20220516 - PROPAGATION RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE EN MILIEU MATERIEL DIELECTRIQUE

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Propagation du rayonnement électromagnétique en milieu matériel diélectrique1 (MMD) :
permittivité, indice de réfraction, relation de dispersion, vitesse de phase, vitesse de groupe…
Ondes électromagnétiques (OEM) et décomposition spectrale d’un signal périodique.
Soit deux OEM monochromatiques, représentées par leur champ électrique E et de même amplitude 𝐸, obéissant aux
lois spatio-temporelles suivantes : 𝐸=𝐸cos(𝜔𝑡−𝑘𝑥) et 𝐸=𝐸cos(𝜔𝑡−𝑘𝑥+𝜑). 𝜑 peut être positif ou
négatif, induisant respectivement une avance de phase de 𝐸 sur 𝐸 ou le contraire. 𝜔,𝑘,𝜔,𝑘 sont positifs.
La superposition physique de ces deux OEM est traduite mathématiquement grâce à la formule
cos(𝑎)+cos(𝑏)=2cos
cos .
L’OEM résultante (illustrée ci-dessous avec φ=0) s’écrit : 2𝐸cos
𝑡− 𝑥− cos 𝑡− 𝑥+ .
On peut écrire 
<  et  < . La période
𝑇 =
 et la longueur d’onde (𝜆 = ) du « premier
cosinus » sont plus grandes que celles du second. On peut
écrire de manière équivalente, que la fréquence temporelle
𝑓 =
 et la fréquence spatiale 𝑓 =  du premier
cosinus sont plus faibles que celles du second.
Le terme 2𝐸cos
𝑡− 𝑥−  représente
« l’enveloppe » (la « modulation ») de l’OEM résultante. Il peut s’écrire 2𝐸cos2𝜋𝑓𝑡−𝑓𝑥−
 ou
2𝐸cos2𝜋 
 − −  afin de mettre en exergue les fréquences et périodes (respectivement temporelles et
spatiales) de l’enveloppe. Le terme cos
𝑡− 𝑥+  représente la « porteuse », de fréquence (temporelle et
spatiale) plus élevée que « l’enveloppe » et contenue dans cette dernière. Afin de mettre en exergue, comme ci-dessus,
ses fréquences et périodes temporelle et spatiale, 𝑓 =
 , 𝑓 =  , 𝑇 =  et 𝜆 = , on peut
l’écrire cos2𝜋 𝑓𝑡−𝑓𝑥+
 ou cos2𝜋    − + .
La fréquence de la « porteuse » (𝑓 =
 , 𝑓 = ) est la moyenne
arithmétique des fréquences d’origine. Quand ces dernières convergent vers
une même valeur, la fréquence de l’enveloppe diminue (𝑓 =
 et
𝑓 =
). Si ces deux fréquences sont égales (cas limite), la modulation
disparaît. L’OEM résultante se confond donc avec la porteuse dont l’amplitude
ne varie plus. Elle adopte la fréquence (unique) d’origine, une amplitude
2𝐸cos
 et un déphasage de   par rapport à 𝐸. Elle est donc en avance ou
retard de phase selon que 𝜑 est respectivement positif ou négatif. Ainsi, comme
illustré ci-contre :
- la superposition de deux OEM de même fréquence et déphasées2 résulte en une OEM représentable par le même
« motif » (longueur d’onde et fréquence) que les OEM d’origine.
- le « décalage » (déphasage) de ce « motif » par rapport au « motif » de 𝐸 est la moitié du « décalage » entre les OEM
d’origine.
Tout signal périodique (sinusoïdal ou non) est modélisable, via une intégrale de FOURRIER (Voir littérature idoine),
comme superposition d’un grand nombre (voire une infinité) d’OEM monochromatiques sur le spectre
électromagnétique3. Les calculs ci-dessus pour deux OEM monochromatiques se généralisent à une superposition plus
large. Cette généralisation est l’outil qui permet, dans le présent document, d’étudier la propagation d’une OEM
« physique » (donc non-monochromatique) en « sommant » les contributions de chaque OEM « constituante ».
