Analyse mathématique et numérique du modèle comportemental d'une plaque en fondation

République du Sénégal
Un peuple - Un but - Une foi
Ministère de l’Enseignement Supérieur,
de la Recherche et de l’Innovation
UNIVERSITÉ IBA DER THIAM DE THIÈS
Unité de Formation et de Recherche
Sciences Et Technologie
Département de Mathématiques
MÉMOIRE DE MASTER
Pour obtenir le diplôme de Master
Mention : Mathématiques
Option : Analyse numérique
Présenté par :
Malick PANE
SUJET :
Analyse mathématique et numérique du modèle
comportemental d’une plaque en fondation
Sous la direction du Professeur Ibrahima MBAYE et du Docteur Ousmane SEYDI
Soutenu le : 14 juin 2021
Devant le jury composé de :
Pr. Demba Bocar BA, Professeur assimilé, Président, UIDT
Pr. El Samba DIOP, Professeur assimilé, Examinateur, UIDT
Dr. Mamadou Lamine DIAGNE, Maître de conférences, Examinateur, UIDT
Dr. Ousmane SEYDI, Maître de conférences, Co-encadreur, EPT
Pr. Ibrahima MBAYE, Professeur assimilé, Encadreur, UIDT
Année académique : 2019-2020
1
Remerciements
Mes remerciements sont adressés, d’abord à ALLAH qui nous a assisté tout au long
de notre vie et qui a permis la réalisation de ce modeste mémoire. Ensuite, je remercie
mes encadreurs de mémoire : Professeur Ibrahima MBAYE Directeur de l’UFR SET et
Docteur Ousmane SEYDI Enseignant-Chercheur à l’école polytechnique de Thiès, qui
m’ont dirigé tout au long du travail. Sans leurs aides, leurs conseils et leur soutient, ce
mémoire n’aurait jamais pu aboutir. Je tiens aussi à remercier l’ensemble des professeurs
de l’UFR SET qui ont participé à ma formation universitaire principalement : Professeur
Demba Bocar BA, Professeur El hadji Samba DIOP, Docteur Papa DIOP, Docteur
Mamadou Lamine DIAGNE et Docteur Mamadou DIOP. Mes remerciements vont aussi
ma famille mes amis et l’ensemble des personnes qui m’ont soutenu de prés comme de
loin durant mes études.
2
Table des matières
1 Rappels mathématiques
7
1.1
Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4.1
Produit scalaire et espace pré-hilbertien . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4.2
Norme hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5
1.6
1.7
1.4.3
Théorème de Lax Milgram
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.4
Quelques inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.5.1
L’espace des fonctions tests D(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.5.2
L’espace D0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.5.3
Dérivabilité au sens des distributions
. . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5.4
Convergence des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5.5
Support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5.6
Dérivation et intégration sous le crochet . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5.7
Théorème de Fubini pour les distribution . . . . . . . . . . . . .
15
Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.6.1
Régularité du bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.6.2
Propriétés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6.3
Formule de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.6.4
Inégalité de Poincaré-Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.6.5
Application de la formule de Green . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Espace fonctionnel de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3
TABLE DES MATIÈRES
2
Présentation générale du modèle
23
2.1
Comportement du sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2
Mode de déformation φ(z) dans le sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3 Étude mathématique des deux problèmes
3.1
3.2
Étude du problème stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.1.1
Formulation variationnelle du problème stationnaire . . . . . . .
30
3.1.2
Existence et unicité de la solution faible . . . . . . . . . . . . . .
31
Étude du problème d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.2.1
Résolution du problème spectral associé . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2.2
Formulation variationnelle du problème d’évolution . . . . . . . .
34
3.2.3
Forme explicite de la solution du problème variationnel . . . . .
36
4 Approximation numérique, résultats et discussions
4.1
4.3
39
Approximation du problème stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.1.1
39
4.1.2
4.2
29
Méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estimation d’erreur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Approximation du problème d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.2.1
Semi discrétisation en espace par méthode des éléments finis . .
43
4.2.2
Semi discrétisation en temps par la méthode des différences finis
44
Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.3.1
Problème stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.3.2
Problème d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4
Introduction
L’importance de comprendre l’interaction entre une structure et le sol sur lequel elle
repose a été reconnue il y a longtemps. Alors que les pionniers de l’interaction solstructure tel que Tschebotarioff [11] disposait de peu ou pas d’outils informatiques,
ils ont identifié et développé les bases de l’analyse moderne d’interaction sol-structure.
Elle est maintenant largement reconnue comme un élément clé de la conception d’une
variété de structures, y compris les tours hautes, les grands bâtiments, les tunnels, les
barrages, les ponts et d’autres structures [3]. Des analyses de l’interaction sol-structure
correctement menées fournissent des informations sur la performance des structures qui
sont essentielles pour une conception sûre et économique. Ils donnent aussi à l’ingénieur,
des outils et la confiance nécessaires pour pousser les structures bien au-delà de ce qui
été construit auparavant.
En particulier, les dalles de construction en béton, soutenues directement par le sol, sont
des systèmes de construction très courants. Ils sont utilisés dans plusieurs structures et
dans certaines d’entre elles, ils doivent supporter des charges trop lourdes, comme dans
les bibliothèques, les entrepôts etc. . . . Cependant, dans toutes ces structures, il est très
important de pouvoir calculer les déplacements des plaques et les contraintes qui en
résultent avec un degré de précision acceptable.
Par contre, la nature intégrale de l’action des fondations et du sol est encore compliquée
par la complexité du milieu du sol lui-même. Le sol se comporte de manière non linéaire,
tandis que les propriétés des matériaux de construction sont bien connues de sorte que
la rigidité de la structure peut être facilement déterminée[12].
En pratique, plusieurs méthodes numériques sont utilisées pour la résolution des modèles
sol-structure. La méthode la plus utilisée est la méthode des éléments finis puisqu’elle
permet de définir le comportement de tous les éléments composants le problème (sol,
structure).
L’objectif de ce manuscrit est de faire l’analyse mathématique et numérique du modèle
comportemental d’une plaque encastrée sur une fondation élastique qui fournira au
concepteur des valeurs réalistes à utiliser dans la conception de la plaque.
Notre travail comporte quatre chapitres :
5
TABLE DES MATIÈRES
- Dans le chapitre 1, nous rappelons quelques outils mathématiques qui interviendront
dans la résolution de notre problème.
- Le chapitre 2 est dédié à la présentation générale du problème et à la description du
modèle.
- Dans le chapitre 3, nous faisons l’analyse mathématique du modèle.
- Enfin dans le chapitre 4, nous présentons des résultats numériques et nous donnons
des discussions.
6
Chapitre 1
Rappels mathématiques
1.1
Espaces vectoriels
Définition 1.1.1. Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni :
– d’une loi de composition interne "+" qui vérifie les propriétés suivantes :
1) (Commutativité) pour tous u, v ∈ E, u + v ∈ E et u + v = v + u,
2) (Associativité) u + (v + w) = (u + v) + w, pour tous u, v, w ∈ E,
3) Il existe un élément neutre 0E ∈ E telque u + 0E = u, pour tout u ∈ E,
4) Tout u ∈ E admet un symétrique v telque u + v = 0E .
Cet élément v est noté -u.
– d’une loi de composition externe "×" qui vérifie les propriétés suivantes :
1) (Commutativité) pour tous u, v ∈ E, u × v ∈ E et u × v = v × u,
2) (Associativité) u × (v × w) = (u × v) × w, pour tous u, v, w ∈ E,
3) Pour tous λ ∈ K, et u ∈ E : λ × u ∈ E,
4) 1E × u = u (pour tout u ∈ E),
5) λ × (µ × u) = (λ × µ) × u pour tous λ, µ ∈ K, u ∈ E,
6) λ × (u + v) = λ × u + λ × v pour tous λ ∈ K, et u, v ∈ E,
7) (λ + µ) × u = λ × u + µ × u pour tous µ, λ ∈ K, u ∈ E.
1.2
Normes
Définition 1.2.1. Soit E un e.v (espace vectoriel) sur K.Une application k.k : E → E
est appelée norme si elle vérifie les propriétés suivantes :
1) kxk = 0 ⇒ x = 0E ,
2) kλxk = |λ|kxk ∀ λ ∈ K, ∀ x ∈ E,
7
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
3) kx + yk ≤ kxk + kyk.
Exemple 1.2.2.
P
1) kxk = ni=1 |xi | est une norme sur E dans Rn ,
2) kxk∞ = sup |xi |.
1≤i≤n
Définition 1.2.3. On appelle espace vectoriel normé (e.v.n) le couple (E, k.kE ) ou E
est un espace vectoriel et k.kE une norme.
1.3
Espace de Banach
Définition 1.3.1. Un espace de Banach est un e.v.n complet.
Exemple 1.3.2. Soient E = C([0, 1], R) et kf k∞ = supx∈[0,1] |f (x)|, (E, k.k∞ ) est un
espace de Banach.
1.4
1.4.1
Espace de Hilbert
Produit scalaire et espace pré-hilbertien
Dans la suite E désigne un espace vectoriel sur le corps des complexes C, ne pas
confondre le couple (x, y) de E × E avec le produit scalaire hx, yi, la barre désigne
la conjugaison complexe (ā est le conjugué de a).
Définition 1.4.1. Une application h., .i : E × E → R définit un produit scalaire sur
l’espace vectoriel E si elle vérifie les axiomes suivants :
i) ∀x, y ∈ E, hx, yi = hx, yi,
ii) ∀λ ∈ C, ∀x, y ∈ E : hx, λyi = λ hx, yi,
iii) ∀x, y, z ∈ E : hx, y + zi = hx, yi + hx, zi,
iv) ∀x ∈ E : hx, xi > 0,
v) hx, xi = 0 =⇒ x = 0
Définition 1.4.2. Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire est appelé espace préhilbertien.
8
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
1.4.2
Norme hilbertienne
Proposition 1.4.3. Soit E un espace pré-hilbertien par rapport à un produit scalaire
h., .i. L’application
k.kH : E × E → R+
p
x
7→ kxkH = hx, xi
définit une norme sur E.
p
