Cours Electronique Analogique TC 2014-2015

École Nationale des Sciences Appliquées
1er année cycle ingénieur
Année 2014 – 2015
Plan du cours : Électronique Analogique:
• Chapitre I
• Chapitre II
• Chapitre III
• Chapitre IV
• Chapitre V
• Chapitre VI
: Circuits à amplificateurs;
: Amplificateur opérationnel / Filtres analogiques;
: Contre réaction;
: Oscillateurs sinusoïdaux;
: Oscillateurs non sinusoïdaux;
: Convertisseurs analogique/numérique et numérique/analogique.
Pr. N. EL BARBRI
Département génie électrique
Chapitre I: Circuits à Amplificateurs
I. Rappels
1. Régime de petits signaux
Définitions: lorsque les variations d’une grandeur par rapport à sa valeur de repos, ont de très faibles
amplitudes, on dit que le système travail en régime de petits signaux.
Dans ces conditions, les déplacements effectués par les points de fonctionnement peuvent être
assimilés à des segments de droites.
2. Quadripôles équivalents
On s’attache à modéliser les composants actifs par des schémas équivalents électriques décrivent
correctement le fonctionnement du dispositif dans certaines domaines de fréquences.
Deux modèles les plus utilisés:
• les matrices hybrides (H): s’emploie aux basses fréquences.
• les matrices admittances (Y): s’emploie aux hautes fréquences.
L’équation de définition des paramètres hybrides (hij):
v = h i + h v
 v1 
i 
  = (hij ) 1  ⇔  1 11 1 12 2
 i2 
 v2 
i2 = h21i1 + h22 v2
i2
i1
v1
Quadripôle
Ce qui conduit au schéma équivalent:
h11
v1
h12v2
1/h22
h21i1
v2
v2
2.1 Applications aux transistors bipolaires:
a) Exemple d’un montage émetteur commun
ic
ic
C
B ib
Vbe
h11
Vce
Vbe
1/h22
h21ib
h12Vce
E
Vce
b) Schéma équivalent simplifié du transistor:
B
Vbe
ib
ic
r
Bib
T
E
C
Vce
Avec r = β/s où s est la pente du transistor.
2.2 Schéma équivalent d’un étage:
L’emploi des schémas équivalent permettra de calculer facilement les grandeurs suivantes:
• Amplification en tension
: Av = v2/v1
• Amplification en courant
: Ai = i2/i1
• Impédance d’entrée
: Ze = v1/i1
• Impédance de sortie
: Zs = v2/i2.
Exemples d’amplificateurs à transistor bipolaire:
a) Émetteur commun
+Vcc
ig
B
R1
Rc
v1
R2
ic
r
v1
Rg
ib
Bib
R1//R2
v2
RE
C
E
(B+1)ib
V2
Rc
RE
eg
• Impédance d’entrée
• Amplification en tension
• Impédance de sortie
: Ze = R1//R2//(rπ + RE(β + 1)
: Av = v2/v1 = - βRc/(rπ + (β + 1)RE).
: | Zs | = Rc
b) Collecteur commun
+Vcc
ig
R1
eg
• Impédance d’entrée
• Amplification en tension
• Impédance de sortie
v1
R2
ib
ic
r
v1
Rg
B
RE
R1//R2
Bib
E
v2
: Ze = R1//R2//(rπ + RE(β + 1)
: Av = v2/v1 = - RE (β+1) /(rπ + (β + 1)RE) ≈ 1
1
: Z s = R E //
( rπ + R g // R 1 // R 2 )
B +1
RE
v2
C
c) Base commune
+Vcc
R1 Rc
B
ib
ic
r
C
Bib
v2
E
R2
RE
v1
ig
Rg
Rg
RE
eg
• Impédance d’entrée
: Ze = RE//rπ/(β + 1)
• Amplification en tension
: Av = v2/v1 = βRc/rπ
• Impédance de sortie
: | Zs | = Rc
v1
eg
Rc
V2
II. Amplificateurs à plusieurs étages
Il arrive souvent que les amplificateurs à un seul transistor s’avèrent insuffisants pour atteindre le but
souhaité:
- Soit par ce que l’amplification est insuffisante;
- Soit par ce que les résistances d’entrée et de sortie peuvent ne pas avoir les valeurs requises.
On surmonte ces difficultés en montant plusieurs étages en cascade.
La sortie d’un étage est donc raccordée à l’entrée de l’étage suivant (figure ci-après).
Étage1
AV1
Ve
Étage2
AV2
Vs1
Vs
Figure : Représentation symbolique de 2 étages en cascade.
L’analyse du montage en cascade repose sur la détermination du circuit équivalent de Thévenin de
chaque étage.
Ve
Ze1
Étage1
Av1
Z
Av1Ve s1 Vs1
Att12
Étage2
Ze2
Av2Vs1 Zs2
Vs
Att12
vs1
Ze2
=
=
Av1ve Z e 2 + Z s1
Av2
Le gain total du montage en cascade est exprimé par: Av = AV1.Att12.AV2 = Vs/Ve.
Le terme Att12 représente l’atténuation entre les deux étages.
II.1 Associations typiques
II.1.1 Émetteur commun – émetteur commun
Cette association s’utilise lorsqu’on souhaite un gain élevé.
+Vcc
R1
Ve
R2
Rc1
RE1
R'1
Rc2
R'2
RE2
Vs
II.1.2. Collecteur commun – Collecteur commun
L’association d’un C.C.– C.C. est utilisable quand on souhaite un forte gain en courant.
Exemple: Montage Darlington: générateur de courant
On dit que deux transistors se trouvent montés en Darlington lorsque le courant d’émetteur de l’un passe
par l’espace base – émetteur de l’autre.
+Vcc
T1
Rg
eg
C
B ib
ic
T2
v1
ie
RE
v2
E
On peut montrer que les 2 transistors T1 et T2 du paire de Darlington sont identique à un seul transistor
équivalent T.
Schéma équivalent en régime variable
B
ib
ic1
C
ic
ic2
r1
B1ib1
T1
V1
B2ib2
ib2
r2
RE
V2
Impédance d’entrée du montage
v1 = rπ 1ib + rπ 2 i b 2 + R E ( β 2 + 1) ib 2
D’où
Ze =
Où encore:
r = rπ
T2
Avec
i b 2 = ( β 1 + 1) i b
v1
= rπ + rπ 2 ( β 1 + 1) + R E ( β 1 + 1)( β 2 + 1)
ib
Z e = β1β 2 RE
alors que Ze (collecteur-commun) = βRE
Remarque: ‘’très forte résistance d’entrée’’.
Amplification en tension
v 2 = R E ( β 2 + 1 ) i b 2 = R E ( β 1 + 1 )( β
2
+ 1) ib 1
v 1 = Z e i b 1 = [rπ 1 + rπ 2 ( β 1 + 1 ) + R E ( β 1 + 1 )( β
Il vient: A v =
v2
=
v1
rπ
R
1
+ rπ
2
(β
E
2
2
+ 1 ) ]i b 1
( β 1 + 1 )( β 2 + 1 )
+ 1 ) + R E ( β 1 + 1 )( β
2
+ 1)
Comme pour le montage type C-C, l’amplification en tension est légèrement inférieur à 1.
< 1
Amplification en courant
La loi des nœuds en C s’écrit:
i c = i c 1 + i c 2 = β 1 i b 1 + β 2 i b 2 = β 1 i b 1 + ( β 2 + 1) β 2 i b 1
et A i =
ic
= β 1 + ( β 1 + 1) β
ib
2
≠ β 1β
2
C’est considérable.
Le schéma équivalent simplifié du montage Darlington:
B
ib
ic
r =
B1B2RE
B1B2ib
T
E
( β1 >> 1)
C
II.1.3 Montage Collecteur commun – Émetteur commun
Ses propriétés ressemblent à celle d’une paire de Darlington.
+Vcc
R1
Rc2
T1
V1
R2
T2
V2
RE1
RE2
• Le gain en courant du transistor composé est d’environ β1β2 puisque le courant émetteur de T1 et le
courant de base de T2.
• La réponse en fréquence du montage C.C. – E.C. est supérieur à celle de la configuration Darlington.
II.1.4 Montage Collecteur commun – Base commune +Vcc
Rc
R1
T1
V1
V2
R2
R3
T2
R4
RE
CB
- La faible résistance de sortie de l’étage type C.C. s’adapte bien à la résistance d’entrée de l’étage à B.C.
((rπ2/ β2+1)//RE).
- Les caractéristiques de cette configuration sont les suivantes:
• Résistance d’entrée élevée grâce au C.C. (R1//R2// β1RE);
• Gain en tension élevé grâce au B.C. (Av = β2Rc / rπ2).
III. Référence de la tension du signal
Lors du choix d’un type d’amplificateur, l’un des premiers critères à prendre en compte est la
référence par rapport à laquelle est définie la tension que délivre la source du signal.
La référence du signal peut être, en effet, soit identique à la référence des tensions de l’amplificateur,
soit en être différente et donc portée à un certain potentiel par rapport à la masse de l’amplificateur.
III.1 Signal référencé à la masse de l’amplificateur (référence commun)
Cette situation se présente dans les deux cas suivants:
- La source du signal est immédiatement voisine de l’amplificateur (figure a), c’est le cas, par exemple,
d’un capteur dont le boîtier contient l’amplificateur associé.
- La source du signal est éloignée de l’amplificateur, mais étant isolée de son environnement, l’une de
ses bornes est ramenée à la masse de l’amplificateur (figure b).
A
A
Rs
Rs
vi
es
vo
vi
vo
es
Mi
(a)
isolement
Ms
Mi
(b)
Figure : la source du signal est référencée à la masse de l’amplificateur soit directement (a) soit en
l’isolant de sa masse locale et en la reliant à la masse de l’amplificateur (b).
III.2 Signal référencé à un potentiel différent de la masse de l’amplificateur
Le signal support de l’information correspond dans ce cas à la différence de potentiel v2 – v1 entre deux
points de mesure 2 et 1 dont aucun, contrairement au cas précédent, n’est au potentiel de référence
qu’est la masse Mi de l’amplificateur.
Exemples:
• La tension de mesure vm est prise aux bornes d’un composant inclus dans un circuit (figure a);
• Le signal est la tension vm de déséquilibre d’un pont (figure b).
Vm
V2
R1
1
2
R
R3
Vm
V1
2
1
Ea
Mi
V2
R2
(a)
(b)
R4
V1
IV Amplificateurs différentiels (amplificateur de la différence)
Pourquoi un amplificateur différentiel?
En instrumentation industrielle, le signal de mesure est fréquemment superposé à des tensions
parasites de mode commun, dues en particulier à des couplage magnétiques ou électriques à des
sources perturbatrices.
Par leur aptitude à la réjection des tensions de mode commun, les amplificateurs différentiels
jouent un rôle capital dans la réduction des tensions parasites dès lors que celles-ci apparaissent
comme des tensions de mode commun.
Principe: à partir de 2 signaux d’entrée v1 et v2, l’amplificateur différentiel doit fournir un signal de
sortie: us = Gd (v1 – v2) (Gd : gain différentiel).
Deux types
Montage à sortie flottante
vs
v1
v2
La référence de potentiel en sortie est
différente de la référence commune
aux signaux d’entrée.
Montage à référence commune
vs
v1
v2
Les signaux d’entrée et de sortie
admettent la même référence de potentiel
IV.1 Tension de mode commun
On définit la tension de mode commun vmc comme étant la tension commune à v1 et v2 et qui ne
contient pas d’information.
Ainsi en posant : v
mc
=
v1 + v
2
2
1
Source
du signal
vm
v1
vm
dispositif
de mesure
2
v2
vo
v1
v2
vmc
La tension vmc est commune à v1 et v2. Elle peut être très supérieure à vm.
Faire une mesure de bonne précision revient à éliminer ou réjecter cette tension de mode
commun de manière à extraire la tension vm (tension différentielle de mesure) tout en étant
indépendant de vmc.
IV.2 Structure et propriétés générales d’un amplificateur différentiel
Un amplificateur différentiel peut être fonctionnellement considéré comme formé:
-D’un amplificateur inverseur de gain
: -G-;
-D’un amplificateur non inverseur de gain
:G+;
-D’un sommateur des tensions issues des deux amplificateurs précédents.
G+
2
∑
v2
1
-G-
vo
Amplificateur différentiel:
Schéma de principe.
v1
La tension de sortie du sommateur, qui est la tension de sortie de l’amplificateur, a pour expression:
vo = G+v2 – G-v1
On pose:
Tension différentielle
: vd = v2 – v1;
Tension de mode commun
: vmc = (v1 + v2)/2;
D’où il résulte
: v2 = vmc + vd/2
et
v1 = vmc – vd/2.
Cette expression met en évidence que la tension différentielle vd, qui est seule support de
l’information, est superposée à la tension de mode commun vmc.
La tension de sortie de l’amplificateur peut se réécrire:
G+ + G−
vo =
.v d + ( G + − G − ).v mc
2
La tension de sortie d’un amplificateur idéal, de gain G serait donc: vo = G.(v2 – v1).
En fait, l’amplificateur différentiel réel présente, vis-à-vis de la tension de mode commun vmc, une
certaine sensibilité qui est spécifiée son taux de rejection du mode commun.
On note:
Gain différentiel: Gd = (G+ + G-)/2,
Gain de mode commun : Gmc = G+ - G-.
Le taux de rejection du mode commun de l’amplificateur est:
τr =
Il exprime la qualité de l’amplificateur différentiel.
Plus le taux de rejection est élevé, l’amplificateur est meilleur.
Gd 1 G+ +G−
= .
Gmc 2 G+ −G−
La tension de sortie d’un amplificateur différentiel a dès lors pour expression:


