Methodes et abaques d'identification

Identification expérimentale des systèmes (réponse indicielle)
IDENTIFICATION A UN SYSTEME LINEAIRE DU PREMIER ORDRE PASSE BAS
1- Modèle du système linéaire du type passe-bas
du premier ordre :
e(t)
Système
linéaire du
1er ordre
s(t)
T0 transmittance statique, τ constante de temps ou ωC pulsation de coupure à -3 dB.
ds
= T0.e(t)
Equation différentielle :
s(t) + τ.
dt
T0
S ( jω )
1
Transmittance fréquentielle ou isochrone : T ( jω ) =
avec
ωC =
=
ω
E ( jω )
τ
1+ j
ωC
T0
S ( p)
=
E ( p) 1 + τ . p
2- Réponse indicielle du système linéaire du type passe-bas du premier ordre :
Transmittance dans le domaine de Laplace ou isomorphe :
T ( p) =
Grandeur de sollicitation du système :
échelon de hauteur E (par rapport à son état de repos), appliqué à l’instant initial t = 0.
Allure de la réponse du système :
Réponse croissante sans dépassement de la valeur finale,
Tangente à l’origine de coefficient directeur non nul.
s(t)
s( +∞ )
100%
63%
s(0)
0
τ
t
2τ
3τ
4τ
5τ
6τ
DETERMINATION DE LA CONSTANTE DE TEMPS
Méthode 1 : Au bout du temps τ , la variation de la sortie est de 63% de sa variation totale
pour 3τ variation de 95 %
pour 5τ variation de 99 %
Méthode 2 : Abscisse du point d’intersection de la tangente à l’origine et de l’asymptote pour t → + ∞.
DETERMINATION DE LA TRANSMITTANCE STATIQUE :
s ( + ∞ ) − s ( 0)
T0 = Variation de la sortie / variation de l’entrée
T0 =
E
Page 1 sur 8
Identification expérimentale des systèmes (réponse indicielle)
IDENTIFICATION A UN SYSTEME LINEAIRE DU SECOND ORDRE PASSE BAS
1.
Modèle du système linéaire du type passebas
du second ordre :
Système
linéaire du
2ème ordre
e(t)
s(t)
T0 transmittance statique, m coefficient d’amortissement, ω0 pulsation propre non amortie
Equation différentielle :
2
2m ds
1 d s
s(t) +
+
= T0.e(t)
ω 0 dt
ω 0 2 dt 2
Transmittance fréquentielle ou isochrone :
T ( jω ) =
S ( jω )
E ( jω )
Transmittance dans le domaine de Laplace ou isomorphe : T ( p ) =
2.
=
T0
ω  ω
1 + 2.m. j
−
ω 0  ω 0
S ( p)
E ( p)




