Physique générale2

Physique générale
Dr SYLVAIN Wilgens
Université d’État D’Haïti (UEH)
École Normale Supérieure (ENS)
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Rappels des notions fondamentales
Coordonnées cartésiennes M (x,y,z)
élément de longueur ou de déplacement
ez = ez
O e y ez
ex
 r
éléments de surface (abusivement noté dS)
dSzx =dz × dx
x
X
e
m er
Y
dSxy =dx × dy
Z
élément de longueur ou de déplacement
dOM= dl = dr= dr er + r d e + dz
z
ez
M
éléments de surface
dV =dr ×r d × dz
y
dV= dx × dy × dz
Coordonnées cylindriques M (r, , z)
élément de volume
dSyz =dy × dz
M
dOM= dl = dr= dx ex + dy ey+ dz ez
élément de volume dV
Z
z
z
ez
dz
X
y
 r
er
m
dSzr =dz × dr
dS
e
z
=r d × dz
Y
dSr =dr × r d 2
Rappels des notions fondamentales
Coordonnées spériques M (r, q, )
élément de longueur ou de déplacement
Z
ex
dOM= dl = dr
O’

= dr er + r dq eq + r sinq d e
éléments de surface
ez
O
Sqr = r dq × dr = r × dr dq
Sq = r sinq d × r dq
=
r2
sinq dq d
r
er
e
q M eq
r
ey
Y
ex
X
Sr  = dr × r sinq d
élément de volume dV
dV= dr × r dq × r sinq d = r2 dr sinq dq d
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Rappels des notions fondamentales: Mesures et Incertitudes
 En sciences fondamentales et appliquées on est souvent amené à
réaliser des mesures.
Toute mesure est entachée d’erreurs aléatoires dues au matériel, aux
paramètres physiques mis en jeu, et à l’opérateur.
Ces erreurs ont des valeurs inconnues et l’on peut seulement les estimer.
Remarque : Les résultats de mesures peuvent être utilisés pour calculer
une nouvelle grandeur : le résultat devra être présenté avec un nombre
de chiffres significatifs cohérent avec la précision des données.
 Définitions
 Mesurage (mesure) : ensemble des opérations permettant de
déterminer expérimentalement une ou plusieurs valeurs d’une
grandeur.
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Rappels des notions fondamentales: Mesures et Incertitudes
 Mesurande : grandeur que l’on veut mesurer (masse, pression,
longueur, …)
 Valeur vraie : valeur du mesurande que l’on obtiendrait si le
mesurage était parfait. Un mesurage n’étant jamais parfait, la valeur
vraie est donc toujours inconnue. On parle également de valeur
théorique.
 Grandeur d’influence : grandeur pouvant influencer le résultat du
mesurage. Par exemple, la détermination de la longueur d’une barre
d’acier au micromètre près sera influencée par la température et la
pression.
 Erreur de mesure : un mesurage n’étant jamais parfait, il y a toujours
une erreur de mesure (𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 = 𝑉𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é𝑒 − 𝑉𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒 ).
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Rappels des notions fondamentales: Mesures et Incertitudes
 Résultat du mesurage : ensemble des valeurs attribuées à un
mesurande complété des informations sur l’incertitude de mesure qui
permet d’indiquer l’intervalle des valeurs probables du mesurande.
𝑹é𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒕 = 𝒎𝒆𝒔𝒖𝒓𝒆 ± 𝒆𝒓𝒓𝒆𝒖𝒓
 Le résultat d’une grandeur physique X, déterminé expérimentalement
s’exprime sous la forme :
𝑋 = 𝑥 ± ∆𝑥
∆𝑥 étant l’incertitude absolue ou incertitude élargie
𝑋 = 𝑥 ± ∆𝑥 => 𝑋 ∈ 𝑥 − ∆𝑥 ; 𝑥 + ∆𝑥 avec un certain niveau de
confiance
Exemple : le calcul de la valeur d’une résistance électrique donne :
𝑅 = 2,632105 𝑒𝑡 ∆𝑅 = 0,13425. Le resultat s′ ecrit ∶
𝑅 = 2,63 ± 0,13 Ω
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Rappels des notions fondamentales: Mesures et Incertitudes
 Incertitude absolue ou incertitude élargie
Le résultat d’une mesure ou d’un calcul est donné avec son incertitude
absolue. L’incertitude absolue contient au maximum deux chiffres
significatifs
Exemple : On calcul une petite distance, la calculatrice affiche
21,0257 × 10−3 𝑚 et l’incertitude absolue vaut ∆𝑥 = 4,86 × 10−5 𝑚.