1
v o = G d .v d + G mc .v mc = G d . v d + .v mc 
τr


L’influence de la tension de mode commun est d’autant plus réduite que le taux de rejection
plus élevé.
τ r est
Remarque:
Les fabricants d’amplificateurs différentiels expriment le taux de réjection (CMRR, Common Mode
Rejection Ratio) en décibels par la notation CMR (Commode Mode Rejection).
Où CMR = 20 log CMRR.
Ainsi pour CMRR = 105 on a CMR = 100dB.
Exemples : Amplificateurs différentiels à base des transistors bipolaires
1) Montage à sortie flottante
Schéma de principe: (Miroir de courant)
T1 et T2 identiques sont identiques.
• Statique (polarisation):
u1 = u2 = 0
Les transistors doivent être dans une zone linéaire de fonctionnement : VCE > VCEsat , VBE ≈ 0,6 Volt.
Le dispositif est symétrique: Ic1 = Ic2 = I0/2 → us = 0.
On a:
E = Rc
I0
+ V CE − V
2
BE
V CE > V CEsat → E − R c
Si V CE = E → R c
I0
+ V BE > V CEsat
2
I0
= V BE
2
• Dynamique :
Schéma équivalent en petits signaux aux basses fréquences:
(un générateur de courant constant I0 est ramené, dans la modélisation du schéma équivalent aux Basses
Fréquences, à sa résistance interne R0 supposée infinie ici (générateur de courant parfait)).
u s = u s1 s 2 = v s1 M − v s 2 M = − RC ic1 + RC ic 2 = − RC ( sv be 1 − sv be 2 )
vbe
β
= sv be avec: s =
rπ
rπ
→ u s = − sRc (vbe1 − vbe 2 )
Or: v be 1 = u1 − v NM → v be 1 − v be 2 = u1 − u 2
Car:
ic = β ib = β
u s = − sRc (u1 − u2 )
Gain différentiel : Gd = -sRc.
2) Montage à référence commune
Schéma de principe:
T3 monté en Collecteur Commun (très forte résistance d’entrée), ne prélève que très peu de courant
sur le Collecteur de T2.
→ Symétrie conservée → us ≈ 0.
(T1 et T2 identiques)
• Statique:
En plus des conditions décrites pour le montage à sortie flottante, il faut ajouter la condition:
us = 0 lorsque u1 = u2 = 0.
→
E − Rc
Avec:
I0
− VBE − Vz = 0
2
VBE = 0.6Volt
• Dynamique:
Schéma équivalent
- R0 : Résistance équivalente au générateur de courant constant I0.
(Un générateur de courant constant I0 passivé dans la modélisation du schéma équivalent aux Basses
Fréquences est ramené à sa résistance interne R0).
- r3, β3 : paramètres du transistor T3.
- rd : Résistance de la diode Zener (le générateur constant de la diode Zener est annihilé dans la
modélisation du schéma équivalent aux Basses Fréquences) : rd est négligée:
rd négligée ≈ 0
Ed = 0 en dynamique
T3 monté en Collecteur Commun→ gain ≈ 1: us ≈ us0. (
On a : u s = − RC ( β ib 2 + ib 3 ) ≈ − β RC ib 2
us
Rz ( β 3 + 1)
=
≈ 1)
u s 0 rπ 3 + Rz ( β 3 + 1)
u1 = rπ ib1 + R0 (( β + 1)ib1 + ( β + 1)ib 2 ) ≈ rπ ib1 + R0 β (ib1 + ib 2 )
u2 = rπ ib 2 + R0 (( β + 1)ib1 + ( β + 1)ib 2 ) ≈ rπ ib 2 + R0 β (ib1 + ib 2 )
1

−
=
(u1 − u 2 )
i
i
b1
b2

rπ
u1 − u 2 = rπ (ib1 − ib 2 )

→
→
1
u1 + u 2 = ( rπ + 2 β R0 )(ib1 + ib 2 ) i + i =
(u + u 2 )
 b1 b 2 rπ + 2 β R0 1
1
1
(2) – (1) → ib 2 =
(u1 + u 2 ) −
(u1 − u 2 )
2( rπ + 2 β R0 )
2 rπ
et:
u s = − β R C ib 2 →
us =
(1)
(2)
− β RC
β RC
(u1 + u 2 ) +
(u1 − u 2 )
2 ( rπ + 2 β R 0 )
2 rπ
u s = G cm ( u 1 + u 2 ) + G d ( u 1 − u 2 )
Avec : • Gd :gain différentiel: G d =
β RC
2 rπ
• Gcm: gain de mode commun: Gc m =
− β Rc
2(rπ + 2 βR0 )
Le montage se rapproche d’autant plus d’un amplificateur différentiel que: |Gd| >> |Gcm|.
Remarque: si on a un générateur de courant I0 parfait → R0 = ∞ → Gcm = 0.
Réalisation d’un générateur de courant I0
On peut utiliser un transistor (générateur de courant à résistance interne très élevée) entre les points N
et –E:
• Rz2 est calculée pour la diode Zener soit dans la zone vertical de la caractéristique:
2E − Vz
< I z max
Rz2
V − 0 .6
→ I0 = z
= C te
RE
I z min <
• V R E = V z − 0 .6 = C
te
• De plus: si u1 = u2 = 0, il faut VBE = 0.6 Volt (polarisation) → u1 = 0 = VBE1 + VCE4 +Vz – 0.6 – E
→ VCE4 = E – Vz
et avec VCE4 > VCEsat
Chapitre II: Amplificateur opérationnel / Filtres analogiques
I. Amplificateur opérationnel
Définition: Un amplificateur opérationnel c’est un amplificateur différentiel à référence commune.
Il nécessite 2 alimentations généralement symétriques +E et –E, notées +Vcc et –Vcc (+Vcc de l’ordre
de 3 à 15V).
Il possède: - 2 entrées: une entrée (-) dite entrée inverseuse, une entrée (+) dite entrée non
inverseuse.
- 1 sortie, notée Vs.
Symbole:
Nouveau
+Vcc
+Vcc
V-
-
+
V+
Brochage
Ancien
-Vcc
Vs
V-
+
V+
-Vcc
Vs
• Relation fondamental: (en régime linéaire)
Vs = A(V+ -V-)
A : gain en Boucle Ouverte: A >>1 (A > 0)
(A ≈ 105).
Vs = A.ε avec ε = V+ -V- .
Dans un montage à AO, si la sortie n’est pas réinjectée sur au moins une des entrées + ou -, l’AO est en
BO (Boucle Ouverte).
• Résistance d’entrée Ri de l’amplificateur opérationnel (AO): Ri >>1
Ri ≈ 1MΩ.
• Résistance de sortie Ro de l’amplificateur opérationnel: Ro très faible Ro ≈ quelques centaines d’Ω.
Modèle en continu et en dynamique:
(Modèle différentiel) (modèle général)
i- = - i+
Modèle en continu et en dynamique plus réaliste:
(Modèle différentiel et de mode commun)
i- ≠ - i+
RD: Résistance d’entrée différentielle: RD ≈ 1 MΩ
RMC: Résistance d’entrée de mode commun: RMC ≈ 10 MΩ.
Impédance d’entrée vue du générateur: Ve/ie = RD// RMC.
• Fonction de transfert: Vs = f(ε).
+Vcc
Vcc ≈ 10, A ≈ 105 → εs = Vs/A ≈ 0.1 mV
-εs
Saturation
Vs = -Vcc
0
-Vcc
Zone
linéaire
Vs= Aε
εs
ε
Saturation
Vs = +Vcc
Du fait de la faible plage de linéarité pour ε, le fonctionnement linéaire (≡ stabilité) ne peut réellement
exister (≡ point de fonctionnement dans la plage linéaire) que s’il y a rebouclage de la sortie sur
l’entrée inverseuse:
Sans bouclage sur l’entrée inverseuse, l’AO est donc toujours instable (sortie saturée à +Vcc ou –Vcc).
Remarque: même avec un bouclage de la sortie sur l’entrée inverseuse, l’AO peut fonctionner en
régime saturé (instable).
Bande Passante (BP):
La Bande Passante d’un système est le domaine de fréquences tel que le gain de ce système ne
descend pas en dessous de 3 dB de son maximum.
Le gain en BO, A n’est donc pas constant mais diminue avec la fréquence et on le note G.
En échelle déciBels, on a : GdB = 20 log G.
Facteur de mérite:
Soit un système bouclé à base d’A.O. possédant un gain (≡ amplitude de la tension de sortie par
rapport à celle d’entrée) en Boucle Fermée G′ et une Bande Passante (BP)′.
Le produit (Gain en BF)•(Bande Passante en BF), soit: G′•(BP)′, appelé facteur de mérite, est
constant quelle que soit la fréquence.
→ Réduire G′ permet d’accroître (BP)′ et réciproquement.
2. Amplificateur Opérationnel Parfait (en régime linéaire seulement)
Il est obtenu en faisant:
A = ∞,
Re = ∞,
Rs = 0.
a) A = ∞
En régime linéaire: Vs = A(V+ -V-) = Aε.
-Vcc ≤ Vs ≤ +Vcc → ε = V+ - V- = Vs/A = 0 si A= ∞.
→
V+ = V-
b) Re = ∞
L’impédance d’entrée est infinie, les courants d’entrée + et – sont donc nuls:
→
i+ = i- = 0
c) Rs = 0
La tension de sortie en charge est égale à la tension de sortie à vide, c’est-à-dire: Vs = Aε quelle que
soit la charge.
+ Montages à base de l’A.O.:
• Convertisseur Tension-Courant
En régime linéaire
En A: il y a une masse virtuelle
• Convertisseur Courant-Tension
car
V- = V+
et V+ = 0
→ i = V1/R1; i circule dans Z car i+ = i- = 0.
→ On règle par V1 le courant qui passe dans la charge Z
indépendamment de la valeur de Z.
→ Vu entre AB, le montage se comporte comme un
générateur de courant parfait commandé en tension par
V1.
En outre, on a l’équation: V2 = -Z i.
En régime non linéaire
ε ≈ 10/105 = 0.1mV
ε = V+ - V- = -V- ≈ V1.
(Début du régime non linéaire: Gamme d’amplitude de
V1 à partir de laquelle la conversion n’est plus linéaire:
V1 = ε = 0.1mV).
En régime linéaire
i+ = i- = 0 → i traverse R2.
→ Vs = -R2 i.
(Masse virtuelle en M car V+ = V- = 0)
Vs = -R2 i est indépendant de la charge Z.
→ Vu entre A et B, le montage se
comporte comme un générateur de tension
parfait commandé par le courant i.
• Amplificateur inverseur:
Régime linéaire
V+ = V- (régime linéaire)
V+ = 0; V− =
R1Vs + R2Ve
R1 + R2
Ve V s
0
+
+
R R2 Re
(Th. de Millman: V− = 1
)
1
1
1
+
+
R1 R2 Re
Avec Re résistance
d’entrée ∞ de l’AOP.
Approximation de l’AOP parfait: V+ = V- (masse virtuelle en V-) → vs(t) = -R2/R1 ve(t)
En notations complexes, on a: Vs ( jω) = −
Régime non linéaire
R2
V ( jω )
R
Ve ( jω) → Gain complexe: G ( jω ) = s
=− 2.
R1
Ve ( jω )
R1
Valeur de Ve (notée Vem) rendant le système non linéaire:
V
R
R
À la limite de la linéarité, on a: s = − 2 → Ve = − 1 V s .
Ve
R1
R2
R1

V
>
V
=
V cc
e
em

R2
Avec V s = ±V sat →  ou
V < −V = − R1 V
em
cc
 e
R2
30
Montage intégrateur :
ou encore :
A cause de Voffset, ve(t) → ve(t) + Voffset = ve(t) + Cte
→ vs(t) va saturer à Vcc ou -Vcc(selon le signe de la C te) car une Cte intégrée est une rampe, et
-Vcc ≤ vs ≤ +Vcc:
Pour éviter ce phénomène de saturation de l’intégrateur (dû à l’offset), on peut restreindre la plage
d’utilisation (≡ de fréquences) de l’intégration en n’intégrant qu’à partir d’une fréquence de quelques
Hertz (et non à partir de la fréquence 0 correspondant à l’offset continu).
Ceci peut être réalisé en plaçant une résistance R’ aux bornes du condensateur (R’ en parallèle avec C).
La fréquence f’ à partir de laquelle le montage va intégrer, dite fréquence de coupure, est : f
'
=
1
.
2πR ' C
Le montage ne va donc pas intégrer pour toutes les fréquences comme le montage initial mais
seulement pour les fréquences supérieures à f’.
• Montage Dérivateur:
• Montage non Inverseur:
• Montage suiveur (adaptateur d’impédance):
• Montage Sommateur inverseur:
3. Amplificateur Opérationnel Réel
Il est représenté par le modèle différentiel (ou le modèle différentiel et de mode commun).
Notamment, on ne fait plus l’approximation, en linéaire: V+ = V-, mais on revient à la relation de
base: Vs = A(V+ - V-).
Trois types d’erreurs sont introduites du fait des imperfections:
• Erreurs de calcul: elles viennent du fait que: A ≠ ∞, Re ≠ ∞, Rs ≠ 0;
• Erreurs statiques: résultant de la présence de générateur de tension et courant parasites;
• Erreurs dynamiques: issues de la présence d’éléments réactifs (≡ dépendant de la fréquence)
capacités ou selfs parasites.
3.1 Erreurs de calcul
3.1.1 Erreurs dûe à l’amplification finie (A ≠ ∞)
Soit le montage inverseur:
Vs = Aε = A(V+ − V− ) avec A fini.
V s = A (V 2 − V − )
V−
R V + R 2V 1
= 1 s
R1 + R 2
En posant:
Vs idéal =
γ =
1
γ
R1
R1 + R 2
(Théorème de Millman)
on a : Vs =
[V2 −V1(1− γ )]
Obtenu avec A = ∞ (= en faisant V+ =V-)
→Vs = A(V2 −
R1Vs + R2V1
).
R1 + R2
A
[V2 − V1 (1 − λ )] (1)
1 + γA
→ V sidéal
Vs
− Vs =
γA
Erreur absolue
Vsidéal −Vs
Vs
1
=
γA
Erreur relative
3.1.2 Erreurs dûe à l’impédance d’entrée non infinie (Ri ≠ ∞)
Exemple sur le schéma précédent: on fait intervenir Ri:
V1 − V− Vs − V− V− − V2 (2)
+
=
R1
R2
Ri
Vs
Vs = A(V2 −V− ) →V− = − +V2
A
R1
et en remarquant que: R12 = γR2 et: R12 = (1 − γ ) R1
En posant γ =
La loi des nœuds en (-) donne:
R1 + R2
R12 = R1 // R2
 A γ Ri

AR i
( 2) → Vs 
+ 1 =
[V 2 − (1 − γ )V1 ]
R
+
R
R
+
R
i
i
12
 12

En posant: AR =
ARi
on a:
R12 + Ri
Vs [γAR + 1] = AR [V2 − (1 − γ )V1 ]
(relation à comparer avec (1))
→ Tout se passe comme si l’amplificateur opérationnel avait une résistance d’entrée Ri ∞ et un gain de
Boucle Ouverte AR car l’erreur relative s’écrit: ε R
=
1
.
AR γ
3.1.3 Erreurs dûe à l’impédance de sortie non nulle (R0 ≠ 0)
On peut modéliser cet état en prenant l’A.O. précédent auquel on ajoute la résistance R0 en série sur la
sortie:
Exemple : Montage inverseur
 1 A
 1 1 1


−  = Vs  + + 
On a: V’s = -AVC → en B, on a (Th. De Millman): VC 
 R2 R0 
 RL R0 R2 
R0
1
A
A
VC
<< R2 → << →Vs = − .
A
R2
R0
R0 1 + 1 + 1
R0 RL R2
En posant: As =
A
 1
1 

