20220516 - PROPAGATION RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE EN MILIEU MATERIEL DIELECTRIQUE

Propagation du rayonnement électromagnétique en milieu matériel diélectrique1 (MMD) :
permittivité, indice de réfraction, relation de dispersion, vitesse de phase, vitesse de groupe…
Ondes électromagnétiques (OEM) et décomposition spectrale d’un signal périodique.
Soit deux OEM monochromatiques, représentées par leur champ électrique E et de même amplitude 𝐸 , obéissant aux
lois spatio-temporelles suivantes : 𝐸 = 𝐸 cos(𝜔 𝑡 − 𝑘 𝑥) et 𝐸 = 𝐸 cos(𝜔 𝑡 − 𝑘 𝑥 + 𝜑). 𝜑 peut être positif ou
négatif, induisant respectivement une avance de phase de 𝐸 sur 𝐸 ou le contraire. 𝜔 , 𝑘 , 𝜔 , 𝑘 sont positifs.
La superposition physique de
cos(𝑎) + cos(𝑏) = 2cos
cos
ces
.
deux
OEM
est
traduite
L’OEM résultante (illustrée ci-dessous avec φ=0) s’écrit : 2𝐸 cos
On peut écrire
𝑇
=
<
et
<
et la longueur d’onde (𝜆
=
mathématiquement
𝑡−
𝑥−
grâce
cos
à
𝑡−
la
formule
𝑥+
.
. La période
) du « premier
cosinus » sont plus grandes que celles du second. On peut
écrire de manière équivalente, que la fréquence temporelle
𝑓
=
et la fréquence spatiale 𝑓
=
du premier
cosinus sont plus faibles que celles du second.
Le
terme
2𝐸 cos
𝑡−
𝑥−
représente
« l’enveloppe » (la « modulation ») de l’OEM résultante. Il peut s’écrire 2𝐸 cos 2𝜋 𝑓
2𝐸 cos 2𝜋
−
−
𝑡−𝑓
𝑥 −
ou
afin de mettre en exergue les fréquences et périodes (respectivement temporelles et
spatiales) de l’enveloppe. Le terme cos
𝑡−
𝑥+
représente la « porteuse », de fréquence (temporelle et
spatiale) plus élevée que « l’enveloppe » et contenue dans cette dernière. Afin de mettre en exergue, comme ci-dessus,
ses fréquences et périodes temporelle et spatiale, 𝑓
=
, 𝑓
=
, 𝑇 =
et 𝜆
=
, on peut
l’écrire cos 2𝜋 𝑓
𝑡−𝑓
𝑥 +
ou cos 2𝜋
−
+
.
La fréquence de la « porteuse » (𝑓
=
,𝑓
=
) est la moyenne
arithmétique des fréquences d’origine. Quand ces dernières convergent vers
une même valeur, la fréquence de l’enveloppe diminue (𝑓
=
et
𝑓
=
). Si ces deux fréquences sont égales (cas limite), la modulation
disparaît. L’OEM résultante se confond donc avec la porteuse dont l’amplitude
ne varie plus. Elle adopte la fréquence (unique) d’origine, une amplitude
2𝐸 cos
et un déphasage de par rapport à 𝐸 . Elle est donc en avance ou
retard de phase selon que 𝜑 est respectivement positif ou négatif. Ainsi, comme
illustré ci-contre :
- la superposition de deux OEM de même fréquence et déphasées2 résulte en une OEM représentable par le même
« motif » (longueur d’onde et fréquence) que les OEM d’origine.
- le « décalage » (déphasage) de ce « motif » par rapport au « motif » de 𝐸 est la moitié du « décalage » entre les OEM
d’origine.
Tout signal périodique (sinusoïdal ou non) est modélisable, via une intégrale de FOURRIER (Voir littérature idoine),
comme superposition d’un grand nombre (voire une infinité) d’OEM monochromatiques sur le spectre
électromagnétique3. Les calculs ci-dessus pour deux OEM monochromatiques se généralisent à une superposition plus
large. Cette généralisation est l’outil qui permet, dans le présent document, d’étudier la propagation d’une OEM
« physique » (donc non-monochromatique) en « sommant » les contributions de chaque OEM « constituante ».
Pour mémoire, une OEM strictement monochromatique (Et, par superposition, une OEM « physique ») infinie dans le
temps n’a aucune réalité physique. En effet, une OEM monochromatique puise l’énergie de sa source. Or, aucune source
ne produit indéfiniment de l’énergie. L’OEM n’est donc produite que sur une durée finie. Si l’horizon temporel auquel
elle « s’éteint » est grand devant sa période 𝑇, on peut raisonnablement considérer qu’elle est infinie à l’échelle de
« quelques 𝑇 ». Mais c’est clairement une approximation. Ainsi, l’étude ici développée n’est valable qu’à l’horizon de
quelques « quelques 𝑇 ». On considère par défaut que l’on est dans un horizon temporel long.
1
2
3
Par opposition aux « milieux conducteurs » que le rayonnement électrique ne peut « traverser » (cf. CARIMALO pg 361-365).
OEM modélisées par 𝐸 et 𝐸 , 𝐸 étant choisie comme référence.
Certains LASER peuvent être, dans certaines conditions, considérés comme monochromatiques. Mais c’est une approximation.
Page 1
Susceptibilité diélectrique, permittivité relative, indice de réfraction, puis équation de propagation.
Dans le vide, l’équation de propagation d’une OEM (de pulsation 𝜔) caractérisée par son champ E est :
∆𝐸 +
𝐸 = 0 qui découle des équations de MAXWELL.
Une modélisation (due à LORENTZ) de la réaction d’un MMD aboutit à la « susceptibilité diélectrique » (grandeur sans
, permettant de calculer la permittivité du MMD : 𝜀 = 𝜀 (1 + 𝜒), 𝜀 étant la permittivité
dimension)4 : 𝜒 =
du vide. On définit alors la permittivité relative 𝜀 =
= (1 + 𝜒).
L’équation de propagation écrite pour le vide devient : ∆𝐸 + 𝜀 𝐸 = 0. On définit enfin 𝑛 = 𝜀 (d’où il découle, pour
mémoire au stade actuel, mais c’est important pour les raisonnements ultérieurs sur 𝑛 : 𝑛 = 1 + 𝜒 ).