Exprimez correctement le résultat.
Réponse :
∆𝑥 = 4,86 × 10−5 𝑚 = 0,0486 × 10−3 𝑚 , avec 2 chiffres significatifs,
∆𝑥 = 0,049 × 10−3 𝑚
=> 𝑿 = 𝟐𝟏, 𝟎𝟐𝟔 ± 𝟎, 𝟎𝟒𝟗 × 𝟏𝟎−𝟑 𝒎
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Rappels des notions fondamentales: Mesures et Incertitudes
 Incertitude relative
L’incertitude relative permet d'estimer la précision sur le résultat
obtenu.
∆𝑥
𝐼𝑅 =
et est donnée en pourcentage
𝑥
Exemple : La longueur d’une barre est :
𝐿 = 18,0 ± 0,4 𝑚
0,4
L’incertitude relative vaut : 𝐼𝑅 =
= 0,02222 = 2,222 %
18,0
Le résultat s’ écrit : 𝑳 = 𝟏𝟖, 𝟎𝐦 ± 𝟐, 𝟐%
Remarque : L’incertitude relative peut être obtenue par comparaison
d’un résultat expérimental avec une valeur théorique
𝐼𝑅 =
𝑥𝑡ℎé𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 − 𝑥𝑒𝑥𝑝é𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑥𝑡ℎé𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒
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Rappels des notions fondamentales: Mesures et Incertitudes
Incertitude d'une fonction à plusieurs variables
Supposons que y dépende de plusieurs grandeurs x, z, t, mesurées avec
les incertitudes Δ𝑥, Δ𝑧, Δ𝑡:
𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒛, 𝒕)
L'erreur maximum possible sur y est:
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
∆𝑦 =
∆𝑥 +
∆𝑧 +
∆𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑡
𝐴𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 ∶ 𝑦 = 𝑥 + 𝑧
=> ∆𝒚 = ∆𝒙 + ∆𝒛
𝑆𝑜𝑢𝑠𝑡𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 ∶ 𝑦 = 𝑥 − 𝑧
o Les incertitudes absolues s'ajoutent pour l'addition et la
soustraction.
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑜𝑛 ∶ 𝑦 = 𝑥𝑧 => ∆𝑦 = 𝑧∆𝑥 + 𝑥∆𝑧
∆𝒚 ∆𝒙 ∆𝒛
o Les incertitudes relatives
s'ajoutent
𝑥
𝑧∆𝑥 + 𝑥∆𝑧pour
=>la multiplication
=
+
𝒚
𝒙
𝒛
2
et la𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛
division.∶ 𝑦 = 𝑧 => ∆𝑦 =
𝑧
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Rappels des notions fondamentales: Mesures et Incertitudes
Incertitude d'une fonction à plusieurs variables
Exemple : Les mesures de la masse et de la vitesse d’un mobile donnent :
𝒎 = 𝟗, 𝟓 ± 𝟏, 𝟖 𝒌𝒈 𝒆𝒕 𝒗 = 𝟕, 𝟑𝟓 ± 𝟎, 𝟐𝟑 𝒎. 𝒔−𝟏
Calculez les incertitudes absolue et relative sur son énergie cinétique. Exprimez
le résultat.
𝟏
𝑬 = 𝒎𝒗𝟐
𝟐
Réponse :
𝜕𝐸
𝜕𝐸
𝑣2
∆𝐸 =
∆𝑚 +
∆𝑣 =
∆𝑚 + 𝑚𝑣∆𝑣
𝜕𝑚
𝜕𝑣
2
7,35 2
=
× 1,8 + 9,5 × 7,35 × 0,23 = 48,62025 + 16,05975
2
∆𝑬 = 𝟔𝟒, 𝟔𝟖 𝑱
∆𝑬 ∆𝑚
∆𝑣 1,8
0,23
=
+2
=
+2×
= 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟐𝟓%
𝑬
𝑚
𝑣
9,5
7,35
𝑬 = 𝟐𝟓𝟕 ± 𝟔𝟓 𝑱
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Rappels des notions fondamentales: Mesures et Incertitudes
Exercice 1
Pour mesurer l’épaisseur d’un cylindre creux, vous mesurez le diamètre intérieur D1 et
le diamètre extérieur D2 et vous trouvez 𝐷1 = 19,5 ± 0,1 mm et 𝐷2 = 26,7 ±
0,1 𝑚𝑚. Donnez le résultat de la mesure et sa précision (incertitude relative).