Définition 1.4.4. La norme définie par x 7→ kxkH = hx, xi est appelée norme hilbertienne. On utilise souvent la notation kxkH , pour rappeler qu’il s’agit de la norme
hilbertienne.
Définition 1.4.5. Un espace de Hilbert est un espace pré-hilbertien complet.
Exemple 1.4.6. L’espace euclidien à N dimension RN est un espace de Hilbert.
Le produit scalaire hx, yi des vecteurs x = (x1 , x2 , ...., xN ) ∈ RN et y = (y1 , y2 , ...., yN ) ∈
RN est définit par :
hx, yi =
N
X
xk yk
(1.4.1)
k=1
La norme k kH du vecteur x = (x1 , x2 , ...., xN ) ∈ RN est définit par :
v
uN
uX
kxkH = t
xk
(1.4.2)
k=1
1.4.3
Théorème de Lax Milgram
Définition 1.4.7. Soit V un espace de Hilbert réel de norme k.kV :
– Une forme linéaire b est continue sur V si et seulement s’il existe un C ≥ 0 tel que
|b(v)| ≤ CkvkV ,
∀v ∈ V.
– Une forme bilinéaire a est continue sur V × V si et seulement s’il existe M > 0, tel
que
|a(u, v)| ≤ M kukV kvkV ,
∀u, v ∈ V.
– Une forme bilinéaire a est coercive (ou elliptique), c’est-à-dire qu’il existe ν > 0, tel
que
|a(v, v)| ≥ νkvk2V ,
∀v ∈ V.
9
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
Théorème 1.4.8. Soit V un espace de hilbert réel, a une forme bilinéaire continue et
coercive sur V × V , b une forme linéaire continue sur V . Alors il existe un unique u ∈ V
solution de
a(u, v) = b(v) pour tout v ∈ V.
(1.4.3)
De plus cette solution dépend continuement de la forme linéaire b.
Preuve. [1]
1.4.4
Quelques inégalités
Les espaces de Lebesgue Lp , 1 ≤ p ≤ +∞
Définition 1.4.9. Soit Ω un ouvert de Rn muni de la mesure de Lebesgue. On définit
p
Z
L (Ω) = f mesurable telle que
|f (x)| dx < ∞ ,
kf kLp (Ω) =
(1.4.4)
Ω
muni de la norme
Z
p
p
|f (x)| dx
1
p
.
(1.4.5)
Ω
Théorème 1.4.10. Lp (Ω) munie de la norme k.kLp (Ω) est un espace de Banach.
Preuve. [2]
Remarque 1.4.11. Dans le cas particulier p = 2 on a l’espace L2 (Ω) qui est un espace
de Hilbert par le produit scalaire défini par :
hf, giL2 (Ω) =
Z
f (x)g(x) dx.
(1.4.6)
Ω
On définit
L∞ (Ω) = {f mesurable, ∃C > 0, |f (x)| ≤ C; p.p x ∈ Ω}
(1.4.7)
et on note kf kL∞ (Ω) la borne inférieure de toutes ces constantes C. On définit aussi
L1loc (Ω)
= f mesurable ; pour tout compact K ⊂ Ω,
Z
|f (x)| dx < ∞
(1.4.8)
K
Inégalité de Minkowski [2]
Soient f ∈ Lp (Ω) et g ∈ Lp (Ω) , on a alors f + g ∈ Lp (Ω) et
kf + gkLp (Ω) ≤ kf kLp (Ω) + kgkLp (Ω)
10
(1.4.9)
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
Preuve. [2]
Soient f ∈ Lp (Ω) et g ∈ Lq (Ω), on a alors f g ∈ L1 (Ω) et
Inégalité de Hölder [2]
kf gkL1 (Ω) ≤ kf kLp (Ω) kgkLq (Ω)
(1.4.10)
pour tout (p, q) tel que 1 ≤ p, q ≤ ∞ et p1 + 1q = 1.
Inégalité de Cauchy Schwartz [2]
Preuve. [2]
Soient f ∈ L2 (Ω) et g ∈ L2 (Ω), on a alors f g ∈ L1 (Ω) et
kf gkL1 (Ω) ≤ kf kL2 (Ω) kgkL2 (Ω) .
(1.4.11)
Preuve. [2]
1.5
Distributions
Considérons Ω un ouvert de Rn muni de la mesure de Lebesgue.
1.5.1
L’espace des fonctions tests D(Ω)
Définition 1.5.1. [9] L’espace D(Ω) désigne l’espace vectoriel des fonctions C ∞ sur
Ω à support compact inclus dans Ω. On munit D(Ω) de la topologie suivante : soit une
suite (ϕn )n∈N d’élément de D(Ω). On dit que ϕn converge vers 0 dans D(Ω) (en notation ϕn → 0) si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1) il existe un compact K ⊂ Ω tel que supp(ϕn ) ⊂ K, pour tout n ∈ N ,
2) pour tout multi-indice α ∈ Nn , la suite Dα ϕn converge uniformément vers 0 sur K,
i.e sup |Dα ϕn (x)| → 0, lorsque n → ∞.
(1.5.1)
x∈Ω
Remarque 1.5.2.
i) si ϕ ∈ D(Ω), comme supp(Dα ϕ) ⊂ supp(ϕ), on aura aussi Dα ϕ ∈ D(Ω), quelque
soit α ∈ Nn .
ii) On a ϕn → ϕ dans D(Ω) si et seulement si ϕn − ϕ → 0 dans D(Ω).
1.5.2
L’espace D0 (Ω)
Définition 1.5.3. [9] D0 (Ω) est l’espace dual topologique de D(Ω), c’est-à-dire D0 (Ω)
est l’ensemble des formes linéaires continues sur D(Ω). On dit que T est une distribution
sur Ω (où T ∈ D0 (Ω)) si elle est une forme linéaire sur D(Ω), telle que, si (ϕn )n>0 est
11
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
une suite quelconque d’éléments de D(Ω) qui converge vers 0 (au sens de la convergence
des suites dans D(Ω) Définition 1.1), alors on a
lim hT, ϕn i = 0.
n→∞
(1.5.2)
Lemme 1.5.4. [9] D(Ω) est dense dans L2 (Ω).
Preuve. [9]
Pour tout fonction f ∈ L2 (Ω) on l’associe la distribution Tf définie par :
Tf : D(Ω) → R : ϕ →
Z
f (x)ϕ(x) dx.
(1.5.3)
Ω
Remarque 1.5.5. On sait que l’application f 7→ Tf de L2 (Ω) dans D0 (Ω) est injective.
En effet, soit f une fonction de L2 (Ω) telle que Tf = 0, i.e
Z
f (x)ϕ(x) dx = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω).
(1.5.4)
Ω
En vertu du lemme 1.5.4, on a
Z
Ω
f (x)ϕ(x) dx = 0, ∀ϕ ∈ L2 (Ω),
(1.5.5)
ce qui entraine f = 0L2 (Ω) . Par linéarité, ceci prouve que l’égalité de deux distribution
Tf et Tg implique l’égalité des fonctions f et g au sens de L2 (Ω) partout. On peut donc
identifier f et Tf , ce qui revient à identifier L2 (Ω) à un sous-espace de D(Ω).
1.5.3
Dérivabilité au sens des distributions
Définition 1.5.6. [9] Soit T ∈ D0 (Ω) est dérivable à l’ordre α ∈ Nn si et seulement s’il
existe, K ∈ D(Ω) tel que
hK, ϕi = (−1)|α| hT, Dα ϕi, ∀ϕ ∈ D(Ω),
avec |α| =
(1.5.6)
Pn
i=1 αi .
Dans ce cas on note K = Dα T .
Lemme 1.5.7. [9] Si T ∈ D0 (Ω) et α ∈ Nn , alors Dα T ∈ D0 (Ω).
Preuve. [9]
∂T
Théorème 1.5.8. [9] Soit T ∈ D0 (Ω) vérifiant ∂x
= 0, pour tout i ∈ {1, · · · , n}. Alors
i
T est une constante sur chaque composante connexe de Ω.
12
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
Preuve. [9]
Notons Pm (Rn ) l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à m, de même pour
Ω un ouvert connexe , on pose
Pm (Ω) = {p|Ω : p ∈ Pm (Rn )}.
(1.5.7)
Corollaire 1.5.9. Supposons Ω est un ouvert connexe de Rn et fixons m ∈ N∗ . Soit
T ∈ D0 (Ω) vérifiant
Dα T = 0, ∀|α| = m,
(1.5.8)
alors on a T ∈ Pm−1 (Ω).
Preuve. [9]
1.5.4
Convergence des distributions
Définition 1.5.10. [9] Soit (Tn )n∈N une suite d’éléments de D0 (Ω). On dit que Tn
converge vers 0 dans D0 (Ω), noté Tn → 0 dans D0 (Ω), si et seulement si
hTn , ϕi → 0, ∀ϕ ∈ D(Ω).
(1.5.9)
Une propriété immédiate, est que si Tn → 0 dans D0 (Ω), alors Dα Tn → 0 dans D0 (Ω)
pour tout α ∈ Nn .
Remarque 1.5.11. On dit qu’une suite d’éléments (Tn )n∈N de D0 (Ω) converge vers
T ∈ D0 (Ω), noté Tn → T dans D0 (Ω), si et seulement si Tn − T → 0 dans D0 (Ω). La
limite si elle existe est unique.
1.5.5
Support d’une distribution
Définition 1.5.12. [6] Soit U un ouvert de Rn , soit T ∈ D0 (U ) une distribution, et
soit un ouvert Ω ⊂ U . On dit que T est nulle sur Ω ssi T est nulle sur D(Ω), i.e. ssi
hT, ϕi = 0 pour tout ϕ ∈ D(Ω).
Définition 1.5.13. [6] Soient S, T ∈ D0 (U ) sont dites égales sur Ω ouvert ssi S = T
sur D(Ω), i.e
hT, ϕi = hS, ϕi, ∀ϕ ∈ D(Ω).
(1.5.10)
Notation. Soit Ωmax (T ) l’union de tous les ouverts sur lesquels T est nulle :
Ωmax (T ) =
[
Ω ouvert t.q T est nulle sur Ω.
13
(1.5.11)
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
Corollaire 1.5.14. [6] T est nulle sur Ωmax (T ). Et il n’existe pas d’ouvert Ω strictement
plus grand que Ωmax (T ) tel que est Ω.
Preuve. [6]
Définition 1.5.15. [6] Le support de T , noté supp(T ), est par définition le complémentaire de Ωmax (T ).
Définition 1.5.16. [6] La distribution T ∈ D0 (Ω) est dite à support compact dans Ω
ssi supp(T ) est compact dans Ω, i.e ssi supp(T ) est borné (puisque supp(T ) est toujours
fermé).
Définition 1.5.17. [6] On note ε0 (Ω) l’espace des distributions à support compact.
Proposition 1.5.18. [6] Si f ∈ L1loc (R) alors supp(f )=supp(Tf ) où Tf est la distribution régulière associé à f .
Preuve. [6]
Proposition 1.5.19. [6] ε0 (Ω) est un sous-espace vectoriel de D0 (Ω).
Preuve. [6]
Proposition 1.5.20. [6] Le dual de D(Ω) est l’ensemble ε0 (Ω).
Preuve. [6]
Définition 1.5.21. [6] Si T ∈ D0 (Rn ) et ϕ ∈ D(Ω) sont tels que K =supp(T )∩supp(ϕ)
est compact, on dit que les supports de T et de ϕ sont compatibles.
1.5.6
Dérivation et intégration sous le crochet
Pour ϕ : (x, y) ∈ Rn × Rm 7→ ϕ(x, y), à x fixé on note ϕx (y) = ϕ(x, y) et on s’intéresse
à, pour T ∈ D0 (Rm ) :
θ(x) = hT, ϕx idy
(1.5.12)
dés que, pour x fixé, les supports de T et ϕx sont compatible.
θ(x) est le crochet qui dépend du paramètre x (intégrale qui dépend du paramètre x
lorsque T est une distribution régulière).
Proposition 1.5.22. [6] Soit ϕ ∈ D(Rn+m , R) et soient K1 ⊂ Rn et K2 ⊂ Rm des sousensembles tels que supp(ϕ) ⊂ K1 ∩ K2 . Soit T ∈ D0 (Rm ) et on suppose que supp(T ) ∩ K2
est compact. Alors :
14
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
i) la fonction :
θ : x ∈ Rn 7→ θ(x) = hT, ϕx iy
(1.5.13)
est dans D(Rn ) si K1 est compact.
ii) On peut dériver sous le crochet, pour i = 1, . . . , n :
∂θ
∂
∂ϕ
(x) =
hT, ϕx iy = T,
(x, y)
∂xi
∂xi
∂xi
(1.5.14)
y
∂
i.e on peut dériver sous le signe "somme" :
T ϕ(x, y) dy =
∂xi Rm
iii) On peut intégrer sous le crochet, si K2 est un compact de Rn :
Z
Z
Z
θ(x) dx =
K2
hT, ϕ(x, y)iy dx = T,
K2
Z
T
Rm
∂ϕ
(x, y) dy.
∂xi
Z
ϕ(x, y) dx
K2
(1.5.15)
y
le théorème de Fubini est donc toujours vrai pour les distributions dés que le T et ϕ
sont compatible en y et qu’on intègre sur un compact en x.
Preuve. [6]
1.5.7
Théorème de Fubini pour les distribution
Soit f : Rm → R et g : Rn → R deux fonction numérique.On appelle produit tensoriel
des fonctions f et g noté f ⊗ g la fonction f ⊗ g : Rm+n → R définie par par :
f ⊗ g(x, y) = f (x)g(y).
(1.5.16)
Théorème 1.5.23. (Fubini)[6] Soient S ∈ D0 (Rm ) et T ∈ D0 (Rn ). Pour ϕ ∈ D(Rm+n )
(non a priori à variables séparées), la fonction θ : Rm → R définition en (1.5.12) vérifie
θ ∈ D(Ω), d’où hS, θi a un sens. Idem pour la fonction y 7→ hS, ϕy i. Et on peut inverser
l’ordre des calculs
hS ⊗ T (x, y), ϕ(x, y)ixy = hS(x)hT (y), ϕ(x, y)iy ix = hT (y)hS(x), ϕ(x, y)ix iy
(1.5.17)
Preuve. [6]
Corollaire 1.5.24. [6] Si S ∈ D(Rm ) et T ∈ D(Rn ), alors, avec des notations implicites :
∂k
∂kS
(S
⊗
T
)
=
⊗ T,
∂xki
∂xki
∂k
∂kT
(S
⊗
T
)
=
S
⊗
,
∂yik
∂yik
pour k ∈ N∗ , i ∈ [i, m] et j ∈ [1, n]. Et on note abusivement :
∂k
∂ k S(x)
(S(x)
⊗
T
(y))
=
⊗ T (y),
∂xki
∂xki
idem pour la dérivation en yj .
Preuve. [6]
15
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
1.6
Espaces de Sobolev
Dans la suite de ce travail toutes les dérivées sont au sens des distributions.
Définition 1.6.1. [9] Pour m ∈ N, on pose
Hm (Ω) = {u ∈ L2 (Ω) : Dα u ∈ L2 (Ω), ∀α ∈ Nn : |α| 6 m},
(1.6.1)
munit du produit scalaire
X Z
hu, viHm (Ω) =
Dα u(x)Dα v(x) dx,
|α|6m
et de la norme
1

