chapitre2

CHAPITRE 2:
Notions de limite d'élasticité, de ductilité et de dureté
1. Introduction
Tous les solides admettent une limite d'élasticité à partir de laquelle le comportement cesse
d'être réversible. On distingue alors deux types de matériaux: - matériau totalement fragile qui
se rompt dans le domaine élastique soit de manière brusque comme c'est le cas des verres, soit
progressivement comme c'est le cas du béton en traction;
- matériau ductile qui se déforme de manière plastique (déformation permanente irréversible)
au delà de la limite d'élasticité.
Il est important de connaître les divers types de comportements rencontrés à des niveaux de
charge élevés. Ceci servira en particulier à dimensionner
une structure constituée d'un
matériau donné afin de limiter les contraintes qui s'y développent sous les charges qui lui sont
appliquées. Le but principal du dimensionnement étant d'éviter d'une part que le matériau ne
rentre pas en ruine par rupture fragile et d'autre part que les déformations permanentes
importantes ne se développent pas dans la structure.
L'étude du comportement des matériaux peut servir aussi dans le cas des métaux et alliages à
maîtriser les processus de formage ou de pliage des métaux afin de définir les modalités de
travail les plus adaptées.
La détermination du comportement d'un matériau peut être faite au moyen de la préparation
d'une éprouvette d'essai qui sera testée sur une machine de traction simple ou de compression
permettant d'enregistrer la contrainte correspondant à une déformation imposée ou bien
inversement.
2. Elasticité linéaire et non linéaire, comportement anélastique
La figure 2.1 montre une courbe contrainte - déformation d'un matériau admettant un
comportement élastique parfaitement linéaire. C'est le comportement correspondant à la loi de
Hooke.
A l'instar d'un ressort, un matériau élastique emmagasine l'énergie au cours de sa déformation.
L'énergie est ensuite restituée si le matériau est déchargé.
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 (MPa)
Tension
200
E

103
103
Compression
200
Figure 2.1: Courbe contrainte - déformation en élasticité linéaire
La figure 2.2 montre le comportement d'un matériau élastique non linéaire. Les caoutchoucs
ont une courbe contrainte - déformation qui ressemble à celle représentée sur cette figure. Le
domaine des déformations élastiques est très grand et s'étend jusqu'à une déformation de
l'ordre de 4. Si le matériau est déchargé, il suivra le même trajet que celui parcouru lors de la
charge.
 (MPa)
2
1
1
2
3
4
5
Figure 2.2: Courbe contrainte - déformation en élasticité non linéaire
13

 (MPa)
40
103
103

Figure 2.3: Courbe contrainte - déformation dans le cas anélastique
La figure 2.3 montre une troisième forme de comportement élastique rencontré dans certains
matériaux lorsque le niveau des contraintes est suffisamment élevé. Ce comportement est
désigné par le terme anélastique. Tous les solides sont anélastiques dans une certaine mesure
même dans les régions où leur comportement nominal est supposé élastique. La courbe de
charge ne suit pas exactement la courbe de décharge est une quantité d'énergie est dissipée
lors du cycle charge décharge. On appelle aussi ce comportement hystérésis.
Dans certains cas cette propriété est utile si l'on veut dissiper les vibrations mécaniques ou
bien les bruits. On peut ainsi utiliser les polymères et les métaux doux comme par exemple le
plomb. Mais parfois cet amortissement est indésirable et on utilise des matériaux à faible
hystérésis comme le Bronze, l'acier ou le verre.
3. Courbe de traction simple dans le cas des matériaux non élastiques (plastiques)
Les caoutchoucs sont des matériaux exceptionnels dans la mesure où ils se déforment de
manière réversible ou pratiquement réversible à des niveaux de déformation élevées. La
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plupart des matériaux commencent à se déformer de manière permanente (dite plastique) dès
que l'on dépasse le seuil de déformation de 0.1%. Si l'on charge en traction une pièce
métallique ductile (comme le cuivre par exemple) se présentant sous la forme d'une
éprouvette, on obtient la courbe charge - allongement représentée sur la figure 2.4. On peut
aussi observer ce type de comportement sur un morceau filiforme de sac en plastique. A faible
charge, le morceau se déforme de manière élastique. En augmentant la charge, des
déformations plastiques apparaissent et après décharge on ne retrouve pas la longueur initiale.
Si l'on continue à charger le morceau s'allonge et se rétrécit. C'est une propriété générale des
déformations plastiques pour lesquelles on observe expérimentalement que le volume se
conserve. La matière ne fait que s'écouler d'un endroit à l'autre. En augmentant davantage la
charge, le morceau peut éventuellement devenir instable et une bande localisée de
déformation (bande de striction ou neck en anglais) commence à se développer. Cette bande
croit rapidement et conduit à la rupture du matériau.
F
F
F
E
E
p
u
e
Figure 2.4: Courbe charge - déplacement dans le cas non élastique
p : déformation plastique irréversible, e déformation élastique réversible
4. Courbe vraie contrainte - vraie déformation en écoulement plastique
En définissant la déformation vraie par

