Statistiques des processus 3A

Statistiques des processus 3A
2 novembre 2015

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Table des matières
1 Les chaînes de Markov 5
1.1 Rappels sur les chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Définition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Irréductibilité, transience et récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Récurrence positive et probabilité invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Exemple : les chaînes de naissance et de mort . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Chaînes de Markov absorbantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Quelquesrésultats .............................. 19
1.3.2 Exemple : le modèle de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Théorèmes limites et application à la statistique des chaînes de Markov . . . . . . 22
1.4.1 Le théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Convergence vers la loi stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Un théorème limite centrale pour les chaînes de Markov . . . . . . . . . . 24
1.4.4 Estimation de la matrice de transition par la méthode du maximum de vrai-
semblance................................... 27
1.4.5 Construction d’un test d’adéquation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Application à la recherche des mots de fréquence exceptionnelle dans les séquences
ADN.......................................... 30
1.5.1 Objectifs et formalisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.2 Loi exacte du nombre d’occurences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.3 Utilisation de l’approximation gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.4 Loi des petits nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6 Exercices ....................................... 35
2 Processus de Poisson 39
2.1 Le processus de Poisson simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Estimation de l’intensité par maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . 43
2.2 Le processus de Poisson non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Définition et propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Estimation par maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Processus de Poisson composé et modèle de Cramér-Lundberg . . . . . . . . . . . 51
2.3.1 Définition................................... 51
2.3.2 Modèle de Cramér-Lundberg et probabilité de ruine . . . . . . . . . . . . . 52
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3 Processus Markoviens de sauts 53
3.1 Propriété de Markov d’une fonction aléatoire de sauts . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Le générateur infinitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Existence et construction d’un processus de Markov de générateur donné . . . . . 60
3.3.1 Trois exemples de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 Conditions de non-explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Estimation du générateur par maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Classification des états et Théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 Exemples ....................................... 66
3.6.1 Processus à deux états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6.2 Processus de naissance et de mort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.3 Dynamique d’une épidémie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6.4 Processus de Galton-Watson à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.7 Exercices ....................................... 72
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Chapitre 1
Les chaînes de Markov
Soit (Ω,A,P)un espace probabilisé. Dans la suite nous utiliserons les deux abréviations sui-
vantes : i.i.d pour indépendantes et identiquement distribuées et p.s pour presque sûrement.
1.1 Rappels sur les chaînes de Markov
1.1.1 Définition et premiers exemples
Dans tout ce chapitre Edésignera un ensemble fini ou infini dénombrable (par exemple E=
{a,b,c,d},E=Nou E=Z).
Définition 1 On dit qu’une suite de variables aléatoires X=(Xn)n∈N, toutes à valeurs dans E, est
une chaîne de Markov si pour tout n ∈Net tout (x0,x1,...,xn+1)∈En+2tel que
P(X0=x0,...,Xn=xn)>0,
P(Xn+1=xn+1|X0=x0,...,Xn=xn)=P(Xn+1=xn+1|Xn=xn).
Autrement dit, une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires pour laquelle la loi
conditionnelle de la n+1-ième coordonnée sachant toutes les coordonnées précédentes ne dépend
que de la n−ième, et ce pour tout n. L’indice nreprésente souvent le temps mais pas toujours.
Remarque. On dit que trois variables aléatoires discrètes A,B,Csont telles que Aest indépen-
dante de Bconditionnellement à Csi
P(A=a,B=b|C=c)=P(A=a|C=c)×P(B=b|C=c),
pour tout c∈Etel que P(C=c)>0. On pourra vérifier que cette dernière propriété est équivalente
à avoir P(A=a|B=b,C=c)=P(A=a|C=c)pour tout (b,c)∈E2tel que P(B=b,C=c)>0.
Ainsi, une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xn)n∈Ntelle que pour tout n∈N,
Xn+1est indépendante de Xn−1,...,X0conditionnellement à Xn. Dans un contexte temporel, on
peut donc interpréter cette définition en disant que "conditionnellement au présent, le futur est
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