CHAPITRE 1 : théories et formalismes
I)
Introduction
Le rôle des sciences est de produire des connaissances sur le monde qui nous entoure
(sciences naturelles) et sur les humains (sciences humaines). Ces connaissances
permettent d’agir sur le monde.
Les sciences peuvent avoir une valeur prédictive (exemple : connaître l’existence d’une
entité sans l’avoir vue ; exemple : prédire la position des planètes dans le futur, jusqu’à 65
millions d’années grâce aux lois de Newton) ou une valeur rétrodictive (exemple : se projeter
dans le passé en utilisant des valeurs négatives de temps, sauf pour la thermodynamique)
1/ Langues naturelles
Elles sont indispensables : même les sciences naturelles et les mathématiques ont besoin
de la langue naturelle pour être comprises.
Connaissances exprimables avec la langue naturelle :
●
●
●
Connaissances normatives.
Connaissances qualitatives
Connaissances issues de nos perceptions
Phénoménologie : Kant, Hegel, Husserl (sciences des vécus, perception)
Elles sont insuffisantes : problèmes d’interprétation, de rigueur, de précision (exactitude),
mais les sciences en ont besoin.
Les sciences se sont souvent développées en opposition aux langues naturelles.
Exemple : le temps vécu est subjectif, alors que le temps décrit par la relativité (Einstein) est
très différent.
La science doit se construire contre l’opinion personnelle.
Gaston Bachelard :
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●
●
●
●
« Rupture épistémologique radicale entre l’opinion commune et la science »
Croyances != connaissances
La science n’hésite pas à changer de paradigme.
L’opinion commune cherche l’unicité, la stabilité, et la science cherche la complexité,
la contradiction.
La science n’a pas vocation de contredire l’opinion, mais de détruire l’opinion.
Bilan : les langues sont indispensables mais insuffisantes
2/ Formalismes
C’est un langage artificiel (proposé par l’Homme).
Une langue naturelle ne provient pas d’une réflexion, c’est un processus évolutif. Un
langage est créé dans un but précis grâce à une construction consciente.
Les langues naturelles possèdent la double-articulation (couche des mots) et sont linéaires.
Les formalismes n’ont pas de double-articulation et peuvent être multibranches.
Un formalisme peut avoir plusieurs interprétations/modèles.
On peut modifier un formalisme voire en créer un ex-nihilo.
Pour explorer certains domaines en profondeur :
●
●
II)
1/
On peut avoir besoin d’un formalisme plus puissant (formalisme mathématique).
Depuis Newton (naissance de la science occidentale), il n’y a pas eu de découvertes
majeures sans nouveau formalisme.
Théories vs formalismes
Sciences purement formelles
Ce sont les sciences qu’on peut réduire à un formalisme (mathématiques, logiques,
sciences fondamentales de l’informatique… ). Ces formalismes sont soumis à une rigueur
absolue, ils sont abstraits, ils sont exacts, ils sont transversaux (utiles aux autres domaines
de la science), ils sont objectifs, ils sont intemporels (les résultats sont valables pour
l’éternité, et étaient déjà valables avant d’être établis).
Première option : le mathématicien n’a pas un rôle de constructeur, mais d’explorateur (les
théories mathématiques existent déjà, mais il faut les découvrir).
Deuxième option : le mathématicien crée les mathématiques.
Au moyen-âge, la « querelle des Universaux » oppose les réalistes aux nominalistes.
Les réalistes pensent que les idées universelles ont une existence réelle, sans que qqn
doive y penser.
Les nominalistes pensent que les idées précèdent les choses, qu’un concept ne peut pas
exister sans qu’on y ait penser avant. (Exemple : les symboles mathématiques sont une
convention, mais ne renvoient à rien de réel). La science est pour eux un outil.
La réalité désigne ce qui existe indépendamment de nous et en dehors de notre conscience.
« Étique » de Spinoza : comment puis-je m’approprier les caractéristiques d’un objet qui est
en dehors de moi ? Comment cet objet peut devenir « en moi » ? Un objet a-t-il une réalité
intrinsèque ? Puis-je accepter la totalité de la réalité ou dois-je me contenter des apparences
?
Réalistes purs : Il existe un réel intrinsèque qui existe et qui nous est accessible.
Réalisme scientifique : si une théorie est hautement validée, alors il faut l’admettre.
Réalisme empirique : il désigne de ce qui existe la partie qui nous est accessible.
Pdv plus radicaux : on ne peut accéder à rien (la réalité existe, mais elle est inaccessible)
Position Bouddhiste : la réalité n’existe pas, peu importe la forme. C’est un concept de
vacuité. Les phénomènes n’existent qu’en interdépendance avec les autres phénomènes et
notre conscience.
Eugène Wigener : déraisonnable efficacité des maths dans la nature.
On peut avoir des théories qui collent de près à la nature.
Galilée/rationalité : il faut abolir la distinction entre le monde lunaire (Lune, planètes,
étoiles… / parfait, infini) et le monde sublunaire (Terre / corrompu, imparfait, clos). Il faut
passer du modèle géocentrique au modèle héliocentrique. Galilée est partisan de la
mathématisation. On ne peut pas se contenter d’observer pour connaitre. Principe de
relativité : les lois de la mécanique sont les mêmes dans tous les repères inertiels (ou
repères galiléens)
2/ Sciences non purement formelles
a - sciences de la nature
Théorie confrontable à des expérimentations.
b - sciences humaines
Traitant de l’Homme (individu/groupe) : économie, histoire… Difficile d’isoler des
paramètres.
3/
Autres sciences
Disciplines dont on peut remettre en cause le caractère scientifique.
Pas de validation par les « pairs » (collègues/communauté scientifique)
Critère de vérifiabilité : une théorie doit être vérifiable et vérifiée.
Critère de réfutabilité (Karl Popper) : une théorie doit être réfutable et réfutée (Popper est
inspiré par Einstein qui cherchait une « expérience négative », càd une expérience qui
pourrait détruire sa théorie)
2 types de faits : coboratifs & falsifieurs potentiels
L’astrologie et la psychanalyse ne sont pas réfutables : ce ne sont pas des sciences
L’homéopathie n’est pas vérifiée : ce n’est pas une science
Critère d’utilité : pour différencier les sciences selon leur utilité (subjectif)
Critère de fécondité : des sciences peuvent engendrer de nouveaux concepts, tisser des
liens entre les disciplines et les formalismes
Critère de beauté : ex Paul Dirac : « je recherche de belles équations » / ex théorie des
groupes (subjectif)
Critère d’unification : ex théorie de Maxwell sur l’électromagnétisme / ex modèle standard
(1970) : unification des forces électromagnétique, nucléaire faible, et nucléaire forte
(physique des particules)
ex théorie des cordes (non vérifiée, non réfutable) : les particules sont des cordes qui
vibrent, et sont différenciées par leur fréquence de vibration. Dimension d’une corde =
10^-35 m (distance parcourue par la lumière en 10^-43 sec), càd la taille de l’univers après
l’instant 0 du Big Bang. La théorie des cordes infirmerait donc la théorie du Big Bang.