Pour mémoire, une OEM strictement monochromatique (Et, par superposition, une OEM « physique ») infinie dans le
temps n’a aucune réalité physique. En effet, une OEM monochromatique puise l’énergie de sa source. Or, aucune source
ne produit indéfiniment de l’énergie. L’OEM n’est donc produite que sur une durée finie. Si l’horizon temporel auquel
elle « s’éteint » est grand devant sa période 𝑇, on peut raisonnablement considérer qu’elle est infinie à l’échelle de
« quelques 𝑇 ». Mais c’est clairement une approximation. Ainsi, l’étude ici développée n’est valable qu’à l’horizon de
quelques « quelques 𝑇 ». On considère par défaut que l’on est dans un horizon temporel long.
1 Par opposition aux « milieux conducteurs » que le rayonnement électrique ne peut « traverser » (cf. CARIMALO pg 361-365).
2 OEM modélisées par 𝐸 et 𝐸, 𝐸 étant choisie comme référence.
3 Certains LASER peuvent être, dans certaines conditions, considérés comme monochromatiques. Mais c’est une approximation.

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Susceptibilité diélectrique, permittivité relative, indice de réfraction, puis équation de propagation.
Dans le vide, l’équation de propagation d’une OEM (de pulsation 𝜔) caractérisée par son champ E est :
∆𝐸+
𝐸=0 qui découle des équations de MAXWELL.
Une modélisation (due à LORENTZ) de la réaction d’un MMD aboutit à la « susceptibilité diélectrique » (grandeur sans
dimension)4 : 𝜒= 
 , permettant de calculer la permittivité du MMD : 𝜀=𝜀(1+𝜒), 𝜀 étant la permittivité
du vide. On définit alors la permittivité relative 𝜀=
=(1+𝜒).
L’équation de propagation écrite pour le vide devient : ∆𝐸+
𝜀𝐸=0. On définit enfin 𝑛=𝜀 (d’où il découle, pour
mémoire au stade actuel, mais c’est important pour les raisonnements ultérieurs sur 𝑛 : 𝑛=1 +𝜒).
Ainsi, l’équation de propagation devient : ∆𝐸+ 
𝑛𝐸=0 qui est la forme « opératoire » pour cette étude.
En réécrivant cette équation sous la forme ∆𝐸+ 
(
⁄)𝐸=0 et par analogie avec l’équation de propagation dans le vide,
on pourrait conclure « un peu rapidement » que les OEM se propagent dans un MMD avec la célérité 𝑐𝑛
⁄ où 𝑛 est appelé
« indice de réfraction ». Ceci est « généralement faux » comme on le démontre ci-dessous.
En effet, 𝜒 est complexe, sauf circonstance particulière (évoquée ultérieurement) pour la partie imaginaire du
dénominateur. Par conséquent, 𝑛 est, par défaut, complexe et 𝑛 l’est également5 ! Donc la fraction 𝑐𝑛
⁄ est, par défaut,
complexe. Elle ne peut donc pas, dans le cas général, décrire une vitesse scalaire de propagation des OEM dans un MMD.
Pour décrire correctement la propagation des OEM dans un MMD, il faut étudier soigneusement l’indice de réfraction 𝑛
qui modélise des phénomènes d’une certaine subtilité6.
Fréquences multiples de résonnance du MMD, régime de « dispersion « normale » et de « dispersion anormale ».
La modélisation de LORENTZ, évoquée supra , aboutit à 𝜒(𝜔)=
. Elle admet l’hypothèse d’une fréquence de
résonnance unique pour l’ensemble des particules (atomes, molécules…) constituant le MMD. Or, ceci s’avère
excessivement simpliste. Pour un modèle plus réaliste, il faut admettre des fréquences de résonnance multiples. Ce sont
toutes les fréquences propres des diverses particules, ainsi que du cristal constituant la « trame » du MMD.