kukHm (Ω) = 
(1.6.2)
Ω
X Z
|α|6m
Ω
2
α
2
|D u(x)| dx .
(1.6.3)
Théorème 1.6.2. [9] Hm (Ω) est un espace de Hilbert.
Preuve. [9]
Définition 1.6.3. [9] Pour m ∈ N, on désigne par Hm
0 (Ω) la fermeture de D(Ω) dans
m
H (Ω).
1.6.1
Régularité du bord
On considère Ω un ouvert borné de Rn et ∂Ω sa frontière.
Définition 1.6.4. [9] On dit ∂Ω est continu si pour tout x ∈ ∂Ω, il existe un voisinage
V de x dans Rn et un nouveau système de coordonnées cartésiennes {y1 , y2 , · · · , yn } tel
que
1) il existe aj > 0, j = 1, · · · , n, tel que V est un hypercube dans ces nouvelles coordonnées de côtés de longueur 2aj :
V = {(y1 , ..., yn ) : |yj | < aj , ∀j = 1, ..., n},
(1.6.4)
2) il existe une fonction continue ϕ définie sur
0
V = {(y1 , ..., yn−1 ) : |yj | < aj , ∀j = 1, ..., n − 1}
(1.6.5)
à valeur réelles et satisfaisant
an
0
0
, ∀y ∈ V ,
2
0
0
Ω ∩ V = {y = (y , yn ) ∈ V : yn < ϕ(y )},
0
|ϕ(y )| 6
0
0
∂Ω ∩ V = {y = (y , yn ) ∈ V : yn = ϕ(y )}.
16
(1.6.6)
(1.6.7)
(1.6.8)
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
De la même manière, nous dirons que ∂Ω est lipschitzien (respectivement de classe C k,1 ,
k ∈ N, m fois continument différentiable, m ∈ N), lorsque la fonction ϕ de ci-dessus est
lipschitzienne (resp. de classe C k,1 , m fois continument différentiable ).
Définition 1.6.5. [9] Pour p ∈ [1, +∞[ , on dit qu’une fonction f définie sur ∂Ω est
0
dans Lp (∂Ω) si et seulement si pour tout j ∈ {1, · · · , J}, f ◦ Φj ∈ Lp (Vj ) et on pose

kf kLp (∂Ω) = 
J
X
1
p
kf ◦ Φj kp p
j=1
0
L (Vj )
 ,
(1.6.9)
0
avec V défini dans la définition précédente.
Remarque 1.6.6. La propriété d’être dans Lp (∂Ω) ne dépend pas du recouvrement
choisi. Pour deux recouvrements, les normes que l’on obtient sont équivalentes.
1.6.2
Propriétés
Théorème 1.6.7. [9] Si Ω est à bord lipschitzien, alors C ∞ (Ω) est dense dans Hm (Ω).
Preuve. [9]
Définition 1.6.8. [9] Soient deux espaces de Banach X et Y tels que Y ⊂ X. On dit
que Y s’injecte de manière continue dans X (en notation Y ,→ X) si et seulement si
l’opérateur identité
Id : Y → X : y 7→ y
(1.6.10)
est continu. Plus précisément, ∃c ≥ 0 tel que
kukY ≤ kukX ; ∀u ∈ Y.
(1.6.11)
De même, on dit que Y s’injecte de manière compacte dans X (en notation Y ,→c X)si
est seulement si l’opérateur Id est compacte de Y dans X.
Théorème 1.6.9. (Rellich)[9] Si Ω est un ouvert borné à bord continu, alors
Hm (Ω) ,→c Hm−1 (Ω), ∀m ∈ N∗ .
(1.6.12)
Hm (Ω) ,→c L2 (Ω), ∀m ∈ N∗ .
(1.6.13)
Preuve. [9]
En particulier,
17
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
Théorème 1.6.10. (injection de Sobolev)[9] Si Ω ⊂ Rn est un ouvert borné à bord
lipschitzien alors on a les deux injections suivantes
n
n
>− ,
2
p
n
m
∗
H (Ω) ,→ C(Ω), ∀m ∈ N tel que m − > 0.
2
Hm (Ω) ,→ Lp (Ω), ∀m ∈ N∗ tel que m −
(1.6.14)
(1.6.15)
Preuve. [9]
Théorème 1.6.11. (Kondras̃ov) [9] Si Ω est un ouvert borné à bord lipschitzien, alors
on a l’injection
Hm (Ω) ,→c Lp (Ω), ∀m ∈ N∗ tel que m −
n
n
>− .
2
p
(1.6.16)
Preuve. [9]
n
n
n
Remarquons qu’au théorème 1.6.10, les conditions m − > − et m − > 0 sont
2
p
p
optimales.
Théorème 1.6.12. (Théorème des traces)[9] Si Ω est un ouvert à bord lipschitzien,
alors l’application
C ∞ (Ω) → C(∂Ω) : u 7→ u∂Ω ,
(1.6.17)
s’étend en une application continue de H1 (Ω) dans L2 (∂Ω), appelée opérateur de trace
notée γ0 .
Preuve. [9]
Corollaire 1.6.13. [9] Si Ω est un ouvert borné à bord lipschitzien, alors
H10 (Ω) = {u ∈ H1 (Ω) : γ0 u = 0 sur ∂Ω}.
(1.6.18)
Preuve. [9]
Définition 1.6.14. [9] pour u ∈ H2 (Ω), sa dérivée normale sur ∂Ω est définie par
γ0
n
∂u
∂u X
=
η i γ0
,
∂η
∂xi
i=1
(1.6.19)
où ηi désigne la ieme composante de la fonction η ( exprimé dans les coordonnées cartésiennes {x1 , x2 , · · · , xn }) définie presque partout par
η : ∂Ω → Rn : x 7→ η(x).
18
(1.6.20)
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
Remarquons que γ0
γ0
∂u
∈ L2 (∂Ω), puisque grâce à la théorème des traces, tous les
∂η
∂u
∈ L2 (∂Ω) et que |ηi | 6 1. Ceci prouve aussi que l’application
∂xi
γ0
∂
∂u
: H2 (Ω) → L2 (∂Ω) : u 7→ γ0 ,
∂η
∂η
(1.6.21)
est linéaire continue.
Théorème 1.6.15. [9] Si Ω est un ouvert borné à bord lipschitzien, alors
H20 (Ω) = {u ∈ H2 (Ω); γ0 u = γ0
∂u
= 0 sur ∂Ω}.
∂η
(1.6.22)
Preuve. [9]
1.6.3
Formule de Green
Dans cette nous allons parler de l’intégration par parties et définir la notion d’intégrale
sur le bord ∂Ω (intégration de surface ).
Théorème 1.6.16. (Formule de Green)[9] Si Ω est un ouvert borné à bord lipschitzien,
alors pour tout u, v ∈ H1 (Ω), on a
Z Ω
∂u
∂v
v+u
∂xi
∂xi
Z
γ0 uγ0 vηi ds, ∀i = 1, · · · , n.
dx =
(1.6.23)
∂Ω
Preuve. [9]
Corollaire 1.6.17. [9] Si Ω est un ouvert borné à bord lipschitzien, et si u ∈ H2 (Ω) et
v ∈ H1 (Ω), alors
Z
Ω
∆uv dx = −
Z
∇u · ∇v dx +
Z
γ0
∂Ω
Ω
où ∇ est le gradient et ∆ l’opérateur laplacien
∇u = (
∆u =
∂u
∂u T
,··· ,
) ,
∂x1
∂xn
n
X
∂2u
i=1
∂x2i
19
.
∂u
γ0 v ds,
∂η
(1.6.24)
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
Si de plus u et v ∈ H2 (Ω), on a
Z
(∆uv − u∆v) dx =
Z
∂Ω
Ω
∂u
∂v
γ0 γ0 v − γ0 uγ0
∂η
∂η
ds.
(1.6.25)
Preuve. [9]
1.6.4
Inégalité de Poincaré-Friedrichs
Théorème 1.6.18. [9] Soit Ω un ouvert borné connexe à bord lipschitzien, m ∈ N∗ et
V un sous-espace fermé de Hm (Ω) tel que
V ∩ Pm−1 (Ω) = {0},
(1.6.26)
avec Pm−1 défini en 1.5.7.
Alors il existe une constante C > 0 telle que
kukHm (Ω) 6 CkukV , ∀u ∈ V
où
1