1 + R0 
+
 R L R2 
on a:
V s = − AsV C = As (V + − V − )
→ Tout se passe comme si l’A.O. avait un gain de Boucle Ouverte As.
Erreur relative introduite:
ε R = 1 / Asγ
3.2 Erreurs statiques
3.2.1 Tension résiduelle d’entrée (ou tension de décalage d’offset)
La tension en sortie de l’AO n’est pas nulle lorsque l’on connecte les deux entrées V+ et V- à la masse:
on n’a pas ε = 0 → Vs = Aε = 0 du fait d’un biais de l’AO.
Pour des facilités de calcul, ce défaut peut être ramené à l’entrée.
On appelle tension résiduelle (ou tension de décalage d’offset), la tension que doit fournir une source
de tension placée entre les deux entrées et permettant d’avoir une tension de sortie nulle:
Voffset est une tension (Constante).
En pratique le principe de superposition, la tension de décalage d’offset peut être représentée comme
un générateur de tension d’erreur en série avec l’une des deux entrées de l’AO.
Le constructeur indique comment réaliser, à l’aide d’un potentiomètre extérieur et des connexions
(entrées) spécifiques de l’AO, un réglage permettant, pour le montage spécifique envisagé, de se
rapprocher d’une tension de sortie nulle (Travaux pratiques).
Voffset (≈ 0.01 mV ou inférieur).
Ce décalage d’offset est principalement dû
au fait que les transistors constituant l’AO
ne sont pas parfaitement identiques.
3.2.2 Courant de polarisation d’entrée – Courant résiduelle d’entrée
Exemple:
Les courants d’entrée i+ et i- étant non nuls, on a:
Soit V1 tel que Vs = 0. (V1≡ -Voffset): les deux entrées sont parcourues par des courants iB- et iB+.
i B − + iB +
.
2
- courant résiduel d’entrée (courant d’offset): iD = iB − − iB + .
On appelle: - courant de polarisation, le courant:
iB =
On peut les représenter par 2 générateurs de courtant iB- et iB+ sur les 2 entrées de l’AO:
3.3 Erreurs dynamiques
Exemple: slew rate (vitesse de balayage)
Un amplificateur parfait ne déforme pas le signal d’entrée : sa sortie est une réplique exacte de
l’entrée mais d’amplitude majorée.
La vitesse de balayage ‘’slew rate’’ est la constante de temps de réponse à un signal d’entrée
rectangulaire d’amplitude juste inférieure à celle qui entraînerait la saturation.
Lorsque la variation du signal d’entrée d’un amplificateur est supérieure à sa vitesse de balayage, sa
sortie est une droite de pente SR.
Slew Rate: SR =
∆v
∆t
Le slew rate caractérise la vitesse maximale de l’évolution de la sortie.
Plus le slew rate est élevé, meilleure est la qualité de l’AO.
4. Amplificateur Opérationnel en Régime non Linéaire (Commutation)
Lorsqu’il n’y a pas de rebouclage de la sortie sur l’entrée inverseuse (→ pas de retranchement du
signal de sortie en entrée), la zone de fonctionnement se situe uniquement en saturation (l’instabilité
écarte l’AO du domaine linéaire): Vs = ±Vcc (selon le signe de ε = V+ - V-).
On’a plus: V+ = V-, ni de fonctionnement linéaire:
V+ ≠ V-
Vs ≠ A(V+ - V-)
→ Si ε > 0: V+ > V- → Vs = +Vcc
Si ε < 0: V+ < V- → Vs = -Vcc
(Le domaine linéaire existe toujours d’après l’équation fondamentale Vs = A(V+ - V-), mais ce
domaine est ici tellement étroit qu’il se réduit à un point au centre du domaine non linéaire).
Exemple: Montage Comparateur
Vs
+Vcc
0
Si V2 > V1:
V+ > V-
→ε>0→
Vs = +Vcc.
Si V2 < V1:
V+ < V-
→ε<0→
Vs = 0.
V1 = V2, soit V- = V+ (ε = 0), est un point de fonctionnement instable.
ε = V+ - V-
II. LES FILTRES ANALOGIQUES ET LEURS DIMENSIONNEMENTS
Le signal de mesure, support de l’information, est caractérisé par son spectre de fréquences; on
définit le spectre utile par l’ensemble de fréquences, limité supérieurement à la fréquence haute Fh,
nécessaire à une transmission convenable de l’information.
La fonction du filtre est d’éliminer autant que possible du signal à traiter l’ensemble des
fréquences extérieures au spectre utile et en particulier signaux non désirés, parasites
industriels et bruit de fond.
II.1 Fonctions de transfert des filtres
La fonction de transfert d’un filtre est le rapport de la tension de sortie à la tension d’entrée,
s’écrit avec les notations complexes (jw = p opérateur d’Heaviside lorsque le signal de test est
sinusoïdal), comme le rapport de deux polynômes :
H (p) =
a + a1p + a 2 p 2 + a 3 p 3 + a 4 p 4 + ...... + a α p α
b + b1p + b 2 p 2 + b 3 p 3 + b 4 p 4 + ..... + b β pβ
Toutes les fonctions de transfert peuvent être décomposées comme le produit de fonctions de transfert
du premier et du deuxième ordre.
Le filtre est généralement de type passe-bas, sa bande passante étant limitée au strict minimum imposé
par le spectre utile du signal de mesure.
II.2 Types de filtres
La fonction de transfert ou gain d’un filtre passe-bas peut s’écrire: G (ω ) =
G0
.
A(ω )
Où A(ω) est l’atténuation apportée par le filtre à la pulsation ω; on a, en outre A(0) = 1, G0 étant le
gain en tension du filtre en continu.
II.2.1 Synthèse et Familles des filtres
Dans le cas des filtres polynomiaux fréquemment utilisés, A(ω) est un polynôme dont l’ordre k définit
l’ordre du filtre.
Lorsque k est pair, A(ω) peut se mettre sous la forme d’un produit de termes quadratiques soit :
  p
A (ω ) =  a1 
  ω 0
2
   p

p
 + b1
+ 1...  a j 
ω0    ω0

 
2


p
 + b j
+ 1
ω0 


où j = k / 2.
 p 
+1
Lorsque k est impair, la fonction A(p) contient, en plus, un facteur du premier degré de la forme: a0
ω
0


De ces expression découle un mode de synthèse de ces filtres:
- Un filtre d’ordre k pair (k = 2j) est réalisé par la mise en cascade de j filtres d’ordre 2, chacun
correspondant à l’un des termes quadratiques;
- Un filtre d’ordre k impair (k = 2j+1) est réalisé par la mise en cascade de j filtres d’ordre 2 et un filtre
d’ordre 1.
Plus l’ordre k d’un filtre est élevé, plus sa fonction de transfert est proche de celle du filtre idéal; mais
plus k est élevé plus sa réalisation devient complexe.
Les diverses familles de filtres portent même nom que les polynômes utilisés pour définir leur
atténuation A(ω).
Les filtres de Butterworth sont caractérisés, pour un ordre k donné, par la réponse la plus uniforme
dans la bande passante (Figure ci-après).
Le module de l’atténuation d’un filtre passe-bas d’ordre k a pour expression:
A( F ) = 1 + ( F / F0 ) 2k .
Réponses normalisées des filtres passe-bas de Butterworth en fonction de la fréquence
(signal sinusoïdal).
Les filtres de Chebychev représentent, pour un ordre k donné, la séparation la plus nette entre la
bande passante et la bande atténuée; dans la bande passante, ils ont cependant une réponse qui
oscille k fois (k étant l’ordre du filtre) entre un maximum et un minimum.
Plus l’amplitude de cette oscillation est grande, plus franche est la coupure entre bande passante et
bande atténuée (Figure ci-après).
Le module de l’atténuation d’un filtre passe-bas d’ordre k a pour expression:
A(F ) = 1 + a2 .Ck2 (F / F0 )
où
C k (F / F0 ) = cos( k arccos (F / F0 ))
est le polynôme de Chebychev d’ordre k qui, pour 0 ≤ F ≤ F0, oscille k fois entre 0 et 1; le paramètre
a détermine l’amplitude de l’oscillation de |A(F)| dans la bande passante.
Réponses normalisées des filtres passe-bas de Chebychev (ondulation 0,5 db) en fonction de la
fréquence.
Les filtres de Bessel ont l’avantage d’avoir, dans la bande passante et pour un ordre k donné, le temps
de transmission le plus constant; il en résulte une minimisation de la distorsion de phase qui se traduit,
en particulier, par une déformation minimale des signaux complexes impulsionnels (Figure).
Le temps de transmission a pour expression: τt = dφ/dω; si dans la bande passante τt est quasi constant,
on a : φ ≈ ωτt..
On considère un signal complexe appliqué à l’entrée du filtre:
vi (t ) = ∑ ai . cos(ωi t + ψ i ).
Les composantes du signal étant dans la bande passante du filtre, on a en sortie:
Dès lors que
ϕ i = ω iτ t
v0 = G0 ∑ ai . cos(ωi t +ψ i − ϕi ).
on peut écrire:
v 0 = G 0 ∑ a i . cos( ω i ( t − τ t ) + ψ i ) = G 0 .v i ( t − τ t ).
On constate que le filtre n’introduit sur le signal qu’un retard temporel τt.
Réponses normalisées des filtres passe-bas de Bessel en fonction de la fréquence (signal
sinusoïdal).
II.2.2 Méthodes de réalisation
On distingue, selon les moyens mis en œuvre pour leur réalisation les filtres passifs et actifs.
• Les filtres passifs : ce sont des filtres qui utilisent uniquement des dipôles passifs (R, L, C).
Très utilisés pour le filtrage antiparasite des lignes d’alimentation et de façon générale pour le filtrage
haute fréquence.
• Les filtres actifs : ce sont des filtres qui utilisent en plus des dipôles passifs au moins un composant
actif tel que le transistor, l'amplificateur opérationnel, etc.
Un amplificateur opérationnel et les impédances associées permettent de réaliser un filtre d’ordre 1
ou 2; la mise en cascade de cellules de ce type permet a priori la réalisation de filtres d’ordre k
quelconque.
La fonction de transfert ou gain G(p) d’une cellule passe-bas du second ordre a une expression
générale de la forme:
G0
G0
G( p) =
=
(p = jω)
2
A( p )
 p 
1 p
  + .
+1
ω
Q
ω
0
 0
Où G0 gain statique, ω0 pulsation de coupure et Q coefficient de qualité sont déterminés par les
résistances et les capacités utilisées.
La stabilité de ces caractéristiques exige l’emploi de composants dont les dérives, thermiques en
particulier soient minimales: résistances à film métallique, condensateurs à diélectrique polymère…
Réalisation des autres filtres
Les fonctions de transfert sont toujours données pour des filtres passe-bas.
Pour la réalisation des autres filtres on opère un changement sur la variable symbolique:
P =
jω
ω0
• Transformation passe-bas → passe-haut: le changement de variable: P →
• Transformation passe-bas → passe-bande: le changement de variable:
Avec
B=
∆f
la bande passante relative.
f0
1
.
P
1
1
P →  P + .
B
P
• Transformation passe-bas → coupe-bande: le changement de variable: P
→
B
(P +
1
)
P
.
II.3 Conditions imposées et paramètres du filtre
Les paramètres du filtre – ordre du filtre et fréquence F0, limite de la bande passante peuvent être
déterminés à partir de conditions imposées:
- Une condition sur la régularité de la bande passante;
- Une condition sur l’affaiblissement dans la bande atténuée.
II.3.1 Condition relative à la bande passante
Afin d’éviter une déformation du signal utile dans la bande passante, il ne faut pas que l’atténuation des
diverses fréquences qui le constituent soit trop différente.
Soit ε1 la variation relative maximale tolérable du gain du filtre dans le spectre utile.
La réduction du gain étant la plus importante à la fréquence Fh la plus haute du spectre utile, on impose
donc:
G ( Fh )
G0 −G ( Fh )
G0
≥ 1 − ε 1 soit:
avec G ( F ) =
.
1
G0
G0
A( F )
1
D’où: A ( Fh ) ≤
≅ 1 + ε 1 (1)
≤ε
1 − ε1
• Cas d’un filtre de Butterworth. La condition précédente s’écrit:
1+ (Fh / F0 )2k ≤ 1+ ε1.
2k
 F 
dont on tire:  h  ≤ 2 ε 1 pour F << F
(2)
h
0
 F0 
• Cas d’un filtre de Chebychev. La condition (1) s’écrit:
Avec dans la bande passante − 1
dont on tire:
a ≤ 2ε 1 .
≤ C k ≤ 1.
1 + a 2 .C k2 ≤ 1 + ε 1 .
II.3.2 Condition relative à la bande atténuée
On considère une perturbation dont l’amplitude est Ep et dont la fréquence Fp est au-delà du spectre
utile du signal de mesure.
On impose au filtre de réduire l’amplitude de cette perturbation à la fraction ε2 de l’amplitude Es du
signal de mesure de fréquence Fs:
G ( F ). E ≤ ε G ( F ). E
p
p
Le signal de mesure étant dans la bande passante
E
≤ ε 2Es
p
A(Fp )
soit:
2
G(Fs ) ≅ G0
A(Fp ) ≥
s
s
et l’équation précédente s’écrit:
E
p
Es
.
1
ε
2
En général Ep < Es si bien que l’inéquation précédente peut être remplacée par la condition plus sévère:
A( F p ) ≥
1
ε2
.
(3)
2k
• Cas du filtre de Butterworth. La condition précédente s’écrit: 1+ (Fp / F0 ) ≥
 Fp
F
 0
dont on déduit: 



2k
≥
1
ε
2
2
(4)
1
ε2
où
Fp > F0.
II.3.3 Synthèse: Cas du filtre de Butterworth
Les relations (2) et (4) permettent d’écrire:
 Fp 


 Fh 
2k
≥
1
2 ε 1ε
2
2
(5)
Cette dernière relation permet de déterminer l’ordre minimal k du filtre nécessaire pour satisfaire aux
conditions imposées:
2
− log( 2 ε 1 ε 2 )
k ≥
.
2 log( Fp / Fh )
(6)
La connaissance de k jointe aux relations (2) et (4) permet la détermination d’une fréquence de coupure
F0 qui doit satisfaire aux deux inégalités:
F0 ≥
Fp
2k
2ε 1
Exemple: Fh = 102 Hz;
(2’) et
F0 ≤ F p . k ε 2
(4’)
Fp = 6×103 Hz; ε1 = 10-2; ε2 = 10-2.
La relation (6) donne: k ≥ 3,7. On choisit k = 4.
De la condition (2’) on déduit alors: F0 ≥ 162 Hz.
De la condition (4’) on tire: F0 ≤ 310 Hz.
On prendra, par exemple: F0 = 200 Hz.
Autre expression de l’ordre minimal du filtre
On définit l’atténuation β exprimée en db: β = 20 log A.
Pour un filtre de Butterworth d’ordre k:
A( F ) = 1 + ( F / F0 ) 2 k .
et
β ( F ) = 10 log( 1 + ( F / F 0 ) 2 k ).
La condition relative à la bande passante impose une atténuation maximale βmax à la fréquence haute
Fh soit: β
≥ 10 log( 1 + ( F / F ) 2 k )
max
dont on déduit:
 Fh

 F0
h



0
2k
≤ 10 0 ,1 β max − 1 .
La condition relative à la bande atténuée impose une atténuation minimale βmin à la fréquence
perturbatrice Fp soit: β
≤ 10 log(1 + ( F / F ) 2 k ).
min
p
0
2k
 Fp 

