Analyse élastique d'un portique à une seule travée

Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
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Feuill
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α
,00
72
7,30
5,988
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Portique à une seule travée constitué de profilés laminés dimensionné selon
l'EN 1993-1-1. Cet exemple d'application comprend l'analyse élastique du
portique selon la théorie du premier ordre ainsi que la vérification des
barres sous combinaisons ELU.
0
7,2
[m]
30,00
1 Données
•
•
•
•
•
Longueur totale :
Espacement :
Largeur de la travée :
Hauteur (max) :
Pente du toit :
3,00
3,00
b = 72,00 m
s = 7,20 m
d = 30,00 m
h = 7,30 m
α = 5,0°
3,00
3,00
1
1 : Maintiens en torsion
3,00
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Charges
EN 1991-1-1
2.1 Charges permanentes
•
poids propre de la poutre
•
toiture, y compris l’empannage : G = 0,30 kN/m2
G = 0,30 × 7,20 = 2,16 kN/ml
2.2 Charges de neige
EN 1991-1-3
Valeurs caractéristiques des charges de neige sur la toiture, en [kN/m]
S = 0,8 × 1,0 × 1,0 × 0,772 = 0,618 kN/m²
⇒
Soit pour un portique courant : S = 0,618 × 7,20 = 4,45 kN/m
s = 4,45 kN/m
α
7,30
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soit pour un portique courant :
30,00
[m]
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2.3 Charges de vent
EN 1991-1-4
Valeurs caractéristiques des charges de vent, en kN/m, pour un portique
courant :
Zone G:
w = 9,18
wind direction
Zone J:
w = 5,25
Zone H:
w = 5,25
Zone I:
w = 5,25
Zone D:
w = 4,59
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Zone E:
w = 3,28
1,46
e/10 = 1,46
30,00
3 Combinaisons de charges
3.1 Coefficient partiel de sécurité
•
γGmax = 1,35
(charges permanentes)
•
γGmin = 1,0
(charges permanentes)
•
γQ = 1,50
(charges variables)
•
ψ0 = 0,50
(neige)
•
ψ0 = 0,60
(vent)
•
γM0 = 1,0
•
γM1 = 1,0
3.2 Combinaisons à l'ELU
Combinaison 101 :
γGmax G + γQ Qs
Combinaison 102 :
γGmin G + γQ Qw
Combinaison 103 :
γGmax G + γQ Qs + γQ ψ0
Combinaison 104 :
γGmin G + γQ Qs + γQ ψ0 Qw
Combinaison 105 :
γGmax G + γQ ψ0 Qs + γQ Qw
Combinaison 106 :
γGmin G + γQ ψ0 Qs + γQ Qw
EN 1990
EN 1990
Tableau
A1.1
EN 1990
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3.3 Combinaisons à l'ELS
EN 1990
Les combinaisons et les limites de déformation devraient être précisées pour
chaque projet par les documents du marché ou par l'Annexe Nationale.
4 Sections
z
tf
4.1 Poteau
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Considérons un profilé IPE 600 – Nuance d'acier S275
Hauteur
h = 600 mm
Hauteur de l'âme
hw = 562 mm
Hauteur de la partie droite de l'âme
dw = 514 mm
Largeur
b = 220 mm
Epaisseur de l'âme
tw = 12 mm
Epaisseur de la semelle
tf = 19 mm
Congé de raccordement
r = 24 mm
Masse linéaire
122,4 kg/m
tw
y
y
hw
z
b
Aire de la section
A = 156 cm2
Moment d'inertie par rapport à l'axe y-y
Iy = 92080 cm4
Moment d'inertie par rapport à l'axe z-z
Iz = 3386cm4
Inertie de torsion
It = 165,4 cm4
Inertie de gauchissement
Iw = 2845500 cm6
Module élastique par rapport à l'axe y-y
Wel,y = 3069 cm3
Module plastique par rapport à l'axe y-y
Wpl,y = 3512 cm3
Module élastique par rapport à l'axe z-z
Wel,z = 307,80 cm3
Module plastique par rapport à l'axe z-z
Wpl,z = 485,60 cm3
h
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4.2 Traverse
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Considérons un profilé IPE 500 – Nuance d'acier S275
Hauteur
h = 500 mm
Hauteur de l'âme
hw = 468 mm
Hauteur de la partie droite de l'âme
dw = 426 mm
Largeur
b = 200 mm
Epaisseur de l'âme
tw = 10,2 mm
Epaisseur de la semelle
tf = 16 mm
Congé de raccordement
r = 21 mm
Masse linéaire
90,7 kg/m
Aire de la section
A = 115,50 cm2
Moment d'inertie par rapport à l'axe y-y
Iy = 48200 cm4
Moment d'inertie par rapport à l'axe z-z
Iz = 2141 cm4
Inertie de torsion
It = 89,29 cm4
Inertie de gauchissement
Iw = 1249400 cm6
Module élastique par rapport à l'axe y-y
Wel,y = 1928 cm3
Module plastique par rapport à l'axe y-y
Wpl,y = 2194 cm3
Module élastique par rapport à l'axe z-z
Wel,z = 214,1 cm3
Module plastique par rapport à l'axe z-z
Wpl,z = 335,90 cm3
5 Analyse globale
On suppose que les assemblages sont :
•
articulés pour les pieds de poteau
•
rigides pour les assemblages poteau-poutre.
EN 1993-1-1
§ 5.2
L'ossature a été modélisée à l'aide du programme EFFEL.