III)
Le pouvoir des formalismes
1/
Pouvoir descriptif (énoncés, lois, …)
Pour obtenir des lois, il y a 2 manières : utiliser des théories déjà existantes OU utiliser des
données obtenues par expérience (exemple : trajectoire elliptique des planètes autour du
soleil)
Les lois sont-elles transcendantes (extérieures à l’univers) ou immanentes (intérieures à
l’univers) ?
1er pdv : les lois sont décrites sans être expliquées (permet d’agir sans comprendre)
2e pdv : conception galiléenne
Exemples du pouvoir descriptif :
●
●
●
Mécanique de Newton : extrêmement précise et pratique
Modèle standard : n’a jamais été mis en défaut
Relativité restreinte : Einstein sort en 1905 5 articles (nature de la lumière qui mène à
la physique quantique ; matière formée d’atomes ; électrodynamique des corps en
mouvement qui mène à la relativité restreinte ; E=mc² ; taille des molécules)
Principe de relativité restreinte : les lois de la physique sont les mêmes dans tous les
repères inertiels
Principe d’invariance : la vitesse de la lumière est invariante par rapport à tous les
référentiels
Lois de Lorentz : perte de l’additivité des vitesses / espace-temps : espace en 4 dimensions
2/
Pouvoir prédictif
En 1846, la mécanique de Newton permet de découvrir Neptune, en prédisant sa position.
Dans les années 60 : découverte d’un nouveau quark
En 2012 : découverte des bosons de Higgs
Relativité générale :
●
●
3/
Principe de relativité généralisée : les principes physiques sont les mêmes dans tous
les repères inertiels ou non-inertiels
Principe d’équivalence forte : un champ gravitationnel équivaut localement à une
accélération uniforme
Pouvoir explicatif
1. Scientisme : rien n’est inaccessible à la science, on finira par tout connaître
2. Théorie du chaos : la nature est imprévisible, et rien ne peut changer ça
3. Positivisme : Auguste Comte : « ce qui compte, c’est seulement les faits, le
‘comment’ »
4. La science est devenue une technoscience : physique quantique (années 20 & 30)
5. La physique quantique est un objet mathématique
CHAPITRE 2 : logique
I/
INTRODUCTION
Qu’est-ce que la Logique ?
● Logique philosophique :
« La logique est l’art de penser » (Port-Royal, abbaye dans laquelle sont organisés
des débats avec une grande liberté d’expression)
Penser juste, convaincre : étude des lois de la pensée
Primauté du contenu sur la forme
● Logique moderne ou mathématique
« La logique étudie ce qui s’ensuit de quoi » (peu importe le ‘quoi’, ce qui importe
c’est le rapport entre le ‘quoi’ et ses conséquences)
« La logique peut être définie comme l’étude d’ensemble cohérent d’opinions ou
d’hypothèses »
« Le domaine d’étude de la logique formelle est l’analyse des phrases et des
preuves en considérant leur forme et en faisant abstraction de leur contenu »
Analyser les rapports entre les propositions par une approche purement formelle
Comprendre la nature du raisonnement et en faire une théorie
La logique acquiert le statut de Science
4 axes : théorie de la démonstration , théorie des modèles, théorie des ensembles
(maths), théorie de la calculabilité (info)
Logique et philosophie
Des territoires différents, mais :
Rapport d’historicité :
● Une histoire longtemps commune
Rapport d’objet :
● La rationalité
La philosophie dépend de la logique :
● Le discours philosophique se réfère à des règles logiques
● La logique lui donne des langages, des théorèmes
La logique dépend de la philosophie :
● Les éléments qui constituent la logique sont des objets de la philosophie :
notions primitives (proposition, vérité, assertion, preuve, validité, sens,
contradiction, …)
● La philosophie établit les fondements des sciences
Logique et informatique
La logique est une source d’inspiration pour l’informatique
Apport de la logique à l’informatique :
● La notion de système logique (un langage, une composante syntaxique, une
composante sémantique)
● La notion d’effectivité (arrêt de programme, preuve de programme, fonctions
calculables, …)
● Des théorèmes de limitation
● Des langages et des méthodes (via l’IA)
●
« La logique est à l’informatique ce que l’analyse est à la physique »
Logique et IA
Apport de la logique à l’IA :
● La capacité à représenter des connaissances
● La capacité à représenter des raisonnements : formalisation des
raisonnements valides logiques des propositions, des prédicats / formalisation
des raisonnements valides logiques des défauts, modales, etc…
● La capacité à permettre la vérification des raisonnements
● Des langages et des méthodes
● Des formalismes de référence
II/ RAISONNEMENT
1ère approche : activité psychologique
Pour créer un algorithme qui joue aux échecs : on a d’abord étudié les facteurs
mentaux des maîtres d’échecs internationaux
2e approche : approche logique
Un raisonnement est un discours, tel que, certaines propositions étant posées, et par
cela seul qu’elles sont posées, quelque proposition en résulte, ce de manière plus
ou moins probable.
