AntiDemidóvich. Matemática superior. Problemas resueltos. Variable compleja funciones de variable compleja. T.5 ( PDFDrive )(1)

,
MATIMA TICA
SUPERIOR
PROBLEMAS
RESUELTOS
A. K. Boiarthulc
Variable compleja
Funciones de
variable compleja
Traducido del ruso bajo Ia dirccci6n
del doctor en Ciencias Ffsico-matem<1ticas
Viktoria 0. Malishenko
y del ingenicro industrial
Guillermo Pena Feria
Revisi6n cicntifica
del doctor en Ciencias Ffsico-matem<1ticas
]airo Correa Rodriguez_
Moscu. 2002
~
URSS
66K 22. 1H73, 22. 16 1.6
5oRp•tyK AAeKceu KlluMeHm beBu•t
C npaso•u1oe noco6ue no Bblcrnelt MaTeMaTifKe. ToM 4. qaCTb
1.
Boiarchuk Aleksei Klimientievich
Matematica superior. Problemas resueltos. Torno. 5.
Variable comple ja: funciones de variable compleja.
Pr6logo a
"Variable compleja"
Tmducido de Ia edici6n m sa (Editorial URSS, Mose~i, 2001)
La colecci6n " Anti0emid6vich" que proponemos a( lector abarca casi todas las ramas de las
matematicas.
En "Variable compleja" se resuelven detalladamente casi cuatrocientos problemas d e difi~l~a_d
media o alta. Es te tomo incluye un repaso de las estructuras fundamentales del analts1s
matematico, numeros complejos, funciones de variable compleja y un estudio detallado d e
las funciones elementales en cl plano complejo.
Rcservados todos los dercchos en todos los idiomas y en todos los paiscs del mundo. Quedan
rigurosamente prohibidas, sin Ia autorizad6n escrita de los titularcs del "Copyright",. bajo l~s
sanciones establecidas en las !eyes, Ia reproducd6n total o parcial de esta obra por cualqutcr medto
o procedimiento, comprcndidos Ia rcprografia y el tratamiento informatico, y Ia distribuci6n de
ejemplarcs de ella mediante alquiler o prestamo publico.
ISBN 5-836()-()452-8 (Obra complcta)
ISBN 5-836()-()453-0 (Torno 5)
© Obra original: Editorial URSS, 1997, 2002
© Traducci6n y obra en espafiol: Editorial URSS, 2002
© Discfio grafico y disefio del tcxto: Editorial URSS, 2002
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fl"'LieH3"'A 14.U Ni032 16 OT 10. 11.2000 r. r .. rneHWIOC!O<H ccpn1<(llt1GlT Ha OblnycK
KHI<JI<HOi\ npoAyta.l"'"' Ni 77.<!>l..l.8.953.n .270.3.99 OT 30.03.99 r. n OAniiCaHO K OO'Iarn 24.07.2002 r.
<l>opo.car 70 x 100/16. T"'pax 2100 310. n e,. n. 20. 3aK. Ni 36
Om~araHo
a 000 •Apr·J111an•. 129110, r. MocKDa, yn. 6 . nepeRcnaaeteaR, 46. .
Editorial URSS
Libros de ciencia
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Entre los textos recomendados para el estudio de Ia teorfa de funciones de
variable compleja hay muchos manuales y materiales did;kticos muy completos que tienen por autores a cientificos de fama mas que reconocida:
A. I. Markushevich, M. A. Lavrientiev, B. V. Shabat, I. I. Privalov, A. V. Bitsadze,
M.A. Evgrafov, A. Hurwitz, R. Courant, etcetera. Lamentablemente, en lo que
respecta a! volumen, elecci6n y distribuci6n del material, Ia mayorfa de estos
libros no estan adaptados a los programas de los cursos de teoria de funciones de variable compleja que habitualmente se imparten en las facultades de
matematicas y fisica de las universidades de Rusia y otros paises de Ia CE£.
Separar de un libro voluminoso el material principal de modo que se forme
un curso integro, l6gicamente acabado y aj ustado a! programa de estudios no
es facil ni para un profesor con poca experiencia, ni para un estudiante o un
posgraduado.
Las razones anteriores motivaron al autor a escribir un libro que
corresponda al nivel actual de los progra mas universitarios del curso de teoria
de funciones de va riable compleja que no este saturado de detalles y que
contenga un gran numero de problemas resueltos. En este tomo se resuelven
detalladamente casi cuatrocientos problemas de d ificultad media o alta.
Muchos libros de teorfa de funciones de variable compleja se caracterizan
por contener desacuerdos e imprecisiones en Ia terminologfa basica. Por ejemplo,
en d istintos lugares de un rnismo libro el concepto de funci6 n analitica puede
tener un sentido diferente. El autor ha ten.ido en cuenta este hecho; todos
los conceptos considerados en el presente libro tienen un sentido claramente
determinado.
En el comienzo de Ia obra se da una definicion rigurosa de funci6n
(y no su descripci6n, como se suele hacer en Ia mayor parte de los manuales),
se considera n las operaciones con conjuntos y los aspectos principales de Ia
teorfa de espacios metricos. Sin incluir este material en el libro, seria imposible
exponer las cuestiones principales al nivel matemcitico que se requiere en Ia
actualidad. Por ello, incluso una lectura rapida de ese pequefio capitulo es muy
aconsejable para entender el resto de Ia obra, en donde se exponen los temas
tradicionales de Ia teoria de las funciones analiticas, creada en el siglo XIX,
primordialmente gracias a las obras de A. Cauchy, B. Riemann y K. Weierstrass.
En el libra se presta mucha atenci6n a las cuestiones practicas relacionadas con las transformaciones conformes.
El nutor
Estructuras fundamentales
del analisis matematico
En este capitulo se incluyen los conocimientos basicos referentes
a Ia teoria de conjuntos y aplicaciones que se usaran mas adelante
en Ia exposici6n del material basico del libra. Se examina de
forma bastante completa Ia teoria de los espacios metricos, se dan
los conceptos basicos, y se utiliza Ia notaci6n establecida en los
curses de analisis matematico moderno.
§ 1. Elementos de la teoria
de conjuntos y aplicaciones
1.1. Simbolos 16gicos
En las ma tematicas, en Iugar de expresiones verbales a menudo
se utilizan simbolos adoptados de la l6gica. Asi, en vez. de las
expresiones "para todo", "para cada", "para cualquier" se utiliza
el simbolo V, yen Iugar de Ia palabra "existe", el simbolo 3. Estos
simbolos se denominan, respectivamente, cunntificndor universal
y cunr!tificador existencial. Las frases "para todo .. . " y "existe .. . "
suelen ir acompanadas de ciertas restricciones, anotadas entre
parentesis. En Iugar de Ia frase "tal que" se utilizan dos puntas
o una barra vertical.
El enunciado de cada teorema contiene una propiedad A
(premisa) y una propiedad B (conclusi6n) deducible de A.
Brevemente la expresi6n "A implica B" se denota en Ia forma
Estructuras fundamentales del analisis matematico
" A => B " (=> es el simbolo de implicnci6n). El teorema redproco,
si este es va lido, se escribe en Ia forma B => A. Si el teorema y su
redproco son validos, las p ropiedades A y B son equivalentes.
En este caso se escribe A +--+ B ( +--+ es el simbolo de equivnlencin)
y se dice: "Para A es necesario y suficiente B ", o bien "A si,
y solo si, B".
Si un objeto posee una propiedad A o una propiedad B ,
entonces se escribe A v B , o tambien " A o B " {V es el simbolo de
disyunci611). La no tacion A v B significa que cs valida al menos
una de las propiedades A o B .
Si ambas propiedades A y B son validas simultaneamente,
este hecho se escribe en Ia forma A 1\ B , o "A y B" (1\ es el
simbolo de co11junci6n).
La notacion -,A significa "no A", "no es valid a A " (..., es
el simbolo de negnci611).
En Iugar de Ia expresion "existe un t'mico" se utiliza el
slmbolo ! , y Ia expresion "es igual por defin icion" se dcnota
' bo Io de!
med .tante eI sun
=.
Toda proposicion puede escribirse utilizando solo simbolos
logicos. En este caso 'Ia negacion de una propiedad P escrita con
ayuda de cierto nu mero de cuantificadores V y 3 se obtiene cambiando cada cuantificad or V por 3 , 3 por V y Ia propiedad P
por su negacion. Por ejemplo, sea f (x) una fu nci6n numerica de
variable real. Entonces Ia propiedad de f(x) de ser continua en
todo punto de Ia recta numerica se escribe en Ia fo rma siguiente:
(V a E IR) (V c >- 0) (3 0
> 0) (V x
E IR,
if(x) - f(a)i < c;
lx - al < 6):
mientra~que Ia propiedad de f (x ) de no ser siempre continua, es
decir, de ser discontinua al menos en un punto, se escribe como
sig ue:
(3 a E IR) (3
c > 0) (V 0 > 0) (3
x E IR,
lx - al < 6):
lf(x) - f(a)l > c.
Para demostrar algunos teoremas utilizaremos el metodo
de reducci6u nl absurdo, hacienda uso, ademas, de Ia ley del
tercio e.:rcluso (ley de contrndicci6n). Segun esta ley Ia proposici6n
A v -,A (A o no A ) se considera valida independ ientemente del
contenido de Ia proposici6n A . Sefialemos que -,(-,A) +--+ A, es
decir, Ia doble negaci6n es equivalente al enunciado inicial.
1.2. Notaciones utilizadas
en la teoda de conjuntos
El concepto de conjunto se considera primario, por eso nos
limi taremos a Ia exposici6n de los terminos y notaciones que
seran necesarios mas adelante.
·
Los conjuntos se denotan med iante letras mayusculas, por
ejemplo, M . La expresion a E M se lee asf: " a es un elemento
del conjunto M " o " a pertenece al conjunto M ". La notacion
M 3 x se lee asi: "el conjunto M contiene el elemento x ". Si
el elemento x no pertenece al conjunto M, entonces se escribe
x ¢ M , o bien M 75 x. La expresi6n M = {a, b, c, ... } se lee as!:
" M es el conjunto comp ueslo de los
elementos a, b, c, etc." N6tese que un
conjunto puede contener un solo elemento, por ejemplo, M = {a}. Si ciertos elementos del conjunto M gozan de
una propiedad P , entonces Ia notaci6n
M 1 ={a EM: a tiene Ia propiedad P }
se lee: "M 1 es el conjunto de tod os los
elementos a del conjunto M que tienen
Ia propiedad P ". Por ejemplo, Ia notacion M 1 = {x E IR: x ~ 0} representa
el conjunto de todos los numeros reales
no negativos. Los simbolos E y 3 se
Fig. 1
denominansimbolos de perlenencia.
AI definir un conjunto mediante cierta propiedad, frecuentemente no se sabe de antemano si existen o no elementos que
posean d icha propiedad. Por tanto, es conveniente introducir el
conjunto que no contiene ningt.n elemento. Dicho conjunto se
denomina vacio y se denota mediante el simbolo 0.
Sean Mt y M2 dos conjuntos. Si cada uno de los elementos del conjunto M 1 pertenece al conjunto M2, entonces el
conjunto M 1 se denomina subconjunto del conjunto M 2 (fig. 1).
En este caso se escribe Mt C M2, o bien M 2 :J M 1 y se lee:
"el conjunto M2 incluye al conjunto M 1". Los simbolos C y :J
se denominan simbolos de inclusion.
Los conjuntos compuestos de los mismos elementos se
consideran iguales. Es evidente que M 1 = M2 +--+ (Mt C Mz) 1\
(M2 C Mt).
Estructuras fundamentales d_el.an~lisis matematico
itulo 1
Si en e l conj unto M 1 hay elementos que no pertenecen .al
conj un to M 2 , en tonces M 1 no esta contenido en M 2 y se escribe
M 1 rf_ M2, o bien M 2 1> M,.
Senalemos que todo conjunto M contiene e l conjunto vado
como su subconjunto. En efecto, en caso contrario, el conjunto
vado contendria al menos un elemento que no pertenece al
conjunto M . Pero el conjun to vado no tiene ningun ele mento.
En adelante usaremos las notaciones siguientes:
0 cs el conjunto vado;
exp M es el conjun to de todos los subconjuntos de M ;
N es el conjunto de los numeros naturales;
Z 0 es el conjunto d e los nu meros enteros no nega tives;
Z es el conjunto de los n umeros enteros;
Q es el conjunto de los numeros racionales;
R es el conjunto de los numeros reales;
C es e l conjunto de los numeros complejos.
1.3. Nfuneros naturales.
Metodo de inducci6n matematica
Uno de los conjuntos mas importantes en las matematicas es
el conjunto N d e los numeros na turales. En este conjunto esta
definida Ia operacion de adicion y se verifican las siguientes
propiedades:
1) si n E N, entonces (n + 1) E N;
2) si un conjunto M contiene el 1 y, ademas, d e n E M
siempre se d educe que (n + 1) E M , entonccs M ::> N.
Entonces, tod as las p roposiciones A 1, A2, ... son valid as.
Como vemos, el metoda de induccion matema tica se
reduce a Ia hi potesis de induccion. En efe~to, supongam os
que M
{n E N: An es vcllida}. Entonces, por el lema 1
tenemos que 1 E M , y partiendo del lema 2 se deduce que
n E M => (n + 1) E M. De acuerdo con Ia hipotesis d e ind uccion
('II n E N): n E M , es decir, todas las proposiciones A 1, A 21 . •.
son validas.
- ---._ Demostremos, por ejemplo, que V n E N se verifica Ia
igualdad
=
~ k2
w
_
-
n(n + 1)(2n + 1)
6
( )
1
.
k=l
Comprobando d irectamente, vemos que se verifica el lema 1. Supon iendo que Ia ig ualdad (1) se cumple para n E N,
tenemos
n+ l
L
2
k=
n(n + 1)(2n + 1)
6
k=l
(n
(
)2
+n+ l =
+ 1)(2n2 + 7n + 6)
6
=
(n + 1)(n
+ 2)(2n + 3)
6
es decir, e l lema 2 ta mbien es valido. Asi pues, Ia formula (1)
qued a demostrad a.
1.4. Operaciones elementales con conjuntos
La p ropied ad 2) se denomina lripofesis de inducci6n. Bias
Pascal (1623-1662) fue el primero que propuso un metoda d e
demostracion basado en Ia induccion, conocido como metoda de
inducci611 matematica (completa), el cual consiste en lo siguiente.
Supongamos que p ara las proposiciones A 1, A2 , A3 , .•• se
verifican los dos lemas de Pascal:
Definicion 1. Se denomina iutersecci6n d e l<_>s conjuntos M, y M2 al
conjunto
Lema 1. La proposici6n A 1 es valida.
Lema 2. Para todo n E N, de la validez de An se deduce [a validez de la
proposici611 An+l·
Sean M 1 E exp M , M2 E exp M. La intersecdon d e los
conjuntos M 1 y M 2 esta compuesta solo d e los elemen tos que
pertenecen simultaneamente a ambos conjuntos M,, M2 (fig. 2).
Fig.2
La diferencia de los conjuntos
M 1 • y M 2 esta compuesta solo de los
elementos del conjunto M 1 que no pertenecen al conjunto M2 (fig. 5).
Si M 1 :J M2·, entonces Ia diferencia M 1 \ M 2 se denomina tambien
complemento de M2 e11 M 1, y se denota mediante el simbolo eM, M2 (o bien
CM2 , si esto no provoca confusion).
Sean M 1 E exp M, M2 E exp M.
Entonces son validas las igualdades
Fig.3
_Si ta le~ _elementos no existen, los conjuntos M 1 y M 2 se
denomrnan diSJllnfos y se escribe M 1 n M 2 = 0 (fig. 3).
= CM1 n CM2,
C(M1 n M2) = CM1 U CM2.
C(M 1 U M2)
(1)
Las dos igualdades (1) expresan las /eyes de Morgn11.
Demostremos Ia primera. Sea x E C(M1 U M2). Tenemos:
Definicion 2. Se denomina uni611 de los conjuntos M 1 y M 2 al conjunto
M1 U M2
Fig.S
= {a: a E M 1 V a E M 2}.
X
E C(Ml u M2) :::}
La union de los conjuntos M 1 y M 2 se compone de los
elementos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos
M1 y M2 (fig. 4).
:::?
:::?
Ml u M2 :::} X f/. Ml 1\ X f/. M2 :::}
x E CM1 1\ x E CM2 :::? x E CM1 n CM2 :::?
C(M1 U M2) C CM1 n CM2.
X
f/.
Si y E CM1 n CM2, obtenemos
y E CM1 n CM2 :::? y E CM1 1\ y E CM2 :::?
=> y f/. M1 1\ y f/. M2 :::? y f/. M1 U M2
:::? y E C(M1 U M2) :::?
:::? CM1 n CM2 C C(M1 U M2).
:::?
Fig.4
Definicion 3. Se denomina diferellcin de los con1·untos M 1 y M 2 al
conjunto
De Ia formula (2) vemos que, al intercambiar el simbolo de complemento c con los simbolos u y n, estos ultimos se intercambian
entre si.
l
1.5. Par ordenado y producto cartesiano
de conjuntos
Con ayuda del concepto de par ordenado se introduce una
operaci6n mas sobre conjuntos: el producto cartesiano. En las
matematicas es de gran importancia el concepto de par ordennY
do (x, y) compuesto de
elementos de un mismo
conjunto o de conjuntos
M(x,y)
distintos
X e Y . La proy ---- --- ------ ---<~
I
piedad
principal
de los
I
I
pares
ordenados
es
Ia siI
I
g uiente: dos pares ordeI
I
nados (x,, y 1) y (x2, y 2)
X
se
consideran igunles si,
X
y s6lo si, x, = x2 e
Y1 = Y2· E1 elemento x
Fig.6
se llama primera componente (coordennda) del
par (x, y), rnientras que el elemento y es Ia segunda componente
(coordenada). AI igual que el concepto de conjunto, el concepto
de par ordenado se considera primario.
1.6. Relaciones binarias. Proyecciones y
secciones de una relacion binaria.
Relacion binaria inversa
Definicion. Un conjunto r se denomina relacion binnria entre los elementos de los conjuntos X e y si r c X X Y.
Con las relaciones binarias se pueden realizar no s6lo las
operaciones elementales definidas para los conjuntos (intersecci6n
y union), sino tambien las operaciones especiales de proyecci6n e
inversion.
Se denomina primem proyeccion de Ia relaci6n binaria
r C X x Y al conjunto
ft
= pr1f = {x E X: 3 y E Y:
(x, y) E f} .
y
De~nici6n. Se denornina producto cnrtesinno de los conjuntos X e y al
COnJU11tO
X x Y = {(x,y): x E X , y E Y}.
El product_o ca~t~siano de dos rectas diferentes que se
cortan se puede tdenhflcar con el plano que las contiene. La
identificaci6n se efectua seglln Ia regia M = (x, y) (fig. 6). En
esta propiedad se basa el metoda de coordenadas de resoluci6n de
problemas geometricos propuesto por el famoso matematico Rene
Descartes (1596-1650), en cuyo honor el producto se denomina
"cartesiano".
Hacienda uso del metoda de inducci6n matematica podemos definir el conjunto ordenado de n + 1 elementos
. (x ,, X2, . . . , Xn+l) = ((x,, X2, ... , X 11 ), X 11 + 1), n ~ 2,
y el producto cartesiano de n + 1 conjuntos
x, X x2 X ... X
X n+l = (X,
X x2 X ... X
X n)
X
X,.+l ·
t>
X
X
Fig. 7
La primera proyecci6n de Ia relaci6n binaria r esta compuesta de las primeras coordenadas de los pares ordenados
pertenecientes al conjunto r (fig. 7).
El conjunto f 1 (x) = {y E Y: (x, y) E f} se denomina
seccion primem de r mediante x (fig. 7) y esta compuesta de las
segundas coordenadas de todos los elementos de r cuya primera
y
i11versa
r-1 segUI\ Ia reg~a
r - 1 = {(y, x):
(x, y) E f}
(fig. 9). A menudo, Ia operacion de inversion de Ia relacion binaria r sc denornina operaci611 de transposici611 de Ia relacion
binaria r.
y
1.7. Relaciones binarias funcionales.
Funciones. Conceptos elementales
X
Fig.8
coordenada es ig ual a x. La secci6n primera de r mediante x es
e[ conjunto vacfo 'if X rf_ f1.
Se denomina segunda proyeccion de Ia relaci6n binaria r
el conjunto
f2
= pr2f = {y E Y : 3 x E X:
(x, y) E r}.
La segunda proyecci6n de Ia relaci6n binaria r es el conjunto de todas las segundas coordenadas de los pares ordenados
pertenecientes al conjunto r (fig. 8).
El conjunto f2(y) =
{x E X: (x,y) E r} se denomina seccio/1 segzmda de r
mediante y (fig. 8). El conjunto
f2(y) esta compuesto de las
primeras coordenadas de todos los elementos de r cuya
segunda coordenada es igual
a y . La secci6n segunda de r
mediante y es el conjunto vaVy rf_ r 2 •
cio
X
A cada re)acion binaFig.9
ria r se le puede hacer corresponder su relaci611 binaria
Una relacion binaria r se denomina relaci611 bi11aria funciollal si
no contiene pares ordenados cuyas primeras coordenadas sean
iguales.
Enunciemos ahora Ia definicion principal de aplicacion
entre dos conjuntos X e Y .
Definicion 1. La terna ordenada de conjuntos (X , Y , r) se denomina
r es
una relacion binaria funcio nal entre los elementos de los conjuntos X e Y.
El conjunto r se llama gni.fico de Ia aplicaci6n.
aplicaci611 del COIIjUIIfO X (dominio) ell el conjrmfo y (codominio) si
Las aplicaciones se denotan usualmente mediante una
tetra latina minuscula, por ejemplo, f . Ademas, en Iugar de f
(X,Y,f) se escribe f: X -+ Y . SiX e Y se conocen, entonces,
segUI\ Ia definicion, conocer Ia aplicaci6n f es equivalente a
conocer su grafico r .
La prirnera proyeccion del grafico de Ia aplicacion f se
denomina dominio de Ia aplicaci6n f y se denota mediante
n 1 o D(f). La segunda proyecci6n del grafico de Ia aplicaci?n f
se denomina imagen de Ia aplicaci6n f y se denota medrante
E 1 o E(f). Si x E D 1 y el par (x, y) pertenec~ al grafico de
Ia aplicaci6n f , entonces el elemento y se denorruna valor de Ia
aplicacion f en el elemento x y se de nota mediante f(x).. . ,
Si se conocen Ia region D 1 y los valores de Ia aplicac10n
f (x ) V x E D 1 , el grafico f(f) de Ia aplicacion f se construye
segun Ia regia
=
f(f) = {(x, j (x)):
X
E D1 }.
1.8. Funci6n inversa.
Composici6n de aplicaciones
Una aplicaci6n f =(X , Y , f) se deno mina invertible si Ia relaci6n
Si D 1 = X, entonces Ia aplicaci6n f : X --+ Y se denomina
aplicnci6n del conjunlo X en el conjunlo Y y se denota mediante
x !... v.
los
binaria r- 1 cs una relaci6n fu ncional entre los elementos de
1
conjuntos Y y X . En este caso Ia aplicaci6n (Y,x ,r - ) sc
1
denomina nplicnci61! inversa de f y se denota mediante f - •
Una aplicaci6n suprayectiva invertible f del conjunto X sob:e
el conjunto Y se denomina aplicnci6n biyectivn (correspondenczn
biwrivocn) y se denota mediante
Si D1 = X , E1 = Y , entonces Ia aplicaci6n J: X --+ Y se
denomina nplicnci6n suprnyectivn (sobreyecci611) del conjrmlo X
sobre el conjrmlo Y y se denota mediante
X __!____. Y .
sobrc
I
X +---+ Y.
La funci6n !I = (X, Y , fJ) se denomina restricci6n de Ia
funci6n f = (X , Y , f ) si r, C r. En este caso Ia funci6n j se
denomina• prolongaci6n de In frm ci6t1 I t del conjrmlo Dlt = pr I rl
en eI conJunto D 1 = pr1 f. Si A es un conjunto tal que A c pr 1r,
entonces existe una restricci6n / 1 de Ia funci6n f que tiene
Ia propiedad A = D1, · La funci6n ft se denomina resfricd 6tr
de In fzm ci6n f en el conjzmto A y se denota mediante !lA .
La existencia de la restricci6n de Ia funci6n f en el conjunto A
se deduce de que
f(j,)
En este caso, 't:/ y E Y 3 ! x E X : f (x)
r '(y) = x .
.
El concepto de composici6n de aplicaciones Ilene una
importancia especial en las matematicas.
Sean f : X --+ Y , !p: T --+ X dos aplicaciones. La com posicion de las aplicaciones !(J y f se denota mediante f o cp. Su
dominic esta compuesto de los valores t E D cp para los c~ales
!(J(t) E D . Los valores de Ia composicion se obtienen a parttr de
1
Ia formula
(f o !(J)(t) = j (!(J(t)), t E D l ocp·
= {(x, y): x E A A (x, y) E r}.
1.9. Aplicaciones parametrica e implicita
Definicion 2. Sea f : X --+ Y una aplicaci6n. Para todo subconjunto
A C D1 , el subconjunto del conjunto E1 definido porIa propiedad "existe
un elemento x E A tal que y = f (x )" se denomina imagen del conjzmto A
mediante In aplicaci611 f y se denota f(A) .
Si estan dadas dos aplicaciones
T~X,
¢
T --+ Y ,
queda definida Ia aplicaci6n X 1 ="' o "'_, Y . Se dice que f esta
definidn parametricamente mediante las aplicaciones !(J y 1/J. La
variable t se denomina panimetro.
Analicemos Ia aplicaci6n X x Y & G y Ia ecuaci6n
F(x, y) = c, donde c cs tm elemento arbitrario de cierto conjunto G. Si exis ten dos conjtmtos P C X , Q C Y tales que
Ia ecuaci6n F(x, y)
c tiene una Unica soluci6n y E Q para todo x E P fijo, entonces en el conjunto P esta definida
Ia funci6n f para Ia cual E1 = Q. En este caso, se dice
que f es una fun ci6n implicitn definida mediante Ia ecuaci6n
F(x, y) = c.
Para cualquier conjunto A' C E1 el subconjunto del conjunto D1 definido mediante Ia propiedad f( x ) E A', se denomina
preimagen de A' mediante Ia aplicaci6n f y se denota con
ri(A'>·
Para representar una aplicaci6n frecuentemente se escribe
f(x ).
Sea X cierto conjunto. Toda aplicaci6n N ~ X se denomina sucesi611 de elementos del conjunto X y se deno ta
mediante (x n) · Si X = IR, entonces se dice que (xn ) es una
sucesi6n numericn real.
x
= y, considerandose que
=
~---+
23u . .l6
1.10. Isomorfismo
Sean E y F dos conjuntos dotados, respectivamente, de las
- operacio nes binarias internas T y .1. Se denom ina isomorfismo
dc:l conj unto E sobre F Ia biyecci6n
E J_. F
que cumple Ia propiedad \f (a E E , b E E) f (aT b)= f (a)..L f (b).
Los conjuntos E y F se denominan en este caso isomorfos
respecto a las relaciones T y .1.
Por ejemplo, supongamos que E = N, Ia relaci6n T es
Ia adici6n, F = {2"} y Ia relaci6n .1 es Ia multi plicaci6n. La
Si en el g rupo E Ia operaci6n "o" tiene sentido aditivo
(multiplicativo) "+" ("·"), entonces el grupo se llamagntpo aditiuo
(multiplicatiuo) y el elemento neutro, elemenfo mtlo (elemenlo
rmidad), denotandose mediante 0 (1). Por ejemplo, el conjunto Z
provisto de Ia operaci6n de adici6n es un grupo conmutativo.
El conjunto Q \ {0} d otado de Ia operaci6n de multiplicaci6n es
tambien un grupo conmutativo.
2.2. Anillo
aplicaci6n E J_. F: \f n E N, f(n) = 2" es un isomorfismo ya
que \f(n EN, mEN) se tiene que (n + m) 1-> 2nlm = 2n ·2m, es
decir, J (n + m) = f (n) f (m).
Se denomina anillo un conjunto R dotado de d os operaciones
bi narias llamadas adici611 y multiplicaci6n, con Ia particularidad
de que, respecto a Ia operaci6n de adici6n, el conj unto R es
un grupo abeliano (grupo aditivo del anillo R ), y se cumple Ia
§ 2. Estructuras matematicas
Si Ia operaci6n de multiplicaci6n es conmutativa, entonces
el anillo se denomina conmutatiuo. Si R 3 1, el anillo se denomina
Una estructura matemtitica es un conjunto de objetos o varios
conjuntos de objetos de naturaleza distinta que poseen un sistema
de relaciones y operaciones binarias sometidos a determinados
axiomas.
2.1. Grupo
Se denomina gntpo a un conjunto no vado E dotado de una
operaci6n "o" que a cada par de elementos a E E , b E E le
hace corresponder un tercer elemento perfectamente determinado
a o b E E , cumpliendose, ademas, las condiciones siguientes:
1) Ia operaci6n o es asociativa: \f(a E E , b E E , c E E )
a o (b o c) = (a o b) o c;
2) en E existe el elemento neutro, es decir, un elemento n tal
que \fa E E a on = a;
3) \fa E E 3 a' E E : a o a'= n (a' es el inuerso de_a).
En caso de que tambien se veri fique Ia condici6n
4) \f (a E E , b E E) a o b = b oa,
el grupo E se denomina abeliano (conmutatiuo).
propiedad distributiua:
\f(aE R, bER, cE R) a(b+c)= ab +ac,
(b+ c)a = ba +ca.
unitario.
Por ejemplo, el conjunto Q de los numeros racionales
provisto de las operaciones de adici6n y multiplicaci6n es un
anillo uni ta rio.
2.3. Cuerpo
Un anillo se llama cuerpo si al excluir el elemento neutro de
Ia adici6n, el resto forma un grupo respecto a Ia operaci6n de
multiplicaci6n.
2.4. Campo
Un cuerpo en el cualla operaci6n de multiplicaci6n es conmutativa
se denomina campo.
Por ejemplo, las temas ordenadas (Q +, ·) y (IR, +, ·) son
los campos de los numeros racionales y de los reales, respectivamente.
Definicion. Sea ~ un cuerpo (campo). La aplicaci6n 1·1: ~--+ JR+, d onde
JR+ = {x E IR: x ~ 0}, se denomina valor absoluto (modulo) en el cuerpo
(campo) ]!{ si V (a E OC,
sigu ientes:
1}
2)
3}
f3
llxll = 0 =} x = 0;
IIAxll = IAI ·llxll;
3) llx + Yll ~ llxll + IIYII (propiedad triangular).
El valor de Ia aplicaci6n II · II en e l vector x E E
1}
2)
E OC) se cumplen las condiciones (axiomas)
lal = 0 =} a = 0;
Ia · /31= lal· l/31;
Ia + /31 ~ Ia I + 1/31 (propiednd triangular).
El conjunto ordenado (E, +, ·, II · II) se denomina espacio
vectorial narmada. Con el fin de abreviar Ia notaci6n se suele
escribir E en Iugar d e (E, +, · , II · II).
De los axiomas 2) y 3) se deduce que 11011 = 0 y llxll ~ 0,
V x E E. La primera propiedad se obtiene del axiom a 2} para
A = 0 y Ia segunda, d el axioma 3) para y = -x.
Se dice que e l vector x E E es e l limite de Ia sucesi611
de vectores (x 71 ) de l espacio normado E o que Ia sucesi6n (x 71 )
converge a x, y se escribe lim X 71 x, si Ia sucesi6n .numerica
Un cuerpo (campo) en el cual esta definido el valor
absolute se llama cuerpo nonnado.
2.5. Espacio vectorial sobre un campo K
Espacio normado
Se d enomina espacio vectorial (lineal) sabre el campo ]!{ Ia terna
ordenada (E, +, ·} compuesta d e un conjunto E (sus elementos
se denomi"nan vectores), Ia operaci6n de ad ici6n (d efinida en E ) y
Ia multiplicaci6n de los vectores por los elementos del campo OC.
Oichas operaciones d eben satisfacer las siguientes propiedades, d enominadas axiomas de[. espacio vectorial: V (x E E ,
y E E I z E E I ). E ]!{, J.L E ]!{)
+ y = y +x;
1) x
2) (x
3)
4)
5)
6)
7)
=
3 0 E E: x + 0 x;
3 (-x )E E : x + (-x) = O;
A(x + y) =Ax+ Ay, (A+ J.L) x =
(AJ.L)X = A(J.LX);
1 · X= X .
u.-oo
o(1} se d enotan
las sucesiones numericas infinitesimns (convergentes a cero), es
d ecir, tales que lim a 71 0. El simbolo de Landau 0(1} se u tiliza
Para abrevia r Ia n otaci6n, el esp acio vectorial (E, +, ·} se
denota usualm ente mediante E.
Pa ra un espacio vectorial arbitrario E se verifican las
propiedades sig uientes:
1) A· 0 = 0;
2) 0 ·X= 0;
3) (-1} x = - x.
Sea E un espacio vectorial sobre un campo nor~ado OC,
La aplicaci6n II · II: E --+ IR+ se denomina nonna (longitud) del
espacio E si V (x E E, y E E , A E ]!{) se verifican las condiciones
(axiomas)
=
n-oo
para designar a las sucesiones 11umericas acotadas.
Teorema (de continuidad de Ia norma). Si una sucesi6n (x 71 ) de vectores de
espacio non11ado E converge a/ vector x, entonces
~
>.x + J.LX;
=
(llx,. - xll) = o(1}. Mediante el simbolo de Landau
1111
+ y) + z = x + (y + z);
se lla ma
norma del vector x .
llx,.ll -+ llxll-
Demostraci6n. El teorema se deduce d e las desig ualdades
- llxn- xll ~ llxnll-llxll ~ llxn - xll Vn EN,
que se obtienen d e Ia propiedad triangular. .,..
Si un campo ]!{ es normado, el modulo es una funci6n
continua.
En un espacio vectorial normado !Rm, los axiomas d e la
norma se verifican p ara cad a una d e las aplicaciones 11 ·11: !Rm -+ lR
siguientes:
m
llxll =
w
L
x~
(nonna euclidea),
(1}
(nonna octaedrica),
(2)
(nonna cubica).
(3)
i= l
i= l
llxll =
max
l ~i~m
lxd
Una sucesi6n (xn) de vectores de un espacio normado E
es fundam ental si se cumple que
0/c > 0)(3
nc EN) ('v' (n ~ nc, pE N)) :
3.1. Axiomas de la metrica.
Limite de una sucesi6n de puntos
en un espacio metrico
llxn+p- Xnll <c.
Un espacio vectorial no rmado E se denomina completo si toda
s ucesi6n fund amental (x 11 ) de sus vectores converge a un elemento
d e E . Los espacios normados completos se denominan espacios
de Banaclz. Por ejemplo, los espacios normados IR y IR'11 son
espacios de Banach.
Teorema. Toda sucesi6n convergente (x 11 ) de vectores de un espacio tzomrndo
Definici on 1. Sea X un conjunto arbitrario. La aplicaci6n X 2 ~ JR se
denomina metrica (distancia) si 'v' (x E X y E X z E X ) se verifican las
condiciones siguientes:
1) p(x, y ) = 0 ~ x = y ;
2) p(x, y) p(y, x ) (propiedad simetrica);
3) p(x, y) ~ p(x, z) + p(z, y) (propiedad triangular).
El par ordenado (X , p) se denomina espacio metrico y los elementos del
conjunto X JliiiiiOS del espacio metrico.
I
I
=
I
arbitrnrio E es fundamental.
Todo espacio vectorial normad o E se convierte en un
espacio metrico si 'v' (x E E y E E) definimos Ia metrica del
espacio mediante Ia fo rmula
p(x, y) = llx - yii .
(1)
Es facil comprobar que se verifican los axiomas 1)-3).
_ Por inducci6n, del axioma 3) se deduce que 'v' (xi E X ,
j = 1, n, n ~ 2) se cumple Ia desigualdad
p(x!, Xn) ~ p(x1, x2) + p(xv X3) + ... + p(Xn-1 , x ,.).
(2)
Ademas, si p es Ia distancia en X , entonces 'v' (x E X ,
y E X , z E X ) se verifica Ia estimaci6n
ip(x , z) - p(y, z)l ~ p(x, y).
(3)
En efecto, de los axiomas 2) y 3) tenemos p(x, z) ~
p(y, z) + p(x, y) y p(y, z) ~ p(y, x ) + p(x, z) = p(x, y) + p(x, z),
de donde - p(x , y ) ~ p(x, z) - p(y, z) ~ p(x, y) . Partiendo de Ia
desigualdad (3) se deduce que 'v' (x E X , y E X) p(x, y) ~ 0.
I
~
Demostraci6n. Sea c
n c E N tal que 'v' n
~
>0 y
X n -+ X.
nc se verifique
'v' (n ~ nc, p E N) tendremos
llxn+p- Xnll
~
Escojamos un numero
llxn - xll < : . Entonces,
2
llxn+p- xll + llx- Xnll <c. . ,.
§ 3. Espacios metricos
Los espacios metricos forman una clase de espacios topol6gicos.
Este concepto fue introducido ~n 1906 por M. Fn!chet (1878-1973),
en sus estudios sobre espacios funcionales.
Una de Ia caracteristicas fundamentales de Ia disposici6n mutua de los puntos de un co njunto es Ia d istancia
entre ellos. La introducci6n de Ia metrica (distancia) permite expresar en h~rminos geometricos los resultados del amllisis
matematico. Los conceptos mas importantes de Ia teoria de
los espados metricos son Ia completitud, Ia compacidad y Ia
conexidad.
Ejemplo 1. La funci6n p(x, y) = ix - Yl 'rJ (x, y) E IR2 cs una metrica en el
conjunto JR. El espacio metrico (IR, p) se denomina recta numerica.
Ejemplo 2. Sea (Rm, +, ·, II · II) un espacio normado (v. p. 2.5). La aplicaci6n
R2'" .!!.. JR, donde p(x, y) = llx - Yll 'rJ (x, y) E lR2rn, satisface los axiomas de Ia
metrica.
Es
Ejemplo 3. Scan X un conjunto arbitrario y E el.conjunto de las aplicacioncs
<1111
Demostracion. Sea x = lim X 11 , x E X. Entonces
n-oo
acotadas X !... R. Entonces 'r/ (/ E E, g E E) se tiene que (/ - g) E E y esta
definido cl numero p(f, g) =sup IJ(x)- g(x)l. La aplicaci6n (/,g),_. p(f, g) es
Vc:
> 0 3 n,
EN: '1:/n ~ ncp(xn,X)
zEX
una metrica en cl conjunto E. Es facil comprobar que se cumplen los axiomas 1)-3).
Po r consiguiente, V (n
p(x,.+P' x)
Definicion 2. Sean (X, p) un espacio me trico, x E X , x,, E X V n E N.
Se dice que el punta x es el limite d e Ia sucesion (x,.), y se escribe
x
lim (x 11 ), si se verifica que p(x 11 , x )
o(1). Si una s ucesi6n de
= n-oo
~
n,, p E N) se veri fica Ia desig ualdad
t
< 2 y d e los axiomas 2) y 3) se obtiene Ia estimaci6n
p(xn+1,, xn) ~ p(Xn+p•x)+ p(x,x,.)=p(Xn+p,x)+ p(Xn,X)< t.
puntas de un espacio me trico tiene limite, entonces sc dice que es
Teorema 1. Toda sucesi6n convergente (x11 ) de puntos de 1111 espacio metrico
(X, p) tiene un solo limite.
Definicion 4. Un espacio me trico (X , p) se denomina completo si contiene
todas sus s uccsiones funda mentales junto con s us limites.
La recta numerica (v. ej. 1) es un espacio metrico completo.
lx - yj. El
Supongamos que V (x E Q y E Q) p(x, y)
espacio metrico (Q p) no es completo, puesto que, par ejemplo, Ia
=
sucesi6n fu ndamental de numeros racionales
Demostraci6n. Supongamos lo contrario, es decir, que Ia s ucesi6n
(x 11 ) tiene d os limites lim Xn
Xo y lim Xn =Yo, Xo 1= Yo· Sea
n-oo
=
11
converge al numero irracional e ¢ Q.
0
0
3.2. Bolas. Esferas. Diametro de un conjunto
En Ia teorfa de los espacios metricos se usa e l lenguaje d e la
geometria clasica.
Sean (X, p) un espacio me trico, x 0 E X y 6 > 0.
0
tenemos p(x,,x0 ) + p(x 11 ,1Jo) < to. En virtud de Ia propiedad
triangular obtenemos p(xo, Yo)
to ~ p(xn, xo) + p(xn, Yo) < to
sin ~ n,0 • Asf pues, hemos Uegado a Ia contradicci6n to> t 0 . El
teorema queda demostrado. .,.
=
Definicion 1. El conjunto 0 6(x0 ) = {x E X : p(x0 , x) < 6} se d enomina
bola abierla de radio 6 y centro en el punfo XQ, o bie n 6-entomo del
punto xo.
Definicion 3. Una sucesi6n (xn) de puntas d e un espacio metrico (X, p)
es fundamental si
(V t
> 0) (3 n,
1
1
x,, = 2+-+
... +2!
n!
n-.oo
to = p(xo, Yo). Entonces, por Ia definicion de limite, existen
•
(I)
(2)
(I)
to
dos numeros nc0 E N y nc0 E N: Vn ~ nco p(xn, xo) < 2 y
(2)
to
{ (I) (2) }
V n ~ nc p(X , Yo) < 2. Por tanto, V n ~ nc = max nc , nc
0
.,.
=
convergente.
~
t
< 2·
E N) (V(n ~ n,, p E N)): p(xn+w x 11 )
<t .
Definicion 2. El conjunto 06(xo) = {xE X:p(xo,x) ~6} se d enomina bola
cerrada de radio 6 y centro en el punto xo.
(4)
Definicion 3. El conjunto S(xo, 6) = {x E X: p(xo, x) = 6} se d enomina
esfera de radio 6 y centro en el punto xo.
Teorema 2. Toda sucesi6n convergente (x 11 ) de puntos de 1111 espacio metrico
(X, p) es fundamental.
En Ia recta numerica, Ia bola abierta (cerrada) de ra d io 6
y centro en el pun to x 0 E R es e l intervalo (xo - 6, xo + 6)
(segmento [xo - 6, Xo + 6]), mientras que Ia esfera del mismo
radio se compone d e dos puntas {x0 x 0 + 6}.
o,
Definicion 4. Sea (X, p) un espacio metrico y sean A, B dos subconjuntos
no vados del conjunto X. El numero real no negativo
p(A, B)
=
inf
p(x, y)
(1)
rEA,y ED
par tanto, p(x, y) :::; d(A); bien x E B, y E B, por consiguiente, p(x, y) :::; d(B); bien, por ejemplo, x E A, y E B,
y en virtud de Ia propiedad triangular obtenemos Ia desigualdad
p(x, y) :::; p(x, a) + p(a, b) + p(b, y), es decir,
d(A U B) :::; p(a, b)+ d(A) + d(B).
(4)
Sea c > 0. A partir de Ia definicion de infima tenemos que
3 a' E A 1\ b' E B tales que
p (A, B) :::; p (a', b')
se d enomina distnncin d el conjunto A a! conjunto B.
Dado que a y b son puntas arbitrarios, hacienda en Ia desigualdad
(4) a = a' y b = b', obtenemos Ia estimacion
Si el conjunto A tiene un solo pun to x, en Iugar de p(A, B)
se escribe p(x, B). La igualdad {1) puede escribirse, entonces, en
Ia forma
p(A, B) = inf p(x, B).
(2)
d(A U B)
Puesto que e
Xn
E Q:
Xn
= n- ~;
An B = 0,
1
3.3. Conjuntos abiertos
De~nicion 5. S~an (~, p) un espacio metrico y A C X un conjunto no
vaCJo. Se denorruna dwmetro del conjunto A a! numero
=
IJioo
= inf- = 0.
" n
d(A)
+ d(B).
Corolario. Si A es un conjrmto acotado, entonces 'V x0 E X el conjunto A
esta contenido en una bola cerrada de radio r = p(x0, A) + d(A) y centro en
el punta xo.
n EN\ {1} } · Tenemos entonces
p(A,B)
< p(A, B)+ d(A) + d(B) +c.
> 0 es arbitrario, obtcnemos
d(A U B) :::; p(A, B)+ d(A)
rEA
Si A n B ¥= 0, entonces p(A, B) = 0; sin embargo,
p(A, B) = 0 =/} A n B '# 0 . Sean, por ejemplo, A = N y
B = {
< p (A, B)+ c.
sup
p(x, y).
(3)
zEA,yEA
De Ia definicion se deduce que el diametro de un conjunto
no vado puede ser un numero real no negativo o +oo. Si A c B,
e~ton~es d(A).:::; d(B). ~ igualdad d(A) = 0 se veri fica si, y
solo sr, el conJunto A Ilene un solo punta. Si el diametro del
conjunto A es finito, el conjunto se denomina ncotado.
Definicion 1. Se denomina conjrmto abierto de un espacio metrico (X, p)
todo subconjunto G C X tal que
{'V x E G)(3 o> 0): 06(x) C G.
De Ia d efinicion se deduce que el conjunto vacfo es un
conjunto abierto y que todo el conjunto X es tambien abierto.
Teorema 1. Toda bola abierta es un conjunto abierto.
~ Demostracion. Sea (X, p) un espacio metrico y 06(xo) C X
Teorema. La union de dos conjuntos acotados A y B es u11 conjrmto
acotado.
~ Demostracion. Si
a E A, b E B y x, y son dos puntas cualesquiera del conjunto A U B , entonces bien x E A 1\ y E A,
una bola abierta. Si x E 06(xo) C X, entonces p(x0 , x) < 6 y
61 = o - p(xo, x) > 0. Ademas, p(x, y) < 61 si y E 061 (x). Estimemos Ia distancia p(xo, y). En virtud de Ia propiedad triangular,
tenemos
p(x0 , y) :::; p(xo, x) + p(x, y) < p(xo, x) + o, = 6. .
De este modo, se verifica Ia if1clusion 051(x) C 0 6(x 0 ), es decir,
el conjunto 0 6(xo) contiene el punto x junto con un entorno
suyo . .,..
Teorema 2. Todn union de una familia (jinitn o no) (G1,) ,EA de C011j111rtos
1
nbiertos es un conjwrlo nbierto.
~ Demostracion. Si x E G>. para cierto
6 > 0 tal que
06(X)
c G). c
>. E A, entonces existe un
u c,,.
En caso de que A = {x}, se habla d e un entorno del
punto x (y no del conjunto {x} ).
Definicion 2. Un punto x E X se llama punta interior de cierto conjunto
A c X si A es un entorno de d icho punto. El conjunto de tod os los puntas
interiorcs de un conjunto A constituye su interior y se denota mediante el
sfmbolo int A.
En Ia recta numerica, el interior de cualquier intervalo
(cerrado, abierto o semiabierto) con punto inicial a y punto final
b (a < b) es el intervalo abierto (a, b), ya que los p untas a y b no
pucden ser puntos interiores de los intervalos [a, b], [a, b), (a, b).
...
i•EA
Todo intervalo (a, +oo) de Ia recta numerica es abierto,
pues es Ia union de los intervalos abiertos de Ia fo rma (a, x) tales
que x >a.
Teorema 1. El interior int A de todo conjwrto A C X es elmnyor conjunto
nbierto que estci contenido
Teorema 3. Todn intersecci6n de una familia fin ita de conjun/os nbiertos es
wt abierto.
~ Demostracion. Es suficiente analiza r el caso de dos conjuntos
abiertos G1 y G2, y despues utiliza r el metoda de induccion.
Si x E G 1 n G2, entonces existen tales 61 > 0, 62 > 0
que 061 (x) C G1, 052 (x) C G2. De este modo, 0 6(x) C G1 n G2,
donde 6 = min {61,62}. .,..
La. interseccion de un numero infinito de conjuntos abiertos
ao es, en general, un conjunto abierto. Por ejemplo, Ia interseccion
d e los intervalos
( 1·1)
-;;, ;; , n E N, en Ia recta nun1erica es un
~
e11
A.
Demostracion. Si x E int A, entonces existe un conjunto abierto
Gz c A que contiene el punto x. Segt1n Ia definicion 1, el c~njun­
to A es un entorno de todo punto y E Gz ; por tanto, y E mt A .
U {x} C U Gz C intA.
Asf pues, Gz C intA e intA =
zEintA
zEintA
De acuerdo con el teorema 2, p. 3.3, el conjunto int A es abierto.
Si B c A es un conjunto abierto, entonces de Ia definicion 2 se
deduce que B C int A. .,..
En v irtud del teorema 1 se puede afirma r que los conjuntos
abiertos se caracterizan por cun1plir Ia condici6n A= int A.
conjunto cerrado, pues consta de un solo punto {0}.
Corolario. Si A C B, entonces int A C int B.
3.4. Interior de un conjunto
Sea (X, p) un espacio metrico.
Teore ma 2. Err wz espncio metrico, pam cunlquier par de conjuntos A y B
se verificn In igunldad
Definicion 1. Se llama entomo nbierto de un conjunto A c X a todo
conjunto abierto que contiene el conjunto A . Todo conjunto que contiene
un entorno abicrto de A se d enomina entomo d el conjunto A.
.
int (A
n B)= int An int B.
La. inclusion int (A n B) C int A n int B se
obtiene del corolario anterior. Segt1n el teorcma 3, p. 3.3, Ia
~ Demostracion.
tructuras nlndamentales det. amilisis mate~atico
interseccion int A n int B es un conj unto abierto y esta contenida
en Ia interseccion A n B. Ademas, e n virtud de l teorema 1 se .
veri fica Ia inclusion int A n int B C int (A n B). El tcorcma queda
demostrado. .,..
El interior de un conjunto no vacio puede ser el conjunto
vado; por ejemplo, para e l conjunto d e un solo punto {x} en Ia
recta numerica tenemos int {x} 0.
=
Definicion 3. Todo punto interior del conjunto X \ A se denomina punta
exterior del conjunto A, y el interior del conjunto X \ A constituye el
C011junto de puntas exteriores (exterior) del conjunto A.
Teorema 1. La bola cerrada
00
C X(xo) y la esfera S(xo, 6) C X son
cmzjuntos cerrados.
• Demostracion. Six (/:. 0 0(xo), entonces p(x, 0 0 (xo)) ~ p(xo, x)6 > 0; por tanto, Ia bola abierta de radio 6, = p(xo, x) - 6
y centro en el punto x esta contenida en el complemento de Ia
bola 06(x 0 ). Por consiguiente, este complemento es un conjunto
abierto. El complemento de Ia esfe ra S(xo, 6) es Ia uni6n de Ia
bola abierta 0 6(x0 ) y del complemento de Ia bola Oo(xo). Segun
el teorema 2, p. 3.3, esta union es un conjunto abierto. .,..