 ≥ 10 0 ,1 β min − 1 .
 F0 
2k
F 
Finalement  p  ≥ (10 0 ,1β min − 1) /(10 0 ,1β max − 1)
F 
 h
log[(100,1β min − 1) /(10 0,1β max − 1)]
et:
k≥
. (6’)
2 log( Fp / Fh )
dont on déduit:
Exemple: Fh = 0,1 kHz; βmax = 1db; Fp = 0,3 kHz; βmin = 40 db.
On déduit de la formule (6’): k ≥ 4,8 soit : k = 5.
Chapitre III: La contre réaction
1. But de la contre réaction (rétroaction):
Les différents composants électroniques ont des valeurs et des caractéristiques qui varient
légèrement de l’un à l’autre et qui varient avec la température.
Ces imperfections entraînent dans les systèmes électroniques, où les constituants sont insérés,
des distorsion d’amplitude, de phase, de non linéarité ainsi que de bruit.
- La contre-réaction à pour but de s’affranchir de ces distorsions de manière à obtenir un
système rétro-actionné aussi parfait que possible.
- La contre-réaction permet aussi d’améliorer les performances globales d’un système
électronique en superposant au signal d’entrée tout ou partie du signal de sortie.
2. Organisation générale d’un système rétro-actionné
Un système à réaction comprend trois organes essentiels (Figure 1):
1- La chaîne directe, où chaîne d’action, qui assure la commande de la charge;
2- La chaîne de réaction ou chaîne de retour, qui assure le prélèvement de la grandeur de sortie;
3- Le comparateur d’entrée qui permet la réinjection dans le circuit d’entrée du terme de réaction.
S’il élabore la différence entre la grandeur d’entrée e(t) et le terme de réaction er(t), il est dit
comparateur négatif.
Le résultat ε(t) de la différence entre e(t) et er(t) est appelé signal d’erreur.
e(t)
ε (t)
+
Signal d’entrée
S(t)
µ
Chaîne directe
Signal de sortie
er(t)
ß
Signal de rétroaction
Chaîne de retour
Réinjection
Sr(t)
Figure 1.
Remarque 1: si le signal de réaction est de signe contraire au signe du signal d’entrée, on a une
réaction négative ou contre réaction.
Si les deux signaux ont de même signe, on a une réaction positive.
3. Gain du système bouclé:
Soient µ et ß les gains en boucle ouverte des chaînes directe et de retour.
Avec les notations de la figure du paragraphe précédent on a:
µ = S(t)/ε(t); ß = er(t)/Sr(t).
Par ailleurs, en se limitant pour l’instant de la contre réaction:
ε(t) = e(t) – er(t).
(Dans le cas ou réaction positive : ε(t) = e(t) + er(t)).
Le gain G du système contre réactionné sera: G = S(t) / e(t).
Nous supposons que tout le signal S(t) est prélevé par la chaîne de retour: Sr(t) = S(t).
Alors:
ε(t) = e(t) – ßSr(t)
Par ailleurs
S(t) = µ.ε(t) = µ.(e(t) – ß.S(t))
Donc
S(t).(1 + µ.ß) = µ.e(t)
Le gain G est donc: G =
S (t )
µ
=
e (t ) 1 + βµ
(Dans le cas ou réaction positive: G =
S(t)
µ
=
e(t) 1− βµ
G est la fonction de transfert du système bouclé.
La quantité µ.ß = er/ε est appelé fonction de transfert en boucle ouverte.
Cas particulier: Si µ.ß >> 1, G ~ 1 / ß : le gain du système bouclé ne dépend alors que de la chaîne de retour.
Remarque 2: - Si µ et ß sont tous deux réels, on voit que G est réel.
- Si µ ß = - 1→ le système est instable: oscillation.
4. Classification des montages à contre réaction
Pour classer les différentes types de système bouclés la méthode la plus simple consiste à tenir compte
d’une part, de la façon dont on prélève le signal de sortie; d’autre part, de la manière dont on réinjecte le
terme de réaction dans le circuit d’entrée.
• Le prélèvement en sortie peut se faire, soit en parallèle (Fig. 2 (a)) soit en série (Fig. 2 (b)).
- Dans le 1er cas la grandeur prélevée est la tension de sortie;
- Dans le 2end , c’est le courant de sortie qui attaque la chaîne de retour.
• La réinjection dans le circuit d’entrée peut se faire, soit en série (Fig.2(c)), soit en parallèle (Fig.2(d)).
- Dans la réinjection série, le terme de réaction est une tension;
- Dans la réinjection parallèle le signal issu de la chaîne de retour est un courant.
µ
Vs
µ
is
(b)
(a)
ir
µ
µ
Vr
(c)
Figure 2: (a) prélèvement parallèle, (b) prélèvement série,
(c) réinjection série, (d) réinjection parallèle.
(d)
La combinaison des différents modes de prélèvement et de réinjection conduit à quatre types de
système bouclés (Figure 3).
V1
is
µ
Ve
Vs
V1
µ
Ve
Vr
Vr
ß
ß
(a)
i1
(b)
i1
ir
ie
µ
is
ir
ie
µ
Vs
Figure 3.
ß
(c)
ß
(d)
La nomenclature de ces différents montages varie avec les auteurs.
1er nomenclature: désigne d’abord le mode de 2eme nomenclature: désigne d’abord la grandeur
prélevée et en suite le mode de réinjection.
réinjection et en suite le mode de prélèvement.
Exemple:
Réaction série – parallèle (Fig. 3 (a));
Réaction série – série (Fig. 3 (b));
Réaction parallèle– série (Fig. 3 (c));
Réaction parallèle – parallèle (Fig. 3 (d)).
C’est cette désignation que nous choisissons car sa
logique correspond à la réalité il y a prélèvement puis
réinjection.
Exemple: Réaction tension– série (Fig. 3 (a));
Réaction courant– série (Fig. 3 (b));
Réaction courant – parallèle (Fig. 3 (c));
Réaction tension – parallèle (Fig. 3 (d)).
5. Influence de la contre réaction sur les caractéristiques d’un amplificateur
5.1 Influence de la contre réaction sur le gain
Un opérateur présente un gain qui peut subir des variations de sorte que certaines fréquences sont
amplifiées différemment que d’autre fréquence.
Ce phénomène constitue la distorsion d’amplitude: on peut quantitativement le caractériser par la
variation relative dµ/µ.
• Expression de la dérivée de G par rapport à µ: dG / dµ ?
Rappelons que: G =
µ
1 + βµ
dG 1 + βµ − βµ
=
dµ
(1 + βµ ) 2
Nous introduisons le rapport G/µ dans cette expression:
Or :
G
1
dG
1 G
=

→
=
µ 1 + βµ
dµ 1 + βµ µ
Les variations relatives des deux amplifications µ et G sont liées par la relation:
Comme
dG dµ
1
<
.
< 1 si ßµ est réel. Par conséquence:
1 + βµ
G
µ
dG
1 dµ
=
.
G 1 + βµ µ
Conclusion: la distorsion d’amplitude du système bouclé dG/G est donc plus faible que celle du
système non bouclé dµ/µ.
La contre réaction améliore donc la distorsion d’amplitude.
dG
dµ
<<
Si µ ß >> 1 alors:
G
µ
5.2 Influence de la contre réaction sur la bande passante
Nous envisageons ici le régime sinusoïdal.
Nous placerons dans le cas particulier ou ß est un nombre réel.
Considérons un système amplificateur dont la chaîne directe possède une bande passante [fb, fh].
Le Diagramme de Bode asymptotique pour le gain à pour l’allure suivant:
GdB
Sans C. R
20 log µ0
Avec C. R
20 log G0
log f
f’b fb
a) Cas du domaine de basse fréquence:
fb: fréquence de coupure basse.
fh: fréquence de coupure haute.
fh f’h
En régime de basse fréquence la fonction de transfert de la chaîne directe peut s’écrire: µ ( jf ) =
où µ0 est la valeur de la fonction dans la bande passante.
µ
µ0
f
1− j b
f
µ0
On déduit immédiatement la fonction de transfert du système bouclé: G( jω) =
=
f
1+ βµ
f
G0
µ0
1+ µ0β − j b
Avec: G0 =
De la forme: G ( jf ) =
et f ' = b
f
f '
b 1+ µ β
1
+
µ
β
b
0
0
1− j
f
Conclusion: La contre réaction, dans la bande passante diminue la fréquence de coupure basse
(car 1 + µ ß > 1)
b) Cas du domaine des fréquences élevées:
En régime de hautes fréquences, nous verrons que la fonction de transfert de la chaîne d’action peut
s’écrire:
µ0
µ( jf ) =
1+ j( f / fh )
µ0
µ
=
On déduit la fonction de transfert du système bouclé: G ( jf ) =
1
+
β
µ
1 + βµ 0 + j ( f / f h )
G0
De la forme: G( jf ) =
1 + j( f / f h )
µ0
Avec: G0 =
et f h ' = f h (1 + µ 0 β )
1 + µ0 β
On voit qu’alors G0 < µ0
et
f’h > fh.
Conclusions:
La contre réaction, dans la bande passante d’un amplificateur, augmente la fréquence de coupure haute.
On constate également que si la bande passante est élargie par une contre réaction, l’amplification dans
la bande passante est diminuée d’autant.
c) Facteur de mérite de l’étage:
• Sans C. R, pour une chaîne directe, le facteur de mérite M est égale à: M = µ0 (fh - fb).
avec fb << fh
donc
M ≈ µ0 fh.
µ0
M '= G0 f ' =
∗ f (1 + µ 0 β ) = µ 0 f
h 1+ µ β
h
h
0
Résultat: La contre réaction ne modifie pas le facteur de mérite.
• Avec C. R:
6. Influence de la contre réaction sur les impédances:
6.1 Impédance d’entrée du système bouclé
a) Réaction de tension série
Appelons Ze l’impédance d’entrée de la chaîne directe.
D’après la figure ci-contre nous pouvons écrire:
i1
V1
Vr
V 1 = V e + V r = V e (1 +
).
Ve
Vs
V 1 = V e (1 + β µ ) 
µ
=

V
Ve
βµ = r

Ve
β = Vr

Vs
Ve
Ze µ
Zc
Vr
ß
V
V
L’impédance d’entrée du système avec réaction est : Z 'e = 1 = e (1 + µ β ) = Z e (1 + µ β )
i1
i1
Lorsqu’il y a C.R., le module de (1+µß) est supérieur à l’unité par conséquent:
Z 'e = Z e • 1 + µ β ⇒ Z 'e > Z e
Conclusion: La CR de tension série augmente le module de l’impédance d’entrée.
Vs
D’après la figure ci-contre, il vient:
ie
i1
b) Réaction de tension parallèle.
V1
ir
Ze µ
Zc
Vs
i1 = ie + ir = ie (1 + ir/ie)
ß
Figure 4.
X r ir
=
⇒ i1 = ie (1 + βµ )
E
ie
Ze
V
V
1
=
L’impédance d’entrée du système avec réaction est : Z 'e = 1 = 1
i1
ie (1 + βµ ) (1 + βµ )
Le produit µß des fonctions de transfert est : β µ =
Lorsqu’il y a C.R., le module de (1+µß) est supérieur à l’unité et par conséquent:
Z 'e =
Ze
⇒ Z 'e < Z e
1 + βµ
Conclusion: Le module de l’impédance d’entrée est plus petit que sans CR.
6.2 Impédance de sortie du système bouclé
Le module de l’impédance de sortie du système bouclé est inférieur au module de l’impédance de sortie
de la chaîne directe sans CR.
7. Contre réaction tension-série:
Dans la C.R. tension-série la grandeur prélevée est la tension de sortie, la grandeur réinjectée est une
tension.
7.1 Schéma équivalent sans réaction
Nous allons choisir comme schéma équivalent de la chaîne directe un schéma mettant en évidence
dans le circuit de sortie un générateur de Thévenin dont la f.é.m. est commandée par la tension
is
ie
d’entrée (Figure 5).
Zs
Ve
Ze
µ Ve
Vs
ZC
Figure 5
On déduit immédiatement les relations qui régissent le circuit: Ve = Zeie
Vs = µVe + Z sis
7.2 Schéma équivalent avec contre-réaction
Par hypothèse, le circuit de réaction ne change pas l’amplitude, le courant absorbé par la chaîne de
retour est donc négligeable devant le courant de charge.
is
i1
V1
Ve
Zs
µ Ve
Ze
Vr
i0
i0
ß
Expression de l’impédance d’entrée du montage avec C.R.?
La loi des mailles appliquée au circuit de sortie entraîne:
Vs = µVe + Z s (is − i0 ) ≈ µVe + Z s is

Vs = − Z cis .
On déduit: Vs = µVe
Z
(1+ s
.
Zc
)
Vs
Zc
Si ß est la fonction de transfert de la chaîne de réaction on a : Vr = ß.Vs
β µV e
Soit:
.
Vr =
Zs
(1 +
)

Zc
La loi des mailles appliquée au circuit d’entrée nous donne: V1 = V e + V r = V e 1 + β µ




En remplaçant Ve par sa valeur en fonction de i1, il vient: V1 = Ze 1+ βµ
•i

Zs  1
(1+
)

Zc 
Cette expression peut se mettre sous la forme:
Avec: Z 'e = Z e (1 +
βµ
Z
(1 + s )
Zc



Z
(1 + s
)
Zc 
V1 = Z 'e i1
)
Expressions de l’amplification et de l’impédance de sortie du montage avec C.R?
La loi des mailles appliquée au circuit d’entrée nous permet d’écrire: Ve = V1 − V r = V1 − β V s
On a aussi: Vs = µVe + Z s is = µ (V1 − β Vs ) + Z s is
Cette expression peut se mettre sous la forme: Vs = A'v V1 + Z 's is
Avec:
A 'v =
µ
,
1 + βµ
Z 's =
Zs
1 + βµ
Où A’v est l’amplification en tension à vide (is = 0) et Z’s l’impédance de sortie en court-circuit du
montage à réaction.
Conclusions:
Les résultats précédents permettent d’établir un nouveau schéma équivalent du système bouclé (Fig. 6).
La C.R. tension-série:
Diminue l’amplification en tension à vide et l’impédance de sortie en court-circuit.
Augmente l’impédance d’entrée.
i1
V1
Z’s
Z’e
A’V1
is
Zc
Figure 6
7.3 Exemple d’application: amplificateur non inverseur
a) Schéma du montage:
L’A.O est caractérisé par sa résistance d’entrée différentielle Re = Red sa résistance de sortie Rs et son
amplification différentielle en tension à vide Ad.
Rs
i1
i1
is
i0
Ve
RL
V1
Red
Ve
V1
AdVe
Vr
Vr
R1
Vr
R2
R1
Vs
Figure 7
Figure 8
b) Schéma équivalent du montage avec réaction:
Il met en évidence la chaîne directe (A.O) et la chaîne de retour (Figure 8).
Par identification avec le schéma de la figure 6 nous trouvons:
Zs = Rs
µ = Ad.
Ze = Red
Vs
RL
c) Détermination de la fonction de transfert β:
On a :
β =
Vr
R1
=
Vs
R1 + R 2
β est un réel positif.
d) Paramètre du système bouclé:
Les résultats trouvé dans le paragraphe 7.2 nous permettent d’écrire:
• Impédance d’entrée: Z e = R ed [1 +
'
• Impédance de sortie:
Z s' =
• Amplification en tension:
β Ad
1 + ( Rs / RL )
]
Rs
1 + β Ad
Av' = Ad /(1 + β Ad )
• Fréquence supérieur de coupure: f s = f s (1 +
'
β Ad )
e) Exemple numérique:
Les performances de l’AO sont:
Ad = 105, GdB = 100 dB, fs = 10 Hz, Re = 107 Ω, Rs = R1 = 1 kΩ , R2 = 10 kΩ.
Pour le montage précédent, les calcules donnent, avec:
β = 0.1, A’v = 10, GdB = 20 dB, f’s = 100 kHz, R’e = 1011 Ω, R’s = 10-1 Ω.
GdB
100
G = 20logAd
80
60
40
G’ = 20logA’v
20
F (Hz)
fs= 10 102
f’s= 105
106
f) Conclusion:
Les propriétés de l’AO réel sont:
• Grande amplification;
• Grande résistance d’entrée;
• Petit résistance de sortie.
Ces propriétés en font un composant actuellement sans égal.
En revanche, il possède le grave inconvénient d’avoir une bande passante très étroite.
Nous voyons que, en l’utilisant dans le montage de la C.R nous avons amélioré ses qualité pour les
résistance et surtout, nous avons considérablement augmenté la fréquence supérieur de coupure,
donc la bande passante.
Seul inconvénient, c’est que l’amplification est plus faible.
8. Contre réaction tension-parallèle:
Dans la C.R tension-parallèle, la grandeur prélevée est la tension de sortie.
La grandeur réinjectée est un courant.
8.1 Schéma équivalent sans réaction
Nous allons donc choisir, comme schéma équivalent de la chaîne directe un schéma mettant en
évidence dans le circuit de sortie un générateur de Thévnin commandé par le courant d’entrée
(Figure 9).
is
ie
Zs
Ve
Ze
Ztie
Vs
ZC
Figure 9
On en déduit immédiatement les relations qui régissent le circuit.
Ve = Z ei e
Vs = Z t ie + Z s is
Où Zt est l’impédance de transfert.
8.2 Schéma équivalent avec contre-réaction
L’introduction d’une C.R tension-parallèle conduit au schéma de la figure 10.
ie
is
ir
i1
i0
Zs
Ve
Ztie
Ze
Vs
Zc
i0
Ve
ß
Vs
Figure 10
Expression des l’impédances de transfert et de sortie du montage avec C.R.?
La loi des mailles appliquée au circuit de sortie entraine: Vs = Z t ie + Z s is .
La loi des nœuds appliquée au circuit d’entrée nous donne: ie = i1 – ir.
Si ß est la fonction de transfert de la chaîne de réaction on a : ir = ß Vs.
L’expression précédente de Vs devient : Vs = Z t (i1 − ir ) + Z s is = Z t (i1 − β Vs ) + Z s is
i + Z s
i
Soit: V s =  Z t
1

