Cours de Cristallographie - Université de Kara

Faculté des Sciences et Techniques
Département de Physique
COURS
CRISTALLOGRAPHIE
Université de Kara
ADANLETE ADJANOH Assiongbon
DE
Maître de Conférences
Licence de Physique Fondamentale

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Chapitre 0
Il ne s’agit pas `a proprement parler d’un trait´e de th´eorie des groupes `a l’usage des
physiciens.
On trouvera ici quelques notes qui permettent de retrouver le fil de l’expos´e et de pr´eciser
les notations.
Je remercie `a l’avance les ´etudiants et coll`egues qui me signaleront les in´evitables erreurs
de fond ou de forme de ce document.
Les sym´
etries jouent un grand rˆole en physique, et les ph´enom`enes quantiques
n’´echappent pas `a cette r`egle, qu’il s’agisse des sym´etries exactes, comme l’inva-
riance par translation, ou approch´ees, comme l’isospin.
La n´ecessit´e apparaˆıt donc de poss´eder un formalisme permettant de d´ecrire les sym´etries
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Rappels mathématiques sur la notion de groupe

Par d´
efinition, un groupe Gest un ensemble muni d’une loi de composition
interne, c’est-`a-dire une application de G×Gdans G, soit ∀a∈G,∀b∈G,
{a, b} → ab ∈G, si on adopte une notation multiplicative, qui a les propri´et´es
suivantes :
1. Elle est associative, soit (ab)c=a(bc), que l’on peut noter abc,
2. Il existe un ´el´ement neutre e, donc ea =ae =a,∀a∈G,
3. Chaque ´el´ement aposs`ede un inverse a−1tel que aa−1=a−1a=e.
Des raffinements minimalistes (par existence d’un inverse `a gauche et d’un inverse `a droite,
dont on d´emontre l’´egalit´e) seront propos´es en exercice.
Le groupe est dit ab´elien si ab =ba ∀a, b.
(Il existe toujours des sous-ensembles ab´eliens, par exemple aet ecommutent, ou aet ab
si aet bcommutent.
Il faut insister sur le caract`ere ¡¡ propre ¿¿ de l’op´eration qui fait que xne perd pas son
identification si on le multiplie par a. Quand xbalaie G,ax balaie aussi la totalit´e de G.
Cette propri´et´e tr`es simple s’av´erera tr`es utile.
1. Zest un groupe ab´elien vis-`a-vis de l’addition, 0 est l’´el´ement neutre.
2. R− {0}est un groupe pour la multiplication.
3. {1,−1}
4. {1, j, j2}
5. {1, i, −1,−i}
6. Les 5! permutations de 5 objets.
7. Certains sous ensembles de matrice. Par exemple,
e=1 0
0 1 , a =0−1 1 0 , b =−1 0 0−1, c =0 1 −1 0 
v´erifient ea =a, etc., ac =e, donc c−1=a,b2=e, donc b−1=b, etc.
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8. Les matrices de dimension 2 ×2 qui conservent la norme d’un vecteur. Voir plus loin le
groupe O(2).
9. Le groupe des rotations d’axe Oz et d’angle 0, π/2, πou 3π/2. Notre l’analogie avec
l’exemple 5.
Voir chapitre suivant. G0⊂Gest lui-mˆeme un groupe. Le point essentiel est que si a∈G0
et b∈G0, le produit ab est aussi dans G0.
Par exemple, {1, i, −1,−i}poss`ede {1,−1}comme sous-groupe, tandis que {1, j, j2}
ne poss`ede pas de sous-groupe propre, c’est-`a-dire autre que {1}et lui-mˆeme.
Noter la possibilit´e de sous-groupes ab´eliens dans des groupes non ab´eliens. par exemple,
les transformations de Lorentz d’axe Ox dans l’ensemble de toutes les transformations de
Lorentz.
gest le nombre d’´el´ements. Il peut ˆetre fini, par exemple, g= 3 pour {1, j, j2}, infini
d´enombrable pour
{. . . , 1
π2,1 π,1, π, π2,···, πn,···},
ou non d´enombrable, par exemple pour les rotations d’axe Oz et d’angle quelconque.
Il arrive pour certains ´el´ements ad’un groupe infini, ou pour tout ´el´ement d’un groupe
fini, que la suite
a, a2, . . . , an, . . .
retombe sur ses pieds. Si ar=asavec r > s, alors ar−s=e. L’ordre de aest le plus petit
des entiers ptels que ap=e. Par exemple, pour {1, i, −1,−i}, l’ordre de 1 est 1, celui
de −1 est 2, et celui de iou −iest 4.
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Remarques
Le seul élément d'ordre 1 d'un groupe est l'élément neutre.
Un élément est d'ordre 2 si et seulement s'il est égal à son inverse, et différent de l'élément neutre.
Un groupe dont tout élément est d'ordre 2 (sauf l'élément neutre) est abélien puisque dans un tel groupe,