d
0

 ln 



0 
(2.1)
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et la contrainte vraie par

F
A
(2.2)
où A est la surface actuelle de l'éprouvette.
La surface A peut être calculée en exprimant la conservation du volume. La conservation du
volume en présence de déformation plastique n'est justifiée que si celle-ci est prépondérante
par rapport à la déformation élastique. Le volume ne se conserve pas lors d'une déformation
élastique dans le cas général. Une exception se produit lorsque le coefficient de Poisson
  1/ 2 et que l'on rencontre dans le cas de certaines mousses.
La conservation du volume permet d'écrire
A  A0
(2.3)
0
avec A0 qui représente l'aire de la surface initiale,
0
la longueur initiale et
la longueur
actuelle.
D'où
A
A0
0
(2.4)

Rupture
Instabilité

L'aire hachurée représente l'énergie
dissipée au cours des déformations
plastiques.
Figure 2.5: Courbe vraie contrainte - vraie déformation
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En traçant  en fonction de  dans le cas où le matériau admet le comportement charge
déplacement décrit par la courbe de la figure 2.4, on trouve la courbe vraie contrainte - vraie
déformation représentée sur la figure 2.5.
5. Courbe de traction simple nominale
Plutôt que de travailler avec les grandeurs vraies, on convient dans la pratique, car c'est plus
commode, de représenter la courbe de traction simple en utilisant la contrainte et la
déformation dites nominales définies par
n 
F
A0
(2.5)
et
n 
dl
0

u
(2.6)
0
Dans ce cas, on obtient la courbe représentée sur la figure 2.6 qui est semblable à la courbe
charge - déplacement de la figure 2.4.
n
E
Instabilité
 ult
Rupture
 0.1%
y
Résistance à la tension
n
0.1%
R
Figure 2.6: Courbe contrainte nominale - déformation nominale
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Les notations utilisées sont:
y :
limite d'élasticité (début de l'écoulement plastique)
 0.1% : contrainte d'épreuve à 0.1% (elle caractérise l'écrouissage initial)
 ult :
limite de résistance (instabilité de striction, elle correspond à dn / d n  0 )
R :
déformation à la rupture
La contrainte limite d'élasticité varie pour la plupart des matériaux dans l'intervalle
0.1 MN.m 2 (cas de la mousse de polystyrène) à 105 MN.m 2 (cas du diamant)
Les céramiques occupent le haut du tableau. Mais, à température ambiante, la plupart des
céramiques se fracturent en traction avant d'attendre la limite d'élasticité. Ceci est dû au fait
que leur ténacité est faible. En compression, les céramiques ne manifestent pas le même
comportement fragile. On peut alors utiliser un essai de compression. On lui préfère
cependant dans la pratique un autre essai plus simple à réaliser: l'essai de dureté.
Les métaux purs sont doux et ont une grande ductilité. Cette propriété remarquable les rend
faciles à travailler. Ceci explique sans doute l'usage qui en a été fait durant toute l'histoire. La
faculté d'écrouissage des métaux est une autre propriété remarquable. Le métal devient plus
dur après avoir été travaillé qu'il ne l'était au départ et voit son domaine élastique s'élargir.
Les polymères ont une limite de résistance qui est bien inférieure à celle des métaux. Les plus
résistants des polymères n'arrivent pas à atteindre ainsi la résistance d'un métal bas de gamme
comme l'aluminium. Le tableau 2.1 résume les limites d'élasticité de certains matériaux.
Table 2.1:
y ,  ult et R pour quelques matériaux
y ( Pa )
 ult ( Pa )
R
Diamant
5 1010
-
0
Alumine, Al2 O3
5 109
-
0
Acier
(2.6  130) 108
(5  18.8) 108
0.2  0.3
Bronze
(0.7  6.4) 108
(2.3  8.9) 108
0.01  0.7
4 107
2 108
0.5
(1.1  5.5) 107
(1.4  7) 107
0.2  0.8
(2  3) 107
3.7 107
-
Matériau
Aluminium
Plomb
Polyéthylène
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6. Mesure de la ductilité d'un matériau
La ductilité d'un matériau peut être définie comme sa capacité à développer des déformations
plastiques alors qu'il continue à résister aux charges appliquées.
La ductilité d'un métal est souvent mesurée comme étant la réduction en pourcents de la
section transversale de l'éprouvette testée ou bien la réduction en pourcents de la longueur de
jauge de cette éprouvette. Ainsi