Ainsi, l’équation de propagation devient : ∆𝐸 +
𝑛 𝐸 = 0 qui est la forme « opératoire » pour cette étude.
En réécrivant cette équation sous la forme ∆𝐸 + (
⁄ )
𝐸 = 0 et par analogie avec l’équation de propagation dans le vide,
on pourrait conclure « un peu rapidement » que les OEM se propagent dans un MMD avec la célérité 𝑐⁄𝑛 où 𝑛 est appelé
« indice de réfraction ». Ceci est « généralement faux » comme on le démontre ci-dessous.
En effet, 𝜒 est complexe, sauf circonstance particulière (évoquée ultérieurement) pour la partie imaginaire du
dénominateur. Par conséquent, 𝑛 est, par défaut, complexe et 𝑛 l’est également5 ! Donc la fraction 𝑐⁄𝑛 est, par défaut,
complexe. Elle ne peut donc pas, dans le cas général, décrire une vitesse scalaire de propagation des OEM dans un MMD.
Pour décrire correctement la propagation des OEM dans un MMD, il faut étudier soigneusement l’indice de réfraction 𝑛
qui modélise des phénomènes d’une certaine subtilité6.
Fréquences multiples de résonnance du MMD, régime de « dispersion « normale » et de « dispersion anormale ».
La modélisation de LORENTZ, évoquée supra, aboutit à 𝜒(𝜔) =
. Elle admet l’hypothèse d’une fréquence de
résonnance unique pour l’ensemble des particules (atomes, molécules…) constituant le MMD. Or, ceci s’avère
excessivement simpliste. Pour un modèle plus réaliste, il faut admettre des fréquences de résonnance multiples. Ce sont
toutes les fréquences propres des diverses particules, ainsi que du cristal constituant la « trame » du MMD.
La physique quantique permet d’étudier cela correctement et fournit le résultat suivant : 𝜒(𝜔) = ∑
où
𝐴 > 0 et 𝛾 > 0. 𝛾 représente la raideur du « ressort » qui rappelle, par interaction électromagnétique, les électrons
vers le noyau de chaque atome (cf. modélisation de LORENTZ avec « 𝑓 » [qui n’est pas une fréquence !]). Il y a autant de
« raideurs » 𝛾 distinctes que de fréquences de résonnance du MMD (particulaires ou cristallines), ces fréquences étant
représentées dans l’expression de 𝜒 par les 𝜔 , pulsations associées7. Les grandeurs 𝐴 et 𝛾 n’ont pas, dans le modèle
quantique, les mêmes dimensions que, respectivement, 𝑞 𝑁 et 𝑓 dans le modèle de LORENTZ.
C’est cette expression de qui va permettre d’étudier correctement l’indice de réfraction et permettre des conclusions
robustes sur la propagation des OEM en MMD.
Dans le cas général, 𝛾 est non-négligeable devant les autres termes de la fraction. Dès lors, 𝜒 est complexe (ℐ𝑚𝜒 ≠ 0).
En multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur, on peut écrire :
On pose 𝐷 (𝜔) = (𝜔 − 𝜔 ) + 𝜔 𝛾
𝜒 (𝜔) = 𝜔 ∑ 𝐴
=𝐴
.
et 𝜒(𝜔) = 𝜒 (𝜔) − 𝑗𝜒 (𝜔). Il vient alors : 𝜒 (𝜔) = ∑ 𝐴
et
.
La pulsation 𝜔 est une quantité strictement positive, de même que 𝐴 , 𝛾 et 𝐷 (pour tout 𝑘). D’où : 𝜒 (𝜔) > 0 et, par
conséquent, ℐ𝑚𝜒(𝜔) < 0.
𝑛 (𝜔) = 1 + 𝜒(𝜔), donc ℐ𝑚 𝑛 (𝜔) < 0.
Or, si 𝑧 = 𝛼 + 𝑗𝛽, alors 𝑧 = (𝛼 − 𝛽 ) + 2𝑗𝛼𝛽. Et ℐ𝑚 𝑧 < 0 ⇒ (𝛼 < 0 𝑒𝑡 𝛽 > 0) 𝑜𝑢 (𝛼 > 0 𝑒𝑡 𝛽 < 0).
4
5
6
7
La modélisation, dite « de l’électron élastiquement lié », porte sur la réaction des nuages électroniques au passage du champ électromagnétique des
OEM (Voir CARIMALO pages 351 à 353). Elle applique les lois de la mécanique classique (force de LORENTZ) aux nuages électroniques d’un MMD.
Comme évoqué dans la suite de cette étude, la mécanique quantique est indispensable pour décrire correctement les phénomènes en jeu à ce niveau
microscopique. Cependant, le modèle de LORENTZ a une valeur pédagogique incontestable.
𝑛 𝑟é𝑒𝑙 (ℐ𝑚[𝑛] = 0) ⟹ 𝑛 𝑟é𝑒𝑙 (ℐ𝑚[𝑛 ] = 0) donc (contraposée) 𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒 (ℐ𝑚[𝑛 ] ≠ 0) ⟹ 𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒 (ℐ𝑚[𝑛] ≠ 0).
On ne peut décrire de manière opératoire ces phénomènes qu’en ayant recours à des simplifications et approximations, donc à un modèle.
Pour mémoire, 𝜔 = 2𝜋𝑓 , donc il est équivalent d’évoquer les pulsations ou les fréquences.
Page 2
On pose 𝑛 = 𝑛 − 𝑗𝑛 . Quand 𝑛 est réel, nécessairement 𝑛 > 0 car 𝑐⁄𝑛 représente alors la célérité de l’OEM considérée,
dans le MMD. Par « continuité »8 quand 𝑛 est complexe, on considère également 𝑛 > 0. D’où 𝑛 > 0 et 𝑛 > 0.
Ensuite, 𝑘 =
où, dans le MMD, 𝑇 est la période temporelle de l’onde considérée et 𝑐
sa vitesse (qui
𝑐
n’est pas la vitesse de la lumière « 𝑐 » car le MMD n’est pas le vide). 𝑐
= ⁄𝑛 et 𝑛 est complexe (ℐ𝑚[𝑛] ≠ 0), donc
] ≠ 0) !