Un raisonnement est un enchaînement (une succession) de règles d’inférences
(info) ou de règles illiatives (philo)
Modus ponens (latin) : p alors q, or p, donc q
A quoi sert un raisonnement :
● Pour démontrer/prouver qu’il est juste ou faux
● Pour créer (un raisonnement peut être fécond)
Modes de raisonnement :
Aristote
Aristote (385-322 av JC) :
●
●
●
●
Macédonien, disciple de Platon, puis protégé d’Alexandre
Une œuvre philosophique et scientifique considérable
Œuvre logique : l’Organon
Considéré comme le fondateur de la Logique
Aristote face à Platon :
● Remet en cause le monde des idées
● Adopte une approche démonstrative plutôt que le dialogue platonicien : «
savoir c’est connaître par la démonstration »
Aristote face aux mathématiques :
● Ne privilégie pas les mathématiques
● Les mathématiques sont issues des objets physiques par un processus
d’abstraction
Aristote face à la Logique :
● « Le but de ce traité (l’Organon) est de trouver une méthode qui nous mette
en mesure d’argumenter sur tout problème proposé, et, quand nous
soutenons un argument, de rien dire nous-mêmes qui y soit contraire »
Apport d’Aristote à la Logique :
● Découverte du caractère formel de la Logique : « on peut juger de la validité
d’un raisonnement indépendamment de ce dont il parle »
● La distinction entre axiomes, définitions, hypothèses, …
● Compétition de la Syllogistique : axiomes d’identité (a = a), du tiers exclu (P
ou non-P), de la double négation (non-non-P = P)
● Développement du raisonnement par l’absurde
● Et surtout dans les Analytiques (théorie des Syllogismes)
Trois activités de l’esprit :
Concevoir : un concept est l’objet du raisonnement
● « Il n’y a de science que du général, car seul le général est connaissable »
mais « n’existe que le particulier »
● Objet de la science : l’espèce
● Les concepts sont des termes généraux
● « J’appelle général ou universel ce dont la nature est d’être affirmé de
plusieurs sujets, et singulier ou individuel ce qui ne le peut. Ainsi, homme est
un terme général et Callias un terme individuel »
● « L’intension d’un concept consiste dans les qualités ou propriétés qui
constituent le concept »
● « L’extension d’un concept consiste dans les choses qui tombent sous le
concept » (qui relèvent de ce concept)
Juger : formuler une proposition portant sur des concepts
● « Tout discours n’est pas une proposition, mais seulement le discours dans
lequel réside le vrai ou le faux, ce qui n’arrive pas dans tous les cas : ainsi la
prière est un discours, mais elle n’est ni vraie ni fausse »
● Proposition aristotélicienne : structure qui résulte d’une analyse de la réalité :
deux termes généraux, le sujet S et le prédicat P, encadrant une « copule »
(est ou n’est pas). Le prédicat est dit « appartenir au sujet ». Différenciation
selon la qualité (affirmative/négative) et la quantité (universelle/existentielle). Il
y a 4 types de propositions.
● Deux interprétations d’une proposition : extensionnelle ou intensionnelle
● Les inférences immédiates : 4 formes de rapports logiques élémentaires entre
2 propositions. Oppositions fondées sur la qualité et la quantité
Raisonner : enchaîner des propositions
Raisonnement syllogistique :
● Un procédé rhétorique qui porte sur des termes généraux : « un syllogise est
un discours dans lequel certaines choses étant posées, quelque chose en
résulte nécessairement par le seul fait de ces données »
● S’appuie sur 3 termes : moyen, majeur, mineur
● S’articule sur 3 propositions : deux prémisses (majeure et mineure) et une
conclusion
● 4 figures, définies selon la position du moyen terme
1ère figure : M x P, S y M, S z P
2e figure : P x M, S y M, S z P
3e figure : M x P, M y S, S z P
4e figure : P x M, M y S, S z P
● 64 modes par figure, définis selon la qualité et la quantité des propositions
● Donc 256 syllogismes possibles, dont 14 sont valides selon Aristote
Distinctions :
● Syllogismes parfaits / imparfaits
● Syllogismes valides / non-valides : « la vérité de la conclusion résulte-t-elle
nécessairement de la vérité des prémisses ? »
Vérité vs Syllogisme :
● Un syllogisme établit-il la vérité ? : « tous les animaux marins sont des
poissons, toutes les baleines sont des animaux marins, toutes les baleines
sont des poissons »
● Le cas des sophismes : « tout ce qui est rare est cher, tout cheval bon marché
est rare, tout cheval bon marché est cher »
Critiques de la syllogistique :
● La lourdeur de la structure prédicative : "L’homme pense" -> "l'homme est
pensant" / "tout cavalier monte un cheval" -> "tout cavalier est montant un
cheval" / "Roméo aime Juliette" -> "tout homme semblable à Roméo est
aimant Juliette"
● La subalternation est considérée comme valide
● Certains syllogismes ne sont-ils pas des pétitions de principe ? (càd que la
conclusion est utilisée dans le raisonnement)
● Le moyen terme est responsable de l’attribution du majeur au mineur
● La logique aristotélicienne reste une logique de l’attribution
● Elle ne traite qu’une partie des raisonnements portant sur des termes
généraux
Ouvrages exotériques (destinés à la publications) : tous perdus
Ouvrages ésotériques (destinés à l’enseignement) : quelques milliers de pages,
encore conservées
Les stoïciens
Ecole concurrente de l’école aristotélicienne :
● Fondateur : Chrysippe
Critiques de certains présupposés aristotéliciens
● Sur la définition des concepts : certains concepts sont intrinsèquement
imprécis
● Sur la notion des propositions : certaines propositions ne sont ni vraies ni
fausses
Différences avec la logique aristotélicienne
● Les variables dénotent des propositions
● Les symboles logiques sont des connecteurs : interpropositionnels et
vérifonctionnels
● Distinction entre propositions simples et propositions complexes
● Interprétation philonienne du connecteur conditionnel
Les schémas d ’inférence;
● Formes de raisonnement formel indémontrables, qui éliminent un connecteur
et une proposition
○ modus ponens : si p alors p or p donc q
○ modus tollens : si p alors q or non q donc non p
○ disjonction type 1 : pas à la fois p et q or q donc non p
○ disjonction type 2 : p ou q mais pas les 2 or p donc non q
○ disjonction type 3 : p ou q mais pas les 2 or non p donc q
● Possibilité de substituer des expressions propositionnelles
Des distinctions pertinentes :
●
●
●
●
Raisonnement concret / Raisonnement formel
Signifiant / Signifié : la logique porte sur le signifié
Rapport entre formes inférentielles et formes propositionnelles