kukV = 
(1.6.27)
X Z
|α|=m
Ω
2
α
2
|D u(x)| dx ,
(1.6.28)
est une semi-norme sur Hm (Ω).
Preuve. [9]
Corollaire 1.6.19. [9] Sous les hypothèses du Théorème 1.6.18, la norme k.kHm (Ω) et
la semi-norme k.kV de Hm (Ω) sont équivalentes sur V .
Preuve. [9]
Corollaire 1.6.20. (Inégalité de P oincaré − F riedrichs)[9] Soit Ω un ouvert borné
connexe à bord lipschitzien, alors la semi-norme k.kV et la norme k.kH1 (Ω) sont équivalentes sur H10 (Ω).
Preuve. [9]
Corollaire 1.6.21. [9] Soit Ω un ouvert borné connexe à bord lipschitzien, et soit ∂Ω0
un sous-ensemble mesurable de ∂Ω tel que mes(∂Ω0 ) 6= 0, alors la semi-norme k.kV et
la norme k.kH1 (Ω) sont équivalentes sur V = {u ∈ H1 (Ω) : γ0 u = 0 sur ∂Ω0 }.
20
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
Preuve. [9]
Corollaire 1.6.22. [9] Soit Ω un ouvert borné connexe à bord lipschitzien de R2 , alors
la semi-norme k.kV et la norme k.kH2 (Ω) sont équivalentes sur H20 (Ω).
Preuve. [9]
1.6.5
Application de la formule de Green
Théorème 1.6.23. [9] Soient Ω un ouvert borné à bord lipschitzien et Ω1 , Ω2 deux
sous-ouverts à bords lipschitziens de Ω satisfaisant
Ω = Ω1 ∪ Ω2
(1.6.29)
Ω1 ∩ Ω2 = ∅.
(1.6.30)
et
Supposons ∂Ω = ∂Ω1 ∩ ∂Ω2 6= ∅. Soient v1 ∈ H2 (Ω) et v2 ∈ H2 (Ω) telles que
et
γ0
γ0 v1 = γ0 v2 sur ∂Ω
(1.6.31)
∂v1
∂v2
= γ0
sur ∂Ω,
∂xi
∂xi
(1.6.32)
alors la fonction v définie par
(
v=
v1 sur Ω1
v2 sur Ω2
appartient à H2 (Ω).
Preuve. [9]
1.7
Espace fonctionnel de fonction
Définition 1.7.1. [10] Soient X un espace de Banach défini sur Ω de norme k.kX et
T ∈ [0; +∞]. On note C k ([0, T ]; X) l’espace des fonctions k fois continument dérivables
de [0, T ] dans X. On le muni de la norme
kvkC k ([0,T ];X) =
k
X
sup
m=0
0≤t≤T
21
dm v
(t)
dtm
!
.
X
(1.7.1)
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHÉMATIQUES
Théorème 1.7.2. [10] C k ([0, T ]; X) muni de la norme k.kC k ([0,T ];X) est un espace de
Banach.
Preuve. [10]
Définition 1.7.3. [10] Pour tout p ∈ R avec 1 ≤ p < +∞, on désigne par Lp ([0, T ]; X)
l’espace des fonctions t 7→ kv(t)kX mesurables et p-intégrables. On le muni de la norme
kvkLp ([0,T ];X) =
Z T
0
!1
kv(t)kpX
p
dt
.
(1.7.2)
Théorème 1.7.4. [10] Lp ([0, T ]; X) muni de la norme k.kLp ([0,T ];X) est un espace de
Banach.
Preuve. [10]
Proposition 1.7.5. [10] Si X est un espace de Hilbert de produit scalaire h., .iX alors
L2 ([0, T ]; X) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
hu, viL2 ([0,T ];X) =
Z T
hu(t), v(t)iX dt.
(1.7.3)
0
Preuve. [10]
Proposition 1.7.6. [10] Si u : t 7→ u(t) est dans L2 ([0, T ]; X) et si v ∈ X alors la
fonction t 7→ hu(t), viX est dans L2 ([0, T ]; R).
Preuve. [10]
22
Chapitre 2
Présentation générale du modèle
Les plaques sur fondation élastique représentent des problèmes complexes d’interaction
sol-structure. Le développement des équations pour de tels problèmes et les solutions
associées deviennent un défi des ingénieurs et des mathématiciens. Dans ce chapitre
nous donnons le développement théorique des équations sans les démonstrations qui
ont été développées dans plusieurs documents [4],[11] et [12].
2.1
Comportement du sol
Figure 2.1: Plaque chargée reposant sur une fondation élastique avec une fonction de déformation
φ [12].
Le développement des équations de comportement d’une plaque sur une fondation élastique est effectué suivant les indications de la figure 2.1. Dans le modèle de Winkler, le
23
CHAPITRE 2.
PRÉSENTATION GÉNÉRALE DU MODÈLE
rapport entre la pression externe p et la déflection w de la surface de base est exprimé
par :
p = kw
(2.1.1)
avec k le module de la réaction du sol.
La loi de comportement de la plaque est donnée par [12] :
D∆2 w + kw = q
(2.1.2)
où ∆2 est l’opérateur bilaplacien et D la rigidité en flexion de la plaque donnée par :
D=
Ep e3
12(1 − vp2 )
(2.1.3)
avec
– Ep > 0 : le module d’élasticité de la plaque,
– e > 0 : l’épaisseur de la plaque,
– vp ∈]0, 1[ : le coefficient de Poisson de la plaque,
– q > 0 : la charge uniformément appliquée,
Dans ce modèle de Winkler la deformation de la plaque est indépendant de la deformation du sol en dehors de la région chargée, et implique deux problèmes majeurs. Le
premier est que la deformation de la plaque est une constante lorsque la charge q est
uniformément distribuée. Il n’y a aucun moment de flexion ou force de cisaillement dans
la plaque pendant cette condition de charge, qui est peut réaliste et non conservatrice.
Le deuxième problème est la difficulté relative impliquée dans la détermination de la
valeur du module de réaction de fondation k qui n’est pas unique et dépend des diverses
propriétés de la plaque et du sol ainsi que le chargement [4].
Toutefois le paramètre k a été l’objet d’étude par plusieurs auteurs. Ainsi, le tableau
ci-dessous donne les résultats pour estimer k suivant les travaux de quatre auteurs.
Auteurs
Module de réaction (M N/m3 )
Biot(1937)
0.95Es
B(1 − vs2 )
Vesic(1961)
Meyerhof et Baike(1965)
Selvadurai(1984)
0.65Es
B(1 − vs2 )
Es
B(1 − vs2 )
0.65Es
B(1 − vs2 )
B 4 Es
(1 − vs2 )EI
s
12
!0.108
B 4 Es
EI
Table 2.1: Tableau des relations pour estimer k.
où
24
CHAPITRE 2.
PRÉSENTATION GÉNÉRALE DU MODÈLE
– Es > 0 : le module de la fondation,
– vs ∈]0, 1[: le coefficient de Poisson de la fondation,
– B > 0 : la largeur de la fondation,
– E > 0 : le module de Young de la fondation en béton,
– I > 0 : le moment d’inertie de la section transversale du béton.
Même en utilisant ces valeurs de k trouvées pour les cas spéciaux décrits dans le tableau 2.1, une corrélation exacte avec le modèle de Winkler n’a pas été obtenue pour
les valeurs correspondantes de toutes les variables du modèle. Ainsi, Vesic a décrit cette
absence de corrélation comme une "erreur" dans le modèle de Winkler, qu’il a trouvé
être une fonction du rapport entre la longueur caractéristique et la largeur du faisceau.
En plus de ces facteurs, la valeur de k dépend également de la répartition de la charge,
de la profondeur de la couche de sol et de tout effet de stratification présent dans le
sous-sol [12].
Cependant le modèle de Vlasov et Leontév (où "modèle de Vlasov") prévoyait des
contraintes de cisaillement du sol et a abouti à l’équation de la plaque [12]
D∆2 w − 2T ∆w + kw = q
(2.1.4)
où T est le paramètre de cisaillement.
Cette équation, qui tient compte des interactions de cisaillement au sein de la fondation
et de la structure, a été élaborée à l’aide de principes variationnels. En outre, Vlasov et
Leontév ont introduit un autre paramètre, qu’ils ont identifié comme γ pour caractériser
le profil de déformation verticale dans le sous-sol. Ainsi la véritable portée de l’approche
de Vlasov et Leontév réside dans l’élimination totale de la nécessité de déterminer empiriquement les valeurs du module de réaction k du sous-sol, ou même le paramètre
de cisaillement T , puisque leurs valeurs peuvent être calculées une fois que la valeur
de γ est déterminée. Ce modèle présente l’inconvénient de nécessiter une estimation du
paramètre γ, car aucun mécanisme n’a été mis au point pour calculer la valeur de γ
[12].
Reconnaissant l’importance de γ dans le contrôle de la distribution des contraintes au
sein de la fondation, Vallabhan et Das (1988)([12]) ont développé une procédure itérative à utiliser dans le calcul du paramètre γ pour les poutres sur une fondation élastique.
Ils ont identifié leur modèle comme un modèle Vlasov modifié ou un "modèle à trois
paramètres" parce que la fondation élastique peut être caractérisée par les trois paramètres interdépendants k, T et γ. Tous ces paramètres sont influencés par la répartition
de la charge, ainsi que par les propriétés des matériaux et la géométrie de la structure
et de la fondation. L’équation utilisée pour caractériser le comportement de la poutre
est [12]
25
CHAPITRE 2.
PRÉSENTATION GÉNÉRALE DU MODÈLE
EI
d4 w
d2 w
−
2T
+ kw = q(x).
dx4
dx2
(2.1.5)
L’étude de Vallabhan et Das comprenait des calculs de déplacement, en utilisant la
méthode des différences finies pour trois cas de charge impliquant des poutres sur une
fondation élastique. En général, cette approche de calcul a donné des résultats qui
étaient en excellent accord avec ceux déterminés pour le même système structurel et le
même cas de charge en utilisant la méthode des éléments finis[12].
Cependant une conception utilisant cette analyse serait prudente, puisque les valeurs
maximales de moment de flexion et de cisaillement obtenues par la méthode des différences finies étaient légèrement supérieures à celles obtenues par la méthode des éléments
finis. Vallabhan et Das ont conclu que si les charges sont réparties assez uniformément
sur la poutre, les résultats du modèle de Vlasov sont suffisamment précis pour des
conceptions pratiques[12].
En fait, le problème d’interaction sol-structure posé ici est un problème tridimensionnel.
Les termes (u, v) représentent les déplacement latéraux dans les directions respectives
x et y et sont négligeables par rapport aux déplacements verticales w dans la direction
z. Par conséquent, supposons que :
u(x, y, z) = 0
(2.1.6)
v(x, y, z) = 0
(2.1.7)
et
A la suite de Vlasov et Leontev, on suppose en outre que
w(x, y, z) = w(x, y)φ(z)
(2.1.8)
où w est le déplacement vertical de la plaque, et φ(z) ∈ [0, 1] est une forme de mode
définissant la variation de la déviation w(x, y, z) dans la direction z.
Cette fonction est représentée sur la figure 2.1, et w(x, y) le déplacement de la plaque
est maximal en 0 donc φ(0) = 1 et minimale en H d’où φ(H) = 0 avec H la profondeur
de la couche du sol (voir figure 2.1).
L’énergie potentielle totale des efforts du système sol-structure est :
Π = Πp + Πs + V,
avec
−Πp : énergie dans la plaque ;
26
(2.1.9)
CHAPITRE 2.
PRÉSENTATION GÉNÉRALE DU MODÈLE
−Πs : énergie dans le sol ;
−V : énergie potentielle des charges extérieures.
L’énergie de déformation de la plaque et du sol s’écrit comme suit [4]
Πp =
Πs =
D
2
1
2