Teorema 2. Toda i11tersecci6n de una familia (finita o no) de conjzmtos
Teorema 3. Para que x E X sea
punta exterior del conju11to A es
11ecesario y sujicie11te que se verifique Ia condici611 p(x, A) > 0.
1111
cerrados es 1111 colljunto cerrado. Toda union de una familia finita de
colljlmtos cerrados es un conjunto cerrado.
•
~
D emostracion. Necesidad. Si x E X es un punto exterior de A,
entonces existe una bola 0 0(x) C X\ A (6 > 0). Para todo punto
yEA tenemos p(x, y) > 6; por consiguiente,
Demostraci6n. Si V a E A los conjuntos Fa son cerrados,
entonces los conjuntos CFa son abiertos. Por Ia segunda formula
de (2), p. 1.4, tenemos
C
p(x, A) = inf p(x, y) ~ 6 > 0.
n
= U CF,..
Fa
yEA
=
Suficiencia. Sea x E X. Hagamos p(x, A)
61• De Ia
condici6n 61 > 0 se deduce Ia inclusi6n 0 0, (x) C X\ A, lo cual
implica que x es un punta interior d el conjunto X\ A. .,..
3.5. Conjuntos cerrados. Puntos adherentes.
Adherencia de un conjunto
Sea (X, p) un espacio metrico.
En virtud del teorema 2, p. 3.3, el conjunto
Por consiguiente, e l conjunto C
por definicion, el conjunto
n
n
U CFa
es abierto.
aEA
Fa tarnbien lo es. Entonces,
aEA
Fa es cerrado.
<>
aE A
Demostremos ahora Ia segunda parte del teorema. Sean Fi
(i = 1, n) conjuntos cerrados. De acuerdo con Ia primera formula
de (2), p.1.4, tenemos
n
Definicion 1. Un conjunto F C X se denomina cerrado si su complemento
CF es un conjunto abierto.
El conjunto vacfo y el conjunto X son conjuntos cerrados.
Los intervalos [a, +oo), (-oo, a] y el conjunto Z son conjuntos
cerrados en Ia recta numerica. Los intervalos [a, b) y (a, b) no son
conjuntos abiertos ni cerrados.
{1)
aEA
c:tEA
n
c UFi = nCFi
i=l
(2)
i=l
Dado que los complementos CFi son conjuntos abiertos, entonces
n
n
CFi es un conjunto abierto (v. teorema 3, p. 3.3); por -consi-
i= t
II
guiente, el conj unto C
~
UF; tambien es abierto. De esta manera,
Tl
UF; cs un conjunto cerrado por definicion.
=
=
i= l
tene mos que
Demostracio n. Supongamos lo contrario, es decir, que para cierto
60 > 0 se tiene que Oc.(xo) n A
{y 1, y2, ... , y,. }. Dado que
x 0 f/:. A, tenemos rk
p(xo, Yk) > 0 (k
1, n). Elijamos r > 0
de tal fo rma que r < min{r,, r2, ... , rn } y Or(xo) C Oc.(xo).
Evidentemente, Or (x 0 ) n A = 0, lo cual entra en contradiccion
con el hecho de que el punto xo es adherente a! conjun to A. ..,..
..,..
i= l
=
En particular, todo conjunto q ue contiene un solo punto
es cerrado.
D e finicion 2. Un punto x 0 E X cs arlizerente a wz canjzmta A C X si
todo entorno 0 6 (x 0 ) tiene una interseccion no vacfa con A. Se deno~ina
adherencia (clausum, cierre) del conjunto A, y se d enota mediante A, el
conjunto de todos los pw1tos adherentes del conjunto A.
De finicion 3. Un p un to x 0 E X se denomjna punta limite (de acumulaci6n)
de un conjun to A C X si d icho punto es adherente al conjunto A\ {x0 } .
Del teorema 4 se deduce que todo 6-entorno de un punto
limite del conjunto A C X contiene un conjunto infinito de puntos
de A .
Sea x 0 E X un pun to limite del conjunto A C X. Consideremos una s ucesion arbitraria (06. (x 0)) de entornos del punto Xo,
donde 671 = a(l). En virtud d el teorema 4, V n E N el conjtmto
X 11
0 0• (x 0 ) n A es infinito. Elijamos un pun to arbitrario x ,
del conj unto X 1 y un punto x 2 # x, d el conjunto X 2 (esto es
posible debido a que los conjuntos X 1 y X 2 son infinitos). Sean
x 1, x 2, ... , X 11 , Xj E Xj (j [n), dis tintos puntos elegidos. En el
conjunto x,.+l elijamos un punto Xn+l # Xj, (j
1, n). Por induecion obtendremos una sucesion (xn) de puntos diferentes Xn E A.
De las condiciones tenemos que p(x,., x 0 ) < 671 , 671
a(l), de donde se deduce que xo
lim x ,. . Asi pues, hemos establecido que,
Si x E X no es un pun to adherente del conjunto A C X,
entonces x es un punta interior del comple mento CA. Por tanto,
la adherencia del conjunto A es el complemento d el conjunto de
sus puntos interiores: A = C int CA. Por ejemplo, la adh:!encia
de Ia bola abierta 0 6 (x 0) esta contenida en Ia bola cerrada 0 0(xo),
pero puede no coincidir con esta ul tima.
Dado que int CA es el mayor conjunto abierto que esta
contenido en CA, entonces A es el menor conj unto cerrado que
contiene el conjunto A. En particular, si el conjunto A es cerrado,
entonces A = A.
=
=
=
=
11 --t OO
si x 0 es un pun to limite de cierto conjunto A C X, entonces de sus
puntos siempre se puede formar una s ucesion que converge a x 0 .
Es valida tambien Ia proposicion redproca: si se sab e que
a partir de un conjunto A C X se puede elegir una s ucesion de
puntas diferentes que converge a cierto punto x 0 E X, entonces
x 0 es un punto limite d el conjunto A, puesto que todo 6~entorno
0 6 (x 0 ) contiene un conjunto infinite de puntos de A .
Ahora podemos dar otra defin icion de punto limite de un
conjunto A C X , equivalente a Ia definicion 3.
Teorema 3. Pam que un punta Xo E X sea adherente a un canjzmta A C X ,
es necesaria y suficienle que p(xo, A) = 0.
~ Demostracion.
Necesidad. Sea xo E X un punto adherente del
conjunto A C X. En este caso, Xo f/:. int CA y de acuerdo con el
teorema 3, p. 3.4, p(xo, A) 0.
Suficiencia. Si p(xo, A)= 0, entonces tod o entorno 0 0 (xo)
tiene una interseccion no vacia con el conjunto A. ..,..
=
Teorema 4. Si 1111 punta x 0 E X es adizerente de cierta canjunta A C X,
x 0 f/:. A, entances V fJ > 0 el conjunta 0 6 (x 0 ) n A es infinita.
=
Definicion 4. Un punto Xo E X se denomina punta limite de un conjunto
A c X si del conjunto A se puede elegir una sucesion (x 11 ) de puntos
dis tintos que converge al p unto xo respecto a Ia metrica del'espacio (X, p).
3 3:1<. 36
Un punto llmite de cierto conjunto pucde o no pertenecer
al mismo. Ante riormente se demostr6 que si A es un conjunto
cerrad o, entonces A = A, es d ecir, un conjunto cerrado A contienc
tod os sus puntos adhere ntes y, por tanto, todos sus puntos limite
que son, evidentementc, puntos adherentes.
dife rentes: uno en E y otro fuera de E, lo que es imposible en
virtud de Ia unicidad del limite. Esta contradicci6n tiene su origen
en Ia hip6tesis de que e l conjunto E no es cerrado.
Suficiencin. Sea E un subconjunto cerrado del conjun-·
to X . Toda sucesi6n funda mental (y,.) de puntos d el espacio
me trico (E, p) converge en (X, p) d ebido a Ia completitud de este
ultimo, y su limite pertenece al conjunto E, pues este es cerrado.
Por tanto, e l conjunto E con tiene todos sus puntos limites, es
decir, el espacio metrico (E, p) es completo. ..,..
Definicion 5. Un punto x 0 E X se denomina punta frontern de cierto
conjw1to A C X si x 0 cs adherente tanto a A, como a CA. Se llama
frontera d el conjunto A, y se denota mediante 8A, al conjunto de todos
los puntos frontera de A .
De Ia d efinicion se d educe que 8A = An CA = 8(CA) .
En virtud d el teorema 2, 8A es un conjunto cerrado (que puede
ser vado).
§ 4. Conjuntos compactos
Definicion 6. Un punto x 0 E A se denomina punta aislado del conjunto
A c X si 3 6 > 0: 0 6 (x0 ) n A\ {x 0 } = 0, es decir, xo es adherente al
conjunto A p ero no es punto limite del mismo.
Definicion 1. Un conjunto K C X se denomina compacta m el espncio
metrico (X, p) si toda sucesi6n (x,.) de eleme ntos de K contiene una
subsucesi6n convergente. Si para toda sucesi6n convergente de puntos
de K su lfmite pertenece a K , entonces se dice que K es compacta
(secuencinlmente compacta). Si los limites d e dichas sucesiones p ertenecen
al conjunto X sin pertenecer, ta l vez, al conjunto K, entonces K se
denomina compacta en el (respecto a!) espncio (X, p).
Definicion 7. Sea E un subconjunto no vacio de X. La restricci6n Pie2 se
denomina metrica inducida e11 E porIa metrica X 2 ~lit El espacio metrico
(E, p) d e terminado por Ia me trica inducida se denomina su/Jespncio del
espacio metrico (X p).
I
Es evidente que un conjunto J( es compacto si, y s61o si,
K es cerrado y compacto en el espacio (X, p).
Teorema 5. Sen (E, p) rm su/Jespndo del espncio metrico completo (X , p).
Entonces (E, p) es '"' espncio metrico completo si, y solo si, E es 1111
D
=
<1111
Demostracion. Necesidad. Sea (E, p) un espacio metrico completo. Supongamos que E no es un subconjunto cerrado de X .
Entonces existe una sucesi6n (x.. ) de puntos del conjunto E que
converge a cierto punto x E X\ E. Dado que Ia sucesion (x .. )
es fundamental (Ia metrica d e (E, p) es Ia me trica inducida por
Ia metrica de (X, p)), entonces, en virtud de Ia completitud del
x', x' E E. Asi pues, he mos obespacio (E, p), existe lim x,.
n-oo
=
Ejemplo 1. Consideremos el conjunto X
[0, 1) y Ia metrica p(x, y) ix- yl
V(x EX, y E X). El espacio metrico (X, p) es un compacto en virtud del teorema
clasico de Bolzano- Weierstrass.
subconjunto cerrado del conjrmto X.
=
Ejemplo 2. El espacio metrico (R, p), p(x, y) lx - Yi V (x E R, y E R) no es
compacto puesto que el subconjunto de sus puntos N c R no contiene ninguna
sucesi6n convergcnte. Sin embargo, en virtud del teorema de Balzano-Weierstrass,
todo conjunto acotado X C IR es compacto.
=
Demostremos ahora el teorema analogo al teorema de
bolns encajadas d e un espacio me trico completo. Consideraremos
tenido una sucesi6n de puntos d el espacio (E, p) condos lfmites
3•
conjuntos compactos de puntas de un espacio mctrico (X, p) sin
suponer Ia completitud de este ultimo.
Definicion 4. Sea M un conjunto arbitrario. Se denomina recubrimiento
de un conjunto E C M a una familia (B>.) de subconjuntos de M tal que
E
c
u
(B>.hEA·
)..
Teorema 1 (de Cantor). Pam toda sucesi611 riecreciente
Sea K un conjunto de puntos de un espacio metrico.
Las propiedades de K d e ser compacta y totalmente acotado se
re lacionan mediante el siguiente teorema.
K, :::> K2 J ... :::> K,. :::> • •.
de conjuntos compnctos cerrnrios no vacios rie cierlo espncio uu!trico (X, p)
n
00
Ia intersecci6n K =
Ki es no vacia.
j =l
~ Demostracion. Elijamos arbitrariamente un punta _xi en cada
conjunto Kj . Obtenemos Ia sucesion (xj), donde {Xj,J EN}~ K, .
Puesto que K 1 es compacta, a partir de (xj) ~odemos elegtr una
Teorema 2 {de Hausdorff). Sen (X, p) 1111 espncio mt!trico. Todo conjunto
compacta f( C X es totnlmente ncotado en X.
~
subsucesi6n convergente (xj.)- Sea xo = hm xi•· Para todo
k-oo
no E N, todos los terminos de Ia subsucesi6n (xj.), ik > no,
perteneceran a l conjunto Kn 0 , y como K,. 0 es cerrado, e ntonces
x 0 E K,.0 • Por tanto,
00
Xo E nKj.
=
j=l
Definicion 2. Sean (X, p) un espacio metrico y t: > 0. Un conjunto
x 1 c X se denomina sistema de vecindades (t:-red) del conjunto Xz C X
si 'Vx E X 2 existe un elemento x, EX, tal que p(x,_x,) < t: .
En particular, el conjunto Xz puede coincidir con el
conjunto X.
Definicion 3. Un conjunto E C X se denomina Iota/mente acotado en el
espacio metrico (X, p) si 'V € > 0 existe una €-red finita de este conjunto
en X .
La ultima condici6n es equivalente a Ia siguiente: 'V t: > 0
existe un conjunto finito F C X tal q ue 'V x E E se tiene que
p(x, F)< €.
·
Sefialemos que el hecho de que cierto conjunto de puntas
de un espacio metrico este acotado no implica que e l conjunto sea
totalmente acotado.
Demostracion. Supongamos lo contrario, o sea, que K es compacta, pero existe cierto t:0 > 0 para el que no existe una t:0 -red
finita . Fijemos un punto x 1 E K arbitrario. De acuerdo con la suposici6n, el conjunto {x 1} no forma una t:0 -red del conjunto K, es
decir, p(x 1, K) ~ t:0 . Elijamos un punto arbitrario x 2 E K que verifique Ia condici6n p(x 1, x 2 ) ~ t:0 • Dado que el conjunto {xv x 2 }
no es una t:o-red del conjunto K, existe un pun to x 3 E K tal que
p(x;, x 3 ) ~ t:o (i
1, 2). Sean x 1 , x 2 , .. . , x,. puntas elegidos que
satisfacen Ia condici6n p(x;, Xj) ~ t:0 (i-:/= j; i,j ~ n) . Elijamos
un punta Xn+ I E /( tal que p(x;, Xn+ l) ~ t:o (i = 1, n). Utilizando el metoda de inducci6n respecto a n E N, construimos una
sucesi6n (x,.) de puntas de K, cuyos terminos verifican Ia condici6n p(x;, Xj) ~ t:o (i-:/= j). Es evidente que Ia sucesi6n (xn) no
contiene ninguna subsucesi6n convergente, lo cual contradice Ia
hip6tesis de compacidad del conjunto K . Asi pues, el teorema
queda demostrado. ..,.
Teorema 3 (de Frechet). Si un espacio metrico (X, p) es completo, entonces
todo conjunto E C X totalmente acotado en este espacio es compacta.
~
Demostracion. Si E C X es totalmente acotado, entonces 'V t: > 0
existe una €-red finita del conjunto E en el conjunto X. Sea (xn)
una sucesi6n arbitraria de elementos de E. Dado que existe un
recubrimiento finito del conjunto E mediante bolas abiertas de radios menores que t:, al menos una de estas bolas contiene una subsucesi6n (x,..) de (x,.). De este modo, 'V € > 0, a partir d e cualquier
sucesi6n de e le me ntos del conjunto E se puede formar una s ubsucesi6n tal que Ia dis ta ncia entre sus terminos sea menor que c.
Sea c,.
= -n1
. . ( x,.(I))
V n E N. El"IJamos una sub s uces10n
de Ia s ucesi6n (x,.) tal qi.1e las distancias entre sus terminos
sean menores que 1. Tomemos en esta s ubsucesi6n una nueva
s ubs ucesi6n (xl~l) con las dis tancias entre sus terminos menores
Sean ( x~>), j
1, k , las subs ucesiones elegidas. Elija2
mos en (x~>) una s ubs ucesi6n (xl~+ ll) tal que las dista ncias
1
entre sus h~ rminos sean men ores que - - . H emos obtemdo
que
~.
S11ficie11cia. Si e l conjunto K C X es cerrado en (X, p),
entonces, en vi rt ud del teore ma 5, p. 3.5, el espacio (K, p) es
complete y, por tanto, K es compacta. ..,..
La sig uiente afirmaci6n permite dar una nueva definiCion de conjunto secue ncialmente compac ta, cquivalente a Ia
definicion 1.
=
0
k+1
una s ucesi6n de s ubs ucesioncs ( x~l:)) I: EN" Formemos una nueva
sucesi6n ( xl:'>) compues ta de los terminos diagonales de todas
las s ubsucesiones anteriores. Los te rminos de esta nueva sucesi6n pe rtenecen, a partir de cierto numero k E N, a Ia k-esima
(n)
(m) )
1
s ubs ucesi6n; por tanto, V (n > k, m > k) p ( x ,. , Xm
< k.
Consiguientemente, Ia sucesi6 n ( xl~>) es fundamental. En virtud
.
. {X , p), tenemos 11m
. x,.(n)
de Ia completltud
del espac10
x,
n-oo
=
x E X. Por definicion, e l conjunto E es compacta en el espacio (X, p). ..,..
A partir de los teoremas 2 y 3 obtenemos Ia afirmaci6n_
siguiente.
Teorema 4. Para que
11/L conjunto E C X sea-compacta en 1111 espacio
(X, p) es necesario (y suficiente si (X, p) es 1111 espacio completo) que E sea
totalmente acotado en X.
Teorema 6. Sea F C X 1111 conju11/o cerrado de un espacio metrico (X, p).
Pam que F sea secuencialmente compacta, es necesario y suficiente que
a partir de c11alq11ier rec11brimiento de F mediante conjrmtos abiertos se
p11eda extraer 1111 rec11brimiento fin ito.
~ Demostraci6n.
Necesidad. Scan F C X un compacta, (G,..)aeA
una familia de conjuntos abiertos que recubren F , (c,.) una suce. . . f' . . .
d
.
..
(I)
( I)
(I)
s1on m m1tes1ma e numeros posthvos, y x 1 , x 2 , . .. , xk una
c 1-red fi nita de l conjun to F . Entonces tenemos
k
F=UF;,
1
=
F;,
Teorema 5. Un subconjunto compacta K C X de un espacio melrico (X, p)
es un compacta si, y solo si, K es cerrado en (X, p).
,. Demostraci6n. Necesidad. Sea K C X un conjunto co mpacta.
Seglln el teorema 5, p. 3.5, e l espacio (K, p) es complete y, por
consigujente, el conjunto K es cerrado.
i =l
donde F; 0,, (x~ >) n F . Los conjuntos F; son secuencialmente
compactos y, ademas, d(F;) ~ 2c 1, donde d(Fi) es el diametro del
conjunto F;. Supongamos que d el recubrimiento (Ga)aeA no se
pued e extraer un recubrimiento finito. Es to sigrufica que a l menos
uno de los conjuntos d e F; (lo d eno taremos m ediante F;,) posec esa propiedad. Razonando a na!ogamenle, podemos encontrar
en F;, un conjunto secuencialmente compacta F ;1; 2 de diametro
d(F;,;2 ) ~ 2c2 que nose puede recubrir mediante nmguna familia
finita de abiertos obtenida a partir de Ia familia (Ga)aeA. Continuando este procedirruento, obtendremos una s ucesi6n encajada
de conjuntos cerrados
::::>
F; 1; 2
::::> ... ::::>
F; 1; 2 ... i.
::::> . .. ,
=
cuyos diame tros tienden a cero, pues d(F;,;2... ;.) ::::; 2£,., c11
o(1).
Seglt.n el teorema 1, exis te un punto x 0 E F que pertenece a
todos estos conjtmtos. Dado que Ia familia (Ga)aeA recubre el
conjunto F, entonces exis te un s ubconjunto Gao de esta familia
ta l que Xo E Gao· Puesto que Gao es un conjunto abierto, existe
un c -entomo O, (xo) C Ga0 • Elijamos un n E N que satisfaga Ia
condici6n d(F;,; 2... ;.) <c . Entonces, evidentemente, es valida Ia
Limite y continuidad de una a_elicacion de un es
inclusion F;,;2••• i. C O, (xo), Ia cual contradice Ia suposicion de
que a partir del recubrimiento (Ga)aeA de F;,;2.. . ; . no es posible
extraer un recubrimiento finito.
Suficiencia. Supongamos que siempre se puede elegir un
recubrimiento finito a partir de cualquier recubrimiento (Ga)aeA
del conjunto F. Sea M C F un subconjunto que no tiene puntos
limites. Entonces 'r/ x E F existe un entomo 0 ,, (x) que no
contiene puntos del conjunto M, salvo, tal vez, el punto x.
Dichos entornos recubren el conjunto F. A partir d e Ia familia
Definicion 3. Un conjunto conexo abierto se denomina regi611:
Definicion 4. El conjunto formado por una region y su frontera se
denomina region cerrada.
La recta numenca es un espacio conexo. Para que un
conjunto A C IR sea conexo, es necesario y suficiente que A sea
un intervale (acotado o no).
( O~~l) zEF elegimos un recubri~iento (O,i(xj)) i =Gi· Dado que
M C
U O,;(xj)
§ 6. Limite y continuidad
de una aplicaci6n de un
espacio metrico en otro
j=l
y cada entorno O,i(xj) puede contener a lo sumo un punto
de M, entonces el conjunto M es finito. Por consiguiente, todo
subconjunto infinito M C F debe tener puntos lirnites, es decir,
F es un compacto. ..,.
Definicion 5. Un conjunto
J(
6.1. Limite y continuidad de una aplicaci6n
Sean (X, Px) e (Y, py) dos espacios metricos, f: X - t Y una
ap licacion y x 0 E X un pun to limite del conjunto D1 . ·
C X de puntas de un espacio metrico
(X, p) es col/lpacto si a partir de cualquier recubrirniento (Ga)aeA d e J( se
puede ex traer un recubrirniento finito de
J(.
Definicion 1. Un punto a E Y se denomina limite parcial de Ia aplicnci6n f e11 e1 pun to xo si existe una sucesion (x,.) de puntas del conjunto D 1
tal que
§ 5. Espacios y conjuntos conexos
(x,.
-t
xo) /\ ('r/n EN x,.
i= xo) /\ (lim f (x,.) =a).
(1)
11 - 00
La condicio~ (1) tambien se puede _escribir en Ia forma
Definicion 1. Un espacio metrico (X, p) se.denomina conexo sino existen
d os subconjuntos abiertos no vacios A C X, B C X tales que Au B = X,
AnB =0.
Esta d efinicion puede formularse de un modo equivalente:
un espacio metrico (X, p) es conexo si entre todos los subconjuntos
del conjunto X solamente el conjunto vacio y el propio conjunto X
son abiertos y cerrados a la vez.
Definicion 2. Un conjunto E C X de un espacio metrico (X, p) es conexo
si es conexo el subespacio (E, p).
(Px(xo,x,.) = o(l)) 1\
('rln EN Px(xo,x,.) > 0)1\
A(py(a, f(x,.))
= o(l)) .
El conjunto de todos los limites parciales de Ia aplicacion
en el punto x 0 se denotara mediante el sfrnbolo E 1(x 0 ) .
Definicion 2. Si el conjunto E1(xo) esta compuesto de un solo punto a,
entonces ese punto recibe el nombre d e limite de Ia nplicaci611 f en el
punto x0 y se denota mediante el sfrnbolo lim f(x).
x-x0
f
definicion de compacto, existen un pu n to Xo E D 1 y una subsucesion (x,~) tales que X 11 ~ -+ xo si k -+. oo. Segun la definicion de aplicacion continua, Yn~ = f (x,.~) -+ f(xo) =Yo E E1,
lo que significa que cl conjunto E 1 cs sccuencialmentc compacto. ..,.
. _El sentido de Ia d efinicio n 2 es el sig uiente: para toda
suces10n (xn) de pu n los d el conjunto D 1, Ia cual con verge
a xo y cuyos terminos sdn distintos de este, Ia s ucesion (f(x,.))
converge a a.
_ . La d e fu1ici?n de lfmite de una aplicacion en un punto en
te rnunos de sucestones se suele denomina r definicion de limite en
el sentido de Heilre (1821-1881).
Definicion 3 (de Heine ). Una aplicacion f se denomina continua en cl
punta xo E D1 si para toda s ucesion (x,.) -+ x 0 tal que x,. E D1, V n E N,
se tiene q ue lim f (x) = f( x 0 ).
6.2. Continuidad de la composici6n
de aplicaciones
Sean (X, Px ), (Y, py ), (Z, pz) tres espacios metricos y
g: Y -+ Z dos aplicaciones ta les que E1 C D 9 .
f: X
-+ y
I
x-x0
Una aplicacion f que es continua en todos los puntos de
s u dominio D1 se d enomina co11finua.
._
Sea xo .E D 1 un p unto limite de l conjunto D 1. La a plicaCion f es contmua en el p unto x 0 si, y solo si, lim f (x)
f (x 0 ) .
:r:-xo
f es wrn
nplicnci611 continua en un punto x0 E D1 y g es una nplicaci6n conti11un
e11 el pu11to f (x 0 ) E D 9 , e11t011Ces In composici6n g o f es continua en el
flunto x 0 .
Teore ma 1 (de continuidad de Ia composici6n de aplicaciones). Si
=
Toda aplicacion es continua en cualquier punto aislado de s u
d ominio.
Una aplicacion q ue no es continua en cie rto punto x 0 E D 1
se d enomina discontinua en ese punto.
Sea Xo E D 1 un p un to limite del conj unto D 1 . El pun to x 0
se lla ma pu11to de disco11tinuidad evitable d e Ia aplicacion f si
existe lim f (x) E Y . En este caso Ia aplicacio n f' definida por
~ Demostraci6 n. Sea x ,. -+ x 0 una suces10n tal q ue V n E N
X
E Dgol· Es evidente que (Yn = f (xn) -+ j (xo)) I\ Yn E Dg ·
11
En v irtud de esto g(yn) -+ g(f (xo )) si n -+ oo. Por tanto,
(go f)(x,.) = g(y11 )-+ g(f(xo)) =(go f)(xo). ..,.
x-zo
Ia formula
f( x ),
j*(x ) = { lim f(x),
x-x0
si x E D 1 \ { x 0 } ,
si x = x 0 ,
Teore ma 2. Sen x 0
1111
punto limite del conjrmto Dgof . Si :r-zo
lim f (x)
y In nplicnci6n g: Y
-+
Z es contirwa e11 el pu'!_lo Yo, entonces
"
lim g(f(x))
z - x0
= Yo
= g(yo).
es continua en el punto x 0 .
~ D emost raci6n. Definamos Ia aplicaci6n
Teorema (de continuidad de Ia imagen de un compacta). Si
f:
X -+ y
compacta, e11tonces el co11junto E1
es una apl!caci6n continua y D1 es .'m
es secuencralmente compacta, es decrr, In imagen continua de
tnmbie11 es 1111 compacta.
~ Demos~raci6n.
1111
Fijemos una sucesion arbitra ria de p untos (y11 }
d el conJunlo E1 = f (DI). Entonces existe una s ucesion (x,.)
ta l que V n E N X n E D 1 1\ Yn = f(x 11 ) . De acuerdo con Ia
f
compncto
•
(x) =
{f (x),
Yo,
si x E DJ \ {xo},
.
st x = x 0
que es continua en el punto xo. En virtud del teorema 1, Ia
com posicion go f es continua en ese punto. Por consiguiente,
lim (go f) (x) = lim (go /' ) (x) = (go j*) (xo) = g(yo).
x-x 0
%-+:to
..,.
6.3. Continuidad de Ia aplicaci6n inversa
.,.. Demostra cio n . Sea. lim f(x)
z - zo
Teore m a (de conti nuidad de Ia aplicaci6n inversa). Sem1 (X, p x) y (Y, py)
dos espncios melricos. Co11sideremos una nplicnci6n j: X ---+ Y tal que D I
es w1 compacta. Si In nplicnci6n f es continua e invertible, entonccs j - 1 es
continua.
lim
n-+oo
r
1
(y,.)
1
X11 ---+ x0 y V n E N x,. =/= x 0 . Entonces, para el valor 6 > 0
ind icado en (1} existe un nc5 E N: V n ;::: nc5 0 < Px(xo, x,.) < 6.
De acuerdo con Ia definicion 1, V n ;;:: nc5 py(a, f(x,.)) < c, es
decir, f (x 11 )---+ a. Asi pues, hemos obtenido q ue el punta a es el
limite de Ia aplicaci6n f en el punta Xo en el sentido de Heine.
Suponiendo q ue a
lim j (x) en el sentido de H eine,
=
demostremos que a es el Hrnite de Ia aplicaci6n f en el punto x o
en el sentido de Cauchy.
Supongamos lo contra rio, es decir, que para cie rto co > 0
nose p uede encontrar u n valor 6 > 0 que satisfaga la condici6n (1}.
En otras palabras, V 6 > 0 3 x E D1 tal que 0 < Px(xo, x) < 6,
pero py(a, f(x)) ;;:: c0 . Sea (6,.) una sucesi6n infinitesima de
numeros positives. Segun Ia hlp6tesis
r
= r 1(yo), lo que significa que Ia aplicaci6n r
en el sentido de Cauch y,
X-+Xo
.,.. D e mostracion. Sea (y,.) una suces10n de pun tas del conjunto E1 que converge a Yo E E1, y sea a un limite parcial de
Ia sucesi6n (f - 1(y,.)). Dado que D 1 cs un compacta, entonces
a E D1. De Ia continuidad de Ia aplicaci6n f se deduce que
j(a) es un limite parcial de Ia sucesi6n (y,.), en virtud de lo
1
cual j (a) = Yo, a =
(Yo). De este modo, todos los lfmites
1
(yo), cs decir,
parciales de Ia sucesi6n {f- 1(y,.)) son iguales a
r
=a
es
(rln EN) (3 x,. E D1)('1n EN x,. f. Xo /\0 < Px(xo, Xn) <On):
continua en el pw1to Yo· Como Yo es un p unto arbitra rio del
conjunto E1, entonces j - 1 es una aplicaci6n continua. .,.
py(a, f (x,.)) ;;:: co.
= o(1), entonces n-oo
lim Xn = Xo, de lo cual se deduce
Ia expresi6n limite lim py(a, J (x,.)) = 0. Esto ultimo contradice
n-oo
Dado que On
6.4. Limite y continuidad de una aplicaci6n
en el sentido de Cauchy.
Propiedades de las aplicaciones continuas
que V n E N py (a, f (x 11 )) ;;:: co . Asi p ues, Ia s uposici6n de que a
no es ellimite d e la aplicaci6n f en el p un to xo en el sentido d e
Cauchy es err6nea. IIJo-
Sean (X,px), (Y,py) dos espacios metricos y j: X---+ Y una
aplicaci6n.
D efinicion 2. Una aplicaci6n f : x
D e finicion 1. Supongamos q ue xo es un p un to limite del conjunto D 1 .
Un p unto a E Y se denomina limite de In nplicnci6n j en el pun/a x 0 en
el sentido de Cauchy, si
(ric> 0)(3
o > 0) (Vx E D 1, 0 < Px(x0,x) < o):
py(a, f( x)) < c.
('1 c > 0) (3
o> 0)('1 x E D1, px(xo, x) < 6):
py{J(xo), f (x))
< c.
Ull
(2)
(1)
Teorema 1. Las definiciones de limite de una nplicnci6n en un punta en el
sentido de Heiney en el de Cauchy son equivalentes.
---+ Y se denomina continua en
pun to x0 E D1 en el senti do de Cauchy, si
Es evidente que las d efiniciones de H eine y de Cauchy de
continuidad de una aplicaci6n en un p un ta son equivalentes.
El concepto de continuidad de una aplicaci6n en un punta
tiene carckter local, lo cual se demuestra en las afirmaciones
siguientes.
Teorema 2 (de continuidad de Ia restricci6n de una aplicaci6n). Sea
f: X _. Y una nplicaci6n coiltinun en 1111 punta x 0 E D1, A C D1,
xo E A . Entonces Ia restricci6n JIA es lllltt nplicaci6n continua en el
. punta Xo.
..,.. Demostracion. Supongamos que x,. _. x 0 y Vn E N x,. E A.
Entonces !IA(x,.)
f( xu) _. f (xo ) !IA(xo). ~
=
=
Recordemos que un conjunto V C X se llama entorno del
punta Xo E X (v. p. 3.4) si existe un conjunto abierto G C X
tal que xo E G C V. Si x0 E A C X , Ia interseccion A n V se
denomina entorno del punta x 0 en A.
Teorema 3. Supongnmos que existe Ull entorno W de UJI punta x 0 en D 1 tnl
que Ia nplicaci61l f
es continua ell el punta x 0 . En ese caso In nplicnci6n
f: X _. Y es continua en el punta x 0 .
lw
..,.. Demostracion. Asuma mos que X 71 _ . Xo y que V n E N x,, E D 1.
Entonces existe un numero n 0 E N tal que Vn ~ n 0 x,. E W.
Dado que
f( Xn 0 +n) = fiw( Xu0 +u) --+ flw <xo) = f(xo),
tenemos que f(x,.) --+ f( x 0 ) cuando n --+ oo. Segun Ia definicion,
Ia aplicacion f es continua en el punta x0 . ~
El sentido de los teoremas 2 y 3 consiste en que Ia
continuidad de una aplicaeion en un punto solo depende de los
va!Qres que Ia aplicacion toma en cierto entorno de dicho punto.
Formulemos el concepto de aplicacion continua en el
leng uaje de entornos.
el concepto de continu idad de una aplicaci6n f en un punta xo se
puede enunciar en ellenguaje de c-y 6-~ ntornos: una aplicacion
f: x --+ Y se denomina continua ell llll punta x 0 E D 1 si para
cada entorno Oc(f (xo)) C E1 existe un entorno 0 6 (x0 ) C D 1 tal
que f (0 6(xo)) C Oc(f(xo)) .
Teorema 4. Pnrn que unn aplicaci6n f : X --+ Y sea continua en 11 /Z punta
x0 E D 1, es necesnrio y suficiente que In preimngell f - 1(V' ) de cada entorno
del punta f(x 0 ) en E1 sea 1m entomo del punta x 0 en D1.
..,.. Demostracion. Necesidnd. Si Ia aplicacion f es continua en
el pun to xo E D 1, entonces de Ia definicion 3 se deduce que
1
Xo E v c
W') y, por consiguiente, Ia preimagen 1(V 1 ) es
un entomo del pun to xo en D 1.
Suficiencin. Si W = f - 1(V') es un entorno del punto x 0
en D 1 , entonces existe un conjunto abierto G tal q ue x 0 E G C W ,
luego V' ::) f(G). ~
r
r
Los dos teoremas siguientes tienen un carcicter auxiliar.
Teorema 5. Sea f: X --+ Y y sea Xo E D1 un punta adherente del conjunto
A C D1. Si Ia nplicnci6n f es continua en el punta xo, entonces f(xo) es
1111 punta ndlzerente del conjunto f (A).
..,.. Demostracion. Si V' es un entorno del ptmto j(x0 ) en E 1 , entonces, segun el teorema 4, j - 1(V') es un entorno del punto x 0 enD1 .
Dado que xo es un punta aclherente del conjunto A, entonces
1
1
An
(V') :j: 0 . Por tanto, existe un punta x E An
(V 1), en
virtud de lo cual f(x) E f (A) n V', es decir, el conjunto j (A) n V'
es no vacfo. Dado que V' es un entomo del punta f(x 0 ), el ultimo
es un punta adherente del conjunto f(A). ..,..
r
Definicion 3. Sean (X , Px) y (Y, py) dos espacios metricos. Una aplicaci6n f: X _. Y se denomina continua en Ull punta x 0 E D 1 si para
cada entorno V' del punta f(x 0 ) en el conjunto E1 existe un entorno V
del punto xo en el conjunto D 1 tal que f(V) C V ' . La aplicaci6n f se
denomina continua si es continua V x E D 1.
Dado que los conjuntos Oc(f(xo)) C E1 y 06(xo) C D1
son entornos de los puntas f( x 0 ) y x 0 , respectivamente, entonces
r
Teorema 6. Supongamos que f: X
Entonces 1(A' \ B' ) = 1(A') \
r
r
r
Y, A' C E 1, B' C E 1, A' ::) B'.
(B').
--+
1
Limite y continuidad de ..!:'O.~ .JP-licaci6rl de un es
a
~ Demostracion. Sea
X
j(x) E A'\ B'
E
=>
r
r
1
.f(A) C F = F . Por consiguiente, A C
(F) = A y como
A C A, entonces A cs cerrado. De estc modo, 4) => 3).
Consideremos que se c~mple Ia condici6n 3). A partir del
teorcma 6, tenemos
1
(A' \ B'). Entonces
f(x) E A' 1\ f(x) (/ B'
=>
=> x E r <A'> " x fl. r <B'> =>
=> X E r 1(A') \ r 1(B') =>
=> 1(A' \ B') C r 1(A') \ r 1(B').
1
1
r
r
r
1
y E
r
Si y E
(A') \
1
r
1
r
fl.
1
(B') => f(y) E A' 1\ f(y)
=> f(y) E A'\ B' => y E
=>
r
1
1
(A ) \
r
1
(B') C
r
r
1
fl.
B' =>
(A' \ B') =>
1
(A' \ B'),
de donde se deduce Ia igualdad a demostrar.
~
1)
2)
-+
Y. Las propiedades siguientes son equiualentes:
f es una nplicnci6n continua;
In preimngen f - 1(G) de cadn conjrmto nbierto en E 1 es
J(A)
1
(F \oF) =
r
1
(F) \
r
1
(8F) = int
r
1
(F).
6.5. Aplicaciones unifonnemente continuas
abierta en D 1;
3) Ia preimagen j - 1(F) de cndn conjrmfo F cerrndo en E 1 es
cerrada en D 1;
4) para cada conjunfo A C D 1 es utilida Ia inclusion
r
Seiialemos que Ia imagen de un conjunto abicrto (cerrado)
mediante una aplicaci6n continua no cs, en general, un conjunto
abi~rto (cerrado). Por ejemplo, Ia aplicaci6n x ~-+ x~, x E IR,
es continua en IR, sin embargo Ia imagen [0, 1) d e l conjunto
abierto (-1, 1) noes abierta.
La afirmacion siguiente tiene caracter global.
Teorema 7. Sea f : X
(int F) =
Por consigu iente, 3) => 2). Queda por establcccr que 2) => 1).
Suponga mos que se verifica Ia condici6n 2). Si V' es un entorno
del pun to f(x) en E1, entonces existe un entomo abierto W' C V'
de esc mismo ptmto. La preimagen f - 1 (W') cs un conjunto abierto
en D1 que contiene el punto x y esta contenido en j - 1(V'). Segun
cl tcorema 4, Ia aplicaci6n f es contin ua en e l pun to x E D 1 .
Dndo qu e x es un punto arbitrario, Ia aplicaci6n f es continua y,
por tanto, 2) => 1). ~
(B'), tenemos
(A') 1\ y
1
C
f(A).
Sean_(X,px), (Y,py) dos espacios metricos y sea f : X -+ Y .
t>
Definicion. Se dice que Ia aplicaci6n
canjrmto D 1 si
{Vr:
> 0)(3 6 > O)(V(xi
f
es zmifomremente continua en el
E D1, x2 E D1), Px(xl,x2)
py(f(xi), j(x2))
~ Demostracion. Demostremos que se verifica Ia cadena de impli-
caciones 1) => 4) => 3) => 2) => 1). Sea f una aplicacion continua y
A C D 1 un conjunto arbitrario. Su adherencia A esta compuesta,
por d efinicion, de todos los puntos adherentes del conjunto A .
Si x E D 1 es un punto adherente del conjunto A, entonces,
por el teorema 5, tenemos que f(x) es un punto adherente del
conjunto f(A) . Por tanto, f(A) C f(A) , luego 1) => 4).
Supongamos ahora que se verifica Ia condicion 4). Sea
1
F C Et un conjunto cerrado de E 1 y A
(F), entonces
< r:.
< 6):
(1}
Es evidente que una aplicaci6n uniformemente continua
cs continua. La afirmaci6n redproca, en general, no es v;Hida.
Por ejemplo, Ia funci6n continua x ~-+ x 2 , x E l!ll, no es uniformemente continua, pues para un h > 0 dado Ia dife rencia
2
(x + h?- x
h(2x + h) puede tomar valores tan grandes como
se quiera.
=
=r
4 J. • . 36
Teorema 1. Senn (X,px), (Y,pr), (Z,pz) tres espncios metricos. Consirleremos dos nplicnciones f: X -+ Y, g: Y -+ Z. Si Ins aplicnciones f y ~ ~~~~
Entonces obtendremos
py(f(x,k), f (y,k)):::;; py(f(x,k ); f(xo)) + py(f(xo), f(y,k)) <eo,
zmifonnemente continuos en los conj zmtos D1 y D9 , entonces In composzczo11
h =go j: X -+ Z es zmifomzenzente continua en el conjzm fo Dg•J·
~
lo que contradice Ia d efinicion de las sucesiones (x 11 ) e (y,.).
Demostraci6n. Segun Ia definicion de a plicacion uniformemente
continua, tenemos
(V e > 0) (3 11 > O)(V (YI E D9, Y2 E D 9), py(yJ, Y2) < TJ): ( )
2
pz(g(yJ), g(y2)) <e.
Dado que Ia aplicacion f es uniformemente continua, entonces
para d icho 11 > 0 existe un 6 > 0 ta l que
V(x 1 E D 1, X2 E DJ)(Px(XJ,X2) < 6) =>
(3)
=> py(j(xi), j(x2)) < 11·
A partir de (2) y (3) obtenemos que V e > 0 3 6 > 0:
V(x! E D 9 of 1 x2 E D 9.1)(px(XJ,x2) < 6) =>
=> pz(h(xi ), h(x2)) < e,
es decir, Ia aplicacion h =go f es uni formemente contin ua. .,..
Teorema 2 (de Ca ntor). Toda nplicaci6tz continua
f: X
-+
6.6. Homeomorfismos.
Distancias equivalentes
Sean (X,px), (Y,py) dos espacios metricos.
Definicion 1. Una aplicaci6n biyectiva
Jismo si f y j - 1 son continuas.
Teorema 1. Sean (X, Px ), (Y, py ), (Z, pz) tres espacios metricos y X ~Y,
Y rlefinida en
g
Y .---. Z rlos Jzomeomorfismos. Entonces Ia composici6n h
homeomorfismo de X sabre Z.
Demostraci6n. Sea f una aplicacion continua definida en un
compacto D 1 . Supongamos q~e f no es unif?rmemente continua. Entonces existe un eo > 0 y dos suces10nes (x,) e (y,)
-
de puntos del conjunto D 1 ta les que p x (x,, Yn)
1
< :;;: ,
=go f
es wz
~ Demostraci6n. Segun el teorema 1, p. 6.2, Ia aplicaci6n biyectiva
X ~ Z es continua. Sea x 0 E X. conforme al teorema 4,
p. 6.4, Ia preimagen h- 1(V") de cada entomo V" del punto
h(xo) = (g o f) (xo) en el conjunto Z es un entorno del punto x 0
pero
py(f(xn), j(yn)) ~ e0 . Como D 1 cs un compacto, existe una
subsucesi6n (xnk) convergente a un pun to Xo E D 1. Dado que
Px(xnk' Ynk)
X~ Y se denomina lzomeomor-
Tales aplicaciones se denominan mutuamente continuas. En
este caso Ia aplicaci6n inversa j - 1 es un homeomorfismo de Y
sobre X.
utz compacta es uniformemenfe continua.
~
.,..
en X. Por consiguiente, Ia biyecci6n Z ~ X tambien es continua
en h(xo) . Dado que x 0 es un punto arbitrario, h- 1 es una
aplicaci6n continua. ..,..
1
<-
nk
y
Un horneomorfismo p uede no ser uniformemente continuo, por ejemplo, IR
entonces y,k -+ xo cuando k-+ oo. De Ia continuidad de Ia aplicaci6n j en el punto xo E D 1 se deduce que para dicho eo existe
eo
4n 6 > 0: px(xo,x) < 6 => Pr(f(x0), f(x)) < 2 · Tomemos un
numero k E N para el cual Px(xo, xnJ < 6 y Px(xo, y,k) < 6.
~ IR,
donde j (x)
= x 3.
Definicion 2. Se dice que dos espacios metricos (X,px), (Y,py) son
lzomeomorfos si existe un homeomorfismo X ~ Y.
4•
Teorema 2. Dos espncios melricos lromeomorfos n
1111
lercero
SO/I
l!omeo-
11/0rfos e11lre si.
~ Demos tracion. Si los espacios (X, Px ),
(Y, py) son homeomorfos a un espacio (Z, p z ), existen ciertas aplicaciones homeo morfas
X ~ Z, Y ~ Z. La aplicaci6n Z ~ Y es homeomorfa. Segun
el teorema 1, Ia composici6n g- 1 o f es un homeomorfismo d e X
sabre Y. .,.
Sean (X, pi), (X , p2 ) dos espacios metricos. Si Ia a plicacion identica x ~--+ x es un homeomorfismo, entonccs p 1 y P2 se
denominan distn11cias equivale11fes (lopol6gicnmenle equivalenles)
e11 X. En cste caso, como vemos a partir del teorema 7, p. 6.4,
las familias de conjuntos abiertos definidas en ( X, PI) y (X, P2)
coinciden. Llamaremos topologia de un espacio me/rico (X , Px)
a Ia familia de conjuntos abiertos de este espacio. Las distancias
equiva lentcs inducen una misma topologia. Senalemos que los
conceptos d e entorno, conjunto cerrado, punto adheren te, adherencia, interio r y exterior de un conjunto, conjunto d enso, frontera
y funci6n continua son conceptos topol6gicos. Las propiedades topol6gicas d e un espacio metrico se mantienen invariantes respecto
a los homcomorfismos. N6tese que los conceptos d e bola, esfera,
d iametro, conjunto acotado y funci6n uniformemente continua no
son topol6gicos.
Ntimeros complejos
y funciones
de variable compleja
§ 1. Numeros complejos y
plano complejo
En el curso d e algebra elemental Ia apanc1on del concepto
d e numero complejo generalmente sc relaciona con Ia ecuaci6n
x 2 + 1 = 0. Primero se establece q ue no existen numeros reales
que satisfagan d icha ecuaci6n. Entonces se in trod uce un nuevo
numero "imaginario" i = J=I, gracias al cual Ia ecuaci6n
dada ya posee las raices ±i. El paso siguiente es considerar
los "nllmeros complejos" x + iy como las sumas d e numeros
reales x e "imaginaries" iy. Las reglas de las operaciones con
esos numeros nuevos se definen de forma tal que perrnitan
manejarlos como si fueran numeros reales, sustituyendo en los
resultados finales i 2 por -1. AI introducir los nuevas numeros
resulta que todas las ecuaciones de segundo grado d el tipo
x 2 + px + q = 0 y, en general, todas las ecuaciones del tipo
x" + p1xn -J + ... + Pn-JX + Pn = 0 con coeficientes arbitra rios,
tienen soluci6n.
Esta manera de definir los numeros complejos no nos
satisface, pues nos obliga a tratarlos como objetos no existentes
en Ia realidad, es decir, como "imaginaries" en el sentido estricto
de Ia palabra.
Nume~;.os
Por esta raz6n, nosotros seguiremos otro camino, definicndo los nfuneros complejos desde un punto de vista geometrico.
1.1. Definicion de numero complejo·
Tomemos al vector 1 como Ia unidad de Ia operaci6n de
multiplicaci6n buscada. Teniendo ·en cuenta Ia igualdad (2), vemos que es suficiente definir correctarnente el producto i · i = i 2 .
Dildo que 1 · i = i, es decir, el punto (0, 1) se obtiene del
7f
Consideremos todo punto z = (x, y) d el plano IR2 , donde x E JR,
y E ~, como un vector. conforme a este enfoque, definamos cl
modulo de z, asi como Ia operaci6u de adici6n de dos puntos
z 1 (x 1, y 1 ) y z2
(x2, Y2), segun las reglas conocidas para los
vectores (fig. 10)
=
com
=
pun to (1, 0) mediante un giro de - del plano ~ en el sen2
tido contrario at de las agujas del reloj, podemos suponer
que
Utilizando las igualdades (2) y (3), para z = (x, y) obteneIll OS
Asimismo, V a E ~ s upongamos que az = (ax, ay).
Como es sabido, todo vector z en el plar\o se puede
descomponer respecto a los vectores (1, 0) = 1 y (0, 1) = i
(fig. 11):
(2)
Z = X ·1 +y · i.
·Y
y
y·l
l
x·l
X
Fig.lO
X
Fig. ll
Entonces nos preguntamos lo siguiente: conservando las
igualdades (1) y (2) que defin en las operaciones con vectores,
;.es posible definir Ia operaci6n de multiplicaci6n de los puntos
del plano !lf, trimsformandolos en numeros que en lo sucesivo
d enominaremos complejos? El requisite de conservar las igualdades (1) y (2) es muy importante. Sin estas podrfamos tomar una
aplicaci6n invertible de R sobre IR2 y considerarla como un isomorfismo de campos ordenados, transformando inutilmente ~
en una representaci6n del campo ordenado de numeros reales.
z ·i
= (x · 1 + y · i)i = -y · 1 + x · i = (-y, x).
(4)
De este modo, el punto
y
(-y, x) se obtiene del (-y,x)
pun to (x, y) mediante
un g iro del plano ~2
en un angulo recto en
el sentido contrario al
de las agujas del reloj
(fig. 12).
Es evidente que
un giro en otro anguX
X
lo se podni determinar
Fig.12
med iante Ia rnultiplicaci6n no por i, sino por
el numero complejo apropiado. Asi, vemos que los nurneros comp lejos son de gran importancia para las matematicas, pues con su
ayuda se pueden estudiar las transformaciones mas importantes
del plano: los desplazarnientos, los giros y las homotecias.
Escribarnos ahora Ia regia de multiplicaci6n de los puntos
del plano IR2 :
(xJ, Y1)(x2 , Y2) = (xl · 1 + Y1 · i)(x2 · 1 + Y2 · i)
=
= (X JX2- YIY2)1 + (XJY2 + X2YJ)i.
Entonces
D efinici6n. El plano numerico ~ para cuyos puntos esta n definidos los
m6du los y las operaciones de adici6n y multiplic<~ci6n conforme <1 l<~s
formulas {1), (5) se denomina plano complejo C. Los puntos del pl<~no
complejo se denominan mlmeros complejos.
