Exercices à faire Exercice F01 : Pour tout réel m, on note ƒm la fonction : x →ln|𝑒 𝑥 - m| et ζm sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1. Étudier, selon les valeurs de m, les fonctions ƒm. 2. Tracez les courbes ζ 1 et ζ -1. 3. Prouvez qu’il existe une symétrie dans laquelle la réunion de ζ 1 et ζ -1 est invariante. 4. Prouvez que lorsque m = 𝑒 𝛼 , le couple (ζ m , ζ -m) se déduit par translation du couple (ζ 1 , ζ -1). 5. a- On choisit deux courbes ζ m et Cp avec 0<m<p. Tracer sommairement ces deux courbes. b- On choisit un réel xo tel que lnp < xo. On prend alternativement des points sur ζ m et ζ p de la façon suivante : On choisit Mo(x0 , y1) sur ζ m puis le point P1(x1 , y1) sur ζ p avec x0 < x1. Puis M1(x1 , y2) sur ζ m avec y1 < y2 et ainsi de suite jusqu’à Mn-1(xn-1 , yn) avec yn-1 < yn et Pn(xn , yn) avec xn-1 < xn. On parcourt ainsi un trajet en escalier. Calculez l’abscisse xn de Pn. Trouvez la limite de (xn – lnx) lorsque n tend vers +∞.