Langage (La Terre est ronde ; S'il fait beau alors il fait beau) / Métalangage
("La Terre est ronde" est une proposition vraie ; "il fait beau" implique "il fait
beau")
L'époque médiévale
Jusqu'au début du 12e siècle :
● Préservation de l’héritage aristotélicien → Influence de la culture islamique
Première période (12e-13e siècle) :
● Ars Vetus :
○ On recommence à étudier la logique (Abélard 1079-1142)
○ Scolastiques →traités pour l’enseignement
● Ars Nova :
○ Les médiévaux
○ Introduction des syllogismes dans l’enseignement
○ Interprétation des textes et dogmes chrétiens à l’aide de la logique
aristotélicienne (Thomas d’Aquin 1228-1274)
○ Procédés mnémotechniques pour mémoriser les modes syllogistiques
valides
○ Procédés mécaniques pour réduire aux syllogismes de la première
figure
○ Étude de logiques modales, des sophismes
Deuxième période (14e siècle) :
● Logica Modernorum
○ Les modernes (Guillaume d’Occam 1285-1347)
○ Vérité matérielle (si quelque homme court, quelque animal court) →
vérité formelle (si quelque homme court, et si tout homme est un
animal, alors quelque animal court)
○ Principe d’économie ou Rasoir d’Occam : “Les entités ne devraient pas
être multipliées sans nécessité” (Occam) ; “Les savants doivent utiliser
les concepts les plus simples pour parvenir à leurs résultats et exclure
tout ce qui ne peut être perçu par les sens” (Ernst Mach)
○ La querelle des universaux
○ Syllogismes non aristotéliciens
○ La Théorie des Conséquences : introduction de la propositionnelle
conditionnelle complexe, étude et distinction des différents sens du si,
découverte de lois du calcul des propositions
Au-delà, la Renaissance…. : rejet de la logique scolastique
Leibniz (1646 - 1716)
Un rôle dans l'histoire de la logique reconnu tardivement
Distinction entre :
● Validité matérielle : la vérité dépend de ce dont on parle (la matière signifiée)
● Validité formelle : la vérité provient de la façon de penser les choses (la forme
signifiante)
Opposition entre Leibniz et Descartes :
● Pour Descartes : une forme signifiante ne contient aucune vérité → recours à
l’intuition
● Pour Leibniz : la matière signifiée n’est pas fiable → recours à la formalisation
Critique de la syllogistique :
● La syllogistique dépend trop du langage naturel, est soumise à des
irrégularités logiques
● Nécessité de bâtir une langue de la logique, en excluant tout recours à la
langue naturelle
Son projet :
● Bâtir une langue artificielle (écriture de la raison) : la Lingua Characterisca
Universalis
● Formaliser le raisonnement : le Calcul Ratiocinator → un système de calcul
sur des signes
Principaux travaux en logique :
● Complétion de la syllogistique (subalternation) :
○ existence en possibilité (il est possible que quelque homme rit)
○ existence en acte (on vérifie que quelque homme rit)
● Amélioration de la syllogistique : introduction de l’égalité
● Construction d’une logique plus générale
● Formulation de la Logique de l’Identité :
○ porte sur les raisonnements dont la validité dépend du signe "="
○ "si deux objets sont identiques, les termes qui les désignent sont
interchangeables"
● Construction d’une logique combinatoire
Naissance de la logique moderne
Facteurs déclenchants (G. Boole)
L’algèbre de Boole :
● Dans Mathematical Analysis of Logic (1847) : "Il s’agit d’algébriser et
d’étendre la logique traditionnelle"
● Une algèbre de valeurs distinguées 0 et 1
● Une méthode à base de calculs algébriques
○ 2 calculs binaires : + et .
■ x+x = x
■ x+y = y+x
■ x+0 = x
■ x+1 = 1
■ x+non(x) = 1
■ x.x = x
■ x.y = y.x
■ x.1 = x
■ x.0 = 0
■ x.non(x) = 0
○ 1 calcul unaire : non( )
● Pour Boole : "La logique est un calcul"
Théorie des syllogismes :
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●
●
a : classe les objets qui vérifient une propriété A
a.b : classe des objets qui vérifient A et B
a+b : classe des objets qui vérifient A ou B
0 : classe vide
1 : classe universelle
non(a) : classe des objets qui ne vérifient pas A
Tous les A sont des B : a.non(b) = 0
Aucun A n'est B : a.b = 0
Quelque A est B : a.b ≠ 0
Quelque A n'est pas B : a.non(b) ≠ 0
Exemple :
Toute baleine est un mammifère
quelque baleine est un cétacé
-----------------------------------------quelque cétacé est un mammifère
baleine = a / mammifère = b / cétacé = c
a.non(b) = 0
a.c ≠ 0
-------------b.c ≠ 0
Démonstration :
a.c ≠ 0
a.c.1 ≠ 0
a.c.(b+non(b)) ≠ 0
a.c.b + a.c.non(b) ≠ 0
or a.non(b) = 0
donc a.c.b ≠ 0
donc b.c ≠ 0
Logique stoïcienne :
●
●
●
●
Interprétation de classes
Soit p une proposition
Extension de p : classe des circonstances dans lesquelles p est vraie
Logique binaire : 0 et 1
○ p.q = 1 (p et q) vraie
○ p+q = 1 (p ou q) vraie
○ p = 1 (p vraie)
○ p = 0 / non(p) = 1 (p fausse)
○ p implique q : p.non(q) = 0
Exemple de représentation :
p : "raquette cordée" / q : 'travail terminé / r : "salle occupée" / s : "il fait beau"
"Je peux jouer au tennis" : p.q.(non(r)+s) = 1
Raisonnement :
modus ponens : p implique q, or p, donc q
p.non(q) = 0
p=1
------------------q=1
Démonstration :
p.non(q) = 0
p=1
non(q) = 0
or, q+non(q) = 1
donc, q = 1
Interprétation de l’algèbre de Boole :
● C’est une algèbre de classes, avec algébrisation de :
○ la Logique des termes généraux, interprétés en extension
○ la Logique des Propositions, interprétées en extension
Limites de l’algèbre de Boole :
● Pas de traitement des raisonnements mixtes (raisonnement aristotélicien ou
raisonnement stoïcien, mais pas les 2 à la fois)
● Présupposition des lois de la déduction
● Pas de représentation des relations
Preuve :
Si aucun vampire n'existe, alors tous les vampires sont sanguinaires
vampire : v / sanguinaire : s / aucun vampire n'existe : p / tous les vampires sont
sanguinaires : q
aristotélicienne : si v = 0, alors v.non(s) = 0
stoïcienne : p.non(q) = 0
Les 2 propositions ne forment pas un système
La question de la subalternation :
● Point de vue différent d’Aristote
● Légitimité du découplage
Tout A est B --> quelque A est B (Aristote)
a.non(b) = 0 -?-> a.b != 0 : NON car A est peut-être vide
Facteurs déclenchants (évolution des mathématiques) :
Des découvertes au 19ème siècle Les problèmes de construction
● éviter le recours à l’intuition
● définir avec rigueur ce qu’est un nombre entier
● arithmétiser l’analyse
L’axiomatisation de la géométrie
● non déductibilité de l’axiome d’Euclide
● existence d’axiomatiques non-euclidiennes
● apparition d’une géométrie non intuitive
Que sont en définitive les mathématiques ?