5.1 Coefficient d'amplification du flambement αcr
Afin d'évaluer la sensibilité de l'ossature aux effets du 2ème ordre, on réalise
une analyse d'instabilité afin de calculer le coefficient d'amplification de
flambement αcr pour la combinaison de charges correspondant à la charge
verticale la plus élevée : γmax G + γQ QS (combinaison 101).
EN 1993-1-1
§ 5.2.1
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Pour cette combinaison, le coefficient d'amplification est : αcr = 14,57
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Le premier mode de flambement est illustré ci-après.
Donc : αcr = 14,57 > 10
EN 1993-1-1
Il est possible de procéder à une analyse élastique au premier ordre.
5.2 Effets des imperfections
§5.2.1 (3)
EN 1993-1-1
Les imperfections initiales globales d'aplomb peuvent être déterminées à partir § 5.3.2 (3)
de
φ = φ0 αh αm =
où
1
× 0,740 × 0,866 = 3,204 ⋅10 −3
200
φ0 = 1/200
αh =
2
2
=
= 0,740
h
7,30
αm = 0,5(1 +
1
) = 0,866
m
m = 2 (nombre de poteaux)
Les imperfections d'aplomb peuvent être négligées lorsque HEd ≥ 0,15 VEd.
EN 1993-1-1
Les effets des imperfections initiales d'aplomb peuvent être remplacés par des § 5.3.2 (4)
efforts horizontaux équivalents :
Heq = φ VEd
dans la combinaison où HEd < 0,15 ⎢VEd ⎢
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Le tableau suivant donne la valeur des réactions au niveau des appuis.
Poteau gauche 1
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Comb.
à l'ELU
Poteau droit 2
Total
0,15 ⎢VEd ⎢
HEd,1
kN
VEd,1
kN
HEd,2
kN
VEd,2
kN
HEd
kN
VEd
kN
101
-125,5
-172,4
125,5
-172,4
0
-344,70
51,70
102
95,16
80,74
-24,47
58,19
70,69
138,9
20,83
103
-47,06
-91,77
89,48
-105,3
42,42
-197,1
29,56
104
-34,59
-73,03
77,01
-86,56
42,42
-159,6
23,93
105
43,97
11,97
26,72
-10,57
70,69
1,40
0,21
106
56,44
30,71
14,25
8,17
70,69
38,88
5,83
L'imperfection d'aplomb ne doit être prise en compte que pour la combinaison EN 1993-1-1
101 :
§ 5.3.2 (7)
⇒
VEd
Kn
Heq = φ.VEd
kN
172,4
0,552
Modélisation avec Heq pour la combinaison 101
5.3 Résultats de l'analyse élastique
5.3.1 Etats limites de service
EN 1993-1-1
Les combinaisons et les limites de déformation devraient être précisées pour
chaque projet par les documents du marché ou dans l'Annexe Nationale.
§ 7 et
Pour cet exemple, les flèches obtenues par modélisation sont les suivantes :
Flèches verticales :
G + Neige :
Neige seulement :
Dy = 124 mm = L/241
Dy = 73 mm = L/408
Flèches horizontales :
Flèche au sommet du poteau ne résultant que de l'action du vent
Dx = 28 mm = h/214
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5.3.2 Etats limites ultimes
Diagramme du moment, en kNm
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Combinaison 101 :
Combinaison 102 :
Combinaison 103 :
Combinaison 104 :
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Combinaison 105 :
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Combinaison 106 :
6 Vérification du poteau
Profilé IPE 600 - S275 (ε = 0,92)
On procède à la vérification de la barre pour la combinaison 101 :
NEd = 161,5 kN
(supposé constant le long du poteau)
VEd = 122,4 kN
(supposé constant le long du poteau)
MEd = 755 kNm
(au sommet du poteau)
6.1 Classification de la section transversale
•
Ame :
dN =
αw =
L'élancement de l'âme est c / tw = 42,83
N Ed
161500
=
= 48,94mm
t w f y 12 × 275
d w + d N 514 + 48,94
=
= 0,548 > 0,50
2d w
2 × 514
La limite pour la classe 1 est : 396ε / (13 αw -1) =
Donc : c / tw = 42,83 < 59,49
EN 1993-1-1
396 × 0,92
= 59,49
13 × 0,548 − 1
§ 5.5
L'âme est de classe 1.
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•
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Avril 2006
L'élancement de la semelle est c / tf = 80 / 19 = 4,74
Semelle :
La limite pour la classe 1 est : 9 ε = 9 × 0,92 = 8,28
Donc : c / tf = 4,74 < 8,28
La semelle est de classe 1
Donc la section est de classe 1. La vérification de la barre reposera sur la
résistance plastique de la section transversale.
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6.2 Résistance de la section transversale
Vérification pour l'effort tranchant
Aire de cisaillement : Av = A - 2btf + (tw+2r)tf
≥ η hw tw
EN 1993-1-1
Av = 15600 − 2 × 220 ×19 + (12 + 2 × 24) ×19 = 8380 mm2 > η hw tw = 6744 mm2 § 6.2.6 (2)
Vpl,Rd = Av (fy /
3 ) /γM0 = (8380×275/ 3 ).10-3
Vpl,Rd = 1330 kN
VEd / Vpl,Rd = 122,40/1330 = 0,092 < 0,50
L'effet de l'effort tranchant sur la résistance à la flexion peut être négligé.
