tp analyse3

UNIVERSITE HASSAN II
CASABLANCA
ECOLE NATIONAL
SUPERIEURE D4ELECTRICITE
ET DE MECANIQUE
Compte rendu Simulation :
Analyse Numérique
DEPARTEMENT : GENIE ELECTRIQUE.
OPTION : Génie des Systèmes électriques
(GSE)
ENCADREE PAR : MME .A.RADID
REALISE PAR :
֎
BARBOURI YASSIR
֎ EL AKKAOUI SABRINE
Année universitaire : 2021-2022
INTRODUCTION
Certains problèmes de mathématiques peuvent être résolus numériquement (c.à-d., sur ordinateur) de façon exacte par un algorithme en un nombre fini
d'opérations. Ces algorithmes sont parfois appelés méthodes directes ou qualifiés
de finis. Des exemples sont l’élimination de Gauss-Jordan pour la résolution
d’un système d’équations linéaires et l’algorithme du simplexe en optimisation
linéaire.
Cependant, aucune méthode directe n’est connue pour certains problèmes (de
plus, pour une classe de problèmes dits NP-complets, aucun algorithme de
calcul direct en temps polynomial n'est connu à ce jour). Dans de tels cas, il est
parfois possible d’utiliser une méthode itérative pour tenter de déterminer une
approximation de la solution. Une telle méthode démarre depuis une valeur
devinée ou estimée grossièrement et trouve des approximations successives qui
devraient converger vers la solution sous certaines conditions. Même quand une
méthode directe existe, une méthode itérative peut être préférable car elle est
souvent plus efficace et même souvent plus stable (notamment elle permet le
plus souvent de corriger des erreurs mineures dans les calculs intermédiaires)
Par ailleurs, certains problèmes continus peuvent parfois être remplacés par un
problème discret dont la solution est connue pour approcher celle du problème
continu ; ce procédé est appelé discrétisation. Par exemple la solution
d’une équation différentielle est une fonction. Cette fonction peut être
représentée de façon approchée par une quantité finie de données, par exemple
par sa valeur en un nombre fini de points de son domaine de définition, même si
ce domaine est continu.
L’analyse numérique a pour propos la recherche et l’optimisation de méthodes
qui permettent d’approcher la solution d’un problème mathématique pour lequel
la solution exacte est inaccessible. Cette branche des mathématiques appliquées
s’est fortement développée avec la montée en puissance des moyens de calcul
informatique.
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TP : EQUATION LINAIRE
֎ But de simulation :
Ce TP vise à :
 Se familiariser avec le logiciel MATLAB.
 Savoir comment résoudre le système d’équation en utilisant :
 L’opérateur de division.
 La décomposition LU.
 La méthode de Gauss.
 La méthode de pivot de Gauss.
֎ Exercice 1 :
Soit :
1 1 0
1
A=[1 2 2] et b=[2]
0 2 3
3
1- Création de la matrice A en utilisant la fonction diag et le vecteur b avec
un pas fixe :
 Programme :
A=diag(1:3)+diag(1:2,-1)+diag(1:2,1);
b=[1:3]';
 Simulation:
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2- Résolution du système d’équation Ax=b en utilisant :
a- L’opérateur de division :
 Programme:
A=diag(1:3)+diag(1:2,-1)+diag(1:2,1)
b=[1:3]'
x=A\b
x=inv(A)*b
x=A^(-1)*b
 Simulation:
Page 4
b- La décomposition LU :
 Programme :
A=diag(1:3)+diag(1:2,-1)+diag(1:2,1)
b=[1:3]'
x=A\b
[L,U,P]=lu(A);
Y = linsolve(L,P*b)
X=linsolve(U,Y)
 Simulation:
֎ Exercice 2:
1- La forme matricielle du problème :
 Programme :
fg=50;
w=2*pi*fg ;
Ug= 220 ;
R1= 10 ;
R2= 3 ;
C= 10e-6 ;
L= 100e-3 ;
Z=[R1 1/j*C*w 0;0 -1/j*C*w R2+j*w*L;1 -1 -1];
U=[Ug; 0 ; 0]
I=inv(Z)*U
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 Simulation :
2&3- Résolution du système d 'équations linéaires par la méthode de
Gauss :
 Programme :
c = 10*10^-6; fg = 50; R1 = 10; R2 = 3; L = 100*10^-3; Ug = 220; w = 2*pi*fg;
b = [Ug 0 0]';
A = [10 1/(j*c*w) 0; 0 -1/(j*c*w) R2+(j*c*w); 1 -1 -1];
I = inv(A) * b;
I
Ieff = abs(I)
phaseI = angle(I) * 180 / pi;
n = size(A,1);
disp(['*** la methode de Gauss ***'])
A=[A b];
for k=1:n-1
for i=k+1:n
A(i,:)=A(i,:)-(A(i,k)/A(k,k))*A(k,:);
end
end
A
for i=n:-1:1
s=0;
for j=i+1:n
s=s+A(i,j)*x(j);
end
x(i)=(A(i,n+1)-s)/A(i,i);
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end
I=x'
Ieff = abs(I)
 Simulation:
֎ Exercice 3:
Soit :
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1
A=[2
1
1
4
4
1
4]
2
1- Résolution du système Ax=y par la méthode du pivot de Gauss :
 Programme :
clear all; clc;
a=[1 1 1;2 4 4;1 4 2];
y=[0 -2 -5]'
n = size(a,1);
disp(['*** la methode de Gauss ***'])
A=[a y];
for k=1:n-1
for i=k+1:n
A(i,:)=A(i,:)-(A(i,k)/A(k,k))*A(k,:);
end
end
A
for i=n:-1:1
s=0;
for j=i+1:n
s=s+A(i,j)*x(j);
end
x(i)=(A(i,n+1)-s)/A(i,i);
end
I=x'
 Simulation :
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2- La décomposition de A sous forme LU :
 Programme :
A=[1 1 1; 2 4 4; 1 4 2]
b=[0 -2 -5]'
[L,U,P]=lu(A);
Y = linsolve(L,P*b)
X=linsolve(U,Y)
 Simulation:
֎ Exercice 4:
Soit :
1 2 1
A=[2 8 4 ]
1 4 11
1- Factorisation de la matrice A :
 Programme :
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function L = choleski(A)
A = [1 2 1;2 8 4; 1 4 11]
N = size(A,1);
L = zeros(N,N);
for i = 1:N
L(i,i) = sqrt(A(i,i)-sum(L(i,:).^2));
for j = i+1:N
L(j,i) = (A(i,j)-sum(L(i,:).*L(j,:)))/L(i,i);
end
end
 Simulation :
2- La commande Matlab chol(A) :
 Programme :
function L = choleski(A)
A = [1 2 1;2 8 4; 1 4 11]
N = size(A,1);
L = zeros(N,N);
for i = 1:N
L(i,i) = sqrt(A(i,i)-sum(L(i,:).^2));
for j = i+1:N
L(j,i) = (A(i,j)-sum(L(i,:).*L(j,:)))/L(i,i);
end
end
R=chol(A)
 Simulation:
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֎ Exercice 5:
2-Résolution du système linaire par la méthode itérée de jacobi et de
Gauss-Seidel :
 Programme :
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