromagnétiques. La
chaleur se transmet entre le corps émetteur qui joue le rôle de source et le corps
récepteur qui emmagasine l’énergie sans aucun support matériel entre les deux
9
Chapitre 1 : Généralités et revue bibliographique
matériaux. Compte tenu de la température à laquelle les tests sont réalisés T = 20°C,
le rayonnement sera négligé vis à vis des phénomènes de conduction et de
convection[5].
2.2
Équation de la chaleur
L’équation générale de la chaleur pour un point M d’un solide homogène
isotrope, repéré par ses coordonnées cartésiennes spatiales et temporelles s’écrit :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻. 𝒈𝒓𝒂𝒅
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒌 + 𝒒 = 𝝆𝑪(
𝒌𝜟𝑻 + 𝒈𝒓𝒂𝒅
𝝏𝑻
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻)
+ 𝑼𝒈𝒓𝒂𝒅
𝝏𝒕
(1-1)
Avec :
k: conductivité thermique du matériau (W/(m.K))
C : chaleur massique
q : terme source
T : champ de température dans le matériau (° K)
U : champ des vitesses du solide
Elle est obtenue en écrivant la conservation de l’énergie dans le milieu.
2.3
Transferts de chaleur dans les milieux poreux
On désigne communément par milieu poreux un solide de forme compliquée
délimitant et englobant des espaces vides interconnectés remplis avec un ou plusieurs
fluides. On distingue deux catégories de milieux poreux :

Les milieux hétérogènes poreux alvéolaires ou cellulaires considérés comme
des espaces solides pleins de trous.

Les milieux hétérogènes poreux granulaires ou pulvérulents considérés
comme des espaces vides remplis de grains solides.
La conductivité thermique et la chaleur volumique sont des propriétés
caractérisant le transfert thermique des milieux. Les mesures des propriétés
thermiques notamment de la conductivité thermique des milieux granulaires sont
souvent complexes car elles dépendent de plusieurs paramètres.

Un milieu poreux constitué d’une phase solide et d’une phase gazeuse
avec une porosité ouverte et/ou fermée.

Un ensemble de particule de forme aléatoire ou bien définie.

Existence de surface de contact entre les particules.
La conductivité thermique apparente doit prendre en compte certains paramètres
tels que la conductivité thermique de chaque phase, leur fraction volumique, la
structure de la matière solide, et les zones de contacts entre particules. Beaucoup de
méthodes de mesures de la conductivité thermique apparente ont été développées
10
Chapitre 1 : Généralités et revue bibliographique
faisant appel aux techniques de traitement de signal, mesure de flux injectés, et
l’utilisation des sondes de mesures.
3
Les propriétés thermiques des matériaux
D’un point de vue strictement thermique, quatre propriétés intrinsèques
caractérisent un matériau : la conductivité thermique, la capacité calorifique, la
diffusivité thermique et l’effusivité thermique.
Parmi ces dernières, deux seulement sont indépendantes. En conséquence, la
connaissance de deux d’entre elles suffit à la déduction des deux autres.
3.1
La conductivité thermique
La conductivité thermique traduit la puissance thermique surfacique transmise
par unité de longueur du matériau soumis à une différence de température d’un Kelvin
et s’exprime en (W m-1 °C-1). Pour un matériau homogène et isotrope, si φ est la
densité de flux thermique et T la température, la conductivité thermique est définie à
partir de la loi de fourrier par :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (T)
𝜑 = −𝑘𝑔𝑟𝑎𝑑
(1-2)
3.2
Capacité thermique
La capacité calorifique massique à pression constante Cp s’exprime en (J.
−1
−1
kg . k ) et peut être assimilée à la quantité d’énergie à apporter à un kilogramme de
matière pour élever sa température d’un Kelvin. Cette propriété reflète donc l’aptitude
du matériau à emmagasiner de l’énergie et à restituer la chaleur. En métrologie
thermique, la capacité calorifique apparaît souvent sous la forme d’une capacité
volumique qui s’exprime donc par le produit ρc en (J.m−3. k−1) en faisant intervenir
la masse volumique ρ du matériau[6].
3.3
Diffusivité thermique
La diffusivité thermique notée 𝑎 exprimée en ( m2.s−1 ) est la grandeur qui
régit le comportement thermique d’un matériau en régime transitoire Elle caractérise
l’aptitude du matériau à transmettre la chaleur plus ou moins rapidement. Cette
grandeur est reliée à la conductivité thermique et à la capacité calorifique volumique
par la relation[6] :
𝑎=
𝑘
𝜌𝑐
3.4
(1-3)
Effusivité thermique
L’effusivité thermique 𝐸 en (J. k−1.m2. s−(1/2) ) traduit la capacité d’un matériau
à échanger de la chaleur avec son environnement. Plus précisément, cette propriété
rend compte de la sensibilité de la température de surface d’un matériau à une
variation du flux de chaleur reçu par cette surface. Ainsi, un matériau très conducteur
11
Chapitre 1 : Généralités et revue bibliographique
et très capacitif aura une température de surface peu sensible à des variations de flux
et sera donc très effusif. Cette propriété est reliée à la conductivité thermique et à la
capacité calorifique volumique par la relation[6] :
𝐸 = √𝑘𝜌𝑐
4
(1-4)
Présentation des composites bio-sourcés
4.1
Matériaux biosourcés
Un matériau est dit bio-sourcé si un ou plusieurs de ses composants sont issus de
la biomasse végétale (bois, paille, chanvre...) ou animale (peau, graisse...). Les
matériaux biosourcés peuvent être utilisés dans le domaine du bâtiment de
nombreuses façons, en tant que :



matériau porteur ou de remplissage (bois, béton de chanvre...)
isolant (laine de bois, paille...)
enduit (chanvre-chaux...)
Nous nous intéressons ici au cas d’un matériau composite d’argile et de
biomasse.
4.2
Matériaux composites
Les matériaux composites sont définis comme la constitution de l’assemblage
de deux matériaux de nature différente, se complétant et permettant d’aboutir à un
matériau dont l’ensemble des performances est supérieur à celui des composants pris
séparément.
Un des constituants peut remplir la fonction de matrice tandis que l’autre,
immerge dans le premier et joue le rôle de renfort[7].
Figure 1- 1 : le composite
12
Chapitre 1 : Généralités et revue bibliographique
La matrice permet de lier les fibres du renfort fibreux entre elles, ainsi que de
répartir les efforts (résistance à la compression ou à la flexion). La matrice est
facilement déformable et assure la protection chimique des fibres. Généralement, c’est
une matrice d’origine organique comme les polymères ou d’origine minérale. Les
renforts contribuent à améliorer la résistance mécanique et la rigidité des matériaux
composites et se présentent sous forme filamentaire, allant de la particule de forme
allongée à la fibre continue qui donne au matériau un effet de résistance orientée[8].
4.2.1 Le renfort
Les renforts contribuent à améliorer la résistance mécanique et la rigidité des
matériaux composites et se présentent le plus souvent sous forme fibreuse ou
filamentaire. Les différents types de renforts sont cités dans l’organigramme cidessous.
Figure 1- 2 : : Les différents types de renfort de base[9]
4.2.2 La matrice
La matrice permet de lier les renforts entre eux, ainsi que la répartition des
efforts (résistance à la compression ou à la flexion). La matrice est facilement
déformable et maintient le renfort dans sa position initiale. L’organigramme cidessous illustre les différentes familles de matrices.
Figure 1- 3 : Différentes familles de matrices [9]
13
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux
1
Introduction
Ce chapitre se propose dans un premier temps de classifié les méthodes de
caractérisation thermique des matériaux. Dans un second temps, il s’agira de décrire
les différents procédés principaux, les techniques et les modèles rencontrés dans la
littérature de caractérisation thermique de ces matériaux.
2
Classification des méthodes de caractérisation thermique
2.1
Le régime
Il caractérise la phase temporelle pendant laquelle la réponse du système est
exploitée, il peut être de différentes formes.