Réponse
L’épaisseur du cylindre est tq :
𝐷2 − 𝐷1 26,7 − 19,5
𝑒=
=
= 3,6 𝑚𝑚
2
2
Incertitude absolue sur e :
∆𝐷2 + ∆𝐷1 0,1 + 0,1
∆𝑒 =
=
= 0,1
2
2
𝒆 = 𝟑, 𝟔 ± 𝟎, 𝟏 𝒎𝒎
Incertitude relative :
∆𝒆 𝟎, 𝟏
=
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟕 ≈ 𝟑 %
𝒆
𝟑, 𝟔
11
Rappels des notions fondamentales: Mesures et Incertitudes
Exercice 2
Calculez l’aire S d’un cercle dont le rayon vaut 𝑅 = 5,21 ± 0,1 cm. Quelle est la
précision (du résultat obtenu ?
Réponse
Aire du cercle :
𝑆 = 𝜋𝑅2 =>
∆𝑺
∆𝑅 2 × 0,1
=2
=
= 𝟎, 𝟎𝟑𝟖 ≈ 𝟒 %
𝑺
𝑅
5,21
Exercice 3
Vous mesurez la longueur, la largeur et la hauteur d’une salle et vous obtenez les
valeurs suivantes : longueur 10,2 ± 0,1 𝑚 largeur 7,70 ± 0,08 𝑚 hauteur
3,17 ± 0,04 𝑚 Calculez et donnez les résultats avec leurs incertitudes absolues :
le périmètre
la surface du sol
le volume de la salle.
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Rappels des notions fondamentales: Mesures et Incertitudes
a)
Périmètre de la salle :
𝑃 = 2 𝐿 + 𝑙 = 2 10,2 + 7,70 = 35,8 𝑚 ; ∆𝑃 = 2 ∆𝐿 + ∆𝑙 = 2 0,1 + 0,08
= 0,38
𝑷 = 𝟑𝟓, 𝟖 ± 𝟎, 𝟒 𝒎
b)
Surface du sol :
𝑆 = 𝐿 × 𝑙 = 10,2 × 7,70 = 78,54 𝑚2 ;
∆𝑆 ∆𝐿 ∆𝑙
0,1 0,08
=
+ =
+
= 0,0098 + 0,01 = 0,0198 => ∆𝑆 = 78,54 × 0,0198
𝑆
𝐿
𝑙
10,2 7,70
= 1,5554 𝑚2
𝑺 = 𝟕𝟖, 𝟓 ± 𝟏, 𝟔 𝒎𝟐
c)
Volume de la salle :
𝑉 = 𝐿 × 𝑙 × 𝑕 = 10,2 × 7,70 × 3,17 = 248,9718 𝑚3
∆𝑉 ∆𝐿 ∆𝑙 ∆𝑕
0,1 0,08 0,04
=
+ +
=
+
+
= 0,0098 + 0,010 + 0,0126 = 0,0324
𝑉
𝐿
𝑙
𝑕
10,2 7,70 3,17
=> ∆𝑉 = 248,9718 × 0,0324 = 8,066
𝑽 = 𝟐𝟒𝟗 ± 𝟖 𝒎𝟑
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Rappels des notions fondamentales: Mesures et Incertitudes
Exercice 4
Pour déterminer la masse volumique d’un objet vous mesurez sa masse et son volume.
Vous trouvez 𝑚 = 16,25 𝑔 à 0,001 𝑔 près et 𝑉 = 8,5 ± 0,4 𝑐𝑚3 . Calculez la masse
volumique et la précision du résultat.
Réponse
Masse volumique de l’objet :
𝑚 16,25
𝜌= =
= 1,9117𝑔. 𝑐𝑚−3
𝑉
8,5
∆𝜌 ∆𝑚 ∆𝑉
0,4
=
+
= 0,001 +
= 0,048
𝜌
𝑚
𝑉
8,5
=> ∆𝜌 = 1,9117 × 0,048 = 0,09 𝑔. 𝑐𝑚−3
𝝆 = 𝟏, 𝟗𝟏 ± 𝟎, 𝟎𝟗 𝒈. 𝒄𝒎−𝟑
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Rappels des notions fondamentales: équations aux dimensions
On note 𝑋 la dimension de la grandeur X. Par exemple: l’unité d’une masse est
le kilogramme sa dimension est M on écrit: dim[m] = M
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Rappels des notions fondamentales: équations aux dimensions
Remarques:
• La notion dimension est plus générale que la notion unité et
ne suppose aucun choix particulier de système d’unités. Une
grandeur ayant la dimension d’une longueur peut s’exprimer
en mètre, en centimètre, en kilomètre, en pouce, en pied, en
mile ou en yard.