La physique quantique permet d’étudier cela correctement et fournit le résultat suivant : 𝜒(𝜔)=∑
 où
𝐴>0 et 𝛾>0. 𝛾 représente la raideur du « ressort » qui rappelle, par interaction électromagnétique, les électrons
vers le noyau de chaque atome (cf. modélisation de LORENTZ avec « 𝑓 » [qui n’est pas une fréquence !]). Il y a autant de
« raideurs » 𝛾 distinctes que de fréquences de résonnance du MMD (particulaires ou cristallines), ces fréquences étant
représentées dans l’expression de 𝜒 par les 𝜔, pulsations associées7. Les grandeurs 𝐴 et 𝛾 n’ont pas, dans le modèle
quantique, les mêmes dimensions que, respectivement, 𝑞𝑁 et 𝑓 dans le modèle de LORENTZ.
C’est cette expression de qui va permettre d’étudier correctement l’indice de réfraction et permettre des conclusions
robustes sur la propagation des OEM en MMD.
Dans le cas général, 𝛾 est non-négligeable devant les autres termes de la fraction. Dès lors, 𝜒 est complexe (ℐ𝑚𝜒≠0).
En multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur, on peut écrire : 
=𝐴
.
On pose 𝐷(𝜔)=(𝜔
−𝜔)+𝜔𝛾 et 𝜒(𝜔)=𝜒(𝜔)−𝑗𝜒(𝜔). Il vient alors : 𝜒(𝜔)=∑𝐴
 et
𝜒(𝜔)=𝜔∑𝐴
.
La pulsation 𝜔 est une quantité strictement positive, de même que 𝐴, 𝛾 et 𝐷 (pour tout 𝑘). D’où : 𝜒(𝜔)>0 et, par
conséquent, ℐ𝑚𝜒(𝜔)<0.
𝑛(𝜔)=1+𝜒(𝜔), donc ℐ𝑚 𝑛(𝜔)<0.
Or, si 𝑧=𝛼+ 𝑗𝛽, alors 𝑧=(𝛼−𝛽)+2𝑗𝛼𝛽. Et ℐ𝑚 𝑧<0⇒(𝛼<0 𝑒𝑡 𝛽>0) 𝑜𝑢 (𝛼>0 𝑒𝑡 𝛽<0).
4 La modélisation, dite « de l’électron élastiquement lié », porte sur la réaction des nuages électroniques au passage du champ électromagnétique des
OEM (Voir CARIMALO pages 351 à 353). Elle applique les lois de la mécanique classique (force de LORENTZ) aux nuages électroniques d’un MMD.
Comme évoqué dans la suite de cette étude, la mécanique quantique est indispensable pour décrire correctement les phénomènes en jeu à ce niveau
microscopique. Cependant, le modèle de LORENTZ a une valeur pédagogique incontestable.
5 𝑛 𝑟é𝑒𝑙 (ℐ𝑚[𝑛]=0) ⟹ 𝑛 𝑟é𝑒𝑙 (ℐ𝑚[𝑛]=0) donc (contraposée) 𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒 (ℐ𝑚[𝑛]≠0)⟹𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒 (ℐ𝑚[𝑛]≠0).
6 On ne peut décrire de manière opératoire ces phénomènes qu’en ayant recours à des simplifications et approximations, donc à un modèle.
7 Pour mémoire, 𝜔=2𝜋𝑓, donc il est équivalent d’évoquer les pulsations ou les fréquences.

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On pose 𝑛=𝑛−𝑗𝑛. Quand 𝑛 est réel, nécessairement 𝑛>0 car 𝑐𝑛
⁄ représente alors la célérité de l’OEM considérée,
dans le MMD. Par « continuité »8 quand 𝑛 est complexe, on considère également 𝑛>0. D’où 𝑛>0 et 𝑛 >0.
Ensuite, 𝑘=
⇒ 𝑘=  . où, dans le MMD, 𝑇 est la période temporelle de l’onde considérée et 𝑐 sa vitesse (qui
n’est pas la vitesse de la lumière « 𝑐 » car le MMD n’est pas le vide). 𝑐 =𝑐𝑛
⁄ et 𝑛 est complexe (ℐ𝑚[𝑛]≠0), donc
𝑐 est complexe (ℐ𝑚[𝑐]≠0) !
