Angles et parallélisme – Leçon 1 A 1) Dans un triangle B On peut construire un triangle si: Sa plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres: AC < AB + BC (inégalité triangulaire) C La hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet de ce triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet 2) Droites et segments La médiatrice d'un segment coupe ce segment en son milieu, en formant un angle droit. Tous les points appartenant à la médiatrice sont à égale distance des extrémités du segment Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles. → Trace deux droites parallèles grâce à cette dernière propriété. 3) Angles alternes-internes (d) Les angles alternes-internes sont les angles formés à l'intersection de deux droites (d) et (d') et d'une sécante (d') 4) Angles correspondants (d) Ils sont situés de part et d'autre de la sécante entre les deux droites (d) et (d') (d') ⨻ Mesurer sur une figure n'est pas une information fiable! On ne peut pas l'utiliser pour démontrer ou prouver • Pour démontrer (prouver ou justifier) on utilise trois étapes : ◦ ◦ ◦ • On sait que…. Or …. Donc …. On donne les informations qu'on connaît qui nous permettent d'utiliser la propriété La propriété ou la définition (qu'on a appris par cœur) La conclusion (réponse à la question) Souvent on a besoin de répéter ces étapes plusieurs fois pour arriver à la conclusion finale et ainsi répondre à la question → Il faudra alors découper le problème en plusieurs sous problèmes. J'apprends à démontrer : exercice corrigé Dans cet exemple ce qui est écrit avec cette police permet d'expliquer la méthode. Pour démontrer que des droites sont parallèles, il existe plusieurs propriétés. Par exemple : – si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles – si les angles alternes-internes formés par deux droites et une sécante sont égaux alors les droites sont parallèles – si les angles correspondants formés par deux droites et une sécante sont égaux alors les droites sont parallèles Ici on remarque que les droites (AC) et (DB) sont coupées par une sécante, on va donc utiliser la deuxième ou la troisième propriété. On ne connait pas la mesure des angles alternes-internes ni celle des angles correspondants mais on a plusieurs mesures d'angle qui vont nous permettre de les déterminer. On décompose donc le problème en plusieurs sous problèmes. Quels angles pouvons-nous calculer ? 1) Calcul de l'angle ̂ CAB ̂ ABC =90 ° et ̂ BCA=55° or la somme des angles dans un triangle est égale à 180° donc ̂ ̂ ̂ BCA+C AB+ ̂ ABC =55+C AB+90=180 ° donc ̂ CAB=180− (55+90)=180− 145=35° On sait que Pense à noter sur ta figure les informations que tu as déjà démontré 2) Calcul de l'angle ̂ ABD On ne peut pas le calculer simplement : on décompose donc le problème en plusieurs sous problèmes. Quels angles pouvons-nous calculer ? On remarque qu'on a deux triangles isocèles, les angles à la base sont donc de même mesure... a) Calcul des angles du triangle BDE : On sait que le triangle BDE est isocèle en B or dans un triangle isocèle les angles à la base sont de même mesure, donc ̂ BDE= ̂ BED . De plus, (évite de répéter on sait que... + l'information qu'on vient de démontrer) dans un triangle la somme des angles est égale à 180°, donc ̂ BDE+ ̂ BED+̂ DBE =180° ̂ BDE+ ̂ BED=180− 40=140 ainsi ̂ BDE =̂ BED=140÷2=70 ° b) calcul de l'angle ̂ ADB On sait que les points A, D et E sont alignés, ils forment donc un angle plat: ̂ ADE = 180 et ̂ ADB +̂ BDE =̂ ADE =180 donc ̂ ADB =180− ̂ BDE =180− 70=110 ° c) calcul de l'angle ̂ ABD On sait que le triangle ABD est isocèle en D or dans un triangle isocèle les angles à la base sont de même ̂ ABD=̂ DAB ̂ ABD +̂ DAB+ ̂ ADB =180 ° mesure, donc . De plus, dans un triangle la somme des angles est égale à 180°, donc ̂ ABD +̂ DAB= 180− 110 =70 ainsi ̂ ABD =70 ÷ 2=35 ° . Finalement : (démonstration finale) On a montré que ̂ ̂ ABD=C AB=35° Or si les angles alternes-internes formés par deux droites et une sécante sont égaux alors les droites sont parallèles. Donc (AC) et (CB) sont parallèles.