Z
Ω
(∆w)2 − 2(1 − vp ) 
∂2w
!
∂x2
∂2w
∂y 2
−
∂2w
!2 
∂x∂y
 dxdy,
Z H Z +∞ Z +∞
0
−∞
−∞
(σx εx + σy εy + σz εz + τxy ζxy + τyz ζyz + τxz ζxz ) dxdydz
et celle des forces :
V =−
Z
q.wdxdy
(2.1.10)
Ω
où σ, τ, ε et ζ représentent respectivement la contrainte normale, la contrainte de cisaillement, la déformation normale et la déformation de cisaillement dans la fondation
élastique.
Cependant, l’utilisation des principes de variation et la minimisation de l’énergie potentielle totale en prenant les variations des rendements w et φ nous donne [4]
δΠ =
Z D∆2 w − 2T ∆w + kw − q δwdxdy +
Z H
0
Ω
!
∂2φ
−m 2 + nφ δφdz + CL = 0
∂z
(2.1.11)
avec
Z H
k=
E
0
Z H
2T =
dφ
dz
2
dz
Gφ2 dz
(2.1.12)
(2.1.13)
0
Z +∞ Z +∞
m=
−∞
−∞
Z +∞ Z +∞
n=
−∞
où
E=
G=
Ew2 dxdy
(2.1.14)
G(∇w)2 dxdy,
(2.1.15)
−∞
Es (1 − vs )
,
(1 + vs )(1 − 2vs )
Es
et,
2(1 + vs )
CL sont les condition aux limites.
Par contre si on annule les deux premiers termes de l’équation 2.1.11, on obtient l’équa-
27
CHAPITRE 2.
PRÉSENTATION GÉNÉRALE DU MODÈLE
tion de la déformation de la plaque sur une fondation élastique
D∆2 w − 2T ∆w + kw = q
(2.1.16)
et l’équation de champ de déformation du sol dans la direction verticale
−m
∂2φ
+ nφ = 0
∂z 2
(2.1.17)
Où les condition de frontière sont φ(0) = 1 et φ(H) = 0.
2.2
Mode de déformation φ(z) dans le sol
Selvadurai (1979) suggère deux expressions de φ, respectivement solution de l’équation
(2.1.17) avec ses conditions de frontière [11]
φ(z) = (1 − z/H), z ∈ [0, H]
φ(z) =
(2.2.1)
sinh (γ(1 − z/H))
, z ∈ [0, H],
sinh γ
(2.2.2)
avec (γ/H)2 = n/m, où γ représente le profil de déformation du sol qui caractérise la
distribution verticale de la déformation du sol. Dans le modèle de Vlasov le paramètre
γ est déterminé comme fonction des caractéristiques de la structure et de la fondation.
L’expression générale de γ de la plaque sur fondation élastique est donnée dans [11]
comme suit :
Z
Z
+∞
γ
H
(1 − 2vs )
2
=
+∞
(∇w)2 dxdy
−∞
−∞
Z +∞ Z +∞
2(1 − vs )
(2.2.3)
2
w dxdy
−∞
−∞
Il est important de noter que le coefficient k, qui est généralement représenté comme le
module de réaction du sous-sol chez les ingénieurs, et le coefficient T , qui représente la
déformation en cisaillement dans le sol, dépendent tous deux de la fonction mode de la
déformation verticale φ et de la profondeur de la couche de sol H (voir les équations
(2.1.12) et (2.1.13)) alors que la fonction φ dépend de la valeur de γ [12].
28
Chapitre 3
Étude mathématique des deux
problèmes
Dans ce chapitre, nous allons faire l’étude théorique du problème stationnaire et du
problème évolutif du comportement de la plaque sur une fondation élastique. Cependant,
cette étude est basée sur l’approche variationnelle des problèmes, qui permet aisément
d’obtenir l’existence et l’unicité de solution. De plus, elle est beaucoup plus adapter à
l’approximation numérique. Le principe de l’approche variationnelle dans la théorie des
équations aux dérivées partielles (EDP) repose sur trois étapes :
1) Remplacer l’EDP par une formulation équivalente, dite variationnelle, en faisant
intervenir les espaces de sobolev.
2) Prouver l’existence et l’unicité d’une solution (dite solution faible) de la formulation
variationnelle via le théorème de Lax-Milgram.
3) Définir la régularité de la solution faible.
3.1
Étude du problème stationnaire
La théorie des plaques sur une fondation élastique prenant en compte l’interaction solstructure conduit au problème de Vlasov suivant : trouver w : Ω → R la deflexion telle
que :
D∆2 w − 2T ∆w + kw = q(x), sur Ω
(3.1.1)
avec les conditions d’encastrement sur le bord ∂Ω de Ω suivantes :
w=
∂w
= 0, sur ∂Ω
∂η
(3.1.2)
où Ω est un ouvert de R2 , q est un second membre qui appartient à l’espace L2 (Ω), η
la normale extérieure et les constantes D ≥ 0, k ≥ 0 et T ≥ 0 sont définies dans le
29
CHAPITRE 3. ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES DEUX PROBLÈMES
chapitre précédent comme suit :
Ep e3
12(1 − vp2 )
D=
H
Es (1 − vs )
(1 + vs )(1 − 2vs ) 0
Z H
Es
φ2 dz,
2T =
2(1 + vs ) 0
Z
k=
dφ
dz
2
dz
avec
– Ep > 0 : le module d’élasticité du matériau constituant la plaque,
– e > 0 : l’épaisseur de la plaque,
– vp ∈]0, 1[: le coefficient de Poisson de la plaque,
– Es > 0 : le module de la fondation,
– vs ∈]0, 1[: le coefficient de Poisson de la fondation,
– H > 0 : la profondeur de la couche de sol,
– φ : le mode de déformation verticale du sol.
3.1.1
Formulation variationnelle du problème stationnaire
Pour trouver la formulation variationnelle du problème (3.1.1)-(3.1.2), on multiplie
l’équation (3.1.1) par une fonction teste régulière v qui satisfait les conditions aux bords
∂v
= 0 sur ∂Ω puis on intègre sur Ω ce qui nous donne :
v=
∂η
Z
D
Z
Z
Z
∆2 w(x)v(x) dx − 2T
Ω
Ω
Ω
Ω
q(x)v(x) dx.
w(x)v(x) dx =
∆w(x)v(x) dx + k
(3.1.3)
A l’aide de la formule de Green nous avons d’une part :
Z
∂(∆w)
(s)v(s) ds
∂η
Ω
∂Ω
Z
Z
Z
∂v
∂(∆w)
=
∆w(x)∆v(x) dx −
∆w(s) (s) ds +
(s)v(s) ds
∂η
∂η
Ω
∂Ω
∂Ω
2
∆ w(x)v(x) dx = −
Ω
Z
∇∆w(x) · ∇v(x) dx +
Z
Z
∆w(x)∆v(x) dx,
=
Ω
et d’autre part :
Z
∆w(x)v(x) dx = −
Ω
=−
Z
ZΩ
∇w(x) · ∇v(x) dx +
Z
∂Ω
∂w
(s)v(s) ds
∂η
∇w(x) · ∇v(x) dx.
Ω
L’équation (3.1.3) se réécrit alors sous la forme
Z
D
Z
∆w(x)∆v(x) dx + 2T
Ω
∇w(x) · ∇v(x) dx + k
Ω
Z
Z
w(x)v(x) dx =
Ω
q(x)v(x) dx.
Ω
(3.1.4)
30
CHAPITRE 3. ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES DEUX PROBLÈMES
Pour que l’équation (3.1.4) soit bien défini il suffit que ∆w, ∆v, ∇w, ∇v, w et v appartiennent à L2 (Ω) composante par composante. Par conséquent nous prenons comme
espace fonctionnel
H20 (Ω)
∂v
= v ∈ H (Ω) : v =
= 0 sur ∂Ω
∂η
2
(3.1.5)
Posons a : H20 (Ω) × H20 (Ω) → R définie par
Z
Z
a(w, v) = D
∇w(x) · ∇v(x) dx + k
∆w(x)∆v(x) dx + 2T
Ω
Z
Ω
w(x)v(x) dx (3.1.6)
Ω
et b : H20 (Ω) → R définie par :
Z
b(v) =
q(x)v(x) dx.
(3.1.7)
Ω
D’après le corollaire 1.6.22, H20 (Ω) munit de la norme réduite de H2 (Ω) qu’on note ici
k.kH2 (Ω) est un espace de Hilbert. Par conséquent nous avons le problème variationnelle
0
suivant : trouver w ∈ H20 (Ω) tel que
a(w, v) = b(v), ∀v ∈ H20 (Ω).
3.1.2
(3.1.8)
Existence et unicité de la solution faible
Puisque la bilinéarité et la symétrie de l’application a sont triviales, de même que la
linéarité de l’application b alors il suffit de montrer que a est continue et coercive et b
est continue pour la la norme k.kH2 (Ω) .
0
Continuité de a : Soient w, v ∈ H20 (Ω).
En utilisant l’inégalité Cauchy-Schwarz on a :
|a(w, v)| 6 D
Z
|∆w(x)∆v(x)| dx + 2T
Ω
Z
|∇w(x) · ∇v(x)| dx + k
Ω
Z
|w(x)v(x)| dx
Ω
6 DkwkH2 (Ω) kvkH2 (Ω) + 2T k∇wkL2 (Ω) k∇vkL2 (Ω) + kkwkL2 (Ω) kvkL2 (Ω) .
0
0
En vertu de l’inégalité de Poincaré-Friedrichs (voir corollaire 1.6.20) on obtient :
|a(w, v)| 6 DkwkH2 (Ω) kvkH2 (Ω) + 2T C 2 kwkH2 (Ω) kvkH2 (Ω) + kC 4 kwkH2 (Ω) kvkH2 (Ω)
0
0
2
6 D + 2T C + kC
0
4
0
0
0
kwkH2 (Ω) kvkH2 (Ω)
0
0
donc l’application a est continue sur H20 (Ω) × H20 (Ω) avec C la constante de PoincaréFriedrichs.
Coercivité de a : Soit w ∈ H20 (Ω).
On a :
Z
a(w, w) = D
(∆w(x))2 dx + 2T
Ω
Z
Ω
31
(∇w(x))2 dx + k
Z
Ω
(w(x))2 dx
CHAPITRE 3. ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES DEUX PROBLÈMES
⇒ a(w, w) > D
Z
(∆w(x))2 dx
Ω
⇒ a(w, w) > Dkwk2H2 (Ω) ,
0
d’où l’application bilinéaire a est coercive.
Continuité de b : Soit v ∈ H20 (Ω).
L’inégalité Cauchy-Schwarz et de Poincaré-Friedrichs nous donne :
|b(v)| 6
Z
|q(x)v(x)| dx
Ω
⇒ |b(v)| 6 kqkL2 (Ω) kvkL2 (Ω)
⇒ |b(v)| 6 CkqkL2 (Ω) kvkH2 (Ω) ,
0
d’où la forme linéaire b est continue.
Les Hypothèses du théorème de Lax-Milgram sont vérifiées, par conséquent on peut
dire que le problème variationnelle (3.1.8) admet une unique solution dans H20 (Ω) qui
dépend continument des données du problème. En effet, nous avons :
Dkwk2V 6 a(w, w) = b(w) 6 CkqkL2 (Ω) kwkH2 (Ω)
0
C