𝑘= 
. ⇒𝑘= 
⁄. ⇒𝑘= 
⇒𝑘=
𝑛. Et 𝑛=𝑛−𝑗𝑛 amène alors à 𝑘=𝑘−𝑗𝑘, avec 𝑘>0 et 𝑘 >0.
Dès lors, si l’on passe en écriture complexe pour l’OEM, soit 𝐸=𝐸𝑒( ), on obtient 𝐸=𝐸𝑒𝑒 .
Dans cette expression, l’exponentielle complexe est le terme de phase du signal. Le reste de l’expression est son
amplitude. On déduit de cette expression que l’amplitude décroît exponentiellement ( ie : très vite) au cours de la
progression du signal dans le MMD. En première approche, le signal est donc rapidement atténué au cours de sa
progression : l’OEM semble subir un phénomène d’absorption de l’énergie et ne se propager que très peu dans le MMD.
Pour autant, nous allons constater que, hors du « voisinage proche »9 des fréquences de résonnance, ce cas général10
admet des simplifications. Il en découle une modélisation dans laquelle 𝑛 devient réel (ℐ𝑚[𝑛]=0) et l’absorption
devient négligeable. En fait, 𝑛 n’est modélisé par un complexe (ℐ𝑚[𝑛]≠0), et ne caractérise une forte absorption par le
MMD en cours de propagation, que dans un « voisinage proche » des fréquences de résonnance. Finalement, le cas
général ci-dessus devient un cas particulier ! En effet, même s’il existe plusieurs fréquences de résonnance, leur nombre
est infinitésimal devant celui des fréquences « de non-résonnance ».
Afin de caractériser convenablement l’évolution de 𝑛 en fonction de la pulsation 𝜔 du signal incident, il faut modifier
l’expression de 𝜒 qui n’est pas très « parlante » en l’état.
𝑛=1+ 𝜒 et 𝜒=𝜒−𝑗𝜒, avec 𝜒(𝜔)=∑𝐴
 et 𝜒(𝜔)=𝜔∑𝐴 , donc 𝑛=1+∑𝐴 − 𝑗 𝜔 ∑𝐴 .
On se place « au voisinage » d’une fréquence de résonnance, caractérisée par 𝜔. Par conséquent, 𝜔 est « proche » de
𝜔. On fait l’hypothèse que, parmi les 𝛾, seul 𝛾 doit être considéré comme non-négligeable devant les autres termes
dans l’expression de 𝜒. Cela correspond à l’hypothèse, physiquement riche de sens, que la fréquence du signal incident
excitera uniquement la résonnance correspondant à la pulsation 𝜔 et aucune des autres résonnances correspondant
aux diverses pulsations 𝜔.
Dès lors, on peut écrire : 𝜒(𝜔)=𝜒(𝜔)+𝐴
 (avec 𝜒(𝜔)=∑
 ) et 𝜒(𝜔)=𝐴
.
Soit 𝜔=𝜔. On a 𝜒(𝜔)=𝜒(𝜔).
Soient 𝜔 et 𝜔 définis par 𝜔 =𝜔+
 et 𝜔 =𝜔− .
Après calcul, on obtient : 𝜒(𝜔)=𝜒(𝜔)+𝐴
. On néglige alors les termes en 𝛾 au numérateur et
en 𝛾 ou 𝛾 au dénominateur, devant les autres termes de la fraction. Cela correspond à l’hypothèse physique d’un
faible couplage des électrons dans le nuage de chaque atome. C’est d’autant plus crédible que les atomes ont un numéro
atomique élevé. Par conséquent, cette hypothèse est modérément valable pour les milieux matériels dont la structure
est composée d’atomes à faible numéro atomique. Mais ces milieux sont principalement des métaux, donc conducteurs
(cf. table périodique des éléments). Or, nous étudions ici des milieux matériels diélectriques (MMD), donc non-
conducteurs. Par conséquent, cette hypothèse est crédible.
