AutomChap2

Chapitre II : Réponse temporelle : solution de l'équation
d'état
II-1 Introduction
II-2 Solution générale des équations d'états
II-3 Expression de la transmittance en fonction de la
représentation d'état ( Matrice de transfert)
Master - Automatique - Chap. VI : 1
II-4 Solution générale des équations d'états
Après la mise en équation d ’état d ’un système dynamique, il faut résoudre cette équation
Equation d’état
dx
 Ax  Bu
dt
Solution = Solution générale sans entrée (u=0) + Solution particulière avec entrée (u)
a - Solution générale sans entrée (e=0)
dx
 Ax
dt
xt  eAtt xt0 
0
où t0 est l'instant initial
At
La matrice t  e s'appelle la matrice de transition d'état
Propriétés de  : t2  t1 .t2  t0   t2  t0 
nt0   t0 n
 t0   t0 1
  A
x  x0 
x   x0 
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Calculs de  :
At 2
Atn  Atn


 Par le calcul de la série : t   e  I  At 
n 1 n!
2!
n!
At
La matrice de transition est une somme pondérée des termes de puissance
de la matrice A. On suppose que la somme est convergente
Le calcul est simplifié si A est nilpotente
Définition : la matrice carré A est dite nilpotente d'ordre k s'il existe un
entier k≥1 tel que pour tout entier r>k, Ar=0n =[0]
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Exemple 1:
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Calculs de  :
 Si A est diagonale :
 1


A


0

2
0







n 
e


t   e At  


0

1

e
2
0







e  
n
 Par la transformée de Laplace :
Si
 
e At  ai,j
alors
avec
1  i, j  n
 
TL e At   pI  A  TL ai,j
1
avec
1  i, j  n
La méthode consiste donc à calculer la matrice pI  A puis à prendre la transformée de Laplace
inverse de chacun des termes de la matrice
1
eAt  tTL1 pI  A
1

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Solution des équations d’état par Laplace (I)
•
Il est possible de trouver aisément la solution des équations d’état en utilisant Laplace.
En effet, soit le système d’état suivant (domaine temporel):
x  Ax  Bu
•
y  Cx  Du
En prenant la transformée de Laplace des deux côtés:
pX  s   x  0   AX  p   BU  p 
Y  p   CX  p   DU  p 
•
Donc, la solution:
pX  p   AX  p   x  0   BU  p 
 pI  A X  p   x  0   BU  p 
1
1
X  p    pI  A x  0    pI  A BU  p 
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Solution des équations d’état par Laplace (II)
X  p    pI  A  x  0    pI  A  BU  p 
1
•
On peut écrire ce dernier résultat :
•
Où:
•
•
1
X  p     p  x  0    p  BU  p 
  p    pI  A 
Matrice de
transition
1
En prenant la transformée inverse de Laplace:
  t   L1
La solution générale des équations d’état est:

 pI  A

1
Propriété 8: convolution
temporelle
x  t     t  x  0      t    BU   d
t
0
t
y  t   C  t  x  0    C  t    BU   d
0
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Solution des équations d’état par Laplace (III)
Exemple 2:
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Solution des équations d’état par Laplace (IV)
s est l’opérateur de Laplace
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Solution des équations d’état par Laplace (V)
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Exemple 3:
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En prenant la transformée inverse de Laplace:
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Master - Automatique - Chap. VI : 13
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Relation entre la représentation par équations d ’état et la
représentation externe.
Représentation d’état
Fonction de transfert
x (t )  Ax(t )  Bu (t )
Transformée de Laplace
y (t )  Cx(t )  Du (t )
sX ( s )  x(0)  AX ( s )  BU ( s )
Y ( s )  CX ( s )  DU ( s )
Soit
x(0)  0
X ( s)  ( sI  A) 1 BU ( s)
Y ( s)  [C ( sI  A) 1 B  D]U ( s)
matrice
Fonction de transfert
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Exemple
Par la loi de Newton
k
F  My
 My  by  ky  r
r  ky  by  My
let
b
M

r (t )
k : raideur
b : coéfficient de frottement
x1  y  x2
b
k
1
y 
y
r
M
M
M
b
k
1

x2 
x1 
u
M
M
M
x1  x 2
x2  y  
y (t ), y (t )
r : commande
x1  y, x2  y

x 2  
u  r 
k
b
1
x1 
x2 
u
M
M
M
 0
 x1  
 
k

x

 2
 M
A
1 
 0
x


1
b      1

 x2 
M
M
B

 u


x 
y  1 0 1   0  u
 x2 
C
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X ( s)  ( sI  A)1 BU ( s)
Y ( s)  [C ( sI  A) 1 B  D]U ( s)
 0
1 0 
( sI  A)  s 
 k
0 1 
 M
1   s
b    k

M  M
1 
b 
s
M
b
k
det( sI  A)  s 
s
M
M
2
b

s

1
M
1
( sI  A) 

b
k  k
2
s 
s


M
M  M

1

s

b

s


Y (s)
1
M
1
G( s) 
 C ( sI  A) B  D 
1 0 

b
k
U (s)
 k
s2 
s
 M
M
M

1  0 
 1 
 
s  M 

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b

s


Y (s)
1
M
1
G ( s) 
 C ( sI  A) B  D 
1 0 

b
k
U (s)
 k
s2 
s
 M
M
M

1  0
 1

s  M

1
M

 s
 M









1
M
Y ( s)
1
 G( s) 
U ( s)
Ms 2  bs  k
Exemple: fonction de transfert du système masse-amortisseur-ressort
Transformée de Laplace
d2y
dy
M 2 b
 ky  u (t )
dt
dt
Ms 2Y ( s )  bsY ( s )  kY ( s )  U ( s )
Y ( s)
1
 G ( s) 
U (s)
Ms 2  bs  k
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Exemple
Système MIMO
1
 x1   0
 x    0  4
 2 
 x3   1  1
 y1 (t )  1
 y (t )  0
 2  
( sI  A) 1 
0   x1  0 0
u 
3   x2   1 0   1 
u2 

 2  x3   0 1
 x1 
0 0  
x2 


0 1
 x3 
adj ( sI  A)
sI  A
 s 2  6 s  11 s  2
3 
1


2


3
s

2
3
s

s ( s  4)( s  2)  3  3s 
2
 s4
 s  1 s  4 s 

G ( s)  [C ( sI  A) 1 B  D]

 s2
1
s 3  6s 2  11s  3  ( s  1)
3 
s( s  4)
Matrice de transfert
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