Recordemos que el conjunto de los nlimeros reales se
define unfvocamente a excepci6n de un isomorfismo. Por ello,
los nlimeros complejos x · 1, donde x E JR, proporcio n<~n otra
representacion d e Ia recta numerica JR y pueden considerarse
perfectamente como nlimeros reales. En otras palabras, los nlimeros complejos conlienen a los nlimeros reales, es decir, C ::) JR.
Senalemos que, al igual que los nlimeros reales, los nlimeros
complejos tambien estan definidos unfvocamente a excepcion de
un isomorfismo.
Para simplificar Ia notaci6n, escribiremos x en vez de
x · 1 e iy en Iugar de y · i. Entonces el nlimero complejo
z = (x, y) to ma Ia forma z = x + iy, x E JR, y E JR. Respetando Ia tradicion, los nlimeros x e y se deno rninan, respectivamente, parte real y parte imaginaria d el nlimero complejo z
y se d eno tan med iante los simbolos x = Re z, y = Im z. El
nlimero complejo z
(x, y) es un par orden<~do de los nlimeros reales x e y (lo que explica Ia procedencia de esle
termino).
El termino "numero complejo" fue propuesto por C. G<1uss
(1777-1855) y el simbolo i fue utilizado por pri mer<~ vez por
L. Euler (1707-1783).
El nlimero z = x - iy se denomina conjugado del
mlmero z = x + iy y se denota mediante z . Obviamente,
=
1.2. Argumento de un numero complejo.
Formas trigonometrica- y exponencial de un
numero complejo. Multiplicaci6n y division
de numeros complejos. Extracci6n de rakes
de un numero complejo
Definici6n. Sea z E C, z f:. 0. El angulo rp formado por el vector de
posicion del p unto z y el versor del eje real se denornina argumento del
numero z (fig. 13).
El argumento del nlimero z E C, z f:. 0, no se delermina de fo rma unfvoca, sino a excepcion de un mliltiplo de 211'. Denotemos med iante Arg z el conjunto de todos
los valores del arg umento de z . Entonces, si rp E Arg z,
Argz = {rp+2n1f: n E Z }. En el conjunto Argz, z f:. 0, existe
uno y solo un argumento que cumple rp E ( -11', 11']; este recibe el
nombre de valor principal
1
y
del argwnento y se denota
mediante arg z.
i
Sea (x, y) un punto del plano JR2 . Tomando
en consideracion Ia relacion entre sus coordenadas cartesianas y polares,
_ 0
x
obtenemos
x = r cosrp,
Fig. l3
(1)
z·z= lzl 2 •
Verifiquemos que los nlimeros complejos forman un campo. Evidentemente, Ia operacion d e adicion satisface los axiomas
requeridos, puesto que corresponde a Ia operaci6n de adicion
d e vectores. El lector pued e comprobar los axiomas de adicion
partiendo de Ia d efinicion (1) d e Ia suma, sin necesidad d e recurrir a los vectores. La comprobacion directa de los axiomas
de multiplicacion y los axiomas que relacionan Ia ad icion y Ia
multip licacion exige calculos voluminosos. Sin embargo, podemos evitarlos introduciendo otras caracterfsticas d e los nlimeros
complejos.
que resulta muy comoda al multiplicar y dividir numeros complejos. Considerando Ia funcicn exponencial
iP
rp ~---+
= cos rp + i sen rp, rp E IR,
(3)
introducida por Euler, obtenemos Ia forma exponencial del nlimero
complejo z :
-~
=
Teorema. Sen11 tp E ~ 1/J E
1) eio = 1;
2) ei"' eil/1 = ei(tp+.Pl;
3) ei(tp+2h) = ei"';
.
1
4) e-•'1' = -.-·
~
(t;' cos ntp 1, r;• sen ntp1) = (1· cos tp, r sen tp}.
k E Z . Entonces se verijicn11 Ins igunlrlndes:
r;• = r,
= tp + 2k7r, k E Z.
tp + 2k7r
r 1 = \YT, tp 1 =
. Para k = 0, n n
Demostracion. Estas igualdades se deducen directamente de Ia
formula (3} y de las propiedades de las funciones trigonometricas.
Demostremos la ig ualdad 2). Por definicion,
= (coscp+isentp)(cos'I/J +isen 1/J) =
= (cos tp cos 1/J -sen tp cos 1/J) + i(sen tp cos 1/J +cos tp sen 1/J) =
= cos(tp+'I/J) +isen(tp +1/J) = ei(<p+I/J).
..,..
La rep resentacion exponencial de los numeros complejos
permite simplificar las operaciones de multiplicacion y division.
Si
(5)
Zj
Tjei'l'i,
Tj
lzjl,
tpj E Arg Zj
(j = 1, 2),
entonces
=
n tp 1
Asi pues,
mos n valores distintos
5) l ei'~' l = 1.
ei "' ei.P
(8)
fgualando los modulos y argumentos, tenemos
e''~''
~
=
z
(r cos tp, ~sen tp). Se pide hallar un numero complejo z 1
(t 1 cos tpJ, rt sen l.fJ t) tal que z\' = z. A partir de Ia formula (7),
obtenemos
La afirmaci6n siguiente establece las propiedades principales de Ia funci6n exponencial definida med iante Ia formula (3).
=
•
Como vemos, para calcular el producto de dos numeros
complejos es necesario multiplicar sus modulos y sumar sus
argumentos; para dividir dos ntuneros complejos hay que dividir
sus m6dulos y sustraer sus argumentos.
De gran utilidad es la f6mzuln de Moivre (1667-1754}, Ia
cual se puede obtener de la formula (3} o deducir utilizando
el metodo de induccion matematica: si z = (z cos tp, r sen tp},
entonces V n E N se cumple
t>
(9)
1 obtene-
( nr=
tp + 2k7r nc
v"'z. = v r cos
, v r sen tp + 2k7r ) ,
(10)
n
n
los cuales dividen Ia circunferencia de radio CIT en n arcos de
iguallongitud.
Se dice que un campo P es orrienndo si \f (a E P , b E P)
a2 + b2 = 0 {::} a = 0 A b = 0. En el campo C esta condici6n
no se verifica; por ejemplo, i 2 + 12 = 0, pero i ::j: 0, 1 ::j: 0. Por
consiguiente, el ca~po C no es ordenado.
Verifiquemos que el m6dulo del numero complejo lzl =
J x 2 + y2 cumple los axiomas de Ia norma (v. p. 2.5, cap. 1). La
verificacion de los axiomas 1) y 2) es evidente. Para comprobar Ia
propiedad triang ular, consideremos un triangulo con vertices en
los puntos 0, z2 y z1 + z2 (fig. 10}. Las longitudes de sus !ados
son iguales a lz2l (de 0 a Zz), lzd (de z2 a z1 + z2) y lz1 + z2!
(de z 1 + z2 a 0). Dado q ue Ia longitud de un !ado de un tritingulo
no es mayor que Ia suma de las longitudes de los otros dos !ados
y no es menor que el valor absoluto de su diferencia, obtenemos
llzd - lz2ll ~ lz1
+ z2l ~ lzd + lz21·
Consiguientemente, el modulo tambien verifica Ia propiedad
triangular. Asf, la cuaterna ordenada E = (C, +,· ,I I) es un
espacio vectorial normado sobre el campo Ill Dicho espacio se
convierte en un espacio metrico si \f (z1 E C, z 2 E C) se define Ia
metrica por medio de Ia igualdad
p(zt, z2) = lz1 - z2l
(11)
(v. p. 3.1, cap. 1}.
A pesar de las diferencias sustanciales existentes entre los
conjuntos de los numeros naturales, enteros, racionales, reales y
complejos, hay muchas propiedades que son comunes a todos
estos conjuntos: por ejemplo, Ia conmuta tividad y Ia asociatividad
d e las operaciones de ad ici6n y multiplicaci6n, Ia distributividad
de Ia multiplicaci6n respecto a Ia adici6n, Ia existencia de l
· elemento unidad respecto a Ia operaci6 n de multiplicaci6n. Surge
entonces Ia pregunta: ;_se puede ampliar mas el concepto de
numero de modo que se conserven dichas caracterfsticas comunes?
La respuesta a Ia pregunta plantead a se da en e l teorema
de F. Frobenius (1849-1917), d el cua l se deduce que el campo C
d e los numeros complejos es e l mayor campo numerico y que es
imposible ampliar e l concepto de nlimero.
1.3. Proyecci6n estereografica y sus propiedades
Pa ra satisfacer las necesidades d e Ia teorfa de funciones analiticas,
al p la no complejo C se le anade el punta del illjillilo y se conviene
denot~ mediante oo el numero complejo correspondie nte. El conjunto C
C U { oo} se denomina pla11o co111plejo ampliado. Para
representar graficamente el plano complejo ampliado hagamos
una construcci6n geometrica especial.
=
c
1
complejo z. Construyamos Ia esfera S de radio - y centro en el
2
pun to ( 0, 0,
~) ; el p lano complejo es tangente a Ia esfera en el
origen de coordenadas (fig. 14). Los puntos (( , Tf, () E S satisfacen
Ia ecuaci6n
(1)
+
((1- ().
Denotemos el punto (0, 0, 1) mediante N. Unamos el
punto N con todos los puntos de la esfera z' ((, Tf, () mediante
semi rrectas con o rigen en N y marquemos en cada semi rrecta el
punto z = x+iy de su intersecci6n con el plano C. De este modo,
todos los puntos de Ia esfera salvo el pun to N, se proyectaran
sobre el p la no C. Asi pues, queda establecida una correspondencia
biunivoca z ...... z' entre los conjuntos C y S\ {N}. Si convenimos
que z = oo <--> N, entonces obtendremos una correspondencia
biun fvoca entre los conjuntos C y S, d enominada proyecci611
eslereogrdfica. La esfera S se conoce como esfem de Rie111an11 .
Establezcamos Ia relaci6n entre las coordenadas de los
puntos z y z' . La condici6n de que los puntos z, z' y N se
e ncuentran en una recta tiene Ia forma
(-0
7]-0
(-1
e
x-0
rl =
= y-0 = 0-1'
donde las coordenadas del punto z' verifican Ia ecuaci6n d e Ia
esfera (1). Po r consig uiente,
N
x=(-
1-(
1J
(2)
y=1-(
Tomando en conside raci6n (1) y (2), obtenemos
lzl2 --
x2
+ 2-
e+ 7]2 -
y - {1 - ()2
-
(
1- (
de donde
1
1- (
Fig.l4
Introduzcamos en el espacio R' un sistema de coordenadas
O(Tf(_ de forma tal q~e ~I plano C coincida con el plano IR2 y
los eJeS 0( y OTf comctd.an con los ejes Ox y Oy del plano
= 1 + Iz 12.
Con ayuda de estas igualdades, a partir d e (2) encon tramos las
expresiones de ( , fJ, ( en funci6n de x e y:
x
( = 1 + lzl
2'
lzl2
fJ = 1 + lzl2' ( = 1 + lzl2·
Y
{3)
..,. Soluci6n. Uti\i.zando las reglas de las operaciones con numeros
Las expresiones (1), (2) y (3) son las f6mw lns principnles de In
complejos y Ia igualdad
proyecci611 estereogrnficn.
La proyeccion estereografica tiene dos pro piedades importantes:
z =
1) medin11te ln. proyecci611 estereogrnficn, Ins circwrjere11cins
siempre se frn 11sjormnll ell circwiferellcins (u11n recta ell
el pla11o C se co11sidern como 1111n circw rferellcin de radio
illfillito);
2) si dos wrvns ell In esfern S se corlnll e11 un prmfo M y el
n11grlio ellfre sus tmrgellfes en el prwto M es a, e11f011Ces el
nllgulo elltre Ins tmrgellles n SIIS imngelleS ell el pwrto M' de
su i11tersecci611 tnmbie11 es igunl n a; es decir, In proyecci611
estereogrnficn co11servn los vnlores de los ti11gulos.
Para ilustrar m ejo r lo expuesto, utilicemos tt~rrninos geog rcificos. Denominemos plmro ecrwlorinl el p la no que pasa por el
centro 0' d e Ia esfera S para lelamente a l plano ( = 0. Diremos
que un punto A E S se cncuentra en el para lelo de latitud I{) si cl
vecto r de posicion 0' A forma un ang ulo I{) con el p lano ecuatorial.
Convengamos, a de mas, en que
I{)
varia de 0 a
2
(1 - i)(1 - i)
(1 - i)
2i
.
= - = - - = - z·
2
2
\1 +W
I
zz =\z\2 , obtenemos
I
2(1 + 3i)
1 + 3i
1
.3
z2
= \1 - 3W =-s =5+ t 5;
Z3
6 i271'
=26 (12 + iv'3)
2
=26 e j!.·6
3 =2 e
=26;
6
z~ =
(1 + i)10
25
(
=
1
i )
.,fi + .,fi
10
=
=e·' "-4· 10 =e . 5-2 'lf =e.. ("...' + 2..) =e·. -"2 =t;.4
1
Z5
=
- +1 iJ3J
~ = (1
(
- +-
4
21
t
---
2
iv'3 )
21
2.t
---
22
2
.,fi
"
=22 ~
- · -·4 =
i -·4
e
.,fi
4
7r
'2 en Ia semiesfera
7r
s uperior, y de - - a 0 e n Ia semiesfera inferior. Los puntos de
2
Ia esfera que poseen una m isma lntitud I{) fo rman el pnrnlelo de
latitud 1{). Sc d eno mina lo11gitud de un punto A(€, 1], () E S al
va lor arg (€ +if}). El conjunto de puntos d e una longitud dada >.
forma el semimeridimro de longitud >.. El punto N se denornina
polo IIOrle, y e l origen de coordenadas 0 , polo sur.
IJ Problemas resueltos.
=-2 ei 3 =-2
2
4 "
= 2 + i2.J3.
2 (
cos
(71"3 + 1r) + i sen (71"3 + 7r) )
=
....
,..
2>:
Hallar ~tos m6dulos r . y
sigu~~nt~ numeros complejos: ·
1·.;:
:i1· ~
-:2;
z6 =2 .- Si;·
· 1.
·Represeptar en !a forma~ a ;rjb (a E IR, b -E IR)
siguientes nume~gs complejos:
1 - [ ···
Zl
= l + i;
2
= 1 _ 3i;
.Z2
. r,;6
_Z3
= (1 + &.V 3) ;
- (1 i).s· z,·_-- ·t~l+.. - tv'z3 )4
z4+
_
.
1-
.
Z.,
'·
•
:. 1 -
..
.
Zto
= a + bi.
..,. Soluci6n. Recordemos que I{) es el valor principal ( -1r < argz
7r
7r
~ 7r)
y que arctg I{) es Ia rama principal de - -2 a -2 . Es mas facil
calcula r I{) si representamos el punto z en el plano complejo.
Tenemos:
7f
ra = lzal = 3,
r2= Jz2 J=2,
<fJ2= 71";
r4= iz4 J=h'
- - 371"
<p.a-·
r 3 = Jz3 J=
h,
<p3= ~;
rs = lzsl =
../29,
<ps = arctg-; r6= lz6l = ../29,
2
r7 = lz7 J=
../29,
<p7 = 1r -
r8
=lzsl = ../29,
r 9=
lz9l = lbJ,
z2
VJ a=2,
4
5
= cos -97r8 + l. sen -97r8 = - cos -8
7f
5
Dado que I cos xl
tonces
<p6 = -a rctg-;
2
5
arctg 2;
<p8 =arctg 2-71";
7f
2
lbl
= V1 + cos2x
,
2
,
0
cs8=
5
<p9=
7f
,
sen -=
b = 2sgnb;
a> 0,
arctg -,
a
r10= lz10 l =
J a 2 + b2,
<p 10 =
b
1r + arctg-, a <O,
a
arctg- - 71", a < 0, b < 0.
a
371"
sen - =
8
...
zo,2
Z J.)
-. Soluci6n. Sea z
7f
= i , entonces
.
7f
- + 2k7r
2
cos 2
Jz l = 1, arg z =
7f
<p
= -,
2
-
~ I - cos ":4
2
37r
b ~O,
I sen xl =
2
cos-=8
b
7f
2x
y~s
~
, en-
~ I Ho> ":4 _....:...._
v'2+
,12
__
8
b
.
2
sen 8'
1371" .
137r
371" .
z3 = cos + 2 sen = cos -8 - 2 sen -371"8 .
8
8
4'
-
2
,j2 _ ,12
= - -2
'
vl272
2
)2+72
2
V+ h+ V h),
= ±~ ( V
2- h+ iV2; h).
= ±~ (
'
i
2
2-
...
VZ =
+ 2k7f
+ i sen
, k = 0, 1, 2, 3. Obtenemos, pues,
4
4
cuatro valores distintos de Ia raiz:
7f
•
._ . Iz - 121
7f
Zo = cos 8 + l sen 8,
• Solucron. Como - - -.
z - 82
(x- 4)2 + y2
571"
571"
371"
371"
z1 = cos - + i sen - = - cos - + i sen 8
8
8
8'
(x- 8)2 + y 2
5 h<. 36
2
=
12)
I
2
+ )y2 = -,
25 z _ 41
=
x2 + y - 8 2
9
z-8
(x -
2
(
= 1, entonces el problema se reduce a resolver el
funciones de yariable complcja
,
sistema de ecuaciones
2x2 + 2y2
{ 8x = 48.
Sus soluciones son z 1
Z2 = 6 + 8i.
~
5. ·
lal
.
+ 27x -
.,.. Soluci6n. Dado que a
= 0,
2
.
Demostrar Ia identidad
.
~
ld + bl2 + Ia·- bl2 = 4lgl2
si
..
~ Soluci6n. Utilicemos Ia propiedad evidente
Zj±Z2 = z, ± z2
zz = lzl . Tenemos:
Ia + bl + Ia - bl 2 = (a+ b) (a + b) +(a- b) (a - b) =
= (a+ b)(a + b) +(a- b)(a - b) =
el hecho d e que
2
y
~
Soluci6n. Como
2
2
Ia- bl =(a- b)(a- b) = lal 2 - ab-ba+ lbl2 ,
entonces
= aa + ab + ba + bb + aa - ab - ba + bb =
= 2(aa + bb) = 2(lal2 + lbl 2) = 4lal2 • ~
::
2
11- abl =
aW - Ia -
ab)(1- ab) = 1 - ab- ab + labl 2 •
Ia- bl 2 = 1- ab-ba + lbl2,
2
11 - abl 2 = 1 - ab- - ab + lbl,
.
es decir,
Soluci6n. De forma amlloga a! problema anterior,
11 -
(1-
lal = 1, resulta
Si
6. .Demostrar Ia identidad 11 - aol2 - Ia - bl2 = (1 +
labl)2 - (lal + lblf (a E C, bE C).
_ '"'~ '~·
-<111
> 0, entonccs
= (6,17) y z = (6,8), es decir, z, = 6 + 17i,
.
= lbl.
SOy + 38
bl 2 = (1 - ab)(1 - ab) - (a -b) (a - b) =
= (1-ab)(1-ab) -(a-b)(a-b) = o
= 1 - ab - ab + aabb - aa + ab + ba - bb =
2
= 1 + lal lbl 2 - (lal2 + lbl 2 ) =
2
2
= 1 + labl - (lal + lbl) + 2jabl =
= (1 + labl)2 - (lal + lblf ~
si
Ia - bl
= 11 -
iibl
a- b
lbl = 1, entonces ---1- ab
I
I
II =
y
ab
_ ab
1
= 1.
1. De un modo ana!ogo,
~
•
~ Soluci6n. Sea q Ia raz6n de Ia progresi6n geometrica y d el
incremento de Ia progresi6n aritmetica. Entonces lz2 1= lz 1 lq= v'iq,
lzJI
tp;
lfJJ
= lztlq2 = v'i~~_lz41 = 4 = v'il, de donde q = Vi. Sea
= arg z; (i = 1, 4). Dado que tp 1 = 0, entonces tp = d,
= 2d, tp4 = 3d. Puesto que z4 = 4i = (cos 3d + i sen 3d),
2
11'
entonces cos3d = 0Asen3d= 1. Por consiguientcI 3d = - + 2k11' I
2
5•
= 11"_ +21.:71"
-
z ). Como d= lf'z =• a rgzz, entonces
11"
-71" < - +
6
6
3
2k71"
11"
5
~ 1r. Obtenemos, pues, tres valores pa ra d: d1 = 6, dz = 6 7r,
d
3
d3
(sk E
11"
•
t
= - -,
y tres soluciones para z2 y Z:J , respechvamen
e:
i s.(2)
z2 = 2e 6,
= 2ei"6,
z~3 >
= 2e- 2,
( I)
z~2>
;,.
(I)
z3
. s.-
= 2/2e' 3
,
. ,.
=212e' 3 ,
z (3)
3 -
2VLe
/;;2 - ilf .
alz l + ~z + cz + ~ = 0,
{ iilz l2 + bz + cz + d = 0.
2
Multip lique mos los dos miembros d e Ia primera ecuaci6n por a,
los de Ia segunda por a y reste mos una de Ia otra. El resultado es
(ac- iib) z- ( iic - ab) z + ad - iid = 0. Hagamos z(ac- iib) = Z.
Entonces Ia u ltima ecuaci6n toma Ia forma
2
z2
..,. Soluci6n. AI igual que en el eje mplo ante rior, Ia ecuacion dada
es equivalente al sistema
Z - Z = -(ad- ad),
de donde
...
es d ecir,
Z = t - i lm (ad), es decir, z =
12.
z
..,. Soluci6n. Si z es una soluci6n de Ia ecuaci6n dada, entonces
sera soluci6n de Ia ecuaci6n bz + iiz = c. Resolviendo este sistema
de ecuaciones
~
{ ~zbz ++~~=
az = c,
iic- be
y suponiendo que Ia I f. lbl , obtenemos z = lal2 _ IW ·
Si lal 2 = lbl2, el sistema es incompatible, salvo el caso
2
2
c S1empre
.
.
en que -ii = -b = -.
que se cumpIan estas cond'ICiones,
b
a
c
_
el sistema se reduce a Ia ecuaci6n cbz + Cbz = cc, es decir,
a Z + Z = lcl 2, donde Z = cbz. La ultima ecuaci6n tiene Ia
2
soluci6n Z = ~ lcl +it, -oo < t < +oo. Regresando a z,
2
1 t
obtenemos z = - ~ + i--= (t E JR). .,..
2 b
cb
2i Im Z = -2i 1m (ad),
t -ilm (ad)
ac- ab
...
t E lit
I
Determ.ina'r 01ando se cump1e 1a 'iguJildad Re_(z.iz2 )~·••
(Re z1KRe z2). ·
·
.
-~
..,. Soluci6n. Sean z 1 =r1 ei~ 1 , z2 =r2 ei~2 , lf'l E Arg z 1, !p2 EArgz2.
Tenemos:
Re(z1 z2) = Re (r1 r2ei(~, +~zl) = TJ7'z(cOSlf' 1cos !p2 - sen!p 1 sen!p2),
(Rez1)(Rez2) = 7'J Tz COS!f't COS!f'2·
Por tanto, Ia igualdad se verifica si sen lf'I sen lf'2 = 0, es decir,
cuando ZJ E lR 6 z2 E JR. .,..
..,. Soluci6n. Sea lzl ~ 1. Consideremos Ia diferencia
lz - al 2 - 11 - iizl 2 = (z - a)(z- a) - (1- az)(1- az) =
= lz l2 -
2
2 2
iiz-az+ lal - 1 + az+az- lal 1zl =
2
= ( lal -1) (1-1zn ~ o.
~ -z-a
Por consiguiente, lzl ~ 1 =} -z-- -al
- ~ 1. Sea ahora
_- l
l 1-az
1-az
entonces (lal 2 - 1) x (1 - lzl 2) ~ 0 =} lzl ~ 1, ya que Ia! < 1.
~ 1,
De este modo,
.,..
z 1 = 2 (cos
7r-a
7r-a)
z2 = 2 sen -a(cos - + i sen - .
2
2
2
14.
~
~ + i sen ~),
Solucio n. Tenemos:
z 2 +z2 (x-iy)2 +(x+iy)2 2(x2 - y2)
1
1
-+ - =---=
=
.
z2 z2
(zz)2
(x2 + y2)2
( x2 + y2) 2
...
...
Expfu§ar cos 5x y ~il5x med iante cos x y senx.
~ Solucion. conforme a Ia formula de Moivre cos 5x + i sen 5x =
5
(cos x + i sen x) • Aplicando entonccs Ia formula del binomio de
Newton, obtenemos
15. HaUar el valor princ~pal d el.
-2 + 3i y Z2 = a+ ib (a< 0, b < 0).
~
l!fgumento de zi =
~ ,,
o:o; •
x + t. sen x )5 = cos 5x + 5.t cos 4 x sen x 3
2
2
- 10 cos x sen x- 10i cos x sen3 x + 5 cos x sen4 x + i sen5 x,
(cos
Solucion. El p un to z 1 se encuentra en el segund o cuadrante del
p lano z, por lo qu e argz1 = arctg (
- ~)
=
+ 1r
1r
- arctg~.
El p u n to z 2 se encuentra en el tercer cuadrante y, por tanto,
b
arg z 2 = arctg- - 1r. .,..
a
de donde
5
3
cos 5x = cos x - 10 cos x sen2 x + 5 cos x sen4 x,
4
sen 5x = 5 cos x sen x- 10 cos2 x sen3 x + sen5 x.
27r
27r
Calculemos, por ejemplo, cos - y sen - . Tenemos:
5
5
27r
2 27T
2 27T
4 27T
0 = 5 cos - - 10 cos - sen - +sen - =
5
5
5
5
4
16. .
= 5
..
~
Sol ucion. Para z 1 tenemos
2
lz,l =
12 + ( v'3) = 2,
.J
Pa ra z2,
lz2 1 =
v(l -cos a)2 + sen2
Considerando que 0
obtenemos
arg z 1 = arctg
< a < 21r
a
3
~-
a ( a)
1r
- - 2 2
,
2 27T
5
)
2
- 10 ( 1 -
2 27T
10 + 2v'S
=
5
16
y =sen -
2
y observando que larg z21 <
sen
sen (arg z2) = --a- =cos- =sen
2 sen2
2
1 - sen
sen
2 27T )
5
sen
2 27T
5
4
+sen
527T .
2 27r
Haciendo sen 5 = y, obtenemos Ia ecuacion de segundo grado
16y2 - 20y + 5 = 0, de donde
v'3 = ~ -
a= 2 sen
(
1r -
7r
-,
2
a
arg z2 = - -.
2
Asf,
cos 21r =
5
J
I
27T
VlO + 2v'S
sen-=-5
4
1 _ 10 + 2v'S = v'6- 2v'S =
16
4
.;s- 1_ ...
4
Representar sen 4 p; en form!)• de un polinomio de
,_primer grado respec;to a angulos trigonome tricos ,multipl12s
de x: ·
., \
=
..,. Soluci6n. Tomando z
cos x + i sen x,
z2i sen x , obtencmos
z=
z- z- )
4
sen x=
Ti
(
4
z = cos x -
20. ·Sean ZJ, Zz dos .vertices adyace nte'S de 'Wl paralelogramo y seC) Z3 -el Runto de intersecci6n d..~ s,Us diagonales.
· Hallar lq]; otros dos
vertices pel parale- ~ y f
z4
logramo.
F
i sen x,
..,. Soluci6n. Es c6modo
considerar los vertices
del pa ralelogramo como
vectores libres (fig. 15).
El punto de aplicaci6n
del vector z3 - z 2 se e nIV'
~ z2
cuen tra en z2 y su exO
1 _
tremo e n z3 . Dado que
X
cl vector es fibre, entonFig. 15
ccs, situando su punto
de aplicaci6n en z3 obtenemos z4 = z 3 + (z3 - z2 ) = 2z3 - z 2 .
Analogamente, zs Zz + (z4 - z 1) 2z3 - z 1 . ~
4
1
= 24 (z- z) =
1
= 2~ (z4 -4zz(z2 +z2) +6z2z2 +i) =
1
1
3
=- cos4x-- cos 2x + - ,
8
ya que zk + :zk
2
8
= 2 cos k x, zz = 1, z
2 2
z
= (zzi = 1.
~
1~ ~'1•.
~ )
- .19
· • Hallar Dn(x)= .,...- , -+cosx+c9s2x+ .. . +cosnx ·'
271'• '2
.,, .
~
..,. Soluci6n. Sea S 1
= 2: cos kx,
S2
= 2: sen kx, z = cos x +
•
'st~
k =O
..;:.~.
·~
I
.
St
n
+ t Sz
z 11 + 1 - 1
z- 1
=
1.:
= 2: z =
k=O
= Re
i
Zt, Zz,. Z3 !1011
i sen x. Entonces
S1
Sea~ lzt.l = lzzl = lz3 1= •1. Demos~raL-·que los punto~
los vertices de un tri~:ngulp-e9..tplate~o ~i, solo
"i
.
0
'li:' ". .j>f •
Zt.+z2 +z3·=
.
· .... '·"" ...""'~- ··
. ..
..• .;,. -...... t•.
21.
II
k =O
=
. ..•,'
.:.
II
=
~
z n+ l _
Z -
1
1
l
,
!
t>
cos (n + 1) x + i sen(n + 1) x - 1
Re - - ' - - - ' - -- --'-__.:;____
(cos x - 1) + i sen x
cos nx - cos (n + 1) x - cos x + 1
.... Soluci6n. Necesidad. Sean ZJ Zz y ZJ los vertices de un triangulo
equilatero. Entonces estos se encuentran en Ia circunferen cia de
radio unidad t) y centro en el origen de coordenadas, y son las
rakes de Ia ecuaci6n z 3 - (cos lfl + i sen lfl) 0. De este modo,
(z - z 1) (z - z2 ) (z - z3 ) =
3
z - (z 1 + Zz + z3) i + (z 1Zz + ZzZ3 + ZJZJ) Z - ZtZzZJ =:
I
=
=
=
2n+ 1
1 ( 1
1 sen )
2 xx
D ,.(x) = - -- +St = 2 71'
2
271'
2 sen -
2
En Ia teoria de las series de Fourier Ia funci6n D,. se denomina
micleo de Dirichlet . ~
3
- (cos lfl + i sen lfl).
conforme al teore ma d e Yiete, z 1 + z 2 + z3 = 0 .
Suficienda. Sea z 1 + z2 + z 3 = 0. Hagamos q = z 1z 2 +
z2 z3 + ZJZJ. Dado que ZJZJ
z 1z 1 = z 2 2
1, entonces q =
z
2- 2 cos x
=
z =
l) N. del T. En adelantc, pard las circunferencias, semicircunferencias,
circulos y semicirculos de radios igualcs a Ia unidad utilizarcmos las expresioncs "circunferencia unidad", "semicircunfercncia unidad", "circulo unidad" y
"scmicirculo unidad", respectivamcnte.
Zt z2z3(z3 + Zt + z2) = 0 y los numeros Zt Z2 y Z3 satisfacen
Ia ecuaci6n z 3 - z 1z2z3 = 0. Sus raices se encuentran en Ia
circunferencia unidad. .,..
I
22,: Res~lver la ecuaci6n a;n-l
· (ecun.cj6n de division del clrculo).
+x"~ + ... -¥X + ~1 = 0
2
I
1
de los cosenos al triangulo de vertices 01 z y z + 1 1 obtenemos
1 = 5r2 - 4r2 cos 01 8 = tp - 1/J 1 mientras que a partir del teo12
remade los senos hallamos sen,P = (5- 4cosOr ' senO. Por
consiguiente
1
i2h
Las rafces z~.: = v 1 = e- ,-, (k = 01 n- 1} de esta ecuaci6n se
pueden escribir en Ia forma 11 W 111 w~~ ... 1 w;:- t1 donde W 11 = z 1.
En particular (v. cj. 17)1
w3= -1+iJ3
w4 = i 1
2
i2rr
2?T
2?T
1(
w5 =e5 =cos
+isen
=
Vs-1+i 10+2Vs .
w2 =
~.
5
Soluci6n. Es s uficiente resolver Ia ecuaci6n z" - 1 = 0 1 p uesto
que
zn -1 = (z -1) (zn-l + zn-2 + ... + z + 1).
nr.;-
~
a Ia circunferencia de radio
y centro en el pun to z =
Ha3
3
ciendo z == r(cos tp + i sen tp) y z + 1 = p(cos 1/J + i sen 1/J) (fig. 16}1
5
obtenemos (2ri(cos 5tp + i sen 5cp) = p (cos 51/J + i sen 51/J)~ de
2k?T
donde p = 27' tp = 1/J + - k = 0 4. Aplicando el teorema
I
~
~
es decir1 las rakes z~.: = r~.:(cos tp1.: + i sen cp1.) (k = 01 4) pertenecen
7·~.:=
tp1.: = 1/Jk +
1
2?Tk
v'5-4cosB~.: 1
0~.:=5~
senO~;
)
k = 0 4.
0~.: = arcscn ( v'5-4 cos 0~.: + 0~.: 1
1
.,..
- 1~
5
5
J
4
)
Seii.alemos que el problema de representar W11 en una
forma que contenga solo rafces cuadradas es analogo al problema
de la construcci6n mediante una regia y un compas de un n -agono
regular inscrito en una circunferencia unidad. .,..
2'1. .D~inosb:jlr que
··
rr·
2_m ·- 2m ·m-1 .( 2· .,·':
X . -a
~
- - --
=
k,
x - 2ax cos
· )
'fur :I- a2
1
1.:=1
=
~ Soluci6n. Valgamonos del ej. 22. Es evidente que x
a es
una raiz de Ia ecuaci6n x 2"' - a2"' = 0; por consiguiente1 todas
las dcmas raices se pueden representar en Ia forma aw~m (k =
1 2m- 1). De esta maneral
x 2m -a2m = ( x -a)( x-aw2m ) ...
1
~
Soluci6n. Todas las rafces de esta ecuaci6n cumplen la condici6n l2zl =
lz + 11 . Tomando en con-
y
(
-
z+1
'IT
m
sideraci6n que x = - 2
k
Wzm
donde z =
x + iy obtenemos Ia igual-
e y =
1
I
dad
( 1)
3
x -
3
2
+ y =
4
91
2m- k
k
+ W2m
= 2 Re W2m
1
m =
x - aw2m
X
+ a.
'IT
Dado que w2m = cos - + i sen -
z+z
z-z
2i
2m- l)
x - aw2mm) . . . ( x - aw2m
m
1
1
entonces
k
2m-k
W2m . W2m
k -k-
= w2,.w2m
=1
y
X
Fig. 16
(
k ) ( x-aw 2m-1.:)
k?T
2 (k= x - aw2m
=x2 -2a:z:cos-+a
1~m- 1).
2,..
m
.,..
25.
Sean ..?i.: pupt~s aiottrar!os., Sean! <!qemas, mk, > 0
.lll't.
•
n
'
. (;:··
numeros
arb.1tranos"
,;, =;, _1
, n ) ta1es que.P ~
L5 mk = .1 . Dek=l
mostrar qiJ.e toda. rectg qu~ pase por el pun to z0
-
I'!-
n
= 'L:: mkzk
k=l
•
separ11 ~os puntosAzk, sai'vo~eo' el caso en ,que todos los p lintos
p ertel)ezcary a una recta_. ~,
~
Solucion. Supongamos lo contrario: todos los puntos zk estan
colocados a un !ado de Ia recta 1 que pasa por el punto Zo·
Escojamos un sistema de coordenadas en el cual Ia recta 1
coincide con el eje imaginario del plano w y el punto z 0
es el origen de coordenadas. Los puntos zk se representaran e ntonces por aquellos puntOS Wk del planO W tales que
8
wk = (zk - z0 ) ei , donde 8 es el angulo entre Ia recta 1 y el
eje imaginario del plano z. Conforme a Ia suposici6n, tenemos
II
que Rewk
> 0 (<
0) V k
= 1,n, luego L
mkwk
> 0 (<
no puepeQ encontrarse"fuera del poligpno convexo.ininimo q~e conti~ne todos)9~
c,:ero;; z 1 , i 2, : • • ; z!, del polinomio~ Pn (fig. 17)~ Aq@,
p~ es la aerivada del pqli-
~ Solucion. Dado que P,.(z)
a 11
mkwk
n (z- Zk), entonces
mkzo) ei8
= 0,
L(mkzk - mkzo)
k= l
= 0, z• 'I zk (k =1, n), entonces
1
a,.(z•- z 1)(z • - z2 )
X
n
n
=L
k= L
n
mkzk- zo L mk
k=l
n
=L
mk zk - z0
= 0.
k= l
De este modo, hemos llegado a una contradicci6n, lo que significa
que nuestra suposici6n es falsa y no todos los puntos zk se
encuentran a un mismo !ado de Ia recta I·
El problema considerado tiene Ia siguiente interpretacion
Hsica. Supongamos que tenemos un sis tema de puntos zk de
masas mk y que 1 es una recta que pasa por el centro de inercia
de este sistema. Entonces todos los puntos zk no se pueden
encontrar a un mismo !ado de I· ~
+
11 )
P:,(z*)
P,.(z•)
ya que
Z 11 )
+ ... + a,.(z- z1)(z- z3) ... (z- Z +
+ a,.(z - z2)(z - z3 ) ... (z - z,.).
-=
k=l
Fig.17
P~(z) = a 11 (Z - z 1)(z - z2) ... (z- Zn-1) +
+ a11 (Z - z,)(z - z2) ... (z- Zn-2)(z-
Si P:,cz·)
="
L..,(mkzk
'
k=l
X
0
k= l
k=l
L..,
"
'
=
II
0). Sin
n
~z1
z,
~OJ;nio .Pn .
embargo
n
63
y
...
(z* - z,.)
(a,.(z•- Zt) ... (z*- Zu-t) +
+ a,.(z* + a,.(z* -
Zt) ... (z• - Z11 -2)(z*
z2)(z• - z3 )
1
- - + z• - z • - z,.
1
••.
-
X
.,
Zn) + .. . +
(z* - z,.))
1
Zn-1
+ · · ·+---0
·
z• - Zt - ·
Por tanto, tambien se tiene
1
1
1
+ ... +
+=
z•- z1
z• - z,.
z• - Zn - 1
de donde se deduce que
Z• - Z
Z•
11
2
lz* - z,. l
-
+ Iz• -
Zn- 1
z,._d
=
Z
2
•-
Zt
= 0,
+ · · · + lz* - zd2 = o.
De Ia u ltima igualdad obtenemos
II
II
z • ""
~ Iz • - Zj 1-2
i=l
lz*-
donde mk =
,.
L
=
""
~ zk Iz • -
Zk 1-2,
k=l
zd-2
> 0,
lz* - zil-2
y es paralela a Ia bisectriz del angulo interior del vertice z del
triangulo considerado. .,..
n
z*
=
Zmkzk,
k= l
L mk = 1.
n
28.
1Jtilizando consideraciones
las d esigualdades
k=I
i=l
1)
En resumen, toda recta que pase por el punto z* separa
los puntos z 1, z 2, ... , z,. (v. ej. 25). .,..
27.
Coqsider.emos I!!J.' triang:!llo cuyos vertices so~._ -1, 1
I
Y~'f. Dem~strar. que los do~. valo~s de
;nLa. .,~;ecta. que ~asa pqr.
el origen de coordena~
das y que es paralela a ·
Ja J:>isectrg del angul~
interior del vertice z de.
giCho triangulo.
v'.Z2=1 se e(\cuen~a~
!J
z
1
..,. Sol uci6n. En Ia figura 18
vemos que arg (z 1) = a 1
y arg (z - 1) = a 2, fuego
+
X
Fig. 18
2
arg (z - 1) = at + a2,
;-;;---:vz~
-l =lz 2 -11 t/2 exp { i (at + a2) +
2
.
Los valores de v~
Z' - 1 henen
argumentos
Dado que a2 = a1
2k7r}
Ql
+ Q2 y
(k=O,l).
Ql
II:
I-
1.1<~ largzl;
~)
l.z- II ~ l!zl. ~ 1.1 +lzll~cg il.
..,. Soluci6n. 1) En Ia figura 19 se representa un arco de circunferencia unidad de angulo central igual a larg zl radianes. Es
evidente que Ia longitud
y
de Ia cuerda que d efine el arco no supera Ia
Iongitud de este. El signo de igualdad s61o es
0
X
posible si arg z = 0, es
decir, z E IR, z > 0.
2) Consideremos
el triangulo curvilineo
d e Ia figura 20. Vemos
que Ia Io ngitud de un
z
!ado (igual a iz - 11) no
supera a Ia suma d e las
Fig.l9
longitudes de los otros
dos, uno de los cuales es
el arco de circunferencia de radio lzl y angulo central igual a
iarg zl, rnientras q ue Ia longitud del otro !ado es Jgual a liz I - 11.
El signo de igualdad s61o es posible para a rg z = 0. .,..
+ Q2 +1r.
2
2
+{3, los valores de Vz2=1 tienen arg umentos
a 1 + f!..
2 y a1 + f!..
2 + 1r. El angulo 1 entre Ia bisectriz y el eje Ox
es igual a a 1 +
~. Por consiguiente, ambos valores de Vz2=1
se encuentran en Ia recta que pasa por el origen de coordenadas
..,. Soluci6n. Sea z 1 = x1 + iyt y z2 = x 2 + iy2. Entonces
z 1 +z2=X1 +x2+i(y1 + y2),
lzt +z2l 2=Cx1+x2)2+ (Yt+Y2 )2,
ZJ-Z2=Xl-x2+i(yt -Y2),
Iz1-z2 2 =(xt-X2)2+(yl -Y2 )2,
1
30.
Oemostrar que si
Z2
1
Z2
arg. - - =- arg - .
y
Z3-
z
2
Z3- ZJ
~
Soluci6n. Los puntos z 1, z 2 y z3 se cncuentran en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas. Consideremos
los vcctores ZJ - z2, z3 - z1, z 1 y z2 (fig. 21). Vemos que el
ZJ- Z2
,
angulo arg - - ZJ- ZJ
centra I arg -Z2
ll zl-11
ZJ
0
ZJ
= arg (z3 -
= arg z2 -
z 2)
-
arg (z3
,
-
z 1) y el angulo
'
determma
. d os por un nus.
arg z 1 estan
mo arco de circunferencia entre los puntos z 1 y z 2 ; Por tanto,
scgun cl conocido teorema de geometrla elemental obtenemos
X
z3 -
z2 1
z2
= - arg - .
arg - - -
Fig.20
ZJ- ZJ
2
~
Z1
y
Demostrar que si z1 + Z2 + Z3 + Z4 = 0 y lt1 l = lz2l =
lz3l = lz41, entonces los puntos Z1, Z2, ZJ, Z4 SOn vecttfes de
31.
un rectangulb o coinciden dos a dos.
~
Soluci6n. Los cuatro puntos se encuentran en una circunferencia
con centro en el origen de coordenadas y se verifica, ademas,
z 1 + z2 = - (z3 + z4). El valor absoluto y el sentido de los vectores
z 1+ z2 y -(z3 + z4) coinciden si, y s61o si, por ejemplo, z3 = z1 ,
z4 = z2, o bien ZJ = z2, Z3 = z4 • En el primer caso los puntos z 1 ,
z 2, z 3 , z 4 son vertices de un rectangulo. ~
~
Soluci6n. Se sabe que los valores de \'IZ se encuentran en
Ia circunferencia de radio lzl y constituyen los vertices de un
n-agono regular. Por consiguiente,
X
Fig.21
2
2 = 2(xi + xD + 2(yf + yi) =
= 2((xi + yi) + (x~ +yD) =2(lzd2+ lz2l2).
lz1 + z2l + lz1- z2l
Como se puede ver, Ia suma de los cuadrados de las longitudes
de las diagonales de un paralelogramo es igual a Ia suma de los
cuadrados de las longitudes de sus lados. ~
Zk+ l
·(
2h)
.
. 2h
·2klr
= lzde' argz,+-;;- lzde'argz'e'-;;- =z1e'-;;-,
k = 0, n - 1.
~
~
33.
Sean Zl y Z2 dos vertices adyacentes de un n-agono
·regular. Hallar el vertice ZJ adyacente a i2 (za if; z1).
<111
Soluci6n. En Ia figura 22 vemos que z3 consig uiente, z3
= z2 + (z2 -
·2lf
z 1)e'n.
=
zJ)e' n, Por
·2r
z3
y
y
= Cl,
ZJ-
C1
= z2 + (z2- z 1)e-•n. ..,.
z3
a) lz -
21 + lz + 21 = 5;
d) Im z
<Ill
0
I
Soluci6n. Veamos Ia figura 23. IJado que los vectores z 4 - Zt
y ZJ - Z2 SOn co)inea)es y SUS modu)OS SOn ig ua)es, entonceS
z4 - z 1 ZJ- Z2, Z4 Z1 + ZJ- zi. ....
=
izquierda de Ia hiperbola y Ia desig ualdad lz - 21 - lz + 21 > 3,
su interior.
c) Sea z = x + iy. Escribamos Ia desig ualdad en Ia forma
X ~ c. Vemos que este es el conjunto de los puntas situados a la
derecha de Ia recta x = c, incluyendo Ia propia recta.
d) Como Im z = y, escribamos Ia desigualdad en la forma
y < c. Este es el conjunto de todos los puntos del semiplano
ubicado debajo de Ia recta y = c. ..,.
=
.
.
35. ·zBajo que eong,ici.q!ll;tres puntos Z t, z2 y z3 dife~rites
se encue ntran en Ufia nUSifla recta?
<Ill
=
elipse cuyo semieje mayor es igual a ~ y sus focos son los puntos
2
-2 y 2.
b) El Iugar geomctrico de los puntos del plano C que
satisfacen Ia cond ici6n liz - 21 - lz + 211 = 3 es una hiperbola
3
de semieje 2. La ecuaci6n lz - 21 - lz + 21 = 3 describe Ia rama
-3
~4
·. Sean Z l Z2 y ZJ tres vertices de un parall
e ogramo.
Hallar el CUCjrto vertice Z( opuesto a) V'ertice -Z.2.
<111
< c:
Solucion. a) La ecuaci6n describe el Iuga r geometrico de los
puntas del p lan o para los cuales Ia suma de sus d istancias hasta
dos puntas dados F 1
-2 y F 2
2 es ig ual a 5. Del curso
de gcometrfa analftica se sabe que esto es, por definicion, una
=
X
Fig.23
Fig.22
lo que es
Aclarar el sentido geometrico de las expresiol}~S ~i­
guientes:
Zt
X
= 0,
Z2 - Zt •
36.
22
0
z1
E lit Entonces Im - -
Y3-Y1
XJ-X t
equiva len te a que - - = - --. Dado que Ia ecuaci6n
Y2- Yt
x2- Xt
de Ia recta que pasa por los puntas (x 1, yt) y (x 2, y2) tiene Ia
y - Yt
X - XI
form<~ - - - = ---, vemos que el pun to (x 3, y 3) pertenece
Y2- Yt
x2- Xt
a ella. ..,.
-2lf
(z2-
z1
Z2 - Z t
Si los vertices estan enume-
rados en orden in verso, obtenemos
z3
z2
ZJ-
Sea - -
Soluci6n. Si estos puntas se encuentran en una recta, e.ntonces
los argumentos de ZJ- z 1 y z 2 - z 1 bien coinciden, bien difieren
ZJ- Z t
en 1r; por ella, Ia fracci6n - - es un numero real. La
z2- Z t
condici6n obte.nida es necesaria. Demostremos su suficiencia.
6•
-<111
Soluci6n. a) La ecuaci6n arg z = a define una semirrecta de
pendiente a. Las desigualdades a < arg z < f3 definen un sector
infinite comprendido entre las semirrectas arg z =a y arg z = /3,
sin incluir las propias semirrectas.
b) Traslademos el origen de coordcnadas al punto zo
haciendo z- z0 = w . Entonces las desigualdades a < arg w < f3
definen el interior del mismo sector de a), s61o que con verticc
en zo. ~
vectores z-z1 y z-z2 pertenecena Ia recta que pasa por los puntos
z 1 y z 2 (excluyendo el punto z2); en el segundo cas9, el angulo
7r
comprendido entre estos vectores es igual a ±2 a exc~pci6n de
Z- Z J
un multiplo de 21r. Por tanto, el conjunto Re - - = 0 es una
z- z2
circunferencia cuyo diametro es el segmento que une los puntos
z 1 y z 2 (el punto z2 ha sido excluido de Ia circunferencia).
d) Sea z = x+iy. Entonces lx-1+iyl ~ 2lx+i(y-1)j, es
decir, y'(x- 1)2 + y 2 ~ 2y'x 2 + (y -1)2. Elevando al cuadrado
los dos miembros de Ia desigualdad obtenida, tras una serie de
transformaciones elementales obtenemos
(x+31) +
2
b) Rez +.Imz <1;
8
y-34) :::;9.
2
(
El conjunto de puntos del plano C definido por Ia desigualdad
2J2
anterior es un drculo cerrado de radio - - y centro en el punto
3
1
4
z0 = - -+i-.
<0111
2
2
Soluci6n. a) Seaz=x+iy;entonceslzl = v'x +y ,Rez+ 1=
x + 1, y Ia igualdad analizada toma Ia forma y'x 2 + y 2 = x + 1.
Elevando al cuadrado los dos miembros de Ia Ultima igualdad
obtenemos y 2 = 2x + 1. Esta es Ia ecuaci6n de Ia parabola con
vertice en el punto (
1'
-~, 0)
y eje de simetria en Ia semirrecta
= {(x, y) E~2 : x ~ -~, y = 0}.
b) Escribamos Ia desigualdad en Ia forma x + y < 1. El
conjunto de los puntos del plano C que satisfacen esta desigualdad
es el semiplano limitado por la recta de ecuaci6n x + y = 1. El
origen de coordenadas pertenece a este semiplano.
c) Dado que z-
ZJ
Z - Z2
Z -
ZJ
Arg - - , tp
Z - Z2
= 1P1 -
=
I
z-
ZJ
Z - Z2
l(cos tp + i sen tp), tp E
tp2, IPI E Arg (z-
ZJ),
1P2 E Arg (z - z2),
entonces en el primer caso tenemos sen tp = 0, IPI - 1P2 = k1r, y en
7r
el segundo, cos tp = 0, IPl - tp2 = 2 + 2k7r. En el primer caso los
3
3
e) Sea lzl = r. La curva de ecuaci6n r = tp se denomina
espirnl de Arquimedes. Dado que 0 ::;; tp < 21r, entonces se
considera solo una espira de dicha curva. Asi pues, Ia desigualdad
r < tp describe el conjunto de puntos interiores de Ia figura
formada por el segmento 0 ::;; x ::;; 27r del eje real y una espira de
Ia espiral de Arquimedes.
f) La desigualdad determina el mismo conjunto del ejemplo ant<erior complementado con el intervalo (0,27r) del eje
real. ~
Z - Zt
d) a r g - - = a (- 1r<a ::;; 1r). •
·
<1111
Z
-z2
1
1
X - iy
X
.
y
Soluci6n. a) - = - - = --- = --- - t - - - =
z
x + iy
x2 + y2
x2 + y2
x2 + y2
1
1
"' - X - = c descn'be una fam 'I'
Re - - t. Im -. La ecuaeton
t ta de
2
2
Z
Z
X
(x - .:!.)