Il vient alors, tous calculs faits : 𝜒(𝜔)=𝜒(𝜔)−
.
𝜒(𝜔)=∑
 En négligeant 𝛾 et 𝛾 devant les autres termes de la fraction, on obtient :
𝜒(𝜔)=∑
 et donc en fait 𝜒(𝜔)=𝜒(𝜔). Par conséquent, 𝜒(𝜔)=𝜒(𝜔)−
.
On obtient de même : 𝜒(𝜔)=𝜒(𝜔)+
.
En posant 𝜔 =𝜔+
, 𝜔 =𝜔−  (et « ainsi de suite »), on obtient : 𝜒(𝜔)=𝜒(𝜔)− ,
𝜒(𝜔)=𝜒(𝜔)+
 … et on démontrerait facilement par récurrence que lim
→𝜒(𝜔 )=𝜒(𝜔) et
lim
→𝜒(𝜔)=𝜒(𝜔).
8 Cet argument sera consolidé ultérieurement.
9 Terme qui sera précisé ultérieurement.
10 Selon lequel, pour mémoire, on considère (Cf. page précédente) que 𝛾 est non-négligeable devant les autres termes dans l’expression de χ.

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NB : pour rester cohérent avec la modélisation, il faut rester « au voisinage de 𝜔 ».
Donc « 𝛼→+∞ » doit être considéré avec prudence. En l’occurrence, l’idée est ici
de démontrer que 𝜒(𝜔) « se rapproche de » 𝜒(𝜔) quand on « s’éloigne » de 𝜔.
« À proximité » de 𝜔, 𝜒(𝜔) « oscille autour de 𝜒(𝜔) », avec une valeur haute
𝜒(𝜔)+
 pour 𝜔=𝜔 et une valeur basse 𝜒(𝜔)− , pour 𝜔=𝜔.
D’où l’allure des variations de 𝜒 autour de la pulsation de résonnance 𝜔
(schéma 1).
On note que l’étude supra indique en principe une symétrie des variations autour
de 𝜔. Or, la figure indique plutôt une dissymétrie. Il y a là une dissonance, mais
celle-ci ne remet pas en cause le raisonnement général. Dans les faits, 𝜒(𝜔)
converge vers 𝜒(𝜔)−
 et 𝜒(𝜔) converge vers 𝜒(𝜔)+  , avec
𝜒(𝜔)>𝜒(𝜔), d’où une dissymétrie. Nous l’avons négligé (bas de page précédente) en considérant que
𝜒(𝜔)=𝜒(𝜔)=𝜒(𝜔), ce qui aboutissait donc à une symétrie.
On constate que l’oscillation autour de 𝜒(𝜔) dans le voisinage immédiat de 𝜔 est d’autant plus « brutale » que 𝛾 est
faible (pente 
). Or, la configuration « 𝛾 faible » caractérise un faible facteur de rappel exercé par le noyau sur le
cortège électronique dans chaque atome. Cette situation correspond à un système élastique faiblement amorti. La
littérature indique que cette configuration favorise les résonnances aiguës. En effet, on conçoit intuitivement qu’un
système « à faible force de rappel » n’opposera qu’une faible résistance à la déformation, aux fréquences de
résonnance ; d’où des résonnances plus aiguës pour les systèmes à « faible force de rappel » qu’à « forte force de
rappel ».
Par ailleurs, 𝜒 =𝜔∑𝐴
. On conserve l’hypothèse que, « au voisinage de 𝜔 » et parmi les 𝛾, seul 𝛾 doit être
considéré comme non-négligeable devant les autres termes11 dans l’expression de 𝜒, donc celle de 𝜒.
Pour 𝜔=𝜔, on obtient 𝜒(𝜔)=𝐴
, donc 𝜒(𝜔)= 
.
Par ailleurs, pour 𝜔=𝜔 , on obtient 𝜒(𝜔)=𝐴
, donc 𝜒(𝜔)= 𝐴
.