𝑐
est complexe (ℐ𝑚[𝑐
𝑘=
.
⇒ 𝑘=
⇒𝑘=
⁄ .
.
⇒𝑘=
⇒𝑘=
𝑛. Et 𝑛 = 𝑛 − 𝑗𝑛 amène alors à 𝑘 = 𝑘 − 𝑗𝑘 , avec 𝑘 > 0 et 𝑘 > 0.
Dès lors, si l’on passe en écriture complexe pour l’OEM, soit 𝐸 = 𝐸 𝑒
(
)
, on obtient 𝐸 = 𝐸 𝑒
𝑒
.
Dans cette expression, l’exponentielle complexe est le terme de phase du signal. Le reste de l’expression est son
amplitude. On déduit de cette expression que l’amplitude décroît exponentiellement (ie : très vite) au cours de la
progression du signal dans le MMD. En première approche, le signal est donc rapidement atténué au cours de sa
progression : l’OEM semble subir un phénomène d’absorption de l’énergie et ne se propager que très peu dans le MMD.
Pour autant, nous allons constater que, hors du « voisinage proche »9 des fréquences de résonnance, ce cas général10
admet des simplifications. Il en découle une modélisation dans laquelle 𝑛 devient réel (ℐ𝑚[𝑛] = 0) et l’absorption
devient négligeable. En fait, 𝑛 n’est modélisé par un complexe (ℐ𝑚[𝑛] ≠ 0), et ne caractérise une forte absorption par le
MMD en cours de propagation, que dans un « voisinage proche » des fréquences de résonnance. Finalement, le cas
général ci-dessus devient un cas particulier ! En effet, même s’il existe plusieurs fréquences de résonnance, leur nombre
est infinitésimal devant celui des fréquences « de non-résonnance ».
Afin de caractériser convenablement l’évolution de 𝑛 en fonction de la pulsation 𝜔 du signal incident, il faut modifier
l’expression de 𝜒 qui n’est pas très « parlante » en l’état.
𝑛 = 1 + 𝜒 et 𝜒 = 𝜒 − 𝑗𝜒 , avec 𝜒 (𝜔) = ∑ 𝐴
et 𝜒 (𝜔) = 𝜔 ∑ 𝐴
, donc 𝑛 = 1 + ∑ 𝐴
−𝑗𝜔∑ 𝐴
.
On se place « au voisinage » d’une fréquence de résonnance, caractérisée par 𝜔 . Par conséquent, 𝜔 est « proche » de
𝜔 . On fait l’hypothèse que, parmi les 𝛾 , seul 𝛾 doit être considéré comme non-négligeable devant les autres termes
dans l’expression de 𝜒. Cela correspond à l’hypothèse, physiquement riche de sens, que la fréquence du signal incident
excitera uniquement la résonnance correspondant à la pulsation 𝜔 et aucune des autres résonnances correspondant
aux diverses pulsations 𝜔 .
Dès lors, on peut écrire : 𝜒 (𝜔) = 𝜒 (𝜔) + 𝐴
(avec 𝜒 (𝜔) = ∑
) et 𝜒 (𝜔) = 𝐴
.
Soit 𝜔 = 𝜔 . On a 𝜒 (𝜔 ) = 𝜒 (𝜔 ).
Soient 𝜔
et 𝜔
définis par 𝜔
=𝜔 +
et 𝜔
=𝜔 − .
Après calcul, on obtient : 𝜒 (𝜔 ) = 𝜒 (𝜔 ) + 𝐴
. On néglige alors les termes en 𝛾 au numérateur et
en 𝛾 ou 𝛾 au dénominateur, devant les autres termes de la fraction. Cela correspond à l’hypothèse physique d’un
faible couplage des électrons dans le nuage de chaque atome. C’est d’autant plus crédible que les atomes ont un numéro
atomique élevé. Par conséquent, cette hypothèse est modérément valable pour les milieux matériels dont la structure
est composée d’atomes à faible numéro atomique. Mais ces milieux sont principalement des métaux, donc conducteurs
(cf. table périodique des éléments). Or, nous étudions ici des milieux matériels diélectriques (MMD), donc nonconducteurs. Par conséquent, cette hypothèse est crédible.
Il vient alors, tous calculs faits : 𝜒 (𝜔 ) = 𝜒 (𝜔 ) −
𝜒 (𝜔 ) = ∑
En négligeant 𝛾
𝜒 (𝜔 ) = ∑
En posant 𝜔
→
=𝜔 +
) = 𝜒 (𝜔 ) +
lim 𝜒 (𝜔
devant les autres termes de la fraction, on obtient :
et donc en fait 𝜒 (𝜔 ) = 𝜒 (𝜔 ). Par conséquent, 𝜒 (𝜔 ) = 𝜒 (𝜔 ) −
On obtient de même : 𝜒 (𝜔 ) = 𝜒 (𝜔 ) +
𝜒 (𝜔
et 𝛾
.
, 𝜔
=𝜔 −
.
.
(et « ainsi de suite »), on obtient : 𝜒 (𝜔
… et on démontrerait facilement par récurrence que
) = 𝜒 (𝜔 ) −
lim 𝜒 (𝜔
→
,
) = 𝜒 (𝜔 ) et
) = 𝜒 (𝜔 ).
Cet argument sera consolidé ultérieurement.
Terme qui sera précisé ultérieurement.
10 Selon lequel, pour mémoire, on considère (Cf. page précédente) que 𝛾 est non-négligeable devant les autres termes dans l’expression de χ.
8
9
Page 3
NB : pour rester cohérent avec la modélisation, il faut rester « au voisinage de 𝜔 ».
Donc « 𝛼 → +∞ » doit être considéré avec prudence. En l’occurrence, l’idée est ici
de démontrer que 𝜒 (𝜔) « se rapproche de » 𝜒 (𝜔 ) quand on « s’éloigne » de 𝜔 .
« À proximité » de 𝜔 , 𝜒 (𝜔) « oscille autour de 𝜒 (𝜔 ) », avec une valeur haute
𝜒 (𝜔 ) +
pour 𝜔 = 𝜔 et une valeur basse 𝜒 (𝜔 ) −
, pour 𝜔 = 𝜔 .
D’où l’allure des variations de 𝜒 autour de la pulsation de résonnance 𝜔
(schéma 1).