⇒ kwkV 6 kqkL2 (Ω) .
D
Maitenant montrons que si w ∈ H20 (Ω) est solution faible du problème variationnel
(3.1.8) alors elle est aussi solution du problème continu (3.1.1)-(3.1.2). D’abord admettons le résultat de régularité suivant [2] si w ∈ L2 (Ω) et f ∈ L2 (Ω) vérifient
−
Z
Z
w(x)∆v(x)dx =
f (x)v(x) dx, ∀v ∈ D(Ω)
(3.1.9)
Ω
Ω
alors (θw) ∈ H2 (Ω), ∀θ ∈ D(Ω).
Soit w ∈ H20 (Ω) solution faible de (3.1.8) on a : ∀v ∈ D(Ω),
−
Z
Z
D∆w(x)∆v(x) dx = 2T
Ω
= −2T
∇w(x) · ∇v(x) dx + k
ΩZ
w(x)v(x) dx −
Z
q(x)v(x) dx
Z Ω
Z Ω
Ω
Ω
w(x)v(x) dx −
∆w(x)v(x) dx + k
Ω
Z
Z
q(x)v(x) dx
(−2T ∆w(x) + kw(x) − q(x)) v(x) dx.
=
Ω
En posant f = −2T ∆w + kw − q ∈ L2 (Ω) on obtient :
−
Z
Z
D∆w(x)∆v(x) dx =
Ω
f (x)v(x) dx,
Ω
32
(3.1.10)
CHAPITRE 3. ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES DEUX PROBLÈMES
par conséquent, on a θD∆w ∈ H2 (Ω) pour tout θ ∈ D(Ω). Soit B un ouvert inclus dans
Ω, puis que D(B) ⊂ D(Ω) l’égalité 3.1.10 s’écrit
−
Z
Z
f (x)v(x) dx, ∀v ∈ D(B).
D∆w(x)∆v(x) dx =
B
(3.1.11)
B
En choisissant θ = 1 sur B et θ = 0 sur Ω \ B on a D∆w = θD∆w sur B ce qui entraine
que D∆w ∈ H2 (B). Par conséquent en faisant une double intégration par partie gauche
de (3.1.11) on obtient
−
Z
B
D∆2 w(x)v(x) dx =
Z
f (x)v(x) dx, ∀v ∈ D(B).
B
Ceci entraine que
D∆2 w = f p.p sur B.
(3.1.12)
S
Cependant il suffit de considérer une suite de compact (Bn )n tel que n Bn = Ω pour
obtenir l’égalité (3.1.12) presque partout sur tout Ω. Les conditions aux bords sont
vérifiées car on a w ∈ H20 (Ω).
3.2
Étude du problème d’évolution
Considérons le problème d’évolution suivant : trouver
w : [0, +∞[×Ω → R
(t, x) 7→ w(t, x),
tel que
∂2w
(t, x) + D∆2 w(t, x) − 2T ∆w(t, x) + kw = q(t, x),
∂t2
∂w
w=
= 0,
∂η
]0, +∞[ × Ω
(3.2.1)
∂Ω
(3.2.2)
w(t = 0, x) = w0 (x),
Ω
(3.2.3)
∂w
(t = 0, x) = w1 (x),
∂t
Ω.
(3.2.4)
Dans cette section, nous résolvons d’abord le problème spectral associé au problème
d’évolution (3.2.1)-(3.2.2)-(3.2.3)-(3.2.4), ensuite nous utilisons la notion de formulation variationnelle, qui consiste ici à d’écrire (3.2.1)-(3.2.2)-(3.2.3)-(3.2.4) sous forme
d’équation différentielle ordinaire. Précisons qu’ici le bi-laplacien et le laplacien ne se
porte que sur la variable spatiale et que les dérivées en temps et en espace sont au sens
des distributions.
33
CHAPITRE 3. ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES DEUX PROBLÈMES
3.2.1
Résolution du problème spectral associé
Dans cette sous section on s’intéresse uniquement à la partie spatiale du problème d’évolution (3.2.1)-(3.2.2)-(3.2.3)-(3.2.4). Cherchons les valeurs propres λk et les fonctions
propres associées ξk solutions de l’équation :
∆2 w − 2T ∆w + kw = λw sur Ω
(3.2.5)
∂w
= 0 sur ∂Ω.
∂η
(3.2.6)
w=
On a d’une part, d’après le théorème de Rellich l’espace fonctionnel H20 (Ω) s’injecte de
manière compacte dans L2 (Ω) et d’autre part, puisque D(Ω) est dense dans H20 (Ω) et
dans L2 (Ω), on en déduit donc que H20 (Ω) est dense dans L2 (Ω). Par ailleurs, la forme
bilinéaire a définie dans (3.1.6) est symétrique, continue et coercive dans H20 (Ω)×H20 (Ω).
Par conséquent en appliquant le théorème 7.3.2 dans [1] les valeurs propres du problème
suivant :
∀v ∈ H20 (Ω), a(w, v) = λhw, viL2 (Ω)
(3.2.7)
forment une suite croissante (λn )n≥1 de réels positifs qui tend vers l’infini, et il existe une
base hilbertienne (ξn )n≥1 de L2 (Ω) de fonctions propres associées telle que ∀ξn ∈ H20 (Ω)
on ait :
a(ξn , v) = λn hξn , viL2 (Ω) , ∀v ∈ H20 (Ω)
(3.2.8)
avec h., .iL2 (Ω) le produit scalaire dans L2 (Ω) définie par
hw, viL2 (Ω) =
Z
w(x)v(x) dx.
Ω
Pour retourner au problème (3.2.5)-(3.2.6), il suffit d’appliquer la même démarche que
dans le cas stationnaire en posant ici
f = −2T ∆w + (k − λ)w.
De ce fait nous avons
−
Z
Z
D∆w∆v dx =
Ω
f v dx
(3.2.9)
Ω
ce qui implique que D∆w ∈ H20 (Ω). Reste à refaire la dernière étape montrant l’équivalence de la solution faible et solution forte dans cas stationnaire.
3.2.2
Formulation variationnelle du problème d’évolution
Pour trouver la formulation variationnelle du problème d’évolution (3.2.1)-(3.2.2)-(3.2.3)(3.2.4) ici on multiplie l’équation d’évolution (3.2.1) par une fonction test v qui dépend
34
CHAPITRE 3. ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES DEUX PROBLÈMES
seulement de la variable spatiale puis on intègre sur Ω. Par conséquent nous obtenons
formellement :
Z
Ω
∂2w
(t, x)v(x) dx + D
∂t2
Z
2
∆ w(t, x)v(x) dx − 2T
Ω
Z
∆w(t, x)v(x) dx
ΩZ
Z
w(t, x)v(x) dx =
+k
Ω
q(x, t)v(x) dx.
Ω
Sachant que les variables t et x jouent des rôles différents et ne sont pas dans le même
espace ; on sépare les variable en considérant que l’application t 7→ w(t, ·) est définie
sur [0, T ] à valeurs dans H20 (Ω) et on désigne w(t) comme un élément de H20 (Ω). De la
même façon, l’application t 7→ q(t, ·) est définie sur [0, T ] à valeurs dans L2 (Ω) et on
désigne q(t) comme un élément de L2 (Ω). En utilisant la même démarche que sur la
formulation variationnelle du problème stationnaire et le fait que Ω ne dépend pas du
temps on aboutit à :
d2
dt2
Z
Ω
w(t)v(x) dx + a(w(t), v) = hq(t), viL2 (Ω) ,
avec toujours a l’application définie dans (3.1.6).
On est donc conduit à chercher une fonction w : [0, T ] → H20 (Ω) telle que
d2
hw(t), viL2 (Ω) + a(w(t), v) = hq(t), viL2 (Ω) , ∀v ∈ H20 (Ω), 0 < t < T
dt2
w(t = 0) = w0
∂w
(t = 0) = w1 ,
∂t
(3.2.10)
(3.2.11)
(3.2.12)
2
d
où la dérivée dt
2 est prise au sens des distribution sur ]0, T [.
Pour donner un sens mathématique à (3.2.10)-(3.2.11)-(3.2.12), il faut que les régularités
en temps de q et w soient définies de telle sorte que l’application w : [0, T ] → H20 (Ω)
∂w
soit au moins de classe C 1 et
(t) ∈ L2 (Ω) pour justifier les données initiales, et
∂t
l’application q :]0, T [→ L2 (Ω) est dans L2 (]0, T [). Par conséquent on peut choisir comme
espace C [0, T ] ; H20 (Ω) ∩ C 1 [0, T ] ; L2 (Ω) pour w et L2 ]0, T [ ; L2 (Ω) pour q.
On obtient alors le problème variationnel suivant : trouver
w ∈ C [0, T ] ; H20 (Ω) ∩ C 1 [0, T ] ; L2 (Ω) telle que
d2
hw(t), viL2 (Ω) + a(w(t), v) = hq(t), viL2 (Ω) , ∀v ∈ H20 (Ω), 0 < t < T
dt2
w(t = 0) = w0
∂w
(t = 0) = w1 .
∂t
(3.2.13)
(3.2.14)
(3.2.15)
35
CHAPITRE 3. ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES DEUX PROBLÈMES
Proposition 3.2.1. Le problème variationnel (3.2.13)-(3.2.14)-(3.2.15) admet une
unique solution w ∈ C [0, T ] ; H20 (Ω) ∩ C 1 [0, T ] ; L2 (Ω) et de plus ∃C ≥ 0 telle que
kwkC ([0,T ];H2 (Ω)) + kwkC 1 ([0,T ];L2 (Ω)) ≤ C kw0 kH2 (Ω) + kw1 kL2 (Ω) + kqkL2 (]0,T [;L2 (Ω)) .
0
0
0
(3.2.16)
Preuve. On a H20 (Ω) ⊂ L2 (Ω) avec injecte compacte et H20 (Ω) est dense dans L2 (Ω),
la forme bilinéaire a est symétrique, continue et coercive dans H20 (Ω) × H20 (Ω) et en
considérant que w0 ∈ H20 (Ω), w1 ∈ L2 (Ω) et q ∈ L2 ]0, T [ ; L2 (Ω) alors on en déduit le
résultats d’après le théorème 8.3.1 dans [1].
3.2.3
Forme explicite de la solution du problème variationnel
Maintenant qu’on a l’existence et l’unicité de la solution du problème variationnel
(3.2.13)-(3.2.14)-(3.2.15), nous allons déterminer la forme explicite des solutions. Pour
cela nous résolvons l’équation différentielle ordinaire (3.2.13)-(3.2.14)-(3.2.15).
Soit w solution de (3.2.13)-(3.2.14)-(3.2.15), écrivons la solution dans la base hilbertienne
w(t) =
q(t) =
+∞
X
n=1
+∞
X
ln (t)ξn
(3.2.17)
qn (t)ξn ,
(3.2.18)
n=1
avec ln (t) = hw(t), ξn iL2 (Ω) et qn (t) = hq(t), ξn iL2 (Ω) . Notons que les séries 3.2.17 et
3.2.18 sont convergentes respectivement dans C [0, T ] ; H20 (Ω) ∩ C 1 [0, T ] ; L2 (Ω) et
L2 ]0, T [ ; L2 (Ω) . De plus, pour tout n ∈ N∗ on a :
a(w(t), ξn ) = λhw(t), ξn iL2 (Ω)
Par conséquent, on obtient ln est solution de l’équation différentielle linéaire du second
ordre à coefficient constant suivant :
 2
d ln