Transitoire : les mesures sont généralement relevées aux temps courts ou
sur tout l’intervalle de mesure en partant de l’instant initial.
Permanent : seules les mesures à l’état final du système sont considérées.
La méthode de la plaque chaude gardée ou celle de la mini-plaque chaude
s’exercent en régime permanent, la conductivité thermique est la seule
propriété accessible par ces méthodes.
2.2
La géométrie
La géométrie est gouvernée par la forme spatiale de la perturbation et
conditionne le nombre de dimensions du problème, les trois géométries
principalement utilisées sont les suivantes.



La géométrie plane (mur) : permet de simplifier le problème en le ramenant à
un cas de transfert unidirectionnel. L’hypothèse du mur semi-infini est
souvent exploitée pour simplifier les conditions aux limites.
La géométrie cylindrique : suggère un transfert longitudinal et radial, elle
permet par exemple de prendre en compte les pertes latérales.
La géométrie sphérique : les transferts thermiques suivent toutes les
directions de l’espace.
Il est à noter qu’une même méthode peut s’inscrire dans le cadre de deux géométries
différentes, cela dépend des hypothèses formulées dans le modèle et des dimensions
des échantillons considérés et non pas de la forme réelle de l’échantillon.
2.3 Le type de mesure
Un autre critère possible de classification est le type de mesure, il est question d’une
part de savoir quelles sont les grandeurs mesurées :
14
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux




une température,
un flux,
une température et un flux,
deux ou plusieurs températures,
2.4
Facteurs influant sur les mesures
En caractérisation thermique, le comportement thermique d’un matériau peut être
plus ou moins influencé par des facteurs liés à l’environnement de mesure, tels que les
pertes thermiques, par la sensibilité des dispositifs et instruments de mesure ou par la
résistance de contact et autres sources d’erreurs. Ces facteurs sont souvent difficiles à
contrôler. Ce qui conduit souvent à plusieurs hypothèses simplificatrices lors d’une
modélisation par exemple. Parmi ces hypothèses, celle d’un transfert thermique en
milieu semi-infini et celle d’un transfert thermique unidirectionnel sont les plus
utilisées
Les principales sources d’erreur influant sur la mesure ou l’estimation des propriétés
thermo-physiques sont




Les erreurs de modélisation liées aux hypothèses simplificatrices lors de la
mise en équation des phénomènes de transfert thermique,
Le bruit de mesure lié aux perturbations thermiques,
L’erreur liée à l’étalonnage des capteurs de mesure et de la chaîne
d’acquisition de données,
L’incertitude sur les propriétés utilisées lors d’une modélisation.
Les paragraphes qui suivent présentent les principales méthodes de mesure des
propriétés thermiques.
3
3.1
Les méthodes en régime permanent
La méthode « Plaque chaude gardée »
3.1.1 Principe de la méthode
La méthode de la plaque chaude gardée est une méthode normalisée (ISO
8302) de mesure de la conductivité thermique seule, basée sur la relation fluxtempérature en régime permanent. La Figure (2-1) représente le principe
généralement utilisé de la méthode. [6]
15
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux
Figure 2- 1 ; Schéma de principe de la méthode de la plaque chaude gardée.
L’objectif de la méthode est de se placer dans le cas d’un transfert
unidirectionnel. La géométrie associée est donc celle du mur, les échantillons ont une
dimension, dans le plan normal au transfert thermique, très grande devant leur
épaisseur. Un élément chauffant impose un flux uniforme sur l’une des faces de
l’échantillon, tandis que l’autre face est maintenue à température constante plus
froide. Des thermopiles permettent de mesurer les flux entrant dans les deux
échantillons. Des thermocouples mesurent les températures des deux surfaces des
échantillons.
L’élément chauffant est composé de deux zones isolées, la partie centrale
appelée zone de mesure est la partie dans laquelle se trouvent les points de mesure de
température et de flux, là où le flux est uniforme. La partie extérieure est appelée zone
de garde, le flux qui y est appliqué est ajusté afin que la différence entre sa
température et celle de la zone de mesure soit nulle afin d’annuler les pertes latérales.
Un montage symétrique ou asymétrique permet de s’assurer que la somme des
flux dissipés de part et d’autre de la plaque chaude dans la zone de mesure soit égale
au flux total dissipé par effet joule dans l’élément chauffant.
3.1.2 Estimation de la conductivité thermique
Les écarts de température entre la face chauffée de l’échantillon et celle en
contact avec la plaque froide sont mesurés à l’aide de thermocouples fins. En régime
permanent, en considérant un transfert thermique unidirectionnel, comme expliqué
ci-dessus, l’expression du flux net Φ qui traverse la face d’aire S de l’échantillon
d’épaisseur e s’exprime comme suit [6] :
𝛷 = −𝑘𝑆
𝑑𝑇
𝑑𝑥
(2-1)
D’où l’expression de la conductivité thermique :
𝑘=
𝑒𝛷1
𝑒𝛷2
=
𝑆𝛥𝑇1 𝑆𝛥𝑇2
16
(2-2)
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux
3.1.3 Avantages et inconvénients
La méthode de la plaque chaude gardée est adaptée pour la mesure de la
conductivité thermique des matériaux denses et peu poreux pour lesquels la résistance
de contact est faible. Cette méthode permanente donne des valeurs de k avec une
bonne précision. Ce qui justifie son application très répandue dans l’industrie. En
revanche, les dispositifs de mesure de la plaque chaude gardée requièrent des
échantillons de grande taille (300 mm x 300 mm au moins) et des durées de mesure
relativement longues par rapport aux autres méthodes[10].
3.2
La méthode « mini-plaque chaud »
3.2.1 Principe
La méthode de la mini-plaque chaude est une méthode en régime permanent
permettant d’identifier la résistance thermique d’un système comprise entre deux
plans isothermes. Le schéma de principe d’une utilisation possible de cette méthode
est présenté sur la Figure 2-2 [11].
Figure 2- 2 : Schéma de principe de la méthode de la mini-plaque chaude.
La température 𝑇1 est imposée dans une plaque métallique isotherme à une
température inférieure à la température ambiante 𝑇∞ par un élément Peltier ou un bain
thermostaté. Une tension 𝑈 est appliquée à l’élément chauffant de façon à rendre la
température 𝑇2 des blocs métalliques supérieurs égale à la température de l’air
ambiant 𝑇∞ afin de minimiser l’échange thermique par convection sur leur surface