● Une science qui n’est ni de la quantité ni de l ’espace
● Travail du mathématicien : "établir si certaines propositions sont
conséquences logiques des axiomes"
L’élargissement des perspectives
● Une méthode :
○ constituer un ensemble d ’axiomes
○ établir que cet ensemble n ’est pas contradictoire
○ développer la théorie ainsi créée
Infini :
● Infini potentiel : un nombre est au-delà de tout entier (vision des anciens
grecs qui dure jusqu'au 19e siècle
● infini actuel : l'infini est un objet mathématique
Cantor :
● Théorie des ensembles naïve
● Ensemble infini : un ensemble est infini s'il peut être mis en bijection avec une
partie propre de lui même
● Le cardinal de l'ensemble N (infini discret) et celui de l'ensemble R (infini
continu) sont différents : démontré par l'argument diagonal
Axiome d'Euclide : par un point il ne passe qu'une seule droite parallèle à une droite
donnée
Lobatchevski et Bolyai : Par un point, il passe une infinité de droites parallèles à une
droite donnée (géométrie hyperbolique)
Riemann (1849) : géométrie sphérique
●
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●
●
●
le plan est une sphère
une droite est un cercle qui passe par les 2 pôles
somme des angles d'un triangle > 180°
circonférence d'un demi-cercle < pi
par un point, il ne passe aucune droite parallèle à une droite
Frege : "le cheval mange de l'herbe" est une phrase ambiguë, et le langage
mathématique permet de distinguer les cas :
● Il existe x qui est un cheval et qui mange de l'herbe
● Pour tout x, si x est un cheval, alors x mange de l'herbe
FREGE (1848 - 1925)
La langue naturelle est imparfaite pour juger de la correction des raisonnements
Frege en bref
● Logicien, mathématicien, philosophe
● Le fondateur de la Logique Mathématique
● Travaux longtemps méconnus
Les projets
● Créer une idéographie (1879) pour supplanter la langue naturelle :
○ un calcul, avec des lois logiques
○ une langue universelle, avec des bases ontologiques
● Le projet logiciste : réduire l’arithmétique à la logique
Le concept de nombre ordinal
Dans les Fondements de l’Arithmétique (1884) :
● Extension de concept
● La notion de nombre, sans faire appel à l’abstraction !
● "Le nombre qui appartient au concept F est l ’extension du concept
équinumérique au concept F"
Contenu propositionnel et assertion
● Un contenu propositionnel est un simple énoncé
● Une assertion : "est un acte de l’esprit qui déclare vraie une proposition"
Remise en cause de la tradition aristotélicienne
● Un énoncé n’est pas une combinaison de termes généraux
● Refus de la distinction entre sujet et prédicat
● Distinction non pertinente, en général sans effet sur la capacité à inférer
Analyse des propositions
● En concept et objet : un concept est de nature prédicative
● En fonction et argument : "un concept est une fonction qui associe à un objet
une valeur de vérité"
Notion de fonction propositionnelle
● Expression linguistique comportant une variable x, qui devient une proposition
si x est remplacée par un objet déterminé
● Permet d ’unifier logiques des généraux et des singuliers
Introduction des quantificateurs et subalternation
● Propositions hypothétiques : "tout A est B" devient "pour tout individu, s’il est
A, alors il est B".
● Pas de présupposition d ’existence
Distinction entre sens et dénotation
● Sens : ce par quoi deux éléments linguistiques sont synonymes ou s
’opposent
● Dénotation : ce sur quoi porte la langue
PERTINENCE DES THÉORIES
Théorie Langage comportant :
● des règles pour distinguer les énoncés bien formés
● des règles pour distinguer les postulats
Théories formelles / informelles
Les sciences de la nature
« La notion de vérité préexiste à la théorie »
● Théorie mise à l ’épreuve de l’expérience
● Énoncés d’observation vs énoncés théoriques
● Critères : adéquation, complétude, profondeur
Les sciences pures
● Vérité théorématique vs vérité sémantique
○ notion de théorématicité : Frege, Carnap...
○ notion de vérité : Tarski
● Distinguer entre langage et métalangage
○ métalangages syntaxique et sémantique
MOUVEMENT D'AXIOMATISATION
La méthode axiomatique
Brève histoire
●
●
●
●
Analyse ramenée à l’arithmétique
Théorie des ensembles (Cantor)
Théorie des nombres finis et transfinis (Frege, Dedekind)
Travaux de G. Péano (1858-1932)
○ axiomatisation de l’arithmétique
● Travaux de D. Hilbert (1862-1943)
○ axiomatisation de la géométrie euclidienne
○ formulation du programme formaliste
○ à l’origine de la métamathématique
La question fondamentale : celle de la non-contradiction des systèmes axiomatiques
Formulation première :
● « D’un ensemble d’axiomes peut-il résulter une contradiction ? »
Formulation finale :
● « L’ensemble des axiomes est-il contradictoire ? »
La clef : trouver un modèle (Löwenheim)
● Un modèle est une interprétation des symboles de la théorie pour laquelle
tous les axiomes sont vrais
Comment procéder :
● En cas de modèles finis : par inspection exhaustive
● Si nécessité de recourir à des modèles infinis :
○ utiliser des modèles finis et faire un pas inductif
○ utiliser des modèles définis en compréhension
○ s’appuyer sur la consistance d’autres systèmes
○ admettre l’évidence…
LA CRISE DES FONDEMENTS
B. Russell (1872-1970) et le logicisme (1903) Dans les Principes des Mathématiques
:
● Réduire l’arithmétique à la logique
● Mais certaines notions fondamentales ont un sens
L’ambition de B. Russell et N. Whitehead
● "Construire un système axiomatique logique à partir duquel tous les axiomes
non logiques des mathématiques pourraient être déduits"
● "Toute branche des mathématiques pourrait être vue comme dérivant d’un
ensemble d’axiomes par application d’un ensemble de règles d’inférence"
Thèse : "Toutes les propositions vraies de la théorie des nombres entiers naturels
peuvent être démontrées dans le cadre des Principia Mathematica"
Les Principia Mathematica (1910-1913)
●
●
●
●
Système consistant qui absorbe la théorie des ensembles
Renouvellement du formalisme propositionnel
La Théorie des types
Critiques fondées sur l’utilisation de certains axiomes
ISSUES A LA CRISE
Courant intuitionniste :
● il faut voir le sens des objets que l'on utilise (il faut avoir une intuition)
● Refus du tiers-exclu ("non-p faux" n'implique pas "p vrai")
● Refus du raisonnement par l'absurde
Le projet formaliste
L’ambition du formalisme : reconstruire les mathématiques sans recours à l’intuition
Le credo formaliste : "Les mathématiques doivent être considérées comme une
activité sans signification, semblable à un jeu, tel le jeu d ’échecs : il s’agit de règles
formelles fixées à l’avance et permettant de construire certains assemblages de
symboles, à savoir les énoncés et leurs démonstrations"
Première version du programme formaliste : "Tout énoncé mathématique
élémentaire peut être obtenu directement dans les mathématiques élémentaires"
Seconde version du programme formaliste : "Il s ’agit d’établir la non-contradiction de
l’arithmétique puis de l’analyse qui seraient introduites par des axiomes et des règles
de déduction, sans jamais faire appel au sens des termes utilisés"
La démarche formaliste
● Un objet d’étude : les systèmes de signes. Ils comportent des chaînes de
signes vides de sens
● Une langue pour l’analyse : la métamathématique "La métamathématique est
la science du discours mathématique, où l’on doit oublier la signification des
symboles, pour n’en retenir que leur rôle dans la formation et la
transformation des expressions"
○ analyse effectuée par des moyens élémentaires
● Un outil d’analyse : les méthodes finitistes
○ analyse des propriétés de structure des expressions
Travaux
● Des démonstrations de consistance absolue : complétude et consistance du
calcul des propositions (Emil Post : 1921)
● Axiomatisation de la théorie des ensembles : les systèmes ZF et NBG
● Notion de raisonnement valide (Wittgenstein : 1920)
Gödel représente chaque formule mathématique par un nombre premier (la
métamathématique peut aussi être représentée par par les nombres premiers)
Les projets de Hilbert et Frege de reconstruire les mathématiques morceau par
morceau s'écroulent.