 dt2 (t) + λn ln (t) = qn (t) sur ]0, T [
ln (0) = ln0



 0
1
(3.2.19)
ln (0) = ln .
Considérons l’équation homogène associé à 3.2.19
d2 ln
(t) + λn ln (t) = 0,
dt2
36
(3.2.20)
CHAPITRE 3. ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES DEUX PROBLÈMES
√
puisque les λn sont positive, on a donc deux racines complexes conjuguées i λn et
√
−i λn . Par conséquent la solution de l’équation 3.2.20 en tenant compte des conditions
est
p
p
l1
l0 (t) = ln0 cos( λn t) + √n sin( λn t).
λn
Utilisons la méthode de variation des constantes pour chercher une solution particulière.
√
√
On a cos( λn t), sin( λn t) comme base de solution de l’équation 3.2.20, cherchons
une solution particulière lp sous la forme
lp (t) = A(t) cos( λn t) + B(t) sin( λn t)
p
p
avec A(t) et B(t) sont deux fonction vérifiant :
(
√
√
A0 (t) cos( λn t) + B 0 (t) sin( λn t)
=0
√
√
√
√
0
0
− λn A (t) sin( λn t) + λn B (t) cos( λn t) = q(t).
On obtient :
√
q(t) sin( λn t)
√
A (t) = −
λ
√n
q(t) cos( λn t)
√
B 0 (t) =
λn
0
par intégration on a :
t
p
1
A(t) = √
−q(s) sin( λn s)ds
λn 0
Z t
p
1
B(t) = √
q(s) cos( λn s)ds.
λn 0
Z
Par conséquent :
p
l (t) =
1
√
λn
Z t
0
1
−q(s) sin( λn s)ds cos( λn t)+ √
λn
p
p
Z t
p
0
p
p
p
p
1
sin( λn (s + t)) + sin( λn (s − t))
2
p
p
1
=
sin( λn (t + s)) − sin( λn (t − s))
2
p
p
p
p
1
sin( λn (t + s)) + sin( λn (t − s))
2
sin( λn s) cos( λn t) =
sin( λn t) cos( λn s) =
ce qui nous donne :
1
l (t) = √
λn
p
Z t
p
qn (s) sin( λn (t − s))ds.
0
37
p
q(s) cos( λn s)ds sin( λn t).
Par ailleurs on a :
et
CHAPITRE 3. ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES DEUX PROBLÈMES
Ainsi la solution finale de 3.2.19 est :
p
p
l1
1
ln (t) = ln0 cos( λn t) + √n sin( λn t) + √
λn
λn
Z t
p
qn (s) sin( λn (t − s))ds
0
ce qui nous donne la formule explicite de w suivante
w(t, x) =
+∞
X
ln0 cos(
n=0
p
p
l1
1
λn t) + √n sin( λn t) + √
λn
λn
Z t
!
p
qn (s) sin( λn (t − s))ds ξn (x).
0
Soit w ∈ C 0 (]0, T [; H20 (Ω)) ∩ C 1 (]0, T [; L2 (Ω)) solution du problème variationnel évolutif
(3.2.13)-(3.2.14)-(3.2.15), montrons maintenant qu’elle est solution du problème évolutif
(3.2.1)-(3.2.2)-(3.2.3)-(3.2.4). On a pour tout t ∈ [0, T ] w(t) est solution du problème
spectrale (3.2.7) alors ∆w(t) ∈ H2 (Ω). Soit ϕ ∈ D(]0, T [), et par la densité de D(Ω)
dans H20 (Ω) on a pour tout v ∈ D(Ω)
d2
dt2
Z T
0
!
Z
Z T
Z T
a(w(t), v)ϕ(t) dt =
w(t, x)v(x) dx ϕ(t) dt +
0
Ω
0
hq(t), viL2 (Ω) ϕ(t) dt.
Ce qui implique que
−
Z T Z
d
dt
0
0
w(t, x)v(x) dx ϕ (t) dt +
Ω
d
dt
T
Z
w(t, x)v(x)ϕ(t) dx
Z T
a(w(t), v)ϕ(t) dt
+
Ω
0
0
Z T
=
0
⇒−
Z T Z
d
dt
0
Z T
Z T
0
a(w(t), v)ϕ(t) dt =
w(t, x)v(x) dx ϕ (t) dt +
0
0
Ω
hq(t), viL2 (Ω) ϕ(t) dt
hq(t), viL2 (Ω) ϕ(t) dt.
Puisque w ∈ C 1 (]0, T [; L2 (Ω)) on a alors :
d
dt
Z
Z
w(t, x)v(x) dx =
Ω
Ω
∂w
(t, x)v(x) dx.
∂t
Par conséquent :
−
Z TZ
∂w
0
⇒−
Z T
0
0
Z TZ
Z T
(t, x)v(x)ϕ (t, x) dx dt +
a(w(t), v)ϕ(t) dt =
∂t
0
0
Ω
Z
Z TZ
∂w
f (t, x)ϕ ⊗ v(t, x) dx dt
(t, x)ϕ0 ⊗ v(t, x) dx dt =
Ω ∂t
0
Ω
q(t, x)v(x)ϕ(t) dx dt
Ω
avec f (t, x) = −D∆2 w(t, x) + 2T ∆w(t, x) − kw(t, x) + q(t, x).
∂w
Par la densité de D (]0, T [) × D (Ω) sur D (]O, T [×Ω), on a l’application t 7→
(t, x)
∂t
est dérivable au sens des distributions sur ]0, T [×Ω et
∂2w
(t, x) = f (t, x).
∂t2
Ce qui signifie que w est aussi solution du problème d’évolution (3.2.1)-(3.2.2)-(3.2.3)(3.2.4).
38
Chapitre 4
Approximation numérique,
résultats et discussions
L’analyse numérique est un domaine des mathématiques appliquées plus connue actuellement sur le nom de modélisation et calcul scientifique. Dans ce domaine on s’intéresse
à la mise en équation de problèmes concrêts et à la définition de méthode numérique
puissantes pour la résolution. Dans ce chapitre, nous allons faire d’abord l’approximation numérique du problème stationnaire par la méthode des éléments finis basée sur
la construction d’approximation interne, ensuite combiner éléments finis et différences
finis pour le problème d’évolution et enfin présenter des résultats numériques avec le
logiciel FreeFem++.
4.1
4.1.1
Approximation du problème stationnaire
Méthode des éléments finis
L’idée de l’approximation par élément fini est de recouvrir le domaine Ω par des éléments
Ki , i ∈ {1, 2, . . . , NT } de petite taille destinés à tendre vers zéros et de forme simple.
Comme Les triangles sont les polygones les plus simples pour délimiter une portion du
plan, alors on considère que Th = {Ki ; i = 1, 2, . . . , NT } est une triangularisation du
domaine Ω avec la condition h → 0, qui signifie que tous les Ki ont un diamètre qui
tends vers zéros car h = maxK∈Th (diam(K)). De plus, il est nécessaire que Th satisfait
les propriétés suivantes :
S
i) 1≤i≤NT Ki = Ω.
T
ii) Pour tout, K1 et K2 ∈ Th distincts, on a K1 K2 est soit égale à ∅, soit un sommet
commun soit un côté commun.
39
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
Considérons maintenant Ω un ouvert régulier de sorte qu’il est entièrement recouvert
par les NT petits triangles Ki et notons P2 l’ensemble des polynômes de degré inférieur
ou égal à deux dans le plan. Dans la figure 4.1 ci-dessous nous représentons un exemple
de maillage avec Ω = [0, 10] × [0, 12].
Figure 4.1: Maillage du domaine par élément fini.
On définit les espaces de dimension finies suivant :
(
Vh =
∂vh
vh ∈ Vbh : vh|∂Ω =
∂η
)
=0
(4.1.1)
|∂Ω
où
n
o
Vbh = vh ∈ C 0 (Ω) ∩ H2 (Ω) : vh|Ki ∈ P2 , ∀i = 1, 2, . . . , NT , .
Vbh est un sous-espace de H2 (Ω) et par conséquent Vh est un sous-espace de H20 (Ω) en
vertu du théorème 1.6.15. La théorie de l’approximation interne conduit alors a trouver
wh ∈ Vh tel que
a(wh , vh ) = b(vh ),
∀vh ∈ Vh .
(4.1.2)
Vh est sous-espace fermé de l’espace de Hilbert H20 (Ω) alors elle est aussi un espace
de Hilbert avec la norme k.kH2 (Ω) . Par conséquent le théorème de Lax-Milgram assure
0
l’existence et l’unicité de la solution du problème variationnel approché (4.1.2).
Maintenant nous allons montrer que résoudre (4.1.2) équivaut à résoudre un système
40
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
linéaire fini, c’est-à-dire qu’il peut être résolu numériquement. Considérons, h > 0 fixé
et (ξi )i=1,2,...,N une base de Vh avec N sa dimension. On obtient donc pour tout vh ∈ Vh
il existe (v1 , v2 , . . . , vN ) ∈ RN tel que
N
X
vh =
vi ξi .
i=1
Soit wh ∈ Vh solution de l’équation (4.1.2), alors il existe (x1 , x2 , . . . , xN ) ∈ RN telle
que
wh =
N
X
x i ξi .
i=1
Ainsi le problème variationnel approché (4.1.2) équivaut à :
N
X
a(ξi , ξj )xi vj =
i,j=1
N
X
b(ξj )vj .
j=1
Soit k ∈ {1, 2, . . . , N } fixé, puisque les vj sont quelconque prenons
vj = δkj , j = 1, 2, . . . , N.
Nous obtenons
N
X
a(ξi , ξj )xi = b(ξj )
i=1
qui est la j-iéme ligne du système linéaire à N inconnues suivant :
RWh = B
(4.1.3)
où R = (a(ξi , ξj ))1≤i,j≤N est la matrice de rigidité, la matrice colonne B = (b(ξj ))1≤j≤N
et le vecteur inconnu Wh = (x1 , x2 , . . . , xN )t .
Proposition 4.1.1. La matrice R est symétrique et définie positive.
Preuve. Soit X = (x1 , . . . , xN )t ∈ RN on a
hRX, XiRN =
N
X
a(ξi , ξj )xi xj
i,j=1

= a
N
X
ξi x i ,
i=1
= a(Wh , Wh )
puisque a est coércive on en déduit que
hRX, XiRN > 0.
41
N
X
j=1

ξj xj 
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
De plus, vu l’inégalité ci-dessus, si hRX, XiRN = 0, alors Wh = 0 et donc xi = 0 pour
tout i = 1, 2, . . . , N . Par conséquent la matrice R est définie positive et sa symétrie
découle de celle de la forme bilinéaire a.
Remarque 4.1.2. L’efficacité de la méthode numérique est basée sur trois points
1) la façon dont Vh approche V , donc on choisit Vh de dimension très grande.
2) La rapidité et simplicité du calcul de b(ξj ) et a(ξi , ξj ).
3) La rapidité de la résolution de (4.1.3)
Pour les deux derniers points, la matrice R doit être suffisamment creuse et par conséquent la résolution de (4.1.3) ne sera pas trop coûteuse.
4.1.2
Estimation d’erreur
Considérons l’élément fini K, P2 (K),
associée.
P 2
, et ΠK l’opérateur de P2 (K)-interpolation
Erreur d’interpolation locale
D’après le théorème d’injection de Sobolev (voir théorème 1.6.10) on a :
H3 (K) ,→ C(K).
En vertu du théorème 7.5([9]), il existe une constante ck telle qu’on ait pour tout
v ∈ H2 (Ω)
kv − ΠK vkHm (K) 6 ck hk3−m kvkH3 (K)
(4.1.4)
avec m ∈ {0, 1, 2, 3} et hk = diam(K).
Erreur d’interpolation globales
Considérons l’opérateur Πh v définie par :
Πh v|K = ΠK v, ∀v ∈ C(Ω),
(4.1.5)
Il est clair que Πh ∈ Vbh . En effet, on a Vbh ⊂ H2 (Ω), de plus d’après le théorème1.6.10
H2 (Ω) ,→ C(Ω) et donc Πh v ∈ Vbh
Théorème 4.1.3. Il existe une constante ch positive telle que
kv − Πh vkHm (Ω) 6 ch h3−m kvkH3 (Ω)
pour tout v ∈ H2 (Ω), m ∈ {0, 1, 2, 3}
42
(4.1.6)
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
Preuve. On a
kvk2Hm (Ω) =
X
kvk2Hm (K) .
K∈Th
Ainsi d’après l’estimation (4.1.4)
kv − Πh vkHm (Ω) 6
X
ck h3−m
kvk2H3 (K)
k
(4.1.7)
K∈Th
6 ch h3−m kvkH3 (Ω)
avec h = max hk et ch =
X
(4.1.8)
ck .
K∈Th
Puisque notre solution w ∈ H4 ∩ H20 (Ω), d’après le théorème ci-dessus et l’inégalité de
Poincaré-Friedrichs on a :
kw − wh kH2 (Ω)) 6 ChkwkH3 (Ω)
0
(4.1.9)
On a ainsi la convergence de la méthode.
4.2
Approximation du problème d’évolution
4.2.1
Semi discrétisation en espace par méthode des éléments finis
Il s’agit ici d’utiliser la même démarche que dans l’approximation du problème stationnaire (3.1.1)-(3.1.2). Nous obtenons le problème semi-discret suivant : trouver wh (t) ∈ Vh
telle que
 2
d



hwh (t), vh iL2 (Ω) + a(wh (t), vh ) = hqh (t), vh iL2 (Ω) , ∀vh ∈ Vh , t ∈ [0, T ]


 dt2
wh (t = 0) = w0,h





 dwh
dt
(4.2.1)
(t = 0) = w1,h
où Vh l’espace variationnel discret définie dans (4.1.1), a la forme bilinéaire définie dans
(3.1.6) et h., .iL2 (Ω) le produit scalaire dans L2 (Ω).
La proposition 3.2.1 assure toujours l’unicité et l’existence de solution du problème
(4.2.1) car Vh ⊂ H20 (Ω) est un espace de Hilbert. Cependant, d’après les résultats du
problème spectral (3.2.5)-(3.2.6) et le fait que Vh est de dimension finie avec dim(Vh ) =
N , alors il existe des valeurs propres (λhn )1≤n≤N positives et une base Hilbertienne
(ξnh )1≤n≤N de Vh formée de fonctions propres associées aux valeurs (λhn )1≤n≤N . Soit wh
solution de (4.2.1, elle est de la forme
wh (t) =
N
X
n=1
43
ln (t)ξnh
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
avec ln (t) = hwh (t), ξnh iL2 (Ω) . De même posons :
w0,h =
w1,h =
N
X
n=1
N
X
ln0 ξnh
ln1 ξnh
n=1
et
qh (t) =
N
X
qn (t)ξnh
n=1
ln0 (t)
avec
=
En posant
hw0,h , ξnh iL2 (Ω) , ln1
=
hw1,h , ξnh iL2 (Ω)
et qn (t) = hqh (t), ξnh iL2 (Ω) .
lh (t) = (l1 (t), . . . , lN (t))T
qh (t) = (q1 (t), . . . , qN (t))T ,
on peut alors écrire le problème 4.2.1 sous la forme

d2 lh



M 2 (t) + Rlh (t) = qh (t)