latérale et ainsi conserver un transfert uniforme suivant l’axe 𝑧. L’élément Peltier
supérieur sert à vérifier que le flux 𝛷1 orienté vers le haut est nul [10].
17
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux
3.2.2 Estimation de la conductivité thermique
Le but de la méthode est d’évaluer la résistance thermique entre les surfaces
isothermes de température 𝑇1 et 𝑇2 , la conductivité thermique se déduit alors si les
résistances de contact sont négligeables devant celle de l’échantillon par :
𝑘=
𝑒𝛷2
𝑆(𝑇2 − 𝑇1 )
(2-3)
La valeur du flux 𝛷2 traversant l’échantillon est déduit de la mesure du flux
𝛷1 et du flux net dissipé par l’élément chauffant de résistance électrique 𝑅Ω par effet
joule :
𝑈2
𝛷2 =
− 𝛷1
𝑅Ω
(2-4)
Dans les cas où les résistances de contact ne sont plus négligeables, celles-ci
peuvent être estimées soit par étalonnage sans échantillon ou avec un échantillon de
propriétés connues soit par un minimum de deux mesures sur des échantillons
d’épaisseurs différentes. Une relation linéaire entre la résistance thermique totale
mesurée et l’épaisseur de l’échantillon permet en effet de déduire la résistance de
contact en identifiant l’ordonnée à l’origine de cette relation.
Pour des échantillons de petite surface par rapport à leur épaisseur, la prise en
compte des pertes latérales sur l’échantillon doit être envisagée. Une modélisation
quadripolaire avec approximation de l’ailette et une modélisation bidirectionnelle
faisant l’hypothèse d’une symétrie cylindrique sont des solutions qui ont été réalisées
[11]
3.2.3 Avantages et inconvénients
Cette méthode s’adapte très bien aux isolants et aux faibles conducteurs, et
permet également d’évaluer les résistances thermiques de matériaux hétérogènes
multicouches. Cependant, dans le cadre d’une caractérisation des matériaux superisolants, la prise en compte des pertes latérales devient nécessaire et mène à une
corrélation entre la conductivité thermique et le coefficient de pertes en régime
permanent. Pour s’en affranchir, des mesures sur de multiples épaisseurs sont
requises, les matériaux à l’étude ne sont bien souvent disponibles qu’en une seule
épaisseur.
4
4.1
Les méthodes en régime transitoire
La méthode « Fil chaud »
4.1.1 Principe de la méthode
La méthode du fil chaud (Figure 2-3) est une des méthodes les plus utilisée
18
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux
dans le régime transitoire, normalisée (ISO-8894-1 et 2). Son principe est basé sur la
distribution radiale du flux de chaleur autour d’un fil chauffant. A cet effet, le fil
chauffant est coincé entre deux échantillons identiques. Les dimensions de
l’échantillon sont choisies de sorte que l’hypothèse d’un milieu semi-infini soit
satisfaite et reste valable pendant un temps suffisamment long[10].
Figure 2- 3 : Schéma de principe de la méthode du fil chaud
La mesure de la conductivité thermique par cette méthode est simple. Un flux
de chaleur radial et constant 𝛷 est créé par le fil chauffant. L’évolution de la
température du fil 𝑇(𝑡) est relevée soit par un thermocouple soudé au milieu du fil,
soit estimée à partir de la résistance électrique du fil [10].
4.1.2 Estimation de la conductivité thermique
En se plaçant dans le cas d’un transfert radial dans un milieu semi-infini, le
formalisme des quadripôles dans le domaine de Laplace permet aux temps longs
d’approcher la température 𝑇(𝑡) du fil de longueur L par :
𝑇 (𝑡 ) =
𝛷
ln(𝑡) + 𝐶𝑠𝑡
4𝜋𝐿𝑘
(2-5)
Ainsi, l’identification de la pente 𝛼 de la partie linéaire du thermogramme 𝑇(ln(𝑡)) à
l’équation (2-5) conduit à une estimation de la conductivité thermique 𝑘 telle que :
𝒌=
𝝋
𝟒𝝅𝜶𝑳
(2-6)
Dans la pratique, l’estimation ne peut se faire que si la partie linéaire du
thermogramme est significative. En effet, celle-ci peut être réduite d’une part par la
zone aux temps courts pendant laquelle l’inertie du fil et les résistances de contact
jouent un rôle (jusqu’à 𝑡𝑖 ) et d’autre part par l’hypothèse du milieu semi-infini qui
n’est plus valable aux temps très longs (après 𝑡𝑓 ), comme indiqué sur la Figure 2-4
19
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux
Figure 2- 4 : Illustration des limites de la zone linéaire de la température du fil chaud [6].
Avantages et inconvénients
Cette méthode a plusieurs avantages notamment sa simplicité de mise en
œuvre et des mesures effectuées de façon rapide. En effet, étant donné que c’est une
méthode transitoire, la durée de mesure est par conséquent très courte. Cette méthode
est aussi applicable aux liquides et aux solides.
Sa principale contrainte est la nécessité de respecter l’hypothèse d’un milieu
semi-infini. A cet effet, l’échantillon doit présenter une taille relativement importante
par rapport à la longueur du fil chauffant. Dans le cas des isolants bio-sourcés,
l’hétérogénéité du matériau requiert une taille de l’échantillon bien plus importante, et
par conséquent, une longueur du fil chauffant plus importante aussi. Il en résulte une
inertie thermique non négligeable du fil chauffant avec pour conséquence un
raccourcissement de la zone linéaire de la courbe (Figure 2-4) et donc de la zone dans
laquelle la conductivité thermique est estimée (Equation (2-6)).
20
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux
4.2
La méthode « plan chaud »
4.2.1 Principe de la méthode
La méthode du plan chaud est la transposition du fil chaud à une géométrie plane, la
Figure 2-5 en illustre le principe[6].
Figure 2- 5 : Schéma de principe de la méthode du plan chaud[6].
L’élément chauffant est une résistance électrique plane alimentée en tension sous
la forme d’un échelon. La puissance dissipée par effet joule Φ est connue et le flux
est considéré uniforme sur toute sa surface S. Comme pour la méthode du fil chaud,
les échantillons sont d’épaisseur suffisante pour être considérés comme des milieux
semi-infinis pendant un temps 𝑡𝑓 qui peut être approché de façon analytique. En
général, les deux échantillons sont de même épaisseur mais une asymétrie est tout à
fait possible[6].
La mesure de la température 𝑇1 (𝑡) est effectuée au centre du plan chaud, à sa
surface ou à l’intérieur si cela est possible. La géométrie plane suggère que le transfert
est unidirectionnel dans la zone centrale du plan et donc que les effets des pertes
latérales sont négligés pendant un temps 𝑡1𝐷 qui peut également être évalué par
modélisation avec prise en compte des pertes.
De nombreuses déclinaisons de cette méthode sont possibles selon plusieurs
configurations citées ci-après.