EN 1993-1-1
Vérification pour l'effort axial
Npl,Rd = A fy / γM0 = (15600 × 275/1,0).10
-3
§ 6.2.4
Npl,Rd = 4290 kN
NEd = 161,5 kN < 0,25 Npl,Rd = 4290 x 0,25 = 1073 kN
et
NEd = 161,5 kN <
0,5 h w t w f y
γ M0
=
0,5 × 562 ×12 × 275
= 927 ,30 kN
1×1000
EN 1993-1-1
§ 6.2.8 (2)
L'effet de l'effort axial sur la résistance à la flexion peut être négligé.
Vérification pour le moment fléchissant
EN 1993-1-1
Mpl,y,Rd = (3512 × 275/1,0).10-3
§ 6.2.5
Mpl,y,Rd = 965,8 kNm
My,Ed = 755 kNm < Mpl,y,Rd = 965,8 kNm
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6.3 Résistance au flambement
La résistance au flambement du poteau est suffisante si les conditions
suivantes sont remplies (pas de flexion par rapport à l'axe faible, Mz,Ed = 0) :
N Ed
+ k yy
χ y N Rk
γ M1
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N Ed
+ k zy
χ y N Rk
γ M1
M y,Ed
≤1
M y,Rk
χ LT
EN 1993-1-1
§ 6.3.3
γ M1
M y,Ed
≤1
M y,Rk
χ LT
γ M1
Les coefficients kyy et kzy seront calculés à l'aide de l'Annexe A de
l'EN 1993-1-1.
L'ossature n'est pas sensible aux effets du second ordre (αcr = 14,57 > 10).
EN 1993-1-1
La longueur de flambement du poteau pour le flambement dans le plan du
portique peut donc être prise comme étant égale à la longueur d’épure.
§ 5.2.2 (7)
Lcr,y = 5,99 m
Remarque : Pour une ossature symétrique à une seule travée qui n'est pas
sensible aux effets du second ordre, la vérification du flambement dans le plan
n'est généralement pas pertinente. La vérification de la résistance de la
section transversale au sommet du poteau sera déterminante pour le
dimensionnement du profil.
Vis à vis du flambement hors plan, la barre n'est maintenue latéralement qu'à
ses deux extrémités. Donc :
et
•
Lcr,z = 5,99 m
pour le flambement par rapport à l’axe faible
Lcr,T = 5,99 m
pour le flambement par torsion
Lcr,LT = 5,99 m
pour le déversement
Flambement par rapport à l'axe y-y
Lcr,y = 5,99 m
Courbe de flambement : a (αy = 0,21)
N cr,y = π 2
λy =
EI y
L2cr,y
Af y
N cr,y
=
=π 2
210000 × 92080 ×10000
5990 2 ×1000
15600 × 275
53190.10 3
EN 1993-1-1
§ 6.3.1.2 (2)
=53190kN
Tableau 6.1
EN 1993-1-1
= 0, 284
§ 6.3.1.3 (1)
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(
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)
[
]
φ y = 0,5⎡⎢1 + α λ y − 0, 2 + λ y ⎤⎥ = 0,5 × 1 + 0, 21(0, 284 − 0, 2 ) + 0, 284 2 = 0,5491
⎣
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χy =
•
2
⎦
1
φy + φy − λ
2
=
2
y
1
0,5491 + 0,54912 − 0,284 2
EN 1993-1-1
Courbe de flambement : b (αz = 0,34)
N cr,z = π 2
λz =
§ 6.3.1.2 (2)
Tableau 6.1
EI z
210000 × 3386 × 10000
=π2
= 1956 kN
2
Lcr,z
5990 2 × 1000
Af y
EN 1993-1-1
15600 × 275
=
= 1, 481
1956.10 3
N cr,z
(
)
§ 6.3.1.3 (1)
[
]
φ z = 0,5 ⎡⎢1 + α λ z − 0, 2 + λ z ⎤⎥ = 0,5 × 1 + 0,34 (1, 481 − 0, 2 ) + 1, 4812 = 1,814
⎣
χz =
•
1
φz +
2
−λz
φ z2
2
⎦
1
=
§ 6.3.1.2 (1)
= 0,9813
Lcr,z = 5,99 m
Flambement par rapport à l'axe z-z
EN 1993-1-1
1,814 + 1,814 2 − 1, 481 2
EN 1993-1-1
§ 6.3.1.2 (1)
= 0,3495
Déversement Lcr,LT = 5,99 m
Courbe de flambement : c (αLT = 0,49)
EN 1993-1-1
Diagramme du moment avec variation linéaire : ψ = 0
M cr = C1
M cr = 1, 77 ×
π 2 EI Z
Lcr,LT
2
C1 = 1,77
§ 6.3.2.3
Tableau 6.5
2
I W Lcr,LT GI t
+
IZ
π 2 EI Z
NCCI
π 2 × 210000 × 3386 × 10000 2845500.10 6
5990 2 × 10 6
3386.10 4
5990 2 × 80770 × 165, 4.10 4 SN003
+
π 2 × 210000 × 3386.10 4
Mcr = 1351 kNm
λ LT =
Wpl, y f y
M cr
=
3512.10 3 × 275
= 0,8455
1351.10 6
(
)
φ LT = 0,5 ⎡⎢1 + α LT λ LT − λ LT,0 + βλ LT ⎤⎥
⎣
avec λ LT,0 = 0,40 et β =0,75
2
⎦
EN 1993-1-1
§ 6.3.2.3 (1)
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
FEUILLE DE CALCUL
Feuill
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SX029a-FR-EU
13
Titre
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule
travée
de
28
Réf. Eurocode
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Valérie Lemaire
Date
Avril 2006
Vérifié par
Alain Bureau
Date
Avril 2006
φLT = 0,5 × [1 + 0,49(0,8455 − 0,4) + 0,75 × 0,84552 ] = 0,8772
χ LT =
1
2
φLT + φ − βλ LT
kc =
2
LT
=
1
0,8772 + 0,8772 2 − 0,75 × 0,8455 2
1
= 0,7519
1,33 − 0,33ψ
[
EN 1993-1-1
(ψ = 0)
(
f = 1 − 0,5 × (1 − k c ) 1 − 2 λ LT − 0,8
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= 0,7352
[
§ 6.3.2.3 (2)
)]
Tableau 6.6
2
]