2
circunferencias
1) Takes reales;
2) rakes irnaginarias puras;
3) rakes de valores complejos?
+y
2
+ y2 =
ci,
4
Ct =
~,c c::/= 0, tangcntcs
<1111
Solu ci6n. 1) Necesidnd. Scan z 1 y z 2 raices reales. Entonces,
segun el teorema de Vietc,
al eje imaginario en el origen de coordenadas. Si c = 0, entonces
x = 0, es decir, el eje imaginario tambien pertenece a dicha familia.
~
La ecuaci6n -
X
x2
+
+y
1
ci
(y + -c2 ) = -,
4
4a
= c describe Ia familia de circunferencias
2
c1
1
= -,
c
Suficiencin. Scan a E ~' b E ~ y a 2 ~ b. A partir de
Ia formula de las rakes de una ecuacion de segundo grado
z 1,2 =-a± J a 2 - b se deduce que z 1 y z2 son nt'tmeros reales.
2) Necesidnd. Sean z 1 y z2 imaginarios puros. Entonces,
de las formulas de Viete se deduce que a es imaginario puro y b
2
cs real. Por tanto, 4a = z~ + + 2b ::;; - 2lbl + 2b ::;; 4b, de doQde
2
b~ a •
Suficiencia. Si b ~ a 2 y a es un nl1mcro imaginario puro,
a partir de Ia formu la de las rakes de una ecuacion de segundo
grado vemos que ambas rafces son imagina rias puras.
3) La ecuacion d e segundo grado siempre tiene dos rakes
complejas. ..,..
c ::/= 0, tangentes al eje real en
el o rigen de coordenadas; como y = 0 para c = 0, el eje real
pertenece a Ia familia.
b) Sea z = x + iy. Te nemos z 2 = x 2 - y2 + i2xy, Re z 2 =
2
2
2
2
2
x - y , 1m z = 2xy. Si c ::/= 0, entonces las ecuaciones x - y = c
y 2xy = c describen fa milias de hipe rbolas. Si c = 0, Ia ecuaci6n
x 2 - y 2 = 0 determina el par de rectas y = x e y = -x, mientras
que la ecuaci6n xy = 0 d efine el pa r de rectas x = 0 e y = 0.
c) Sea z
x + iy, Zt X t + iyt, z2 = x2 + iy2. Entonces
Ia ecuacion
(y- yd
I
=
z - Zt
Z - Z2
zi
=
I= >. (..\ >
0) es equivalente a (x - xt)2
= -2a, ZtZ2 = b, a E ~' bE lit
= z? + zi + 2b ~ 2V(z1z2)2 + 2b ~ 4b, a2 ~ b.
z 1 + z2
2
+
= ..\2 ((x- xd + (y- Yd) . De este modo, cada curva
es una circunferencia, Ia c ual constituye el Iugar geometrico de
los puntos para los que Ia raz6n entre sus distancias hasta los
puntos z 1 y z 2 es constante (drcunferencia de Apolonio respecto a
los puntos z 1 y z2).
Z - Zt
d) Dado que arg -
-
z - z2
= arg (z- zt) -
arg (z- z2) = a,
-1r < a ::;; 1r, entonces esta igualdad d efine una famj lia de arcos
de circunferencias con extremos en los puntos Z t y z2 (elangulo
entre los vectores z - z 1 y z - z 2 es igual a a). Esta familia esta
compuesta de un segmento finHo con extremos en los puntos
z 1 y z 2 (para a = ±1r) y un segmento infinjto que contienc cl
punto del infinito (para a = 0). ..,..
<1111
Sol uci6n. Supongamos que las raices z 1 , z2 y z3 de Ia ecuacion se
encuentran en una recta. Entonces z1 - z3 = k(z2 - ZJ), k = const,
k E llt Segun el teorema de Yiete z 1 + z 2 + z3 = 0, d e donde
z 1 = -z2 - z3 . Sustituyendo z 1 en Ia igualdad Zt - ZJ = k(z2z2
k +1
z3), obtenemos k 1, k 1 E ~- Por consiguiente,
ZJ
Z2
Tm -
~
= 0,
= -=
k +2
de donde
x 3 y2 -
x 2 y3 = 0, YJ =
Y2
- x3 .
~
Tomando
puestQ que z +a ::j:. z si a ::j:. 0. Regresa ndo a Ia variable z,
obtenemos
en vez de (x3, y3) cierto punto (x, y) de Ia recta, obtenemos Ia
recta y
=
ax -(a. = YX2l) q ue pasa por cl origen de coordenadas.
Zk
Por tanto,
= Xte
Zt
i9
z3 = x 3 e ,
donde Xj ;;<: 0 (j = 1, 2, 3). A partir de las formulas de Viete
i9
1- e' n-
=x
3
+ qx +
7'
2k7r
=
=0
(1)
20
obtenemos q = - 24, ei
.
. ..
~
= -ei j. Dado que 8 E
.. )
(-?!2':. !!:.]2 '
· 2..
. .
·2h
= 1, donde t = -z +z -a . Por constgUtente,
tk = e'n(k = 0, n- 1). Para k = 0 se tiene t0 = 1, lo que es imposible
.,
n
2
n
n
n
k'lr
sen2 n
k1r)
a ( 1 + i ctg -:;;
a
2,
(k
= 1, n -
1)
es decir, todas las ra k es se
11>-
Solucion. Las coordenadas de los puntos considerados son
z 1 = (1,0),
Solucion. Para z ::j:. 0 La ecuaci6n dad a es equivalente a Ia
ecuac10n t
= -
2 k7r
.
k'lr
k'lr
sen - +tsen- cos-
encuentran en una misma recta paralela al eje imaginario.
~
~
=
a
2
Si a E IR, entonces Re zk = -
ento[lces e' 20 = (- 1)e' 3 = e' -.-+3 = e _,3 , 38 = -1r.
SegU.n La tercera formula de Viele tenemos r = - a, a E lit
A partir de Ia desigualdad (1) para q = - 24, r = - a se obtiene
que a2 ~ 211 , es decir, lal ~ 32/2. 11>-
2k7r)
2
2 ( 1 - cos : 7r )
0. De La segunda formula de Viele
.(
=
a ( 1 - cos --;;: + i sen --;;:
tiene tres rakes rca les. De las formulas de Cardano se deduce que
los coeficientes q y r deben satisfacer Ia condicion
de donde hallamos que q
·2k..-
n
obtenemos p = 0, qei28 = 24eiJ , r ei39 = a, donde p = - (x 1 +
X2 + X3), q = XtX2 + XtX3 + X2X3, T = -X tXzX3. Dado q ue Xj SOil
numeros reales, entonces Ia ecuacion
x + px + qx + r
1- tk
1 - ( cos -2k7r - i sen -2k7r)
n
n
=-a
2k7r
2 - 2cos-
z2 = x 2 e ,
2
1
,
i9
3
1
= - a - - = -a
Zz
= (- 1,0),
Z3
= (0,1) y
Utilicemos las formulas (3), p. 1.3:
X
€ = 1 + lzl 2 '
Z4
=
(~, - ~)·
Denotando las imagenes d e los p w1tOS
obtenemos
Z1
= (~,0, ~) ,
Z2
Zj
mediante
zj
(i
= (- ~I 0, ~)
7r
7r
, - , respectivamente.
4
7r
I
7r
< 2'
•
mediante la proyec~i6n estereografica.
(.A que correspon<:{en los polgs nort~ y sm?
I
I
Como vemos, todos los cuatro puntos se encuenlran en el ecuad or
de Ia esfera de Riemann y sus longitudes son ig uales a 0, 1r,
2
En el plano <C, hallar la imagen de un paralelo de lati-
tud tp, -; 2 ~ cp
Z4= ( h_V2
~) 4
4 2
Z3= (o, ~,~) ,
4!}.
= M),
~ Soluci6n. Supongamos que Ia latitud d el punto ((, 17, () E S es
1 sen tp
igual a tp. Por tanto, ( = 2+ - - . Entonces, de las formulas (3),
2
p. 1.3, obtcnemos
lz l2
..,.
= _(_ = 1 +sen tp,
1 - sen tp
1- (
lzl = tg
(
~ + ~).
A cada punto del paralelo de latitud tp le corresponde
un punto del plano <C que se encuentra en Ia circunferencia
~
Soluci6n. a) Deno temos mediante Z = ((, TJ, () Ia imagen de
z E <C. Si z pertenece a Ia semirrecta arg z = a, entonces el valor
principal del argumento arg (( + i77) de Ia imagen Z es a. Por
eso el pW1to Z se encuentra en el semimeridiano de angulo a.
La afirmaci6n recfproca tambien es valida. Por consiguiente, Ia
proyecci6n es tereografica transforma Ia semirrecta arg z = a en
W1 semimeridiano d e angulo a , excluidos los polos norte y
sur.
b) Sea z E <C y lzl = r. Entonces a parti r de las f6rmur2
las (3), p.l.3, para Ia imagen Z((, TJ, () E S ob tenemos ( = - -2 •
1+ r
De este modo, todos los p untas Z se encuentran en la circunferenr2
cia que se obtiene cuando el plano de ecuaci6n ( = - corta Ia
1 + r2
esfera S. Tambien es valida la afirmaci6n recfproca, pues a partir
r2
de las formulas (3) se d educe que si ( = - -2 , entonces para el
l +r
pW1to z correspondiente se tiene que lz l = r. Por tanto, Ia proyecci6n estereografica de una circunferencia es Ia circunferencia
r2
que se obtiene cuando el plano ( = - -2 corta Ia esfera S . ..,.
1+r
1
= {z
E C: lzl
= tg ( ~ + ~) } .
La afirmaci6n recfproca
tambien es valida. El polo sur, es decir, el punto d e latitud
tp
= -
27r corresponde a! p un to
ninguna imagen en el plano C.
lz l
= 0. El polo
norte no tiene
...
46.
Hallar la, imagen ·en 1~ esfera de Riemann de. yna
{amilia•de .recJas paralelas del plano C mediante la proyecd6n
·estereognifica.
~ Soluci6n. Consideremos una familia d e rectas paralelas del
plano C que cor tan el eje Oy . To memos d e esta familia una recta
de pcnd!ente a que pase por el origen de coordenadas. Aplicando
los resultados d el ej. 44, vemos que a esa recta le corresponde el
meridiana (sin el polo norte) de longitud a .
Sea y kx + b (k tg a ) o tra recta cualquiera de dicha
familia. Si el punto Z = ((, TJ, () E S corresponde al pun to
z = x + iy, entonces, segun las formulas (3), p. 1.3, obtenemos
=
x
{ = 1 + lz l2'
=
kx + b
TJ = 1 + lz l2'
2
lz l
( = 1 + lz l2'
b
+ izl 2 = k{ + b(l'- (). De este modo, las
1
coordenad as {, 1], ( del punto Z satisfacen las ecuaciones
de donde 1J
curva en el plano <C:
= k{ +
k{ - 1] - b(
=-b
y {
2
2
2
+ 1] + ( ( -
21 ) = 41
Por consiguiente, el punto Z se encuentra en La circunferencia determinada por estas ultimas ecuaciones. Dado que el
punto (0, 0, 1) satisface dichas ecuaciones, tenemos que todas esas
circunferencias pasan por el polo norte.
Concluyend o, a toda familia d e rectas paralelas d el plano <C
lc corresponde una familia de circunferencias d e S que pasan por
el polo norte. ..,.
(D + C) (x 2 + y2 ) + A x+ By = -D.
Si C + D # 0 (es decir, Ia circunfcrcncia definida en Ia
esfera de Riemnnn no pasa po r el polo no rte), entonces su imagen
es una circunferencia en el plano <C; y si C + D = 0 (es decir, La
circunferencia pasa por el polo norte), entonces su imagen es una
recta del plano <C. ..,.
§ 2. Topologia del plano complejo.
Sucesiones de numeros complejos.
Propiedades de las funciones
continuas en un compacto
2.1. Topologia del plano complejo
~
Soluci6n. Consideremos Ia siguiente circunferencia en Ia esfera
de Riemann:
A{ + B1J + C( + D = 0,
{
e+
1]2
+ (( -
~
r ~I
=
donde A, B, C y D son numeros reales. Hallemos Ia imagen de
esta circunferencia mediante Ia proyecci6n estereografica.
Tomemos el pun to (0, 0, 1) de Ia circunferencia dada.
Entonces D + C = 0, y Ia ecuaci6n d el plano donde se encuentra
dicha circunferencia adquiere Ia forma A{ + B1] = C(1 - () .
Aplicando las fo rmulas (2) y (3), p. 1.3, obtenemos que Ia imagen
de Ia circunferencia es Ia recta Ax + By = C del plano C.
A partir de las formulas (3), p . 1.3, encontramos que
{ = (1 - ()x y 1J = (1-()y. Entonces, hacienda uso de Ia ecuaci6n
D+C
del plano A{+ B1]+C(+D = 0, obtenemos ( = 1+-- -- Ax+By- C
Sustituyendo ahora las expresiones d e {, 1J y ( en terminos d e
x e y en Ia ecuaci6n de Ia esfera, obtenemos Ia ecuaci6n de Ia
En el p. 1.2 se demostr6 que Ia cuaterna ordenada E = (<C, +, ·, l· I)
es un espacio vectorial normado sobre el campo lR. Por eso el par
ordenado (<C, p), donde V (z1 E <C, Z2 E <C ) p(z1, z2) = lz2- z 1i =
J(x - xt)2 + (y2 - y 1)2, es un espacio metrico. Definamos en el
2
conjunto C Ia d enominada 111etrica esferica p.
Sean Z1({1,1]1, (I) y Z 2({z,1Jz, ( 2) las imagenes esfE!ricas
de los puntos z1 E C y z2 E C. Se denomina dista11cia cordt:ll
k(Z , Z ) entre los puntos Z1 y Z2 a la norma euc\idea del vector
2
1
(6- {1,1Jz- T/1, (2 - (I), eg decir,
k(Z1 , Z2) = Ji,.....(€_
2 _-{1--=
)2_+_(_1'/___
2 1'/1_,
)2_+_(_(2___
(1-?·
Definamos ahora
_
p{z1, z2)
del
=
k(Z1 , Z2)
(
-
- )
V z1 E <C, Zz E <C .
(1)
De acuerdo con las formulas p rincipales de Ia proyecci6n estereografica,
X1
6=
1 + lzd 2'
X2
~
{2 = 1 + lz2 .2,
Y1
1'/1 = 1 + lzd2'
Y2
- - .2 '
1/2- 1 + lz2l
2
lz1i
(I = 1+lzd 2'
izzi2
-
(2 = 1 + lz2l
2.
Por consiguiente, para z1 E C y z2 E C
-2
1
2 _ (
p (z ,z
)-
2
2
Xt ) . (
Y2
Yt )
1 + lz 2l2 - 1 + lz d 2
+ 1 + lz2l 2 - 1 + lzd 2 +
2
2
2
lz2 l
lztl )
(
2
+ 1 + lz2 1 -1 +lzd 2 =
X2
2
izd
2
-1+ lzd
-
+
2
lz2 l
2(xtx2+ YtY2+ lz d 2lz2i 2)
1 + iz21 2
(1 + lzd 2) (1 + lz2j2)
-
lz2 - ztl 2
- (1+lzd2)(1+iz21 2)'
_
_
St z E C, entonces p(z, oo)
1
dcf
=
V (zi E
V1 + izF
C,
z2 E
2
-(
)dcf
p Zt, z2 =
{
. De este modo,
C)
lz - zd
,
V 1+lztFV1+iz21 2
1
si
Zt
E C, z2 E C,
,
V1 + jz,j2
si
z1
E
C, z2 = oo.
El par ordenado (C, {f) es un espacio metrico.
Senalemos que en el conjunto C tambien se p uede utilizar
Ia metrica esferica. Efectivamente, sea A C C un conjunto acotado
(recordemos que segU.n Ia definicion 5, p. 3.2, cap. 1, un subconjunto A de un espacio metrico (C, p) se d enomina ncotndo si su
di<hnetro d(A)
sup p(z,, z2)
sup lz2 - z 11 es finito). Sea
=
•tEA, ZzEA
0
=
z1 EA, •zEA
lzl ~ R 'tlz EA. Entonces, V (zi E A, z2 E A)
_
lz2- zd
p(zi, z2) = 'vh + izd2JI + iz2j2 ~ p(zl, z2). (2)
< R < +oo y
p(zl, z2)
1 + R2
~
Asi pues, en el caso considerado las me tricas p y
lentes.
p son equiva-
Se denomina topologia de 1111 espncio metrico (X, p) a una
familia de conjuntos abiertos d e este espacio (v. p. 6.6, cap. 1).
L
O!(oo) = {z E C: p(z,oo)
< e} =
~ { z E C ~ <<}~ {z E C lzl > VI:,-II }' (3)
es decir, el conjunto de todos los puntas d el plano complejo C
que se e ncu entran fuera de Ia circunferencia de radio R 1t! =
_
iz2 -zd
p(z 1, z2) = -;===:~:;=:===.::
V1 + lzt Fv 1+ lz2 l2
.
Una topologfa en los espacios (C, p) y (C,p) se define mediante
familias d e entornos.
Sea e > 0 y z0 E C. Segun Ia definicion 1, p. 3.2, cap. 1,
cl conjunto O!(zo) = {z E C: iz- zol < e} cs un £-entomo del
pun to z0 en el espacio me trico (C, p). En el espacio metrico (C, p),
un £: -entomo del punta z = oo es el conjunto
~·
Por Ia d efinicion 2, p. 3.4, cap. 1, un punto z E A C C
(respectivamente, z E A C C) se denomina interior si existc un
e-entorno suyo tal que Oc(z) C A . conforme a Ia d efinicion 1,
p. 3.3, cap. 1, se dice que G C C (resp. G C C) es un copjunto
nbierto en el espacio me trico (C, p) (resp. (C, fi)) si todos sus
pun tas son interiores. Todo c-entorno del espacio metrico (C, p)
(resp. (C, p)) es un conjunto abierto (v. teorema 1, p. 3.3, cap. l).
Definicion 1. El conjunto de todos los conj untos abiertos del plano
complejo C (resp ectivamente C) se dcnomina topologin r de este plano,
y el par ordenado {C, r) (resp. (C , r)) se llama espacio topo16gico.
,.,
El espacio topologico (C, r) (resp. (C, f)) tiene las propiedades siguientes:
1) Ia union de cualquier familia (G1,)peA d e conjuntos abiertos
G1, C C (resp. G1, C C) y Ia interseccion de cualquier
familia finita de estos son conjuntos abiertos (v. teorema 2,
p.3.3, cap. 1);
2) el conjunto vacfo 0 y el conjunto C (resp. C) son abiertos.
Segun Ia definicion 3,- p. 3.5, cap. 1, se dice que z0 E C
(resp. z0 E C) es un punta ndlzerente al conjunto A C C {resp .
A C C) si todo 6-entorno suyo 06(xo) tiene una interseccion no
vacia con A. Un punto zo E C (resp. _zo E C) se denomina punfo
limite del conjunto A C C (resp. A C C) si este es un punto
adherente del conjunto A\ {zo}. De Ia d"efinicion de pun to limite
del conjunto A se deduce que todo 6-entorno del punto limite
contiene un conjunto infinito de puntos de A (v. teorema 4, p. 3.5,
cap.1). A partir de las desigualdades (2) se deduce que si z i= oo
es un punto limite del conjunto A en el espacio topologico (C, r),
entonces este punto tiene Ia misma propiedad en el espacio (C, r )
y viceversa. Por tanto, al definir puntos limites finites se puede
utilizar tanto Ia metrica euclidea como Ia esferica; en este sentido
las metricas p y p son equivalentes.
Es evidente que un conjunto finito A C C no tiene puntos
limites.
2.2. Conjuntos cerrados, segmentos y lineas
quebradas. Conj1!-ntos conexos
D
Segun Ia definicion 1, p. 3.5, cap. 1, un conjunto F c C (F c C)
se denomina cerrado, si su complemento CF es abierto. Todo
conjunto cerrado F contiene todos sus puntos ad herentes. El
conjunto de todos los puntos adherentes del conjun to A c C
(resp. A C C) se denomina su adllere11Cia (clausum, cierre) y se
denota mediante A (v. def. 2,-p. 3.5, cap.1). Segun Ia definicion 5,
p. 3.5, cap. 1, un punto z E C (resp. z E C) se denom.ina punta
frontera del conjunto A C C (resp. A C C) si este es un punto
adherente tanto a A , como a CA. El conjunto 8A de todos los
puntas frontera del conjunto A se denomina su Jrantera. Este
conjunto es cerrado y puede ser vado.
Sean z 1 E C, z2 E C. El conjunto { z E C: z = tz 1+ (1 - t)z2,
t E [0, 1l} se denomina segmento de C que une los puntos z1 y z 2 ,
y se denota mediante [zt, z2]. Los puntas z 1 y z 2 se denominan sus
extremas. La aplicacion t ~--> z(t), donde z(t) = t z 1 + (1- t)z 2 V t E
[0, 1], recibe el nombre de paramefrizaci6n del segmento [z1, z2 ].
Definicion 1. Se dice que un conjunto .a bierto G C C (resp. G c C)
es canexa si cualquier par de puntos suyos se puede unir mediante una
quebrada que pertenece completamente al conjunto.
Definicion 2. Un conjunto cerrado F C C se denomina canexa si no
puede ser dividido en dos partes de forma tal que Ia distancia entre elias
sea positiva.
Notese que Ia definicion de conjunto conexo se diferencia
sustancialmente para los conjuntos abiertos y cerrados.
Definicion 3. Un conjunto abierto conexo se denomina region.
Definicion 4. La adherencia de una region se denomina region cerrada.
2.3. Sucesi6n de numeros complejos y su limite
Se denom.ina sucesi6n (zn) de puntas del espacio nu!trica (C, p)
una aplicacion N ~ C (vease la defmici6n general de sucesion de
puntos, p. 1.7, cap.1).
Analicemos ahora algunos aspectos de la teorfa de las
sucesiones de puntos de un espacio metrico (v. sec. 3, cap. 1) en
relaci6n con las sucesiones de numeros complejos.
Definicion 1. Un punto z E C se denomina limite de una sucesi611 (zn)
(y se escribe z = lim Z,1 , o bien Zn --+ z) si
n-oo
(V e
> 0) (3
n, E N) (V n
~
n, ): p(zn, z)
= lzn - zl < e.
(1)
Se dice que la sucesi6n convet;ge si este limite existe.
De Ia definicion se deduce que existe cierto numero n, E N
tal que todos los terminos de la sucesi6n con indice superior
a n, estan contenidos en un e-entorno del punto z E C. Fuera
del entorno O,(z) s6lo puede encontrarse un numero finite de
puntos z 1, z2, ... , Zn, -I· El conjunto de estos puntos, el cual sera
representado mediante Ia letra Z, es acotado. Segun el teorema
. Una funcion continua [a, b] ~ IR se denomina quebrada (o Junci6n
lineal a trazos) si su grafico en el plano ~ (identificado con el
plano C) se compone de un numero finito de segmentos.
7 J .... 36
del p. 3.2, cap. 1, I<! union O,(z) U Z de dos conjuntos acotados es
un conjunto acotado. Por consiguiente, toda sucesion convergente
es acotada (3 M E IR: 'V n E N lz, I ::;; M). Para d enotar las
sucesiones acotadas (z11 ) de nu m~ros complejos utiliza rcmos cl
simbolo de Landau z, = 0(1).
Definicion 2. Se dice que una sucesion (z,.) tiene lfmite oo (y se escribe
lim z,. = oo, o bien z, -+ oo) si
n-oo
('V c
> 0) (3
n, E N) ('V n
~
n, ):
p(z,., oo) <c.
De Ia definicion 2 se deduce que a partir de cierto nt'imero
n, E N todos los tl~rminos de Ia sucesion (z,) satisfacen Ia d esigualdad
lz,. I >
VIc~ -11 (v. p. 2.1), es d ecir, se encuentran fuera
d el circulo de radio R1 =
c
Jl
es equivalente a que lim lz,l
n-oo
(2)
De esle modo, Ia convergencia d e una sucesion (z,. )
d e numeros complejos es· equivalente a Ia convergencia d e las
sucesiones de numeros reales (Re z,. ) y (Im z,1 ) . Este hecho permite
aplicar toda Ia teoria de los limites de sucesiones de numeros
reales a las sucesiones de nCuneros complejos. En particular,
de Ia acotaci6n d e las sucesiones (Re z,.) e (1m z,. ) se deduce
inmediatamente que Ia sucesion (z,) tambien es acotada.
Ahara, para las sucesiones de numeros complejos formularemos algunos teoremas ancilogos a los de las sucesiones de
numeros reales.
Teorema 2. Sean (z,.) y ((,.) dos sucesiones convergentes de mimeros
complejos. Entonces Sll sumn (z,. + (,), su producto (z,. · ( 11 ) y Sll cociente
) (si 1:/ n E N (,1 =/= 01\ lim (,. =/= 0) tnmbi£!n SOil sucesiones convergentes
( z,
(,.
n -oo
y posee11 Ins propiedndes siguienles:
1
c2
-11. La condici6n lim z,. = oo
lim (z,.
n-oo
11-+00
~
z)
¢:}
(Re z,.
->
Demostraci6n. Necesidad. Sea z,
lz,. - z l -+ 0 y d e las d esig ualdad es
IRe z,. - Re z l ::;; lzn - zl,
Re z) 1\ (Im z,.
->
->
n-oo
n-oo
z. Entonces p(z,., z )
lim z,. - Im z l ::;; lz,. - z l,
lm z,.-+ Im z .
Suficiencia. Sea Re z,. -> Re z, Im z,. -> Im z. Entonces
lz,1 - z l2 = (Re z,. - Re z )2 + (lm z,. - Im z f -+ 0 cuando n-+ oo,
es d ecir, z,. --+ z. ~
lim z,.
n-+oo
n-+oo (,.
lim ( 11
11-+00
Teorema 3 (criteria de Cauchy). Una sucesi6n (z,) converge si, y solo si,
ella es fundamental, es decir,
> 0) (3
n, E N) (1:/ (n
~
n,, p E N)):
(3)
p(zn+pt z,.) = lzn+p - Zn I < c
Im z).
que se verifican 1:/ n E N, se d educen las propiedades requeridas
Re z,.-+ Rez,
+ nlim
(,,
-+oo
lim~ =~
lim (z,.(,.) = lim z,. lim (,1 ,
(1:/ c
->
lim z,.
n-oo
z
= +oo.
Notese que para el numero complejo convencional oo
no se d efinen los conceptos d e parte real, parte imag inaria y
argumento.
conforme al teorema 1, p. 3.1, cap. 1, una succsion (z, )
convergente en el espacio metrico (<C, p) tiene un solo lfmite.
Teorema 1. (z,1
+ (,.) =
(v. def. 3, p. 3.1, cap. 1).
Dado que el espacio metrico (JR, p), con p(x, y) = lx - yl
'V (x E IR, y E JR), es complete, entonces tambien es complete
cl espacio metrico (<C, p), d onde p(z1, z2 ) = lz2 - zd 'V (z 1 E <C,
z2 E C) (v. teorema 1).
Teorema 4. Sean (z11 ) una sucesi6n convergenfe y z
= n-+oo
lim z,. Entonces toda
subsucesi6n suya (z,.t) tambi£!11 converge, verificandose que lim z11 t = z.
k-+oo
Teorema 5 (de Bolzano-Weierstrass). Torio conjrlllto ncotnrio infinito
Z C C tiene nl menos 1111 punta limite en C.
Definicion 1. Sea K C C. Se dice que e l conjunto K es secue11cinlme11te
compacta (o q ue cs un compacta) si de toda sucesi6n (z11 ) de puntos
E K se puede cxtraer una s ubsucesi6n (z,,) convergente a un punto
Zo E K (v. def. 1, sec. 4, cap.1).
Z 11
~
Demostracion. Sea (z,) una s ucesio n arbitraria de puntos del
conjunto Z. Como Z es acotado, (z,) tambien es acotada, luego
las sucesio nes (Re z,) y (Im z,) son acotadas. Segun el teore ma
de Bolza no-Weie rstrass para las s ucesiones d e numeros reales,
a partir de Ia s ucesi6n (Re z,) se puede extriler una subsucesi6n
convergente (Re z,k) . Sea lim Re z"k = x, x E lit La subsucesi6n
1.:-oo
Teorema 1 (de acotaci6n de un compacto). Torio compacta K C C es
~
(Im z,k) es acotada y, por tanto, de ella se puede extraer una
subsucesi6n convergente (Im z,k ). Sea lim Im z,,. = y , y E lit
..
rll -00
..
En virtud del teorema 4, Re z,,m -+ x cuando m -+ oo. Consideremos una subsucesi6n (z,k..) de Ia sucesi6n (z,). Aplicando el
teorema 1 ob tc nemos que lim z,t = z = x + iy, z E C. Segun
m-oo
1111
co11jwrto ncotnrlo.
Demostracion. Supongamos lo contrario, es d eci r, que e l compacto K no es acotado. Ento nces cxiste una sucesi6n (z,) tal que
lz,l > n y V n E N z, E [(. Vemos, pues, que de (z,) nose puede
extraer ning una s ubsucesi6n acotada, y menos aun convergente.
De este modo, hemos llegado a una contradicci6n y, por tanto, el
compacto K es acotado. ..,..
m
Ia definicion 4, p . 3.5, cap. 1, vemos que z es un punto Hmite del
conjunto Z. ..,..
De acuerdo con el teorema de Hausdorff, el compacta
K C C es totalmente acotado en el espacio metrico (C, p), es
decir, V t > 0 para este compacta ex.iste una t -red finita en C.
Dado que el espacio metrico (C, p) es completo, entonces, segun
el teorema de Frechet, todo conjunto totalmente acotado en este
espacio es compacto.
Hay que sefia lar que no todo conjunto acotado Z c C
es compacto. Por ejemplo, el conjunto Z = {z E C: lzl < 1}
es acotado, pero no es secuencialmente compacto, pues toda
D efinicion 3. Un punto z E C (resp. z E C) se denomina limite pnrdnl
(punta limite) de Ia sucesi6n (z11 ) si de csta sucesi6n se puede extraer unil
s ubsucesi6n (z,k) cuyo Limite es ig ual il z.
Del teorema 4 se deduce e l corolario sig uiente: si Ia
sucesi6n (z11 ) converge y z E C es su limite parcial, entonces
lim z, = z.
subsl!.cesi6n de Ia
Recordemos que todos los resultados y de finiciones refercntes a
las propiedades de conjuntos compactos en espacios metricos se
exponen en Ia sec. 4, cap. 1. Analicemos ahora las propiedades de
un compacto en el espacio metrico (C, p).
de sus puntos converge
limite z0 ¢ Z no es compacta.
Teorema 2 (criterio de compacidad secuencial). U11 conjrmto Z
compacta si, y solo si, es cerrado y ncotado n Ia vez.
~
2.4. Propiedades de los compactos K C C
(z. = _n_)
n+l
a 1 ¢ Z. Ana logamente, un conjunto Z C C que tiene un punto
n-oo
Sefialemos que se deben distinguir los puntos Hmites
d e conjuntos d e los puntos limites de s ucesiones. Por ejemplo,
Ia sucesi6n (z,.), donde z, = (- 1)", tiene dos puntos If mites:
z 1 = -1 y z 2 = 1, rnientras que cl conjunto finito {-1 , 1} no
tiene p unto lfmite a lg uno.
s~cesi6n
c
C es
Demostracion. Necesidnd. Sea Z un compacto. con forme al teorema 1, Z esta acotado. Supongamos que Z no es cerrado.
Entonces existe un punto Zo ¢ Z y una sucesi6n (z11 ) tales que
Vn E N z, E Z 1\ lim z, = zo. De este modo, toda subsucesi6n (z,k) converge a Zo f/:. Z, lo que contra dice Ia definicion de
compacta. Por consiguicnte, Z cs cerrado.
Suftciencin. Supongamos que Z C C es cerrad o y acotado.
Com o es cerrado, en tonces contiene tod os sus p untos adhe rentes
(v. p . 3.5, cap. 1). Consideremos una sucesion arbitraria (z,.) de sus
p untos. Da d o que dicha sucesion es acotada, segun e l teore ma de
Bolzano-Weierstrass (v. teorema 5, p . 2.3}, existe una subsucesion
(z,.J convergente a cierto punto z E C. Como Z es ce rrado y
'rl n E N z ,. E Z, e ntonccs z E Z. con forme a Ia definicion 1, el
conjunto Z es secuencia lmente compacto. .,..
Teorema 3 (de Bore i- Lebesgue). Sen K C C
en Ia teoria de funciones de variable compleja se suelc d ecir que
f es una funci6n de unn lwjn. Esto quiere d ecir que (z 1 E G,
Zz E G /\ z, # Zz)
=
=
I
G +---+ D,
=
zo) /\ (lim f( z 11 )
n~oo
=a ) .
{1)
f
Definicion 2. Si el conjunto E 1(z 0 ) contiene un solo punto a, entonces
este ultimo se denomina limite de In funci6n f en el pun to zo y se denota
mediante el simbolo lim f( z ).
•
Recorde mos que el concepto d e aplicacion de un conjunto en
otro se introdujo en el p . 1.8, cap. 1. Los conceptos de limite y
d e continuid ad, asf como otras p ropiedad es de las aplicaciones
continuas de un espacio me trico en otro, han sido examinados en
Ia sec. 6, cap . 1.
En es ta seccion estudia re mos las aplicaciones f : C-+ C y
f : lR -+ C. Seiia lemos que en este caso se cumplen automa ticamente los resultad os obtenid os en Ia sec. 6.
De finir una fimci6n complejn f(z ) de variable compleja
z E D 1 , equivale a d e finir en Ia region D 1 C ~If dos funciones
u : ~ -+ lR y v : ~If -+ IR, las cuales se d cnominan, respectivamente, parte real y parte imaginnria de Ia funcion f, es d~cir,
f(z)
u(x , y) + iv(x, y), siendo u Re f y v Im f. De este
mod o, el estudio d e una funcion f: C-+ C se reduce al estudio
de las propiedades d e dos funciones numericas u y v de dos
variables indep endie ntes x e y.
Sea f una aplicacion d e una region G C C en cierta region
D C C. Si f es biyectiva, o sea
# f (zz).
El conjunto de todos los Hmites parciales d e Ia funcion
en el punto z0 se de nota mediante E 1(z0 ).
Demostracion. Esta afirmacion es un caso particula r de l teorema 6, sec.4, cap. 1. .,..
de variable compleja
#
(z11 -+ z0 ) /\ ('rl n E N z,.
1111
2.5. Limite y continuidad de una funci6n
f (z ,)
Definicion 1. Sea f : C-+ C y sea zo un punto limite del conjunto D1 . El
numero a E C se denomina limite pnrcinl de Ia fun ci6n f en el punto zo
si existe una sucesion (z,.) de puntos d el conjunto D 1 tal que
compncto. Entonces de
cualquier recubrimienlo de K mediante unn fnmilin inftnitn (Go- )aEA de
subconjuntos nbiertos G a C C se puede extrner 1111 recubrimiento ftnito.
<1111
=?
z~.to
Definicion 3. Se dice que Ia funci6n f es continua en el pwtlo zoE D1 ,
si lim f (z11 )
f (zo) sie mpre que Zn -+ Zo /\ 'rl n E N Zn E D 1.
Z~ ZQ
=
Si- z0 E D 1 y es un punto limite de l conjunto D 1, entonces
f es continua en el p unto zo si, y solo si, Lim f( z) = f(zo).
z-z0
Toda funci6n f es continua en un pun to a isla d o Zo E D 1.
Una funcion f que no es continua en un pun to zo E D 1 se
d enomina discontinua en ese punto.
Sea Zo E D 1 un punto limite d el con junto D 1 . Estc
punto recibe el nombre d e punto de discontinuidad evitable de Ia
funcion f si existe lim f( z )
a , a E C y a # f(zo ). En este
z ~ZQ
=
caso Ia funcion cp d efinida como sigue
cp(z ) = { f(z),
a,
es continua en el punto Zo ·
si z EDJ \ {Zo},
si z = z0,
A veces se dice que "una funci6n f es continua en el
pun to zo E D 1 si su incremento en este pun to es un infinitesimo
siempre que sea un infinitesimo el incremento de su argumento".
En esta formulaci6n, po r incremento infinitesimo del arg umento
se enticnde una sucesi6n infinitesima (~z,.) = (z,. - z0 ), z0 E D1,
z,. E D 1 'V n E N, mien tras que por incremento de Ia funci6n j
se entiendc Ia sucesi6n
(~f(zo, ~z,.))
= (J(zo + ~z,.) -
/ (zo))
= (J(z
11 ) -
Si fJ =/= 0, e111onces
lim
z-zo
~
f (Zo)).
Demostracion. Sea (z,.) una sucesion de numeros complejos tal
que z,. _... Zo 1\ z, E D 1 n D 9 \ {z0 }. Entonces, en virtud de los
teoremas sabre los limites de las sucesiones, tenemos
lim
n-oo
(£)
g
(z11 )
= a±{3,
= af3,
= ~{3
La afirmaci6n d el teorema se deduce directamente de Ia definicion 2, p. 2.5. .,..
!_ es continua en el pun to z0.
g
2.7. Limite y continuidad
de Ia composici6n de funciones
~ Demostracion. Sea z,. _...
Zo y 'Vn EN Zn E D 1 = D 9 • Entonces
f (z,.) _... f (Zo) y g(zn) _... g(zo ). Ap lica ndo los teoremas sobre los
limites d e las sucesiones, obtenemos
lim (f( zn) ± g(zn)) = f (zo) ± g(zo),
Teorema 1 (de continuidad de Ia composici6n de funciones). Seall f y
lfJ dos fwrciones conti11uas e11 los pun los zo E D 1 y (o E Dvu respecfivamellle. Si ~p((o) = zo, entonces Ia composici6n f o 1fJ es conti11ua ell el
p1111to ( 0 .
n -oo
= f (Zo) g(Zo),
f(zn) = f(Zo)
lim f (zn) g(z,.)
n-oo
lim
n-oo g(z,.)
g(zo) ·
Segun Ia d efinicion 3, p. 2.5, las funciones
g
pun to limite del conjunto D 1 n D 9 • Si lim f (z)
z-zo
y lim g(z) = {3, ento11ces
1111
z-zo
lim(! ±g) (z) =a ±{3,
~
f ± g, jg, !_ son
continuas en el punta z0 .
z-zo
= {3~-
n-.oo
Teorema 1 (de continuidad de Ia suma, Ia diferencia, el producto y el
cociente de funciones continuas). Seall f y g dos Junciones continuas en 1111
pun to zo E D 1 y supongamos que D9 = D 1. En tal caso, ell el pun to zo so11
continuas las fu11cio11es f + g, f - g, f g. Si, ademas, g(Zo) =1= 0, enfonces
Teorema 2. Sea zo
(z)
lim (f(z,.) ± g(z 11 ))
n-oo
lim (f g) (z,,)
2.6. Operaciones aritmeticas con limites
y funciones continuas
fambien In fimci611
(£)g
lim(Jg) (z) = af3.
z-zo
=a
Demostracio n. Este teorema es un caso particular del teorema 1,
p. 6.2, cap. 1. .,..
Supongamos ahora que las funciones f y 1fJ tienen !Unites
en los puntas Zo y (o. LSera valida Ia afirmacion analoga para Ia
com posicion f o!p? El ejemplo siguiente da una.respuesta negativa
a esta pregunta. Como veremos, a partir de los teoremas sobre
el limite de Ia composicion que demostraremos mas adelante, en
este caso se deben imponer restricciones complementarias a las
funciones f y lfJ.
Ejemplo. Sea f : C-+ C y tp: C-+ C, dondc
-f(z)
= { 1',
0
Entonces lim / (z)
:-o
si z = 0,
si zEC\ {0) ,
tp(()
= { f;'
si
0,
si
= 0 y <-o
lim tp(() = 0. Sin embargo
'
(f otp)(()
( =; (n EN},
(~ { f;: n EN}.
0,
si (
= -n1 (n E N),
{ 1,
si (
~ { ~: n EN}
=
2.8. Propiedades d e las funciones continuas
definidas en un compacto
1
Teorema 1 (de continuidad de Ia imagen de un compacta). Sen11 f: C--+ C
una f unci6n conti11un y D 1 1111 compacta. Enlo11ces el conj1mto Et es
secuencinlmente compnclo, es decir, In imagen conlimw de 1111 compncto es
1111 compacta.
~
Demostraci6n. Este teorcma cs un caso particular del teorema
del p. 6.1, cap. 1. ~
= {0, 1}, cs dccir, (-0
lim (f o tp) (() no cxistc.
y EJ•.,(O)
~eo.rema 2 (d~l limite
de Ia _co~posici6n de funciones). Sen (o 1111 punto
/mute del COIIJUIIIO D 1o<p · S1 ltm f (z)
a, lim cp(()
zo y existe 1111
z-zo
<-<o
'
=
enlomo O.<o del JJIIIIIO (o tal que '\;/ ( E (O(o
entonces ltm (f o cp) (() = a.
=
n
D l ov> ) \ {(o} tp{() ::J: Zo,
(-(o
~ D emos traci6n. Sea ((,.) una sucesi6n ta l que ( 11 ...... (o y V n E N
(,. E Dlov> \ {(o}. Entonces, Z 11 = tp((,.)-+ z0 A z,. E n \ {z } .
0
1
Por tanto, f(z ,.) = (f o cp) ((,.) ...... a cuando n ...... oo. Scgun Ia
definicion, lim (f o cp) (()=a. ~
Definicion. Se dice que una funci6n f: C -+ C es acotndn en el conjunto
D 1 si existe un nume ro M E 1R ta l q ue 'V z E D 1 if(z)i ~ M .
Te orema 2 {de Weierstrass). Sea11 f : C -+ C una Ju11ci611 co11timui y D 1
1111 compacta. ElllOIICes In j1111ci6n f es acolndn y su modulo nlcm1zn e11 D 1
sus valores nuiximo y minima.
~
(-(o
De mostraci6n. Segun el teorema 1, e l conj unto E1 es u n compacta, es decir, un conjunto ccrrado y acotado. Segun Ia d e finicion 5,
p. 3.2, cap. 1, su diametro
d(EI)
=
sup
p(w 1,w2)
IDIEEJ. tD2EE,
Teorema 3. Sen (o 1111 punto l imite del conjunlo D l o'P· Si lim cp(() = Zo y
.'
la fizm cwn
J
.
(-(o
es contmun en el punta z0, entonces lim(/ o cp) (()
( -(o
si ( E D 'P \ {(o},
si ( = (o.
La funci6n cp• es continua en el p unto ( 0 . Scgun el teorema 1 Ia
'
funci6n f o 'P• es continua en ( 0 . Por tanto,
J~ra, (f o cp) (() = l~~ (f o 'P•) (() = (f o cp•) ((o) =
=
wEE1
~ Demos traci6n. Supongamos que
cp*(() = { '!'((),
Zo,
= / (zo).
es un n umero finito, o sea, d(E1 ) E IR. Aplica ndo e l corolario
del teorema del p. 3.2, cap. 1, vemos que 'V wo E C el conjunto E 1 esta contenido en una bola cerrada Or(wo), donde r
inf p(w0 , w)+d(E1 ). Tomando w0 = 0, obtenemos que el conjun-
/(zo).
~
to E 1 esta contenido en una bola ccrrada de radio finito R y centro
en el origen de coordenadas. Por eso, 'V z E D 1 iwi = if(z)i ~ R ,
es decir, Ia funci6n f es acotada. Identifiquem os el plano complejo C con el plano ~ . Entonces, de acuerdo con el teorema
de Weierstrass pa ra una fu nci6n continua cp: IR2 --+ IR, Ia funci6n
continua acotada if i a lcanza en el conj unto cerrado y acotado
D 1 c ~ sus valores maximo y minima. Por consiguien.te, ex is ten
ciertos puntas z, E D 1 y z2 E D 1, ta les que IJ(zi)i
inf lf(z)i,
=
zEDJ
lf(z2)1
= sup lf(z)l
y '1 z E D 1 se verifican las desigualdades
zED/
lf(zt) l ~ lf(z)l ~ IJ(z2)1.
..,..
Nota. Cuando definimos Ia continuidad de una funci6n 1 en un punto z0
supusimos de que f (z0 ) :f. oo. Sin embargo, en cl estudio de las aplicaciones d e
conjuntos med iante funciones analiticas cs convenientc considerar tambien el caso
f( zo)
oo, asum.iendo que Ia funci6n I cs continua en z0 si lim f(z ) oo. En
=
z-zo
cste caso se dice que Ia funci6n
=
f cs continua en senlido general. Por ejemplo, Ia
-/-
funci6n C-+ C , donde
{ _l ,
l(z ) =
z
0,
oo,
_
51
zEC\{O,oo},
si z
si z
es continua en sentido general en el plano
= oo,
= 0,
C. Para
dicha fun ci6n lim f (z)
: -oo
=0 =
l (oo), lim f (z) = oo = /(0).
: -0
Del curso de amilisis matematico se sabe que una aplicaci6n
cp = (cpt, cp2) es continua si, y solo si, las funciones CfJt y CfJ2 son
continuas. Para cada curva continua 'Y parametrizada mediante
un. parametro t E [a, b} fijamos uno de los dos sentidos p~si?~es
de variaci6n de t. En el primer caso, cp(a) es el punto !lliCial
y cp(b) es el punto final; en el segun?~ _caso, _estos pu~tos se
intercambian.. Una curva cuyos puntos mtctal y fmal comCiden se
denomina cerrada. Si 'Y C Z C C ('Y C Z C C), se dice que Ia
curva 'Y esta contenida en el conjunto Z .
Si un mismo punto de Ia curva 'Y corresponde a dos
o mas valores del parametro t (por Jo menos uno de ellos
es diferente de a y de b), entonces dicho punto se denornina
mriltiple. Una curva continua que no tiene puntos multiples se
denom ina curua simple (de Jordan). En otras palabras, Ia curva
'Y c C se denomina curua de Jordan si su parametrizaci6n cp es
una aplicaci6n biyectiva. Si cp(a) = cp(b), entonces Ia curva de
Jordan se denomina curua de Jordan cerrada.
.
Sean cp y 1/J dos parametrizaciones de una curva continua 'Y, y sean D'P [a, b] , D¢ [a1, bd . Dichas parametrizaciones son equiualentes (y se escribe cp rv 1/J), si existe una funci6n
=
§ 3. Curvas continuas y suaves.
Dominios simplemente
y multiplemente conexos
En el curso de amilisis matematico se considera el concepto
de deriuada de una funci6n vectorial f : IR -1 !Rm, D1 = [a, b),
donde f = (ft, f2, ... , f m) es un conjunto ordenado de funciones
f i (j = 1, m). La funci6n vectoriaJ.,j es diferenciable en el segmento
[a, b) si, y s61o si, las funciones f i son diferenciables .en dicho
segmento y '1 t E [a, b) f'(t) = (i{(t), f~(t), ... , j~,(t)) (en los
puntos a y b se trata de Ins derivadas unilaterales). Toda aplicaci6n
¥>=¥>•+i¥>2
.
[a, b]
C puede constderarse como una funci6n vectorial
cp = (cp 1, cp2) C IR2 . De esta forma, si las funciones cp 1 y cp2 son
diferenciables en el segmento [a, b), Ia fu nci6n cp tambien lo es y
'1 t E (a, b) cp'(t) = cp'1(t) + icp~(t) = (cp'1(t), cp~(t)).
Definicion 1. Un conjunto 'Y C C ('Y C ~ ) se denomina curua continua
si existe una aplicaci6n continua [a, b] ~ 'Y· La aplicaci6n cp recibe el
nombre de parametrizaci6n de fa curua -f?bre
=
continua creciente [a, b} ~ [a t , bd tal que cp
sobre
2
Definicion 2. Un conjunto 'Y C C ('Y C IR
)
= 1/J o TJ.
se denornina curua suave
simple si existe una aplicaci6n diferenciable con continuidad [a, b] sobre
~ 'Y
cuya derivada es distinta de cero. En este caso, Ia aplicaci6n cp se denornina
parametrizaci6n de Ia curua suave 'Y.
Si 1/J es otra parametrizaci6n de Ia curva suave 'Y,
D¢ = [at, bd , y existe una funci6n diferenciable con continuidad
[a, b} ~[at, bd tal que '1 t E [a, b] TJ1(t) > 0 y 1/Jo TJ = cp, entonces
sobre
se dice que las parametrizaciones cp y 1/J son equivalentes.
Definicion 3. E1 conjunto 'Yor de todas las parametrizaciones equivalentes
de una curva suave simple 'Y se denomina orientaci6n de Ia curua. El par
ordenado r = ('Y 'Yor) se llama Cfl YUQ suave orientada r.
I
Gurvas. continuas
Es evidente que Ia orientacion d e una curva suave sim ple
se determina unfvocamente al indica r su punto inicial. Pa ra
d e terminar Ia orientacion d e una curva suave s imple 1 de
parametrizacion cp se debe elegir uno de los dos sentidos posibles
.
cp'~)
del versor r(M) = lcp'(t)l d e Ia tangente, donde M = cp(t) E I·
Todas las parametrizaciones cp ft. lor son eq uivalentes
entre sf. Su conjunto se denomina orienlncion contrnrin ~~­
Denominaremos Ia curva orientada r- = (I, 1~) conlrnriamente
orientada resp ecto a r = (1, lor)Entre todas las parame trizaciones cp de una cu rva suave
orientada r = (I, l or) existe una parametrizacion cp E lor tal
que lcp'(t)l = 1, V t E [a, b). Para esta parametrizacion tencmos
D "'
El exterior d e una circunferencia y los a nillos circula res no
son s imple mente conexos respecto al plano C, ya que para estas
regiones se puede indicar una circunferencia p erteneciente a dicha
region pero c uyo interior no pertenece totalmente a Ia region.
Con elfi n de examinar poste riormente las transformaciones
conformes generalizaremos Ia definicion de region sirnplemente
conexa.
Definicion 5. Una region G C C se d enomina simplemenfe conexa respecto al plano complejo ampliado si para cualquie r curva cerrada de Jordan 1
perteneciente a G , el interior d e 1 (o el exterior de 1) tambie n pertenece
a G.
b
= [0,
l), donde l
= J lcp'(t)l dt es Ia longitud de Ia curva I·
Las regiones que no son simplemente conexas se denominan mtiltiplemente conexas. Por eje mplo, el exte rior de una
circunferencia, al cual pertenece el punto d el infinito d el plano
complejo ampliado C, es simplemente conexo respecto al plano C, pero no lo es resp ecto al plano C. Un anillo circular no es
simplemente conexo ni respecto at plano C, ni respecto a! plano C.