Le système peut être monocouche comme présenté ici ou bicouche dans
lequel les surfaces non chauffées sont soumises à une condition de
conservation du flux avec une couche isolante ou conductrice (en fonction
de celle-ci, la capacité calorifique volumique ou la conductivité thermique
peut être estimée aux temps longs).
Le système peut être symétrique ou asymétrique avec dans le cas extrême
d’un côté un seul échantillon, dont la face non chauffée est soit isolée
(bicouche) soit en condition semi-infinie (monocouche) et de l’autre un
matériau isolant dont les propriétés sont connues.
21
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux

Une, deux ou plusieurs mesures de températures peuvent être réalisées.
4.2.2 Estimation des propriétés thermo-physiques
 Estimation de l’effusivité thermique
La température 𝑇1 (𝑡) peut s’écrire en transfert unidirectionnel pour un milieu
semi-infini aux temps longs :
𝑇1 (𝑡) =
𝛷
2𝑆𝐸 √𝜋
√𝑡 + 𝐶𝑠𝑡
(2-7)
L’identification de la partie linéaire de la température 𝑇1 (√𝑡) (Figure 2-6) à l’équation
(2-7) permet la déduction de l’effusivité thermique 𝐸 de l’échantillon en fonction de
𝛷
la densité de flux pénétrant dans celui-ci ( 2𝑆 pour un montage symétrique) et de la
pente 𝛼 :
𝛷
(2-8)
𝐸=
2𝑆𝛼 √𝜋
Figure 2- 6 : Illustration des limites de la zone linéaire de la température du plan chaud semiinfini [6]
 Estimation de la capacité calorifique volumique
Dans le cas où la surface non chauffée de l’échantillon est soumise à une
condition de conservation du flux avec une couche isolante, la capacité calorifique
peut être atteinte de manière asymptotique. En effet, une fois la limite de l’épaisseur
de l’échantillon atteinte par la chaleur en face arrière et si les effets des pertes
latérales restent négligeables pendant un temps suffisamment long, il est possible de
démontrer que l’évolution de la température aux temps longs est linéaire en fonction
du temps et que la valeur de la capacité calorifique volumique 𝜌𝐶 est égale à la pente
de la droite (Figure 2-7)[6].
22
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux
Figure 2- 7 : Illustration de la zone linéaire de la température du plan chaud isolé.
 Estimation de la conductivité thermique
Par ailleurs, si la surface non chauffée de l’échantillon est soumise à une condition
de type température imposée (par un bloc conducteur isotherme), l’exploitation de la
courbe de température du plan chaud en régime permanent peut servir à estimer la
conductivité thermique (Figure 2-8). La conductivité thermique s’exprime par un
modèle de résistance thermique[6] :
𝑘=
𝛷𝑒
𝑆𝛥𝑇
(2-9)
Figure 2- 8 : Illustration du régime permanent du plan chaud à température imposée[6].
4.2.3 Avantages et inconvénients
La précision, la rapidité et la simplicité de mise en œuvre sont les principaux
avantages de la méthode du plan chaud. Le transfert unidirectionnel simplifie
également le calcul de la conductivité thermique. Dans un milieu humide, la méthode
n’est pas sensible à l’humidité et donne des valeurs précises. Le principal
23
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux
inconvénient de cette méthode est lié au fait que l’on néglige les pertes latérales. Ce
qui diminue la précision de l’estimation des propriétés des isolants légers.
4.3
La méthode du « ruban chaud »
4.3.1 Principe de la méthode
La méthode du ruban chaud est une méthode intermédiaire entre la méthode du
plan chaud et la méthode du fil chaud [10] l’élément chauffant est un ruban plan dont
la largeur est plus petite que celle des échantillons à caractériser contrairement au
plan chaud où l’élément chauffant et l’échantillon ont la même surface. Ce ruban est
coincé entre deux échantillons à caractériser (Figure 2-9).
L’évolution de la température du ruban est enregistrée soit par un
thermocouple fixé au centre du ruban soit par la mesure de la résistance électrique.
Cette dernière donne la température moyenne du ruban. Aux temps courts où le
transfert est unidirectionnel, les mesures permettent d’estimer l’effusivité thermique et
aux temps longs ou le transfert est bidirectionnel, elles permettent d’estimer la
diffusivité thermique.
Figure 2- 9 : Schéma de principe du dispositif du ruban chaud
Les contraintes de cette méthode sont le choix des dimensions du ruban et des
échantillons et l’isotropie de ceux-ci. La longueur de l’échantillon peut influencer les
pertes thermiques latérales. L’objectif de cette méthode est de créer une condition
intermédiaire entre la méthode du fil chaud et celle du plan chaud pour bénéficier des
avantages de ces deux méthodes.
4.3.2 Estimation des propriétés thermo-physiques
En première approximation, l’effusivité thermique peut être obtenue par
inversion du modèle asymptotique simplifié de l’équation (2-7) (plan chaud) à
condition que le temps le permette. La conductivité thermique quant à elle peut être
approchée par le modèle asymptotique simplifié de l’équation (2-5) (fil chaud) à
condition que le temps le permette. Dans la pratique, l’obtention précise de ces deux
paramètres de cette façon est difficile, aussi il est bien souvent envisagé d’utiliser la
valeur la plus fiable (l’effusivité) comme paramètre connu et d’identifier l’autre (la
24
Chapitre 2 : Méthodes de caractérisation thermique des matériaux
conductivité) par minimisation des écarts quadratiques entre la température mesurée
et la même température calculée via un modèle complet[10].
4.3.3 Avantages et inconvénients
Cette méthode possède les avantages des méthodes du fil chaud et du plan chaud. De
plus, elle est très utilisée dans la caractérisation des matériaux anisotropes. En effet,
l’orientation du ruban chaud est modifiable pour effectuer les mesures suivant
différentes directions [12]. Il est par exemple possible d’estimer la conductivité
thermique suivant la direction normale au ruban en pivotant celui-ci de 90°, c’est-àdire en le positionnant suivant la longueur de l’échantillon.
5
Conclusion
Les différentes méthodes présentées dans ce chapitre ont fait leurs preuves et
sont largement utilisées en caractérisation thermique. Chacune possède ses propres
avantages et ses propres limites rendant de ce fait le choix de l’une ou de l’autre
étroitement lié aux conditions posées par le matériau à caractériser.
Les méthodes en régime permanent nécessitent des tailles d’échantillon
relativement grandes pour être insensibles aux pertes latérales, qui par ailleurs seraient
complètement corrélées donc indiscernables de la conductivité thermique.
Les méthodes à sonde faisant l’hypothèse d’un milieu semi-infini comme le
plan chaud, le fil chaud, le ruban chaud ou le hot disc sont difficilement applicables.
D’une part un matériau très isolant implique une prise en compte très difficile des
transferts dans les sondes. Celles-ci sont hétérogènes et plus conductrices que
l’échantillon, impliquant une influence accrue des pertes et rendant inapplicables des
modèles simples. D’autre part, dans le cas d’un matériau très peu dense, la capacité
calorifique volumique de la sonde n’est plus négligeable devant celle du matériau,
elles risquent donc de se révéler corrélées entre elles.
25
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
1
COMSOL Multiphysics
1.1
Introduction :
La simulation numérique est devenue un élément indispensable dans les
domaines des sciences et de l’ingénierie. Elle permet de comprendre et de modéliser
le fonctionnement des systèmes réels. Aujourd’hui une large gamme d’outils
numériques est disponible. Elle repose sur la mise en œuvre des modèles théoriques
utilisant différents outils mathématiques dont la technique des éléments finis. La
simulation numérique permet d’étudier le fonctionnement et les propriétés d’un
système modélisé ainsi qu’à en prédire son évolution.
Il est très intéressant d’avoir un environnement de simulation qui inclut la
possibilité d’ajouter différents phénomènes physiques au modèle étudié. C’est dans
cette philosophie la que Comsol Multiphysics a été développé. C’est un logiciel de
calcul numérique par éléments finis modulaire permettant de modéliser une grande
variété de phénomènes physiques caractérisant un problème réel. Il sera également un
outil de conception grâce à son aptitude à gérer les géométries 3D complexes.
Différentes modules physiques existent sous Comsol, parmi lesquels on trouve
la mécanique des fluides, le transfert thermique, l’électricité, l’électromagnétisme, la
chimie, la mécanique des structures… Il est possible de combiner plusieurs
phénomènes physiques lors d’une même simulation numérique : c’est un des points
forts de ce logiciel
1.2
Prise en main du logiciel
Le processus de modélisation et de simulation numérique sous Comsol
Multiphysics implique plusieurs étapes :
 La définition globale des paramètres et des variables liées au modèle.
 La définition de sa géométrie.
 La prise en compte des différents phénomènes physiques qui peuvent exister
dans le problème considéré.
 La résolution du problème à l’aide d’un des différents solveurs.
 La visualisation des résultats.
Lors du lancement de COMSOL, l’assistant Modèle (Model Wizard) permet de
définir toutes les étapes de la modélisation brièvement évoquées ci-dessus. Ces étapes
sont les suivantes :
26
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
 Exécutez l'Assistant Modèle ce qui implique de choisir le système de