On note que l’étude supra indique en principe une symétrie des variations autour
de 𝜔 . Or, la figure indique plutôt une dissymétrie. Il y a là une dissonance, mais
celle-ci ne remet pas en cause le raisonnement général. Dans les faits, 𝜒 (𝜔 )
converge vers 𝜒 (𝜔 ) −
et 𝜒 (𝜔 ) converge vers 𝜒 (𝜔 ) +
, avec
𝜒 (𝜔 ) > 𝜒 (𝜔 ), d’où une dissymétrie. Nous l’avons négligé (bas de page précédente) en considérant que
𝜒 (𝜔 ) = 𝜒 (𝜔 ) = 𝜒 (𝜔 ), ce qui aboutissait donc à une symétrie.
On constate que l’oscillation autour de 𝜒 (𝜔 ) dans le voisinage immédiat de 𝜔 est d’autant plus « brutale » que 𝛾 est
faible (pente
). Or, la configuration « 𝛾 faible » caractérise un faible facteur de rappel exercé par le noyau sur le
cortège électronique dans chaque atome. Cette situation correspond à un système élastique faiblement amorti. La
littérature indique que cette configuration favorise les résonnances aiguës. En effet, on conçoit intuitivement qu’un
système « à faible force de rappel » n’opposera qu’une faible résistance à la déformation, aux fréquences de
résonnance ; d’où des résonnances plus aiguës pour les systèmes à « faible force de rappel » qu’à « forte force de
rappel ».
Par ailleurs, 𝜒 = 𝜔 ∑ 𝐴
. On conserve l’hypothèse que, « au voisinage de 𝜔 » et parmi les 𝛾 , seul 𝛾 doit être
considéré comme non-négligeable devant les autres termes11 dans l’expression de 𝜒, donc celle de 𝜒 .
Pour 𝜔 = 𝜔 , on obtient 𝜒 (𝜔 ) = 𝐴
Par ailleurs, pour 𝜔 = 𝜔
, donc 𝜒 (𝜔 ) =
.
, on obtient 𝜒 (𝜔 ) = 𝐴
, donc 𝜒 (𝜔 ) = 𝐴
Toutes simplifications faites, en négligeant 𝛾 devant les autres termes de la fraction, 𝜒 (𝜔 ) =
Par un calcul similaire, on obtient : 𝜒 (𝜔 ) =
𝜒 (𝜔
)=
, 𝜒 (𝜔
)=
.
.
,
et « ainsi de suite »...
On constate que la décroissance de 𝜒 (𝜔) est rapide, dès que 𝜔 « s’éloigne un peu »
(
)
de 𝜔 (𝜒 (𝜔 ) =
). Cette « pente importante » de la courbe de 𝜒 (𝜔)
caractérise une atténuation rapide de l’amortissement hors du « voisinage
immédiat » de 𝜔 , ce qui conforte a posteriori les hypothèses formulées.
Au bilan, l’amortissement (traduit par le facteur 𝛾 ) n’est sensible que dans une
étroite bande autour de chaque fréquence de résonnance. D’où l’allure des
variations de 𝜒′ autour de la pulsation de résonnance 𝜔 (schéma 2).
Par conséquent, il est légitime de considérer que 𝜒 n’est complexe (ℐ𝑚[𝜒] ≠ 0), que dans un voisinage étroit de ces
fréquences de résonnance (Cf. page précédente). Il en est exactement de même pour 𝑛 (car 𝑛 = 1 + 𝜒). Ensuite, si 𝑛
est complexe (ℐ𝑚[𝑛 ] ≠ 0), alors nécessairement 𝑛 est complexe (cf. note n°5 en bas de la page 2).
Si 𝑛 est réel pur (ℐ𝑚[𝑛 ] = 0), alors 𝑛 peut théoriquement être imaginaire pur (𝑅𝑒[𝑛] = 0) ou réel pur (ℐ𝑚[𝑛] = 0)12.
Mais ce dernier cas correspond à une atténuation exponentielle du signal incident, sans aucun facteur de propagation
selon l’axe d’incidence, suivant l’expression : 𝐸 = 𝐸 𝑒
𝑒 ( ) (cf. haut de page 3).
Or, nous cherchons une solution de propagation à travers le MMD. Par conséquent, la solution 𝑛 imaginaire pur n’est
pas recevable. Donc, il faut retenir la solution 𝑛 réel pur. On peut ainsi conclure : 𝑛 réel pur (ℐ𝑚[𝑛 ] = 0) ⇒ 𝑛 réel pur
(ℐ𝑚[𝑛] = 0).
Rappel : cela revient à considérer que la fréquence du signal incident excitera uniquement la résonnance correspondant à la pulsation 𝜔 et aucune
des autres résonnances correspondant aux diverses pulsations 𝜔 .
12 𝑧 = 𝛼 + 𝑗𝛽 ⇒ 𝑧 = (𝛼 − 𝛽 ) + 2𝑗𝛼𝛽 et 𝐼𝑚(𝑧 ) = 0 ⇒ 𝛼 = 0 𝑜𝑢 𝛽 = 0 ⇒ 𝑅𝑒(𝑧) = 0 𝑜𝑢 𝐼𝑚(𝑧) = 0.
11
Page 4
Au bilan, on peut légitimement considérer que « pour toutes les fréquences incidentes qui donnent lieu à une
propagation13, 𝑛 est réel » (ℐ𝑚[𝑛] = 0). Dès lors, 𝑐⁄𝑛 est réel (ℐ𝑚[𝑐⁄𝑛] = 0) et ce scalaire représente (par une
modélisation désormais raisonnablement robuste) la vitesse de propagation du signal incident dans le MMD.
Nous venons donc de démontrer que, pour les fréquences incidentes qui se propagent effectivement dans un MMD
(ie : qui ne sont pas absorbées par ce MMD), il est légitime de considérer que la vitesse de propagation est : 𝑐⁄𝑛. En
toute rigueur, il ne faut jamais oublier qu’il y a toujours une part d’absorption de l’énergie incidente (modélisée par la
partie imaginaire de 𝑛). Cette dernière est négligée hors des fréquences induisant une résonnance dans le MMD. Et dans
les domaines fréquentiels où elle ne peut être négligée, il a peu (ou pas) de propagation… et il n’est alors plus pertinent
de chercher à interpréter le quotient 𝑐⁄𝑛 comme la vitesse de propagation du signal incident dans le MMD...