Toda curva continua 1 es un conjunto cerrado y acotado.
En efecto, dado que su parame trizacion cp es una funci6n continua
d efinida en un compacto [a, b), entonces, segun el teorema 1, p. 2.8,
el conjunto E"' = 1 es secuencialmcnte compacto, es decir, es
cerrado y acotado.
a
Esta parame trizacion se d enomina natural (nonnal). La parametrization na tural cp se puede obtener como una composicion
'1/J o 1], donde '1/J E lou Dy, = [a, b), 1]: [0, l) -;[a, b) y V t E [a, b)
1]-
1
(t) =
j
t
1'1/J' (r)l dr.
a
Teorema 1 (de Jordan). Toda curun cerradn simple 1 divide el plano C
en dos regiones distintns G 1 y G2, siendo 1 su fronf ern comtin. La region
interior limitadn par 1, conocidn como interior de 1, es ncotadn, mienfrns
que In otrn region, denominnda exterior de 1, conliene el punto del inftnito
y no es ncotadn.
Por ejemplo, los conjuntos G, = {z E C p(:zo, z ) < r}
y G2 = {z E C: p(z0, z ) > r} son, respectivamente, el interior y
el exterior de Ia circunferen cia 1 = { z E C p(zo,z) = r}.
Definicion 6. Un conjunto ordenado r = (r,, r2, ... r,,) de curvas suaves
orientadas rk = (l(k ), ~~~l) (k = 1, n) se denomina curva suave a trozos, si
V k 1, n - 1 el punto final de Ia curva orientada suave rk coincide con
I
=
n
el punto inicial de Ia curva rk+l· El conjunto 1
El ir}terior de una circunferencia es un ejemplo de reg ion
simplemente conexa.
se denomina
k= l
fraza de Ia curva suave a trozos
Definicion 4. Sea G C C una region arbitraria. Si para toda curva cerrada
d e Jordan 1 perteneciente a G, cl interior d e 1 tambien perte nece a G,
entonces la reg ion G se d e nomina simplemente conexn respecto nl plano C.
= U l(kl
r, o conjunfo de sus puntas.
La siguiente afirmacion es muy irnportante.
Teorema (de continuidad de las aplicaciones biyectivas). Sea G ~ D una
funci6n continua en sentido general, deftnida en Ia region G C C. Entonces
el conjunlo D lnmbien es unn region yIn f uncion 1- 1 es conlimw en sentido
gen~rnl en D . Si, ndenuis, In frmcion 1 estn definidn en In frontcrn {)G y es
continua en sentido general en In ndlzerencin G, enlonces f trn nsfonnn {)G
en {)D-, es decir, In frontern de In imagen de In region G coi11cidc con In
imagen de In f rontera de In mismn regio11.
Diremos que una regton G es compacta, y escribiremos
G € C, si existe un circulo K n = {z E C: lzl < R < +oo} que
contiene Ia region G.
Un conjunto E pe1tenece de modo compnclo a Ia region G,
y se escribe E € G, si su ad herencia E pertenece a G, es decir,
E € G ¢:> E c G.
Fijemos una topologla r del plano complejo ampliado C.
Sea M C C un subconjunto conexo y sea 0 , un entorno de un
punto z E M en el espacio topologico (C, r).
Generalicemos el concepto de curva continua.
Sea [a, b] ~ C una funcion continua en sentido genera l, con Ia particularidad de que el segmento [a, b] puede ser
infinito en uno o en ambos lados. La funcion tp se denomina parnmetrizacion de Ia curon continua e11 sentido general 'Y
en el plano complejo ampliado. Si V t E [a, b] tp(t ) :p oo, entonces Ia curva generalizada no pasa por el punto del infinite. Los conceptos de curva cerrada, curva de Jordan, punto multiple y punto inicial y final de una curva, se generalizan facilmente al caso de una curva continua en sentido
general.
Si un conjunto es cerrado y conexo, entonces se d ice
que es un continuo. Un continuo que no tiene puntos interiores
se denomina conjunto lineal o curon de Ca11tor; por ejemplo,
un segmento o una circunferencia. Este es otro enfoguc de
Ia definicion de curva en el plano. Analogamente, existe otra
manera de definir una region simplemente conexa.
Sea M un conjunto no conexo y A un subconjunto conexo
- suyo. Se dice que A es un subconjwzlo maximal si no existe otro
s ubconjunto conexo B C M tal que A C B .
Los subconjuntos maximales de M se denominan sus
componentes conexas. En Ia teorfa de conjuntos se demuestra que
todo conjunto es Ia union de un numero finito o infinito de sus
componentes conexas.
Una region G C C se denomina simplemente conexa si su
frontera 8G es un conjunto conexo. Dado que {)G es un conjunto
cerrado y sin puntos interiores, entonces Ia frontera de una region
simplemente conexa es un continuo.
Si Ia frontera de una region no es un conjunto conexo, se
dice que Ia region 110 es simplemenle conexa. Si el numero n de
componentes conexas de 8G es finito, se dice q ue Ia region G es
n -conexa. En caso de que el numero de estas componentes sea
infinito, Ia region G se denomina infinitamenle conexa.
Definicion 7. Se denomina enlomo del punto z en el conjunto M al
conjunto 0~ = 0 , n M .
El conjunto de todos los entornos 0~ V z E M se denominara topologia definida par entomos r' de l conjunto M . Mas
adelante resultara t'ttil Ia afi rmacion sig uiente.
Teorema. Sean M C C 1111 conjtmfo conexo y A C M un subconjunto no
vado. Si A es abierlo y cerrado n Ia vez en In lopologin r', enfonces M = A.
.,.. Demostraci6n. Apliquemos el metodo de red ucci6n al absurdo.
Sea A' = M \ A :P 0. Consideremos Ia ad herencia A en Ia
topologla r. Es evidente que A esta compuesta de los puntos de
su adherencia Ar• en Ia topologla r' y cierto conjunto que no
pertenece a M. Por eso
An A' Ar• n A'.
I
Dado que A es cerrado en Ia topologla r , entonces Ar• = A . De
esta manera,
An A' = A n A' = 0.
Si A es un conjunto abierto en Ia topologla r', entonces su
complemento A' es cerrado en esa rnisma topologfa (los puntos
Lfrnites del conjunto A' no pueden pertenecer a A debido a q ue A
es abierto, luego estos puntos pertenecen a A'). Por eso, a la
intersecci6n A' n A se pueden aplicar los mismos razonarnientos
aplicados a\ caso A n A', de lo que se deduce que A' n A = 0.
De este modo obtenemos que
M = AU~ A n ~ =~ N n A =~ A :P~ ~ :p~
=
83... 36
lo que contrad ice e l caracter conexo del conjunto AI[. Asf pues, Ia
suposici6n de que M f: A es falsa.
..
IIJ
-
•
Zn __..
2) si ¢,, -i
··~-;j'''
0 •cuando
n~00, .~~ton2es ( 1 +
11
= 1+
t C~
k -oo
pu ntos lfmites, luego d iverge.
N6tese que en el caso en que lim
-t 'l;
n-oo
~· )
7r
11
-
1. Dado que
z~~ =
donde
CfJn
=
=0
Ia sucesi6n
n = 2k,
~
{
si n = 2k - 1.
8'
:: , e ntonces
Entonces
lim Zn = 0,
n-oo
cuand o n --+ oo. Por consiguiente, ( 1 +
= Zn -
~)
7r
lim CfJ2k
k-oo
= 4'
es decir, Ia sucesi6n (cp11 ) diverge.
= ellln(l+~ ) _ 1 =ei•.I+O( t) _1--+0
~· )
- n '
si
4'
ei'f'•
1(1+~)n -11=1tc~:~l~tc~l~r = (1+ 1~1 )~~-1=
W 11
Z 11
(arg z,.) tambien puede divergir. Por ejemplo, sea
k=l
2) Toma ndo
=
"l
Sol uci6n. 1) Estimemos Ia diferencia ( 1 +
~· )
11
Zn )
l,cuandoi~~~~;.{ntoni!~{l+ ~ )"
---'"'-----.......i-__..~';..:.;·~·=-·,~-
( 1+
=
=
1) Si
(1+
Soluci6n. Consideremos Ia sucesi6n (z11 ), donde z 11 = - 1 +
1
( - -t- . Esta suces10n
· · conve rge y I'tm Z 11 = - 1. Dad o que z 2k =
~· n2
11 -00
i
i
1
-1+-2 y z2k-! -1, entonces a rgz2k 1r- arctg - 2
2
4k
(2k -1)
4k
1
y arg z2~;_ 1
-1r + arctg
1r y
. Como lim arg z2k
(2k - 1)2
k-oo
·
lim a rg z2,._ 1 = - 1r, e ntonces Ia sucesi6n (a rg z,.) tiene dos
=
Problem as res ue ltos .
48.
~
~
7r
lim CfJ2k-1 =
k-oo
g'
..
11
--+ 1.
1, a pa rtir d e 1) obtenemos que
50.
11
--+ 1 cuando n --+ oo. Como
(1 +~ ) " =(1 +~+ : =(1 +~) • (1+n:'1)",
11
11
11
)
11
entonces ( 1 + :·)
--+ e.
~ Soluci6n. Estimemos
1!1>
I~
_ J- IP!(z! - z)+P2(z2-z)+ .. . + p,.(zn-z)l
Z -
49.
~
s•
IZn- z J. Te nemos:
PI + P2
pdz1 - zl
+ P2lz2 -
+ ... +p,.
zl + ... + p,.Jzn -
PI + P2 + . . . + p,.
zl
I
~
Curvas co
7r2
es decir,
p(Z11 , z)
~
k= l
_::_.:.__1-1
---
1r -
n
Dado que
I::: Pk
-+
u- l
"Trn- 1
si n es impar,
2!
(n- 1}!
7r3
n+ 2 "Trn- 1
Im z11 = 1 r - - + ... + (-1) _2_
si n es par, Imz,. =
3!
(n- 1)!
Rez11 =
+oo, aplicando el teorema de Stolz para las
1 -
+ ... + (- 1) 2
1r 3
-
n - 17r
11
+ ... + (- 1} - 2- - si n es impar, entonces
3!
n!
lim Re Z 11 = cos 1r = - 1, li m lm Z 11 = sen 1r = 0.
Por consiguiente, lim z,. = - 1.
k= l
~
n-oo
sucesiones de numeros reales, obtenemos
II
lim
_k_
=_
I - - --
"
n-oo
L:::Pk
52.
lim Pu+IP(Zu +l' z) = O.
n-oo
Pn +l
k=l
Por consiguiente, p(Z11 , z) = o(1}, es decir, lim Zn = z.
n-oo
~
..,. Soluci6n. Haciendo
nemos
Hallar el limite de Ia sucesi6n (Zn) , donde
tp,. = arg z,. =
..,. Soluci6n. Demostremos que Ia sucesi6n (z,. ) es fundamental.
Sean c > 0, n E N, p EN. Tenemos:
n+p {
I
I:::
k=n+ l
/I ~ I::: :,
n+p
7r:!
k
<c
=
(
tp 11 + i sen IPn ), obte-
0)2+ ({J)2
)n/2
;
(
1 +;
2 + {32 ) n/2
2
I
n
n arg ( 1 + ; ) = n arctg (
k=n+ l
arctg
k
~ converge segun el criteria de D' Alembert
LJ k!
n= l
y Ia suma de su resto r,, t_iende a cero a medida que crece n. Anteriormente se demostr6 (v. teorema 1, p. 2.3) que
Ia convergencia de una s ucesi6n de numeros complejos es
equivalente a Ia convergencia de sus partes real e imagi7r2
n "Trn
naria. Dado que Rez,. = 1--+ ... + (- 1)2 - si nes par,
2!
n!
0
1 +-+
n
(
T 11 (cos
~ (1 +;) -
1
),
puesto que para valores g randes de n el punta z,. se encuentra
en el semiplano derecho Z = {z E C: Rc z > 0}. Cuando n-+ oo
2a
a 2 + {32
2a
se tiene 1 + - +
"' 1 + - ,
n
n2
n
para todos los n suficientemente gran{ies y Vp E N, pues Ia
00
=
20
=
lzn+p- z,.l =
iyn
11
11 +;a I
lz,.l = r,. =
51.
= Xn +
Zn
serie numerica '"""
narctg
(~ (1 + ; ) - ) "'~ (1 + ; ) (~ (1 + ; ) -
1
,
1
"'{3 (1- ;).
)
Por consiguiente,
lim r,.
n-oo
lim tp,. = {3,
n-oo
lim
n-oo
Zn
lim 2o .!!
a
2 =e ,
= e•-oo
11
= e0 (cos {J + i sen {J) = ea+ifJ.
r
· SJ:
Sea (z11 ) una
su~esi6n de numeros complejos tal qu·e
]a sU:cesi6n (w11 ), donde Wn
M
Dado que lql < 1 y lz,.l ::;; -lql' en tonces jqP+' zn-p-!1::;;
1
= Zn- qzn~t, lql < l ,.conv.erge.
pi l
Demostrar
que Ia sucesi6n (Zn) converge y hallar su limite.
,...
~
Soluci6n. La sucesi6n (w11 ) converge y, por tan to, es acotada
(v. p. 2.3), es decir, 3 C > 0: V n E N lw,.l ::;; C. Sea M
max{lzol, C}. Demostremos que Vn EN
M
{1)
/
Iz .. I ;:::,-1
1 - -q1"
Estimemos z 1. A partir de las condiciones de partida obtenemos
=
=
z , w , + qzo, lzd ::;; lwd + lqll zo l ::;; C + lqll zol::;; M(1 + lql).
Supongamos que para k E N (k > 1) se verifica Ia desigualdad
lzd ::;; M(l + lql + ... + lqlk) .
{2)
Il
M -q - 1- 1q1
+ lqiM(l + lql + ... + lqlk) =
= M(1 + lql + ... + lqlk+l) .
k=O
Asi pues, la desigualdad {1) queda establecida.
A p a rtir de las expresiones
de su resto
= Wn + qwn-1 + q2Wn-2 + q3Zn-3 = · · ·
obtenemos V (n E N, p ::;; n- 1) la suma
p
Z 11
= 2::::: Wn-kQk + t +lZ
(4)
11 -p-1·
k=O
Teniendo en cuenta que Ia sucesi6n .(w11 ) converge y d enotando
w = lim W 11 , ob tenem os
W
Zn - - 1- q
p
"'\'
00
k
,.P+ I
= L..J Wu-kQ + 'i
"'\'
k
Zn- p-1 - W L..J q
k=O
p
= I::(wn-1:- w) l
k=O
=
k=O
00
1
+ qP+ Zn-p-1 -
W
2::::: l.
k=p+l
(5)
2::::: qk
2::: qk
1·P
converge, entonces Ia suma
0 a medida que crece p. Por
-+
k=p+l
00
consiguiente, w
Ve
>03
L
l = o(1).
Cualquiera que sea p E N fijo,
k=p+l
nc E N: V n ~ nc es valida Ia estimaci6n
I
k
I ::;; f; lwu-k- wllql
p
k
00
k=O
p
< e ~ lql <
1
< e "'\'
L..J lql " = el=TT
q
k
=e1,
p
es decir, L (wn-1:- w)qk
w
modo, z,. - - 1- q
= Wn + qwn-1+ q Zn-2 =
. q p+l z, _ , _ = o{1).
oo, es d eCir,
1 1
00
k=O
2
-+
1:=0
p
(3)
p
00
f;(wn -k- w)q
De este modo, hemos d emostrado por inducci6n que V n E N es
va lida Ia estimaci6n
n
k
1 - lqln+l
M
lzn l ::;; M 2::::: lql = M 1 _ lql ::;; 1 -lql "
Zn = Wn + QZn-1
0 cuan d o
Como lwl E IR y Ia serie
Entonces,
lz~:+d ::;; lwd + lqllz~:l::;; M
-+
= o(1), dado que n-oo
lim w = w . De este
11
w
= o(1), n-oo
lim Z = - - . ..,.
1- q
11
..,. Soluci6n. 1) Dado que
2
jz,. j = ZnZ, =
rr(1 + :. )
k= l
entonces
lzn+l -
u
=
k
n
ak
k= J
l·ffl
z,.l - lz I t
- "
II
-
+d =
ak
II
ak+ J
k= J
ak
f.Jd
- {f-"
a1+l {
an+I
- Val
a,t+J
= an+I,
al
--
#.
IT
Soluci6n. Sea z,. = (1 +
-
a, .
2) De las condiciones de partida se d educe que
cp, = arg
<Ill
i-;-)
n - 1
n2
) n/2
lz .. l = ( 1 + ( 2
)
n - 12
11
,
entonces
arg z, = n arctg -
,
Ya que
v~
= targ (1 +i
k=J
fd)
v~
{n-limoo n-1) n}= 1,
2
(1 + i ' : : ) =
k= l
limlznl=exp
n-oo
= t
arctg
k=J
de donde resulta inmediatamente Ia igualdad
v/d,~
(n2
2
·-
2
cpn+l - cp, = arctg
Como arctg x "' x cuando x
-+
n
n
arctg n2- 1 "' n2 -1 '
n2
n
lim narctg - = lim - -=1,
n-oo
n 2 -1 n-oo n 2 -1
entonces Jim Zn = cos 1 + i sen 1 = ei.
u-oo
cp,+1 - cp,."'
n
--.
n 2 -1
.,..
/d.
y;;;;
d
0 y lim - - = 0, entonces
n-oo an+!
/d cuando n-+ oo. Por eso
y;;;;
Tn+l - Tn = _1_ va,;+2 - va;;+J"'
Val
arctg 1
~- va;;+J .
if
--
t;l
/ -=--a,+I
1#.
lim
=n-oo cpn+l - cpn 2
a!.
..,. Soluci6n. Si lal < 1, entonces a partir de Ia igualdad lznl = ial"
se deduce que lim lznl = 0 y lim z " = 0. Si lal > 1, entonces
u-oo
n -oo
•
1#.
....
-
lzn l -+ +oo y Z 11 -+ oo, es decir, Ia sucesi<fln diverge.
Sea Ia I = 1; entonces a= ei'P , cp = arg a y Zn =
a" = ein<e .
Dado que lzn l = 1, entonces lim jz,.j = 1. La sucesi6n (ncp) no
n-oo
tiene limite para cp i= 0; si cp = 0 e ntonces lim ncp = 0. En el
d
( - d ) -1 ) = =an+J
-- ( 1 +--+o
~
2an+l
an+l
2
Tn+J-Tn
v-;;
a,+J
=~
~ ( \1r:;-;t
~,.;;:; -1) =
.
{1 =
-+o(l)
a1
'
u ltimo
CaSO
a
= 1,
Z 11
= 1, n-oo
lim
= 1.
n--+oo
Zn
Asi, Ia sucesi6n (z 11 ) converge solo para lal < 1 y a = 1.
Para Ia sucesi6n ((,.) analicemos los mismos casos de los
valores del parametro a considerados anteriormente .
Si lal < 1, entonces lim a" = 0, lim (1 + a") = 1,
n-+oo
a"
lim - - = 0, es decir, lim (,. = 0.
n-oo
n-oo 1 + a"
n-oo
> 1. En este caso lim a" = oo y lim -1 = 0.
Sea lal
n-oo
n-oo an
Dado que
Escribiendo el tthmino general de Ia sucesi6n {(,) en Ia forma
1
(,. = 1 - 1 + a" = 1 -
1
all .
acotada y lim
1
1+ 1 ,
lzl
~
zll+2-
z)
1 y z "/: 1, Ia sucesi6n (
{1- z) 2
z"+2 - z
n-co (1 - z)2 (1
+ n)
es
.
= 0. Por consiguiente, Ia sucesi6n
·
((,.) converge y
a"
1
lim(,.=--.
1- Z
ha Uamos que lim (, = 1.
n-co
n-oo
..,..
Supongamos ahora que Ia I = 1 y V n E N a" -:j: - 1.
Entonces a = e;"', tp = arg a, a" = e;"V' y cos ntp -:j: - 1. Para los
va lores ind icados de a tenemos
e;"V'
ei""'(1
+ e - i""')
e;""' + 1
(,. = 1 + ei 11 V' = (1 + ei""') (1 + e- inv>) = 2(1 +.cos ntp) =
2 ntp
2 ( cos 2+isen
ntp
2
cos
n~p
4cos 2 -
La s ucesi6n (tg
ntp)
2
1
= -
2
2
7)
.
ntp
+ 1 tg - .
2
converge s61o para tp = 0, es decir,
1
a = 1. En este caso lim ( 11 = - . Por consiguiente, Ia sucesi6n
n-oo
( (11 )
converge si
2
lal < 1, lal > 1 y a= 1.
..,..
-... Soluci6n. A partir de Ia igualdad
II
it~
1 ( k)
an=n L..-J- n n
k= l
it
k)
11
_ it Inn ~
1( '
-e
L..-J - -
k= l
n
jt
n
1
se deduce que todos los puntos lfmites de Ia sucesi6n (eit "")
pertenecen a Ia circunferencia unidad con centro en el origen de
coordenadas, y
1
lim
n-co
1 (k) it
- =
.f; n n 1
I +it r2 = -+-t
"
0
z"+2 - z
1
) + - -.
Entonces (, = (
) (
1 -z 2 1 +n
1 -z
xl+it
I'
0
1
=~
1 +it
1 , todos los puntos !Unites d e Ia
-12
1
1
sucesi6n (a,) pertenecen a Ia circunferencia 'Y· Aqui hemos utilizado el hecho de que las funciones de variable compleja se
pueden integrar con ay uda de las reglas conocidas de integracion de funciones d e variable real: si f (x) = ft(x) + ih(x),
j 1 E R [a, b] , h E R[a, b], entonces f .E R[a, b], y viceversa, es
d ecir, f E R[a, b] {:} / 1 E R[a, b] l\ h E R[a, b]. Si F es una
Por cuanto
..,. Soluci6n. Para todo n E N, consideremos Ia sucesi6n (7]11 ), donde
z- z"+2
7]11 = z(,, y formemos Ia diferencia 7]11 - ( , = (
- 1.
1- z)(1 + n)
~
x' dx= - 1 + it
primitiva cualquiera de Ia funci6t:
f , en tonces
Ia funci6n t.p ~--+ p2 - 2 cos 2t.p es continua, seglli1 Ia conocida
propiedad de estabilidad de las d esigualdades estrictas para
funcioncs continuas, existe un entorno 0 0 (p0 , t.po) C B en el
que sigue siendo valida Ia desigualdad estricta considerada.
Por tanto, B es un conjunto abierto. Representemos B como
B = B 1 U B 2 , donde B 1 es el conju nto d e todos los puntas
de B que pertenecen al semiplano izquierdo y B2 es el conjunto
de los puntas d e B que pertenecen al semiplano derecho del
plano JR2 . Como el pun to (0, 0) no pertenece al conjunto B ,
entonces ningun par de puntas z 1 E B 1 y z2 E B2, se p uede
unir mediante una linea quebrada contenida completam ente en
el conjunto B, luego B no es una region. .,..
b
I
a
x -b
f(x) dx = F( x) x =a ·
l
xl+it
La funci6n x~--+ - - es una primitiva de Ia funci6n x ~--+ x' 1
l+it
.,.
~ Soluci6n. En el p lano IR2 cada uno de.los puntas del conjunto A
tiene coordenadas racionales. Del curso de analisis matematico se
sabe que el conjunto Q es denso en JR. Por tanto, cada entorno
0 0 (z) del punto z E C contiene un conjunto infinito de pu ntas
de A. Esto implica que A' = C, donde A' es el conjunto de
puntas limites d e A . Por consig uiente, A = C, luego A no es
cerrado.
Dado que el conjunto de todos iOs numeros irracionales
tambien es d enso en IR, ningun punto de A es interior. Por eso,
A n<J es un conjunto abierto y, por consiguiente, no es una region.
Ya hemos establecido que V z E C cualquier 15-entorno
0 5(z) d e z contiene puntas d e A y C \A, luego 8A =C.
Tomando x = Re z, y = Im z, represcntemos el conjunto B en Ia forma
B = { (x, y) E IR2: (x2 + y2) 2 < (x2 - y2) },
o, en coordenadas polares,
B
= {(p, cp) E IR2 : / < 2cos2cp}.
La frontera 8B = { (p,cp) E IR2: /
= 2cos2cp} es Ia
denominada lemniscata de Bernoulli, y el conjunto B es su
interior. Si (po, 'Po) E B , entonces p~ - 2 cos 2cp0 < 0. Dado que
~
Solucion. El conjunto E 1 no es cerrado, pues no le pertenece su
pun to limite z = 0. Consideremos que V n E N
G,. = { z E C:
2,~2 < lzl < 2: } .
La familia (G,.)nEN de conjuntos abiertos G,. recubre el conjun-
to E 1 . Sin embargo, ninguna subfamilia finita (Gj)jeA (siendo A
un conjunto finito) recubre el conjunto E 1 , ya q ue su union
UGj
j EA
no contiene el conjunto
E~"'l = { z E C:
lzl <
2n~+2
} .
donde m E N es el elemento maximo del conjunto A. Por consiguiente, en el teorema d e Borel-Lebesgue el requisito de ser
cerrad o es esencial.
Supongamos ahara que E7_ = C es un conjunto cerrado
pero no acotado. La familia d e conjuntos abiertos (G,.)neN, d onde
G,. = {z E C: lzl < n}, recubre el conjunto E7_, no obstante,
ninguna subfamilia finita (G,.)nEA recubre el plano complejo C.
De este modo, en el teorema de Borei- Lebesgue Ia condici6n de
que el conjunto debe ser acotado es muy importante. .,.
4) Esta es Ia ecuaci6n parametrica de Ia semicircunferencia
7r
37r
izqu icrda: X= a COSt, y =a Sent, 2 ::; t ::; 2 ·
1
1
S) Sea z = x + iy. Entonces x = t e Y = t
x
- oo < x < 0. La ecuaci6n define una parte de una hiperbola
(Ia rama que se encuentra en el tercer cuadran te del plano
xOy).
6) De las condiciones de partida se deduce que y =
x2 y x ::; 1. La ecuaci6n define Ia sernicircunferencia unidad
superior con centro en el punto z = 0.
7) Tenemos y = Vl - x 2 y 0 ::; x ::; 1. La ecuaci6n
describe Ia cuarta parte Ia circunferencia unidad con centro en
z = 0. Todos los puntos de Ia curva pertenecen al primer
cuadrante del plano xOy.
8) La ecuaci6n representa una curva plana trascendente,
denominada cicloide. La cicloide es Ia trayectoria que describe
un punto l\1[ de una circunferencia que rueda sin resbalar por
una lfnea recta (fig. 24). Sus ecuaciones parametricas tienen Ia
forma x = a(t- sent), y = a(l- cost), t E JR. Excluyendo el
parametro t, obtenemos Ia ecuaci6n de Ia cicloide en coordenadas
cartesianas rectangulares
a- y ,----=x = a arccos - - ,j2ay - y 2 .
vl -
..,. Solucion. 1) Sea z = x + iy. Entonces x = 1, y = - t y -2::;
y::; 0. La curva definida mediante Ia ecuaci6n z = 1 -it (0 ::;
t::; 2) es el segmento 1 = {(x,y) E ~: x = 1, - 2::; y ::; 0}.
2) Si z = -x + iy = t + it2 , entonces x = t e y = t 2 ,
2
"'
es decir, y = x ( -oo < x < +oo ). La ecuaci6n determina una
parabola con vertice en el origen de coordenadas y cuyo eje de
sirnetrfa es Ia semirrecta 1 1 {z E C: Re z 0, lm z ~ 0}.
3) Hagamos, por analogfa con el ejemplo anterior, x = t 2 ,
4
2
y =t
x (0 ::; x < +oo ). Si el parametro t varfa desde -oo hasta 0, el pun to ( x(t), y(t)) recorre toda Ia rama
derecha de Ia parabola de arriba hacia abajo, mientras que
al variar t de 0 a +oo, Ia misma rama se recorre de abajo hacia arriba. De este modo, Ia ecuaci6n describe dos curvas continuas compuestas de un mismo conjunto de puntos
1 ·= { z E C: 0 ::; Re z < +oo, Im z = x2 }, pero orientadas de
modo opuesto.
=
a
=
=
Fig.24
La cicloide es una curva peri6dica de periodo (base)
00 1 = 21ra: Los puntos 0 y Ok = (2k7ra, 0), k E Z, son los
puntos de retorno, y los puntos A y Ak = ((2k + 1)1ra, 2a), sus
vertices.
Z - Z2
..,. Soluci6n. Es evidenle que 1m - - -
y
Zt- Z2
= 0,
Z - Z2
--Zt -
Z2
= a, a E lit
Por eso z = z2 + a(z 1 - z 2 ). La ecuaCi6n describe Ia recta que pasa
por los puntos z 1 y z2. .,..
0
X
Fig.25
..,. Soluci6n. 1) Tomando z = 0 como punto de aplicaci6n del
vector z, observamos que su otro extremo describe una recta
paralela al eje real (fig. 27).
y
0
ia 1----:----.-----.----·
X
Fig.26
ia
9) Partiendo de Ia ecuaci6n, hallamos x = a ( t-
y = a(1 -
~ sen t),
at 1
~ cost).
Esta curva es Ia trayectoria que describe
un punto M que se encuentra a una distancia d del centro
de una circunferencia que rueda sin resbalar por una recta.
Si d > a, Ia curva se denomina cicloide alargada (fig. 25) y
si d < a, cicloide acortada (fig. 26). A veces dichas curvas se
denominan trocoides. Las ecuaciones parametricas de Ia trocoide
tienen Ia forma x
at - d sent, y a- d cost, donde d es Ia
distancia del punto M hasta el centro de Ia circunferencia que
rueda ._
=
ia
at2
ia
at3
X
Fig.27
r>
=
2) El_extremo del vector z = b(cos t + i sent) con punto
de aplicaci6n en z = 0 describe una circunferencia de radio b
recorrida en_sentido positivo. El vector z = b(cos t - i sent) es Ia
imagen simetrica del vector z respecto al eje real; por tanto, el
punto z' = -iz, obtenido al girar el vector zen un angulo igual
7r
a --, recorre dicha circunferencia en el sentido de las agujas del
2
reloj. ._
9 l>•. ~
2) haUar.Jas preunagenes,de :las lmeas ~ = .c y v =;= c
. · ·
· ··
(w =ti+iv) .eneTplari~z . . . .·.
.,. Sol uci6n. Sea z = x + iy. Entonces z 2
mo d o, u -- x 2_ y 2 , v -2
- xy.
a) u
= C 2 -l,
v
= x2 -
y
2
+ i2xy.
De este
y como
4C2
si C -:/= 0 . Esta es Ia ecuaci6n d e una parabola. Si C = 0,
entonces u = -y2 y v = 0, es decir, obtuvimos el sernieje
')' = {(u,v)E C: u ~ O, v=O}.
2
v
v
2
2
b) u = x - C , v = 2Cx =>X =-=> u = - 2 - C 2
2C
4C
si C -:/= 0 . Toda linea recta y = C (C -:/= 0) se transforma en una
parabola en el plano w. Si C = 0, e ntonces u = x 2 , v = 0 .
El conjunto 1' = {(u, v) E <C: u ~ 0, v = 0} es el sernieje
positivo. En los casos a) y b) Ia aplicaci6n es biunfvoca, si
c-:/= 0.
c) y = x => u = 0, v = 2x 2 . El conjunto 1' = {(u, v) E <C:
u = 0, v ~ 0} es el sernieje p ositivo. La aplicaci6n, evidentemente,
no es biunivoca, pues to que tanto Ia semirrecta que pertenece al
primer cuadrante como Ia d el tercer cuad rante tienen una misma
imagen.
d) Si lzl = R , entonces z = R eirp, cp E Arg z, z 2 = R 2e2i'P,
lwl = R 2 • La circunferencia d e radio R y centro en el pun to z = 0
se transforma en la circunferencia de radio R 2 y centro en el
punto w = 0. La aplicaci6n no es biunfvoca.
e) La imagen d e la semirrecta arg z = a es Ia semirrecta
arg w = 2a. La aplicaci6n es biunfvoca.
=
= 0 e y = 0.
enton~es. lf (zn)l =
-+
11
0 cuando Zn
-+
0.
= 0.
=
-tYn
n-oo
De este modo, en el punto z
0 el conjunto E 1 (0) de Hrnites
parciales de la funci6n f contiene mas de un elemento, luego
f no tiene lfrnite e n ese punto. IJooo
.,. Soluci6n. Sea Zn
= ( ~, 0)
y
z~ =
(
0,~) . Para valores de
t>
n .f N suficientemente grandes los terminos de las sucesiones
(zn) y (z~) pe rtenecen al conjunto 05(0) y lim Zn = lim z;, = 0.
n-...oo
n-oo
A partir de las igualdades f 1(zn ) = 1 y !1(z~) = 0, h(zn) = 1
y h(z~) = i, !J(zn) = 1 y !J(z;,) = - 1 se deduce que las
funciones fi (j = 1, 2,3} no tienen limite en el punto z = 0
y, por tanto, no pueden prolongarse en el conjunto 0 6(0) d e
modo que las funciones obtenidas sean continuas en z = 0.
Consideremos Ia funci6n j 4. Sea (z 11 ) = (xn + iyn) una sucesi6n
de puntos del conjunto 06(0), z11 -+ 01\ V n E N z,. =I= 0. Entonces
Xn -+ 0 e Yn -+ 0 cuando n -+ oo. Dado que lf4(zn}l = lx,.l -+ 0
cuando n -+ oo, entonces lim f 4 (zn) = 0. Por consiguiente, la
c
2x
IJooo
n-oo
9•
t.
lznl
Z~ = Zn · -=-,
Z
= -=Zn
Zn
b) Supongamos que Zn = X 11 -+ 0 cuand o n -+ oo. Enton ces f (zn ) = 1 y f (zn) -+ 1 cuando n -+ oo. Si z~ = iyn, Yn -+ 0
1
i yn
I
cuando n -+ oo, entonces j (z11 ) = -.- = -1 y lim f (zn) = -1.
ecuaci6n de Ia hiperbola y = - , y para C = 0, el par d e rectas
x
= 1,
z- 0 Z
2) Sea u =C. Entonces para C-:/= 0 obtenemos Ia ecuaci6n
de Ia hiperbola x 2 - y 2 = C . Si C = 0, tenemos un par de rectas
y
±x. Si v C, entonces 2xy =C. Para C =I= 0 obte nemos la
=
I;: I
Por eso lim-=-
-
f( Zn )
11
z2
v2
v
= 2Cy => y = -2C => u = C 2 -
s·1 Z = x,. + ty,.,
. entonces
. , .a )
.,. So l uc1on.
La funci6n h tampoco es uniformemente con tinua en el conjunto
Dh. ..,..
funci6n 06(0}.!. C, donde
= { j 4(z ),
<p(z)
si z E 0 6(0) \ {0},
si z = 0,
0,
es continua en el punta z = 0.
~
Soluci6n. Sea Zo E D f, un punta arbitrario. Entonces 1 - Zo :/= 0
y segun el teorema de continuidad del cociente de dos funciones
continuas, ]J es continua en el conjunto D 1,. Analogamente, Ia
funci6n h es con tinua V z E D h. Asi p ues, las d os funciones
son continuas en sus dominies. Aclaremos si son uniformemente
I
1
II
2
continuas. Sea Zn 1 - - y Zn 1 - -. Tenemos:
=
I
II) =
p ( Zn,Zn
=
n
n
IZn- Zn I =---+
1
0
II
cuando
I
n
1)
(
11 ) )
(
p (z~,z~)
= II - z~ Ill - z;: I
n
= - --+ + oo cuando n --+ oo.
2
Por consiguiente, Ia funci6n ]J no es uniformemen te continua en
el con junto D 1,.
S
ea
Z 111
=z
• (
1)
1 - :;:;: ,
Zn11
=z
• (
2)
1 - :;:;: . T1enemos:
p ( Z 111 , z,.11 ) = -1 --+ 0 cuando
n
1 )
p
(
h
(
Zn '
(
h
11 ) )
Zn
n --+ oo,
cuando
> 0 3 6 > 0:
V(z, E n,, z2 E D 1)(p(z,,z2 ) < 6)::}
< e.
::} p(j (z!), j (z2 ))
(1}
Sea ( E 1, z,. --+ ( 1\ V n E N z,. E D /· La sucesi6n convergente
(z,.) es fundamental; por tanto, para el valor 6 > 0 ind icad o
en (1} existe un n6 E N tal que V (n ~ n 6, p E N) se verifica
Ia condici6n p(z,., z" +P) < 6. Entonces, conforme a (1) tenemos
p(J(z11 }, j (zu+p)) < e, es d ecir, Ia sucesi6n {f(z 11 }} es fundamental,
luego converge.
2} Sea lim j (z 11 ) = A. Si z~ --+ ( , entonces Ia sucesi6n
n -oo
(j(z~)) converge. Introduzcamos Ia notaci6n
lim f (z;, )
n-oo
=B
y supongamos que A :/= B. La sucesi6n "combinada" z 1, z~, z 2 , •
z~, .. . converge al punta (, y Ia sucesi6n f (z,}, f (zD, j (z2},
f (z~}, ... es fundamental y, por tanto, convergente. Denotemos
C = lim f (z;:}, siendo z;: el h~rmino general de Ia sucesi6n
n- oo
p(z~, z~)
n
2
Ve
combinada. Dad o que (z11 ) y (z~) son subsucesiones de la sucesi6n·
combinada, entonces A = C y B = C, es d ecir, A = B. De este
modo, lim f (z11 ) existe y no depende de Ia elecci6n de Ia
= 11 + z~ 2111 + z~2 ~ =
= - --+ + oo
Soluci6n. 1} De Ia definicion d e funci6n unifo rmemente continua
se deduce que
n--+ 00.
Sin embargo,
p ( fi z,. ' fl Zn
~
n -. oo.
11- oo
sucesi6n (z").
3) Es evidente que si en los puntos de Ia circunferencia 1
tomamos como va lores de f los valo res Hmites correspondientes,
obtenemos una funci6n continua en e l compacto K. ll>-
continua en el pun to
Z() ,
tal que 'V z E D 1 se veri fica Ia igualdad
f(z ) - f(zo) = (z - zo) I{J(Z).
(1)
Si zo es un punto limite del conjunto D 1, entonces el
nume ro I{J(Zo) se denom ina derivadn de Ia hmcion f en el
punto zo y se d enota media nte e l sfmbolo /'(z0 ):
!' (zo) = I{J(zo).
~
Soluci6n. La funcion f es continua por ser Ia com posicion de dos
funciones continuas. Para de terminar si esta es uniformemente
continua, haga mos z = x + iy. Asf,
1
z2
1
= x2 -
y2 + i2xy
=
x 2 - y 2 - i2xy
(x2 + y2)2
1 ") ,1/
0, r.-Z 11
vln n
E D f 1 Z 11II E D J 1
Sea
I
Z 11
Z 111
=
(
J
-1- - -1- -+ 0 cuando n -+ oo,
=
f (z~))
= e " 2n
-
Por consiguiente, Ia funcion
f
p (! (z~),
(
. En cste caso, 'Vn EN
Inn
1
.
hm
f( z) - f( zo)
Z - Zo
Calculemos /'(zo), zoE
= 2n - n = n -+ +oo.
no es uniformemente continua.
z
ll>-
4.1. Definicion de funci6n diferenciable.
Reglas de diferenciaci6n
Definicion. Sea f: C-+ C y sea zo E n, . Se dice que Ia funcion f es
diferenciable en el pun to zo si existe una funcion !p: C -+ C (Dv> = D1)
(3)
.
,
= Dthm
!p(z) = I{J(Zo) = f (zo).
3t-Zo
D, . Dado que
zo
ll>-
z
=- , z E C\ {-i, i}.
1+z2
1- zzo
l +z 2 -1+z5 =(z-zo)(l+z5) (1 + z 2 )'
1 - zzo
I{J(z) = (1 + z5) (1 + z 2)'
§ 4. Funciones diferenciables de variable
compleja. Diferenciabilidad en C
y en JR2 • Funciones analiticas
entonces
Z- Zo
Consideremos, por ejemplo, f(z)
ln 2n
1
e"n
zo,
Demostraci6n. Segun Ia formula (1) tenemos
D(:Jz-Zo
")
Z 111 , Z 11
p
del conjunto D1. Si In funci6n f es diferenciable en el pun to
existe
lim j(z ) - f(zo) = /'(zo).
~
1)
= ( 0, vln2n
~
Teorema 1. Sea f: C -+ C. Supongnmos que zo E D1 es un punto lfmite
D(:Jz-zo
~~
2
e-ZlI = e- (z
+Y) e<z + y) .
(2)
entonces
1-
1 - z5
IP(ZO) = (1 + z5) 2 '
z5
f'(zo)= (1+z5) 2
D
1 - z2
y
'V z E D1 J'(z)
= (1 + z_2)2"
Teorema 2 (de Ia derivada de Ia composici6n). Sean f: C-+ C una funci6n
diferenciable en un pun to zo y g: C -+ C una funci6n diferenciable en 1111
punto (o. Si zo = g((o) y (o es un pun to lfmite del conjunto D f og 1 entonces
In com posicion f o g es diferenciable en el pun to (o y se verificn Ia igualdad
u ~ g)' ((o) = J'(zo)g'((o).
(4)
..,.. De mostraci6n. conforme a Ia definicion d e funcion dife renciable,
tenemos
J (z) = f(zo) + (z - zo) rp(z).
Aplicando ahora el teore ma de continuidad d e Ia suma y del
producto de funciones continuas en un punto zo, vemos que f es
continua en zo. Jlo-
..,.. Demostraci6n. Como f es diferenciable en el punto z0 , existe
una funcion rp: C -+ C (D"' = D1) continua en z 0 , tal que
V z E D1 f(z)- f(zo) = (z- zo)rp(.z). Sea ( E Dlog· Entonces
g(() E D1 y, ad e mas, se verifica Ia igualdad
f (g(()) - f(g((o)) = (g(() - g((o))rp(g(()).
(5)
Dado que Ia funcion g es diferenciable en el punto ( 0 ,
existe una funcion 'f/1: C-+ C, Dr/! = D 9 continua en ese punto,
tal que V ( E D 9 se cumple
La afirmaci6n inversa no es valida, pues existen funciones
continuas pero no diferenciables. Por ejemplo, consideremos la
funci6n continua f (z) =
z E C. Segun Ia definicion de
derivada,
j'(z) = lim f(z + h)- J(z)
h-oo
h
En el caso considerado,
g(() - g((o) = (( - (o) '1/J(z).
La igualdad (5) toma, entonces, Ia forma
(f o g)(() - (f o g) ((0 ) = (( - (0 ) 'f/1(() (rp o g)(().
(6)
A partir de la ig ualdad (6) resulta que la composicion f o g es
diferenciable en el punto ( 0 , con Ia p articularidad de que
(f og)' ((o) = '1/J((o)(rpo g)((o) = g'((o) tp(Zo) = f'(.zo)g'((o).
z,
f (z + h) - f( z) _
h
-
Jlo-
Teorema 3 (propiedad lineal de Ia diferenciaci6n). Sean f : C -+ C · y
g: C -+ C dos fundones diferendables en .zo, donde Zo es rm punto limite
del conjunto D1 n D9 , .A E C, f.L E C. En este cnso, In frmci6n .Af + f.L9 es
diferenciable en Zo y se verifica Ia igualdad
(.A/ + f.Lg)' (zo) = .Aj'(.zo) + f.Lg'(zo).
(7)
Por consiguiente,
(.Af + f.Lg) (z) - (.Af +- f.Lg) (Zo) = (z - Zo) (.Arp + f.L'f/1) (z).
Por d efinicion, Ia funcion .Af + f.Lg es diferenciable en el punto
por tanto,
(.Af
+ f.Lg)'( zo) =
(.Arp + f.L'f/1) (Zo) = .Aj'(.zo) + f.Lg'( zo).
.zo;
Jlo-
Teorema 4 (de continuidad de una funci6n diferenciable). Toda frmci6n
f : C-+ C diferendable en un punto z0 es continua en diclro punfo.
h
.
.
.
f (z +h)- f (z)
HaClendo z x + ty y h
+ t1J, obtenemos
h
{ - ih
.
f(z +h) - f(z)
.
--.-. St 7J = 0, { -+ 0, entonces
-+ 1; s1
e+~
h
f (z +h) - f(z)
{ = 0, 1J -+ 0, entonces
h
-+ - 1. Asi pues modo,
=
Ia funci6n
..,.. Demostraci6n. Segun Ia definicion de diferenciabilidad de las
funciones f y g, existen dos funciones rp y "" continuas en el
punto z0 tales que D"' = D1, D r/! = Dg y
f (z) - f (zo) = (z - Zo) rp(z), g(z) - g(Zo) = (z - zo) '1/J(z).
Z+h- z
f
={
no tiene d erivada en cada punto d e continuidad .
Teorema 5 (de diferenciabilidad del producto de una funci6n diferenciable
infinitesima y una funci6n continua). Sea f : C -+ C una funci6n diferenciable
e11 1111 purrto Zo y /(Zo) = 0. Si g: C -+ C es continua e11 el punto Zo,
donde Zo es 1111 pun to limite del corrjrmto D1 n D9 , entonces Ia fimci6n fg
es diferellciable ell Zo y es valida Ia f6mwla
(fg)' (zo) = J'(Zo) g(zo).
(8)
..,.. Demostraci6n. Por Ia d efinicion de diferenciabilidad de una
funci6n f , existe una funci6n rp continua en el punto zo y tal que
D"' = D1 y f( z) = (z - zo)tp(z) (se toma en consideraci6n que
f( zo) = 0). Por consiguiente,
(!g) (z) - (f g) (zo) = (z - Zo) rp(z) g(z),
lo cual implica Ia diferenciabilidad de Ia funcion Jg en el punto
En este caso
zo ·
Si existe J'(z0) ¥= 0 y Ia funci6n j - 1 es continua en el punta w0, entonces
esla es diferenciab/e en diclzo punta. Si, ademas, w 0 es un punta limite del
canjzmla E1 = D rt, eutonces
U g)' (Zo) = cp(zo) g(zo) = J' (zo) g(Zo).
S i das funcianes f : C ~ C
~ C . ~ ;n diferenctnbfes en 111'1 punta Zo, dande Zo es un punta limite
e con;un o I _n Dg, entonces Ia funci6n f g es diferenciable en esle punta
Y se cumple La fannula
1
(f -1)'(wo) = f'(zo).
:o~ola:o (de Ia. deriv~da del producto).
r
(!g)' (zo)
= J'(zo) g(zo) + g'(Zo) f(zo).
(9)
..,.. Demostraci6n. La demostracion se deduce de Ia identidad
f(z) g(z) = (f(z) - f( Zo))g(z) + f( zo) g(z ) 't:/ z E D n D
I
g
Y d e los teoremas 3 y 5. .,.
..,.. Demostraci6n. De Ia definicion de diferenciabilidad de una
fu ncion f en un punto z0 , se deduce que existe una funcion cp
continua en Zo tal que D, = D1 y 't:/ z E D1
f (z) - f (Zo)
Teor.ema 6 ~de Ia derivada del cociente). Sean f : C ~ C y g· C ~ C das
funczones diferenciables en un punta zo, dande zo es un pu~ta limite del
conjunto D 1 n D Si g( ) ...L 0
t
1
·, f
g·
Zo -r , en onces a funczon - es diferenciable en
el punta z0 y se cumple
g
(zo) =
(
f_·
~) (zo) = !'(zo)g(:o) + fCzo) (; )'czo ) =
= /'(zo) + f(zo) ( g(zo)
Teor.~m~
I
.
g'(zo)) = f'( zo)g(zo ) - g'(Zo)f(zo)
g2(zo)
g2(zo)
.
zo) cp(z).
(12)
1
(w) -
r
1
1
(wo)
= (w- Wo) cp(/- 1(w))
(13)
Dado que cpo f - 1 es continua en el punto w 0 , Ia funcion j-1
es diferenciable en wo por definicion. Si wo es un punto limite del
conjunto E1 = D 1-1 , por Ia definicion de derivada obtenemos
( J -1)' (wo) = cp(J-11(wo))
1
1
= cp(zo) = J'(zo) ·
.,.
(10)
..,.. ~emos~racion. Utilicemos la regia de diferenciacion del producto
e f';fficiones y el teorema de tla derivada de Ia composicion de
f unc1ones. Obtenemos
(g!)'
= (z -
Teniendo en cuenta (12) y que Ia aplicacion f es biunivoca,
obtenemos que cp(z) i= 0 para z i= zo y cp(zo) = f'(zo) i= 0;
haciendo w = f (z), tenemos
r
'(zo) = J'(zo) g(zo)- g'(zo) f(zo)
(!_)
g
g2(zo )
.
(11)
.,.
7 (~e Ia derivada de Ia .tunci6n inversa). Sea f: C ~ C una
funczan znvertzble, ZoE Dl un punta limite del canjunta Dl y Wo = f( zo).
Observemos que si el conjunto D 1 es compacto y Ia
funcion f es continua, Ia continuidad de Ia funcion inversa se
deduce del teorema del p. 6.3, cap. 1.
En Ia teoria de funciones de variable compleja, las funciones diferenciables se suelen denominar man6genas. Precisemos: se
dice que una funci6n f: C ~ C definida en un conjunto E C C
es mon6gena en un punta fin ita no aislada Zo E E si en este punto
tiene derivada finita f~(zo) respecto a la variable z E E:
I (
!E
) _
Zo -
.
f( z) - f( Zo)
1Jill
·
E~ z -zo
z - zo
Una funci6n monogena en cada punto no aislado del conjunto E
se denomina man6gena en E. Si E = G es una region del plano
complejo C, Ia funcion monogena en G se denomina fund6n
analitica en G .
~ Demostraci6n. Si se cumplen las condiciones del teorema, en-
4.2. Diferencial de una funci6n
tonces existe
Sea f : C-+ C una funcion diferenciable en un punta ZoE n 1 ,
donde zo es un punta limite del conjunto D 1 . Entonces, por
definicion, 'i/ z E D 1 el incremento de f en el pun to z0 es
!:::..f(zo) f( z) - f(zo) rp(z) (z - z0 ),
(1)
donde rp es una funcion continua en el punta z0 y rp(zo) = f'(z0).