Ai  A f
100%
Ai
(2.7)
ou bien

Li  L f
 100%
Li
(2.8)
où Ai est l'aire de la section initiale de l'éprouvette, Af l'aire de la section à la rupture, L i la
longueur initiale de la jauge et Lf la longueur finale à la rupture.
La forme de l'éprouvette joue un grand rôle dans la valeur obtenue pour la ductilité  . La
table 2.2 donne les principaux types d'éprouvettes utilisées à travers le monde
Table 2.2: Forme des éprouvettes cylindriques utilisées dans un essai de traction simple
Lieu
Li
L i / Di
Europe
5.65 Ai
5.00
Grande Bretagne
4 Ai
3.54
7. Le test de dureté
Ce test consiste à charger une pointe en diamant ou une bille en acier durci appliquée sur la
surface du matériau à examiner, figure 2.7.
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F
Trace d'indentation
Figure 2.7: Essai de dureté
Plus l'indenteur s'enfonce, plus le matériau est doux et plus faible est sa limite d'élasticité. La
vraie dureté, appelée aussi dureté physique et notée H. Elle est définie comme étant le rapport
de la force appliquée sur l'indenteur divisée
par l'aire projeté de la trace d'indentation
observée sur la surface du matériau. La dureté Vickers, notée H v , est elle définie comme
étant le rapport de la force F sur la surface totale de la trace d'indentation. D'autres échelles de
dureté sont définies: Brinell, Rockwell, Shore.
On verra dans le chapitre 3 que la limite d'élasticité peut être reliée dans le cas d'un matériau à
structure polycristalline et à faible écrouissage initial à la vraie dureté par la relation
H  3y
(2.9)
Une correction de la relation (2.9) doit être prévue si le matériau s'écrouit de manière
importante en atteignant la limite d'élasticité.
L'essai de dureté est un essai remarquable. Il est très pratiqué car il est à la fois de faible coût
et de nature non destructif.
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8. Exercices
2.1 La courbe vraie contrainte - vraie déformation d'un matériau est donnée par:   n , où
 et n sont des constantes. Trouver la limite de résistance  ult .
- Pour un alliage de Nickel, on a: n  0.2 et   800 MN.m2 , calculer la limite de résistance
de cet alliage.
- Calculer la vraie déformation dans une éprouvette de cet alliage lorsqu'elle est chargée au
niveau de contrainte égal à  ult .
2.2 Les données de la table 2.2 ont été obtenues lors d'un essai de traction simple sur un
échantillon de matériau de section 160 mm 2 et de longueur de jauge 50 mm
Table 2.2: Courbe charge - déplacement en traction simple
u (mm)
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
1.25
2.50
3.75
5.00
6.25
7.50
F (kN)
12
25
32
36
40
42
63
80
93
100
101
90
L'allongement total de l'échantillon juste avant rupture était de 16%, la réduction de la surface
avant rupture était de 64%.
- Trouver la contrainte admissible si celle-ci est définie comme étant égale à
(i) 0.25 x  ult ;
(ii) 0.6 x  0.1% .
- Quelle seraient l'allongement et la réduction maximale de l'aire de la section si l'échantillon
avait une longueur de jauge de 150 mm?
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