On distingue donc deux situations : au « voisinage proche » des fréquences de résonnance du MMD et « hors de ce
voisinage ». On parle respectivement de « dispersion anormale » et « dispersion normale ».
En dispersion « normale » (« hors du voisinage proche » des fréquences de résonnance), le MMD permet la propagation
des OEM. Le domaine fréquentiel concerné est appelé « domaine de transparence » du MMD. Cette notion justifie la
dénomination de « milieu diélectrique » qui, contrairement aux milieux conducteurs, permettent la propagation des
OEM (Dié = « à travers » [cf. CARIMALO pg 363]). Dans le domaine de transparence, 𝑛 (assimilé à sa partie réelle)
augmente avec la pulsation (ie : la fréquence), donc quand la longueur d’onde diminue.
En dispersion « anormale » (« au voisinage proche » des fréquences de résonnance), le MMD n’autorise plus la
propagation des OEM (énergie dissipée par résonnance du MMD). Dans ce domaine fréquentiel (donc, hors « domaine
de transparence » du MMD), la partie réelle de 𝑛 (qu’il n’est plus possible d’assimiler à 𝑛 lui-même14) diminue quand la
pulsation (ie : fréquence) augmente, donc quand la longueur d’onde diminue.
Expression globale de l’indice de réfraction en fonction de la longueur d’onde incidente, hors résonnance.
Dans le paragraphe précédent, nous avons exploré qualitativement le comportement de 𝑛 dans un domaine spectral
incluant les fréquences de résonnance du MDD. Nous étudions maintenant comment faire évoluer l’expression de 𝑛
afin d’élaborer des formules opératoires permettant d’évaluer numériquement 𝑛 , avec une bonne approximation.
On appelle 𝜆 la longueur d’onde du signal incident. En réutilisant les expressions trouvées en page 2,
𝜒=∑ 𝐴
et 𝑛 = 1 + 𝜒, il vient (avec 𝛾 = 0 car on se place hors fréquence de résonnance)
𝑛 =1+∑ 𝐴
, soit : 𝑛 = 1 + ∑
puis : 𝑛 = 1 + ∑
(
.
)
Deux cas se présentent pour le quotient dans le « ∑ » : 𝜆 ≪ 𝜆 ou 𝜆 ≫ 𝜆.
Si 𝜆 ≫ 𝜆 (fréquence de résonnance très inférieure à la fréquence incidente), on écrit
sommant
∑
,
≫ (
sur
)
tous
= −𝜆 ∑
les
,
≫
𝜆
(
compatibles
≈(
)
)
∑
,
avec
≫
𝐴
1+
cette
(
+
=(
(
)
∑
,
≫
𝐴 𝜆 + ∑
,
∑
(
,
∑
)
)
on
≫
𝐴
,
≫
obtient :
𝜆 +
𝐴
+
.
𝜆 +
qui
, soit in fine : −𝐴 𝜆 − 𝐴 𝜆 .
𝜆
≫
)
. En
(
approximation,
Dans le développement limité, on « abandonne » le terme de degré le plus élevé, d’où :
peut également s’écrire :
=
)
𝐴 et 𝐴 sont entièrement déterminés par les fréquences de résonnance du MMD et ne dépendent pas de la fréquence
du signal incident. On aboutit donc à une simplification « saisissante », mais qui donne un très bon accord avec la
pratique comme on le verra plus loin.
Si 𝜆 ≪ 𝜆 (fréquence de résonnance très supérieure à la fréquence incidente), on écrit
En procédant comme ci-dessus : ∑
,
≪ (
)
=∑
,
≪
(
)
=(
)
∑
,
≪
(
𝐴 𝜆
=
)
.
(
1+
+
)
.
Ie : pour toutes les fréquences qui génèrent une absorption négligeable. Ce sont donc toutes les fréquences incidentes que le MMD propage avec une
absorption négligeable (modélisé par « sans absorption »).
14 Car alors la dissipation d’énergie est prépondérante, caractérisée par ℐ𝑚[𝑛] ≠ 0.
13
Page 5
On conserve cette fois le terme de degré 4 dans le développement limité. Nous obtenons l’expression
(
)
∑
,
≪
(𝐴 𝜆 ) + ∑
,
≪
(𝐴 𝜆 )
+ ∑
,
≪
, soit in fine : 𝐵 +
(𝐴 𝜆 )
+
. À nouveau, on aboutit à
une simplification impressionnante, avec des coefficients entièrement déterminés par les résonnances du MMD et ne
dépendant donc pas de la fréquence du signal incident.
Au bilan, en agrégeant tous ces résultats, on peut écrire pour tout signal incident15 de longueur d’onde 𝜆 (en utilisant
𝑛 = 1 + 𝜒) : 𝑛 = 1 − 𝐴 𝜆 − 𝐴 𝜆 +𝐵 + + , donc 𝑛 = 𝐴 − 𝐵𝜆 − 𝐶𝜆 + + .
Cette expression est connue (avec 𝐶 = 0) comme la « formule de BRIOT ». Elle fournit avec une très bonne précision16
les indices de réfraction dans les MMD présentant des résonnances à la fois dans l’ultraviolet et l’infrarouge.
La formule de BRIOT a été proposée en 1864 par le mathématicien français éponyme, alors en désaccord avec CAUCHY
qui avait proposé 𝑛 = 𝐴 + + . La formule de CAUCHY rend bien compte des indices de réfraction uniquement dans
les MMD ne présentant des résonnances que dans l’ultraviolet (car correspondant à l’hypothèse 𝜆 ≪ 𝜆). Par
conséquent, la formule de BRIOT présente un champ d’application plus étendu que celle de CAUCHY.