Second théorème :
● axiomatisation arithmétique non complète, mais non contradictoire
Selon Gödel, on ne peut pas affirmer que les mathématiques ne sont pas
contradictoires.
En 3000 ans de mathématiques, on a pas eu de contradiction, mais on ne saura
jamais la réponse.
Ce théorème est une limitation mais il ouvre de nouvelles perspectives : si le projet
de mécanisation de Hilbert avait fonctionné, toutes les mathématiques auraient été
accessibles. Le théorème montre donc que tout n'est pas accessible au sein d'une
formalisation, et qu'il faut faire preuve d'imagination.
CHAPITRE 3 : système formel
I/
PETITE HISTOIRE DE L'AXIOMATISATION
Géométrie d'Euclide (Éléments)
Géométrie Euclidienne, par Hilbert (non complète, à cause du théorème de Gödel)
○ 21 axiomes
Axiomatisation de Péano :
● Ensemble IN défini par :
○ 0 est un entier naturel
○ tout entier naturel n a un successeur unique : s(n)
○ il n'existe pas d'entier ayant pour successeur 0
○ 2 entiers naturels distinct ont des successeurs distincts
○ si un ensemble A d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur
de chacun de ses éléments, alors A = IN (axiome de récurrence)
● Addition :
○ pour tout x, {x + 0 = x}
○ Pour tout x et y, {x + s(y) = s(x+y)}
● Multiplication :
○ pour tout a, {a * 0 = x}
○ pour tout a et b, {a * s(b) = a * b + a}
II/
UN EXEMPLE DE SYSTEME FORMEL
Le système MIU a été inventé par Douglas Hofstadter
●
●
●
●
Alphabet : M, I, U
Axiome : MI
Mots : ...
4 règles d'inférence :
○ R1 : mI infère mIU (avec m une suite de symboles de l'alphabet)
○ R2 : Mx infère Mxx
○ R3 : xIIIy infère xUy
○ R4 : xUUy infère xy
● q1 : le mot MUIIU est-il un théorème de ce système formel ?
○ MI = MII = MIIII = MUI = MUIU = MUIUUIU = MUIIU donc c'est un
théorème
● q2 : UM est-il un théorème ?
○ MI = ?? (tous les théorèmes du système commencent par un M) :
réponse NON
● q3 : MU est-il un théorème ?
○ MI commence par un M donc on continue. Règles impliquées (dans la
possible disparition du I) : R2 et R3
○ réponse NON
DEFINITIONS RELATIVES AUX SYSTÈMES FORMELS
III/
AUTRES EXEMPLES
a) Le système bâtons
● Alphabet : ".", "|", "D"
● Mots : toute suite de symboles de la forme x.Dy. (avec x et y des suites de "|"
éventuellement vides)
● Axiome : .D.
● Règle d'inférences : x.D.Y infère |x.D|.y
● Exemple de théorème : .D. = |.D|. = ||.D||. = |||.D|||.
● Forme générale des théorèmes : x.Dx. (avec x une chaîne de "|"
éventuellement vide)
b) Le système "pg"
●
●
●
●
●
Alphabet : p, g, Mots : de la forme x p y g z (avec x, y et z des chaînes de "-", non vides)
Axiomes : de la forme x p - g x Règle d'inférence : x p y g z infère x p y - g z question 1 : ---p-----g-------- est-il un théorème ?
○ ---p-g---- = ---p--g----- = ---p---g------ = ---p----g------- = ---p-----g-------donc c'est un théorème
● question 2 : ----p--g----- est-il un théorème ?
○ ----p-g----- : on ne peut pas rajouter un tiret à y sans en rajouter un à z,
donc réponse : NON
● Forme générale des théorèmes : x p y g x y
IV/
PROPRIÉTÉS SYNTAXIQUES
1) Décidabilité
On cherche une méthode qui puisse dire en un temps fini si un mot est un théorème
ou pas
Implicite (par la démonstration) ----> explicite (par la caractérisation)
● Système bâtons
○ Forme des théorèmes : x.Dx.
○ Critère de théorématicité : x.Dy. est un théorème ssi (x = y) et (x >= 0)
○ Procédure de décision :
■ x.Dy.
■ = --> oui
■ =! --> non
● Système "pg"
○ Forme des théorèmes : x p y g x y
○ Critère de théorématicité : x p y g z est un théorème ssi x + y = z, x et y
naturels non nuls
● Définition : Un ensemble est récursif s’il existe un algorithme qui, étant donné
un élément x, détermine en un nombre fini d’étapes si x appartient ou non à
l’ensemble. Soit un système formel S et TS l’ensemble des théorèmes de S.