f = 1 − 0,5 × (1 − 0,7519) 1 − 2(0,8455 − 0,8) = 0,8765 < 1
χLT,mod =
χ LT
f
=
2
0,7352
= 0,8388 < 1
0,8765
Calcul des coefficients kyy et kzy selon l'Annexe A de l'EN 1993-1-1
N Ed
161,5
1−
N cr,y
53190
μy =
= 0,9999
=
161,5
N Ed
1 − 0,9813 ×
1− χy
53190
N cr,y
1−
EN 1993-1-1
Annexe A
N Ed
161,5
1
−
N cr,z
1956
=
= 0,9447
μz =
N Ed
161,5
1 − 0,3495 ×
1− χz
1956
N cr,z
1−
wy =
wz =
Wpl,y
Wel,y
Wpl,z
Wel,z
=
3512
= 1,144 < 1,5
3069
=
485,6
= 1,578 > 1,5
307,8
EN 1993-1-1
Annexe A
⇒
wz = 1,5
Effort axial critique en mode de flambement par torsion
N cr,T
π 2 EI w
A
= (GI t + 2
)
I0
Lcr ,T
Pour une section doublement symétrique,
I 0 = I y + I z + ( y02 + z 02 ) A = 92080 + 3386 = 95466 cm4
NCCI
SN003
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
FEUILLE DE CALCUL
Feuill
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SX029a-FR-EU
14
Titre
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule
travée
de
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N cr,T =
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Date
Avril 2006
Vérifié par
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Date
Avril 2006
6
15600
4
2 210000 × 2845500 .10
π
)
×
×
+
(
80770
165
,
4
.
10
5990 2
95466 .10 4 × 1000
Ncr,T = 4869 kN
M cr,0 = C1
π 2 EI Z
Lcr,LT
2
2
I W Lcr,LT GI t
+
IZ
π 2 EI Z
NCCI
SN003
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Mcr,0 est le moment critique pour le calcul de λ0 pour un diagramme de
moment fléchissant uniforme tel que spécifié dans l'Annexe A.
⇒ C1 = 1
M cr,0 = 1 ×
π 2 × 210000 × 3386.10 4
5990 2 × 10 6
2845500.10 6 5990 2 × 80770 × 165,4.10 4
+
3386.10 4
π 2 × 210000 × 3386.10 4
M cr,o = 763,3kNm
λ0 =
Wpl, y f y
M cr,o
=
3512.10 3 × 275
= 1,125
763,3.10 6
λ 0 lim = 0,2 C1 4 (1 −
N Ed
N
)(1 − Ed )
N cr,z
N cr,TF
avec Ncr,TF = Ncr,T
(section
λ 0 lim = 0,2 1,77 4 (1 −
doublement symétrique)
161,5
161,5
)(1 −
) = 0,2582
1956
4869
λ 0 > λ 0 lim
C my = C my,0 + (1 − C my,0 )
avec
εy =
M y,Ed
N Ed
ε y a LT
1 + ε y a LT
A
I
= 23,76 (classe 1) et a LT = 1 − t = 0,9982
Wel,y
Iy
EN 1993-1-1
Annexe A
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Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule
travée
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Date
Avril 2006
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Date
Avril 2006
Calcul du coefficient Cmy,0
N Ed
N cr, y
EN 1993-1-1
N Ed
= 0,7896
N cr, y
Tableau A2
C my,0 = 0,79 + 0,21ψ y + 0,36(ψ y − 0,33)
ψy =0
C my,0 = 0,79 − 0,1188
Annexe A
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Calcul des coefficients Cmy et Cm,LT :
C my = C my,0 + (1 − Cmy,0 )
ε y aLT
1 + ε y aLT
C my = 0,7896 + (1 − 0,7896)
23,76 × 0,9982
1 + 23,76 × 0,9982
a LT
2
C mLT = C my
(1 −
N Ed
N
)(1 − Ed )
N cr,z
N cr,T
EN 1993-1-1
≥1
0,9982
C mLT = 0,96412 ×
= 0,9641
161,5
161,5
(1 −
)(1 −
)
1956
4869
Annexe A
= 0,9843 < 1
⇒ CmLT = 1
Calcul des coefficients Cyy et Czy :
Cyy = 1 + ( wy − 1)[(2 −
npl =
W
1,6 2
1,6 2 2
λ max )npl − bLT ] ≥ el, y
Cmy λ max − Cmy
wy
wy
Wpl, y
161500
N Ed
=
= 0,03765
N Rk / γ M1 15600 × 275 / 1
Mz,Ed = 0 ⇒ bLT = 0 et d LT = 0
Cyy = 1 + (1,144 − 1) × [(2 −
Cyy = 0,9849
>
λ max = λ z = 1,4810
1,6
1,6
× 0,96412 ×1,481−
× 0,96412 ×1,4812 ) × 0,03765]
1,144
1,144
Wel, y
Wpl, y
3069
=
= 0,8739
3512
EN 1993-1-1
Annexe A
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Réf. Eurocode
Czy = 1 + ( wy − 1)[(2 −
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Date
Avril 2006
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Date
Avril 2006
w W
14 2 2
Cmy λ max )npl − d LT ] ≥ 0,6 y el, y
5
wy
wz Wpl, y
C zy = 1 + (1,144 − 1)[( 2 −
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C zy = 0,9318 > 0, 6
14
1,144
w y W el,y
w z W pl,y
5
× 0 , 9641 2 × 1, 481 2 ) × 0 , 03765 ] = 0 , 9318
= 0, 6
1,144 3069
= 0, 4579
1,5 3512
Calcul des coefficients kyy et kzy :
k yy = CmyCmLT
μy
1
N
1 − Ed C yy
N cr, y
k yy = 0,9641× 1×
k zy = CmyCmLT
1−
N Ed
N cr, y
wy
1
0,6
Czy
wz
0,9447
1
1,144
×
× 0,6 ×
= 0,5138
161,5 0,9318
1,50
1−
53190
Vérification avec les formules d'interaction
N Ed
+ k yy
χ y N Rk
γ M1
Annexe A
0,9999
1
×
= 0,9818
161,5 0,9849
1−
53190
μz
k zy = 0,9641× 1×
EN 1993-1-1
M y,Ed
≤1
M y,Rk
χ LT
γ M1
755.10 6
161500
+ 0,9818 ×
= 0,9534 <1 OK
3
15600 × 275
3512
.