Pour une fréquence incidente très basse (donc 𝜆 très grand), on pourrait craindre d’obtenir avec la formule de BRIOT
𝑛 < 0. 𝑛 serait alors imaginaire pur. Or, on a admis le caractère réel de 𝑛 hors du voisinage des fréquences de
résonnance (champ d’application des formules supra). La solution à cet apparent paradoxe réside dans ce qui suit :
pour 𝜆 très grand, on sera typiquement dans la configuration 𝜆 ≪ 𝜆 pour laquelle la forme la plus pertinente de la
formule de BRIOT est 𝑛 = 𝐴 + + , c’est-à-dire la formule de CAUCHY qui garantit 𝑛 > 0, d’où 𝑛 > 0 pour 𝜆 ≪ 𝜆.
Pour une fréquence incidente très haute (donc 𝜆 très petit), on sera typiquement dans la configuration 𝜆 ≫ 𝜆 pour
laquelle la forme la plus pertinente de la formule de BRIOT est 𝑛 = 1 − 𝐵𝜆 − 𝐶𝜆 qui garantit également (avec 𝜆 très
petit) 𝑛 > 0, d’où 𝑛 > 0 pour 𝜆 ≫ 𝜆.
Au bilan, la formule de BRIOT permet de calculer avec une bonne précision les indices de réfraction pour les fréquences
incidentes « de même ordre de grandeur » que les fréquences de résonnance. Il faut être prudent avec les fréquences
incidentes très élevées ou très basses, qui nécessitent un ajustement de la formule de BRIOT, conformément aux
considérations développées supra.
La modélisation adoptée supra garantit 𝑛 > 0. Par ailleurs, 𝐴 > 0 pour tous les 𝑘 (Cf. page 2), d’où 𝐵 > 0.
Et 𝐵 > 0 ⇒ 𝐴 > 1 ⇒ 𝑛 > 1 ⇒ 𝑛 > 1 pour 𝜆 ≪ 𝜆. En revanche, 𝑛 < 1 pour 𝜆 ≫ 𝜆. Or, nous avons interprété 𝑐⁄𝑛
comme la vitesse de propagation du signal incident dans le MMD. Et 0 < 𝑛 < 1 ⟹ 𝑐⁄𝑛 > 𝑐… ce qui n’est pas admissible
pour un phénomène physique, selon les connaissances actuelles…
Mais ces résultats sont issus de l’étude d’une OEM strictement monochromatique (une fréquence unique et
parfaitement déterminée). C’est un modèle totalement théorique, inatteignable en pratique : une OEM strictement
monochromatique ne représente aucune réalité physique. Nous avons adopté en bas de page 1 ce modèle de l’OEM
strictement monochromatique pour simplifier autant que possible l’étude de la réaction d’un MMD à un rayonnement
électromagnétique incident. Cependant, comme indiqué en bas de page 1, tout rayonnement électromagnétique
physique présente une « extension spectrale », c’est-à-dire qu’il résulte de la superposition17 de plusieurs OEM
monochromatiques.
Les paragraphes suivants, tout en s’appuyant sur le concept d’indice de réfraction modélisé ci-dessus, introduisent de
nouvelles notions dépassant le cadre excessivement simplificateur de l’OEM monochromatique et permettant
d’appréhender correctement la réaction d’un MMD à un rayonnement électromagnétique incident « physique ».
Relation de dispersion, vitesse de phase et vitesse de groupe.
Considérons un rayonnement électromagnétique quelconque. De nature périodique, il peut, selon la théorie de FOURRIER, être décomposé en « signaux périodiques élémentaires » qui sont chacun individuellement la traduction mathématique d’une OEM monochromatique18.
On mesure ici la puissance de la théorie de FOURRIER : elle permet de passer d’un modèle qui n’a aucune réalité physique, les OEM monochromatiques, à une réalité physique, à savoir un rayonnement électromagnétique quelconque.
Ce dernier peut s’écrire sous la forme : 𝐸(𝑡, 𝑥) = 𝜑(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) en généralisant l’écriture adoptée en haut de page 1.
La théorie de Fourrier permet d’écrire : 𝐸(𝑡, 𝑥) = ∫
𝑘=
=
=
=
𝐸 (𝜔) 𝑒
(
)
𝑑𝜔.
où 𝑣 est la vitesse de propagation du signal périodique dans le milieu considéré.
Voir toutefois, page suivante, une précision relative à l’étendue spectrale sur laquelle ces résultats peuvent être utilisés avec pertinence.
Précision de l’ordre de la 5ème décimale selon les mesures et les calculs effectués.
17 Cette superposition physique se traduisant par une addition mathématique.
18 Cf. bas de page 1.
15
16
Page 6
Dans le vide, toutes les OEM se propagent à la vitesse 𝑐 de la lumière. Dans le vide, la décomposition de FOURRIER d’un
rayonnement électromagnétique s’écrit donc : 𝐸(𝑡, 𝑥) = ∫ 𝐸 (𝜔) 𝑒
𝑑𝜔. Toutes les composantes élémentaires
du signal électromagnétique (les OEM) se propageant à la vitesse 𝑐 , il n’y a pas de « déformation » dudit signal. Toutes
les OEM « constitutives » demeurent en phase.
En revanche, dans un MMD, chaque OEM suscite une réaction différente du milieu, générant un 𝑛 spécifique et se
( )
propageant de facto à une vitesse 𝑐⁄𝑛 qui lui est propre. Il en résulte l’expression 𝐸(𝑡, 𝑥) = ∫ 𝐸 (𝜔) 𝑒
𝑑𝜔
qui induit une « déformation » du signal : toutes les OEM sont maintenant (plus ou moins) déphasées. Le signal incident
perdant sa cohérence spatio-temporelle19, il en découle une « dispersion » de l’énergie portée par le signal
électromagnétique incident. On peut l’exprimer « avec les mains » : contrairement au vide où toutes les « OEM
constitutives » sont synchronisées et superposent en un signal de même phase que le signal incident, un MMD
« décale » (plus ou moins) les « OEM constitutives », de telle sorte que le signal incident se transforme en un signal
« étalé » et d’architecture modifiée (une « porteuse » dans une « enveloppe ») selon des modalités que le paragraphe
suivant va permettre de décrire, en généralisant les résultats de la page 1.
( )
En combinant 𝑘 = et 𝑣 = , on obtient 𝑘(𝜔) =
, connue comme « relation de dispersion ». Elle est spécifique à
chaque MMD puisque chaque milieu réagit de manière spécifique au rayonnement incident, générant une « fonction »
𝑛(𝜔) qui lui est propre.