2
T0
=
 p
1+
.p + 
ω
ω0
 0
Système passe bas d’ordre 2 à réponse indicielle apériodique ou sur amortie (m>1) :
2.m




2
Caractéristiques principales de la réponse indicielle :
Tangente à l’origine de coefficient directeur nul (horizontale)
Réponse croissante sans dépassement de la valeur finale ( 2eme ordre sur amorti m ≥ 1).
s(t)
s(+∞)
Point
d’inflexion
t
s(0)
TB
TA
Page 2 sur 8
Identification expérimentale des systèmes (réponse indicielle)
Dans le cas du système du second ordre sur amorti (m ≥ 1), la transmittance de Laplace ou isomorphe
T0
peut s’écrire :
T ( p) =
(1 + τ . p )(. 1 + α .τ . p )
L’identification est faite par rapport à cette formulation.
DETERMINATION DE LA TRANSMITTANCE STATIQUE :
T0 =
T0 = Variation de la sortie / variation de l’entrée
s ( + ∞ ) − s ( 0)
E
DETERMINATION DU FACTEUR α :
La tangente au point d’inflexion de la courbe, permet de déterminer les temps TA et TB (cf ci-dessus).
Le rapport TA / TB permet d’obtenir le facteur α en utilisant l’une des 2 abaques ci-dessous :
Abaque d'identification du 2nd ordre sans dépassement.
1,4
1,35
1,3
TA/ TB
1,25
1,2
1,15
1,1
1,05
1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
alpha
Abaque d'identification du 2nd ordre sans dépassement.
1,4
1,35
1,3
TA/ TB
1,25
1,2
1,15
1,1
1,05
1
0,01
0,1
alpha
1
DETERMINATION DE LA CONSTANTE DE TEMPS τ :
La mesure du temps TB et la constante α, permettent d’obtenir la constante de temps τ par : τ =
On retrouve la forme d’écriture initiale par :
coefficient d’amortissement m par la relation : m =
pulsation propre ω0 par la relation :
ω0 =
1
τ α
Page 3 sur 8
1+α
2 α
TB
1+α
.
Identification expérimentale des systèmes (réponse indicielle)
3.
Système passe bas d’ordre 2 à réponse indicielle pseudopériodique ou sous amortie (m<1):
Caractéristiques principales de la réponse indicielle :
Tangente à l’origine de coefficient directeur nul.
Réponse croissante avec dépassement de la valeur finale réponse oscillatoire amortie.
3-1- Méthode d’identification à l’aide du 1er dépassement :
s(t)
SMAX – s(+∞)
SMAX
s( +∞)
s(0)
t
∆
DETERMINATION DE LA TRANSMITTANCE STATIQUE :
T0 = Variation de la sortie / variation de l’entrée
T0 =
s ( + ∞ ) − s ( 0)
E
DETERMINATION DU COEFFICIENT D’AMORTISSEMENT m :
S
− s ( +∞)
A partir de la valeur du premier dépassement D1 = MAX
en utilisant l’abaque ci-dessous :
s( +∞) − s (0)
Abaque d'identification du 2nd ordre d'après le premier
dépassement D 1 .
1
coefficient
d'amortissement m
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,01
0,1
premier dépassement D 1
Page 4 sur 8
1
Identification expérimentale des systèmes (réponse indicielle)
DETERMINATION DE LA PULSATION PROPRE ω0 :
A partir de la valeur de la demi pseudo période ∆ d’oscillation en utilisant l’abaque ci-dessous :
T0 /Δ
Abaque d'identification du 2nd ordre : rapport entre la période propre T 0 et la
demi pseudo-période d'oscillation Δ en fonction du coefficient
d'amortissement.
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
coefficient d'amortissement m
3-2- Méthode avec le premier dépassement et le temps de réponse à 5 %.
Page 5 sur 8
0,9
1
Identification expérimentale des systèmes (réponse indicielle)
UTILISATION DES ABAQUES
Du dépassement réduit pour l’amortissement m :
Pour le premier dépassement réduit on relève D1 =
On déduit m =
Temps de réponse à 5%, pour la pulsation propre ω0 :
On relève un temps de réponse de réponse à 5% prés de tr5% =
Pour m relevé le produit tr5%. ω0 est de
Page 6 sur 8
et on déduit ω0 =
Identification expérimentale des systèmes (réponse indicielle)
Méthode d’identification à l’aide des 2 premiers dépassements :
s(t)
SMAX1
SMAX1 – s(+∞)
SMAX2 – s(+∞)
SMAX2
s( +∞)
s(0)
TA
t
T0 =
Détermination de la transmittance statique :
s ( + ∞ ) − s ( 0)
E
Détermination du coefficient d’amortissement m à partir des valeurs du premier dépassement
S
S
− s ( +∞)
− s ( +∞)
et du second dépassement D2 = MAX 2
en utilisant l’une des abaques
D1 = MAX 1
s ( +∞) − s (0)
s ( +∞) − s (0)
ci-dessous :
Abaque d'identification du 2nd ordre d'aprés le rapport
entre le 1er et le 2ème dépassement.
coefficient d'amortissement m
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
20
40
60
80
100
D 1 /D 2
Page 7 sur 8
120
140
160
180
200
Identification expérimentale des systèmes (réponse indicielle)
Abaque d'identification du 2nd ordre d'aprés le
rapport entre le 1er et le 2ème dépassement.
coefficient d'amortissement m
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
10
100
1000
D 1 /D 2
Détermination de la pulsation propre ω0 à partir de la valeur de la pseudo période TA d’oscillation et
en utilisant l’abaque ci-dessous :
Abaque d'identification du 2nd ordre : rapport entre la période
propre T 0 et la pseudo période T A d'oscillation en fonction du
coefficient d'amortissement.
1
0,9
0,8
T0 / TA
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
coefficient d'amortissement m
Page 8 sur 8
0,8
0,9
1