10
×
275
0,9813 ×
0,8388 ×
1
1
EN 1993-1-1
§ 6.3.3
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
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Titre
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule
travée
de
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Réf. Eurocode
N Ed
+ k zy
χ z N Rk
γ M1
Réalisé par
Valérie Lemaire
Date
Avril 2006
Vérifié par
Alain Bureau
Date
Avril 2006
M y,Ed
≤1
M y,Rk
χ LT
γ M1
755.10 6
161500
+ 0,5138 ×
= 0,5867 <1 OK
3
15600 × 275
3512
.
10
×
275
0,3495 ×
0,8388 ×
1
1
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La résistance au flambement de la barre est donc satisfaisante
7 Vérification de la traverse
7.1 Classification
Cas de figure avec compression maximale dans la poutre : (Combinaison
101)
•
Ame :
NEd= 136 kN
hw = 468 mm
tw = 10,2 mm
c = 426 mm
dN =
α=
c / tw = 41,76 <
•
EN 1993-1-1
N Ed
136000
=
= 48,5mm
t w f y 10,2 × 275
§ 5.5
d + d N 426 + 48,5
=
= 0,557 > 0,5
2d
2 × 426
396ε
396 × 0,92
=
= 58,38
13α − 1 13 × 0,557 − 1
Semelles
b = 200 mm
tf = 16 mm
r = 21 mm
c = 71 mm
partie comprimée
c / tf < 9ε = 8,28
c / tf = 4,44
c / tw = 41,76
⇒
classe 1
c / tf = 4,44
(S275 ⇒ ε = 0,92 )
classe 1
La section est donc de classe 1. La vérification de la barre reposera sur la
résistance plastique de la section transversale.
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
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Titre
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule
travée
de
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Réf. Eurocode
Réalisé par
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Date
Avril 2006
Vérifié par
Alain Bureau
Date
Avril 2006
7.2 Résistance de la section transversale
La résistance de la section transversale (IPE 500) est vérifiée avec le moment
de flexion maximal sur la longueur de la barre.
Combinaison 101
Effort maximal dans l'IPE 500 à l'extrémité du jarret :
NEd = 136,00 kN
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VEd = 118,50 kN
My,Ed = 349,10 kNm
754,98 kNm
349,10 kNm
305,23 kNm
Combinaison 101 : Diagramme du moment fléchissant le long de la traverse.
Cisaillement
VEd = 118,50 kN
Av = A - 2btf + (tw+2r)tf
η=1
EN 1993-1-1
§ 6.2
Av = 11550 − 2 × 200 ×16 + (10,2 + 2 × 21) ×16 = 5985 mm2
Av > η.hw.tw = 468×10,2 = 4774 mm2
Vpl,Rd = Av (fy /
3 ) /γM0 = 5985×275/ 3 /1000 = 950,3 kN
VEd / Vpl,Rd = 118,5/950,3 = 0,125 < 0,50
⇒ ses effets sur la résistance en flexion peuvent être négligés !
En 1993-1-1
§ 6.2.8 (2)
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
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Titre
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule
travée
de
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Réf. Eurocode
Réalisé par
Valérie Lemaire
Date
Avril 2006
Vérifié par
Alain Bureau
Date
Avril 2006
Compression
EN 1993-1-1
Npl,Rd = 11550 x 275/1000 = 3176 kN
§ 6.2.4
NEd = 136 kN < 0,25 Npl,Rd= 3176 × 0,25 = 794,1 kN
NEd = 136 kN <
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⇒
0,5hw t w f y
γ M0
=
et
0,5 × 468 × 10,2 × 275
= 656,4kN
1× 1000
EN 1993-1-1
§ 6.2.8 (2)
ses effets sur la résistance en flexion peuvent être négligés !