Considérons un rayonnement électromagnétique centré sur une fréquence 𝜔 et de faible extension spectrale. On se
place donc, mathématiquement, dans un voisinage de 𝜔 Les résultats précédents permettent d’écrire
( ) )
𝐸(𝑡, 𝑥) = ∫ 𝐸 (𝜔) 𝑒 (
𝑑𝜔
et,
compte
tenu
de
𝜔 = 𝜔 + (𝜔 − 𝜔 )
ainsi
que
𝑘(𝜔) = 𝑘(𝜔 ) +
(𝜔 − 𝜔 ), on obtient 𝐸(𝑡, 𝑥) = ∫
𝐸 (𝜔) 𝑒
[
(
)]
(
)
(
)
𝑑𝜔. On pose
𝑘 = 𝑘(𝜔 ).
Dès lors, 𝐸(𝑡, 𝑥) = 𝑒
(
)
(
)
(
)
𝐸 (𝜔) 𝑒
∫
Ω = 𝜔 − 𝜔 , on obtient 𝐸(𝑡, 𝑥) = 𝑒
(
)
𝑑𝜔 et, en opérant le changement de variable
∫
𝐸 (Ω) 𝑒
𝑑Ω qui généralise les résultats de la page 1.
On pose : 𝜑 = 𝜔 𝑡 − 𝑘 𝑥 et on calcule la différentielle totale de cette quantité : 𝑑𝜑 =
« en phase » (donc, ont une phase identique) si 𝑑𝜑 est nulle entre ces deux points.
Il faut donc vérifier : 0 = 𝜔 𝑑𝑡 − 𝑘 𝑑𝑥, ce qui fournit
=
𝑑𝑡 +
𝑑𝑥. Deux points sont
. Cette quantité, homogène à une vitesse20, est la célérité
avec laquelle une même phase se propage entre deux points donnés. Elle est baptisée « vitesse de phase » et symbolisée
par 𝑉 . Cette expression de 𝑉 est valable pour tout 𝜔 . Plus généralement, tout signal dont la phase est 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 admet
pour vitesse de phase 𝑉 = . Dans le cas présent, compte tenu de 𝑘(𝜔) =
( )
, on obtient : 𝑉 =
( )
.
On retrouve une expression du paragraphe précédent, mais 𝑉 n’est pas la vitesse du rayonnement électromagnétique
dans le MMD. Elle n’est que la vitesse de la « porteuse ». Il faut maintenant s’intéresser à la vitesse de « l’enveloppe ».
En appliquant les résultats trouvés pour la « porteuse », la vitesse de « l’enveloppe » est : 𝑉𝑔 = , appelée « vitesse de
groupe ». On peut justifier ainsi cette dénomination : l’enveloppe « regroupe » (avec une « porteuse » à « l’intérieur »)
plusieurs OEM centrées autour d’une fréquence donnée (𝜔 ici) et, selon l’hypothèse formulée précédemment, de faible
extension spectrale. On peut donc considérer que ces OEM forment un « groupe » centré sur 𝜔 .
L’approche énergétique offre également une perspective intéressante : en effet, l’énergie d’un rayonnement
électromagnétique est proportionnelle au carré de la norme de ce signal.
En l’occurrence, l’énergie du rayonnement électromagnétique dans le MMD est donc proportionnelle à :
𝑒
(
)
∫
𝐸 (Ω) 𝑒
𝑑Ω , donc à ∫
𝐸 (Ω) 𝑒
𝑑Ω , car 𝑒
(
)
= 1.
Ainsi, c’est le terme relatif à « l’enveloppe » qui porte l’information utile pour l’énergie, manifestation physique d’une
onde. C’est donc « l’enveloppe » qui porte l’information physique du rayonnement électromagnétique en MMD.
19
Notion qui reste à préciser au stade actuel.
20
Pour mémoire : 𝜔 s’exprime en 𝑟𝑎𝑑. 𝑠
et 𝑘 en 𝑟𝑎𝑑 . 𝑚
, donc le quotient
s’exprime en 𝑟𝑎𝑑 . 𝑚. 𝑠
, ce qui équivaut à 𝑚. 𝑠 .
Page 7
On peut raisonnablement en conclure que cette enveloppe « gouverne » la vitesse de propagation du rayonnement
électromagnétique dans le MMD. Par conséquent, l’information utile pour la propagation d’un tel rayonnement est la
« vitesse de l’enveloppe », c’est-à-dire la vitesse de groupe 𝑉𝑔 et c’est cette grandeur qui sera mesurée par divers
capteurs, ces derniers étant sensibles aux variations locales d’énergie.
On comprend donc que, comme annoncé en page 6, la vitesse de phase 𝑉 ne porte aucune information physique dans la
propagation du rayonnement électromagnétique dans un MMD. L’éventualité 𝑉 > 𝑐 ne peut donc pas violer le principe
issu de la théorie de la relativité, selon lequel 𝑐 est la limite supérieure de la vitesse d’un phénomène physique.
Par ailleurs,
( )
=
( )
⟹
( )
=
> 0 et (en diffusion normale)
( )
=
( )
+
( )
( )
=
( )
+ 1 ⟹ 𝑉𝑔 =
( )
( )
(car
( )
= 𝑉𝜑).
> 0 ⇒ en diffusion normale21 𝑉𝑔 < 𝑉𝜑.
Dans la configuration λ ≪ λ, n > 1 garantit Vφ < c , donc Vg < c, ce qui garantit à son tour que le modèle adopté pour
la propagation du rayonnement électromagnétique dans les MMD respecte la théorie de la relativité pour 𝜆 ≪ 𝜆.
Dans la configuration 𝜆 ≫ 𝜆, [𝑛(𝜔)] = 1 − 𝐵𝜆 − 𝐶𝜆 . On écrit alors de manière équivalente22 [𝑛(𝜔)] = 1 −
et on dérive cette expression. Il vient alors 2𝑛(𝜔)
Par ailleurs, 𝑘(𝜔) =
Donc, 𝑛(𝜔)𝑐
𝑉𝜑𝑉𝑔 =
( )
( )
=
(avec 1 +
⇒ 𝑘(𝜔)𝑐 = 𝑛(𝜔)𝜔 ⇒ 𝑐
+2
+1−
> 1 car
−
[ ( )]
( )
=2
=
+4
( )
, d’où 𝑛(𝜔)𝜔
𝜔 + 𝑛(𝜔) ⇒ 𝑛(𝜔)𝑐
. Compte tenu de
=
( )
et
[ ( )]
( )
=
+2
= 𝑛(𝜔)𝜔
=
( )
,
−
.