( 1 + β Z t ) 

( 1 + β Z t )  s
Cette relation peut se mettre sous la forme: V s = Z 't i1 + Z ' s i s
Avec
Z 't =
Zt
(1 + β Z t )
,
Z 's =
Zs
(1 + β Z t )
Où Z’t est l’impédance de transfert à vide du système bouclé Z’t = (Vs / i1) is = 0
Z’s est l’impédance de sortie à vide du montage à réaction Z’s = (Vs / is) i1 = 0.
Expression de l’impédance d’entrée: Z’e = Ve / i1
A l’entrée du système nous avons : i1 = ie + ir = ie + ß Vs.
La tension de sortie s’écrit : Vs = Zt ie + Zs is.
D’autre part,
Vs = - Zc is.
Z t ie
On en déduit : V s =
Z
(1 + s
)
Zc
On pratique
Vs = Zt ie puisque
Ze >> Zs
Donc
ir = ie + ß Zt ie = ie (1 + ß Zt).
Soit
Z’e = Ze / (1 + ß Zt).
Conclusions:
La C.R de tension parallèle diminue les modules de l’impédance d’entrée, de l’impédance de sortie
et de l’impédance de transfert à vide du système bouclé.
Dans le cas particulier ou ß Zt est très grand devant 1, Z’t est très pratiquement égale à 1/ ß et Z’s est
négligeable.
Il en résulte : Vs = i1 / ß.
Le système se comporte comme un générateur de tension commandé par le courant d’entrée, on
appelle convertisseur courant-tension.
Les résultats précédent permettent d’établir un nouveau schéma équivalent du système bouclé.
Z’s
i
i
s
1
Ve
Z’e
Z’t i1
Zc
Vs
Figure 11
8.3 Exemple de montage à C.R. de tension parallèle
a) Schéma du montage:
R
ir
ie
is
ε
i1
RL
Vs
b) Schéma équivalent en alternatif:
L’AO qui constitue la chaîne directe est constituée par sa résistance d’entrée différentielle Red = Re, sa
résistance de sortie Rs, son amplification en tension à vide Ad.
La chaîne de retour est constituée par la résistance R.
iR
is
ie
i1
ε
R
Rs
Re
Adε
Vs
RL
Pour appliquer à ce montage les résultats du paragraphe précédent, il suffit de remplacer Adε par AdReie.
Le schéma global du système avec C.R. devient:
i1
Rs
ie
Re
iR
Ve
-AdReie Vs
RL
R
Par identification avec le schéma de la (fig. 11) nous obtenons: Zc = Re, Zs = Rs, Zt = -AdRe.
c) Détermination de la fonction de transfert β:
On a β = ir/Vs, l’expression de ir s’écrit: ir = (Ve - Vs)/R.
Or |Ve| = | ε | << |Vs|.
→ β = - 1/R.
Finalement: ir = - Vs/R
d) Paramètre du système bouclé:
• Impédance de transfert à vide: Z t' =
• Impédance d’entrée:
• Impédance de sortie:
Z e' = Z e
Z s' =
Zt
− Ad Re
=
.
1 + βZ t 1 + Ad .( Re / R )
1
1 + βZ t
=
Re
.
1 + Ad .( Re / R )
Zs
Rs
=
.
1 + βZt 1 + Ad .(Re / R)
Chapitre IV: Les Oscillateurs Sinusoïdaux
I. Introduction:
Un oscillateur sinusoïdal est un montage susceptible de générer spontanément une tension sinusoïdale
de fréquence fixe.
Les oscillateurs peuvent-être classés en deux grandes familles selon la forme d’onde qu’ils génèrent.
Les dispositifs qui délivrent des ondes ne contenant qu’un seul harmonique sont appelés
‘’oscillateurs harmonique ou sinusoïdaux’’.
Par contre, les systèmes qui génèrent les ondes dont le spectre est riche en harmonique sont
appelés ‘’oscillateurs à relaxation où multivibrateurs’’.
t
Oscillateur de
relaxation
Oscillateur
sinusoïdal
Sortie
-a-
Sortie
-b-
Figure 1: Principe d’un oscillateur (a) sinusoïdal et (b) de relaxation.
• Classification des oscillateurs sinusoïdaux
On peut classer de manière abrupte les oscillateurs sinusoïdaux en deux groupes:
Oscillateurs introduisant une réaction de la sortie sur l'entrée;
Oscillateurs à résistances négative: ils utilisent des composants actifs (diodes tunnel,
lampe au néon,…) dont la caractéristique V = f(i) présente une région à pente négative.
Cependant cette classification est assez sommaire, et il est préférable d’utiliser une classification
qui tienne compte du domaine de fréquence d’utilisation:
• Oscillateurs Basse Fréquence;
• Oscillateurs Haute Fréquence.
II. Oscillateurs basse fréquence
1. Structure d’un oscillateur sinusoïdal à réaction
1.1 Principe d’un oscillateur sinusoïdal
Le schéma synoptique de n’importe quel oscillateur sinusoïdal à réaction est donné par la
représentation de la figure 2. Il est constitué:
s(t)
e(t)
Amplificateur
D’un élément amplificateur;
Rôle: entretenir une oscillation.
Un réseau de réaction qui est un circuit passif oscillant.
Rôle: fixation de la fréquence d’oscillation.
er(t)
Réseau de réaction
ß
Figure 2: schéma synoptique d’un
oscillateur sinusoïdal à réaction.
Le signal de sortie s(t) est ramené à l’entrée en vu d’assurer l’auto-entretien des oscillations.
1.2 Paramètres de définition d’un oscillateur
Ils sont définis de façon sommaire par:
• La fréquence d’oscillation;
• La condition d’entretien de celle-ci.
1.3 Condition d’oscillation d’un circuit
ve
+
v1
-
µ
vr
ß
Le gain G de la chaîne bouclée est alors: G =
vs(t)
Figure 3.
µ
Vs
=
Ve 1 + βµ
Où: µ = Vs/V1 et ß = Vr/Vs sont respectivement la fonction de la chaîne d’action et celle de la chaîne
de retour.
Un oscillateur est un système instable, le dispositif va fonctionner en oscillateur à la condition:
µ ß = - 1.
Dans ces conditions, on constate que Vs/Ve → + ∞
Cela signifie qu’on peut avoir: Vs ≠ 0 avec Ve = 0, donc qu’on peut obtenir un signal à la sortie sans
envoyer de signal à l’entrée.
Remarques:
Si µß est légèrement supérieur à 1, l’oscillation est pratiquement sinusoïdal.
Si µß >> 1, il y a saturation des composants actifs et l’oscillation n’est plus sinusoïdal, on obtient
un oscillateur à relaxation.
La condition µß = -1 est appelée condition de Barkhausen est donne en réalité deux conditions:
l’une sur la phase et l’autre sur le module.
 arg( µ ) + arg( β ) = 0 [2 π
µβ = − 1 ⇔ 
 µβ = 1
]
La condition sur l’argument permet de déterminer la fréquence d’oscillation (f0) du circuit.
La condition sur le module permet de déterminer la condition d’entretien.
Généralement le gain µ est réel, cas en général des amplificateurs basses fréquences.
µß = - 1
arg(β ) = 0[2π ]
si µ > 0.
arg(β ) = π [2π ]
si µ < 0.
|µß|
=1
2. Oscillateurs à circuit RC:
La chaîne de retour est réalisé par trois cellules RC montées en cascade.
2.1 Oscillateurs à réseaux déphaseurs:
Il est appelé également un oscillateur phase shift (rotation de phase) cet oscillateur est constitué par
deux organes (Figure 4).
2.1.1 Oscillateurs à amplificateur opérationnel:
La chaine directe est réalisée par un amplificateur opérationnel inverseur qui déphase de π.
R2
R1
Vs
ε
Ve=0
+
v1
-
µ
vs
vr
Vr
R
C
C
C
R
R
Vs
ß(jω)
Figure 4.
Figure 5: Schéma de principe de l’oscillateur à réseau déphaseur.
L’oscillateur à réaction sinusoïdal de la figure 5 est bien entendu monté en boucle fermée (Figure 4),
afin d’avoir la possibilité de fixer le gain adéquat pour que le système puisse osciller de façon
entretenue et à la fréquence souhaitée.
Remarque:
A cause de la tolérance des composants et des dérives, la condition théorique établie sur le module
doit être remplacer par la condition d’oscillation µß > 1.
• Détermination de la fonction de transfert ß(jω) de la chaine de retour?
Pour effectuer le calcule de ß(jω), on détermine dans un premier temps la matrice de transfert d’une
i2
i1
seule cellule.
 Vs   A....... B  V2 
  = 
 

 i1  C ....... D  i2 
C
Vs
R
V2
T1
vs = Av2 + Bi2 (1)

i1 = Cv2 + Di2 (2)
avec A =  vs 
v 
 2 i2 =0
 i1 
 vs 
 
C
=


B = 
 v2 i2 =0
 i2 v2 =0
La loi des nœuds nous donne: i1 = i2 + v2/ R.
Par identification avec l’équation (2), on en déduit que: C = 1/R et D = 1.
Par ailleurs, la loi des mailles appliquée au circuit élémentaire donne:
vs = Zci1 + v2
avec Zc = 1/jcω.
On substituant i1 par son expression trouvée précédemment on trouve:
vs = (Zc/R + 1)v2 + Zc i2.
Par identification avec l’équation (1) on trouve:
A = (Zc/R + 1)
et
B = 1/jcω = Zc
i 
D =  1 
 i2 v2 =0
Z / R +1......Zc 
Pour une seule cellule: T1 =  c

1/ R...............1 
v s   A 3 + 2 ABC + BCD ....... −   v r

 = 
 
Pour trois cellule: T = T13: 

−
i
  ir
 1  −



On en déduit que:
(vs/vr)ir=0 = A3 +2ABC + BCD = 1/ß(jω).
Où ß(jω) étant la fonction de transfert de la chaîne de retour.
1/ß(jω)
= (Zc/R +1)3 + (Zc/R +1) Zc/R + Zc/R.
= (Zc/R )3 + 2 (Zc/R)2 + 6 (Zc/R) + 1.
= (1 – 5 /R2C2ω 2) + j(1/R3C3ω3 - 6/RCω).
ß(jω) Є R si la partie imaginaire du dénominateur est nulle: d’où 1 / R2C2ω2 = 6.
Ce qui détermine la pulsation d’oscillation ω0, ω0 =
1 1
.
RC 6
Pour cette pulsation, l’inverse de la fonction de transfert de la chaîne de retour vaut:
1/ß(jω0) = 1 - 5/R2C2ω02 = - 29.
soit ß(ω0) = - 1/29.
La chaîne directe est constituée par un amplificateur inverseur à A.O de gain fixe:
µ = vs/v1 = - R2/R1.
La condition sur le module s’écrit: µß = 1;
R2 = 29 R1.
(-R2/R1).(-1/29) = 1.
Remarque: Si on remplace dans le schéma de l’oscillateur C par R et R par C on aboutit aux résultats
suivants:
β ( jω ) = 1
.
Alors:
ω0=
(1 − 5R 2C 2ω 2 ) + jRCω (6 − R 2C 2ω 2 )
6
, β ( jω0 ) = − 1 .
29
RC
2.1.2 Oscillateurs RC à transistor:
a) Généralités:
L’oscillateur à réseau déphaseur est conçu en utilisant comme élément actif un transistor.
Le réseau déphaseur est constitué par une suite de cellule de type passe-haut qui introduit un
déphasage égale à 180° (Figure 6).
Le transistor est monté en émetteur commun. Il introduit par conséquent une deuxième rotation de
phase de 180°.
Le déphasage globale de la boucle qui réalise l’oscillateur est nul.
CE: capacité de découplage, elle est
équivalent à un court-circuit à la
fréquence d’oscillation.
Vcc
RC C
R1
C
C
vs
R1, R2 et RE résistances de polarisation.
On pose RB = R1//R2, Rc : résistance de
charge et R0 + h11 = R.
R2
vr
RE
CE
R
Figure 6.
R
R0
b) Calcule de l’oscillateur:
Pour mettre en équation le circuit oscillateur et déterminer sa fréquence d’oscillation ainsi que la
condition d’entretien, il y a lieu d’utiliser le schéma équivalent du transistor en basse fréquence.
Pour alléger les calcules, on peut considérer que les paramètres hybrides h12 et h22 sont négligeables.
On considère que les résistances de polarisation R1 et R2 sont de valeurs élevées par rapports à la
valeur de la résistances d’entrée rπ du transistor.
Le schéma équivalent de l’oscillateur RC à transistor se dessine ainsi:
C
vr
RB
h11
h21ib
RC
vs
C
R
C
R
R0
Le schéma équivalent de l’oscillateur peut être mis sous une nouvelle forme comme l’indique de la
figure 7.
C
R0
C
C
S
h21ib
ib
vs
RC
h11
R
R
vr
Figure 7
M
Le générateur de Thévnin vu entre les points S et M est caractérisé par:
Rth = Rc et Vth = - Rc h21 ib = Vs
Rc
S
h21ib
a)
vs
RC
M
S
- h21ibRc
b)
M
Figure 8: a) circuit vu entre les points S et M, b) générateur équivalent de Thévnin.
En remplaçant le circuit vu entre les points S et M par le générateur équivalent de Thévnin dans le
schéma global simplifié de l’oscillateur, on obtient les dispositifs de la figure 9.
C
S
C
C
R0
ib
Rc
vs
vs
- h21ibRc
R
R
h11
vr
Figure 9
M
Expression de la fonction de transfert µ(j ω) de l’amplificateur à transistor:
µ = vs/ve = vs/vr = - h21Rc/h11.
Remarque:
Transistor est monté en émetteur commun, le déphasage introduit par l’amplificateur est de 180°.
Le circuit de réaction doit donc lui aussi introduire à la fréquence d’oscillation une deuxième
inversion de phase pour que la condition de Barkhausen sur l’argument soit remplie.
• Détermination de l’expression ß(jω) = vr / vs:
C
Rc
- h21ibRc
C
C
i2
i1
R
R
i3
R
Figure 10.
On pose R0 + h11 = R et Zc = 1/jcω
Maille 1 : vs = (Zc + Rc) i1 + R(i1 – i2)
Maille 2 : 0 = R(i2 – i1) + Zci2 + R(i2 – i3)
Maille 3 : 0 = R(i3 – i2) + (Zc + R)i3
On a aussi : vr = h11i3
A partir des équations relatives aux mailles on peut exprimer vs en fonction du courant i3:
2
  Rc Z c  