Escrib iendo Ia igualdad (1) en la forma
!:::..f(zo, !:::..z) rp(Zo) !:::..z + a (zo, !:::..z) !:::..z, !:::..z z - z 0 ,
?onde a(zo, !:::..z) rp(z)-rp(.zo) rp(zo+!:::..z)-rp(z0 ) , vemos que el
mcremento de tod~ fW:cion f, diferenciable en el punta z0 es igual
a Ia suma de dos termmos: f (zo) !:::..z y a (z0 , !:::..z) !:::..z, donde a es
una funcion continua que se anula para z = ZQ, es decir, es una
funcion infinitesima cuando z -+ ZQ . Tenemos a(.zo, !:::..z) = o(1) y
a(.zo, !:::..z) !:::..z
o(l ) !:::..z o(l !:::..zl). Dado que Ia funcion o(l!:::..zl)
es un infinitesirno de arden superior respecto a l!:::..z l cuando
. o(l!:::..z l)
z -+ zo, entonces ~~ ~ = 0. De este modo, Ia igualdad (1)
=
. . !:::..f(zo, !:::..z)
j'( )
hm
= a=
zo .
!:::..z
Az .... o
=
=
=
De este modo, teniendo en cuenta Ia igualdad (2) y el
teorema demostrado, vcmos que podemos tomar (3) como Ia
definicion de diferenciabilidad de Ia fwKion f en el punto zo.
=
=
=
Definicion 2. Si una funcion f : C -+ C es diferenciable en zo E D 1,
donde zo es un pun to limite del conjunlo D 1, entonces Ia forma lineal
C~ C que satisface Ia condicion (3) se denomina diferencial de Ia funcion f
en el punta zo y se denota mediante el sirnbolo df (zo). Para todo h E C
=
se tiene
= j'(zo) !:::..z + o(l!:::..z l).
(2)
Antes de analizar Ia formula (2) defi.namos el concepto de
=
aplicacion lineal C ~ C.
Definicion 1. Una funcion C~ C se denomina lineal si 'i/ (z 1 E C, z2 E C,
..\ E C) se verifican las condiciones:
1) L(z! + z2) = L(z!) + L(z2) (propiednd nditiua);
2) L(..\z 1) = ..\L(z!) (ltomogeneidad).
A partir de las condiciones 1) y 2) se deduce que L (O) = 0 y 'if z E C
L(z) = az, a = L(l) = canst.
Teorema. Sea f : C -+ C y sea Zo E D 1 zm pun to limite del conj wzto D 1 .
Si existe una aplicaci6tz lineal (jonna lilreal) C ~ C, L(z) = az, tal que
'i/ z E D 1 se cumple Ia igualdad
!:::..f(Zo, !:::..z)
entonces Ia funci6n
f
= a !:::..z + o(lb.zl),
es diferenciable en el punto Zo y f'(zo) = a.
!' (zo) h.
(4)
Asi pues, el incremento de una funcion f: C-+ C diferenciable en Zo E D 1 , donde z0 es un punto Hmite del conjunto D 1 ,
se compone de dos sumandos: uno de ellos es el valor de_ la
diferencial dJ (zo) para h = !:::..z, y el segundo es una funCI6n
D1 , donde o(1) es una
de Ia forma a(z0 , !:::..z) o(1)!:::..z, Da
funci6n infinitesima cuando z-+ zo y se anula en zo .
Sea g(z) = z, 'i/ z E C. Entonces 'i/ hE C tenemos _
toma Ia forma
!:::..j(zo, !:::..z)
L(h) = dJ(zo) (h) =
(3)
=
dg(z) (h) = dz(h) = z' h = 1].,
(5)
es decir, para un h E e fijo, los valores de Ia d~erencial ~z de la
funci6n z 1-+ z en todo punto del plano compleJO C son 1guales.
Como
df (zo) (h)= J'(.zo)h = /' (Zo) dz(h),
entonces
dj(zo)
= j' (zo) dz.
La formula (7) determina Ia diferencial de Ia funcion
(6)
(7)
f en
el punta Zo como una forma lineal
'C ~c.
(8)
Teniendo en cuenta que la derivada de Ia funci6n j :C-+C
puede considerarse como Ia razon entre Ia diferencial de Ia funci6n
FunciQPes ·diferenciables
y Ia dife rencial de Ia variable independiente, se suele utiliza r Ia
notaci6n
, _ df · ,( ) _ df( zo )
! - dz ' 1 zo- ~ ·
Para calcular aproximadamente los valores de una funci6n
di ferenciable f en lo~ .puntas de un 6-entomo del pun to z 0 E D 1,
donde 6 > 0 es s uftctentemente pequeno, se utiliza Ia formula
aproximada
b.f(zo, b.z) ~ df(Zo ) (b.z) = j' (z0) b.z,
(9)
es decir,
f( z ) ~ f(zo) + f'(zo) b.z, b. z = z- z0 .
(10)
4.3. Criterio de diferenciabilidad
de las funciones de variable compleja
Si una fu?ci6n f: C ~ .C. _es diferenciable en un pun to z0 E D 1
en el senhdo de Ia defmtcton del p. 4.1, entonces se dice que f es
C-diferenciable en dicho punto. Una funci6n g: ~ -+ IR diferenciable en un punto (x 0 , y0 ) se denomina Ifil -diferenciab/e
(recordemos que su incremento en el punto (x0 , y0 ) tiene Ia
)
og(xo, Yo) A
8g(xo, Yo)
forma b. (
9 Xo, Yo =
ax
uX+
8y
b.y + a p, donde
P = -Jb.x 2 + b.y 2 , a
-+ 0 cuando p -+ 0).
. . Dado que toda funci6n de variable compleja puede escnbtrse en Ia forma f( z ) ~ u(x, y) + iv(x, y), z = (x, y), surge
Ia pregunta sobre Ia relac10n entre Ia <C-diferenciabilidad de Ia
funci6n f y la IW -diferenciabilidad de las funciones u y v en
el punto zo = (xo, Yo). Esta relaci6n se establece en el teorema
siguiente.
Las igualdades (1) se suelen denominar condiciones de CauchyRiemann.
<1111
Demostraci6n. Necesidad. Sea f una funci6n C-diferenciable en
cl punto z0 = ·(x 0 , Yo). Su incremento en Zo tiene Ia forma
=
b.f(zo, b.z) !' (Zo) b.z + a (zo, b.z ) b.z,
a -+ 0 cuando b.z -+ 0.
(2)
Separando en esta igualdad las partes real e imagina ria y hacienda
f'(zo) = a + ib, cuando x-+ x 0 , y -+ yo, obtenemos
b.u(xo, Yo) = a b.x- b b.y + a 1b.x + fJ1 b.y,
Cit -+ 0, {J 1 -+ 0 cuando b.x
b.v(xo, yo) = b b.x + a b.y + a 2 b.x + fJ2 b.y,
a 2 -+ 0, {J2 -+ 0 cuando b.x
-+
0, b.y
-+
0, b.y -+ 0.
-+
0,
De Ia !R2 -diferenciabilidad de las funciones u y v en el pun to
(xo, Yo) se deduce que
au(xo, Yo) 8v(xo, Yo)
a 8u(xo, Yo) av(xo, Yo) b
r=
ax
8y
ax
{)y
=
=
=
Suficiencia. Suponga mos que las funciones u y v son
en el punta (x 0 , y0 ) y se verifican las con.
8u(xo, Yo)
diciones (1). Introduciendo las notac10nes
ax
= A,
JW -diferenciables
av(xo, Yo) = B ,
_,;.._.;..__
..
escnbtendo
.los incrcmcntos de 1as fw1ciones
ax
)
. ' Ias
u y v en el punto (xo, Yo , y tomand o en const.d erac10n
condiciones (l f, tenemos
2
2
2
2
b.u(xo, Yo) = A b.x - B b.y + a-Jb.x + b.y
a -+ 0 cuando x -+ xo, y
,
Yo,
(3)
b.v(x 0 , y0 ) = B b.x + A b.y + {J b.x + b.y ,
{J -+ 0 cuando x -+ xo, y -+ Yo·
(4)
J
:reorema (criteria de diferenciabilidad de una funci6n de variable comple Ja). Sea f : C -+ C, donde f(z ) = ~(x, y) + iv(x , y), una Junci6n definida
eu u!1 entomo del punto zo = xo + t yo. Para que Ia Junci6n f sea C- diferenczable ~n el p~mto zo es necesario y suficiente que las Junciones u y v
seau lW -difer~ncwble~ en el punt~ (xo, Yo) y que sus derivadas pnrcinles en
este prmto esten relacronadns medrnnte las expresiones
8u(x o, Yo) = 8v(xo, Yo)
8u(xo, Yo)
av(x 0 , y0 )
ax
ay
8y
ax
(l)
aevariabJe com
-+
Multiplicando los dos miembros de Ia igualdad (4) por i y sumando Ia igualdad obtenida con (3), hallamos
=
=
D. f (Zo, b.z ) b.u(xo,.Yo) + i D.v(xo, Yo)
2
2
A(b.x + i b.y) + B(i b.x- b.y) +(a + i{J) -JD.x + b.y .
=
(5)
Como b.x + i b-y_= b.z e i b.x - b-y
dad (5) toma Ia forma
= i b.z, entonces Ia igual·
b.J(zo, b.z) =(A + iB) b. z
cs decir, Ia funcion
f
+ o(lb.zi),
es C-diferenciable en c l p unto Zo·
t::.z = lt::.zle;o, obtenemos
!::. f( zo, t::.z) = aj(zo) + 8/(~o) e-i20 + o(lt::.zl).
(11)
t::.z
az
az
t::.j
De Ia expresi6n (l l) se deduce que, cuando t::.z -.. 0, cl limite del cociente
t::.z
.
.
' I . of(zo) 0
extste Sl, y SO 0 Sl, aF = .
Tomilndo en (10)
(6)
.,..
Cabe sei1ala r que las exp resiones (1) fucron estudiadas por
primera vez en el s iglo XVIII por D'Alembert y Euler, asf que scrfa
m as correcto d enominarlas condiciones d e Eu le r- D'AlembcrtCauchy-Rie mann.
4.4. Funciones analiticas
=
Nota. Hagamos varias observaciones respecto a este teorema.
1. AI demostrar el teorema establccimos Ia relaci6n ent re Ia derivilda j'(z)
y las derivadas parciales de las partes real e imaginilria de Iii funci6n f en Ia
forma
1
OU
.OV
OU
.OU
OV
.OU OV
.OU
f (z)= - +z- = - - 1- = - - z- = -+ z-.
ax
ax
ax
oy
oy
ay
ay
ax
Definicion 1. Una funcion w
f( z) d efinida en una region G C C se
dcnomi.na J1mcio11 nnaliticn (holomorfa) en 1111n region s i es diferenciableV'zEG.
=
Definicion 2. Una funcion w
f( z) se d enomina mrnliticn en 1111 punta
z E C s i es ana litica en un entorno d e este punto.
2. Del curso de ilnalisis miltematico se sabe que para Ia R2 -diferenciilbilidi1d
de las funcioncs u y .v es suficiente que existan y seiln continuas las derivadas
au au av av
ax, oy, ax, ay en un entomo del pun to considerado. Por tanto, para
que Ia funci6n f = u + iv SCil d iferenciable en el punto z = (x, y) es suficiente
.
.
au(x, y) au(x, y) ov(x, y) av(x, y) .
que las denvadas parctales - - - , - - - , - - - , - - - extstan en un
0X
oy
OX
oy
parciales
entom o del punto (x, y), sean continuas en este punto y sa tisfagan lils condiciones
de Cauchy-Riemann. _
!._ y .!.... :
az az
of ~ ! (a!_ ia1) = !(au+ av) + ~ (a v _au)
az 2 ax ay
2 ax ay
2 ax ay '
=
Definicion 3. Una fu.ncion w
f (z ) se denomina analiticn e11 una cwvn
1 C C s i es analitica en una region que contiene dicha curva.
Definicion 4. Una funcion w = j(z) se denomina analiticn e11 1111 conj1mto
abicrto E C C s i es analitica en tod o punto z E E.
3. Definamos los operadores diferenciales
a~ ~ ~ (a J + i aJ)
az 2 ax ay
(?)
Definicion 5. Una funcion w = f (z) se denomina nnnliticn en 1111 conj1mto
arbitrario M C C s i es analitica en cierto conju.nto abierto E:) M.
= ~ (au _ av) + ~ ( av + au) .
En particular, u.na funcion w = f(z) se denomina mmliticn
en u11n region cerrada G s i es analftica en cierta region D 2> G.
SenaJemos que el concepto de fu.ncion analitica se puede
extender tambh~n a regiones de C; para ello hay que definir el
concepto de fu.ncion anaHtica en el pu.nto del infinito.
2 ax ay
2 ax ay
(B)
En h~ rminos de esos operadores, las condiciones de Cauchy- Riemann se
pueden escribir como una sola igualdad
of
a-z = o.
(9)
2
Si u y v son R -diferenciables en el punto (:r0, y0 ), entonces
af(Zo)
!::. f( Zo, t::.z) = - -
8z
a f(zo)
t::.z + -_- t::.z + o(lt::.zl).
az
(10)
Definicion 6. Una fu.ncion f definida en e l plano complejo ampliado C se
denomina nnaliticn en el infinito si Ia fu.ncion cp: z ..... f (l/ z) es analftica
en el punto z
0.
=
tO ll•. J6
es distinto de cero en el punto ZQ, ya que V z E G lf'(z)l # 0.
Por ta nto, C<?nforme al teorema de Ia funcion implicita, en un
1
entomo del punto Wo
(UQ, Vo) existe Z
(w). La existencia
1
y Ia continuidad de la derivada (/ - )' se demuestran siguiendo
el mismos pasos del teorema 7, p . 4.1. IJil>
Enumeremos algunas propiedades de las funciones a naliticas.
denominador es difererzte de cero) de dos funcion es anafilicas
son funciones analiticas. Por consiguiente, ef conjunlo {!}
de funcion es arzaliticas en una region G fomw 1111 a11illo.
Denotemoslo mediante el sfmbolo A(G).
2)
La composici6n f
funci6n analitica.
og
4) Dada fa parte real u de una funci6n f E A(G), su parte
imaginaria v se puede determinar a excepci6n de una constante
aditiva.
de dos Ju11ciones mwfiticas es una
Las propiedades 1) y 2) se d ed ucen a partir d e los teoremas
de las funciones diferenciables an alizados en el p. 4.1.
Como ejemplo de una funcion analitica en toda region
G C C puede servir un p olinomio arbitrario P,.(z)
aoz" +
a 1z"- 1 + .. . + a,._ 1 z +a,.. La funcion racional
<111
=
Pn(z)
aoz" + a1 z"- 1 + ... + an - 1Z +an
f (z)
Qm(z)
bozm + b1 zm - 1 + ... + bm- IZ + bm
es analitica en toda region G que no contenga los ceros del
d enominador.
3) Si f E A(G) y V z E G 1/'(z)l # 0, enlonces en ef
=
tambien es mzalitica. Si Wo = f (Zo), enlonces
~
dv
r
1
,
fa Cllaf
u -l),(wo) =
J';Zo).
=
ax
ay
av(xo, Yo)
av(xo, Yo)
ax
v(x,y) =
=(
au(;: Yo)
r
+ ( av(;: Yo)
au
J
au({, TJ)
au({, TJ)
aTJ
d{ +
a{
d1J +C.
5) Sea f E A(G), f = u + iv. Consideremos las lineas de nivel u(x, y)
C y v(x, y) = C de las funciones
u y v. Suponiendo que el espacio ~ es e uclideo, calculemos
=
(grad u, grad v} V z = (x, y) E G, donde grad u
y grad v
= ( ax
av
= ( ::, :; )
av) . Teniendo en cuenta las condiciones de
ay
Cauchy-Riemann, obtenemos
r
(grad u, grad v)
I
au av
au av
au au
au au
= -ax -ax +- = -- - + - - = 0.
ay ay
ax ay
ay ax
Dado que para toda funcion el vector g radiente siempre es
ortogonal a las lineas de nivel, las familias de curvas u(x, y) C
y v(x, y) = C son ortogonales entre si.
2
=
= I au(xo, Yo) + i av(xo, Yo) 1 = If'(zo)l2
ax
au
(:z:o.Yol
=
ay
av
(:z:,y}
=
=
av
= -ax dx + -ay dy = -dx + - dy,
ay
ax
lo que permite reconstruir la funcion v mediante Ia formula
conocida
Demostracion. Como la aplicacion w u + iv es invertible, las
ecuaciones u u(x, y) y v = v(x, y) pueden resolverse respecto a
:i; e y e n Ia region G. Dado que Ia funci6n f es a nalitica
en G, entonces V z 0 = (xo, Yo) E G se verifican las condiciones de
Cauchy- Riemann (1) d e l p. 4.3, debido a las cuales el jacobia no
au(xo, Yo) au(xo, Yo)
D(u, v)
- - (xo,Yo)
D (x, y)
Demostraci6n. Efectivamente, utilizando las condiciones de
Cauchy-Riemann vemos que la diferencial total de Ia funcion incognita v se d eterrnina unfvocamente a partir de Ia funcion u:
=
conjunto E 1 = / (G) estti definida fa fimci6n inversa
=r
=
1) La suma, fa dlferencia, el produclo y cl cocierzle (si ef
ax
10'
' i:unciones diferenciables de variable cQm
4.5. Sentido geometrico de Ia derivada
de una funci6n de variable compleja.
Concepto de transformaci6n conforme
Sea f E A(G). La funcion f establece una correspondencia entre
Ia region G del plano complejo z y una region D del plano
complejo w. Sean zo E G un pun to arbitrario y 7 C G una
curva suave de Jordan que pasa por dicho punto. Dcnotemos
con wo = f(zo) y 7' las imagenes correspondientes de z 0 y 7
mediante Ia aplicacion f . Notese que w 0 E 7'.
v
!J
0
0
X
o·
It
=
=
arg !' (zo) = lim (8 - tp).
(1)
b.T
6z-<O
Si 7/J es una parametrizacion de Ia curva suave 7, Ia
com posicion f o 7/J es una parametrizacion de Ia curva suave 7•.
Aplicando el teorema de Ia derivada de Ia composicion de
funciones diferenciables, obtenemos
If' (zo)l = lim b.p ,
6 r-<0
= !' (zo)cp'{to) :P 0
= 6z-O
toma Ia forma
(3)
arg !' (zo) = Oo - IPo·
De este modo, el angulo de giro de Ia curva 7 en el punto
zo E G mediante Ia aplicacion f no depcnde de Ia forma ni de
Ia direcci6n de Ia curva 7. (Se considera que las direcciones de
los ejes Ox y O'u, asf como Oy y O'v, coinciden; por angulo
de giro se entiende Ia diferencia entre el angulo final e inicial.)
A partir de Ia igualdad (3) se deduce que a= arg j'(zo) es igual
al angulo de giro en el punto z0 mediante Ia aplicacion f(z). Asf
pues, Ia aplicaci6n f tiene Ia propiedad de conservar los angulos:
el angulo entre dos curvas s uaves arbitrarias en el punto zo es
igua) al anguJo entre S US imagenes en el punto Wo = j(zo ).
Sea z = 7/J(l) E 7. Como las curvas 7 y 7' son suaves, los
valores de lb.zl y lb.wl cuando t --. to son infi nitesimos e iguales a
las longitudes respectivas b.s y b.s' de los arcos 7 y 7' definidos
por el segmento [t, t 0]. Por tanto, podemos escribi r Ia expresion
lb.wl
,
.
lim - A I = if (zo)l
6z-o 1uz
como sigue:
if (zo)l
Cuando el punto z (fig. 28) tiende a z0 a lo largo de
Ia curva 7, su imagen w tiende a w 0 = f( zo) a lo largo
de Ia curva 7•. Supongamos que j'(z0 ) :/; 0. Entonces J'(zo) =
IJ'(zo)leia, a
argj'(zo). Haciendo b.z
z- zo
b.rei"',
b.w = b.pei8 , obtenemos
(f o 7/J)' (to)
= 6z-O
,
Fig. 28
=
las curvas 7 y 7' en los puntos zo y wo = f( zo), respectivamente.
Entonces tpo
lim tp, 80
lim 8 y Ia segunda expresion de (1)
(7/J(to)
= zo).
(2)
Por consiguiente, tp'(to) :/; 0. Denotemos mediante tpo y 80 los
an gulos comprendidos entre los cjcs Ox y O'u y las tangcntcs a
b.s•
ds'
= t-limto -b.s = -.
ds
(4)
Asf, d~sde el pun to de vista geometrico, If' (zo)l es el factor de
dilatacion de 7 en el punto zo mediante Ia aplicaci6n f . En virtud
de que 7 es una curva suave arbitraria llegamos a Ia conclusion
de que todos los arcos se dilatan en el punto zo de Ia rnisma
manera. Por eso sE: dice que Ia aplicacion f en el punto zo posee
la denorninada propiedad circular: las circunferencias pequenas
con centros en el punto z 0 se transforman mediante dicha aplicaclon en curvas cerradas que se diferencian de circunferenclas
con centres en el punto w 0 = f(zo) en in(initesimos de orden
superior. Senalemos que Ia propiedad circular sigue siendo valida
para J'(zo) = 0, pero en este caso toma una forma degenerada
porque el factor de dilatacion se anula.
Definicion 1. Una aplicaci6n o transformacion f se denornina confonne
en un punta zo E G si es localmente homeomorfa en ese punto y tiene Ia
propiedad de conservar los angulos.
Definicion 3. Una funcion
=
El homeomorfismo de Ia region G es lo mas importante
en el concepto d e transformacion conforme (v. p . 6.6, cap. 1}.
Nota 1. Toda transformaci6n conforme conserva tanto el valor como el signo de
los angulos. Por ello, se denomina tambien trnnsjormnci6n confomze de primern
especie, a diferencia de Ia transjormnci6n conforme de segmzdn especie que conserva
los valores de los angulos pero cambia sus signos.
Nota 2. Toda fW1d6n analitica con derivada dis tinta de cero se caracteriza tambien
por la constanda del factor de dilataci6n en el pW1to. Evidentemente, toda
aplicaci6n que tiene esas dos propiedades y para Ia cual el factor de dilataci6n es
finito, es analitica.
Nota 3. Supongamos que las fW1ciones u y v tienen dcrivadas parciales continuas.
u + iv
En este caso es facil demostrar que el caracter con forme de Ia apHcaci6n f
impHca nccesariamente su analitid dad, y si Ia aplicad6n f tiene un factor de
dilatad6n constante, entonces es W1a transformad6n conforme de primera o de
segW1da especie. · ·
Asimismo, se puede demostrar que W1a aplicaci6n continua ® una hoja
f: C-+ C, D 1 G que conserva los angulos es analitica.
=
imagenes d e dichas curvas m ediante Ia aplicaci6n (
= ~z
en el
punto ( = 0.
Las definiciones que siguen a continuacion estan relacionadas con las transformaciones conformes en e l plano complejo
ampliado C.
= 0.
Definicion 4. Una funcion f transforma conformemente un entorno Ooo
del punto z = 00 en un entorno olD. del punto Wo si Ia funcion w = / (1 /()
transforma conformemente un entorno del pun to ( = 0 en Ow0 •
Definicion 5. Una fu ncion f transforma conformemente un entorno Ooo
del punto z = oo en u n entorno O:X, del punto w = oo si Ia funcion
1
w = - - - transforma conformemente un e ntorno del punto ( = 0 en
f (1/(}
un entorno del p unto w
= 0.
4.6. Campos fisicos pianos y su relaci6n
con las funciones analiticas
Sea F = (Fx, Fy) un campo vectorial plano-paralelo definido en
una region G E C. Consideremos que las funciones Fx = Fx(x, y)
y Fy = Fy(x, y) son diferenciables e n G. Supongamos que el
campo F es p otencial, es decir,
aFy aFx
- = 0,
ax
ay
rot F = -
(1)
y solenoidal, esto es,
aFx
div F
Para estudiar las propie dades geometricas d e Ia aplicacion
f : C--. C adoptemos la siguiente definicion d e ang l!lo formado
p or dos curvas en el punto z = oo: por este angulo se entiende
e l angulo (tornado con el signo opuesto) bajo el cual se cortan las
=
transforma conformemente 0:0 en un entorno del punto w
Definicion 2. Una aplicacion o transformacion f: C --. C conforme en
todo p unto de Ia region G se denomina confonne en esfa region.
=
f
transforma conformemente un entorno 0:0
1
del punto zo en un entorno del punto w
oo si Ia funcion w
f (z)
De Ia interpretacion geometrica del argumento d e Ia derivada j' se deduce que toda funcion analitica es conforme e n
cada punto z E G donde f '(z) f= 0.
= ax +
aFy
ay
= 0.
(2}
De (1} se deduce que Ia forma diferencial
Fx dx
+ Fy dy = w
(3)
es Ia diferencial tota l de una funcion u = u(x, y) que se denomina
potencial del campo F :
F = V'u =grad u.
(4)
A partir de (2) se obtiene
-Fy dx + Fx dy = dv .
(5)
La funcion v = v(x, y) recibe el nombre de frmci6n de corriente.
Consideremos Ia funcion
w = f(z) = u(x, y)
+ iv(x, y).
(6)
De (3) y (5) obtenemos
Bu
Bv
F ... = - = - ,
Bx
By
Bu
Bv
F.y- - -Bx
- By-
(7)
Por consiguiente, f E A( G).
Resumiendo, a todo campo vectorial plano-paralelo potencial y solenoidal F le corresponde una funcion analitica que
lo define por complete. Dicha funcion se denomina potencial
complejo del campo vectorial F.
Reciprocamente, a toda funcion f analftica en una region G
le corresponde un campo vectorial plano-paralelo F, del cual f es
su potencial complejo. Tenemos Ia igualdad evidcnte
F
= f'(z).
(8)
Consideremos algunos campos vectoriales F concretes de
naturaleza distinta.
1. Ejemplo de lridrodinrimicn. Sea F el campo de velocidades de un flujo plano-paralelo estacionario de un liquido
incompresible cuya densidad es JL = const. Este campo es potencial y solenoidal. Su caracter solenoidal significa que en Ia region
dada G no hay fuentes delliquido, en otras palabras, el flujo del
liquido a traves de un contomo cerrado arbitrario r C G es igual
a cero:
f
Fn ds
=
f-
Fy dx + F... dy
= 0.
(9)
r
r
El caracter potencial del campo de velocidades delliquido
significa que Ia circulacion del liquido a lo largo de un contorno
cerrado arbitrario r C G es ig ual a cero:
f
Fr ds
=
f
F... dx
+ Fy dy = 0.
(10)
r
r
2. Ejemplo de electrostriticn. Consideremos un campo electrostatico definido por un vector intensidad E. Se sabe que este
campo es potencial, es decir,
E
= -\lcp,
(11)
donde cp es el potencial del campo electrostatico. Para una curva
arbitraria suave cerrada o suave a trozos r C G tenemos
f
Er ds
= 0,
(12}
r
pues esta integral es igual al trabajo realizado para desplazar una
carga unitaria a lo largo del contorno r.
Segun el teorema de Gauss, Ia integral
fEnds
(13}
r
es ig ual a Ia suma algebraica (multiplicada por 27r} de las
cargas contenidas en !a region limitada por el contorno r. Por
consiguiente, el campo E es solenoidal en una region que no
contiene cargas.
Como vemos, a! estudiar los campos electrostaticos planoparalelos en regiones sin cargas, es comedo hacer uso de las
herramientas de las funciones analfticas.
4.7. Desigualdad de Lagrange
Consideremos un punto material que se encuentra en movimiento
rectilineo. Si sus posiciones inicial y final coinciden o las direcciones del movimiento en los instantes inicial y final son opuestas,
entonces tiene que haber un instante en el que Ia velocidad del
punto se anula, es decir, el punto tiene que detenerse. En matematicas, estes fenomenos fisicos sencillos se describen mediaDte los
teoremas clasicos de Rolle y Darboux. ~Son validos los teoremas
de Rolle, Lagrange y Darboux para las funciones de Ia forma
f: IR -> <C? La interpretacion fisica de Ia derivada como Ia velocidad del movimiento de un punto en el plano «; permite contestar
a Ia pregunta planteada. Moviendose por un plano, el punto puede volver a Ia posicion inicial sin detenerse en ninglin instante,
Jo cual constituye una de las diferencias principales entre los
movirnientos por un plano y por una recta. A modo de ejemplo,
consideremos Ia rotacion de un punto material alrededor de un
centro fijo; este problema se describe matematicamente mediant~
Ia funcion f: IR-> <C, donde f(x} = ei:z:, D 1 = [0, 27f]. En efecto,
f(O) = f(27l"} 1\ J'(x) = iei:z: =/= 0 'r;fx E [0,27r]. Vemos pues, que
existen funciones f : IR-+ C para las cuales los teoremas de Rolle
y d e Lagrange no son va lidos.
.
Como hemos seiialado anteriormente, el teorema d e Darboux se basa en el hecho d e que para cambiar el sentido del movimiento d e un punto que se mueve por una recta, su velocidad
tiene que anularse en alg tin instante. Por o tra parte, al moverse
por un plano, el punto ma terial puede cambiar el sentido d e su
movimie nto sin que se anule su velocidad. Como ejemplo puede
servir el movimie nto de un punto por una semicircunferencia; Ia
posicion del punto se describe mediante Ia funcion f: IR -+ C,
donde j(x)
iei"', D 1 [0,1r] . Vemos que los vectores de velocidad j'(O) y j'(1r) tienen sentidos op uestos; sin embargo, el
vector f'( x) es distinto de cero '</ x E [0, 1r] . Por consiguientc, el
teorema de Darboux no es aplicable a las funciones de IR en C.
La interpretacion ffsica de Ia d erivada sugiere Ia s iguiente modificacion d el teorema d e Lagrange para las funciones
f : IR -+ C. Si un punto inicia su movirniento de Ia posicion f(a) y el valor absoluto de su velocidad no supera el
numero v = 11!'11 = sup 1/'(x)l, entonces en el intervalo de tiem-
=
El extremo izquierdo de esta cadena de igualdades sugiere que su
extremo d erecho d ebe ser un nllmero real, luego v(b) - v(a) 0.
Segun el teorema de Lagra nge, para Ia funci6n u existe un punto
{ E (a, b) tal que
=
lf(b)- f (a)l
IJ
= u'(O (b- a) ~ lf'({)l(b- a) ~ llf'll(b -
~
a).
Problemas resueltos.
=
<1111
Soluci6n. Sea lzd < 1, lz21 < 1 y z1 =f. z2. Demostremos
que w(z.) =f. w(z2), es decir, lw(z.) - w(z2)l > 0. En efecto,
w(z2)1 = lzi + 2z1 - 2z2- zi l = lz1 - z2 llz1 + Z2 + 21 ~
lz1 - z2l (2 - lz•l - lz21) > 0. ~
lw(z.)-
z e D1
=
po t
b - a dicho punto no puede salir fuera de los lirnites d e
Ia circunferencia 1 = { w E C: lw - f(a)l = v(b- a)} .
~ C una fimd6n continua en [a, b]
y diferenciable en todo punto del interoalo (a, b). En este caso se verifica Ia
desigualdad
{1)
lf(b) - f(a)l ~ 11!'11 (b- a),
donde 11!'11 = sup lf'(x)l.
Teorema {de Lagrange). Sea [a, b]
.
Sea z
zE(a.b)
<1111
w(z )
-
z
Y
=
{
O,
+ x5f3 y7f3
=
e - i"'(f(b)- f(a))
= ( e- i<p f)
(b) - ( e- i<p f) (a). (2)
= u(x) + iv(x) 'r/ x E [a, b] . Tenemos:
f(a)l = (u(b) + iv(b)) - (u(a) + iv(a)) =
Hagamos e-i<p f(x )
lf(b) -
=
u(b) - u(a)
+ i(v(b) -
v(a)).
ex1ste .
(x2 + y2)1
. x8f3y4f3 _ x4f3y8f3
+t
Demostraci6n. Sea tp E Arg {f(b) - f(a)) . Entonces
lf(b)- f(a)l
.
qt.O
= x + i y. Tenemos:
x7/3 5/3
La ecuaci6n {1) se denomina desigualdad de Lagrange.
w(z)
_... Soluci6n. Es suficiente d emostrar que hm
-Zz--+0
...,.
{x2+y2)2
.
w(z)
'
.
si z
=f. 0,
si
z = 0.
4
1
2x
.
Sea y = x -+ 0, entonces z -+ 0 y lim - - = limo 4 x 4 = -2 · Sl
z-+0
Z
:z:-
li w(z)
~ - - no
z-o z
z 0 z
existe y Ia funci6n w no es diferenciable en e l punto z = 0. ~
z
=
w(z}
x -+ 0, entonces lim - -
.
.
= 0. Por consJgUiente,
. 72~ ·· B~mostrali que Ia funcion w = 3:} 1/-1) DID = Cl es ahalifica .
3xy2
+"i (3x2y -
I
..,. Soluci6n. Las funciones u
x3 - 3xy2 y v 3x2y- y3 -1 son
diferenciables y cumplen las condiciones de Cauchy -Riemann:
=
=
au
2 2 av
2 2 au
- =3x -3y
=3x -3y, - = -6xy
ax
ay
ay
av
2
dw au
-dz = -ax+ iax- =3x -3y2 +i6xy.
I
-
Entonccs,
b.u2+ b.v2
D.x2+ D.y2=
av
ax = 6xyl
1
(~r+(~Y)b.x2 + ( (~Y + (~Y)b.y +
2
(
=
6,x2+ ~j,_y2
2 (au au+ av av ) b.xb.y
ax ay
+
ax ay
D.x2+D.y2
2
2)
o(b.x + b.y
+ D.x2+ D.y2 ·
Teniendo en cuenta Ia ig ualdad (1)~ obte nemos
2
2
2
2
D.u + D.v _ (au) + ( av) +
D.x2 + D.y2 - ax
ax
..,. Soluci6n. Dado q ue D.w = b.u
entonces
1 ~: 1
ejercicio1 existe
como b.z
lim
b.z = b.x
+ i b.y
1
+
Segun las condiciongs d el
y este lfmite no depende de
t.z-<l u Z
( r ~r.
Ib.z .I = ~
b.w l
t.z--o l b.z
I~w I~
+ i b.vl
Dad o que
1~~0 1 ~: I =
lim - =
+(
Si D.z = i b.yl en tonces
2
2
au)
(av)
( ay + ay . Por consig uiente
2
2
2
( av)
(au)
(av)
( au)
ax + ax . = ay + ay
ax - ay
2
(1)
De Ia diferenciabilidad de las funciones U 1 v en el punto z = (X 1 y)
se deduce que sus incrementos en dicho punto tienen Ia forma
D.x2+ D.y2
2
( ::)
+ ( !~)
+ o(1) .
2
1
entonces
Esta ultima ig ua ldad es posible solo en los dos casos siguientes:
l ) au _ av
1
au au av av) I\ A
- - uxuy
( -ax -+
ay ax ay
au au+ av av = 0.
ax ay ax ay
tiende a cero. Elig iendo b.z-= b.xl obtenemos
lim b.w
t.z-o
=
b.u2 + b.v2
b. 2 b. 2 .
X+ y
2
funcion f
Riemann.
I
au = _ av . En este caso es diferenciable la
ay
ax
1
pues satisface las condiciones d e Cauchy-
au = -av
au
av
1 f
· - ,- 1
- - = - . En este caso es a unc10n
a
ax
ayl ay
ax
.
2) -
que satisface las condiciones d e Cauchy-Riemann.
I
De este modo, una d e las funciones
en el pun to z . .,...
f
o
1 es dife renciable
'Z4. Sea. f (_z) = u(x, y) 4 itJ(a:, y) una funci6n analitica~en
·una regton D . Demostrar que si 'V ~ E ;[) u2 uv + v2 = a
(q,.;= const)1 ebtqnces /1~ const en D.
•
conducen a las igualdades
au - au ax - ay d
to del dominio G.
~nvt~o~ ~o:tantes en Ia region
*
~ Soluci6n. Diferenciemos Ia identidad u 2 +uv + v 2
x y respecto a y . Obtenemos
au
av
ax
au
(2u + v)-a
ax
av
+ (u + 2v)-a
es constante en G ·
av = av = 0
ax
ay
.
Por consiguiente, las funoone~ .u
G, lo que significa que f tambien
.,...
= a respecto a
(2u + v)- + (u + 2v)- = 0,
y
(1 )
= 0.
y
Supongamos que existe un punto z 0 E D donde /'(z0 ) ::j:. 0.
Entonces el sistema de ecuaciones (1) respecto a Ins incognitas
2u + v y u + 2v tiene 'V z E O:o una unica solucion trivial, es
decir, u = v 0, lo 9ue contradice las condiciones del problema.
Por tanto, 'V zE D f (z) = 0, es decir, f(z) const en D . .,...
=
=
~
.•
5"1 f es diferenciabJe en el puntO Zo ,
S o l uclOn.
lim A/(zo, Az) = j'(zo), donde /'(zo) es el unico valor li-
~·-o
Az
d A
mite de dicho cociente cuan o
z
0 Supongamos ahora
-4
·
que f noes diferenciable en el punto zo. Dado que en este punto
son diferenciable las funciones u y v' entonces
!:if(zo, l:lz) _ Au(xo, Yo)+ i l:lv(xo, Yo) =
l:iz
/::iz
_ 2_ (
- Az
~ Soluci6n. Si
lf(z)l = 0 para todo z E G, entonces f( z ) = 0
en todo punto del dominio G, es decir, f (z) = const. Sean
lf(z)l C 'V z E G, C ::j:. 0 y f(z) = -u(x, y) +iv(x, y) 'V (x, y) E G.
En este caso, en la region G se verifica Ia identidad
=
2
2
u (x, y) + v (x, y)
=
2
C ,
la cual, en virtud de que 1(z ) = u(x, y) - iv(x, y), se puede
escribir como el producto f( z )1(z ) = C2 'V z E G. De Ia Ultima
ig ualdad se d educe que f( z ) ::j:. 0 para todo z E G, debido
-
a lo cual Ia funcion f (z)
.
c2
= -(f z)
es analitica en Ia region G.
Las condiciones de Cauchy-Riemann para las funciones
f
y
1
au(x0 , y0 ) l:ix + au(xo, Yo) l:iy + o(IAzl))
ax
ay
+
~ (av(xo, Yo) l:ix + av(xo, Yo) Ay + o(IAzl))
+ AZ
ax
=
ay
1
o(l!:izl)
A Z
u Z
=-(A Ax+ B l:iy) + ----;::-'
d onde au(xo, Yo)
A=
a
X
A
Como Ax =
. av(xo, Yo)
+t
u z + A z-
ax
I
B = au(xo, Yo) + i av(xo, Yo)
ay
ay
A-
A
_
A Z - uZ
.
, d espues de una sene
Y Y2i
2
de transformaciones sencillas obtene~o; o(!Azl)
Aj(z0 , Az) _A + B 1 _ + - - ,
__l:i_z
__ - 1
Az
Az
(1)
donde A 1 y B 1 son.ciertos numeros complejos. Como !:lz '
!:lz
entonces -
!:lz
.
= e- ''~',
2
= 1,
Amllogamente
OV
ov sen cp
-ax
= -av
cos cp-- - - ,
or
ocp 1'
cp E Arg !:lz. Escribamos Ia expresi6n (1)
en Ia forma
'
!:lf(Zo, !:lz) - A,
!:lz
= Bl e-i2'1' + o(J!:lzi).
av
av
av cos cp
- = - sencp+- - - .
oy
or
Ocp r
(2)
!:lz
Escribamos ahora las condiciones de Cauchy-Riemann:
o(J!:lzi)
au
au sen cp
-coscp-- - -
OV
av cos cp
= -sencp+--,
or
ocp r
Or
Ocp r
au
au cos cp
ov
av sen cp
-sencp+- - - = - - coscp+- - - .
Or
ocp T
Or
Ocp r
Teniendo en cuenta que lim - -- =0, para todo cp (O ~cp~ 27T)
6z--10
!:lz
fijo, obtenemos
A11 = JBd,
lim !:lf(zo, !:lz) 6z--~o
!:lz
o sea, todos los limites parciales del cociente
'
necen a Ia circunferencia 1
= {z E C:
Jz -
!:lf(zo, !:lz)
Ad= IBd} .
(2)
Multiplicando (1) por cos cp, (2) por sen cp y sumando las expresiones obtenidas, hallamos
au 1 ov
perte-
!:lz
(1)
11>-
or
(3)
=; 8cp
Multipliquemos ahora (1) por -sen cp, (2) por cos cp y sumemos
los resultados obtenidos:
1 au
av
; ocp = -or.
<Ill
(4)
De este mqdo, las ecuaciones de Cauchy-Riematm para la funci6n
= u + iv en coordenadas polares tienen la forma
f
Solucion. Utilizando la regia de diferenciaci6n de funciones
compuestas, tenemos
au 1 av - 1 au
----, -or
T Ocp
r Ocp
au
au ox au oy
au
au
-or = -QX -or + -oy -or = -QX cos cp + -oy sen cp
au
au ox au oy
au
au
- = - - + - - = - - r sencp+ - rcoscp.
ocp
ax acp ay ocp
ax
ay
av
or
(5)
I
au
au
Resolviendo este sistema respecto a - y - , hallamos
0x
ay
<Ill
Solucion. Dado que f(z)
= x2 + ixy = u + iv, entonces u = x 2 ,
au
av
au
av
. .
- = 2x, - = x, - = 0, - = y . Por constgwente,
ox
By
By
ox
au
av ·
au
ov
_ - {::} x = 0, = -{::} y = 0, es dectr,. las
ax
oy
8y
ax
condiciones de Cauchy-Riemann se cumplen s6lo en el punto
au au
au sen cp
- = -coscp - - - - ,
ox
or
ocp r
au au
au cos cp
- = -sencp+- - - .
By
or
ocp r
v
II
J a•. 36
= xy '
z
= 0. Por definicion
,
. · l(z)
. (x2 + ixy)(x 1 (0) = hm =
lun
z-o Z
:z:-0
X 2 + y2
iy)
y-O
.
= lun
~
x
3
-
2
ix y + ix 2y
x2 + y2
+ xy2
v1:tYf
p un t6 determinado. Como. Ia funcion u(x 1 y) =
no es
d iferenciable en el punto (01 0)~ no cumple una de las condiciones
del teorema mencionado. .,..
-
x 2 + ixy
= :z:-0
lim - --=X + iy
y-O
= :z:-o
lim x = 0.
Soluci6n. Escribamos la funcion 1: C ~ C en la forma l(z) =
u(x 1y) + iv(X1y). Entoncesl en el caso dado u = VlxYf~ v = 0.
Segun Ia definicion de derivada parcial de una funcion de d os
variables independientesl tenemos
8u(010)
. u(X10) - u(010)
-"'----= :z:-0
lim
= 01
OX
X
8u(010)
oy
= lim u(OI y) -
u (OI 0)
8v
Dad o que v := 01 entonces ox
sig uiente1 en el punto z
= O.
~ Soluci6n. 1) Sea l(z)
y
y- O
=
8v
oy
fll(z)
= 0.
Por con-
=
0 se cumplen las condiciofll(01flz)
nes d e Cauchy-Riemann. CalcuJando
obtenemos
fl z
=~
=
t::.I(O, fl z)
1 ya que fll(0 1fl z) l(z) - 1(0)
fl z
x +ly
flz = z- 0
x + iy. Si z
(x10) 1 x ~ 0, entonces fl z _, 0
fll(0 1t::.z)
y lim
0. Sea x ~ 0, x > 0 e y
x. Entonces
tl.z-.0
flz
fl z ~ 0 si x ~ 0 y fli(O~ fl z)
x
_, 1 - i De este
fl z
x(l + i)
-2- ·
=
=
=
flw
flu+ i flv
fl z
flx
+ i fly
flu flx + flv fly
flx2 + fly 2
=
(fl u + i flv) (flx- i fly)
---~--~---
flx2 + fly2
. flv flx - flu fly
+t
flw
flu flx + flv fly
Re flz =
flx 2 + fly2 '
= vlxYf~
=
= u(X1y) + iv(x~ y) 1 z = x + iy . Entonces
flx
2
+ fly2
I
Im _fl_w = flv flx - flu fly
flz
flx 2 + fly2
flw
Dado que lim Re --;:-- existel en tonces este limite no depende
tl.z-+0
=
uz
de como flz tiende a cero. Tomando flz = flx y flz = i fly 1
obtenemos
flw
flu
au
flv
av
lim Re =
lim - = - = lim - = fl. z-0
flz
fl.:z:_,0 flx
QX
fl.y->0 fly
8y I
· y 1a f unc10n
· · I no tiene
.
d en.va d a
modo, lim fli(O~ fl z) no eXISte
tl.z-+0
fl z
en el punto z = 0. Sefialemos que este hecho no contradice el
teorema d e diferenciabilidad de una funcion I: C -> C en un
es decir1
au
OX
I J•
8v
= 8y
<111
2) Razonando de forma amiloga, tenemos
!J.w
= lim -D..v
D..z . 6:z-O D..x
lim I m -
6z- O
av
-~u
au
= -ax
= 6y-O
lim - - = -~y
ay
Soluci6n. 1) Tenemos:
, = I(ezad +- d)be I= 1,
lw (z)i
2
I
de donde
es decir,
au
av
ay =-ax"
lad -
bel = iez + dj 2,
o bien
3) Sean u y v funciones diferenciables y supongamos que
D..w
~
~
= -.
~~
D..z
~
~
Los incrementos D..u y D..v de las funciones diferenciables u y v
= {z
existe lim Re - . En este caso, segun lo demostrado, -
De este modo, el conjunto Z
tienen la forma
cs Ia circunfe re ncia de radio
au
au
av
av
D..u=- D..x+- ~y+o(ID..zi), D..v= -a D..x +- ~y + o<l~zi).
ax
ay
X
ay
=
D..u D..x + D..v D..y
D..x2 + D..y2
1
= D..x2 + ~y2
D..w
D..z
lim Im - . Por cuanto
6z-o
8v)
+ ax =
f
au
y centro en e l punto
2) Segtin las condiciones del problema, arg w'(z) = 0, es
decir, arg (ad- be) - arg (ez + d)2 0, de donde
=
(cz + d) =(ad- be)r ,
2
r
> 0.
Asf,
I
d -/ad- be
z = -- +
t, -oo < t < +oo.
e
e
El conjunto Z es Ia recta definida mediante Ia ecuaci6n (1).
au
av
y como - = - , resulta
ax
ay
Re D..w = au + (au + av) D..x D..y + (~x + ~y) o(ID..zl) _
D..z
ax
ay ax D..x2 + ~y2
~x2 + D..y2
D..w
La existencia del limite de Re D..z (cuando D..z --t 0) igual a
I
viad- bel
lei
d
(au
2
- D..x +
ax
· + 8v
av) D..x D..y + (D..x + D..y) o(iD.. zi))
ay D..y2 + (au
ay + ax
au
(au
ax implica que ay
I
z= -- .
c
Entonces
D..w
ReD..z
z + ~1 = vlad- bel
lei . .
l e
dl viadE C: z + ; =
lei bel }
(1)
..,..
av
0, es decir, ay = -ax =
cumple las condiciones de Cauchy-
Riemann en el punto z, la funci6n
punto. ..,..
f
es diferenciable en dicho
<111
Soluci6n. De las condiciones del problema se deduce que la
imagen de Ia curva -y 1 mediante la aplicaci6n f es el arco de
circunferencia r = { w E C: lwl = lw(zo)l} y la imagen de la
curva 1 2 es un segmento de Ia semirrecta de pendiente arg w(z0 )
que sale del origen d e coordenadas. Por consiguiente, las imagenes
de -y 1 y 12 forman al cortarse en w(zo) un angulo recto, lo que
implica que las curvas -y1 y 12 ta mbien se cortan en el punto zo
formando un angulo recto. ....
I
Sea lz - af ~b, a = a 1-+ ia2, b > 0, Ia ecuaci6n de
Lineas poteQciales. Hallar la velocidad y el potepcial complejo
f(it_ del flujo del Uquido.
<IIIII
Sol uci6ri. Tenemos:
o bien Re In (z - a)
Soluci6n. Aplicando Ia formula demostrada en el ejemplo anterior, obtenemos
<IIIII
In lz -
ai =
In b = const,
= const. Consecuentemente,
1
v = f'( z) = = ;
f( z) = In (z- a),
z-a
v(2a) =
J-L(G)
=
1
JJ
l3z
22
1
dx dy
= p cos <p,
Tomando x
y
= p sen <p,
r /4
J-L(G) = 18
Re f
-
= f( z) = u + iv, zE D, wE G.
= u = u(x, y),
= v = v(x, y)
Im f
{1)
transforman de modo biyectivo Ia region D sobre G (v. p. 4.4).
Del curso de amilisis matematico se sabe que Ia medida (el area)
de un conjunto de Jordan G se calcula mediante Ia formula
J-L(G)
=
1} I- -
D(u,v)l
dx dy,
D (x, y)
(2)
D
donde D (u, v) es el jacobian o de Ia aplicacion (1). En el p. 4.4
D(x, y)
I~~::~~ (x, y)
se demoslTo que
J-L(G) =
JJ
D
2
IJ'(z )l dx dy.
.,.
I
=
If' (z)l 2 .
Por consiguientc,
2 2
) .
7r
tenemos
7r
-4 < <p < 4'
=p,
2
JJ
d<p
0
w
y
< p < 2,
D(p, <p)
+ iy,
2
D
D(x, y)
Soluci6n. Scan z = x
Entonces las funciones
JJ(x +
D
-=·
.,.
a
1
<IIIII
=9
I
7r 1
/ dp = 18 · - · -p
4 6
61p=2 =
p=l
1897r
-.
4
e
Ejercicios
1. Simplificar las expresiones
a)
~+ ix
+x2
(xER)·
x- iv'l
b)
z 2 - iz -1
'
·s
si z = e'
2iz
2. Demostrar que para todo ntunero complejo z :f. 0 existe un Unico ntunero w tal que
lwl = klzl (k > 0) y arg w = - arg z. Hallar ese numero.
3. Dcmostrar que, para todo m E R, el numero complejo
Io-g -2m
---::-3
log 2(m2 -13m + 44)- 2 + i-J'""
no puede ser imaginario puro.
4. Demostrar las identidades siguientes:
2
2
2
2
a) lzt + z2l + lz t - z2l
2(1zd + lz2l );
2
2
2
2
b) 11 - z1z2l - lzt - z2l
(1 + lz1z21) - (lzd + 1~1) ;
=
=
c) lz +
2~~
2
~~ - (1 + i )lzl2 - ~(1
4 + i) = z;
2
+ i lz ..+ 2
d)
e)
f)
g)
II
II
I
11. Sean b E lR, a E C y a :j::. 0. Demostrar que
2
1
z2- z3 = lzd + lz21 si z1z2 = z 2;
-z +- z + ZJ + -z, +3
2
2
~
n
k
1+;
12
I 12=
+~
I .
k
1- ;
n
2nz + 9n + 1
~
2
a) Ia distancia del o rigen de coordenadas a Ia recta az + az = 2b es igual a
.
