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Par d´
efinition, un groupe Gest un ensemble muni d’une loi de composition
interne, c’est-`a-dire une application de G×Gdans G, soit ∀a∈G,∀b∈G,
{a, b} → ab ∈G, si on adopte une notation multiplicative, qui a les propri´et´es
suivantes :
1. Elle est associative, soit (ab)c=a(bc), que l’on peut noter abc,
2. Il existe un ´el´ement neutre e, donc ea =ae =a,∀a∈G,
3. Chaque ´el´ement aposs`ede un inverse a−1tel que aa−1=a−1a=e.
Des raffinements minimalistes (par existence d’un inverse `a gauche et d’un inverse `a droite,
dont on d´emontre l’´egalit´e) seront propos´es en exercice.
Le groupe est dit ab´elien si ab =ba ∀a, b.
(Il existe toujours des sous-ensembles ab´eliens, par exemple aet ecommutent, ou aet ab
si aet bcommutent.
Il faut insister sur le caract`ere ¡¡ propre ¿¿ de l’op´eration qui fait que xne perd pas son
identification si on le multiplie par a. Quand xbalaie G,ax balaie aussi la totalit´e de G.
Cette propri´et´e tr`es simple s’av´erera tr`es utile.
1. Zest un groupe ab´elien vis-`a-vis de l’addition, 0 est l’´el´ement neutre.
2. R− {0}est un groupe pour la multiplication.
3. {1,−1}
4. {1, j, j2}
5. {1, i, −1,−i}
6. Les 5! permutations de 5 objets.
7. Certains sous ensembles de matrice. Par exemple,
e=1 0
0 1 , a =0−1
1 0 , b =−1 0
0−1, c =0 1
−1 0
v´erifient ea =a, etc., ac =e, donc c−1=a,b2=e, donc b−1=b, etc.
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