Z
c

vs =  + + 1.4Z c + 3R +
− Z c − 2 R i3

 R R 

R 



En substituant le courant i3 et l’impédance Zc par leur expression trouvée précédemment, on abouti à
la relation qui lie vr et vs.
v
h11
β = r =
Rc
5R
1
j 4 Rc
vs
(3 Rc + R −
−
)−
(
−
+ 6)
2
2
2
C
R
ω
( RC ω )
( RC ω )
( RC ω )
• Fréquence d’oscillation:
La condition sur l’argument s’écrit :
arg(µ) + arg(ß) = 0.
µ est réel, il suffit donc, d’annuler la partie imaginaire de ß pour en déduit la fréquence d’oscillation
f0 du circuit.
Im(ß) = 0 → (4Rc/R – 1/(RCω)2 + 6) = 0.
D’où: ω0 =
1
RC
4 Rc
+6
R
f0 =
et
v
• Condition d’entretien: β (ω = ω0) = r =
vs
1
2πRC
(3Rc + R −
4 Rc
+6
R
h11
Rc
( RCω0 ) 2
−
5R
( RCω0 ) 2
− h11
vr
Rc
Ou encore : β (ω = ω0 ) =
=
vs ( 23 + 29 R + 4 Rc )
Rc
R
La condition d’entretien doit donc s’écrit : µß(ω0) = 1.
µ β (ω 0 ) = 1 ⇒
h 21
=1
29 R
4 Rc
23 +
+
Rc
R
)
La relation qui permet d’assurer l’entretien de l’oscillation est : h21= 23 + 29R/Rc + 4Rc/R.
Le gain sera minimum lorsque la somme 29 R/Rc + 4Rc/R est minimale.
La fonction y = 29 R/Rc + 4Rc/R possède un minimum lorsque sa dérivée est nulle.
Cette fonction est minimal pour R/Rc = 0,37.
D’où le gain minimum pour qu’il puisse y avoir une oscillation entretenu : (h21)min = 44,5.
2.2 Oscillateurs à Pont de Wien:
Considérons le montage de la figure 11 constitué d’un amplificateur non inverseur à A.O idéal et
d’un pont de Wien.
La chaîne directe correspond à l’amplificateur non inverseur de gain (R1 + R2 )/R1 et la chaîne de
réaction est constituée par un dipôle RC série, en série avec un dipôle RC parallèle.
i=0
R
Vr
C
Figure 11: Oscillateur à pont de Wein.
R
C
Vr
Vs
R1
• Etude du filtre de Wien:
Considérons le filtre de la figure 12, appelé pont de Wien.
R
Vs
Figure 12: Pont de Wien.
C
R
C
Vr
• Détermination de la fonction de transfert de la chaine de réaction?
En régime harmonique, la fonction de transfert du réseau de Wien est:
ß(jω) = Vr/Vs = Z2/(Z1 + Z2) avec
Z1 = R + 1/jCω = R (1 – j/x) et
Z2 = R//C = R/(1 + jRCω) = R / (1 + jx) où x = RCω.
ß(jω) = Vr/Vs = 1/3 + j(x – 1/x) (1)
On en déduit:
La condition de phase donne: Im (ß(jω)) = 0.
Soit d’après (1) : x – 1/x = 0 ou RCω = x = 1.
La fréquence d’oscillateur à réseau de Wien est donc : f0 = 1/2πRC, pour cette fréquence la fonction
de transfert de la chaîne de retour est maximale et vaut: ß(jω0) = 1/3.
Par ailleurs, le gain de l’A.O non inverseur est: µ = (1 + R2/R1).
De plus, pour que le circuit puisse entretenir des oscillations il faut qu’il satisfaite le critère de
Barkhaussen:
µß(jω) = 1
→ µ/3 = 1 donc µ = 3.
Ou encore
(1 + R2/R1) = 3
→ R2 = 2R1.
Remarque: En pratique l’entretien des oscillations exige µß(jω) > 1 ou µ > 3 soit R2 > 2 R1.
• Inconvénient d’oscillateur de Wien:
• Avantages d’oscillateur de Wien:
2.3 Stabilisation d’amplitude:
Modifions le circuit représenté à la figure 11 pour stabiliser l’amplitude contre les variations dues
aux fluctuation causées par le vieillissement des composants, changement de la température, etc.
Une telle modification consiste simplement à mettre en série avec la résistance R2 deux diodes
‘’têtes-bêches’’ comme l’illustre le schéma de la figure 13.
D1
P
Vr
Vs
R2
R1
R
C
R
C
Vr
D2
Figure 13: les diodes à jonction commandent automatiquement le gain de l’oscillateur et donc
stabilisent l’amplitude de la sinusoïde.
Les diodes jouent en fait le rôle de résistances variables dont la valeur diminue quand le courant
augmente.
En effet, si la sortie vs croit (pour une raison quelconque), le courant I dans (R1, R2 et P) croit, or Vd
est constante et égale à 0.6V.
Vd = cst alors I croit → rd décroit → (R2 + R1 + rd) décroît → µ = (1 + R2 + R1 + rd) / R1 décroît
→ Vs décroît. D’où le mécanisme de régulation fourni par les diodes qui fait varier automatiquement
le gain µ pour garder le gain de la boucle plus constant.
III. Oscillateurs haute fréquence
1. Oscillateur à circuit L-C
1.1 Oscillateur colpitts:
La chaîne de retour est constituée d’un quadripôle qui comprend deux condensateurs et une self.
L’amplificateur constituant la chaîne directe peut utiliser un transistor bipolaire monté en émetteur
commun (transistor à effet de champ monté en source commune).
Les valeurs de L, C, Rs (résistance de sortie de l’amplificateur) qui déterminent:
• La pulsation d’oscillation ω (fréquence d’oscillation f = ω /2π).
• La valeur minimale du gain en courant du transistor nécessaire pour obtenir des oscillations.
Vcc
RC
RB
Cs
Chaîne directe.
Ce
vr
Re
vs
L
L
C
Rs
Avve
C
vr
C
C
vs
Chaîne de retour
Figure 14: Oscillateur colpitts à transistor bipolaire. Les impédances des condensateurs de
liaison sont supposées nulles à la fréquence de travail.
1.2 Oscillateur Hartley:
La chaîne directe est identique au précédent montage, la chaîne de réaction comprend deux
inductances et un condensateur.
Dans ce cas également, la pulsation d’oscillation et la valeur minimale du gain en courant du
transistor sont déterminées par L, C, Rs et Re.
Vcc
RC Cs
RB
Chaîne directe.
Ce
Vr
C
L
L
Vs
Chaîne de retour
Figure 15: Oscillateur Hartly à transistor.
1.3 Oscillateur à quartz:
Le quartz est constitué de silice taillée sous forme de lame parallélépipédique. C’est un élément dont
l’impédance varie suivant la fréquence de la tension alternative appliquée sur ses faces.
Il possède deux fréquences de résonance:
fs : fréquence de résonance pour laquelle l’impédance du quartz est très faible, le quartz est alors
considéré pratiquement comme un court-circuit.
fp: fréquence de résonance parallèle pour laquelle l’impédance du quartz est presque infinie. Le quartz
se comporte comme un circuit ouvert.
Les fréquences fs et fp sont très rapprochées, entre ces deux fréquences le quartz se comporte comme
une inductance. Il a un effet capacitif pour les autres fréquences.
Le quartz permet d’obtenir des oscillateurs dont la fréquence d’oscillation est particulièrement précis
et stable.
Vcc
RC Cs
RB
Figure 20: Oscillateur à quartz.
Ce montage est semblable au montage type
colpitts.
L’inductance L à été remplacée par le quartz.
Chaîne directe.
Ce
C0
A
B
B
A
C
Q
C
Chaîne de retour
C1
r1
L1
2. Oscillateur à résistance négative:
Les oscillateurs à résistance négative sont sans doute les oscillateurs dont le principe est le plus simple.
L'idée est d'annuler l'amortissement d'un circuit RLC par une résistance négative placée en série.
2.1 Les oscillateurs à résistance négative
Il comporte obligatoirement,
d’une part un circuit oscillant avec pertes, lequel fixe la fréquence d’oscillation;
d’autre part une résistance négative qui compense ces pertes.
CIRCUIT
ELECTRIQUE
OSCILLANT
AVEC PERTES
Dipôle
R<0
Exemples des circuits oscillant avec pertes: circuits RLC série ou parallèle.
2.2 Dipôles à résistance négative:
Domaine à résistance
dynamique négative.
I
Quelques dipôles: diode tunnel, lampe au néon
présentent une partie de caractéristique à résistance
dynamique dU/dI négative (Figure 16).
Leurs caractéristique I = f(U) est soit en N (diode
tunnel) soit en S (lampe au néon) Figure 17.
Figure 16: Caractéristique d’un dipôle présentant
une partie à résistance dynamique négative.
I
a)
U
I
U
U
b)
Figure 17: caractéristique d’un dipôle (a) en N et (b) en S.
2.3 Dipôle en S à A.O:
Vu entre les points A et M le montage de la figure 18 se comporte comme un dipôle.
R1
A
ie
ε
Figure 18: dipôle à résistance dynamique en S à A.O.
v
ve
R2
R3
vs
M
Supposons l’amplificateur opérationnel idéal et fonctionnant en régime linéaire donc vs < vsat.
Détermination de la résistance d’entré Re:
v − vs
Par définition Re = ve/ie.
et
ie = e
R1
v=
R3
vs
R2 + R3
A.O : idéal alors : ε = v – ve = 0 → v = ve.
ve
R2 + R3
ve R2
−
ie =
ve = −
R1
R1 R 3
R1 R 3
Où encore : v e = −
R1 R 3
ie
R2
La résistance d’entrée du circuit est: Re = - R0 < 0 avec R0 = R1R3/R2.
Le fonctionnement en régime linéaire n’est possible que pour : - Vsat < vs < +Vsat.
Or :
ve =
R3
vs
R 2 + R3
On pose α = R3/(R2 + R3)
D’où : -αVsat < ve < αVsat
et:
-(αVsat)/R0 < ie < (αVsat)/R0
Cette partie de la caractéristique est alors limité par les points :
A ( iA = -(αVsat)/R0 , vA = αVsat)
et
B ( iB = (αVsat)/R0 , vA = -αVsat)
ie
B
Pent – 1/R0
Vsat
ve
- Vsat
A
Pent 1/R0
3. Stabilité des oscillateurs:
L’oscillateur idéal délivre un signal d’amplitude et de fréquence rigoureusement constantes.
L’oscillateur réel présente une variation de l’amplitude et de la fréquence du signal délivré, on dit
qu’il y a dérive d’amplitude ou dérive de fréquence.
Stabilisation de la fréquence: la dérive d’amplitude est généralement peu souhaitable, mais la
dérive de fréquence présente la plupart du temps de grave inconvénient.
Les exemples nécessitant des sources de fréquence précise sont très nombreux: horloge électronique,
station d’émission radio, télécommande, etc…
La fréquence d’oscillation est en général fixée par la condition sur la phase :
arg(ßµ(jω0)) = arg( µ(jω0)) + arg( ß(jω0)) = 0 ou arg( µ(jω0)) = − arg( ß(jω0)).
Le déphasage introduit par la chaîne directe compense le déphasage introduit par le quadripôle de
réaction.
Dans la pratique, les déphasages introduits par µ et ß peuvent varier légèrement sous l’influence de
différents facteurs :
• Main qui s’approche du montage et introduit des capacités parasites;
• Variation de température qui modifie les épaisseurs de jonctions et donc leur capacité parasite;
• Vieillissement des condensateurs et modification de leur valeur.
On caractérise la stabilité en fréquence par le coefficient S défini par: S = ω0dφ(ω0)/dω.
La quantité dφ(ω0)/dω correspond à la pente de la courbe de phase au point ω = ω0.
Un oscillateur qui a une bonne stabilité en fréquence sera caractérisé par une pente
importante, et donc un coefficient S de valeur élevée.
Pour une bonne stabilité en fréquence, l’oscillateur doit donc être construit autour de filtres
déphaseurs à fort coefficient de qualité Q = ω0/∆ω qu’est généralement proportionnel à S.
Or les dispositifs présentant un fort coefficient de qualité sont les résonateurs, qui existent dans
différents domaines de fréquence et qui permettent ainsi de réaliser des oscillateurs stables dans
toutes les gammes de fréquences.
Gamme de fréquence
Type de résonateur
de 10 kHz à 100 MHz
quartz, résonateur piézoélectrique
de 100 MHz à 1 GHz à
onde de surface
de 1 à 2,5 GHz
céramique coaxial
de 2,5 à 20 GHz
diélectrique
Chapitre V: Les Oscillateurs Non Sinusoïdaux
I. Généralités:
Les oscillateurs non sinusoïdaux (ou de relaxation) fournissent une tension de sortie non sinusoïdale
(signaux carrés, rectangulaires,…).
Nous trouvons dans cette rubrique :
• les comparateurs simples et à hystérésis;
• les multivibrateurs;
• les générateurs de fonction.
II. Les Comparateurs:
Le cas typique d’utilisation des comparateurs correspond à la situation ou l’on ne veut qu’une
information.
Des deux tensions disponibles au circuit laquelle est la plus grande ?
Deux types peuvent rencontrées:
• Les comparateurs simples ne représentent ni contre réaction ni réaction;
• Les comparateurs à hystérésis ou Trigger de Schmitt pourvus d’une réaction.
II.1 Les Comparateurs simples:
Le schéma de la figure 1 donne un exemple.
+Vcc
+
ε
Ve
-
Vref
Vs
-Vcc
Figure 1.
Nous définissons simplement l’état de la sortie en comparant le signal d’entrée à celui de la référence.
Exemple:
Dans le présent exemple le signal d’entrée est appliqué sur l’entrée (+) et la référence sur l’entrée (-).
Mais rien n’empêche de faire l’inverse.
La relation de linéarité hors saturation s’écrit:
(
)
)
Vs = Adε = Ad e+ − e−
(
V s = Ad e + − V ref
• Si V e ⟩V ref : ε > 0
alors
Vs ⟩0
et
Vs = +Vsat
• Si V e ⟨V ref : ε < 0
alors
Vs ⟨ 0
et
Vs = −Vsat
Ve
Vm
Vref
t
Applications des comparateurs simples:
Parmi les applications simples, on peut cité:
Vs
Vsat
t
- La détection d’un niveau de tension de référence
Vref;
- La transformation d’un signal analogique
variable en un signal numérique à 2 niveaux,
VH = +Vsat et VB = -Vsat, permettent son traitement
numérique;
-Vsat
Vs
+Vsat
- Commande de relie statique;
Ve
Vref
-Vsat
Figure 2.
- Génération des signaux en modulation de la
largeur d’impulsion (MLI) dans les amplificateurs
à découplage (amplificateur de puissance).
II.2 Les comparateurs à hystérésis ou Tigger de Schmitt
Deux montages sont utilisés:
Les comparateurs négatifs (inverseurs) où le signal
d’entrée est appliqué sur l’entrée (-).
Les comparateurs positifs (non inverseurs) où le
signal d’entrée est appliqué sur l’entrée (+).
ε
Ve
+
R1
Vs
R2
Figure 3.
Les comparateurs négatifs:
Il faut tout d’abord déterminer les valeurs de Ve pour lesquelles la sortie change d’état.
On peut établir les relations suivantes :
e − = Ve
Le basculement de la sortie à lieu lorsque :
Soit:
Ve =
et
e+ =
e− = e+
R2
Vs
R1 + R 2
R2
R2
(± Vsat )
Vs =
R1 + R2
R1 + R2
Les deux valeurs de basculement sont:
R2
e1 =
Vsat
R1 + R2
+
et
R2
(−Vsat )
e2 =
R1 + R2
+
Comme il y a deux valeurs de basculement, il faut considérer les valeurs positives puis les
valeurs négatives de la tension d’entrée.
La relation qui existe entre la tension de sortie et les deux entrées différentielles de A.O. vaut :
(
V s = Ad ε = Ad e + − Ve
Pour
)
Ve ⟨ e1+ ; e1+ − Ve > 0, ε > 0, V s > 0 ...et ...V s = +V sat
Le basculement de la sortie s’effectue pour:
Ve ↑ , V s ↓ +− VV satsat
pour
Ve =
Ve = e1+ =
R2
Vsat = e1+
R1 + R2
R2
Vsat
R1 + R2
Comme Vs = - Vsat la nouvelle valeur du basculement de la sortie s’effectue pour:
Ve = −
Ve ↓ , V s ↑
+ V sat
− V sat
pour .. V e
R2
Vsat = e2+
R1 + R2
R2
= −
V sat = e 2+
R1 + R 2
Ve
e 1+
t
e2+
+Vsat
t
T = t1 + t2
t2
t1
-Vsat
(1)
Vs
+Vsat
→ Évolution positive de Ve impose: (1) → (3)
← Évolution négative de Ve impose : (4) → (6)
(6)
(2)
e2+
Ve
e1+
(5)
(3)
-Vsat
(4)
La longueur de l’hystérésis:
R1
∆V = e − e = 2
Vsat
R1 + R2
+
1
+
2
Comparateurs positifs :
Le schéma bloque d’un tel comparateur est représenté par la figure 5.
ε
Ve
+
R1
Vs
R2
Figure 5
Avant d’analyser le fonctionnement de ce montage, il faut définir les valeurs de Ve qui permettent le
basculement de la sortie de l’AO.
On a
e − = 0;.....e + =
R1
R2
Vs +
Ve
R1 + R2
R1 + R2
Le changement d’état de sortie s’effectue pour:
Soit
e− = e+
R1
R2
0=
Vs +
Ve
R1 + R2
R1 + R2
R1
R
Vs = − 1 (± Vsat )
R2
R2
R1
R1
+
+
Vsat , e2 = − Vsat .
Les deux valeurs de basculement sont : e1 =
R2
R2
D’où
Ve = −
Pour Ve < 0, et en particulier Ve < e2+, on a Vs = -Vsat (car Ve est appliquée indirectement pour
l’entrée (+) de l’A.O.
R
Donc la valeur de basculement de la sortie s’effectue pour : Ve = − 1 (− Vsat ) = e1+
R2
Ve
e 1+
Ainsi,
Ve ↑, Vs ↑ +−VVsatsat pour ...Ve =
t
e
+
2
et
vs
+Vsat
Ve ↓ , V s ↓
+V sat
−V sat
R1
Vsat
R2
R1
pour ...Ve = − V sat
R2
Applications des comparateurs à hystérésis:
T
t
- Élément de générateurs de fonction;
- La fourniture d’un signal numérique à partir
d’un signal analogique ‘’lente’’ d’entrée.
t2
t1
-Vsat
(1)
Vs
+Vsat
→ Évolution positive de Ve
← Évolution négative de Ve
Ve
e2+
e1+
-Vsat
La longueur de l’hystérésis:
∆ V = e1+ − e 2+ = 2
R1
V sat
R2
III. Les multivibrateurs
Définition: un multivibrateur, ou bascule, est un circuit possèdent deux états de fonctionnement.
Selon la stabilité de ces états, se distingue:
+ Les multivibrateurs bistable : à deux états de fonctionnement stable.
Le basculement de l’un des états de fonctionnement à l’autre doit être provoqué.
Leur fonctionnement essentielle est d’être des mémoires élémentaires.
+ Les multivibrateurs monostable : à un état de fonctionnement stable, le seconde état de
fonctionnement étant instable.
Le basculement de l’état stable vers l’état instable doit être provoquée, mais le retour de l’état
instable vers l’état stable est spontané.
Leur fonctionnement est d’introduire des retards réglables.
Ces deux multivibrateurs constitué ce qu’on appelle des oscillateurs commandés.
+ Les multivibrateurs astable à deux états instables : la commutation d’un état de fonctionnement
à l’autre se fait spontanément et indéfiniment.
Ces multivibrateurs ne reçoivent rien de l’extérieur, ce sont des auto-oscillateurs (oscillateurs de relaxation).
+ Les Triggers où bascules de Schmitt : faisant partie de la famille des comparateurs déjà étudié,
basculent pour deux niveaux différents d’un signal analogique d’entrée.
Ces types des basculement servent surtout à la mise en forme des signaux.
III.1 Multivibrateur bistable à Amplificateur Opérationnel
-
C
Ve
+
R
Vs
VR(t)
R1
R2
La figure ci-dessus représente un multivibrateur bistable ou encore un Trigger de Schmitt avec un
dérivateur à l’entrée.
Les 2 états stable de ce multivibrateur correspondant aux 2 états saturées de l’A.O.
Analyse du fonctionnement du montage
On applique à l’entrée du circuit RC une tension en créneau d’amplitude E et on cherche à
déterminer la tension VR(t) aux bornes de la résistance R.
C
Vc(t)
Ve
R
VR(t)
Le circuit est un filtre passe-haut, de fréquence de coupure: f c =
Le circuit est un dérivateur pour f < fc.
ω
1
=
2π 2πRC
Dans ces conditions, pendant la durée T/2 où Ve(t) = E, le condensateur à le temps de se charger
totalement.
De même il se décharge quasi-totalement pendant la demi-période suivante, on à donc :
t ∈ [0 , T / 2 ], V e (t ) = E ; V c = E (1 − e
t ∈ [T / 2, T ], Ve (t ) = 0; Vc = Ee
−
−
t
τ
)
( t −T )
2
τ
Avec τ = RC (constante de temps de la charge).
La tension aux bornes de la résistance R est: V R (t ) = Ri (t ) = RC
Ce qui donne: Ve(t) = Vc(t) +VR(t) (A chaque instant).
−t
 T
t ∈  0,  , V R (t ) = Ee τ
 2
T 
t ∈  , T  , V R (t ) = − Ee
2 
( t −T )
2
−
τ
dVc (t )
dt
• Graphes de Ve(t), VR(t) et Vs(t):
On a:
VR (t ) = e + or
e+ =
R1
Vs
R1 + R2
Ve;Vc
Vc(t)
Ve(t)
E
• Le basculement de la sortie à lieu lorsque:
R1
(± V sat )
R1 + R 2
R1
R1
VR =
Vsat = e1+ et e2+ = −
Vsat
R1 + R2
R1 + R2
t
e− = e+ =
• Prenant l’origine du temps à l’instant où la tension
d’entrée Ve passe de 0 à +E, à cette instant le potentiel
VR(t) est positif.
Ce signal étant appliqué sur l’entrée (-) de l’A.O, la sortie
est obligatoirement saturé en négative, Vs = -Vsat.
La valeur de basculement de la sortie s’effectue pour:
VR = −
VR
VR(t)
e1+
t
e2+
Vs
+Vsat
R1
V sat = e 2+
R1 + R 2
• Comme Vs = +Vsat, la nouvelle valeur de basculement
de la sortie s’effectue pour :
R1
=
V sat = e 1+
R1 + R 2
T
T/2
t
T
T/2
t1
t2
-Vsat
t1 = t2 car τ est la même durant la charge et la décharge.
T = t1 + t2 = 2t = 1/f.
III.3 Multivibrateur monostables à A.O.
ε
C1
R1
+
Ve-
Vs
Ve
Vref
Ve+
-
R
On suppose que E > Vref.
C
+
On applique à l’entrée de circuit une tension créneau Ve(t) de valeur crête à crête 2E, et on cherche
à déterminer Ve-(t).
Ve
Étude de circuit dérivateur
E
C1
Ce circuit est dérivateur pour:
w⟨w
t
c
R1
Ve
Ve-
+
-E
fc
Le circuit, est un filtre passe-haut de
fréquence de coupure wc = 1
R1C1
-3dB
Vref
f (log)
Courbe asymptotique
Courbe réelle
 T
Pour t ∈  0 , 