coordonnées pour le modèle, la physique pertinente au problème, et le
type d'études que l’on souhaite effectuer (stationnaire ou en fonction
du temps).
Définir les paramètres, les équations et les variables pertinentes pour le
modèle (dans le répertoire Définitions Globales).
Définir la géométrie du modèle (Geometry).
Sélectionner le ou les matériaux adéquats du modèle dans le répertoire
(Materials).
Choisir les conditions initiales et aux limites du modèle pour chaque
physique utilisée.
Choisir la taille des éléments à utiliser pour le maillage ainsi que les
différents types de maillage qui existent.
Régler les paramètres du solveur et lancer les calculs dans le répertoire
Etude (Study).
Afficher les résultats souhaités de la manière la plus significative dans
le répertoire Résultat (Result).
1.3
Les potentialités et les performances de COMSOL Multiphysics
Les potentialités de Comsol Multiphysics sont nombreuses et cela dépend du
nombre d’application qui permet de résoudre grâce à son environnement complet pour
le calcul scientifique. Il est capable de coupler et de résoudre des équations dans
différents domaines tels que la mécanique des fluides, le transfert thermique,
l’électromagnétisme, la dynamique des fluides, la chimie, et la Mécanique des
Structures. Il offre également plusieurs solveurs de très haut niveau de performance
capable de traiter des problèmes avec des temps de résolution optimaux. Ceci et
d'autres caractéristiques font de COMSOL un environnement inégalé de modélisation
pour la conception industrielle, la recherche et développement et l'enseignement.
COMSOL a été utilisé pendant ce stage pour modéliser et simuler
numériquement la méthode de fil chaude. Cette modélisation a pour but d’aller plus
loin dans la caractérisation thermique d’un matériau composite et d’étudier la
sensibilité des mesures vis-à-vis les paramètres concernant la sonde, la résistance de
contacte et les propriétés thermiques.
L’interface utilisateur de COMSOL
L’interface de COMSOL peut être divisée en quatre parties présentées sur la
figure 3-1
1.4
27
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
Figure 3- 1: Interface utilisateur de COMSOL
1ère partie: Model Builder, dans lequel est défini le problème à étudier. Le
menu Global Définitions regroupe notamment les variables et les paramètres
du problème. Dans le menu Component 1 sont définis le système de
coordonnées (Définitions), la géométrie (Geometry), les matériaux
(Materials), la ou les physique(s) appliquées au problème et le maillage
(Mesh). Le menu suivant Study 1 permet de définir les paramètres de
résolution, stationnaire ou dépendant du temps, ainsi que les options du
solveur. Finalement, le menu Results regroupe l’ensemble des options de posttraitement des données.
2ème partie: Settings, permet d’entrer les données relatives aux options
sélectionnées dans le Model Builder; par exemple, les dimensions de l’objet
créé dans Geometry. C’est aussi dans cette fenêtre que les valeurs initiales et
les conditions aux frontières de la simulation et les modèles physiques
nécessaires sont choisis
3ème partie: Graphics, l’interface d’affichage graphique qui permet de
visualiser la géométrie, le maillage ou les résultats. Au haut de cette fenêtre se
trouvent les options permettant de changer le grossissement de l’affichage,
l’orientation d’un objet tridimensionnel, cacher certains éléments, etc. Les
options permettant de sélectionner des objets, des domaines, des frontières ou
des points se retrouvent aussi au haut de cette fenêtre.
4ème partie: La fenêtre, permet de visualiser les éventuels messages d’erreurs,
la progression des simulations, la liste des opérations effectuées lors du calcul
de la solution ainsi que les résultats numériques calculés une fois la simulation
terminée.
28
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
2 Modélisation de la méthode fil chaud
Le voisinage du fil chauffant est schématisé sur la figure ci-dessous.
Figure 3- 2 : Schéma des transferts autour du fil chaud
L’équation de la chaleur s’écrit dans l’échantillon :
𝜕 2 𝑇 1 𝜕𝑇
1 𝜕𝑇
+
=
2
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝑟
𝑎 𝜕𝑡
(3-1)
𝑇(𝑟, 0) = 𝑇𝑠 (0) = 𝑇𝑖
𝑇(∞, 0) = 𝑇𝑖
Avec les conditions aux limites :
ℎ[𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇(0, 𝑡)] = −𝑘
{𝜑0 = 𝑚𝑐
𝑑𝑇𝑠
𝑑𝑡
(3 − 2)
(3 − 3)
𝜕𝑇(0,𝑡)
𝜕𝑟
+ ℎ[𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇(0, 𝑡)]
(3 − 4)
(3 − 5)
La modélisation du système à l’aide du formalisme des quadripôles permet d’écrire :
1
𝐼0 (𝑞𝑟0 )
1
1
−
𝜃
𝜃𝑠
2𝜋𝑘𝐿𝑞𝑟0 𝐼1 (𝑞𝑟0 ) 𝜌𝑐𝜋𝑟02 𝐿𝑝 1 𝑅𝑐
𝐾1 (𝑞𝑟0 ) ]
[𝜑 0 ] =
[
][
𝜃
𝑞𝑟0 𝐼0 (𝑞𝑟0 )
0 1 2𝜋𝑘𝑙𝑞𝑟0
2
𝑝
𝐾0 (𝑞𝑟0 )
𝜌𝑐𝜋𝑟0 𝐿𝑝
2𝐼1 (𝑞𝑟0 ) ]
[
𝑝
Avec 𝑞 = √
𝑎
Où :
D’où :
𝜃𝑠 Transformée de Laplace de la différence 𝑇𝑠 (t) – 𝑇0 (t=0)
𝜃 Transformée de Laplace de la différence T (t) – T0(t=0)
𝑅𝑐 Résistance de contact à l’interface résistance chauffante / échantillon
𝑐 Chaleur spécifique du fil chaud
𝜌 Masse volumique du fil chaud
𝑘 Conductivité thermique de l’échantillon
𝑎 Diffusivité thermique de l’échantillon
p Variable de Laplace
𝑟0 Rayon du fil chauffant
L Longueur du fil chauffant
𝜑0 Puissance dissipée dans la résistance chauffante
𝐼0 , 𝐼1 , 𝐾0 , 𝐾1 Fonctions de Bessel (Annexe 2 )
29
(3-6)
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
𝜃𝑠 =
Avec :
1
𝐴0 = 1 ; 𝐵0 = 2𝜋𝑘𝐿𝑞𝑟
𝜑0 𝐴0 + (𝐴0 𝑅𝑐 + 𝐵0 )⁄𝑍
𝑝 𝐶0 + (𝐶0 𝑅𝑐 + 𝐶0 )⁄𝑍
𝐼0(𝑞𝑟0 )
0 𝐼1(𝑞𝑟0
1
𝐾1 (𝑞𝑟0 )
= 2𝜋𝑘𝐿𝑞𝑟0
𝑍
𝐾0 (𝑞𝑟0 )
1
(3-7)
− 𝜌𝑐𝜋𝑟 2𝐿𝑝 ; 𝐶0 = 𝜌𝑐𝜋𝑟02 𝐿𝑝
)
0
; 𝐷0 =
𝑞𝑟0 𝐼0 (𝑞𝑟0 )
2𝐼1 (𝑞𝑟0 )
En négligeant l’effet de l’inertie de la sonde, la température du fil chaud s’écrit
dans l’espace de Laplace :
𝜃𝑠 =
𝜑0
𝐾0 (𝑞𝑟0 )
[𝑅𝑐 +
]
𝑝
2𝜋𝑘𝑙𝑞𝑟0 𝐾1 (𝑞𝑟0 )
(3-8)
Si l’on considère un fil fin (𝑟0 petit) et si l’on se place aux temps longs (p→0),
nous pouvons utiliser les développements limités des fonctions de Bessel au voisinage
de 0 :
1
𝑥
𝐾0 (𝑥 ) ≈ − ln(𝑥 ) ; 𝐾1 (𝑥) ≈ 𝑥
; 𝐼0 (𝑥) ≈ 1
; 𝐼1 (𝑥) ≈ 2
Qui conduisent à 𝐴0 = 1 ; 𝐵0 = 1 ; 𝐶0 = 𝜌𝑐𝜋𝑟02 𝐿𝑝 ; 𝐷0 = 1 ;
1
𝑍
2𝜋𝑘𝐿𝑞
= ln(𝑞𝑟
0)
On en déduit :
𝑟
ln( 0 )
𝜑0
𝑍 + 𝑅𝑐
𝜑0
𝜑0 −ln(𝑝)
𝑎
𝜃𝑠 =
≈
(𝑍 + 𝑅𝑐 ) ≈
(
− √ + 𝑅𝑐 )
𝑝 𝑚𝑠 𝑐𝑠 𝑝(𝑅𝑐 + 𝑍) + 1
𝑝
𝑝
4𝜋𝑘𝐿
4𝜋𝑘𝐿
(3-9)
L’utilisation des tables de la transformée de Laplace inverse (Annexe 1)
permet de calculer la température Ts(t) aux temps longs :
𝑟
𝜑0 ln( 0 )
𝜑0
𝛾𝜑0
√𝑎
(3-10)
𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇𝑠 (0) ≈
ln(𝑡) + 𝜑0 𝑅𝑐 −
−
4𝜋𝑘𝐿
4𝜋𝑘𝐿
4𝜋𝑘𝐿
Où : 𝛾 = 0,57721 est la constante d’Euler.
Soit finalement :
𝑟0
)
𝜑0
𝛾
𝑎
√
]
𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇𝑠 (0) ≈
ln(𝑡) + 𝜑0 [𝑅𝑐 +
−
4𝜋𝑘𝐿
4𝜋𝑘𝐿
4𝜋𝑘𝐿
ln(
(3-11)
Le tracé de la différence 𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇𝑠 (0) en fonction de ln(𝑡) est donc une droite
𝜑0
de pente 4𝜋𝑘𝐿
dont la détermination permet de calculer la conductivité thermique k.
30
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
L’inertie de la sonde et la résistance de contact n’influent pas sur la température aux
temps longs. Pour appliquer cette méthode d’estimation, il faut s’assurer que
l’hypothèse du milieu semi-infini reste valable sur l’intervalle d’estimation choisi.
Les bruits de mesure sur les valeurs des températures aux différents temps de mesure
étant constants et non corrélés, on utilise la méthode des moindres carrés linéaires
