TD 2 ondulatoire

Master : Métiers de l’Enseignement et de la Formation en Sciences Physiques et
Chimiques (MEFSPC)
TD de Physique Ondulatoire série 2
(Ondes acoustiques dans les fluides)
Exercice I : (Ondes sonores dans un pavillon exponentiel)
On étudie la propagation d’ondes acoustiques planes dans la direction Ox, dans un
pavillon de révolution, d’axe Ox, de section circulaire variable S(x).
0
( )
x
S x S e
 où σ et S0 désignent deux constantes réelles positives.
Figure 1 : Pavillon à section croissante
L’onde sonore est décrite par les champs P1(x, t) et µ1(x, t) et le champ des vitesses v1
pour lequel on fait l’approximation de l’écoulement quasi-unidimensionnel en posant
1 1
, x v v x t u
. On traite le problème dans l’approximation acoustique.
1-(a) En faisant un bilan de masse pour le système ouvert (V) (voir figure 1) compris
entre les abscisses x et x+dx, établir une équation aux dérivées partielles linéaire à
coefficients constants reliant µ1 et v1.
(b) À l’aide de l’équation d’Euler et de l’équation traduisant l’évolution
thermodynamique du fluide, établir deux autres équations reliant les champs P1, v1 et µ1.
2- En déduire la relation de dispersion pour des OPPM en e j(ωt−kx)et discuter la
nature des ondes suivant les valeurs de la pulsation.

Exercice II : (Réflexion sur une membrane mobile)
Un cylindre horizontal de section droite S est rempli d’un gaz de masse volumique ρ
au repos et de coefficient de compressibilité isentropique χS. À l’équilibre, le gaz est à
la pression atmosphérique P0.
On note p(t, x) la surpression ou pression acoustique à l’instant t dans le plan de cote x
lorsqu’une onde acoustique se propage dans le gaz. On se placera dans le cadre de
l’approximation acoustique.
1. En appliquant le théorème du centre de masse à une tranche de gaz comprise entre
les plans de cotes x et x+dx, déterminer l’équation aux dérivées partielles liant la
vitesse de déplacement v(t, x) de la tranche de gaz considérée à la surpression p(t, x)
qui y règne.
2. En supposant que la tranche de gaz subit une évolution adiabatique réversible au
passage de l’onde, écrire une autre équation aux dérivées partielles liant v(t, x) et
p(t, x).
3. En déduire la vitesse de propagation c de l’onde dans le gaz. Le gaz est le siège
d’une onde progressive plane monochromatique de pulsation ω et de vecteur d’onde
i x
k ke
, se propageant dans le sens des x croissants et d’une onde plane réfléchie de
vecteur d’onde
r x
k ke 
, se propageant en sens inverse. En notation complexe, les
surpressions pi (t, x) et pr (t, x) associées respectivement aux ondes directe et
réfléchie s’écrivent :
( )
0
( , )
i t kx
i i
p x t p e
( )
0
( , )
i t kx
r r
p x t p e
On note p(t, x) l’expression en notation complexe de la surpression résultant de la
superposition des deux ondes. L’onde réfléchie provient de la réflexion de l’onde
directe sur une paroi de masse m disposée dans le plan de cote x = 0 et pouvant se

déplacer autour de cette position d’une quantité ξ(t) (très petite devant la longueur
d’onde de l’onde acoustique) avec une vitesse
( ) ( ) x u t u t e
Figure 2
Cette paroi est en outre soumise à l’action d’une force élastique que l’on peut
modéliser par un ressort de raideur K et d’une force de frottement visqueux
0
2
x
f m ue
où α est une constante positive et 0
Km
. On admettra qu’à
droite de la paroi (), l’air reste constamment à la pression atmosphérique P0.
1. Montrer que l’amplitude complexe u0 de la vitesse de déplacement de la paroi
en régime forcé est :
0 0
02 2
0 0
( )
( 2 )
i r
i S p p
um i
5. On définit le coefficient de réflexion r pour l’amplitude complexe de la
surpression par la relation
0
0
r
i
p
R
p
. Montrer que l’on peut mettre R sous la forme
1 ( )
1 ( )
A
RA
avec
2
2 2
0 0
( )
( 2 )
i S
Am k i
6. Calculer le coefficient de réflexion R0 lorsque la paroi est maintenue immobile en
x = 0.