2
T 
Pour t ∈  , T 
2 
(
)
∆Ve (t ) = 2E (crête à crête);
Vc1 (t ) = 2 E 1 − e − t / τ
∆Ve (t ) = −2E = Ve finale − Ve iniciale;
 − ( t − ( Tτ / 2 ))
V c 1 (t ) = 2 E  e

τ = R1C1
Ce qui donne :
Charge du condensateur:
dV c1
 T
t ∈  0,  , Ve − = R1i1 − V ref = R 1 C1
− Vref
dt
 2
Décharge du condensateur:
dV c1
T

t ∈  , T  , V e − = R1i1 − V ref = R 1 C1
− V ref
dt
2 
• t ∈ [0, T / 2],Ve− = 2 Ee−t /τ − Vref
−
•t ∈[T / 2,T],Ve− = −2Ee
(t −T / 2)
τ
−Vref




Analyse de fonctionnement
• A l’état stable Ve+ = 0.
En l’absence du signal à l’entrée (Ve = 0), aucun courant ne circule dans R1, et le potentiel
Ve- = -Vref (ε = Ve+ - Ve- = 0 + Vref), par conséquent le potentiel de la sortie se sature au niveau haut
Vs = VH = +Vsat.
(VH = haut = + Vsat et VB = bas = -Vsat).
• Comme on envoie en Ve(t) un signal positif (supérieur à Vref)
à t = 0, la sortie Vs(t) passe de VH à VB. ∆Vs = VB-VH = 2VB.
Ve+
R
C
Cette variation brusque de la tension de sortie est transmise par
VB
le condensateur C sur l’entrée (+) donc on a : Ve+ = 2VB.
• Après le condensateur C se charge à travers la résistance R, Ve+ tend à revenir à 0 volt.
Mais quand Ve+ devient supérieur à -Vref la sortie passe de VB à VH, ∆Vs = 2VH .
Cette variation est transmise par le condensateur C sur Ve+, après C se décharge à travers R et Ve+
revient à 0 volt. C'est-à-dire à son état stable.
La sortie reste dans cette état jusqu’à l’arrivée d’une nouvelle impulsion positive à l’entrée.
Ve
Calcule de la durée t1 de l’état évolutif
+E
t
T/2
T
3T/2
La capacité C se charge à travers R, il s’on suit que
le potentiel Ve+ tend à augmenté de 2VB à zéro
selon une loi exponentiel qui s’écrit:
-E
Ve-
Ve + (t ) = A exp (− t / RC ) + B
2E -Vref
T/2
Avec: V
T
e+
-Vref
(0) = 2VB = A + B
V e + (∞ ) = 0 = B
-2E -Vref
Ve+
2VH
Soit:
Ve + (t ) = 2V B exp (− t / RC )
Cependant lorsque Ve+ atteindre la tension de
ε >0
+Vref
référence (Ve+ = –Vref) la tension de sortie
-Vref
bascule de VB à VH.
Point de
basculement
ε<0
2VB
V
VH =Vsat s
t1
t2
État évolutif
État stable
VB =-Vsat
Ceci se produit au bout d’un temps t1 définie par:
Ve + (t1 ) = −Vref = 2V B e − t1 / RC
D’où
(
t1 = RC log − 2V B / Vref
)
III.4 Multivibrateur astable à base de l’A.O.
-
C’est un montage auto-oscillatoire utilisant un
Trigger de Schmitt négatif et un circuit RC.
+
L’amplificateur sera considéré comme idéal.
R
ε
Vs
C
R2
R1
L’entrée e+ est portée au potentiel:
e+ =
Quand ε > 0, Vs = +Vsat et ε < 0, Vs = -Vsat.
On pose: k =
R2
R1 + R 2
R2
(± V sat ) = ± kV sat
R1 + R 2
A la mise sous tension, e- = 0 (pas de variation instantanée de tension aux bornes du condensateur), la
sortie de A.O. est indifféremment saturée en positif ou en négatif.
+
Supposons par exemple que Vs = +Vsat, alors: e =
R2
(+ Vsat ) = kVsat
R1 + R2
Le condensateur va se charger à travers R et évolue exponentiellement vers +Vsat.
Quand e+ = e- = kVsat, Vs prend la valeur –Vsat et e+ = -kVsat, le condensateur va alors se
décharger à travers la résistance R avec la même constante de temps τ = RC.
Lorsque, e+ = e- = -kVsat, il y a de nouveau basculement de la sortie et ainsi de suite.
• Graphes de Vs et e- :
Vs
+Vsat
+kVsat
e-(t)
-kVsat
-Vsat
t1
t2
• Détermination de la durée t1 et t2
A partir de t = 0+, le condensateur se charge à travers R suivant une loi de la forme:
e − = Ae − t / RC + B
Avec:
D’où:
Donc:
e− (t = 0) = −kVsat = A + B
A = −Vsat (k + 1)
et
et
e − (t → ∞ ) = B = Vsat
B = +Vsat
e − (t ) = − (k + 1)Vsat e − t / RC + Vsat
• A temps t1, e- vaut e1+ = kVsat:
e − (t1 ) = − (k + 1)Vsat .e − t1 / RC + Vsat = kV sat
k −1
k +1
1+ k 
⇒ t1 = RC ln 