pour estimer la pente.
3
Modélisation numérique
D’un point de vue modélisation et simulation numérique, on modélisera par la
suite des cas test représentatifs du dispositif expérimental sous COMSOL (outils de
simulation multi-physique par éléments finis). On s’intéressera essentiellement à
l’évolution du champ de température d’un matériau chauffé par effet Joule (méthode
fil chaud). Cet outil numérique peuvent être utilisé pour estimer la conductivité
thermique de se matériau et l’étude de sensibilité du modèle numérique à la variation
des propriétés thermophysiques de l’échantillon.
La modélisation d’un système tel que celui étudié ici, se déroule en plusieurs
étapes. Il s’agit dʼabord de définir les « modules » de physiques que l’on utilisera.
Dans le cas présent, le module de thermique « transfert de chaleur dans les solides » a
été choisi.
Les phases suivantes de la modélisation sont communes aux autres logiciels de
modélisation physiques. Dans l’ordre chronologique, il y a :
1. Dessin de la géométrie du système.
2. Choix des différents matériaux dans la bibliothèque de propriétés.
3. Mise en place des conditions aux limites et initiales dans chaque module
avec le couplage éventuel de ceux-ci.
4. Maillage des éléments de la structure.
5. Choix du solveur et des paramètres de convergence, puis résolution du
problème.
6. Post traitement des données calculées
31
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
3.1
Définition globale
3.1.1 Paramètres
Tableau 3- 1 : Paramètres numériques utilisés dans la modélisation sous COMSOL
Nom
r
Expression
50[µm]
Valeur
5E−5 m
Description
Rayon du fil chaud
e
2.5[cm]
0.025 m
Epaisseur de l’échantillon
L
5[cm]
0.05 m
Longueur de l’échantillon
b
6[cm]
0.06 m
Largeur de l’échantillon
Q
3.03[W]
3.03 W
Le flux de chaleur
Cp_ech 878[J/(kg*K)]
878 J/(kg·K)
Capacité thermique initiale du matériau
rho_ech 2300[kg/m^3]
2300 kg/m³
Masse volumique initiale du matériau
dt
0.05[s]
0.5 s
Pas du temps de simulation
Tamb
294.15[K]
294.15 K
Température ambiant
Ti
293.15[K]
293.15 K
Température initial
Rc
2E5[(m^2*K)/W]
2E−5 K·m²/W Resistance de contacte sonde /échantillon
k_ech
1.75[W/(m*K)]
1.75 W/(m·K) Conductivité thermique de l’échantillon
k_fil
11.3[W/(m*K)]
11.3 W/(m·K) Conductivité thermique du fil
Cp_fil
450[J/(kg*K)]
450 J/(kg·K)
Capacité thermique du fil
rho_fil 2400[kg/m^3]
2400 kg/m³
Masse volumique du fil
h_conv 5[W/(m^2*K)]
5 W/(m²·K)
Coefficient d’échange de chaleur par
convection
3.1.2 La géométrie
Dans l'interface utilisateur graphique (GUI) du logiciel, il a été construit deux
parallélépipèdes 3D avec un tube cylindrique plein d’épaisseur faible entre ces deux
parallélépipèdes, qui représente l'arrangement échantillon-sonde. Le parallélépipède
avec ce tube offre certains avantages dans le processus de calcul numérique, dont l'un
des avantages est de réduire la complexité du modèle et l'autre consiste à simplifier
les régions frontalières, voir figure 3-3.
32
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
Figure 3- 3 Géométrie 3D schématisant le dispositif fil chaud modélisé sous COMSOL
3.1.3 Physiques utilisées
Une fois les aspects géométriques établis, le processus physique qui se déroule à
l'intérieur de l'échantillon peut être défini. On a considéré le module de transfert de
chaleur du logiciel Comsol pour reproduire le comportement de la température. Ce
module utilise l'équation de diffusion de la chaleur (3-12), donnée par :
𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
+ 𝜌𝐶𝑝 𝑢𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 ∇𝑇 = ∇. (𝑘∇𝑇) + 𝑄 + 𝑊𝑝
𝜕𝑡
(3-12)
Dans le cadre de la simulation, seul le terme laplacien et la contribution en
fonction du temps sont nécessaires, alors l'équation de diffusion de la chaleur (3-12)
est donc réduite à :
𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
= ∇. (𝑘∇𝑇)
𝜕𝑡
(3-13)
Choix de l’intervalle de temps pour l’estimation
Le premier problème consiste à connaître le temps t de chauffage pendant
lequel l’hypothèse du milieu semi-infini est valide. On calcule pour cela
l’évolution de la température Te(t) sur un rayon égal à l’épaisseur de l’échantillon
(r = e) à l’aide des paramètres estimés sur un temps t arbitraire. Si la température
Te(t) calculée diffère de la température initiale Te(0) de plus de 0,1°C on reprend
le calcul d’estimation des paramètres sur un temps plus court.[11]
33
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
3.1.4 Les conditions aux limites
Le champ de température dans le matériau composite est défini en résolvant
numériquement l’équation de chaleur à l’aide d’une formulation aux éléments finis
avec les conditions aux limites et les valeurs initiales suivantes.
 Pour r = 0, le flux de chaleur est représenté par une fonction rectangulaire,
figure 3-4 :
𝑄
𝑞 (𝑡 ) = { 𝑉 ,
0,
0 ≤ 𝑡 ≤ 60𝑠
(3-14)
𝑡 > 60𝑠
Figure 3- 4: la fonction rectangulaire de flux de chaleur
 Pour la limite z = ±e, Isolation thermique
 Pour les surfaces latérales, le flux de chaleur convectif avec
h = h_conv et Text= Tamb
 Pour z=0, La symétrie
3.1.5 Le maillage de la géométrie
Tableau 3- 2 : statistique et réglage de maillage
Description
Valeur
Description
Taille d'élément maximale
0.0033
Qualité minimale
éléments
des
Taille d'élément minimale
2.4E-4
Qualité moyenne
éléments
des
Facteur de courbure
0.4
Tétraèdre
124354
Résolution des régions minces 0.7
Triangle
9864
Taux de croissance maximum
1.4
des éléments
Elément d'arêtes
1134
Taille prédéfinie
Elément ponctuel
20
Plus fin
34
Valeur
0.01437
0.6557
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
Figure 3- 5: Maillage Tétraèdre libre
3.1.6 Post-traitement des données calculées
Figure 3- 6: Distribution de la température dans l’échantillon a t = 120s
35
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
Figure 3- 7 : les Surfaces isotherme a t = 120s les Surfaces isotherme
4
Résultats et discutions
La simulation du dispositif expérimental du fil chaud sous COMSOL
permettra de vérifier certaines hypothèses conditionnant la validité de ce dispositif, en
particulier le transfert radial de la température sur le dispositif et la condition d’un
milieu semi-infini que l’échantillon doit satisfaire
Figure 3- 8 : la variation de température de T(r = e, t) en fonction de temps.
36
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
Il est évident qu’à chaque instant, la température de la surface non chauffé est
assez homogène avec un gradient de température quasi-nul suivant son épaisseur,
confirmant ainsi, la perturbation thermique créée par l’élément chauffant sur l’une des
faces de l’échantillon ne se fait pas ressentir sur sa face opposée de sorte que
l’échantillon, en dépit de sa faible épaisseur, respecte l’hypothèse majeure d’un milieu
semi-infini, telle que posée au chapitre 2. La courbe de la Figure 3-8 confirme bien
que la température sur la face opposée de l’échantillon n’augmente que de 0,1°C au
terme de 60 s du transfert thermique, ce qui signifie que l’hypothèse majeure d’un
milieu semi-infini à cette instant est bien respectée.
Nous représentons dans les figures (3-9) et (3-10) les thermogrammes obtenus
par la simulation numérique de la méthode fil chaud sur notre échantillon en deux
phases :