= n, 11 E N;
si lz 1
.
b) Ia distancia de un punto Zo E C a Ia recta iiz + az = b es igual a
z 1z2 + z 2z 3 + z3z 1
= r , 5 1 lzd = lz2l = lzJ I = r ;
z 1 + Z2 +z3
I
TI
n-l (
· 2h
z,
)
Zz
IZJ
k=l
5. Demostrar Ia igualdad
k=l
-
1
donde zk (k = 1, n) y z0 son numeros complejos arbitrarios y z = -
n
2: zk.
n
lndicaci6n. Utilizar Ia relaci6n
Zt - Z2
Z2- ZJ
ZJ- z 1
2
2
2
lzJ -z. l Re - - + lz, -z4 1 Re - - +l z2 -z41 R e - - = 0.
~-~
D
t es un numero real;
1 +z
b) todo numero real a puede representarse en Ia forma a= i - - , donde z es un
1 -z
numero complejo tal que lzl = 1 y z :j::. 1. _
9. Representar en forma trigonometrica el numero z = (1 - cos a + i sen a:)", d onde n
es un numero entero distinto de cero.
sen x
sen 2x
sen nx
Sn = 1 + - - + - -+ ... + - - ,
sen x
sen2 x
senn x
cos x
cos 2x
cos nx
Un = 1 + - - + - -2 -+ ... + -- .
sen x
sen x
senn x
Indicaci6 n . Calcular Un + i(Sn - 1).
~2
111 = 0.
ZJ
1
liTo- zk)l ~ t
1-
lzd.
k= l
1.5. Demostrar que
2
a) 11 + z21 ~ 2(Rez) 'r/ z: - 1 ~ Rez ~ 1;
z1
Rez, -lzd
b) Re - - . ~
, si z 1 E C, z2 E C, Re z 2
z2 + tl
2 Re z2
> 0.
16. Resolver el sistema de ecuaciones
3
5
=
z +w
0
{ z 2 • w4 = 1.
~-~
8. Demostrar que
10. Hallar las sumas
.z,
k= l
7. Sean z 1 , z2, z3 y z4 cuatro ntlmeros tales que z 4 no coincide con ninguno de los
.
,
Zt - Z2 Zz- ZJ z3 - z 1
tres restantes. Demostrar que s1 dos de los tres numeros - - - , - --, - -z3- z4 z 1 - z4 z2 - z 4
son imaginaries puros, el tercero tambien to es.
1 + it
a) si z :j::. - 1 y lz l = 1, entonces z = - . , donde
1 - tl
.
IaI
14. Demostrar que 'r/ (n. E N, zk: izk I < 1) se veri fica Ia desigualdad
k=l
6. Definamos w(z) = z 2 + 2z + 5 para todo lz l < 1. Demostrar que
w( z 1) = w(z2) ¢? z, = Z2.
~-~
.:..__........,...~---.:
13. Sean z 1 , z 2 y z3 los vertices respectivos de un triangulo ABC inscrito en una
circunferencia unidad. Demostrar que AC = A B (es decir, el triangulo es isosceles)
Si, y SOlO Si, z? = Z2Z3.
2 1 ~
2
- LJ izo- zki = lzo - z l + - LJ izk - zl,
11
n
2
k=l
lbl;
IaI
IReaz0 - bl
12. Demostrar que tres puntos z 1, z2 y z3 se encuentran en una recta si, y solo si,
e'n- 1 =(- 1)"- 1 - n(n EN).
1~
2
17. Demostrar que las rakes de Ia ecuaci6n de segundo grado az 2 + bz + c = 0, con
a, b, c reales y discriminante negative, son complcjas conjugadas.
18. Demostrar que las rakes z 1 y z2 de Ia ecuaci6n z 2 + 2pz + q = 0 (p E C, q E C,
q :j::. p 2 ) se encuentran en una recta que pasa por el origen de coordenadas si, y s6lo
si, p = 0, o bien p :j::. 0 y ;
E R y ; 2 '< 1.
19. Hallar el conjunto de puntos z del plano complejo C que satisfacen las condiciones
sigu ientes:
a) lz - al R;
b) Re z + Im z
1;
c) argz =a:, a:E(-11',11');
=
d)
l +t I
=
z-.i = 1;
z
e) Rc (z
2
Z)
-
= 0;
f) lz - il + lz + il
g) Re (1 + z)- lz l
= 4;
= 0.
26. Demostrar que los puntos limites de Ia sucesi6n (c.. ), donde
20. Escribir en forma compleja las ecuaciones de las lineas siguientes:
a) xy 1;
2
b) x + (y + 1)2 = 1;
=
e)
Zn =(a+ {J)Zn- l - o:{Jz,._z
Oemostrar que lim z,.
n-oo
I
z~
z+ 1
c) a < Rez < b;
11 1;
1
d)
1
lim Zn
n-co
1
real arbitrario,
a) demostra r que
<- .
aplicaci6n
2
-
iz - 1
iz
,z
2
32 Para Ia aplicaci6n w
·
25. Ha Uar:
n
Demostrar que
~
cp
~ ~4 }
mediante Ia
1
= ~ (w = u + ;v• ' z =x + iy) hallar:
=
= 1;
= 1;
=
=
2
E R: 0
{ "'
r
=
=
=a (a> 0);
(n (1- cos ~)
Zn+ t.
'
= e'~'· Y cp es nn numero
f.
=
=
c) lz - il a (a > 0);
d) lz - 2ail a (a > 0).
n-oo
=z
a) las imagenes de las lineas siguientes:
1) X = C;
2) y = C;
3) X+ y 1;
4) arg z a; 5) lz + il = 1; 6) Y = lxl;
b) las imagenes de los conjuntos siguientes:
7) Ia franja comprendida entre las rectas x 0 y x
8) Ia franja comprendida entre las rectas y 0 e Y
c) las preimagcnes de las lineas siguientes:
9) u C; 10) v = C .
24. ;.Para que valores del parametro a las siguieRtes circunferencias en el plano
complejo C corresponden a circulos maximos de Ia esfera de Riemann:
a) lz - al a (a > 0);
a) lim
1
+
f es una fnn ci6n real de cp;
. w
31. Para Ia aplicacion
=
=
C _, C, donde f (z)
b) hallar Ia imagen d e I segmen to -v, -_
2
23. De mostrar que dos pnntos A(z 1) y A(z2 ) de Ia esfera de Riemann distintos de
0 y N son diame tralmente opuestos si, y s61o si, los puntos z 1 y z2 del plano C
satisfacen Ia condici6n z 1z2 - 1.
lz- il
f:
1r
22. Entre los numeros complejos z que satisfaccn Ia condici6n lz - 25il ~ 15, haUar
ague! cuyo valor principal del argumento es minimo.
b)
1
Zn-1
29. Demostrar que si dos regiones D 1 ~. D 2 del plano C tienen un pun to comlln,
entonces n, u D 2 tambien es una reg10n.
4 < Re i + Jm i < 2;
i -z
e) 0 < a rg -.l +z
It 71 ~ 2.
=0.
30. Dada una funci6n
1
e-• } ·
= 0.
2
28. Sean z, = a, Zz = b (a i: 0, b i: 0, a i: b) y z,. =
21. Hallar el conjlmto de pnntos z del plano C dcfinid os mediante las cond iciones:
a) r· < lz - z0 1 < R;
b)
e•
-J. {J , Ia I < 1, lfJI < 1) dos numcros complejos dados. Dcfinamos Ia
a y {J (a rsuccsi6n (z.. ) de modo recurrentc:
2
2x + 1;
=
1
p =
.
1 +cos cp
J~
= fJ (1 + ~), se
27. Sean.
1
= -;
c) x 2- y 2
d) y 2
cncuentran en Ia circunferencia 1 = { z E C: lzl =
Cn
+
i ( v'n2 +
1- vn )
b) n-oo
lim (1 + 2z + 3z 2 + ... + nzn-1 ) si lzl < 1.
sen .!.);
n
= zz - 4 hallar las preimagenes de los conjnntos s iguientes:
1
a) W = {w E C: lwl < 2};
b) W ={wE C: lwl ~ 1}.
· · n w -- zz + 2z + 3 es de una hoja en el drculo K
33. Demostrar que Ia f nncw
lzl < 1}.
= {z E C:
34. Describir las curvas y construir s us grMicos.
=z
a) z
b) z
+ o:ei1 + (Je-i1 (0 ~ t ~ 1r;
= atei1 0 ~ t < +co~ a E JR;
c) z
= t 2 + t2
- 0 < t < +oo·
d) z
0
o: E R~
fJ
=
I
= (o: + (J)e'
; !!:±1!.1
1
- (Je fJ
donde 0
=
= -,-
i
.1
=
= -,-
(Bv Bv) de las f_unciones u y v . Demoslrar
Bu Bu )
gradientes 'ilu
( Bx By y 'il v
Bx By
que las condiciones de diferenciabilidad de f (z ) 1 z E IC1 se escriben de Ia forma
1
I
=
38. Sean u
u(x~ y) y v
v(x~ y) dos funciones diferenciables en una region D .
Sea l (x + iy) u(x, y) + iv(x, y) para todo z
x + iy E D . Introduzcamos los
E JR);
< t < +co~ 0: fJ son cons tantes positivas.
1
35. Hallar los limites siguicntes (si existen):
zz
siguiente:
=
{'ilu, 'ilv) = 0, l'ilul l'ilvl,
donde ('ilu, 'ilv} es el producto escalar de los gradientes, y l'ilul, l'ilvl son sus
longitudes.
2
xy (x + iy)
a) lim --.;
z-i Z - t
39. Demoslrar que Ia funcion f( z)
z- 2i
b) l i m --. ;
+
z-oo Z
entomo d eI punto z
2t
z2 + 1
d) lim - 4.- ;
z-i z -1
z-oo Z -
a) l(x
z;
:--1
z
h) lim=;
z-o z
= Im z;
. 't I' f( z)- /(0)
= 0 y que Ios Itmt
es tm
z-0
Z
~
es continua en un
= 0,
d
. d
cuan o z hen e a cero a
I
no es diferenciable
+ iy) = x + ~
+ i (y X +y
b) f (z)
= lz l2 + 2z;
c) f (z)
lzl + z
=-.
2
~)
;
X +y
X+ iy
{ 01
1
=
=
=
37. Sean u = u(x y) y v
v(x~ y) dos funciones diferenciables en una region D. Sea
l(x + iy) u(x~ y) + iv(x~ y) para todo par (x y) E D . Demostrar que para que Ia
funcion 1 sea diferenciable en el punto z0 x 0 + iy0 E D es necesario y suficiente
que Ia expresion du(xo~ Yo) + i dv(x0 y0) sea proporcional a dz dx + i dy.
=
1
1
1
44. Reconstruir las funciones analiticas I si
a) u x 2 - y 2 + 2x, f(i ) -1 + 2i;
b) v ez seny +2xy +Sy, f(O) 10.
z
1
=
=
si x 6 y son racionales1
si x de y son irracionales.
= z2 +4;
w = tg (arg z ).
=
42. Demostrar que si las funciones I y g son analiticas en un punto z0 y f (z0)
6
,
. f(z)
/'(zo)
1 +z
g(zo) = 0, pero g (z0) :j: 0, entonces ltm - () = ,---() . :t:Jallar liD! - 10 .
z-zo g z
g Zo
•-• 1 + z
=
=
43. Sea 1 una funci6n analitica en un dorninio D u = ReI v Im I . Demostrar
que en los puntos donde /'(z) 0 las lineas u
const se cortan con las lineas
v const perpendicularmente.
= z;
d) w
e)
Z
raices de su derivada P'(z) pertenecen a ese mismo circulo.
36. Investigar Ia continuidad de las funci ones siguientes en sus dominios:
c) w =
Sl
41. Sea P (z) un polinornio cuyas raices se encuentran en un circulo. Demostrar que las
i) lim (Re z)2
z-o Imz .
a) w
0,
0
40. Investigar Ia analiticidad de las funciones siguientes:
g) lim arg z;
b) w
.
s : z :f:.
1
=
lim(~
x + y +2i) ;
:-t- i
{
+ y4
lo largo de cualquier recta existen y son iguales, sin embargo,
en el punto z 0.
z-o
f) lim
x2
t
2
z +1
c) l i m - -.;
e)
=
1
=
=
=
=
I
r
~apitulo
3
Funciones elementales
en el plano complejo
coinciden. Prolonguemos Ia funci6n w en todo el plano complejo
ampliado C, tomando w(z1) y w(oo) iguales a los valores lirnites·
de w en dichos puntos:
a
w(z !) = oo, - w(oo) = -.
c
Entonces la funci6n homografica se hace continua en tC y se
obtiene una aplicaci6n continua de C sobre C. Despejemos z
considerando (1) como una ecuaci6n de z . Obtenemos
dw+b
z=---,
cw
-a
(2)
que tambien es una funci6n homografica, pero definida en el
a
plano C, pues, conforme a lo acord ado, z = oo para w = c
En este capitulo se consideran funciones elementales de va riable compleja, sus propiedades y las transformaciones conformes
realizadas mediante elias.
§ 1. Funciones homograficas
y sus propiedades
donde a E C,_ b E C, c E C y d E C verifican Ia condid6n
ad- be i= 0. D1cha ~ondici6n evita que de Ia funci6n (1) degenere
en una constante. S1 c 0 y d i= 0, Ia funci6n (1) se convierte en
una funci6n lineal:
=
w
=
a
b
dz + d = Az + B .
La funci6n homogrcifica w esta definida en todo z E C salvo
d
en los puntos Z1 = - ~ y z2 = oo. Si c = 0, estos puntos
d
y z = -- para w
c
= oo. Asf hemos llegado a[ teorema siguiente.
Teorema 1. Toda funci6n lromografica (1) es una aplicaci6n homeomoifa
(es decir, biyectiva y continua) de C sobre C.
La derivada de la fund6n homografica
dw
ad - be
-=
dz
(cz + d)2
es finita y distinta de cero para todo z E C\ {z~< z2 } . Por tanto, Ia
aplicaci6n homografica w es una transformaci6n conforme para
todo z E C \ {z 1, z 2 }. Para establecer que es conforme tambien
en los puntos z 1 y z2, introduciremos el concepto de angulo en
el punto del infinite.
,
Definicion. Por angulo en el punto z = oo entre dos curvas -y1 y -y2 que
pasan por el infinito y que tienen tangentes a sus imagenes en la esfera de
Riemann en el polo N, se entiende el angulo entre las imagenes r 1 y r 2
1
de estas curvas mediante Ia aplicaci6n z .-. - = Z en el punto Z = 0 (con
z
la condici6n de que existan las tangentes a rl y r2 en z = 0) (fig. 29).
d
Sean -y1 y -y2 dos curvas que pasan por el punto z = -c
y que forman al cortarse un angulo a (se supone que cada una de
Toda aplicaci6n homografica es confonne en todo
v
C.
Mediante una comprobaci6n d irecta se puede demostrar que Ia composici6n de aplicaciones homograficas es una
aplicaci6n homografica. Asf pues, llegamos a Ia afirmaci6n
siguiente.
u
Teo rema 3. El conj111zto A de todns Ins nplicaciones homograficas forma
gmpo respecto n Ia composici611 de aplicncioncs.
w1
X
El teorema se demuestra comprobando directamente los
axiomas de grupo (Ia asociatividad y Ia existencia de Ia unidad y
del elemento inverso).
Fig.29
las curvas tiene ta ngente en z ). Sus imagenes r j y r ;i mediante
Ia aplicaci6n (1) pasaran por ei punto del infinito. El ang ulo entre
las ultimas en ei infinito es igual, por definicion, a) ang ulo entre
1.2. Propiedades geometricas
de las aplicaciones homograficas
sus imagenes f1 y f 2 mediante Ia aplicaci6n W =..!.__ Dado que
.
w
W= cz+ d
az + b'
Consideremos cuatro casos partkulares de aplicaciones homograficas:
(3)
1) traslaci6n paralela en un vector h
las curvas f1 y f2 p ueden considerarse como imagenes de 11
y / 2 mediante Ia aplicaci6n homogrclfica (3), cuya su derivada
dW
dz -
-
w =z +h;
be- ad -
2) giro en un angulo B alrededor del origen de coordenadas
(az + W
w = e z;
i9
t>
es distinta de cero en el punto z = -
~; es decir, Ia aplicaci6n (3)
3) aplicaci6n de semejanza con raz6n de semejanza r
(r > 0) y centro de semejanza en el punto z = 0
c
es una transformaci6n conforme en ei pun to z
=- ~
y ei angulo
entre ft y f2 en ei punto W = 0 es ig uai a a. Por co~siguiente, el
angulo entre r~ y f~ en el infinito es ig ual a a. Asf pues, hemos
demostrado que Ia aplicaci6n (1) es una transformaci6n conforme
d
en ei pun to z = --. El caracter conforme de Ia aplicaci6n (1)
c
en el p u_nto_z = 00. se demuestra analogamente, aplicando los
razon: ffilentos anten ores a Ia funci6n inversa (2) en el punto
w
w
= rz;
4) apiicaci6n inversa
1
W -- -
z
.
Demostremos que toda aplicaci6n homografica se puede
obtener como resultado de una composici6n de aplicaciones
= ~ . Como resultado, hemos obtenido el teorema siguiente.
12 Jn
. J6
que es una ecuaci6n del tipo (2) y, por consiguiente, determina
una circunferencia en el plano·C. .,..
pertenecientes a los cuatro casos enumerados anteriormente:
ad
az+b
a
b- ~
a
w = - - = - + - - = - + w4
cz+d c cz+d c
1
(
w4= b- - = b- w3
c cz+ d
c
1
1
w3 =- - = cz+d w2
w 2 cz + d =w1 + d
( ad )
ad )
(traslaci6n para lela);
Para enunciar Ia segunda propiedad geometrica de las
aplicaciones homograficas, definamos el concepto de puntas simetricos respecto a una circunferencia.
(aplicaci6n de semejanza y giro);
(aplicaci6n inversa);
=
(traslaci6n para lela);
(aplicaci6n de semejanw1=cz
za y giro).
Vemos que las propiedades inherentes a las cuatro aplicaciones indicadas se pueden trasladar en alg unos casos a las
aplicaciones homograficas generales. Como una consecuencia obtenemos, por ejemplo, Ia propiedad circular de las aplicaciones
homogr<Hicas.
Definicion 1. Se dice que dos puntas z y z • son simetricos respecto a una
circwiferencia (de rad io fmito) en C si estos se encuentran en una misma
semirrecta que sale del centro Zo de Ia circunferencia, y el producto de
sus distancias hasta el centro es igual al cuadrado del radio R 2 de dicha
drcunferencia (fig. 30).
Tenemos:
arg (z-zo) = arg (z* -Zo),
lz- zollz*- zol = R
circunferencia en C en tma circunferencia en C, donde por circunferencia
en C se entiende cualquier circunferencia o recta en el plano complejo.
0
= ___!!!____ ei
forma
Azz + B 1z + C 1z
+D
= 0,
z*
(2)
A +B1w + C1w +Dww = 0,
w
0
X
Fig.30
de donde
En particular, para Zo
=
Entonces obtenemos
=
= =,
z - Zo
(1)
(1} en Ia
1
1
donde B 1 2(B - iC) y C1 = 2(B + iC) .
Para obtener Ia ecuaci6n de Ia imagen de Ia circunferen1
cia (2) mediante Ia aplicaci6n inversa, tomemos en (2) z = - .
arg (z-ZQ)
lz - zol
R2
- lz- zole-iarg (z-Zo) R2
Demostraci6n. Para los giros, traslaciones y aplicaciones de
semejanza Ia propiedad circular es evidente. Demostremos su
validez para Ia aplicaci6n inversa.
Toda circunferencia en el plano C se puede determinar
mediante Ia ecuaci6n
A(x2 +y2)+ Bx+Cy+D=O.
Tomando z = x + iy , z = x- iy, escribamos
z*
,
z•- Zo =
Teorema 1 (propiedad circular). Toda aplicaci6nlzomografica transfonna una
~
2
y
= z0 +
(3}
1
= 0, R = 1 se tiene z* = ::z
Definicion 2. Se dice que dos puntas z y z* son simetricos respecto a
una recta (es decir, respecto a una drcunferencia de radio infinito) si se
encuentran en una misma perpendicular a dicha recta y a igual distancia
de ella, pero en !ados diferentes.
12•
r
simetrfa respecto a Ia circunferencia se convierte en la simetrfa
ordinaria.
El teorema demostrado perm.ite dar otra definicion de
puntos simetricos.
Demostremos Ia propiedad principal de los puntos simetricos que los caracteriza por complete.
Teorema 2. Pam que das puntas z y z* sean simetricas respecta n una
circunferencin r es necesnria y suficiente que tadn circunferellcia 1 C C que
pase par elias sea ortagannl a r.
~
Demostracion. Necesidad. y
Sean z y z* dos puntos simetricos respecto a una circunferencia r y sea 1 una
circunferencia arbitraria que
pasa por z y z* (fig. 31).
Tracemos por el punto z 0 una tangente a Ia circunferencia 1. conforme a
un conocido teorema del
_
curso de geometria, el cuadrado de Ia longitud del 0 1
X
segmento I( - z0 12 de esta
Fig.31
tangente es igual al producto de las longitudes del segmento lz* - z0 1de una secante por
2
el segmento lz- zol, es decir, I(- zol = lz- zol lz*- zol. Dado
que z y z* son simetricos respecto a r, entonces I( - z0 1= R.
De este modo, el segmento de Ia tangente a 1 constituye el radio
de Ia circunferencia r es decir, I es ortogonal a r .
Suficiencin. Sean z y z* dos puntos con Ia siguiente
propiedad: cualquier circunferencia 1 que pasa por estos puntos
es ortogonal a r. Entonces tenemos que:
I
1) los puntos z y z* se encuentran en una misma semirrecta con vertice en el centro Zo de Ia circunferencia r (pues en
calidad de 1 se puede tamar una recta que sea ortogonal a r y
que, por tanto, pase por el centro zo de Ia circunferencia r);
2
2) lz- zollz*- zo l =I( - zol = R 2, es decir, los puntas
z y z* son simetricos respecto a r. ~
De la propiedad establecida de los puntas simetricos se
deduce que si Ia circunferencia r degenera en una recta, Ia
Definicion 3. Dos puntas z y z* se denominan simetricas respecta a una
circunferencia r en el plano C si toda circunferencia 1 que pasa por estos
puntos es ortogonal a r.
La aplicaci6n z ...... z* se denomina inversion.
Teorema 3 (de invariancia de los puntas simetricos respecto a una aplicaci6n
homogratica). Tada aplicnci6n lzomagnifica ltnce carrespander n cada par
de puntas z y z* simetricos respecta a una circrmferencin r c
!Ill par
de puntas w y w* simetricas respecta a Ia circunferencin r• imagen de
In circunferencia r mediante Ia apli~aci6n dada.
c
~
Demostracion. Tracemos por los puntas w y w* una circunferencia arbitraria 1•. Segun el teorema 2, su preimagen 1 en el
plano z es ortogonal a Ia circunferencia r. Debido al caracter
conforme de Ia aplicacion homografica, las circunferencias 1• y r•
son ortogonales. Por consiguiente, segtin el teorema 2, los puntas
w y w* son simetricos respecto a r•. ~
0
1.3. Isomorfismos y automorfismos homograficos
La formula
w
= az+b
(1)
cz+d
que define Ia aplicaci6n homogrcifica L: z -+ w contiene cuatro
parametres complejos a, b, c y d. Pero en realidad, Ia aplicaci6n (1) depende de tres parametres, pues el nurnerador y el
denominador de (1) pueden dividirse por uno de los cuatro parametres (distinto de cero). Por tanto, es l6gico esperar que toda
aplicaci6n homogrcifica transforme de un modo Unico tres puntas
dados en otros tres puntos dados.
Para tres puntas diferentes cualesquiern z 1 E C, z2 E C y
z3 E C, y tres puntas cualesquiern tambien diferentes w 1 E C, w E C,
2
w3 E C, existe una z/nica aplicnd6n homografica L tal que L(zk) = wk
Teore~a 1.
(k = 1,2,3).
C y wk E C (k =
1, 2, 3). Consideremos dos aplicaciones homograficas L 1 y L 2 que
transforman, respectivamente, los puntas z 1, z2, z 3 y w 1, w 2 , w 3
en los puntas 0, oo, 1 del plano (:
Z - ZJ
z 3 - z2
W - W J WJ - w 2
L1: ( = - - · - - , L2: ( = - - ·
.
~ Demostraci6n. Existencia. a) Sean zk E
Z -
Z2
Z3 -
ZJ
W -
W2
WJ - WJ
Obviamente, la aplicaci6n L = L2 o L 1 es Ia que se busca,
L = w(z), w(zk) = w~;. Su forma explicita se puede obtener
a partir de la relaci6n
1
Z-ZJ
ZJ-Z2
W-WJ
WJ-W2
--·---=---·
(2)
Z - Z2
z3 - Zt
W - W 2 WJ - w 1
b) Si un punta z; o bien Wj (o bien z; y Wj a Ia vez) (i, j =
1, 2, 3) se encuentra en el infinito, la formula (2) sigue siendo
valida. En este caso tan solo se requiere sustituir por Ia unidad el
numerador y el denominador de Ia fracci6n donde aparece este
punta (pues cada uno de los puntas zk y w~; figura en (2) dos
veces: una vez en el numerador y otra vez en el denominador).
Par ejemplo, sea z 1 = w 1 = oo. En este caso (2) toma Ia forma
z- z2
w- w 2
Unicidad. Supongamos que ademas de Ia aplicaci6n L
existe otra aplicacion homogrcifica >. tal que >.(zk) = wk. Consideremos Ia aplicacion homogrMica L = L 2 o >. o L] 1 que deja
inmoviles los puntas 0, oo y 1. Evidentemente, L(oo) = oo
implica que L(z) = az + b; L(O) = 0 implica que b = 0 y
L(1) = 1 implica que a= 1. Por consiguiente, L(z) = z, es decir,
1
L2 o >. o L] = E, donde E es la aplicaci6n identica, de donde
resulta >. = L21L 1 = L. ..,..
Corolario. Toda circunferencia 1 C C se puede transfonnar ell otra circunferencia cualquiera 7* C C mediante una aplicaci6n lzomografica.
En efecto, para ella es suficiente transformar tres puntos
de Ia circunferencia 7 en tres puntas de Ia circunferencia 7*.
Utilizando Ia propiedad circular de Ia aplicaci6n homografica y
el hecho de que tres puntos definen Ia circunferencia de modo
linico, nos cercioramos de Ia validez del corolario.
Una aplicaci6n homografica de una region D en otra region D* se denomina isomoifismo lwmogrtifico, y las regiones D
y n• se dice que son homograficamente isomoifas.
Denominaremos cfrculo toda region K C C cuya frontera
es una circunferencia en C. De este modo, por cfrculo puede
entenderse un circulo en el sentido comlin, o el exterior de
este drculo, asi como un semiplano. Toda circunferencia 7 del
plano z divide C en dos circulos K 1 y K 2 . A su vez, Ia
circunferencia -y• = L(;) del plano w divide C en dos circulos
Kj y K~ . Partiendo de consideraciones topol6gicas vemos que
son posibles dos casas: a) L(K1) = Kj, L(K2) = Ki; b) L(K!) =
K i, L(K2) = K j.
Para aclarar cual de estas dos posibilidades tiene Iugar
en un caso particular, es suficiente hallar Ia imagen de cualquier
punta del drculo K 1 (o del circulo K 2 ). Se puede utilizar tambien
Ia denominada regia del recorrido que consiste en lo siguiente.
Fijemos en Ia circunferencia 7 tres puntas z 1 , Z2 y z 3 •
Denotemos mediante w 1, w2 y w 3 sus imagenes respectivas.
Es evidente que al indicar sucesivamente tres puntas en una
circunferencia determinamos univocamente el sentido de su recorrido. Utilizando Ia propiedad de las transformaciones conformes de conservar los m6dulos y los signos de los angulos,
se- puede demostrar que si las circunferencias 7 y 7• se recorren en los sentidos determinados por los puntas z; y wi
(£, j = 1, 2, 3}, las regiones que se transforman una en otra se
colocaran a un mismo lado. Ahara es facil demostrar el siguiente
teorema.
Teorema 2. Dos drculos cunlesquiera en el plano C son isomorfos mediante
una aplicaci6n homograficn.
Hallemos, par ejemplo, todos los isomorfismos homograficos del semiplano superior z+ = {z E C Im z > 0} en un circulo
unidad K ={w E C: lwl < 1}.
Sea a (Im a > 0) un punto del se mi plano superior z+ que
mediante una aplicacion homografica se transforma en el centro
w
0 d e l drcu lo J{. Entonces, el pun to ii se tra nsformara, d e
acuerdo con Ia propiedad d e inva ria ncia de los puntos simetricos,
en el p unto w = oo que es sime trico a! punto w = 0 respecto a
Ia circunferencia "( = { w E C: lwl = 1} . La aplicacion buscada
tie ne, evidente mente, Ia forma
=
z- a
=k-.
z - ii
lz- al = lz- iii.
w
=
(3)
Si z
x, se tiene
Para que el eje Ox se
transforme en
circunfe rencia unidad, es necesa rio que lkl
1,
es decir, k
e' 0 .
Asf pues, todos los isomorfismos homograficos del semiplano superior z+ en un d rculo unidad se de terminan mediante
Ia formula
=
!a
illz- a
w = e --_,
z- a
=
l.
Ha1Iar la imagen del eje Oy meOiante. Ia aplicacion
+ ia .
-z +..sa
z
•
I
a
i= 0,
aEIIl ·
=
=
..,. Solucion. Tenemos w(O)
1, w(oo) = - 1, w(ia)
oo. Eviden- ·
teme nte, los tres puntos - 1, 1 e oo d el plano w determinan e l
eje real. ..,.
(4)
donde a es un punto arbitrario d el semi plano superior (Im a > 0)
y 8 es un nWnero real a rbitrario. Ademas, w(oo) = ei8 •
Asi queda de mostrado que todo el conjunto de isomorfismos homograficos d e l semiplano sup erior en un drculo unidad
depende d e tres parametros reales: 0, Rea y Im a.
Un isomorfismo homografico de una region en sf misma se d e nominara nutomorfis mo lwmogrtifico. Es evidente que
el conjunto de tod os los automorfismos homograficos forma un
grupo que es un subgrupo del grupo A de todas las aplicaciones
homograficas. Por eje mplo
1)
IJ Problemas resueltos.
=
=
=
-5- 2i, w(z2) 5- 2i, w(2i) oo,
..,. Soluci6n. Dado que w(z 1)
entonces Ia imagen de Ia recta y
2 que contiene el segmento
dado sera Ia recta Im w = - 2. El segmento finito [zJ, z2J se
tra nsforma en un segmento que contiene e l punto del infinito y
cuyos extremos son w 1 = -5- 2i, w2 = 5- 2i. ..,.
=
:! conjunto de todos los automorfismos homogrcificos d e
C coincide con A,
2) el conjunto de todos los automorfismos homograficos de C
coincide con el subgrupo de aplicaciones lineales (enteras)
z ~--+ az + b;
3) el subgrupo d e los automorfismos del d rcilio unidad
K = {w E C: lwl < 1} tiene Ia fo rma
iS z- a
e --
lal < 1
(5)
1- iiz'
y depende de tres parametros reales: las dos coordenadas
d el pun to a y e l nume ro 8.
z
~--+
=
=
..,. Soluci6n. Tenemos lwl
1 =? ww
1. A pa rtir de ahi
2(z - 1 - i)(z- 1 + i)
1 de donde zz = 1,
obtenemos (2z _ 1 _ i)(2 z _ 1 + i)
es d ecir, Ia preimagen buscada es la circunferencta urudad
1
"( = {z E C: lzl = 1}.
..,.
= '
.
.
el eje real se transformara en el eje real. La imagen de Ia circunferencia unidad sera Ia circunferencia cuyo diametro es el segmento
51
1 , 4 . Teniendo en cuenta que w(O) = 3B, el circulo unidad se
[ 12
transforma en el drculo K 1 =
~
Soluci6n. Necesidad. Supongamos que Ia funci6n dada transforma Ia circunferencia 1 en una recta. La preimagen de w = oo es
el punta z
= ; ; por tanto,
I; I=
{'w E C: \w - ~ \< ; 2 }. Apli~
cando Ia regia del recorrido vemos que el semidrculo inferior sera
Ia imagen del semicirculo superior. ..,..
1.
Su.ficiencia. Sea lal = lei > 0. La
aw+b
z = --- transforma el oo en el pun to
cw+d
funci6n homografica
a
-, el cual, segun Ia
c
condici6n de partida, pertenece a Ia circunfcrencia unidad. Dado
que un punta de la circunferencia unidad se ha transformado en
el punta del infinito, Ia preirnagen de Ia circunferencia unidad es
una recta. ..,..
~
Soluci6n. Utilizando Ia .formula (3}, p.1.2, hallamos e\ punta w•
t
simetrico al pun to w = -:
2
•
.
w
t+
=
~
Soluci6n. Sea w = L(z) el automorfismo buscado. Tenemos
L(O) = 0 y L(-1) = -1. Supongamos que L(a) = b (a E IR,
b E IR). Seglin Ia regia del recorrido, a y b tienen que
verificar una de las condiciones siguientes: 1) {a, b} f/: [ -1, 0];
2) {a,b} E [-1,0] .
w=
~
.,
(a+ 1)bz
.
(a - b)z + a(b + 1)
5
Soluc10n. Tenemos w(- 1) = - y w(1)
4
de los pares de puntas
=t ,
2
w(1} = 0,
w(oo)
Finalmente, obtenemos
..,..
1
= -.
12
(i/ 2) - i
= -t..
La aplicacion buscada se determina a partir de Ia correspondencia
w(O)
Aplicando Ia formula (2), p. 1.3, obtenemos
1
()
i - iz
w=-·
z+2
Dado que los
coeficientes d e tod a C!plicacion homografica son numeros reales,
= -i.
....
~
=l(h-
Soluci6n. Segun Ia formula (3), p. 1.1, tenemos
z + 1 1 +i - i
-
- ·
z- i
1+ i
+1
w - i
= - -,
1- i
d d d
e on e
w=
(1 + 2i)z
+6 -
3i
5(z- i)
Teniendo en cuenta que los puntos z 1 = -1, z 2
1
1 +i pertenecen a la circunferencia 'Y = { z E <C: z i
I ~
h- .Jh2 - R 2
R
= i, z3 =
I= /[}
y que la circunferencia 'Y se transforma en Ia recta u + v = 1,
al aplicar Ia regia del recorrido establecemos que el semiplano
P = {(u, v) E ~: u + v > 1} es Ia imagen de Ia region D. ~
2
R)(h - v'h
R(R - h)
R
I= lv'h
2
2
2
)
-
R
R
-
hi =
~
~ Soluci6n. 1) Si z1 = 0, z2
2) Suponiendo W
-
= oo, entonces w = Az, A E <C.
Zt
Z - Zt
= -W-,
Z =-W- Z2
Z - Zz
y tomando en
consideracion 1), obtenemos
W- Zt
Z - Zt
- - = A -- .
w- z2
z- Zz
~
~ Soluci6n. Hallemos los puntos x y x• del eje real del plano z
que son simetricos respecto al eje imaginario y a Ia circunferencia
= -x. Tomando x > 0
y utilizando Ia formula (3), p. 1.2, para z
x y x•
-x
encontramos x = v'h2 - R 2 . Construimos Ia aplicacion buscada
como Ia funcion homografica que transforma los puntos x y x•
en 0 e oo, respectivamente:
8K a la vez. Es evidente que x•
w
=
=
=
z - ~R 2
k -----;==::;:
z + .Jh2 - R2
A partir de Ia condicion lw(iy)l = 1 obtenemos que lk l = 1.
Tomando en consideraci6n- que la imagen del punto z = h - R
pertenece a Ia circunferencia 'Y = {w E <C: lwl = p}, obtenemos
lh - R -.Jhz -Rzl
p= lh - R +.Jhz-Rzl
= I (h -
R)
2
-
=
2(h - R)v'r-:h2.----_--,R=2 + hi - R2 1 =
(h - R)Z - h2
+ R2
~ Sol uci6 n. Veamos primeramente la transformacion de las rectas
y kx. Es obvio que la aplicaci6n w Az transforma las rectas
y
kx en si mismas conservando el sentido del recorrido si,
y s6lo si, se verifica la desigualdad A > 0. Esta condici6n sigue
siendo vatida tambien en el caso general, seg{m lo demostrado en
el caso 2), ej. 10. La segunda parte del problema se deduce directamente del canl.cter conforme de las aplicaciones homograficas,
en especifico, de su propiedad de conservar el valor y el signo de
los angulos. ~
=
=
=
·eaaaes
~ Soluci6n. Los puntos fijos de Ia aplicacion examinada son las
=
=
soluciones de Ia ecuacion z 2 - 2iz -2 0. Te nemos z 12 ± 1-+ i.
El p un to i, el cual se transforma en oo mediante d icha' a plicacion,
pertenece a la recta que p asa-por los p untos fijos z 1, z 2 . ..,.
..,. Soluci6 n. La aplicaci6n de un d rculo unidad en sf rnismo tiene
Ia forma
iO z- Zo
w=e - - - .
~ Soluci6n. Sean a E C y f3 E C los puntos fijos d e la aplicacion
Aplicando Ia form ula obtenida en el ej. 10, tenemos
Zn+l- a = A Zn - a = A 2 Zn- l - a=
z,.+l -
f3
z,. -
f3
Zn-1 -
f3
_
-.. -A
= IAI"+l ei(n+I)O Zo -
a'
1- zoz
Consideremos Ia circun ferencia 'Y = {z E <C: lzl = 1}; su d iametro, el cual pasa por el punto z0 , se transforma en el diam etro
1
de Ia circunferencia "( = {w E <C: lwl = 1}, p ues w(zo) = 0 y
w(1/z0) = oo. As[ pues, una semicircunferencia unidad con extremes en un d iametro que pasa por el punto ZQ, se transforma en
una semicircunfe renda, pues sus extremos tambien se encue ntran
en el d ia metro. Otro d ia me tro cualquie ra que no pase p or el
punto z0 se transforma en un arco de circunferencia de radio
finito, lo cual implica que las semicircunferencias con extremos
en ese dia metro no se transforman en sernicircunferencias. ..,.
f.
,.+1 z 0 - a _
Zo- f3 (J
Zo-{3
= arg A.
Por consiguie nte,
lim
Zn+l -
n-oo Zn+ l -
a _ { 0,
{3 -
00,
si
si
IAI < 1,
IAI > 1,
o bien
Si
IAI = 1, el
.~ z,. = {P:
lim z,. n o existe.
n - oo
si
si
IAI < 1,
IAI > 1.
....
D
~
Soluci6n. La aplicaci6n de sime tria respecto a Ia circunferencia 'Y
1
se d efine comp letamente mediante Ia funci6n w = 1 + -=z- 1
(v. form ula (3), p. 1.2), de d onde z = 1
1
+ ~.
Por tanw- 1
to, se pide determinar solo aquellos p untos para los cuales
~
''
C omo w (z2)
S o 1ucwn.
= oo,
entonces w0
- Z1
= w(z2) = -Z2_--.
Z2 - Zz
= 1, el punto w = 1 p erten ece a una circunfe.
lz2 -z1I
.
rencia, luego R = lwo - 11=
..,_
Dado que w(oo)
21Im z21
1+
1
l
w-1
- 21=2, o bien lw- 21= 2lw -11. La ultimai gualdad
describe un conjunto de p untos para los cuales Ia raz6n entre
sus distancias a d os puntos d ados es constante, es d ecir, es una
ci rcunferencia de Apolonio respecto a los puntos 1 y 2. ..,.
§ 2. Funci6n potencial w. = zn.
Funci6n multiforme z = {IW.
Superficie de Riemann
27r
con vertice en el origen de coordenadas. En particular, el
n
interior de todo angulo del tipo
a<
<p
•
27r
<a+-, a E lR,
(3)
n
es una region de uniformidad de Ia funci6n potencial; dicha region
se transforma en todo el plano w sin Ia scmirrecta na E Arg w .
2.1. Funci6n potencial
La fzmd6n potencial
.
dw
es analitica en el plano C. Dado que -
dz
2.2. Funci6n multiforme z =
,.
= nz - 1 ¥= 0 'r/ z ¥= 0
dicha aplicaci6n es una transformaci6n conforme en todo punta
z E C \ {0}.
Sea z = rei'P, w = pei.P. Entonces
n
---
(2k + 1)7r
2h
(1)
< <p <
k = 0 n - 1,
n
n
(sectores infinitos).
Intentemos construir una imagen geometrica tal que Ia
funcion potencial (1) p . 2.1 establezca una correspondencia biunfvoca y mutuamente continua entre todos los puntas del plano z
y los puntas de esa imagen.
27r
Tomemos el primer angulo 0 < <p < :--- . Su imagen es
n
todo el plano w sin el semieje real positive, pues este es Ia
27rimagen de las semirrectas <p = 0 y <p = - . Para mantener la
n
-
I
1
27r
entero den
27r
27r
+ k-
(k = 01 n - 1)~ todo el
n
plano z se puede dividir en n regiones de uniforrnidad de
Ia funcion potencial. Si a = 0, el papel de estas regiones lo
desempeiian los interiores de los angulos
Mediante las sernirrectas <p = a
A partir de (2) vemos que Ia aplicaci6n (1) aumenta n veces los
angulos con vertices en el punta z = 0. Asf pues, Ia aplicaci6n (1)
noes una transformaci6n conforme en el punta z = 0.
La aplicaci6n (1) es unfvoca pero no biunivocal ya que
dos puntas cualesquiera ZJ E C \ {0}, z2 E C \ {0} con m6dulos
iguales izd = iz21 y argumentos que difieren en un multi plo
argz1 =argz2 + k- ,
Vw
y su superficie de Riemann
1
k EZ,
se transforman en un rnismo punta w. Por consiguiente, Ia
aplicaci6n (1) no es de una hoja en C. En otras palabras, mediante
Ia aplicaci6n considerada todos los vertices de cada n-agono
regular con centro en el origen de coordenadas se transforman
en un mismo punta del plano w. Aquellas regiones del plano z
que no contengan dos vertices diferentes del n -agono regular con
centro en el punta z = 0 seran las regiones de uniformidad l ) de
la funcion z t-t z". De este modo, Ia funcion sera de una hoja en
toda region comprendida totalmente dentro de un angulo central
1
1
correspon~encia biunivoca entre el conjunto i5 =
izi < +oo,
0 ~ arg z
~
27r }
-:;;
{z E C 0
~
y el plano w cortemos el plano w a
I
lo largo del sernieje positive real y convengamos que, conforme a
Ia regia del recorrido, Ia sernirrecta <p = 0 tendra como imagen
27r
el borde superior del corte y· la semirrecta <p = - , el inferior.
n
Preparemos ahara n ejemplares del plano w con cortes a lo largo
del sernieje real positive (estos ejemplares son imagenes de los n
>.Denominaremos regi611 de uuij{Jnuidad de una aplicaci6n multiforme I~
region donde es de una hoja.
·
1
13 JaK.
36
sectores infin itos determinados en (1)), situemoslos uno debajo del
otro y unamoslos de mane ra t.a l que se conserve Ia continuidad y Ia
correspondencia biunfvoca. Pa ra lograr n uestro objetivo, unamos
el borde inferior del corte de Ia p rimera hoja con el borde superior
del corte de Ia segw1da (esta se encuentra debajo d e Ia primera), el
b orde inferior d el corte d e Ia segunda hoja con el borde superior
de la te rcera, e tc.; finalme nte, unamos el borde inferior del corte
de la n-esima hoja con el borde superior d e Ia primera (fig. 32).
La imagen geometrica obtenida se d enomina superftcie de Riemann de Ia funcion z
V:W. La superficie d e Riemann pe rmite fo rma rse
una idea mas cla ra so1
bre Ia natura leza de las
aplicaciones p otenciales.
Anteriormente se
sena lo q ue una region del
plano z es region de unifo rmidad d e la funcion
Fig. 32
z ~--+ zn si ella no contiene
dos vertices diferentes del
n-agono regular con vertice en el punto z 0. Es evidente que Ia
region que contenga los p untos z 0 o z oo no es una region
de uniformidad de Ia funcion z - t zn. Senale mos ta mbien que
estos p untos son fijos, es d ecir,
= 0, (oot = 00.
Sea ahora D * cierta region simplemente conexa del plano w , la cual no contiene los puntos 0 e oo. En esa region
se pueden d efinir n funciones uniformes diferentes para cada
una d e las cuales la funcion w
z n es su inversa. Dichas
funciones se d enominan ramas unifonnes de Ia funcion mul8
p ei .
tiforme z = V:W. Sean, p or ejemp lo, z = r ei'P y w
tiene los p untos 0 e 00, para todo p unto del conjunto n• el
va lor de () esta ra univocamente determinado, y Ia igualdad
n/i:::T . '
z = v JWJe'; defini ra una funcion unifo rme en n•. Ah ora oien,
si tomamos () = 8o + 211' para Wo E n•, obtenemos otra rama; .si
0 = 00 + 411', Ia tercera ramn, etcetera. De este modo, asignnndo
a un pu nto wo un valor 0 de n mane ras difere ntes (tomand o
0
00 + 2k7r (k
0, n- 1)), obtenemos n funciones p ara cada
una de las cuales Ia funcion potencial w
z n es su inversa.
La union de estas funciones (ramas unifo rmes) se denomina
=
funci6n multiforme z
=
=
y 1P
=
=
= -n . El an gulo
=
=
=
0
vw-;t: o.
-rw=dw
nw
Asi pues, cad a rama es una trnnsformacion conforme en toda
region D* (0 r/:. D*, oo r/:. D *).
=
= efP
= rw.
.=
=
Entonces r
=
Se d enomina punto de ramiftcnci6n de Ia funcion multiforme a un p unto tal que al rodear un e ntorno suyo suficiente mente
p equeno se p asa de una rama de Ia funcion a Ia otra. Si, ademas,
tras rodear este punto n veces en un mi.smo sentido volvemos
a Ia rama de pa rtida, entonces se dice que es un punta de
rnmificaci6n de (n - 1)-esima orden; en caso contrario, cunndo
no existe un n fi.nito, se d ice que el punto es de orden inftnita. Los puntos de ramificacion de orden finito se d eno minan
puntos nlgebraicas de ramiftcaci6n. Los puntos w
0 y w
oo
son puntas algebraicos de ramiftcaci6n de (n - 1)-esima orden
de In funci6n z
eruJ. En cada uno de estos p untos Ia funcion toma un solo valor: W = 0, \YOO = oo. Sus imagenes
geometricas en Ia superficie de Riemann son los extremes de
los cortes, comunes a todas las hojas. Cada rama de Ia fu ncion
z eruJ es analitica en Ia region D * y su d erivada_es di.stinta de
cero:
d
on
0
=
IIJ Problemas resueltos.
0 se d etermi.n a uni-
vocamente p a ra cad a rama y cad a p un to d e Ia region D *.
Concretamen te, tomamos cualquier pun to Wo E n •, fijamos en
el un valor de terminad o de 0
00 y a continuacion conside ramos que al d esplazar continuamente el punto w E D * el
ang ulo 8 ta mbien varia continuamente. Dado que n • no con-
=
13•
.,... Soluci6n. a) La rama derecha de Ia hiperbola se transforma en Ia
recta u a 2 . Tomand o en considcraci6n que x > 0, segun Ia regia
d el recorrido vemos que e l interior de Ia rama derecha de Ia hiperbola se transforma en el semi plano Q
w E C: Re w > a 2 }.
=
={
b) Las sernirrectas arg z
2
2
=
7r
= ±-4
son las asintotas d e Ia
=
2
hiperbola x - y
1. La aplicacion w
z las transforma en
el eje imaginario, y transforma Ia rama derecha de Ia hiperbola
x 2 - y2
1 en Ia recta Re w 1. Consig uientemente, Ia imagen de
Ia region considerada es Ia franja M
w E C: 0 < Re w < 1} .
c) Para y = c tenemos u = x 2 - c?, v = 2cx, x E lit
=
=
={
v2
Eliminando x , hallar;nos u
que c
>0
= 42
.,... Soluci6n. La region G es una lzlnula circular y los puntos
Z J = - -13 + il z2
-13 + il sus vertices. Consideremos Ia
=
funcio n w1
=
z - zt
- - . C omo
w1 (i) = -1
y Wt(2i)
=
- 1-i/3
1
2
vemos que w 1 transforma Ia 11.lnula G en e l inte rior del angulo
4
7r < arg W J < 37r. La aplicaci6n w = - wf transforma esta u ltima
Z - Z2
region e n e l conj unto P
de G. II>
= {w E C:
Im w
> 0}
q ue es Ia imagen
- c2 • Tomando en consideracion
y aplicando Ia regia del recorrido obtenemos que Ia
2
imagen del semiplan o P es e l exterior d e Ia parabola u
= .!!...._
42
(es decir, Ia region limi tada por Ia pa rabola sin s u foco).
c2
11>
.,... Soluci6n. Hallemos los puntos de interseccion de las circunferencias 11 = {z E C: lzl = 2} y 12
z E C: lz- ../21 = J2} :
z1
= J2- i../2
1
z2
={
= J2 + i../2.
La funci6n
Z -
ZJ
Wt=-- ~
Z -
=
.,... Soluci6n. Las imagenes de las rectas Im W
c en el p lano
z = W 2 son las parabolas y2 = 4c(x +
(v. ej. 17). Por
consiguiente1 Ia funci6n W
,fZ (Vl 1} transforma Ia region
dada en Ia franja M'
{W E C: 1 < Im W < 2}. Mediante Ia
aplicaci6n w = -(../2 + 1)(iW + 1) Ia franja M' se transforma en
Ia franja M. Asf pueS1
=
=
=
c)
w=-(V2+1) (i vz+ 1) .....
I_
Z2
Wt(2) =
(J2 -
1) (-1 + i)
M
I
2- v2
7r
37r
transforma Ia lunula G en el interior del an g ulo - < arg w 1 < - 1
2
4
y Ia fu nci6n
=
transforma el interior del an g ulo en el
semi p la no s uperior P
w E C: Im w > 0}. Por consiguiente1 Ia
aplicacion buscada es
w wt
={
w= (z-
../2(1 - i))
z- v'2(1 + i)
4
.....
Funcion exponencial w
= e'. ilundon multiforme z = Ln w
..,.. Soluci6n. El segmento [01 1] se transforma mediante Ia fu nci6n w
en el
segme~to [ ~~ 1]
[1, +oo). El a reo z
= eit
z1(z) = 2Z 1
z2(zJ)
+1
= Z1--~
-1
w(z3)
.8
= e'
z3(z2) = VZi.~
z3
-
ZJ
+t
-
i
-. 1
w(i)
z:~(- 1)
= i
1
=0.
w
22.
