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Exercice 1 : Un contrat d’assurance automobile comporte trois tarifs de cotisation annuelle : Bas, Intermédiaire,
Haut. La première année, l’assuré paye le tarif intermédiaire. S’il n’a pas été responsable d’un accident pendant une
année, il passe au tarif inférieur l’année suivante (s’il est déjà au tarif bas, il y reste). S’il a été responsable d’un
accident au cours d’une année, il passe au tarif supérieur l’année suivante (s’il est déjà au tarif haut, il y reste). La
compagnie d’assurance estime à 10 pour cent la probabilité qu’un assuré pris au hasard soit responsable d’un
accident au cours d’une année. Ici, la variable aléatoire qui décrit la situation l’année n prend ses valeurs dans
{1, 2, 3} où « 1 » désigne le tarif Bas, « 2 » l’Intermédiaire et « 3 » le tarif Haut.
1) Montrer que la suite définit une chaine de Markov ;
2) Déterminer la matrice de transition des états ; puis donner le graphe associé à cette chaine de Markov ;
3) Quel est la probabilité pour qu’un assuré au tarif intermédiaire devienne un assuré au tarif bas dans trois
ans ?
4) Déterminer les différentes classes de cette chaine et préciser leurs natures (récurrente, transitoire, fermée) ;
5) Calculer la probabilité et le temps moyen d’absorption dans classes fermées.
Exercice 2 :
1) En utilisant les propriétés d’une matrice de transition, montrer que si est la matrice de transition en
deux pas d’une chaîne de Markov à temps discret sur deux états, 0 et 1, alors les entrées dans la première
colonne de cette matrice satisfont l’inégalité :
2) Soit un processus aléatoire tel que . Démontrer que le processus est une
chaine de Markov si et seulement si, pour tous les états ,
Université Omar Bongo
Faculté de Droit et des Sciences Economiques
Licence 3 Economie- Parcours EME
Année 2021-2022
Travaux dirigés-Probabilités Avancées
Chargé du Cours : Dr. NGOUFACK Françoise