[0, 60s] : phase de chauffage
[60, 120s] : phase de refroidissement
Figure 3- 9 : Evolution des températures 𝑻(𝒓, 𝒕) et 𝑻(𝒓 = 𝒆, 𝒕) en fonction du temps
La courbe 𝑇(𝑟, 𝑡) correspond au thermogramme du fil chaud (enregistrement
de thermocouple soudé à la surface de la sonde où le rayon égale à r), et la courbe
𝑇(𝑟 = 𝑒, 𝑡) correspond à l’évolution de la température moyenne de la surface non
chauffée de l’échantillon (surface à r=e) dans le temps. On retrace dans la figure 3-10
les évolutions des mêmes températures (T(r,t) et T(r=e,t)) en fonction du log(t).
37
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
Figure 3- 10 : Evolution des températures 𝑻(𝒓, 𝒕) et 𝑻(𝒓 = 𝒆, 𝒕) en fonction du log (temps)
Estimation de la conductivité thermique
Comme déjà précisé suivant l’équation 3-11, l’estimation de la conductivité
thermique est réalisée par l’identification de la pente 𝛼 de la partie linéaire du
thermogramme 𝑇(ln(𝑡)).
𝑟
ln( 0 )
𝜑0
𝛾
𝑎
𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇𝑠 (0) ≈
ln(𝑡) + 𝜑0 [𝑅𝑐 +
− √ ]
4𝜋𝑘𝐿
4𝜋𝑘𝐿
4𝜋𝑘𝐿
Seule la partie asymptotique de la courbe de température en chauffage est
utilisée pour déterminer la conductivité thermique. Ceci permet de minimiser l’effet
de la résistance thermique au contact de sonde sur le résultat final de mesure. Ainsi,
pour chaque essai, la pente α de l’asymptote du thermogramme est ajustée avec la
méthode des moindres carrés (Figure 3-11) et la conductivité thermique est déterminée
selon la formule
𝑘=
𝜑0
4𝜋𝛼𝐿
38
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
Figure 3- 11 : Détermination de la conductivité thermique à partir du thermogramme
Valeur de k initial (W/(m·K))
1.75
la pente 𝜶
2 ,7279
Valeur de k estimée
(W/(m·K))
1,7677
Nous remarquons d’après ces résultats que la valeur de la conductivité estimée par le
modèle numérique est en très bon accord avec la valeur initialement introduite.
5
5.1
Etude de sensibilité
Influence de la résistance de contact et la capacité thermique du fil
Nous présentons dans les figures (3-12) et (3-13) les effets de la résistance de
contact et de la capacité thermique du fil. Les thermogrammes indiqués correspondent
à la température 𝑇(𝑟, 𝑡) en fonction du log(t)
39
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
Figure 3- 12 : Influence de la résistance de contact
Dans la figure (3-12) nous traçons l’influence de la résistance de contact sur le
thermogramme. L’analyse de la figure (3-12) montre que l’absence de la résistance de
contact entraine une évolution linéaire parfaite de la température. Plus la résistance de
contact est élevée plus la partie linéaire du thermogramme devient courte avec
l’augmentation de la température atteint par le fil. (Effet d’isolation).
Figure 3- 13 : Influence de la capacité thermique du fil
40
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
Dans la figure (3-13), nous montrons l’influence de la capacité thermique du fil
(𝜌𝐶𝑝_𝑠𝑜𝑛𝑑𝑒) sur l’évolution de la température T(r, t) en fonction du log(t). Ce que
l’on peut observer à partir de ces courbes est que la capacité thermique du fil doit être
aussi faible que possible, parce qu’elle affecte fortement l’évolution précoce de
l’augmentation de la température, tout comme la résistance de contact.
La principale conclusion qui peut être tirée dans les résultats présentées dans les
figures (3-12) et (3-12) est que tout effet non idéalisé (effet de capacité thermique du
fil et de la résistance de contact) a réduit la partie linéaire du thermogramme, ce qui
peut fausser l’estimation de la valeur de la conductivité thermique lors de
l’expérience de mesure.
5.2
Sensibilité au flux de chaleur émis par la sonde
La figure ci-dessous représente l’effet du flux de chaleur émis par la sonde fil
chaud sur la température 𝑇(𝑟, 𝑡) du fil. Les thermogrammes indiqués sur la figure
correspondent à la température 𝑇(𝑟, 𝑡) en fonction du log(t) pour différentes valeurs
du flux de chaleur.
Figure 3- 14 : Influence du flux émis par la sonde
Le flux émis par la sonde a une grande influence sur la température du fil (figure 314), tel que l’augmentation du flux de chaleur augmente la température ce qui change
la pente du thermogramme. Pour illustrer l’influence du flux de chaleur sur
l’estimation de la conductivité thermique, nous traçons sur la figure 3-15 l’évolution
de la conductivité thermique estimée du matériau en fonction du flux de chaleur émis
par la sonde. D’après la figure une augmentation du flux de chaleur Q n’a aucune
influence sur la mesure de la conductivité thermique de matériau.
41
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
On remarque donc que le flux de chaleur n’est pas sensible à la mesure de la
conductivité thermique du matériau.
Figure 3- 15 : La conductivité thermique en fonction du flux de chaleur
5.3 Influence de la capacité thermique du matériau
L’influence de la capacité calorifique du matériau sur le profil de température
numérique et la conductivité thermique est montrée sur les figures 3-16 et 3-17.
Figure 3- 16 : influence de la capacité thermique du matériau
42
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
Figure 3- 17 : l’évoluions de la conductivité thermique en fonction de la capacité thermique
L’analyse de la figure 3-16 montre que l’augmentation de la capacité thermique
du matériau entraine une diminution de la température ainsi, une diminution de la
pente est donc une augmentation de la conductivité thermique. La figure 3-17 montre
que la conductivité thermique augmente avec l’augmentation de la capacité
thermique. Ce que l’on peut observer à partir de ces figures est que la capacité
thermique des matériaux isolants doit être faible plus possible pour avoir une
conductivité thermique faible car les matériaux isolants se caractérisent par une faible
conductivité.
La figure 3-17 montre aussi que l’ ecarte d’estimation de la conductivité
thermique augmente avec l’augmentation de la capacité thermique. On peut donc
noter que l’ influence de la capacité thermique sur l’estimation de la conductivité
thermique ne devient important que pour les grandes valeurs de Cp. Ainsi la methode
fil chaude est plus adapté pour les materaux de faible capacité thermique .
5.4
Influence de la masse volumique
Nous représentons dans la figure 3-18 l’influence de la masse volumique du
matériau sur les thermogrammes de la température 𝑇(𝑟, 𝑡). La figure montre que la
43
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
température diminue avec l’augmentation de la masse volumique, ainsi la diminution
de la pente des courbes 𝑇(𝑟, 𝑡) ce qui provoque une augmentation de la conductivité
thermique du matériau.
Figure 3- 18 : influence de la masse volumique
La figure 3-19 montre l’évolution de la conductivité thermique du matériau en
fonction de sa masse volumique. On constate que la conductivité thermique augmente
lorsque la masse volumique augmente, car on diminue la proportion des vides dans le
matériau.
La figure 3-19 montre aussi que l’écart d’estimation de la conductivité
thermique est quasiment faible pour les grandes valeurs de la masse volumique. Nous
déduisons donc que plus la proportion des vides dans les matériaux est faible plus
l’estimation de k est très précise. L’influence de la masse volumique sur l’estimation
de la conductivité thermique devient donc importante pour les matériaux de masse
volumique faible (matériau poreux par exemple).
44
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
Figure 3- 19 : Evolution de la conductivité thermique en fonction de la masse volumique
5.5
Sensibilité à l’humidité du matériau
Figure 3- 20 : influence de l’humidité du matériau
45
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
Le matériau composite (argile/biomasse) possède une sensibilité à l’eau qui a
des conséquences sur son comportement thermique. En effet, sous des déférences de
condition hydriques ambiantes, le matériau absorbe de la vapeur, qui se condense
sous forme d’eau liquide. Ceci se traduit par un gain de masse dans le matériau, or
l’eau liquide présente une conductivité thermique 25 fois supérieur à celle de l’air
(k_air = 0.025 W/m.k ; k_eau = 0.607 W/m.k ). la présence de l’eau va donc modifier
la conductivité thermique globale du matériau composite.
Figure 3- 21 : conductivité thermique en fonction de l’humidité du matériau
La Figure 3- 22 montre l'évolution de la conductivité thermique en fonction de
l’eau absorbée par le matériau composite. Il montre clairement que la conductivité
thermique augmente avec l'augmentation de l’eau absorbée par le composite. Ceci
traduit par l’augmentation de la masse volumique du matériau.L’eau étant un
excellent conducteur, elle induit une augmentation de la conductivité thermique du
composite, par rapport à l'air qui est un meilleur isolant.
46
Chapitre 3 : Modélisation numérique sous comsol multiphysics
6
Conclusion
Dans ce chapitre nous avons présenté un modèle mathématique de transfert de
chaleur au sien d’un matériau composite. L’approche 1D du transfert de chaleur a été
validé par la modélisation 3D réalisé sous comsol multiphysics.
La méthode fil chaud a été utilisée pour mesurer la conductivité thermique à
partir de la mesure de la température d’un thermocouple soudé avec le fil chaud placé
dans le matériau. Ce dernier a été également simulé à l’aide du modèle 3D sous
comsol.
Enfin, une étude de sensibilité du modèle est introduite à la fin de ce chapitre afin
d’étudier l’influence des principaux paramètres du problème (la résistance de contact,
les propriétés physique du matériau, la sonde fil chaud, l’humidité du matériau) sur
les températures mesuré ainsi que sur l’estimation de la conductivité thermique.
47
Conclusion générale
Conclusion générale
Mon stage recherche s’est porté sur la mesure de conductivité thermique d’un
matériau composite d’argile et de biomasse par la méthode fil chaud, et de la
modélisation de cette dernière par la méthode des éléments fini sous comsol
multiphyisics.
Dans un premier temps, on s’est intéressé à faire une synthèse bibliographique
sur le transfert de chaleur, les matériaux composites et les méthodes de caractérisation
thermique des matériaux. Puis nous avons réalisé une étude numérique sur le
comportement thermique d’un matériau afin de mesurer sa conductivité thermique.
Enfin, une étude de sensibilité est introduite afin d’étudier l’influence des principaux
paramètres sur les températures mesurées et sur la conductivité thermique.
L’étude numérique montre que la caractérisation des propriétés thermophysique
(conductivité thermique) des matériaux peut se faire numériquement. Nous avons
développé dans ce travail une modélisation numérique d’une des méthode de
caractérisations thermique des matériaux (méthode fil chaud) qui a permis d’obtenir la
conductivité thermique du matériau considéré.
D’après l’étude de ce travail il a été observé que l’estimation de la conductivité
thermique par la modélisation numérique est en très bon accord avec la valeur du
matériau choisi. Nous avons montré durant cette étude que tout effet non idéalisé au
niveau de la méthode de mesure (effet de la capacité thermique de fil, résistance de
contacte…), ont réduit la partie linéaire des thermogrammes, et donc ces effets
peuvent affecter l’estimation de la valeur de la conductivité thermique lors de
l’expérience de mesure. Nous avons trouvé que la conductivité thermique de matériau
augmente avec l’augmentation de la capacité thermique et de la masse volumique, car
on diminue la proportion du vide dans le matériau. Nous avons trouvé aussi que
l’influence de la capacité thermique sur l’estimation de la conductivité thermique ne
devient important que pour les grandes valeurs de Cp et L’influence de la masse
volumique sur l’estimation de la conductivité thermique devient importante pour les
matériaux de masse volumique faible
Il a été constaté aussi que le flux de chaleur n’a aucune influence sur la
conductivité thermique. Par contre, la conductivité thermique des matériaux est
fortement influencée par l'absorption d'eau.
48
Références
Références
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de Titane,” 2018.
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“(Materials Science) Yves Jannot, Alain Degiovanni - Thermal Properties
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49
Annexes
Annexes
Annexe 1 : Transformation de Laplace inverse