Toutes simplifications faites, en négligeant 𝛾 devant les autres termes de la fraction, 𝜒(𝜔)= 
.
Par un calcul similaire, on obtient : 𝜒(𝜔)= 
 , 𝜒(𝜔)=   ,
𝜒(𝜔)= 
  et « ainsi de suite »...
On constate que la décroissance de 𝜒(𝜔) est rapide, dès que 𝜔 « s’éloigne un peu »
de 𝜔 (𝜒(𝜔)=()
). Cette « pente importante » de la courbe de 𝜒(𝜔)
caractérise une atténuation rapide de l’amortissement hors du « voisinage
immédiat » de 𝜔, ce qui conforte a posteriori les hypothèses formulées.
Au bilan, l’amortissement (traduit par le facteur 𝛾) n’est sensible que dans une
étroite bande autour de chaque fréquence de résonnance. D’où l’allure des
variations de 𝜒′ autour de la pulsation de résonnance 𝜔 (schéma 2).
Par conséquent, il est légitime de considérer que 𝜒 n’est complexe (ℐ𝑚[𝜒]≠0), que dans un voisinage étroit de ces
fréquences de résonnance (Cf. page précédente). Il en est exactement de même pour 𝑛 (car 𝑛=1 + 𝜒). Ensuite, si 𝑛
est complexe (ℐ𝑚[𝑛]≠0), alors nécessairement 𝑛 est complexe (cf. note n°5 en bas de la page 2).
Si 𝑛 est réel pur (ℐ𝑚[𝑛]=0), alors 𝑛 peut théoriquement être imaginaire pur (𝑅𝑒[𝑛]=0) ou réel pur (ℐ𝑚[𝑛]=0)12.
Mais ce dernier cas correspond à une atténuation exponentielle du signal incident, sans aucun facteur de propagation
selon l’axe d’incidence, suivant l’expression : 𝐸=𝐸𝑒𝑒()(cf. haut de page 3).
Or, nous cherchons une solution de propagation à travers le MMD. Par conséquent, la solution 𝑛 imaginaire pur n’est
pas recevable. Donc, il faut retenir la solution 𝑛 réel pur. On peut ainsi conclure : 𝑛 réel pur (ℐ𝑚[𝑛]=0) ⇒𝑛 réel pur
(ℐ𝑚[𝑛]=0).
11 Rappel : cela revient à considérer que la fréquence du signal incident excitera uniquement la résonnance correspondant à la pulsation 𝜔 et aucune
des autres résonnances correspondant aux diverses pulsations 𝜔.
12 𝑧= 𝛼+ 𝑗𝛽⇒𝑧=(𝛼−𝛽)+ 2𝑗𝛼𝛽 et 𝐼𝑚(𝑧)=0⇒𝛼=0 𝑜𝑢 𝛽=0⇒𝑅𝑒(𝑧)=0 𝑜𝑢 𝐼𝑚(𝑧)=0.

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Au bilan, on peut légitimement considérer que « pour toutes les fréquences incidentes qui donnent lieu à une
propagation13, 𝑛 est réel » (ℐ𝑚[𝑛]=0). Dès lors, 𝑐𝑛
⁄ est réel (ℐ𝑚[𝑐𝑛 ⁄ ]=0) et ce scalaire représente (par une
modélisation désormais raisonnablement robuste) la vitesse de propagation du signal incident dans le MMD.
Nous venons donc de démontrer que, pour les fréquences incidentes qui se propagent effectivement dans un MMD
( ie : qui ne sont pas absorbées par ce MMD), il est légitime de considérer que la vitesse de propagation est : 𝑐𝑛
⁄. En
toute rigueur, il ne faut jamais oublier qu’il y a toujours une part d’absorption de l’énergie incidente (modélisée par la
partie imaginaire de 𝑛). Cette dernière est négligée hors des fréquences induisant une résonnance dans le MMD. Et dans
les domaines fréquentiels où elle ne peut être négligée, il a peu (ou pas) de propagation… et il n’est alors plus pertinent
de chercher à interpréter le quotient 𝑐𝑛
⁄ comme la vitesse de propagation du signal incident dans le MMD...