( )
+ [𝑛(𝜔)] .
=1+
, soit
> 0) et donc 𝑉𝜑𝑉𝑔 < 𝑐 .
Dans la situation 𝜆 ≫ 𝜆 qui nous intéresse ici, [𝑛(𝜔)] = 1 − 𝐵𝜆 − 𝐶𝜆 , donc [𝑛(𝜔)] < 1 et 𝑛(𝜔) < 1, puis 𝑉𝜑 > 𝑐.
D’où, compte tenu de 𝑉𝜑𝑉𝑔 < 𝑐 , nécessairement : 𝑉𝑔 < 𝑐, ce qui garantit que le modèle adopté pour la propagation du
rayonnement électromagnétique dans les MMD respecte la théorie de la relativité pour 𝜆 ≫ 𝜆.
Au bilan de ce paragraphe, nous avons démontré qu’en « dispersion normale »23 :
- le modèle adopté pour la propagation des OEM monochromatiques en MMD permet d’élaborer un autre modèle
(superposition d’OEM monochromatiques) pour décrire la propagation du rayonnement électromagnétique en MMD ;
- un « groupe d’OEM étroitement centré » sur une fréquence donnée progresse sous la forme d’une « porteuse »
contenue dans une « enveloppe » ;
- la vitesse de propagation de la « porteuse », nommée « vitesse de phase » (𝑉 = ( )), peut dépasser 𝑐, mais sans
problème de cohérence du modèle avec la théorie de la relativité car elle ne porte aucune information physique ;
- c’est « l’enveloppe » qui porte l’information physique, à savoir l’énergie. C’est donc sa vitesse, nommé « vitesse de
groupe » (𝑉𝑔 = ) qui est l’information utile pour la propagation du rayonnement électromagnétique dans le MMD.
C’est elle qui est mesurée par les capteurs matériels destinés à détecter la propagation du rayonnement
électromagnétique dans un MMD ;
- 𝑉𝑔 < 𝑉𝜑 permet de démontrer que 𝑉𝑔 < 𝑐.
Nous disposons donc a priori d’un bon modèle pour la propagation du rayonnement électromagnétique en MMD.
Le schéma suivant (pour un MMD ne présentant que deux fréquences de résonnance à des fins des simplification)
fournit une vue d’ensemble de l’évolution de l’indice de réfraction 𝑛 « le long » du spectre électromagnétique :
En mode de « dispersion normale » qui est, en pratique, le seul utile pour étudier la propagation du rayonnement
électromagnétique dans les MMD (sinon, ce rayonnement est dispersé), l’indice de réfraction est donc un réel et
augmente avec la fréquence.
Pour mémoire, cette inégalité n’a pas d’intérêt en dispersion anormale car, selon la modélisation adoptée supra, il a peu ou pas de propagation du
rayonnement électromagnétique compte tenu du phénomène d’absorption qui prend une part prépondérante.
22 Grâce à : 𝜆 = 𝑐𝑇 =
.
23 Donc, hors des fréquences de résonnance d’un MMD qui induisent une « dispersion anormale ».
21
Page 8
Diffraction de la lumière.
Les résultats du paragraphe précédent portent sur un « groupe d’OEM » centré sur une fréquence donnée et présentant
une faible extension spectrale.
La lumière présente une extension spectrale infime à l’échelle de l’ensemble du spectre électromagnétique comme
l’illustre le schéma ci-dessous.
Pour autant, cette faible extension spectrale ne permet pas de
considérer la lumière (le « spectre visible ») comme un seul et
unique « groupe d’OEM ».
Pour s’en convaincre, il suffit d’observer que la lumière est
décomposée à travers un prisme parfaitement transparent (donc
« non-coloré »24). On observe en sortie, un ensemble de
rayonnements colorés distincts, globalement centrés chacun sur
une fréquence correspondant à une couleur de l’arc en ciel. Le
schéma ci-contre rappelle le résultat de cette expérience, dite
« de Newton » car c’est l’expérience historique qui lui a permis d’appréhender la nature « composite » de la lumière.
Cette observation peut s’interpréter ainsi : le verre usuel parfaitement transparent présente des résonnances dans
l’ultraviolet et l’infrarouge. Entre ces résonnances, le verre réalise une « dispersion normale » du rayonnement
électromagnétique incident (ici : la lumière). Donc, l’indice de réfraction augmente avec la fréquence. Par conséquent,
les « groupes d’OEM » de fréquences croissantes sont de plus en plus déviées (cf. loi de SNELL-DESCARTES
𝑛 sin 𝑖 = 𝑛 sin 𝑖 à la traversée de deux milieux d’indices de réfraction différents25). C’est bien ce qui est observé à
l’intérieur du prisme. Pour mémoire, l’air ambiant décompose ensuite à son tour la lumière qui émerge du prisme. L’air
ambiant présentant un indice de réfraction inférieur à celui du verre ordinaire, les rayons qui émergent du prisme
doivent se rapprocher de la normale à la dernière face traversée, ce qui n’apparaît malheureusement pas de manière
évidente sur le schéma.
Effets de l’atmosphère sur le rayonnement électromagnétique.
Pour terminer, le schéma ci-dessous illustre la perméabilité variable
de l’atmosphère au spectre électromagnétique.
Nous constatons que l’atmosphère filtre davantage les hautes que
les basses fréquences. Ce filtre est très efficace dans le domaine des
fréquences supérieures ou égales à celles de l’ultraviolet.
L’infrarouge lointain est également filtré. Hormis pour le domaine
des rayons X et de l’ultraviolet, ce filtrage s’opère essentiellement
dans les couches basses de l’atmosphère, qui sont plus denses qu’en
haute atmosphère.
Un verre coloré « absorbe » une partie du rayonnement électromagnétique incident par résonnance. La couleur du verre est complémentaire de la
longueur d’onde absorbée (voire littérature idoine).
25 Voir littérature idoine.
24
Page 9