Flexion
EN 1993-1-1
Mpl,y,Rd = 2194 × 275/1000 = 603,4 kNm
§ 6.2.5
My,Ed = 349,10 kNm < Mpl,y,Rd = 603,4 kNm
7.3 Résistance au flambement
EN 1993-1-1
Barres à section constante en flexion composée
§ 6.3.3
Vérification avec les formules d'interaction
N Ed
+ k yy
χ y N Rk
γ M1
•
M y,Ed
≤1
M y,Rk
χ LT
γ M1
et
M y,Ed
N Ed
+ k zy
≤1
χ z N Rk
M y,Rk
χ LT
γ M1
γ M1
Flambement par rapport à l'axe y-y :
Pour la détermination de la longueur de flambement de la traverse par
rapport à l'axe y-y, on réalise une analyse d'instabilité du portique avec un EN 1993-1-1
maintien fictif au sommet du poteau, afin de calculer le coefficient
d'amplification de flambement αcr de la traverse, pour la combinaison de § 6.3.1.2 (2)
charges correspondant à la charge verticale la plus élevée :
Tableau 6.1
Combinaison 101 ⇒ αcr = 37,37
EN 1993-1-1
§ 6.3.1.3 (1)
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
FEUILLE DE CALCUL
Feuill
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20
Titre
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule
travée
de
28
Réf. Eurocode
Réalisé par
Valérie Lemaire
Date
Avril 2006
Vérifié par
Alain Bureau
Date
Avril 2006
Courbe de flambement : a (h/b>2)
⇒ αy = 0,21
EN 1993-1-1
§ 6.3.1.2 (2)
N cr, y = α cr N Ed = 37,37 ×136 = 5082kN
Af y
λy =
N cr, y
Tableau 6.1
11550 × 275
=
= 0,7906
5082.103
[
(
)
2
φ y = 0,5 1 + α λ y − 0,2 + λ y
]
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φy = 0,5 × [1 + 0,21× (0,7906 − 0,2) + 0,79062 ] = 0,8745
χy =
•
1
φy + φy 2 − λ
2
y
=
1
0,8745 + 0,8745 2 − 0,7906 2
= 0,8011
Flambement par rapport à l'axe z-z :
Pour le flambement par rapport à l'axe z-z et pour le déversement, la
longueur de flambement est prise comme étant égale à la distance entre les
maintiens en torsion :
Lcr = 6,00m
Remarque : la panne intermédiaire ne maintient latéralement que la
semelle supérieure. Son influence pourrait être prise en compte, mais elle
est négligée dans ce qui suit, ce qui place du côté de la sécurité.
Flambement par flexion
EN 1993-1-1
Lcr,z = 6,00 m
§ 6.3.1.3
N cr,z = π 2
EI z
210000 × 2141× 10000
=π2
= 1233kN
2
Lcr,z
6000 2 ×1000
Flambement par torsion
NCCI
Lcr,T = 6,00 m
SN003
N cr,T =
π 2 EI w
A
(GI t +
)
2
I0
Lcr,T
avec yo = 0 et zo = 0
(section doublement symétrique)
I 0 = I y + I z + ( y02 + z02 ) A = 48199 + 2141 = 50340 cm4
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
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Titre
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule
travée
de
28
Réf. Eurocode
N cr,T =
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Date
Avril 2006
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Date
Avril 2006
6
11550
4
2 210000 × 1249370 .10
(
80770
89
,
29
.
10
π
)
×
×
+
50340.10 4 × 1000
6000 2
Ncr,T = 3305 kN
Ncr = min ( Ncr,z ; Ncr,T ) = 1233 kN
Af y
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λz =
=
N cr
11550 × 275
1233.10 3
EN 1993-1-1
§ 6.3.1.3 (1)
= 1, 605
Courbe de flambement : b
EN 1993-1-1
αz = 0,34
§ 6.3.1.2 (1)
[
(
)
2
φz = 0,5 1 + α λ z − 0,2 + λ z
]
Tableau 6.1
φz = 0,5 × [1 + 0,34 × (1,605 − 0,2) + 1,6052 ] =2,027
χz =
•
1
φz + φ − λ
2
z
2
z
=
1
2,027 + 2,027 2 − 1,605 2
= 0,3063
Déversement :
EN 1993-1-1
Lcr,LT = 6,00 m
§ 6.3.1.3
Courbe de flambement : c
αLT = 0,49
Tableau 6.5
Diagramme du moment le long du tronçon de la traverse situé entre les
maintiens :
Combinaison 101
NCCI
Calcul du moment critique :
ψ = - 0,487
q = - 9,56 kN/m
⇒
C1 = 2,75
SN003
μ=
qL2
= - 0,123
8M
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Titre
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule
travée
de
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Réf. Eurocode
M cr = C1
M cr = 2,75 ×
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Date
Avril 2006
Vérifié par
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Date
Avril 2006
NCCI
2
π 2 EI Z
Lcr,LT
Réalisé par
I W Lcr,LT GI t
+
IZ
π 2 EI Z
2
π 2 × 210000 × 2141 × 10 4 1249400.10 6
6000 2 × 10 6
2141.10 4
+
6000 2 × 80770 × 89,29.10 4
π 2 × 210000 × 2141.10 4
Mcr = 1159 kNm
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λ LT =
Wpl,y f y
[
2195.103 × 275
= 0,7215
1159.106
=
M cr
(
)
2
φLT = 0,5 1 + α LT λ LT − λ LT,0 + βλ LT
]
EN 1993-1-1
avec λ LT,0 = 0,40 et β =0,75
φLT = 0,5 × [1 + 0,49 × (0,7215 − 0,4) + 0,75 × 0,72152 ] = 0,7740
χ LT =
1
φLT + φ − β λ
2
LT
kc = 0,91
2
LT
[
=
1
0,7740 + 0,7740 2 − 0,75 × 0,7215 2
(
f = 1 − 0,5 × (1 − k c ) 1 − 2 λ LT − 0,8
[
= 0,8125
EN 1993-1-1
)]
§ 6.3.2.3 (2)
2
]
f = 1 − 0,5 × (1 − 0,91) × 1 − 2 × (0,7215 − 0,8) = 0,9556 < 1
χLT,mod =
χ LT
f