Méthode analytique
La transformée de Laplace 𝜃(𝑝) de la fonction 𝑇(𝑡) est donnée par :
∞
𝐿[𝑇(𝑡)] = 𝜃(𝑝) = ∫ exp(−𝑝𝑡)𝑇(𝑡)𝑑𝑡
0
𝜃 (𝑝) = 𝐿{𝑇(𝑡)}
T(t)
1
𝑝
1
ln(𝑝)
𝑝
Cst 𝜃(𝑝)
− ln(𝑝) − 𝛾
; 𝛾 = 057721
Cst 𝑇(𝑡)
p 𝜃(𝑝) + 𝑇(0)
𝜕𝑇(𝑡)
𝜕𝑡
Annexe 2 : Equations et fonctions de Bessel

Equations particulières de Bessel et leurs solutions
𝑦 ′′ +
𝑦′
𝑥
− 𝑚²𝑦 = 0

𝑦 = 𝑘1 𝐼0 (𝑚𝑥 ) + 𝑘2 𝑘0 (𝑚𝑥)
𝑘𝑛 Fonction de Bessel de 2ème espèce modifiée d’ordre n.
𝐼𝑛 Fonction de Bessel de 1ère espèce modifiée d’ordre n.
 Principales propriétés des fonctions de Bessel
Récurrence
𝑘𝑛+1 (𝑢) = 𝑘𝑛−1 (𝑢) −
2𝑛
𝑢
𝑘𝑛 (𝑢)
;
𝐼𝑛+1 (𝑢) = 𝐼𝑛−1 (𝑢) −
Dérivée
𝑑𝑘0 (𝑢)
𝑑𝑢

= −𝑘1 (𝑢)
;
𝑑𝑘0 (𝑢)
𝑑𝑢
Limites des fonctions de Bessel d’ordre 0 et 1
50
= 𝐼1 (𝑢)
2𝑛
𝑢
𝐼𝑛 (𝑢)
Annexes
Si u → 0 :
𝐼0 (𝑢) → 1
;
𝐼1 (𝑢) → 0
𝑘0 (𝑢) → +∞
;
𝑘1 (𝑢) → +∞
;
Si u → ∞ :
𝐼0 (𝑢) → +∞

;
𝐼1 (𝑢) → +∞
;
𝑘 0 (𝑢 ) → 0
𝑘1 (𝑢) → 0
;
Comportement asymptotique des fonctions de Bessel d’ordre 0 et 1
Si u → 0 :
𝐼0 (𝑢) →
;
𝐼1 (𝑢) →u/2
;
𝑘0 (𝑢) → −ln(u)
51
;
𝑘1 (𝑢) → 1/u