AutomChap2

Master - Automatique - Chap. VI : 1
Chapitre II : Réponse temporelle : solution de l'équation
d'état
II-1 Introduction
II-2 Solution générale des équations d'états
II-3 Expression de la transmittance en fonction de la
représentation d'état (Matrice de transfert)

Master - Automatique - Chap. VI : 2
II-4 Solution générale des équations d'états
Equation d’état
dx Ax Bu
dt 
Solution = Solution générale sans entrée (u=0) + Solution particulière avec entrée (u)
a -Solution générale sans entrée (e=0)
Ax
dt
dx 
0
ttA txetx 0
où t0est l'instant initial
La matrice s'appelle la matrice de transition d'état
At
et 
Propriétés de :
0xx
0xx
A
tt
tnt
tttt.tt
1
00
n
00
020212
Après la mise en équation d’état d ’un système dynamique, il faut résoudre cette équation

Master - Automatique - Chap. VI : 3
Calculs de :
1n
nn2
At
!n
At
!n
At
!2
At
AtIet 
Par le calcul de la série :
La matrice de transition est une somme pondérée des termes de puissance
de la matrice A. On suppose que la somme est convergente
Le calcul est simplifié si A est nilpotente
Définition : la matrice carré A est dite nilpotente d'ordre k s'il existe un
entier k≥1 tel que pour tout entier r>k, Ar=0n=[0]

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Exemple 1:

Master - Automatique - Chap. VI : 5
Calculs de :
n
2
1
e0
e
0e
et
0
0
AAt
n
2
1
Si A est diagonale :
Par la transformée de Laplace :
nj,i1avecaTLApIeTLalors
nj,i1avecaeSi
j,i
1
At
j,i
At
La méthode consiste donc à calculer la matrice puis à prendre la transformée de Laplace
inverse de chacun des termes de la matrice
1
ApI 
1
1At ApITLte 