Combinaison 101
=
§ 6.3.2.3 (1)
2
Tableau 6.6
0,8125
= 0,8503 < 1
0,9556
NEd = 136 kN compression
My,Ed = 349,10 kNm
Mz,Ed = 0
Section de classe 1 ⇒
ΔMy,Ed = 0 et ΔMz,Ed = 0
EN 1993-1-1
N Ed
+ k yy
χ y N Rk
γ M1
M y,Ed
≤1
M y,Rk
χ LT
γ M1
N Ed
+ k zy
χ z N Rk
γ M1
M y,Ed
≤1
M y,Rk
χ LT
γ M1
§ 6.3.3
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
FEUILLE DE CALCUL
Feuill
Réf. document
SX029a-FR-EU
23
Titre
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule
travée
de
28
Réf. Eurocode
Réalisé par
Valérie Lemaire
Date
Avril 2006
Vérifié par
Alain Bureau
Date
Avril 2006
N Ed
136
1−
N cr, y
5082
μy =
=
= 0,9946
N Ed
136
1 − 0,8011×
1− χy
5082
N cr, y
1−
EN 1993-1-1
Annexe A
N Ed
136
1−
N cr,z
1233
=
= 0,9208
μz =
136
N Ed
1 − 0,3063 ×
1− χz
1233
N cr,z
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1−
wy =
wz =
Wpl,y
Wel,y
Wpl,z
Wel,z
M cr,0 = C1
=
2194
= 1,138 < 1,50
1928
=
335,9
= 1,569 > 1,50
214,1
π 2 EI Z
Lcr,LT
2
EN 1993-1-1
Annexe A
⇒
wz = 1,5
NCCI
2
I W Lcr,LT GI t
+
IZ
π 2 EI Z
SN003
Mcr,0 est le moment critique pour le calcul de λ0 pour un diagramme de
moment fléchissant uniforme tel que spécifié dans l'Annexe A.
⇒ C1 = 1
M cr,0 = 1×
M cr,o
π 2 × 210000 × 2141.10 4 1249400.10 6
6000 2 × 10 6
= 421,5kNm
λ0 =
Wpl, y f y
M cr,o
=
2141.10 4
+
6000 2 × 80770 × 89,29.10 4
π 2 × 210000 × 2141.10 4
EN 1993-1-1
2195.103 × 275
= 1,196
421,5.10 6
Annexe A
λ 0 lim = 0,2 C1 4 (1 −
N Ed
N
)(1 − Ed )
N cr,z
N cr,TF
avec Ncr,TF = Ncr,T
(section doublement symétrique)
avec C1 = 2,75
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
FEUILLE DE CALCUL
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Titre
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule
travée
de
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Réf. Eurocode
Réalisé par
Valérie Lemaire
Date
Avril 2006
Vérifié par
Alain Bureau
Date
Avril 2006
λ 0 lim = 0,2 2,75 4 (1 −
136
136
)(1 −
) = 0,3187
1233
3305
λ 0 = 1,196 > λ 0 lim = 0,3187
Cmy = Cmy,0 + (1 − Cmy,0 )
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avec ε y =
et
M y,Ed
N Ed
EN 1993-1-1
ε y aLT
Annexe A
1 + ε y aLT
A
349,10.106
11550
=
×
= 15,38 (classe 1)
Wel,y
136000
1928 ×103
It
89,29
= 0,9981
= 1−
Iy
48200
aLT = 1 −
Calcul du coefficient Cmy,0
EN 1993-1-1
Diagramme du moment le long de la traverse :
Annexe A
Tableau A2
My,Ed = moment maximal le
long de la traverse
= 755 kNm
δ = déplacement maximal le
30 m
long de la traverse = 179mm
Cmy,0
⎤ N
⎡ π 2 EI y δ x
= 1+ ⎢ 2
− 1⎥ Ed
⎥⎦ N cr, y
⎢⎣ L M y,Ed
Cmy,0
⎡ π 2 × 210000 × 48200 × 10 4 × 179 ⎤ 136
= 1+ ⎢
− 1⎥
=0,9803
30000 2 × 755 × 106
⎥⎦ 5082
⎣⎢
Calcul des coefficients Cmy et Cm,LT :
Cmy = Cmy,0 + (1 − Cmy,0 )
ε y aLT
1 + ε y aLT
Cmy = 0,9803 + (1 − 0,9803)
15,38 × 0,9982
= 0,996
1 + 15,38 × 0,9982
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travée
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Date
Avril 2006
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Alain Bureau
Date
Avril 2006
aLT
2
CmLT = Cmy
(1 −
CmLT = 0,996 2 ×
N Ed
N
)(1 − Ed )
N cr,z
N cr,T
EN 1993-1-1
≥1
Annexe A
0,9981
= 1,072 > 1
136
136
(1 −
)(1 −
)
1233
3305
EN 1993-1-1
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Calcul des coefficients Cyy et Czy
C yy = 1 + ( wy − 1)[(2 −
npl =
Wel,y
1,6 2
1,6 2 2
Cmy λ max −
Cmy λ max )npl − bLT ] ≥
Wpl,y
wy
wy
Annexe A
N Ed
136000
=
= 0,0428
N Rk / γ M1 11550 × 275 / 1
Mz,Ed = 0 ⇒ bLT = 0 et d LT = 0
C yy = 1 + (1,138 − 1)[( 2 −
λ max = λ z = 1,605
1,6
1,6
× 0,996 2 × 1,605 −
× 0,996 2 × 1,605 2 ) × 0,0428]
1,138
1,138
Cyy = 0,9774
Czy = 1 + ( wy − 1)[(2 −
wy Wel,y
14 2 2
Cmy λ max )npl − d LT ] ≥ 0,6
5
wz Wpl,y
wy
Czy = 1 + (1,138 − 1)[(2 −
14
× 0,996 2 ×1,6052 ) × 0,0428] = 0,9011
5
1,138
Calcul des coefficients kyy et kzy :
k yy = CmyCmLT
μy
1−
N Ed
N cr, y
k yy = 0,996 ×1,072 ×
1
C yy
0,9946
1
×
= 1,116
136 0,9774
1−
5082
EN 1993-1-1
Annexe A
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Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule
travée
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k zy = C my C mLT
μz
1−
N Ed
N cr, y
k zy = 0,996 ×1,072 ×
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Date
Avril 2006
Vérifié par
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Date
Avril 2006
wy
1
0, 6
C zy
wz
0,9208
1
1,138
×
× 0,6 ×
= 0,5859
136 0,9011
1,50
1−
5082
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Vérification avec les formules d'interaction
N Ed
+ k yy
χ y N Rk
γ M1
M y,Ed
≤1
M y,Rk
χ LT
EN 1993-1-1
§ 6.3.3
(6.61)
γ M1
136000
349,1.10 6
+ 1,116 ×
= 0,8131 < 1 OK
3
11550 × 275
2194
.