La question de décision est de savoir si TS est récursif ou pas. Si oui, S est
décidable
● L'ensemble des théorèmes d'un système formel est récursivement
énumérable :
○ on peut énumérer les théorèmes
● Semi décidabilité :
○ Un système formel est semi décidable s’il existe une procédure
capable, pour tout théorème t de ce SF, d’établir en un temps fini que t
est un théorème. Le calcul des prédicats est semi décidable
2) Non contradiction
● Déjà vu
3) Complétude syntaxique
● Pour toute formule 'w', 'w' ou bien 'non-w' est un théorème
V/ PROPRIÉTÉS SYNTAXIQUES
1) Interprétations d'un système formel
● Exemple : système "bâtons" ('>' = 'par association d'idées, je pense à')
○ i1 :
■ .>0
■ D>=
■ | > s( )
○ ce qui donne par exemple : s(s(s(0))) = s(s(s(0))) càd 3 = 3
○ Toutes les formes interprétées des théorèmes, par i1, sont des
assertions vraies
○ Plus généralement, via i1, ce SF produit des égalités de la forme n = n
● Un système formel S est adéquat pour un interprétation donnée si les formes
interprétées des théorèmes de S sont des assertions vraies
○ i2 :
■ . > "la Terre est ronde"
■ D > "a la même valeur de vérité que"
■ | > négation
○ ce qui donne par exemple : non( non(non("la Terre est ronde"))) a la
même valeur que vérité que non(non(non("la Terre est ronde"))) càd "la
Terre n'est pas ronde" a la même valeur de vérité que "la Terre n'est
pas ronde"
○ Les formes interprétées des théorèmes par i2 sont des assertions
vraies
○ Le système "bâtons" est adéquat pour i2
● Système "pg" :
○ i1 :
■ p>+
■ g>=
■ ->1
■ -- > 2 etc...
○ Le système engendre des théorèmes dont la forme interprétée est x +
y = z avec x et y appartiennent à IN*, z appartient à IN privé de {0;1}
○ Le système "pg" est adéquat pour i1 (donc il est non contradictoire)
○ i2 :
■ p>=
■ g > oté de
■ - > 1 etc...
○ x = y oté de z
○ le système "pg" est adéquat pour i2
○ i3 :
■ p > '+'
■ g > '>='
■ - > 1 etc...
○ le système "pg" est adéquat pour i3 mais il n'est pas complet car pg ne
peut pas créer le mot : ---p--g---- (càd 3 + 5 >= 4), pourtant le théorème
est vrai
Cadre général
Systèmes formels
(mots) langages (formels) <-- grammaire
CHAPITRE 4 : logique des propositions
I/
Le langage
Apparue fin 19e siècle : c'est celle qui est apparue en premier
C'est le noyau de toutes les logiques plus puissantes
1. Notion de proposition
déf : une proposition est un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité :
Vrai ou Faux
Exemples :
● "la Terre est plate"
● "le ciel est bleu"
Contre-exemples :
● "la maison"
● "allez à la maison !"
● "fait-il beau ?"
Proposition minimale : proposition qui ne peut pas être décomposée en
propositions plus petites
Proposition composée : proposition qui peut être décomposée en propositions plus
petites à l'aide de connecteurs (ex : "pi est rationnel ou est irrationnel" > Vrai grâce
au principe du tiers exclu)
Distinction classique :
● Vérités de fait : "la Lune est ronde"
● Vérités logiques : "s'il fait beau, alors il fait beau" (tautologie : si p, alors p)
2. Symboles de langage
Alphabet : p, q, r, ... / P, Q, R / P1, P2, ..., Pn, ...
Symboles logiques :
●
●
●
●
●
┐(lu "non")
Λ (lu "et")
V ( lu "ou")
= > (lu "implique")
< = > (lu "double-implique")
Parenthésage : ( ) , [ ] , ...
3. Définition du langage LP
p variable proposition
soit φ et ψ deux formules de LP :
● (φ Λ ψ) , (φ V ψ) , (φ = > ψ) , (φ < = > ψ) , (┐φ) sont des formules de LP
Remarque : on peut représenter une formule par un arbre
II/ Sémantique de LP
Sémantique formelle ou compositionnelle
1. sémantique des connecteurs
a/ négation
┐ : application de {V,F} dans {V,F}
P
┐P
V
F
F
V
donc ┐(┐P) -> P
┐ : opérateur unaire car il ne s'applique qu'à une seule proposition
b/ conjonction
Λ : opérateur dyadique : application de {V,F}² dans {V,F}
p
q
pΛ
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
c/ disjonction
V : opérateur dyadique : application de {V,F}² dans {V,F}
p
q
pVq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
d/ implication
opérateur dyadique : application de {V,F}² dans {V,F}
p
q
p=>q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
e/ double implication
opérateur dyadique : application de {V,F}² dans {V,F}
p
q
p<=>q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
f/ autres connecteurs
Connecteurs vérifonctionnels : la valeur de vérité de la formule ne dépend pas du
contenu des propositions
Connecteur "parce que"
● p : "la route est mouillée"
● q : "il pleut"
● table de vérité :
q
p parce que q
V
V
p
q
p parce que q
V
V
?
p
V
Si on échange p et q :
donc le connecteur "parce que" n'est pas vérifonctionnel
Connecteurs n-adiques :
application de {V,F}^n dans {V,F} -> 2^(2^n)
(n = 2) : 16 connecteurs dyadiques
(n = 3) : 64 connecteurs triadiques
2. Connecteurs et langage naturel
Représentation des connaissances
2 connecteurs :
● Hilbert : = > , ┐
● Kleene : V , ┐
● Church : Λ , ┐
a/ Négation et langage
négation classique ≠ négation par l'échec
négation d'une négation : ┐┐p < --- > p (selon la logique)
p : "je veux"
"je ne veux pas" < --- > "je refuse"
"je ne refuse pas" ≠ "je veux"
négation d'une gradation :
"il est fort, et même exceptionnel"
négation : "il n'est pas exceptionnel, ni même fort"
Distinction :
"il n'est pas vrai que p"
"il est vrai que non p"
Conjonction :
"il fait beau" et "il fait chaud"
"il tua l'individu et s'enfuit" -> p Λ q ≡ q Λ p (selon la logique)
≠ q Λ p (dans le langage naturel)
Disjonction :
langage naturel -> ou exclusif
3. interprétation de LP
Interprétation (i) :
p infère Vrai
q infère Faux
r infère Vrai
D'une formule :
(w) : (p = > q) V ┐r ---> Faux
Sémantique d'une formule : (8 interprétations)
interprétatio
n
p
q
r
p=>
q
┐r
(w)
i1
i2
i3
i4
i5
i6
i7
i8
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
Notion de modèle : une interprétation i est un modèle de (w) ssi i(w) = Vrai
ex : i3 n'est pas un modèle de (w), i6 est un modèle de (w)
Modèle d'un ensemble de formules :
E = {p => (q V r) ; p V r}
i : p infère Vrai ; q infère Vrai ; r infère Vrai ---> i st un modèle
F = {p => q ; p Λ ┐q}
F n'a pas de modèle
Satisfiabilité d'une formule ou d'un ensemble de formules : une formule est
satisfiable ssi elle admet au moins 1 modèle
E est satisfiable, F n'est pas satisfiable
p Λ ┐p est insatisfiable
p = > ┐p est satisfiable
Problème majeur : SAT
Notion de validité : une formule est valide ssi elle est vraie pour toute interprétation i
(=tautologie)
ex : p V ┐p / p = > p / p V q V ┐p / (((p = > q) Λ p) = > q)
Conséquence logique : Une formule A est une conséquence logique d'un ensemble
de formules E ssi tout modèle de E est modèle de A
ex : E = {p = > q ; q = > r} / A : p = > r
A est une conséquence de E
Équivalences logiques : (w) et (φ) sont équivalentes ssi elles ont les mêmes
modèles
(w) ≡ (φ)
p≡p
pΛq≡pΛq
pVq≡pVq
p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p V r)
┐(p Λ q) ≡ ┐p V ┐q
┐(p V q) ≡ ┐p Λ ┐q
p V ┐p ≡ Vrai (tiers exclu)
p Λ ┐q ≡ Faux (contradiction)
p <=> q ≡ (p => q) Λ (q => p)
p => q ≡ ┐p V q
Théorème important :
((H1 Λ H2 Λ ... Λ Hn) => C) tautologie ssi C est une conséquence de {H1 ; H2 ; ----- ;
Hn} (problème de décision) ssi {H1,H2,...Hn, ┐C} est insatisfiable
III/ Système formel
Système de Hilbert
● symboles propositionnels : p, q, r...