dt

(4.2.2)
lh (0) = l0,h





 dlh
dt
(t = 0) = l1,h
où les matrices M = hξih , ξjh iL2 (Ω)
et R = a(ξih , ξjh )
1≤i,j≤Nh
vement la matrice de masse et la matrice de rigidité.
4.2.2
1≤i,j≤Nh
sont respecti-
Semi discrétisation en temps par la méthode des différences finis
On peut rapprocher la solution de (4.2.2) en subdivisant uniformément l’intervalle [0, T ]
en P + 1 intervalles de longueur δt = PT+1 appelé pas de la discrétisation. Posons pour
tout i ∈ {0, 1, . . . , P + 1}, ti = iδt les points du maillage avec t0 = 0 et tP +1 = T . Donc
pour chaque point intérieur ti on a l’approximation suivante :
lh00 (ti ) =
lh (ti+1 ) − 2lh (ti ) + lh (ti−1 )
δt2
Notons lhi l’approximation de lh à l’instant ti et qhi l’approximation de qh à l’instant ti
On obtient le θ-schéma suivant : pour tout i = 1, 2, . . . , P

lhi+1 − 2lhi + lhi−1



+ R(θlhi+1 + (1 − 2θ)lhi + θlhi−1 ) = θqhi+1 + (1 − 2θ)qhi + θqhi−1
M


δt2





lh0 = l0,h
lh1 = δtl1,h + l0,h
44
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
A chaque pas de temps δt il faut donc résoudre un système linéaire de la forme
M + θδt2 R lhi+1 = L
où L ∈ RN est connu. Puisque θ ≥ 0 alors la matrice symétrique M + θδt2 R est définie
positive.
Remarque 4.2.1. En fait un θ-schéma est un cas particulier du schéma de Newmark
suivant :
M
lhi+1 − 2lhi + lhi−1
1
1
+ R(θlhi+1 + ( + β − 2θ)lhi + ( − β + θ)lhi−1 )
2
δt
2
2
1
1
= θqhi+1 + ( + β − 2θ)qhi + ( − β + θ)qhi−1
2
2
avec 0 ≤ β ≤ 1 et 0 ≤ θ ≤ 1/2.
Le schéma de Newmark est le plus fréquemment utilisé car plus général et qui est inconditionnellement stable si β ≥ 1/2 et β ≤ 2θ ≤ 1
Prenons θ = 1/2, dans ce cas nous obtenons le système suivant :
!
δt2
M+
R lhi+1 = L
2
avec L = 2lhi − lhi−1 +
4.3
δt2 i+1
qh + qhi−1 − Rlhi−1 .
2
Résultats numériques
Dans cette section nous allons représenter des résultats numériques du modèle par la programmation sous FreeFem++ qui est un logiciel libre développé au laboratoire JacquesLouis Lions de l’université Pierre et Marie Curie, dédié à la résolution des équations
aux dérivées partielles par la méthode des éléments finis.
4.3.1
Problème stationnaire
La type d’élément de plaque utilisé dans ce travail est un pavé droit de largeur l = 10m,
de longueur L = 12m et d’épaisseur e = 20cm[11] en les directions respectives x, y et
z soumise à une charge uniformément répartie q = 23.94M P a pour une profondeur de
H = 10m[4].
Le module d’élasticité de la plaque et le coefficient de Poisson sont respectivement :
Ep = 43GP a et vp = 0.45, le module d’élasticité du sol et le coefficient de Poisson du
sol sont respectivement : Es = 8M P a et vs = 0.25 [11]. Les paramètres k et 2T sont
calculés avec φ(z) = (1 − z/H).
45
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
Figure 4.2: Visualisation de la déformation de la plaque en 2D avec Ep = 43GP a, vp = 0.45,
Es = 8M P a et vs = 0.25.
46
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
Figure 4.3: Visualisation de la déformation de la plaque en 3D avec Ep = 43GP a, vp = 0.45,
Es = 8M P a et vs = 0.25.
Les figures suivantes montrent l’influence des paramètres du modèle sur la déformation
de la plaque sur une fondation élastique. La figure 4.4 montre que lorsque le module de
la fondation Es augmente la déformation de la plaque diminue alors que la figure 4.5
montre presque le même phénomène lorsque le coefficient de Poisson de la fondation
vs varie. Dans les figures 4.6, 4.7 et 4.8, on remarque aucun changement lorsqu’on fait
varier respectivement le module de la plaque Ep , le coefficient de Poisson de la plaque
vp et l’épaisseur e de la plaque. On peut en déduire que les paramètres du sol ont
une influence significative sur le comportement du système tandis qu’il est quasiment
insensible aux paramètres de la plaque.
47
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
25
Es=8MPa
Es=6MPa
Es=4MPa
deformation w(mm)
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
largeur de la plaque
Figure 4.4: Déformation de la plaque par rapport à différentes valeurs de Es avec Ep = 43GP a,
vp = 0.45 et vs = 0.25.
14
Vs=0.35
Vs=0.2
Vs=0.1
12
deformation w(mm)
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
largeur de la plaque
Figure 4.5: Déformation de la plaque par rapport à différentes valeurs de vs avec Ep = 43GP a,
vp = 0.45 et Es = 8M P a.
48
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
14
Ep=43GPa
Ep=38GPa
Ep=33GPa
12
deformation w(mm)
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
largeur de la plaque
Figure 4.6: Déformation de la plaque par rapport à différentes valeurs de Ep avec vp = 0.45,
Es = 8M P a et vs = 0.25.
14
vp=0.25
vp=0.35
vp=0.45
12
deformation w(mm)
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
largeur de la plaque
Figure 4.7: Déformation de la plaque par rapport à différentes valeurs de vp avec Ep = 43GP a,
Es = 8M P a et vs = 0.25.
49
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
14
e=20cm
e=40cm
e=60cm
12
deformation w(mm)
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
largeur de la plaque
Figure 4.8: Déformation de la plaque par rapport à différentes valeurs de e avec Ep = 43GP a,
vp = 0.45, Es = 8M P a et vs = 0.25.
4.3.2
Problème d’évolution
Ici nous prenons les mêmes données que celles de la simulation du problème stationnaire,
considérons aussi w0 = 0 et w1 = 0. Nous observons l’évolution sur une durée d’échelle
d’une seconde.
40
t=0
t=0.2
t=0.4
t=0.6
t=0.8
35
deformation w
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
largeur de la plaque
Figure 4.9: Déformation de la plaque dans le temps.
La figure 4.9 montre la déformation de la plaque pendant une durée d’une seconde,
on remarque une diminution de la déformation de la plaque dans le temps. Les figures
50
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
4.10, 4.11, 4.12 et 4.13 suivantes montrent respectivement l’influence des paramètres
Es , vs , Ep et vp du modèle sur la déformation de la plaque dans le temps. Dans La
figure 4.10 on remarque que l’augmentation du module de la fondation Es entraine une
diminution plus lente de la déformation au cours du temps. On observe le phénomène
inverse sur la figure 4.11 lorsqu’on augmente le coefficient de Poisson de la fondation vs
on a un diminution plus rapide. Les figures 4.12 et 4.13 montrent toujours comme dans
le cas stationnaire que les paramètres de la plaque ont peut d’influence significative sur
la déformation de la plaque.
35
60
Es=8MPa
Es=6MPa
Es=4MPa
50
Es=8MPa
Es=6MPa
Es=4MPa
30
25
deformation w(mm)
deformation w(mm)
40
30
20
20
15
10
10
5
0
0
-10
-5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
largeur de la plaque
(t=0.2)
5
6
7
8
9
10
(t=0.4)
25
20
Es=8MPa
Es=6MPa
Es=4MPa
Es=8MPa
Es=6MPa
Es=4MPa
15
deformation w(mm)
20
deformation w(mm)
4
largeur de la plaque
15
10
5
0
10
5
0
-5
-5
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
largeur de la plaque
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
largeur de la plaque
(t=0.6)
(t=0.8)
Figure 4.10: Déformation de la plaque par rapport à différentes valeurs de Es dans le temps.
51
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
40
30
Vs=0.1
Vs=0.2
Vs=0.35
35
Vs=0.1
Vs=0.2
Vs=0.35
25
30
deformation w(mm)
deformation w(mm)
20
25
20
15
15
10
5
10
0
5
0
-5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
largeur de la plaque
4
5
6
7
8
9
10
largeur de la plaque
(t=0.2)
(t=0.4)
25
16
Vs=0.1
Vs=0.2
Vs=0.35
20
Vs=0.1
Vs=0.2
Vs=0.35
14
deformation w(mm)
deformation w(mm)
12
15
10
5
10
8
6
4
2
0
0
-5
-2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
largeur de la plaque
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
largeur de la plaque
(t=0.6)
(t=0.8)
Figure 4.11: Déformation de la plaque par rapport à différentes valeurs de vs dans le temps.
52
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
35
30
Ep=43GPa
Ep=38GPa
Ep=33GPa
30
Ep=43GPa
Ep=38GPa
Ep=33GPa
25
25
deformation w(mm)
deformation w(mm)
20
20
15
10
15
10
5
5
0
0
-5
-5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
largeur de la plaque
4
5
6
7
8
9
10
largeur de la plaque
(t=0.2)
(t=0.4)
25
16
Ep=43GPa
Ep=38GPa
Ep=33GPa
20
Ep=43GPa
Ep=38GPa
Ep=33GPa
14
deformation w(mm)
deformation w(mm)
12
15
10
5
10
8
6
4
2
0
0
-5
-2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
largeur de la plaque
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
largeur de la plaque
(t=0.6)
(t=0.8)
Figure 4.12: Déformation de la plaque par rapport à différentes valeurs de Ep dans le temps.
53
CHAPITRE 4. APPROXIMATION NUMÉRIQUE, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
35
30
vp=0.25
vp=0.35
vp=0.45
30
vp=0.25
vp=0.35
vp=0.45
25
25
deformation w(mm)
deformation w(mm)
20
20
15
10
15
10
5
5
0
0
-5
-5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
largeur de la plaque
4
5
6
7
8
9
10
largeur de la plaque
(t=0.2)
(t=0.4)
25
16
vp=0.25
vp=0.35
vp=0.45
20
vp=0.25
vp=0.35
vp=0.45
14
deformation w(mm)
deformation w(mm)
12
15
10
5
10
8
6
4
2
0
0
-5
-2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
largeur de la plaque
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
largeur de la plaque
(t=0.6)
(t=0.8)
Figure 4.13: Déformation de la plaque par rapport à différentes valeurs de vp dans le temps.
54
Conclusion
Suite à une brève présentation des différentes étapes développées pour la mise en équation du problème étudié, des outils d’analyse mathématique ont été utilisés pour prouver
l’existence et l’unicité de la solution et enfin des outils d’analyse numérique ont permis de présenter des résultats numériques. Cependant après avoir étudié l’influence des
paramètres sur le modèle comportemental de la plaque, les résultats conduisent à des
conclusions et remarques fortes. Compte tenu des résultats, nous en déduisons que le
modèle est très sensible aux paramètres du sol tandis qu’il est quasiment insensible aux
paramètres de la plaque. Par conséquent, on peut noter que la connaissance des propriétés mécaniques du sol est une condition préalable à la maîtrise du comportement
des structures de fondation.
En plus tous les résultats numériques montre aussi que la déformation n’est pas seulement en fonction des charges mais aussi fonction des propriétés mécaniques de la plaque
et du sous-sol et il faudra noter que ce travail couvre seulement les plaques encastrées
sur une fondation élastique. On pourrait donc l’étendre aux plaques simplement supportées, libres ou avec des conditions aux limites mixtes.
Nous envisageons aussi de calculer les paramètres k et 2T avec le mode φ(z) = sinh(γ(1−z/H))
sinh γ
et refaire les simulations numériques et de faire varier la charge q en fonction du temps.
55
Annexe
Code problème stationnaire
56
Bibliographie
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mathématique et à la simulation numérique, Éditions École Polytechnique, 2005.
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57
BIBLIOGRAPHIE
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58