Université Omar Bongo
Faculté de Droit et des Sciences Economiques
Licence 3 Economie- Parcours EME
Année 2021-2022
Chargé du Cours : Dr. NGOUFACK Françoise
Travaux dirigés-Probabilités Avancées
Exercice 1 : Un contrat d’assurance automobile comporte trois tarifs de cotisation annuelle : Bas, Intermédiaire,
Haut. La première année, l’assuré paye le tarif intermédiaire. S’il n’a pas été responsable d’un accident pendant une
année, il passe au tarif inférieur l’année suivante (s’il est déjà au tarif bas, il y reste). S’il a été responsable d’un
accident au cours d’une année, il passe au tarif supérieur l’année suivante (s’il est déjà au tarif haut, il y reste). La
compagnie d’assurance estime à 10 pour cent la probabilité qu’un assuré pris au hasard soit responsable d’un
accident au cours d’une année. Ici, la variable aléatoire 𝑋𝑛 qui décrit la situation l’année n prend ses valeurs dans
{1, 2, 3} où « 1 » désigne le tarif Bas, « 2 » l’Intermédiaire et « 3 » le tarif Haut.
1) Montrer que la suite (𝑋𝑛 ) définit une chaine de Markov ;
2) Déterminer la matrice de transition des états ; puis donner le graphe associé à cette chaine de Markov ;
3) Quel est la probabilité pour qu’un assuré au tarif intermédiaire devienne un assuré au tarif bas dans trois
ans ?
4) Déterminer les différentes classes de cette chaine et préciser leurs natures (récurrente, transitoire, fermée) ;
5) Calculer la probabilité et le temps moyen d’absorption dans classes fermées.
Exercice 2 :
1) En utilisant les propriétés d’une matrice de transition, montrer que si 𝑃(2) est la matrice de transition en
deux pas d’une chaîne de Markov à temps discret sur deux états, 0 et 1, alors les entrées dans la première
(2)
(2)
colonne de cette matrice satisfont l’inégalité : 𝑃00 ≥ 𝑃10
2) Soit (𝑋𝑛 ) un processus aléatoire tel que 𝑃(𝑋0 = 𝑖0 ) = 𝛼0 . Démontrer que le processus (𝑋𝑛 ) est une
chaine de Markov si et seulement si, pour tous les états 𝑖0 , 𝑖1 , ⋯ , 𝑖𝑛 ∈ 𝐸,
𝑃(𝑋0 = 𝑖0 , 𝑋1 = 𝑖1 , ⋯ , 𝑋𝑛 = 𝑖𝑛 ) = 𝛼0 × 𝑝𝑖0 𝑖1 × 𝑝𝑖1 𝑖2 × ⋯ × 𝑝𝑖𝑛−1 𝑖𝑛
1
Exercice 3: Déterminer les classes d’états transientes, récurrentes, périodiques (dans ce cas donner leur période)
et ergodique de la chaîne de Markov sur les états 0, 1, …, dont la matrice de transition est :
0
1
2
(a) P 0
0
0
1
3
0
0
0
0
1
3
0
0
0
1
2
0
1
2
1
0
1
2
1
3
0
0
1
0
0
0
1
3
; (b) P 1
2
0
0
0
1
4
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
3
0
0
0
0
0
0
1
4
0
0
1
2
0
1
2
0
1
4
0
0
0
1
0
1
2
1
4
0
1
3
0
0
1
2
1
2
Justifier brièvement vos affirmations.
Exercice4 : On considère la chaîne de Markov dont le graphe est le suivant :
1) Determiner les classes de cette chaîne ;
2) Determiner les états recurrents et transients ;
3) Déterminer les différentes classes closes ou circuits ou cycles ;
4) Determiner la période de chaque état de la chaîne de Markov ;
5) Calculer la probabilité d’atteinte de l’état 6, partant de l’état 0 ;
6) Calculer la probabilité d’atteinte de l’état 3, partant de l’état 1 ;
7) Calculer le temps moyen d’atteinte de l’état 3 partant de l’état 1 ;
(𝑛)
(𝑛)
8) Calculer : lim 𝑃01
𝑒𝑡 lim 𝑃04
𝑛→+∞
𝑛→+∞
Exercice 4: Une chaîne de Markov sur trois états, disons 0, 1 et 2, a comme matrice de transition :
1
4
P 0
1
2
3
4
1
0
0
0
1
2
a) Déterminer le graphe de cette chaine
b) Déterminer les classes d’états et leur type (transiente, récurrente, périodique ou apériodique) ;
c) Existe-t-il une loi stationnaire ? Si oui, qu’elle est-elle ? Sinon, pourquoi ?
d) Déterminer s’il y a lieu, les probabilités d’absorption dans les classes fermées ;
e)
Déterminer s’il y a lieu, les temps moyens d’absorption dans les classes fermées ;
2
f) Déterminer la matrice de transition en 𝑛 pas ; puis sa limite lorsque 𝑛 tend vers l’infini.
Exercice 5 : Une chaîne de Markov sur les états 0, 1, 2, 3 et 4, a comme matrice de transition :
0
0
P 0
0
1
0
1
2
1
4
0
0
1
1
1
2
4
0
2
3
0
1
0
4
0
0
1
4
0
0
0
0
Déterminer les limites des probabilités de transitions en 𝑛 pas suivantes :
(𝑛)
lim 𝑃
𝑛→+∞ 00
(𝑛)
𝑒𝑡 lim 𝑃01
𝑛→+∞
Exercice 6:Une chaîne de Markov sur les états 0, 1, 2, 3 et 4 a comme matrice de transition :
1
3
1
3
P 0
14
1
4
2
3
0
1
3
1
4
1
4
0
2
3
2
3
1
4
1
4
0
0
0
0
1
4
0
0
0
1
4
0
Déterminer les classes d’états et leur type (transiente, récurrente, périodique ou apériodique) ; puis calculer
lim 𝑃(𝑛)
𝑛→+∞
Exercice 7 : Une chaîne de Markov sur les états 0, 1, 2, 3 et 4 a comme matrice de transition :
0
1
2
P 0
0
0
1
3
0
0
0
0
1
3
1
4
1
0
0
1
3
0
0
1
3
2
3
0
1
4
0
2
3
1
3
Déterminer les classes d’états et leur type (transiente, récurrente, périodique ou apériodique) ; puis la limite
(𝑛)
lorsque n tend vers l’infini de la probabilité de transition de 0 à 4 en n pas, 𝑃04 , si la limite existe.
3
