Analyse mathématique et numérique du modèle comportemental d'une plaque en fondation

République du Sénégal
Un peuple - Un but - Une foi
Ministère de l’Enseignement Supérieur,
de la Recherche et de l’Innovation
UNIVERSITÉ IBA DER THIAM DE THIÈS
Unité de Formation et de Recherche
Sciences Et Technologie
Département de Mathématiques
MÉMOIRE DE MASTER
Pour obtenir le diplôme de Master
Mention : Mathématiques
Option :Analyse numérique
Présenté par :
Malick PANE
SUJET :
Analyse mathématique et numérique du modèle
comportemental d’une plaque en fondation
Sous la direction du Professeur Ibrahima MBAYE et du Docteur Ousmane SEYDI
Soutenu le : 14 juin 2021
Devant le jury composé de :
Pr. Demba Bocar BA, Professeur assimilé, Président, UIDT
Pr. El Samba DIOP, Professeur assimilé, Examinateur, UIDT
Dr. Mamadou Lamine DIAGNE, Maître de conférences, Examinateur, UIDT
Dr. Ousmane SEYDI, Maître de conférences, Co-encadreur, EPT
Pr. Ibrahima MBAYE, Professeur assimilé, Encadreur, UIDT
Année académique : 2019-2020
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Remerciements
Mes remerciements sont adressés, d’abord à ALLAH qui nous a assisté tout au long
de notre vie et qui a permis la réalisation de ce modeste mémoire. Ensuite, je remercie
mes encadreurs de mémoire : Professeur Ibrahima MBAYE Directeur de l’UFR SET et
Docteur Ousmane SEYDI Enseignant-Chercheur à l’école polytechnique de Thiès, qui
m’ont dirigé tout au long du travail. Sans leurs aides, leurs conseils et leur soutient, ce
mémoire n’aurait jamais pu aboutir. Je tiens aussi à remercier l’ensemble des professeurs
de l’UFR SET qui ont participé à ma formation universitaire principalement : Professeur
Demba Bocar BA, Professeur El hadji Samba DIOP, Docteur Papa DIOP, Docteur
Mamadou Lamine DIAGNE et Docteur Mamadou DIOP. Mes remerciements vont aussi
ma famille mes amis et l’ensemble des personnes qui m’ont soutenu de prés comme de
loin durant mes études.
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Table des matières
1 Rappels mathématiques 7
1.1 Espaces vectoriels ............................... 7
1.2 Normes .................................... 7
1.3 Espace de Banach .............................. 8
1.4 Espace de Hilbert ............................... 8
1.4.1 Produit scalaire et espace pré-hilbertien .............. 8
1.4.2 Norme hilbertienne ......................... 9
1.4.3 Théorème de Lax Milgram ..................... 9
1.4.4 Quelques inégalités .......................... 10
1.5 Distributions ................................. 11
1.5.1 L’espace des fonctions tests D(Ω) .................. 11
1.5.2 L’espace D0(Ω) ............................ 11
1.5.3 Dérivabilité au sens des distributions ............... 12
1.5.4 Convergence des distributions .................... 13
1.5.5 Support d’une distribution ..................... 13
1.5.6 Dérivation et intégration sous le crochet .............. 14
1.5.7 Théorème de Fubini pour les distribution ............. 15
1.6 Espaces de Sobolev .............................. 16
1.6.1 Régularité du bord .......................... 16
1.6.2 Propriétés .............................. 17
1.6.3 Formule de Green .......................... 19
1.6.4 Inégalité de Poincaré-Friedrichs ................... 20
1.6.5 Application de la formule de Green ................. 21
1.7 Espace fonctionnel de fonction ....................... 21
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TABLE DES MATIÈRES
2 Présentation générale du modèle 23
2.1 Comportement du sol ............................ 23
2.2 Mode de déformation φ(z)dans le sol ................... 28
3 Étude mathématique des deux problèmes 29
3.1 Étude du problème stationnaire ....................... 29
3.1.1 Formulation variationnelle du problème stationnaire ....... 30
3.1.2 Existence et unicité de la solution faible .............. 31
3.2 Étude du problème d’évolution ....................... 33
3.2.1 Résolution du problème spectral associé .............. 34
3.2.2 Formulation variationnelle du problème d’évolution ........ 34
3.2.3 Forme explicite de la solution du problème variationnel . . . . . 36
4 Approximation numérique, résultats et discussions 39
4.1 Approximation du problème stationnaire .................. 39
4.1.1 Méthode des éléments finis ..................... 39
4.1.2 Estimation d’erreur ......................... 42
4.2 Approximation du problème d’évolution .................. 43
4.2.1 Semi discrétisation en espace par méthode des éléments finis . . 43
4.2.2 Semi discrétisation en temps par la méthode des différences finis 44
4.3 Résultats numériques ............................. 45
4.3.1 Problème stationnaire ........................ 45
4.3.2 Problème d’évolution ......................... 50
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Introduction
L’importance de comprendre l’interaction entre une structure et le sol sur lequel elle
repose a été reconnue il y a longtemps. Alors que les pionniers de l’interaction sol-
structure tel que Tschebotarioff [11] disposait de peu ou pas d’outils informatiques,
ils ont identifié et développé les bases de l’analyse moderne d’interaction sol-structure.
Elle est maintenant largement reconnue comme un élément clé de la conception d’une
variété de structures, y compris les tours hautes, les grands bâtiments, les tunnels, les
barrages, les ponts et d’autres structures [3]. Des analyses de l’interaction sol-structure
correctement menées fournissent des informations sur la performance des structures qui
sont essentielles pour une conception sûre et économique. Ils donnent aussi à l’ingénieur,
des outils et la confiance nécessaires pour pousser les structures bien au-delà de ce qui
été construit auparavant.
En particulier, les dalles de construction en béton, soutenues directement par le sol, sont
des systèmes de construction très courants. Ils sont utilisés dans plusieurs structures et
dans certaines d’entre elles, ils doivent supporter des charges trop lourdes, comme dans
les bibliothèques, les entrepôts etc. . . . Cependant, dans toutes ces structures, il est très
important de pouvoir calculer les déplacements des plaques et les contraintes qui en
résultent avec un degré de précision acceptable.
Par contre, la nature intégrale de l’action des fondations et du sol est encore compliquée
par la complexité du milieu du sol lui-même. Le sol se comporte de manière non linéaire,
tandis que les propriétés des matériaux de construction sont bien connues de sorte que
la rigidité de la structure peut être facilement déterminée[12].
En pratique, plusieurs méthodes numériques sont utilisées pour la résolution des modèles
sol-structure. La méthode la plus utilisée est la méthode des éléments finis puisqu’elle
permet de définir le comportement de tous les éléments composants le problème (sol,
structure).
L’objectif de ce manuscrit est de faire l’analyse mathématique et numérique du modèle
comportemental d’une plaque encastrée sur une fondation élastique qui fournira au
concepteur des valeurs réalistes à utiliser dans la conception de la plaque.
Notre travail comporte quatre chapitres :
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