● symboles logiques : non(); =>
Mots de ce SF :
●
●
●
●
X l'ensemble des mots
tout symbole propositionnel
si φ appartient à X, alors non(φ) appartient à X
si φ appartient à X, si ψ appartient à X, (φ => ψ) appartient à X
Axiomes :
● SA1 : (A => (B => A))
● SA2 : ((A => (B => C)) => ((A => B) => (A => C)))
● SA3 : ((non(A) => non(B)) => (B => A))
Règle :
● Si A implique B, et on a A, alors on a B (modus ponens)
Exercices :
Exercice 1
1. Trouver une formule dont la sémantique (table de vérité) est : FFFFVFFF
p
q
r
?
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
formule : non(p) et q et r
2. sémantique : VFFFVFVF
p
q
r
non(p) et q
et r
p et q
et r
non(p) et non(q)
et r
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
factorisation : (non(p) et q et r) ou (p et q et r) ou (non(p) et non(q) et r) ≡ r et
{(non(p) et q) ou (p et q) ou (non(p) et non(q))}
≡ r et {q ou (non(p) et non(q))} ≡ r et (q ou non(p)) ≡ r et (p => q)
3. FFFFFFFF
p
q
r
?
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
formule : (p et q et r) et non(p)
Exercice 2 : Ces formules sont-elles valides, satisfiables, contingentes ?
vocabulaire :
● valide : toujours vraie
● satisfiable : peut être vraie sous certaines conditions
● contingente : peut être vraie ou faux
φ1 : (non(p) et (non(p => q))
≡ non(p) et non(non(p) ou q))
≡ non(p) et p et non(q)
≡F
insatisfiable
φ2 : (p ou non(q)) et (non(p) ou q)
≡ (q => p) et (p => q)
≡ p <=> q
satisfiable si q et p sont vraies
non valide car ça peut être faux
donc elle est contingente
φ3 : (p => q) => (non(q) => non(p)) (contraposée)
valide (tautologie)
φ4 : p et (non(p et non(p)) et (q ou r))
≡ p et (q ou r)
satisfiable
non valide
contingente
Exercice 3 : représenter en LP0
1. Si un triangle est équilatéral, alors il est isocèle
p : "le triangle est équilatéral" ; q : "le triangle est isocèle"
p => q
2. Un triangle rectangle n'est jamais équilatéral
p : "le triangle est rectangle" ; q : "le triangle est équilatéral"
non(p) ou non(q)
3. un carré est à la fois un losange et un rectangle
p : "la figure est un carré" ; q : "la figure est un losange" ; r : "la figure est un
rectangle"
(q et r) <=> p
4. Deux droites coplanaires sont sécantes ou parallèles
p : "les droites sont coplanaires" ; q : "les droites sont sécantes" ; r : "les droites sont
parallèles"
p <=> (q ou r)
5. Deux droites ne peuvent pas être à la fois sécantes et parallèles
p : "les droites sont sécantes" ; q : "les droites sont parallèles"
non(p) ou non(q)
Exercice 4 :
Énoncé
Amélie, Brigitte et Carolle
l'une des 3 est jolie
si Amélie est jolie mais pas Carole, alors Brigitte est jolie
soit Brigitte et Carole sont jolies toutes les 2, soit elles ne le sont ni l'une ni l'autre
A : "Amélie est jolie" ; B : "Brigitte ...
φ1 : A ou B ou C
φ2 : (A et non(C)) => B ≡ non(A) ou B ou C
φ3 : (B et C) ou (non(B) et non(C))
Question
Chercher un modèle de E = {φ1;φ2;φ3}
tables de vérité
A
B
C
φ1
φ2
φ3
E
V
V
V
V
V
V
Vi1
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
Vi5
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
(w) : (a ou b ou c) et (non(a) ou b ou c) et [(b et c) ou (non(b) et non(c)]
≡ (b ou c) ou (a et non(a)) et [(b et c) ou (non(b) et non(c)]
≡ (b ou c) et [(b et c) ou (non(b) et non(c)]
≡ [(b ou c) et (b et c)]
≡[(b ou c) et (b et c)] ou [(b ou c) et (non(b) et non(c))]
≡ (b et c) ou F
≡ b et c
Exercice 5 :
DP Dupont : " Durand est coupable et Martin est innocent"
DR Durand : "si Dupont est coupable, alors Martin l'est aussi"
M Martin : "je suis innocent, mais au moins l'un des 2 autres est coupable"
"X est coupable" -> X
Langage
φ1 : DR et non(M)
φ2 : DP => M
φ3 : non(M) et (DP ou DR)
1. Les 3 témoignages sont-ils compatibles ?
E = {φ1;φ2;φ3} est-il satisfiable ?
Cherchons un modèle i de E
i : DP infère Faux
DR infère Vrai
M infère Faux
Les témoignages sont compatibles
(DR et non(M)) et (non(DP) ou M) et (non(M) et (DP ou DR))
2. Un des témoignages se déduit des 2 autres
{φ1;φ2} a pour conséquence logique φ3
{φ1;φ3} a pour conséquence logique φ2
{φ2;φ3} a pour conséquence logique φ1
3. Si tous sont innocents, lequel a menti ?
i : DP infère F
DR infère F
M infère F
i(φ1) = F i(φ2) = V i(φ3) = F
Dupont et Martin ont menti
4. Si seuls les innocents disent vrai, qui est coupable ?