10
×
275
0,8011 ×
0,8503 ×
1
1
N Ed
+ k zy
χ z N Rk
γ M1
M y,Ed
≤1
M y,Rk
χ LT
γ M1
349,1.10 6
136000
= 0,5385 < 1 OK
+ 0,5859 ×
11550 × 275
2194.10 3 × 275
0,3063 ×
0,8503 ×
1
1
8 Vérification du jarret
Pour la vérification du jarret, la partie comprimée de la section transversale est
considérée comme étant isolée, avec une longueur de flambement par rapport
à l'axe z-z égale à 3,00 m (longueur entre le sommet du poteau et le premier
maintien).
Efforts et moments maximaux dans le jarret :
NEd
= 139,2 kN
VEd
= 151,3 kN
MEd
= 755 kNm
(6.62)
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Date
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Date
Avril 2006
Propriétés de l'ensemble de la section :
Les caractéristiques élastiques de la section transversale sont calculées en
négligeant la semelle intermédiaire du jarret.
Aire de la section A = 160,80 cm2
Moment d'inertie par rapport à l'axe y-y
Iy = 230520 cm4
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Moment d'inertie par rapport à l'axe z-z
Iz = 2141 cm4
1000 mm
Module élastique par rapport à l'axe y-y
Wel,y = 4610 cm3
Module élastique par rapport à l'axe z-z
Wel,z = 214 cm3
200 mm
Propriétés de la partie comprimée :
Section située à mi-longueur du jarret et incluant 1/6ème de la hauteur de l'âme
A = 44 cm2
Aire de la section
120 mm
Moment d'inertie par rapport à l'axe y-y
Iy = 554 cm4
Moment d'inertie par rapport à l'axe z-z
Iz =1068 cm4
⇒ iz =
1068
= 4,93cm
44
λz =
200 mm
Lfz
3000
=
= 0,7044
iz λ1 49,30 × 86,39
Flambement d'un profilé en I soudé avec h/b > 2 :
⇒ Courbe d
[
⇒ α = 0,76
(
)
χz =
1
]
φz = 0,5 1 + α λ z − 0,2 + λ z = 0,5 × [1 + 0,76 × (0,7044 − 0,2 ) + 0,7044 2 ] = 0,9397
2
φz + φ − λ
2
z
2
z
=
1
0,9397 + 0,9397 2 − 0,7044 2
= 0,640
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
FEUILLE DE CALCUL
Feuill
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SX029a-FR-EU
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Titre
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule
travée
de
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Réf. Eurocode
Réalisé par
Valérie Lemaire
Date
Avril 2006
Vérifié par
Alain Bureau
Date
Avril 2006
Compression dans la semelle inférieure :
N Ed,f = 139, 24 ×
4400
755000 × 1000
+
× 4400 = 760 kN
16080 4610.10 3 × 1000
Vérification de la résistance au flambement de la semelle inférieure :
N Ed, f
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χ z N Rk
=
760000
= 0,981 < 1 OK
0,640 × 4400 × 275
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
SX029a-FR-EU
Enregistrement de la qualité
TITRE DE LA RESSOURCE
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
Référence(s)
T2703
DOCUMENT ORIGINAL
Nom
Société
Date
Créé par
Valérie LEMAIRE
CTICM
25/10/05
Contenu technique vérifié par
Alain BUREAU
CTICM
26/10/05
1. Royaume-Uni
G W Owens
SCI
10/04/06
2. France
A Bureau
CTICM
10/04/06
3. Suède
B Uppfeldt
SBI
10/04/06
4. Allemagne
C Mueller
RWTH
10/04/06
5. Espagne
J Chica
Labein
10/04/06
G W Owens
SCI
03/10/06
eTeams International Ltd.
12/08/06
CTICM
22/09/06
Contenu rédactionnel vérifié par
Créé le mardi 6 novembre 2007
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Contenu technique approuvé par les
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Coordonnateur technique
DOCUMENT TRADUIT
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