On distingue donc deux situations : au « voisinage proche » des fréquences de résonnance du MMD et « hors de ce
voisinage ». On parle respectivement de « dispersion anormale » et « dispersion normale ».
En dispersion « normale » (« hors du voisinage proche » des fréquences de résonnance), le MMD permet la propagation
des OEM. Le domaine fréquentiel concerné est appelé « domaine de transparence » du MMD. Cette notion justifie la
dénomination de « milieu diélectrique » qui, contrairement aux milieux conducteurs, permettent la propagation des
OEM ( Dié = « à travers » [cf. CARIMALO pg 363]). Dans le domaine de transparence, 𝑛 (assimilé à sa partie réelle)
augmente avec la pulsation ( ie : la fréquence), donc quand la longueur d’onde diminue.
En dispersion « anormale » (« au voisinage proche » des fréquences de résonnance), le MMD n’autorise plus la
propagation des OEM (énergie dissipée par résonnance du MMD). Dans ce domaine fréquentiel (donc, hors « domaine
de transparence » du MMD), la partie réelle de 𝑛 (qu’il n’est plus possible d’assimiler à 𝑛 lui-même14) diminue quand la
pulsation ( ie : fréquence) augmente, donc quand la longueur d’onde diminue.
Expression globale de l’indice de réfraction en fonction de la longueur d’onde incidente, hors résonnance.
Dans le paragraphe précédent, nous avons exploré qualitativement le comportement de 𝑛 dans un domaine spectral
incluant les fréquences de résonnance du MDD. Nous étudions maintenant comment faire évoluer l’expression de 𝑛
afin d’élaborer des formules opératoires permettant d’évaluer numériquement 𝑛, avec une bonne approximation.
On appelle 𝜆 la longueur d’onde du signal incident. En réutilisant les expressions trouvées en page 2,
𝜒=∑𝐴
 et 𝑛=1 + 𝜒, il vient (avec 𝛾=0 car on se place hors fréquence de résonnance)
𝑛=1+∑𝐴
, soit : 𝑛=1+∑  puis : 𝑛=1+∑
()
.
Deux cas se présentent pour le quotient dans le « ∑ » : 𝜆≪𝜆 ou 𝜆≫𝜆.
Si 𝜆≫𝜆 (fréquence de résonnance très inférieure à la fréquence incidente), on écrit 
()
=
()
. En
sommant sur tous les 𝜆 compatibles avec cette approximation, on obtient :
∑
()
,≫ =−𝜆∑
()
,≫ ≈
()∑𝐴1+
+
,≫ =
()∑𝐴𝜆+
+
,≫ .
Dans le développement limité, on « abandonne » le terme de degré le plus élevé, d’où : 
()∑𝐴𝜆+
,≫ qui
peut également s’écrire :  
()∑𝐴,≫ 𝜆+∑
,≫ 𝜆 , soit
in fine : −𝐴𝜆−𝐴𝜆.
𝐴 et 𝐴 sont entièrement déterminés par les fréquences de résonnance du MMD et ne dépendent pas de la fréquence
du signal incident. On aboutit donc à une simplification « saisissante », mais qui donne un très bon accord avec la
pratique comme on le verra plus loin.
Si 𝜆≪𝜆 (fréquence de résonnance très supérieure à la fréquence incidente), on écrit 
()
=
()
.
En procédant comme ci-dessus : ∑
()
,≪ =∑
()
,≪ =
()∑𝐴𝜆
1+
+
,≪ .
13
Ie : pour toutes les fréquences qui génèrent une absorption négligeable. Ce sont donc toutes les fréquences incidentes que le MMD propage avec une
absorption négligeable (modélisé par « sans absorption »).
14 Car alors la dissipation d’énergie est prépondérante, caractérisée par ℐ𝑚[𝑛]≠0.