Quelle que soit le système d’unité utilisé on doit avoir toujours
la même dimension. Certaines unités peuvent être remplacées
par des noms de personnes et des symboles spéciaux .
• Le yard est l'étalon anglais officiel de mesure de longueur. Il est
divisible en 3 pieds ou en 36 pouces . Par ailleurs, un mile se
compose de 1 760 yards. En 1959, il fut défini par rapport au
système métrique : 1 yard = 0,9144 mètre, avec 1 square yard =
16
0,83612736 mètre carré.
Rappels des notions fondamentales: équations aux dimensions
Exercice
Ecrire l’équation aux dimensions pour chacune des grandeurs physiques suivantes :
La vitesse 𝑣 ; l’accélération de la pesanteur 𝑔 ; le poids (𝑃 = 𝑚𝑔) ; l’énergie cinétique
1
𝐹
(𝐸𝐶 = 𝑚𝑣 2 ) ; la pression (𝑝 = ) .
2
𝑆
Réponse
Dimension de la vitesse :
∆𝑥
[∆𝑥] 𝐿
𝑣=
=> [𝑣] =
= = 𝐿𝑇 −1
∆𝑡
[∆𝑡] 𝑇
Dimension du poids :
𝑃 = 𝑚𝑔 => [𝑃] = 𝑚 𝑔
𝑣
𝐿𝑇 −1
𝑔 =
=
= 𝐿𝑇 −2 => [𝑷] = 𝑴𝑳𝑻−𝟐
∆𝑡
𝑇
Dimension de l’énergie cinétique :
1
𝐸𝐶 = 𝑚𝑣 2 => [𝐸𝐶 ] = 𝑚 𝑣
2
2
= 𝑀𝐿2 𝑇 −2
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Rappels des notions fondamentales: équations aux dimensions
Dimension de la pression :
𝐹 𝑚𝑎
[𝑚] 𝑎
𝑀𝐿𝑇 −2
−1 −2
𝑝= =
=> [𝑝] =
=
=
𝑀𝐿
𝑇
𝑆
𝑆
[𝑆]
𝐿2
Exercice
La loi de la gravitation universelle définit la force d’interaction agissant entre deux
masses 𝑚𝐴 et 𝑚𝐵 séparées d’une distance d :
𝑚𝐴 𝑚𝐵
𝐹=𝑮
𝑑2
Quelle est la dimension de la constante de gravitation universelle 𝑮 ?
Dimension de G :
𝐹𝑑 2
𝐹 𝑑 2 𝑀𝐿𝑇 −2 𝐿2
𝐺=
=> 𝑮 =
=
= 𝑳𝟑 𝑴−𝟏 𝑻−𝟐
2
𝑚𝐴 𝑚𝐵
𝑚 𝑚
𝑀
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Rappels des notions fondamentales: équations aux dimensions
Rappels des notions fondamentales: équations aux dimensions
Exercice
Établir les équations aux dimensions en fonction des grandeurs masse, longueur, temps, etc. :
De la constante de Planck h sachant que l’énergie transportée par un photon est donnée par la
relation :
𝐸 = 𝑕𝜈
où 𝜈 représente la fréquence du rayonnement correspondant.
De la constante de Boltzmann k qui apparait dans l’expression de l’énergie cinétique d’une
molécule d’un gaz monoatomique à la température T ; à savoir :
3
𝐸𝐶 = 𝑘𝑇
2
De la permittivité du vide e 𝜀0 qui apparait dans l’expression de la force d’interaction électrique
(loi de Coulomb) :
1 𝑞𝑞 ′
𝐹=
4𝜋𝜀0 𝑟 2
De la perméabilité magnétique du vide 𝜇0 qui, apparaît dans la loi de Laplace qui permet de
prévoir la force d’interaction entre deux fils conducteurs parallèles de longueur L, placés dans le
vide, séparés par une distance d et parcourus par des courants d’intensités I et I’ :
𝜇0 𝐼𝐼 ′
𝐹=
𝐿
4𝜋 𝑑 2
24