1− k 
1+ k 

R 
La période T de phénomène est : T = t1 + t 2 = 2 RC ln 
 ou encore T = 2 RC ln  1 + 2 2 
1− k 
R1 

t1
= 0 ,5
Le multivibrateur astable réalisé ci-dessous à un rapport cyclique : τ =
⇒ exp(− t1 / RC ) =
T
Remarque
Pour avoir un rapport cyclique variable on utilise un potentiomètre et deux diodes montées en tête
bêche suivant le montage ci-contre.
• Lorsque le curseur est au milieu du potentiomètre alors :
p 
1+ k

t1 = t 2 =  R +
C
ln


2 
1− k


p
R

t1 = t 2 =  R +
 C ln  1 + 2 1
2 
R2








R
D1
D2
+
Vs
C
• Si le curseur à une extrémité on trouve :
 1 + k  et t = (R + P )C ln  1 + k 
t 1 = RC ln 



2
1
−
k
1
−
k




Vs
P
R2
R1
D1 conduit
+Vsat
D2 conduit
t
Le signal obtenu nous permet d’écrire:
f =
t1
-Vsat
t2
1
1
=
T t1 + t 2
III.5 Multivibrateurs à base du Timer 555
a. Structure et fonctionnement: 555 est un circuit de 8 broches (556: double 555 en boîtier 14
broches), sa tension d'alimentation varie entre 4V et 16V. Il est compatible avec les TTL et les CMOS.
Vcc
Vcc
• Les 3 résistances (5 kΩ), entre Vcc et la
seuil
sortie masse, constituent un pont diviseur de
A1
tension, relié aux 2 comparateurs à
A2
Basculement
(déclanchement)
décharge
fenêtre de sorte que l'entrée e+ de celui du
bas est à un potentiel fixe égal Vcc/3,
tandis que l'entrée e- de l'A.O. du haut est
à un potentiel fixe égal 2Vcc/3.
masse
Schéma fonctionnel
• Principe: si la tension présente sur l'entrée e- (comparateur 2) est supérieure à la tension présente sur
l'entrée e+, la tension en sortie du comparateur sera voisine de 0. En cas contraire, la tension en sortie
sera voisine de Vcc.
• Fonctionnement de la bascule set-reset ou "flip-flop": une impulsion positive sur son entrée "set"
met sa sortie au niveau 1, tandis qu'une impulsion sur l'entrée "reset" fait basculer la sortie à 0.
• Le 555 fonctionne aussi bien en mode astable, dans lequel il délivre en sortie un signal périodique de
forme rectangulaire ou monostable, utilisé pour réaliser une temporisation, et ne requiert que trois
composants périphériques, deux résistances et un condensateur.
b. Astable à NE555 - Multivibrateur
Le condensateur C se charge, via RA et RB.
Lorsque la tension aux bornes de C atteint une valeur égale
2Vcc/3, la sortie du premier comparateur passe à 1 et
commande la bascule (flip flop) sur "set". La sortie de cette
bascule qui, à l'origine, était à 0, passe à 1.
La base du transistor NPN est alimentée, ce qui le rend
passant.
Ce transistor court-circuite alors le condensateur C en
dérivant vers la masse son courant de charge.
Le condensateur se décharge via la broche 7 et RB: la tension
à ses bornes diminue.
Lorsque celle-ci aura atteint une valeur égale Vcc/3, la sortie
du second comparateur passera à 1, ce qui actionnera la
bascule ("reset"), dont la sortie passera aussitôt de 1 à 0.
Conséquence: la base du transistor n'est plus alimentée, donc
celui-ci n'est plus passant et ne s'oppose plus à la charge du
condensateur.
Le condensateur recommence de se charger et nous nous
retrouvons dans la situation initiale.
T1 = 0,7(RA+RB)C et T2 = 0,7RBC; T = T1 + T2 = 0,7(RA+2RB)C .
c. Monostable à NE555 (Temporisateur)
Une brève impulsion négative sur son entrée
2 (trigger) va déclencher, en sortie (output),
un état haut dont la durée dépend des deux
composants RA et C, selon la formule donnée
ci-dessous.
En d'autres termes, la broche 2 doit être mise
à la masse, par l'intermédiaire d'un boutonpoussoir ou d'un signal externe adéquat, pour
déclencher la temporisation.
La tension de sortie vaudra environ 2Vcc/3.
t = 1,1RAC
Chapitre VI: Convertisseurs analogique/numérique (CAN) &
Convertisseurs numérique/analogique (CNA)
I. Généralités
Le traitement d’un signal analogique nécessite souvent des circuits complexes (→ problèmes de
réalisation) et peut engendrer un bruit non négligeable.
La conversion de ce signal en un signal numérique introduit au départ un bruit de quantification
mais ensuite:
● Affranchit le traitement de la quasi-totalité d’un bruit (le bruit à moins d’influence sur des
0 et des 1 que sur un signal analogique);
● Rend les traitements beaucoup plus puissants (codage, compression sans perte...) et souples
(le câblage des circuits est remplacé par un algorithme de calcul);
● A l’inconvénient cependant de ralentir les traitements (temps de conversion A/N, N/A,
temps de décodage des instructions pour un traitement numérique…).
II. Convertisseur numérique/analogique (CNA)
a) Définitions
• Un CNA convertit un nombre binaire en une tension (ou un courant) qui lui est proportionnel.
– L’entrée est numérique (n bits) : N = (an-1…a1a0)2
n est la résolution numérique.
Nmin = (0…00)2 = 0
Nmax = (1…11)2 = 2n - 1
– La sortie est analogique (tension) : uS = Nq + uSmin
q est le quantum ou résolution analogique (en V);
uSmax – uSmin = 2nq : étendue de la tension de sortie.
• Relation entre résolution (n) et quantum (q):
q = uSmax – uSmin / 2n
n
4
5
6
7
8
9
10
11
12
q (mV)
625
312,6
156,3
78,2
39,1
19,6
9,8
4,9
2,4
Valeur du quantum q en fonction du nombre n de bits (uSmax – uSmin = 10 V).
Exemple 1: CNA 3 bits, plage [0,10 V],
q = (10 - 0)/ 23 = 10/8 = 1,25 V.
Exemple 2 : CNA 8 bits, plage [-5, +5 V],
q = (5 - (-5))/ 28 = 10/256 ≈ 0,04 V.
b) Chaîne de Conversion Numérique-Analogique CNA
Le bloqueur d’ordre 0 transforme un signal à Temps Discret en signal à Temps Continu.
c) Caractéristiques d’un CNA
Résolution (“précision”);
Durée de conversion (“vitesse”);
Plage de la tension de sortie.
d) CNA à Sommation de courants
La formule : N = an-12n-1 + an-22n-2 +…+ a0 indique qu’une simple sommation de courants permet de
réaliser la conversion N/A : (Montage Sommateur à Ampli. Op.) (E est une tension continue).
an −1 E
an − 2 E
R
R
2 n −1
2 n−2
a0 E
R'
R
+
Vs
ER ' n −1
ER'
→ Vs = −
[2 a n −1 + 2 n − 2 a n − 2 + ... + a0 ] → Vs = −
[a n −1an − 2 ...a0 ]
R
R
ER '
Vs = −
.N
R
(Vs est proportionnelle à N)
Inconvénients : - Imprécision sur E et sur les résistances;
- Nécessité de valeurs de résistances ayant entre elles un rapport précis.
e) CNA à réseau en échelle (réseau R-2R): (montage le plus rencontré dans les circuits CNA du
commerce)
Deux valeurs de résistances seulement sont utilisées.
Ex: Convertisseur sur n = 4 bits:
a2 E
a3 E
2R
2R
R
a0 E
a1 E
2R
R
2R
R
Vs
Les théorèmes de Thévenin et Millman appliqués plusieurs fois donnent:
Vs =
8a3 E + 4 a 2 E + 2 a1 E + a0 E
E
E
⇒ Vs = [ a3 a 2 a1a0 ] ⇒ Vs = .N
16
16
16
Pour un convertisseur N/A n bits : Vs =
E
.N
2n
Inconvénient : - Imprécision sur E et sur les résistances.
2R
f) CNA stochastique
Le mot N est comparé en permanence à une séquence aléatoire B d’impulsions.
Le comparateur effectue un certain nombre de fois (n) un ET logique entre N et B pour donner VN.
Un filtre passe-bas retient la valeur moyenne (= Cte) de VN comme sortie du CNA.
Inconvénient : Convertisseur original mais plus lent que les précédents (n doit être assez élevé pour
avoir un bon résultat).
Avantages : - Pas de problème d’imprécision sur des résistances
- Immunité au bruit analogique.
Le rôle de l’ensemble Comparateur/Générateur aléatoire est d’engendrer une tension électrique à partir
d’un code binaire.
- Sans le codeur, Vs serait proportionnelle au nombre de bits à 1 de N.
g) Restitution du signal analogique initial
+ Par interpolation
+ Par filtrage analogique
III. Convertisseur analogique/numérique (CAN) Analog-to-Digital Converter (ADC)
a) Définition
Un CAN convertit une tension (ou un courant) en un nombre binaire qui lui est proportionnel.
L’entrée est une tension analogique comprise entre uEmin et uEmax.
La sortie est numérique (n bits) : N = (an-1…a1a0)2
La valeur numérique N exprime la tension analogique vi avec pour
unité le quantum q ;
Compte tenu qu’à une même valeur de N correspond une plage de
tension analogique d’entrée de largeur q, on a : vi/q = N + reste
où reste < 1.
Si la transition de la sortie s’effectue dès lors que vi/q = N, l’ensemble des valeurs analogiques vi
correspondant à la même valeur de N est tel que:
Nq ≤ vi < (N+1)q.
L’incertitude sur la valeur analogique associée à N pouvant atteindre q.
Plutôt qu’une incertitude d’un seul signe pouvant atteindre q (moyenne non nulle), on préfère une
incertitude positive ou négative (moyenne nulle) mais limitée à ±q/2.
Pour ce faire, on règle les seuils de transition du convertisseur de façon que la sortie numérique N
apparaisse pour toutes valeurs vi telle que: (N – ½) . q ≤ vi < (N + ½) . q
L’incertitude sur la valeur analogique vi associée à N étant limitée à ±q/2, l’incertitude sur la valeur
numérique est ±1/2 bit de poids faible soit ± ½ LSB (Less Significant Bit); on écrit:
N = vi/q ± ½ LSB.
q/2 ou ½ LSB représente l’erreur maximale de quantification liée au processus de conversion,
erreur d’autant plus faible que n, nombre de bits du convertisseur est plus élevé.
Remarques :
Un convertisseur est dit ‘’unipolaire’’ s’il convertit des tensions soit > 0, soit < 0 mais pas les deux;
Un convertisseur est dit ‘’bipolaire’’ s’il convertit des tensions pouvant être > 0 ou < 0.
La conversion A/N est plus complexe à réaliser que la conversion N/A.
b) Chaîne de Conversion Analogique-Numérique
Le rôle du bloqueur d’ordre 0 est de maintenir constante la valeur d’un échantillon pendant le temps
nécessaire au CAN.
c) Cadence minimale d’échantillonnage: Théorème de Shannon
Une condition nécessaire et suffisante pour que l’échantillonnage d’un signal analogique dont le
spectre de fréquences s’étend jusqu’à la fréquence maximale Fm n’induise aucune perte d’information
est que la fréquence d’échantillonnage Fe soit telle que: Fe ≥ 2Fm (Fe = 1/Te ).
d) Fonction de transfert
• N = [(uE – uEmin) /quantum]
[Les crochets désignent la partie entière]
Exemple : CAN 3 bits, plage [0, 10 V]
Caractéristiques
• résolution: nombre n de bits du mot de sortie
• plage de la tension d’entrée
Exemple du circuit intégré ADC0804 (20 broches) :
n = 8 bits
TC= 100 µs
0 à 5 V en entrée
• durée de conversion (TC)
• prix
e) Influence de la résolution et de la fréquence d’échantillonnage
CAN 3 bits, fe = 10 kHz
CAN 4 bits, fe = 20 kHz
L’échantillonnage est d’autant meilleur que :
• Fe est élevée (vitesse);
• n est élevée (précision).
f) Trois grandes familles de CAN:
- Les convertisseurs à essais successifs de niveaux;
- Les convertisseurs à essais successifs de digits (≡ de bits);
- Les convertisseurs simultanés (flash).
1) Les convertisseurs à essais successifs de niveaux :
Convertisseur simple rampe
Te = 1/Fe est la période d’échantillonnage. (Fe est la fréquence d’échantillonnage).
Vin : tension analogique à convertir: 0≤ Vin ≤ Vmax.
Convertisseurs lents car toutes les valeurs sont essayées.
Le signal à convertir (0 < Vin < Vmax) est constant pendant le temps de la conversion Te car il provient
de l’ensemble échantillonneur-bloqueur.
Au bout de Te, un autre échantillon bloqué arrive en Vin immédiatement après que l’interrupteur K ait
déchargé le condensateur C pour générer une nouvelle rampe.
Le compteur au début de la conversion démarre (incrémente) son cycle de comptage de 0 et il est
arrêté au temps T. Il fournit un mot N binaire proportionnel à Vin codé en DCB.
Pour s’affranchir de la dérive RC de l’intégrateur engendrant la rampe (τ = RC varie légèrement au
cours du temps, car dépendant de la température), on peut utiliser un convertisseur double rampe qui
va retrancher l’erreur de dérive sur la 2nde rampe, ou encore faire appel à un générateur de dent de
scie précis (ex: rampe numérique).
Convertisseur double rampe
Principe de fonctionnement
Vin est le signal à convertir.
Dans un premier temps K1 est sur Vref et l’intégrateur délivre une rampe > 0 en V1.
Ensuite, K1 bascule à Vin (au bout d’un temps θ toujours le même) et l’intégrateur délivre une rampe < 0
(on suppose ici Vin > 0) en V1.
Convertisseur à rampe numérique
Comparateur
Codeur
Générateur de rampe numérique
Compteur
(incrémenteur)
Filtre
Passe-bas
de lissage
Compteur
(incrémenteur)
(période H)
Mot binaire
RAZ à Te
(Remise A Zéro)
Quantification
Codage
2) Les convertisseurs à essais successifs de digits
Convertisseur à approximations successives
(Convertisseur plus rapide que les précédents car l’approximation est dichotomique ≡ méthode des
pesées successives).
Il peut être réalisé, si on veut plus de rapidité, en logique câblée (circuits non programmables donc
figés) ou, si on veut plus de souplesse, en logique programmée (circuits programmables
(microprocesseur, microcontrôleur ... donc action non figée).
En logique programmée
Bus d’adresses
Microprocesseur
Mémoire et
interface
Vin: Signal analogique d’entrée
N : Mot binaire de sortie.
Il faut un algorithme approprié.
Bus de données
3) Les convertisseurs simultanés (Flash) : Convertisseurs les plus rapides mais aussi les plus
chers.
Dans ce type de convertisseur à n bits, les 2n valeurs possibles des différentes dichotomies de la
méthode des convertisseurs à essais successifs de digits sont comparées simultanément dans 2n
comparateurs analogiques au signal d’entrée.
Le mot de sortie est obtenu ensuite par codage des sorties des comparateurs.
Exemple de réalisation
• n = 3 bits
• plage de la tension d’entrée : 0 à Vref
• quantum : (Vref – 0)/2n = Vref/8
Schéma de principe
Fonction de transfert
Analyse du fonctionnement
• Pont diviseur de tension • Comparateurs en «échelle»
• Table de vérité
• Circuit de décodage: circuit combinatoire
• Expressions booléennes correspondantes :
S 2 = D

S1 = B D + F

S 0 = AB + C D + E F + G
• Avantage : conversion très rapide.