=e
; 8 1-
J12z
•
a
~
..,.. Solucion. La aplicacion w 1 = v'Z+i (w 1(0) = 1) hace corresponder Ia regio n dada con el semiplano derecho P =
{w 1 E C: Re-w 1 > 0} . La aplicacion w2 = iw 1 = iv'ZTI
~ransforma el semiplano derecho P en el scmiplano superior
P' = {w2 E C: Im w2 > 0}, w2 (0) = i. Utilizando Ia formula (4),
-p. 1.31 para a = i obtenemos
i8 w2 -
i
w2 + i
i8
= e ·
t
t
2
J2CoSI
2
:: u + iv.
>0
1
v
< 0. Segun Ia
regia del recorridol Ia imagen buscada es
= {(u, v) ER2 : u 2 + v2 > ~
1
v
< 0} .
~
~
HalllU 1a transformaci6n confor.me del ;plano con
un corte a lo Jargo d el1nter\ralo (-~, - 1) en el circulo
K ={w E C: lwl < 1}, de man€!ra tal que z = 0 ~ w =~o.
w=e - -
se transforma en Ia curva
Eliminando el parametro tl vemos que el area de circun1
ferencia se transforma en Ia parte de Ia hiperbola u2 - v 2 = 2,
Ia region D
4z 2
i)
~t~
1
cos-- i sen-
u
Fi.nalmente tenemos
[0 i] en Ia semirrecta
y el segmento
(0
..,.. Solucion. La ap licacion buscada se halla a partir de Ia sig uiente
cadena de aplicaciones:
ZJ
1
JZTI - 1 .
v'ZTI + 1
~
§ 3. Funci6n exponencial w = ez .
Funci6n multiforme z = Ln w
3.1. Funci6n exponencial w = ez
La junci611 exponencial z ,..... e• (z E C) se d efine mediante Ia
Para los z = x reales esta definicion coincide con Ia
definicion comun, lo cual se verifica tomando y = 0 en Ia
formula {1).
La funci6n w = e• es analitica 'r/ z E C. En efecto,
au av
ax ay
:t
-=-=e cosy,
au av
ay ax
:t
- - = - = e sen yl
(2)
es decir, 'r/ z E C las funciones u y v satisfacen las condiciones
de Cauchy-Riemann. Diferenciando Ia funci6n w, 'r/ z E Cl
obtenemos
La aplicacion considerada es unfvoca pero no biunivoca, puesto
que cada punto w E C \ {0} tiene un conjunto infinito de
preimagenes. Asi pucs, la Jegion de uniformidad de Ia funci6n exponencial z ~---+ e• es toda region que no contenga dos puntos diferentes
cuyas partes rcales coincidan y las imaginarias se diferencien en
2k7r, k E Z . Es decir, toda franja M = {z E C: b < Im z < b+ 27r}
es una region de uniformidad. Su imagen es todo el plano w sin
Ia semirrecta de pendiente b que sale del origen de coordenadas.
Sea w = pei8 . A pa rtir de Ia igualdad pei8 = e:r: eiy tenemos
p e:r:, 0 y, es decir, Ia funcion w e' transforma las rectas
y = const en semirrectas y los segmentos 1 = { (x, y) E ~ :
x = const, b < y < b + 27r} en circunferencias sin los pw1tos de
interseccion con Ia semirrccta 0 = b.
La funcion exponencial transforma toda franja horizontal
Para Ia funcion z ~---+ e• se conserva Ia formula de Ia suma:
e'• e'2 = e••+•z
(4)
De hecho, sea Zt = Xt + iyt, z2 = x2 + iy2. Entonces
e'• e'2 = e:r:' (cos Yt + i sen Yt )e:r:2 (cos Yz + i sen Yz)
= e:r:,+:r: 2 (cos (Yt + Yz) + i sen(yt
=
+ Yz)) = e''+z
2
•
La funcion w = e' es periodica de periodo imaginario puro
27ri. Efectivamente, sea ez+w e' y w a+if3. Multipliquemos
ambos miembros de esta igualdad por e- •:
=
=
ew = e0 cos {3 + ie0 sen {3
=
=1
o bien
e0 cos {3 = 1, e0 sen {3 = 0,
de donde resulta a= 0, {3 = 2m7r, w = 2m1ri, es decir, 27ri es el
periodo de Ia funcion w.
La funcion w esta definida en C y no tiene limite cuando
z --+ oo, ya que
lim e• = oo,
Lim e' = 0.
z=:r:>O
z=:r: <O
x-+oo
La funcion exponencial nose anula en C, o sea, el origen
de coordenadas no pertenece a Ia imagen del plano C mediante Ia
aplicacion z ~---+ e'. Para verificar esto, hagamos z 1 z, z2 -z
=
= 1, o bien
=
e- • = -, lo
e•
lwl
Por consiguiente,
= e:r:
=
:=}
x
= In lwl,
y E Arg w.
=
z x+iy = inlwl +iy ln lwl +i(argw +2k7r), k E z. (5)
Como vemos, existe un conjunto infinito de preimagenes del
punto w E C 1\ w :/= 0 que se encuentran en una recta paralela al
eje Oy, a una distancia 271" una de otra. Por tanto,
w
= e': C--+ C \ {0}.
3.2. Funci6n multiforme z = Ln w
Divid~mos todo el plano z en regiones de uniformidad de Ia
1
que demuestra Ia afirmacion, pues si Ia funcion cxponencial sc
anulara en un punto z, no estarfa definida en el punto -z, lo cual
entra en contradiccion con Ia definicion de funcion exponencial.
Demostremos que cualquier otro punto del plano w (excepto w = 0) pertenece a Ia imagen del plano C mediante Ia
aplicadon (1). Sea w (w :/= oo, w -:/= 0) un punto arbitrario del
plano C. Hallemos un z tal que e' = w. Tenemos:
=
Mk = { z E C: 2k7r < lm z < 2(k + l }1r}, k E Z ,
de longitud 211' en el conjunto
q n = { (p, rp) E Ii: 0 < p < +oo, 2k7r < 0 < 2(k + 1)1r},
o sea, en el plano w con un corte a lo largo del semieje real
positivo.
%--oo
en La formula (4). Obtenemos e• e- •
=
=
C>
=
funcion w
e'. Por ejemplo, mediante las rectas y
2k7r,
k E Z. Para cada una de estas regiones tomemos una copia del
plano w, que es Ia imagen de Ia franja mediante Ia aplicacion
z ~-+ e•. Para conseguir una aplicacion biunivoca de Ia region
junto con Ia frontera, cortamos cada uno de estos pianos a lo largo
del semieje real positivo. Poniendo estas hojas una debajo de otra
y unif:!ndolas apropiadamente (por ejemplo, el borde inferior del
corte de una hoja con el borde superior del corte de la hoja que se
encuentra debajo de ella), construimos Ia superficie de Riemann
de Ia funcion multi forme z = Ln w que es la inversa de la funcion
exponencial w = e'. Segll1l Ia formula (1), p. 3.1, tenemos
·' . -··
~-_ -:
-...
.•
- --"'I··~- •.
' ·- ;:·- ...~~,....
-t,.- -- -~'"·.-:·
.. ·.•.__ ..._.-
~-·_:·
--.. -..._~. ·r·"' .
....,7
l<ii w =In !wl _+ i(cu-g .it.i+2kv1, ...· k ·E ~Z(:<~~~·:.:--:<1) ·
Los puntos 0 y el oo son puntos de ramificacion de orden
infmito de Ia funci6n w ~---+ In w. En toda region simplemente
conexa D* que no contenga los puntas 0 e oo, se puede definir un
conjunto numerable de funciones uniformes, respecto a las cuales
Ia funci6n z ~--+ e• es Ia inversa. Tales fu nciones se denominan
ramas tllliformes de Ia funci6n z = Ln w. Para escoger una rama .
de D *, fijamos un punto wo y hacemos Oo E Arg wo. Supongamos
que cuando w varia continuamente en D', B E Arg w tambien
varia continuamente. Como 0 ¢ D * e oo ¢ D*, entonces B E
Arg w se determina univocamente para todo w E n• dando
Iugar a Ia funci6n uniforme
z= lnlwl+iB.
(2)
Si en vez de Bo tomamos 00 + 21r (Bo - 21r), entonces razonando
de manera analoga obtenemos Ia segunda rama, etcetera . La rama
de Ia funci6n z = Ln w para Ia cual B = arg w, se denomina rama
~ Soluci6n. La cadena de aplicaciones
1
I
W1
= z- i'
1
i
1 - iz
w2= - - -2 =
z- i
2(z - i) '
w
WJ
en Ia franja M2 = { w2 E C: 0
M 3
liiJ Problemas resueltos.
1r(l - iz)
.
z- t
= ew3
transforma G en Ia franja M 1 = {w 1 E C: 0
principal.
=
= {w3 E C: 0 < Im w3 < 11'}
< Im w2 <
< Im w 1 <
~},
1},
en Ia franja
y en el semi plano superior P,
11(1 - iz)
respectivamente. De este modo, w = e
z-i
.,..
h
~
Soluci6n. La frontera y = 0 de Ia franja M se transforma
en Ia parte positiva del eje real: lwl = ex, arg w = 0, -oo <
<111
se obtiene mediante la composici6n de las aplicaciones siguientes:
7r
< +oo.
La frontera y = - se transforma en Ia parte positiva
2
7r
del eje imaginario: lwl
ex, arg w = -, -oo < x < +oo.
x
=
2
Soluci6n. El ancho de Ia franja es d = j f La aplicaci6n buscada
1)
D
Utilizando Ia regia del recorrido, obtenemos el primer cuadrante
del plano w. .,..
= e- '4 = 1-v2r;;i
11'
·l<
W1
2) w
2
Z
Z,
= 11'-w = ?r..fi
- -w
d
1
1t
1,
giro en un angulo de - -;
4
aplicaci6n de semejanza con raz6n
11'../2
de semejanza - - ;
h
~
=
=
Soluci6n. Dado que Ia funci6n w 1 In z (In 1 0) proporciona
Ia franja M' = { w1 E <C: 0 < Im w 1 < 21r}, entonces Ia funci6n
1
In z
buscada es w = -w1 = - . .,..
27r
27r
3) w= ew21,
1, w, =e !.(1-!1=.
-e "J2
....
En Ia figura 33 estan representadas varias transformaciones
conformes simples proporcionadas por Ia funci6n w = e•.
a)
0
b)
lJC
d)
'hri
0
(-· :
~
0
'("---...
+P:
e)
0
w @
I
.
0
ta(a < 2n)
(
@)
\
~
(
~
g)
z 0
c)
zP
h)
lJC
!...-<..
0
@)
lzlpeiprp
z" =
=
eP ln l•l+iprp
= epln z
eo ln z
=
ealnzeio2k.-
N6tese que, en general, Ia potencia de exponente arbitrario
no satisface ni Ia regia de adici6n de los exponentes cuando se multiplican dos potencias, ni Ia regia de multiplicacion de los exponentes cuando una potencia se eleva a o tra potencia. Por ejemplo
za' z"l = e"' Ln z e"l Ln z = e"' Ln z+ ol Ln z f:. e(a1+o2) Ln z = Zo 1+a 2;
§ 4. Funciones potencial y
exponencial generales
4.2. Funci6n exponencial general
La Junci6n exponendnl general w = a' (a f:. 0) se define mediante
4.1. Funci6n potencial general
Elevemos un numero complejo a una potencia real arbitraria
P E lit Segun Ia regia tenemos
= lz iP(cos pep + i sen pep) =Iz iPeiprp'
=
y generalicemos esta igualdad a Ia potencia compleja:
;;II
Fig.33
w = zP
Si p es un numero racional arbitrario y p = !?. (p y q son
q
primos entre sl), donde p E Z , q E N \ {1}, entonces en cad a
punto z E C /\ z f:. 0 Ia funci6n w tiene q valores distintos, y en
cualquier region simplementc conexa que no contiene el cero ni
cl infinito se pueden definir q ramas uniformes. Por consiguiente,
el cero y el infini to son puntos de ramificacion de (q - 1)-esimo
orden de Ia funci6n multiforme w = zPf q.
Si p es un numero irracional, entonces para todo punto z
(z f:. 0, z f:. oo) Ia funci6n zP puede to mar Iantos valores como
se quiera, es decir, en toda region simplemente conexa que no
contiene los puntos 0 e oo existe un conjunto infinito de rarnas
uniformes de Ia funcion multi forme w = zP.
Expliquemos con mas detalle el sentido que se atribuye
al concepto de potencia compleja z", a E C. Escribarnos Ia
ig ualdad (1) en Ia forma
ep E Arg z.
(1)
. , Si p = n (n E N), Ia funci6n w es analitica en C Esta
f unCion fue analizada en Ia sec. 2.
·
=
Ia formula az ez Lna. Para escoger una rarna uniforme hay que
fijar un valor de Ln a, por ejemplo, Ln a = b. De este modo
obtenemos az = ebz E A(C), que es una funci6n diferenciable
(recordemos al lector que el slrnbolo A(D) denota el conjunto
de funciones analiticas en Ia region D). Considerando todos los
valores posibles de Ln a, obtendremos todas las rarnas uniformes
posibles de la funcion multiforme z ~ az. Dado que dos valores
cualesquiera de Ln a difieren en un sumando de Ia forma 2k1ri,
las dos ramas correspondientes de Ia funci6n w = a• difieren en
2
un factor de Ia fo rma ei kn, el cual es una funci6n uniforme ig ual
_ a un? s6lo para los valores enteros de z. Las ramas de Ia funci6n
multiforme w
a' se diferencian sustancialmente d e las ramas
de todas las funciones multiformes anteriormente analizad as. De
he~h?, en todos los caso~ ~xa ~!nados anteriormente, en el p lano C
exts tran puntos de r_a ~ftcaciOn que, rodeand olos a lo largo de
curvas cerrad~s y extg tendo Ia continuidad de Ia funci6n (de sus
ramas dete rmmadas), nos permitian pasar contin uamente de una
ram~ _a otr~. Aho ra Ia si tuaci6n ca mbia. Aqui cada rama es una
funcwn umforme en C. Recorriendo cualquier camino cerrado
y regresando al punto de partida obtenemos e l mismo numero
inicial z (posiblemente con otro valor del argumento) y, por tanto,
el ntismo valor de eb•.
=
~si ~~es, Ia funci6n multiforme w = a• no tiene puntos
d e r~rruftcaciOn y sus ramas uniformes no pued en transformarse
contmuam~nte ~na en otra. Este hecho permite considerarlas
como fu ncwnes mdependientes, no ligadas entre si:
z
z~
~ edna
ez(lna+2.-i)
I
I
e
z(lna- 2.-i)
I
Si fijam os _una de estas ramas (es d ecir, el valor d e In a = b),
podemos d etermmar que su funci6n inversa es ig ual al logaritmo
dew de base a:
1
Lnw
z = - Ln w = - - = Log w.
b
Lna
a
§ 5. Funci6n de Zhukovski
.
dz
1( 1)
= -2
1- -
z2
=
es dlferente de
cero e n todos los puntos de D , salvo en los puntos z = ±1. Por
.!!:._
dz
2z
z 2 + 1'
w
(2_) = 2(12 - z
w
(z
2
).
+ 1)2
(2_) I
Dado que .!!:._
# 0, d e acuerdo con Ia de finicion de
clz W z:O
ang ulo entre dos curvas en e l infinite, obtenemos que Ia aplicacion
es con forme en z
= 0.
De Ia igua ldad w(z)
= w ( ~) tambil~n
=
se deduce e l caracter conforme en e l punto z oo.
Para comprobar que e n los puntos z =±I Ia ap licacion (1}
no es una transformacion conforme, consideremosla como una
composicion de las aplicaciones
z- 1
w 1 = - -,
z+ 1
w2 =w21,
w2+ 1
w=--.
1-w2
La primera aplicaci6n y Ia ultima son homograficas y, por tanto,
conformes en C. La aplicaci6n w 2 d uplica los angulos en los
puntos 0 e oo, a los cuales corresponden los puntos z = ± 1. Por
eso, Ia funcion d e Zhukovski duplica los angulos e n los puntos
±1, luego noes una transformacion conforme en dichos puntos.
Establezcamos las condiciones que determinan las regiones
dond e Ia funcion de Zhukovski es uniforme. Sean Z t y z2 d os
puntos diferentes de C, en los cuales Ia funcion de Zhukovski
toma los mlsmos valores, es decir,
-
( z2 +
2.) =
Z2
= z1 -
se denomina fimci611 de Z hukovski. Esta funci6n es analitica en
y su denvada -dw
1
Z(
(1)
c \ {0}
=
z 1 + 2_
5.1. Definicion de Ia funci6n de Zhukovski.
Caracter conforme
D --
consiguiente, Ia aplicacion (1) es una transformacion conforme en
todo C salvo, ta l vez, en los puntos 0, 1 y -1.
Demostremos que en el punto z
0 Ia aplicacion es
conforme. Toma ndo en consid eracion que w(O) = oo, calculamos
z2 +
(2. - 2.) =
Zt
Z2
(z1- z2)
(1- -1) =
0.
Z 1Z2
Para z 1 :/; z 2 tenemos z 1z2 = 1. Por consiguiente, para que Ia
funcion d e Zhukovski sea de una hoja en una region, es necesario
y su ficiente que esta region no contenga ningun p a r de puntos
z 1, z 2 para los cuales z 1z2 1. Como ejemplos de tales regiones
pued en servir los conjuntos siguientes:
=
G1 = {z E C: lzl < 1},
G3 = {z E C: Im z > 0},
G2 = {z E C: lz l > 1},
G4 = {z E C: Im z ~ 0}.
forma
Vw
2
=w+
- 1
(3}
y es multiforme con puntos de ramificaci6n de primer orden
w = ± 1. Su superficie de Riematm esta representada en Ia figura 35.
z
liliJ
Fig.34
Problemas resueltos.
La circunferencia unidad con centro en el origen de coordenadas divide el plano z en dos regiones de uniformidad
G1 y G2. Tomando z =rei"', w = u + iv, escribimos Ia funci6n
de Zhukovski en Ia forma
u
=~
(r + ~) cos~,
v
=~
(r- ~) sen~-
~
(2)
A partir de (2) vemos que Ia funci6n de Zhukovski
{z E C: lzl r0 f. 1} en una
transforma Ia circunferencia 1
=
=
= 2~ (ro + ..!._),
b = ~ lro - ..!._I y fbcos en
ro
2
r0
2
2
2
los puntos ±1 (c = a - b = 1). La correspondencia considerada
z+1
wlkl = 1,
- k(z -1)'
que transforma una de las regiones indicadas en el semiplano
superior. Entonces
kw+ 1
z=---.
kw -1
Teniendo en cuenta Ia condici6n z 1z 2 = 1, obtenemos
(kw1 + 1) (kw2 + 1)
Z)Z2 =
= 1,
(kw1 - 1) (kw2 - 1)
o bien
2
k2 w 1w 2 + k(w 1 + W2) + 1 = k W1W2- k(WJ + W2} + 1,
de donde w 1 = -w2 . Segun Ia propiedad de las aplicaciones
biyectivas, las preimagenes de los puntos W J y w2, o sea, los
puntos z 1 y z2 , se encuentran en !ados diferentes de 1· .,..
elipse de semiejes a
es biunfvoca: para ro > 1 el sentido del recorrido de Ia elipse
coincide con el de Ia circunferencia, y para r 0 < 1 los sentidos
son contraries. Cuando ro--+ 0 (r0 --+ oo) se tiene que a --+ oo,
b--+ oo, mientras que cuando ro--+ 1 se tiene a--+ 1, b--+ 0_,
Asf concluimos de que Ia
imagen de lnegi6n G1, al igual
D
que Ia de Ia region G2, es to1
do el plano
sin el segmento
[-1, 1] (este es Ia imagen de Ia
circunferencia unidad 1). Para
establecer una correspondencia
biunivoca entre los puntos de Ia
circunferencia 1 y los del segmento [-1, 1], hacemos un corte
a lo largo del segmento y aplicamos Ia regia del recorrido como
se indica en la figura 34.
Fig.35
La funci6n inversa de Ia
funci6n de Zhukovski tiene Ia
I
Soluci6n. Sea 1 una circunferencia que pasa por los puntos ±1.
Tomemos dos puntos z 1 y z2 que no pertenecen a 1 y para
los cuales z 1z2 = 1. Demostremos que uno de estos puntos se
encuentra dentro del circulo de frontera 1, y el otro esta fuera de
Ia circunferencia 1· Consideremos Ia aplicaci6n
-c
14 3><. 36
~
z
~
v a2 - b2
Soluci6n. En eLplano Wt =
el interior del angulo 0 < arg WJ
Ia ap licacion buscada es
= u 1+ iv 1 Ia parte exterior
de La eLipse considerada es
-
a
a= --===
Jaz- bz'
b-
b
W
.
=
2a. Consiguientemente,
w3"~2a = (e- iaw2) "~2a = (e-ia ( Wt + ~)) "~2a =
- Jaz - bz'
eL paso siguiente es transformar dicha parte mediante La aplicaci6n
= Wt + y'w~ - 1 (w2(oo) = oo) en Ia parte exterior del cfrculo
de radio R:
;:::;;----::
a +b
_
R =a + vaL - 1 =
.
=(
Wz
=(
Ja2+~
Finalmente, en el plano w =
< 7r -
e-ia
(z + ..jz2- a2- b2))
Ja2+ b2
"~2a
)2=•~
-"
b
e-ia
(z + V z 2 -a2 -b2 )
Ja2 + b2
.
w2 obtenemos Ia region D = {w E <C:
lwl > 1}. Asf,
R
§ 6. Funciones trigonometricas
e hiperb6licas
Definamos las jwzcio11es trigonomtHricas z f-+ sen z y z f-+ cos z
mediante Ia funcion exponencial z f-+ e', utilizando las formulas
de Euler
De las propiedades de Ia fu ncion exponencial se deduce
que:
1) para z = x las funciones sen z y cos z coinciden con
~
las funciones trigonometricas x f-+ sen x y x f-+ cos x de
variable real x;
2) sen z y cos z son diferenciabies en C y sus derivadas son
Soluci6n. Consideremos Ia aplicacion de semejanza w 1
z
~ que transforma Ia hiperbola dada en Ia hiperbola
ui - vr - 1 a -
(i2
/)2 -
I
-
a
J a2 + b2
bI
-
(sen z)' = cos z,
b
J a2+ b2
(cos z)' = -sen z;
3) tienen Iugar las relaciones trigonometricas basicas; por
I
ejemplo,
y la region dada en Ia region que se encuentra entre sus ramas.
En el plano w 2 = w1 + ..jw}- 1 (w2(oo) = oo), Ia imagen de Ia
ultima region sera el interior del angulo a < arg w2 < 7r - a,
2
2
. sen z + cos z=l,
b
.
a= arctg-, mientras que en el plano w3 = e- •aw2 obtendremos
sen z = cos(z-~),
asf como las formulas de adicion, etcetera.
a
4) sen z y cos z son funciones periodicas de perfodo 27r;
14•
5) Ia funcion z
es par.
t->
se n z es impar, mientras que z
t->
cos z
0
a)
Con las funciones trigonomctricas z t-> sen z y z ~--+ cos z
estan estrechamente ligadas las jwrci01res lriperbolicns z t-> sh z y
z t-> ch z definidas median te las formulas
sh
..-----
~
Z-
e'-. e-•
2
I"®
___ 2 -
shz = -i ·s-en iz,
chz =cos iz,
senz = -i sh iz,
.
cosz= chiz.
A partir d e las formulas (1) vemos que las aplicaciones
realizadas mediante el seno y el coseno son composiciones de las
aplicaciones a nterio rmente estud iadas. En particular, Ia aplicacion
w = cos z es el resultado de Ia com posicion de un giro en un
c>
0.
i=f
®
= ew,,
3) w
= -21 ( w2 + -W21 )
-
~;:rJ
ei(z-1r/2)
sen z =
(fig. 37).
rr., 0
..
-n/2
,
I
: ! n/2
-.J
2) w2 = iw 1,
,.,...
.. ___ •
k®
-H-
®
lin/2
"--~·
l
1-in/2
Fig.36
3) w 3 .= e
w2
= ~2 (wJ + W3
~).
= { z E C: -
. ...
1
®
~
2
Como ejemplo, hallemos Ia imagen d e Ia franja
G
d)
@
+ e - i(z- 1</2)
se d educe que Ia aplicacion w = sen z es una composici6n de las
siguientes aplicaciones:
4) w
- I
-+----...;..;;....;;;
n/2
.
Teniendo en cuenta este hecho, ellecto r pod ra examinar sin
dificultad las transformaciones conformes mas simples efectuadas
por Ia funci6n w = cos z (fig. 36}.
Esludiemos ahora Ia funci6n sen z. A partir d e Ia formula
7T'
2'
- ~ -~
®
~~·rD E_ ~~
angulo d e -, una funcion exponencial y Ia funcion de Zhukovski:
2
1} w 1 = z-
®
:~1,4 ~
· -~~ ~
ur
7T'
2} w2
I
ch z ~ e~ :t- e- •
I
b)
.
=1z,
®
. . , -, =
1t
Su relacion con las funciones trigonometricas es Ia siguiente:
1) w 1
I
~ < Re z < ~ }
,
rl0 ~8
rl
r
.
.
L.~
®
®
~
'~
~
t
r
l
'-..... ~
@
,..- ~
~-
I~
Fig.37
Las cua tro transformaciones conformes indicadas sugieren
que las franjas verticales de ancho 7r son regiones de uniforrnidad
de las funciones z t-> sen z y z t-> cos z.
Funciones elementales en el ,elano complejo
itulo3
Analicemos con mas detalle Ia aplicacion de Ia franja
D = {z E C: -1r < Re z < 0} mediante Ia funcion w = cos z.
Utilizando Ia formula de adicion y las formulas (1}-(3)1 obtenemos
w = u
o bien
+ iv = cos z = cos (x + iy) =cos x ch y
u = cosxchyl
v = -scn xsh y.
Hallemos Ia imagen d e Ia recta x = x 0
y Xo :j.: -
- i sen x sh yl
7f
(4)
= const para - 1r < xo < 0
2. Tenemos:
u = cos xo ch y,
v = -sen xo shY~
de donde resu lta Ia hiperbola
u2
v2
-- - - = 1.
cos 2 xo sen2 xo
7r
Para
2
< x0 < 0
Ia recta x = x 0 se transforma en la rama
derecha de esta hiperbola. Para
- 1r
< xo < - 7r
2
Ia recta se
transforma en Ia rama izquierda. La recta x = 0 (eje imaginario)
se transforma en un corte a lo largo del eje rea l desde el punto 1
basta +oo, mientras que Ia recta x = -1r se transforma en un
corte a lo largo del eje real desd e el punto -1 hasta -oo; Ia recta
Fig.38
o bien
eiz - e-iz
7f
x = - se transforma en el eje imaginario. De esta maneral Ia
2
imagen de Ia franja D es todo el plano w d el cual se ha eliminado
el segmento d el ejc real u desde - 1 basta 1 a traves del infinite.
Dividamos todo el plano z mediante las rectas x = k1r 1
k E Z en franjas verticales (regiones d e unifo rmidad de Ia funcion
w = cos z) y to memos para cada una de elias su co pia en el
plano w. Uniendolas d el modo indicado en el p. 2.2 podemos
obtener Ia superficie de Riemann de Ia funcion multiforme z =
Arccos w 1 la cual es Ia funcion inversa d e w = cos z y tiene Ia
forma
z = Arccos w =
~ Ln ( w + J w 2 -
1) .
(5)
Sus puntos de ramificacion son ± 1 e oo.
Las funciones tangente y cotangente se determinan en el
plano complejo por medio de las formulas
tg z
= -i eiZ. + e-•z.
eiz
I
ctg z = i .
+ e-iz
..
eiZ - e-•z
(7)
Estas funciones son diferenciables en todo <CI excepto en
los puntos donde se anulan los denominadores de las fracciones
en (7). HallemOS1 por ejemplol los ceres del denominador de Ia
fraccion que define ctg z:
eiz- e-iz = 0~
eiz = e-izl
iz = -iz+2k1ril
z = k1rl
k E Z.
Las funciones z ~---+ tg z y z ~--+ ctg z son periodicas de periodo
principal real 1r. Para elias se conservan las formulas de diferen~
ciacion conocidas del curse de analisis matematico y las relaciones
trigonometricas p rincipales.
Las transformaciones realizadas por estas funcioncs son
composiciones de las aplicaciones ya estudiadas. Por ejemplol Ia
aplicacion
e2iz -
w
1
= tg z = -i e2iz + 1
Asf pues, el rectangulo P se transforma en Ia mitad inferior de
una elipse de semiejes ch b y sh b. N6tese que en los puntas
extremes z = 0 y z = 1r se infringe el caracter conforme de Ia
aplicaci6n, pues los angulos rectos se transforman en angulos
iguales a 1r en los focos ± 1 de Ia elipse. En estos puntos
(cos z)' = -sen z 0. ..,.
es una composici6n de las aplicaciones sig uientes:
3) w3 -_ w2 - 1 1. 4) w -iw3.
w2 + 1
Ahora no es dificil examinar las transformaciones conformes mas simples efectuadas mediante Ia funci6n w
tg z
(fig. 38).
Estudiando las aplicaciones w = tg z y w = ctg Z vemos
que sus regiones de uniformidad son franjas verticales de anchura 1r. Dividiendo con ayuda de las rectas x = k1r (k E Z) todo
el plano z en regiones de uniformidad de Ia funci6n tangente1
tomando para cada una de elias su copia del plano w con un corte
a lo largo del segmento [-i~ i ] y uniendolas entre si del modo
anteriormente indicadol construimos Ia superficie de Riemann de
Ia funci6n multiforme
1
1 +iw
z Arctgw = - L n - 2i
1 - iw ·
La funci6n Arctg w tiene dos puntos de ramificaci6n: ±i.
.
1) w 1 = 2zz;
2) w 2 = ew, ;
=
=
=
1
=
<011
Soluci6n. La aplicaci6n dada es una composici6n de las aplicaciones
Wt
iz
w1 = e
1
-1
Wz=-- ,
Wt + 1
w3 = - iw2,
IJ Problemas resueltos.
<011
Soluci6n. Sea z
= x + iy
1
entonces
cos z = cos x ch y - i sen x sh y I Im w = "- sen x sh y ~ 0.
Por consiguiente Ia imagen del rectangulo P pertenece a! semiplano inferior del plano w. Para z x se tiene
W = COS X 1
0 < X < 1r;
para z = 1r + iy
w = - ch yl 0 < y < b;
para z = iy
w = ch yl 0 < y < b;
y para z = x + i b
w = u + iv = cos x ch b- i sen x sh b1 0 < ~ < 1r,
es decir,
1
u
= cos x ch bl
Fig.39
=
v
= - sen x sh b,
iiustradas en Ia figura 39. Efectuando sucesivamente las aplicaciones indicadas obtenemos Ia region requerida. ..,.
.,.. Soluci6n. A partir de Ia definicion de Ia funci6n z
f---1
1
cosec z
=
- - resulta
senz
1
icoseczi = - -
I sen zl
=
1
2
vch y- cos 2x
=
En ~os !ados horizon ta les de los rectangulos z
se tlene
sh ( n
I
cosec
+ ~)
1r
1
vsh 2y + sen2 X.
=x ± i
(n
+ ~)
~ sh i > 1,
(x ± i(n + ~)7r)l =--r======
l =:::;
sh
2
(
n
+
i)
1r
+ sen 2 x
sh-
2
I
cosec ( ± ( n
+ ~) 1r +
± (n +
i) + iy,
1r
iy) I=
1
7r
(
n+
~)
1r
de donde se d educe Ia desig ua ldad
i) + iy) I<
1r
1.
~
II Veamos ahora algunos problemas relacionados con todas las
seccion es de este capitulo:
efectuemos un giro e n un an gu lo de --. As! obtendremos
2
w = - i(az + b), a E IR, b E IR 1\ a > 0.
4) En este caso, a los valores imaginaries puros de z deben
corresponder valores imaginaries puros de w, donde w az + ib,
a E IR, bE IR.. Para que el semiplano derech o se transforme en si
mismo es necesario que se verifique Ia condicion w'(z) =a > 0.
Por consiguiente, obtenemos Ia funcion w
az + i b, a E IR,
bE lR 1\ a> 0.
Para Ia determinacion exacta de Ia aplicacion hay que
especificar dos pares de p untas correspondientes. Si son puntas
frontera, no podemos reducir el numero d e pa res, pero si son
puntas interiores basta fijar solo un par de puntas, ya que el otro
par quedara determinado por Ia propiedad de simetrfa. ~
=
.Jsg 2 y + 1'
± (n +
=
> 0.
3) Para resolver el problema planteado, transformemos
primeramente el semiplano superior en sl mismo y despues
1
cosec (
=
a E IR, b E lR 1\ a
tenemos
2
sh y + sen2
I
.,.. Soluci6n. 1) Consideremos una aplicaci6n lineal entera de Ia
forma w az + b. Para que esta funcion transforme el semiplano
s uperior en sl mismo se requiere, en primer Iugar, que Ia imagen
del eje real sea el eje real, es decir, w(z) E IR si z E IR.. Par eso
a y b han d e ser nume ros reales. Ademas, las condiciones de
partida exigen que se cumpla Ia condicion w'(z) =a> 0. De este
modo, Ia funcion w
az + b, a E JR, bE IR y a> 0, transforma
el semiplano superior en si mismo.
2) Es evidente que Ia aplicaci6n buscada es w -az + b,
=
1
:::;~< 1.
En los !ados verticales z =
1r
=
1) Ia franja D = {z E C: ·0 <: Re z < 1} en sf misma; .
2) Ia franja G =. { z E C: - 2 < Imz < 1} en sf misma;
3) Ia franja limitada por las redas y = x e y = x - 1 en sf
misma.
· Investigar que pares de puntos pueden corresponder
uno a otro mediante estas aplicaciones }'4en que caso dicha
correspondencia determina tota lmente Ia aplicaci6n.
..,. Soluci6n. 1) La aplicaci6n buscada tiene Ia forma w = az + b.
Dado que esta debe transformar Ia franja D en sf misma, las
0 y x
1 tienen que transformarse en las rectas
rectas x
u = 0 y u = 1. Son posibles dos casos: a) x
0 -t u
O,
X
1 -t U
1; b) X
0 -t U
1, X
1 -t U
0.
Consideremoslos por separado.
a) Para z = iy tenemos w = iv, iv = iay + b; en particular, para y = 0 se tiene iv = b y, por consiguiente, b = ib 1,
b1 E IR, a E IR. En caso de que z
1 + i y se tiene w
1 + iv,
1 + iv a(1 + iy) + ib, de donde hallamos a 1. De esta manera,
Ia aplicacion buscada es w = z + ib, b E IR.
b) Para z = iy se tiene w = 1 + iv, 1 + iv = iay + b, en
particular, para y 0 tenemos que 1 + iv b. Por consiguiente,
b E <C y b = 1 + ib1, b1 E JR, a E IR. Para z = 1 + iy, se tiene
w = iv, iv = a(1+iy)+1+ib 1, de donde hallamos a= -1.
Finalmente, ob tenemos w = - z + 1 + bi, bE JR.
En el caso a) las rectas x = c, las cuales son paralelas a las rectas frontera, se transforman en si mismas, mientras
que en el caso b) las rectas paralelas que son simetricas res-
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
pecto a Ia linea media de Ia franja x
=
=
=
=
=
= ~ se transforman
det~rminar Ia aplica-
I~. una en Ia otra. Evidentemente, para
CIOn de forma completa hay que cspecificar un par de puntas correspondientes que se encuentren en una misma recta
1
x = const # 2, o en rectas simetricas respecto a Ia recta
x =
1
2.
La aplicacion no queda totalmente determinada si los
puntos correspondientes se encuentran en Ia linea media de Ia
franja. De este modo; w = z + ib, o bien w = -z + 1 + ib
b E JR.
I
t
2) La aplicacion z 1 = -
(z
3
+ 2i)
transforma Ia franja· G
en Ia franja D. Segun los resultados obtenidos en el caso 1) Ia aplicacion w 1 = z 1 + bi, b E JR, o bien w2 = -z 1 + 1 + bi, transforma
Ia franja D en si misma. Sea w Ia aplicacion buscada. Entonces,
i
Ia aplicacion w 3 = - -(w + 2i) transforma Ia franja G en D.
3
Asi pues, Ia aplicaci6n w se obtiene a partir d e las condiciones
w3 = w 1, o bien w3 = w2, cs decir,
-~(w + 2i) = - ~(z + 2i) + bi,
o bien
-
i
(w
3
En el primer caso w
caso tenemos
i
.
+ 2i) = 3(z -t- 2i) + 1 + bt.
= z - 3b = z + b1 , b1 E JR;
w = - z- i - 3b = -z- i
+ ~~
en el segundo
b2 E !It
En cuanto a Ia correspondencia de los puntos para Ia
determinacion exacta de Ia aplicacion, los razonamientos son
amllogos al caso 1), dado que hemos reducido el caso 2) al caso 1).
7r
1
3) El ancho d e Ia franja es igual a cos - = "'. Considere4
v2
mos Ia aplicacion z 1 =
../2 exp { i
i} z = h
( ~ + ~) z = -
(1 + i)z. Esta transforma Ia franja dada en Ia- franja D.
Si w es Ia aplicacion buscada, entonces, d e manera anciloga a\ caso 2) tenemos (1 + i)w = (1 + i)z +- bi, o bien
(1 + i)w = -(1 + i)z + 1 + bi, b E JR. En el primer caso obb
tenemos w = z +- - (1 + i) = z + b1(1 + i), b1 E JR, y en el segundo
2
b+1
b- 1
b+1
i(b - 1)
w = -z + - - + i -- = -z + 1 + - - - 1 + - - 2
2
2
2
b- 1
-z + 1 + --(1 + i) = -z + 1 + b(1 + i), b E JR.
2
Dado que el caso 3) tambien se reduce al caso 1), los
razonarnientos anteriores acerca de las condiciones para la d eterminacion univoca d e una aplicacion siguen siendo validos. .,..
f(allar la .6:tnd6n~Ifueal entera w = w(z) que ttan formg la franja compcendida entre dos ~etas especificadas a ·
continuad6n en Ia franja D = { w EC: 0 < Re w < 1}, aon
Ia condici6n de normalizaci6n indicada:
36.
1
de donde h
- (~ + arctg
2
'b) x = a, m = a + h; -w(a) =. 0;
2)
3)
= !Cx + b,,
franJa
. en un angu
•
Io
-
k) y multiplicando
el resultado por .!., obtenemos
.
h
Ia franja D del ej. 35
~=a, x=a+h; w~a+~) =~+i, Imw(a+~+i) <1;
y = kx, y = kx + b; w(O) =0;
4} y
.
Ia
= v1 b+ k2 . H ac1-en do g1rar
y = kx- -;t- ~; w(ib1 )
w
= 0.
=
~ z exp { -i ( ~ + arctg k) },
que satisface Ia condici6n de normalizaci6n.
4) Este caso se reduce al anterior. Suponiendo
= z- ib,
y tomando en consideraci6n que tg a= k, obtenemos
z,
~ Soluci6 n. 1) El ancho de Ia franja es igual a h . La aplicaci6n
1
z, = (z- a)h transforma Ia franja dada en el conjunto D
descrito
w
en el ej. 35. Aludiendo a Ia soluci6n de ese ejemplo, vemos que Ia
aplicaci6n w = +bi, bE ~, transforma Ia franja Den sf misma.
A partir de Ia condici6n de normalizaci6n w(a) = 0 obtenemos
z,
= v'f+k2
exp { -i (~ + arctg k) } (z b2- b,
2
ib!).
Es facil comprobar que esta aplicaci6n satisface Ia condici6n de
normalizaci6n. .,..
z - a
-h
z-a
z -a
2) La funci6n w = - - + bi, o Ia funci6n w = - -- +
h
h
1 + bt, b E ~, transforma Ia franja indicada en el conju nto D
que b = 0. Por tanto, w = -
37~
HaJJar Ia funci6n lineal entera ct~e ·1:ransforma
e1 ciraulo K1 = { z E C lzl < 1} en el _circulb. KR: = .
{w E C: lw - w0 1 < R} de forma tal que los ·centros dt!
(v. ej. 35). Como Ia prirnera de las condiciones de normalizaci6n
esta definida en Ia linea media de Ia franja, Ia aplicaci6n lineal
entera que buscamos no queda determinada unfvocamente. La
segunda condici6n Im w (a+
~ + i) < 1 conduce al caso b) del
ej.35, es d ecir, Ia imagen de Ia recta x =a es Ia recta u = 1, y Ia
imagen de x = a+ h es u 0 (las rectas en los pianos z y w se
recorren en sentidos contrarios). Por eso
=
w(z) = - z - a
h
+ 1 + ib,
w ( a+
~) = ! + ib = ! + i,
2
2
de donde b = 1. Por consiguiente, w =
2
a-z + h
h
+i
es Ia
aplicaci6n lineal entera que buscamos.
3) Hallemos e l ancho de Ia franja en el plano z. Dado que
tg a= k, entonces
h = bcos a=
b
J 1+ tg
b
2
a
= --====
v'1
+ k2 '
· 1os drcu1os corresponden uno a otro y el dicimetro·horizontal
se transforma en un diametro que forma un anglllo a con Ja
direcci6ri gel eje real.
~
=
Soluci6n. Tomemos w az+ b. Segun las condiciones de partida
tenemos z 0 -+ w0 , 1 -+ w0 +Rei.a, de donde.hallamos wo b,
a+ w0 = w0 + Reia, lu~o a = R e'a. Finalmente,
=
w
=
=R eiaz + Wo.
.,..
5) La ecuaci6n del haz ~e rectas que pasan por un punto
dado zo = (xo, Yo) tiene Ia forma
Y- Yo
~
= x + iy, w = u + iv.
Soluci6 n. 1) Sea z
1
u
- - = -2
2
u + iv
u +v
v
- - --2 x 2 + y 2
u2
+v
'
Entonces x
v
i-- , de donde x
2
2
-
u +v
= -u-2 +1- v 2 .
Dado que ax
u
+ iy
= - 2 - -2 ,
=
=
=
y
u +v
au
-u- , de Ia
2 + v2
_ _v_- Yo= k
u2
+ v2
2
(kxo- Yo) ( tt
1
zo
y centro en el pun to
(2-, 2-) .
- u2
+ v2
-
u2
u2
= -v ( u2 + v 2),
u 2(1 + v)
= -v,3
2
1L
v3
= ---.
1 +v
La curva definida mediante .Ja ultima ecuaci6n se denomina
cisoide.
~
1
r,:;
v2lbl
=
~
=-
Soluci6n. 1) Sean z
z(w -
k1t.
15 la<. 36
= x+iy, w = u+iv, h = ht +ih2. Entonces
= 1 + h(z - zo),
h) = 1 + z0 (w - h),
w(z - zo)
+ v2,
Hemos obtenido el haz d e rectas v
+ v2)2
es Ia imagen de Ia parabola y = x mediante Ia aplicaci6n w,
entonces solo nos queda simplificar Ia ecuaci6n obtenida. Tenemos:
Las circunferencias de esta familia
2b 2b
son tangentes a Ia recta v - u en el origen d e coordenadas. La
recta tambien pertenece a Ia familia para b 0.
4) Escribamos Ia ecuaci6n del haz de las imagenes de
dicha familia:
ku
v
- --es decir, ku + v = 0.
=
(u2
2
2.
Hemos ob tenido Ia familia de las circunferencias d e radio
u2
v
-u2
-+
- v2
-
u2 + v2
u2 + v2
b(u 2 + v2) + u + v = 0, o bien
:b
(imagen de ln
recta que pasa por el origen de coordenadas).
6) Dado que
particularidad de que el propio eje real no pertenece a Ia familia.
3) La ecuaci6n del haz de imagenes tiene Ia forma
v
---- = - 1£-- + b, Ia cual se puede escribir como
+ (v +
+ v2 ) = ku + v.
.
1
las rectas v = -- paralela"s al eje real del plano w, con Ia
b
r r 2:
v2
Ia recta que pasa por los puntos w = 0 y w = -
rectas paralelas al eje imaginario del plano w. El propio eje no
pcrtcnccc n In familia.
2) Es evidente que Ia familia buscada se compone de
;b
u2
Hemos obtenido un haz de circunferencias que tambien contiene
a
+
(-u-xo)
+
toma Ia forma siguiente:
=
( tL
xo).
Tras una serie de aplicaciones evidentes, Ia ecuaci6n de Ia familia
de imagenes de este haz
1
ecuaci6n de Ia familia de circunferencias se deduce que - 2
2
1£ + v
au
- - - cs Ia ccuaci6n de Ia familia de imagenes. La familia de
2
2
tL + v
1 '
imagenes buscada tiene Ia forma u = -. Esta es Ia familia de las
D
= k(x -
= xo + iyo,
1
z = - - + zo,
w-h
zo
x
.
.
·
por eso en el caso considerado - 1 < u < 1, v < 0. Como lwl = 1,
Ia parte de Ia fronteca del cuadrante -y1 = { z E C: 0 < Re z < + oo,
Im z = 0} se transforma en Ia semicircunferencia unidad inferior
con centro en el punto w 0. Sea z iy, 0 < y < +oo. Entonces
.
=
(tt-h 1)+z(v-h 2)
. - (tt - hi) - i(v - h2)
= xo + tyo +
'
(.t t- hi)2 + (v - h2) 2
tL-
x
1
+ zy = xo + zyo +
h,
= xo + (tt- hi)2 + (v- h )2 ,
Y
2
=
v -h2
.
(tt - hi)2 + (v- h 2)2
=Yo -
w(z)
Sustituyendo x e y por C obtenemos dos familias de circunferencias
tL
2
(C- xo)((tt- h 1) + (v- hd)- (tt- hi)= 0,
2
(C- Yo)((u- hi) + (v- h2)2) + (v- h2) = 0.
=
=
h
1
.
.
.
.
iy- i
y-1
= --,
y+1
-1
< tL < 1,
v
= 0.
·41. ·
1
= R e'" y w = --+h, entonces wz- z0
1
= Re-•a. Se obtuvo una familia de circunferencias de radio R
=
y centro e n el punto w = h. Es obvio que arg (w - h) - a es Ia
fam.ilia de semirrectas que salen del punto w h. ..,.
=
~
La runc10n
.. homogra·r·1ca w =
.•
S o Iuc1on.
z - .i/2 trans for1 + (z12)z
rna e l drculo unidad G = {z E C: lzl < 1} en sl nusmo. Hallemos Ia imagen de Ia semicircunferencia superior
1 = { z E C: lzl = 1 /\ Im z > 0} . Tomemos tres puntos z 1 = -1,
,
3
4
z2 i, z3 = 1. Estos se transforman en w1 =-S-is, w2 i,
=
r
w3
~
y -1
= tt + zv = -.~y--.
= - -,
+t y +1
Vemos que Ia semirrecta y > 0 se ha transformado en el intervalo
-1 < u < 1. De este modo, Ia funci6n w transforma el conjunto G
en el conjunto D = {wE C: lwl < lA Im w < 0}. ..,.
La primera familia pasa por el punto w
h y es tangente en este
punto a una recta paralela al eje imaginario (Ia recta pertenece a
Ia familia). La segunda familia es tangente en el punto w
h a
una recta paralela a! eje real. Esta recta tambien pertenece a Ia
familia.
2) Dado que z - z0
=
Soluci6n. Para z
=x
y0
< x < +oo
2
5
5
2
los puntos
3
4
±S -is.
Hallemos ahora Ia imagen del intervalo
-1 < x < 1 mediante Ia aplicaci6n w. Por ser w una aplicaci6n
homografica, Ia imagen del intervalo es un arco de circunferencia. En el caso considerado, esta circunferencia se define por
tres puntos z 1 = -1, z2
0 y z3
1. Anteriormente hemos
obtenido que los puntos z1 y ZJ se transforman en los puntos
3
4
3
4
w1 = - - - i- y w3 =-- i-. El punto z se transforma en
=
x2 -
x - 1
x - 1
x - 1
1
- 2 - = lim - 2-=-1,
sup - 2- = lim - -=1,
2
O<z<+oo X + 1 z-+0 X + 1
O<z<+oo X +1 z-+oo X + 1
inf
.4 p
. .
I
. . nf
.
= -3 - z-.
or constgUlente, a semtctrcu erenc1a 1 se trans-
forma en el arco de circunferencia superior con extremos en
x-i x 2 -1
2x
w=u+iv= - - = - - i -2 - .
2
x+i
x +1
x +1
2
x -1
La funci6n x ...... - 2- - es no decreciente:
X +1
2
=
5
15•
5
5
=
5
el pun to w
i
= - -.
Es obvio
transforma en el eje real del plano w sin el intervalo 0
2
que el centro de Ia circunferencia que buscamos pcrtenece al eje imagi nario. Sea
wo = (0, b) su centro y R
3 · 4 su radio. La ecuaci6n de Ia
5
circunferencia tiene Ia forma
Fig. 40
u 2 + (v- b) 2 R 2 . Utilizando ahora el hecho de que
los puntos w 1 y w 3 pertenecen a Ia circunferencia, obtenemos
-zs
9+ (45+ ) =
Como ya sabemos, Ia semirrecta cp
25
R
2
.
las imagenes de tres puntos de Ia sernirrecta cp
Dado que el pun to - i tambien pertenece
2
2
al arco de Ia circunferencia buscada, entonces (
~ + b) = R2 .
a2
= --54
y R
3
= -.
4
Asf
{
r = {w E C:
lw +i~ ~ = ~ },
2
+
1
(
~ a)2 + b2 = ~~ - 1)
transforma en una lunula que contiene el punto w = 0 y esta
limitada por dos arcos de circunferencia f1
{wE C: lwl 1}
y r (fig. 40). ,...
2
2
buscada es
=
D
~
Sol uci6n. Hallemos primero Ia imagen de la semirrecta z =
x (x ~ 0). El punto x = 0 se transforma en el punto w = 0. De
X
las expresiones limites lim - :z:-1 - 0 X
- 1
= -oo,
X
lim - -
:z:-1+0 X-
1
= +oo
vemos que Ia imagen del segmento [0, 1) en el plano w es el seg-
x
men to (-oo, 0] . Dado que lim - - = 1, al segmento (1, +oo)
z-+oo X -1
en el plano w le corresponde el segmento (1, +oo). Por consiguiente, mediante Ia aplicaci6n w Ia sernirrecta z = x (x ~ 0) se
+ b)
2
=R,
1
1
.;2.
Su soluci6n es a = -, b = -- , R = - , luego Ia circunferencia
y todo el semicirculo D se
=
1
)
( --a
'(1
pues, Ia imagen del intervalo (-1, 1) es el arco de circunferencia
+ b2 = R2,
2
De esta forma, hemos obtenido un sistema de dos ecuaciones
para b y R . Resolviendolo, hallamos b
7r
= 4: estas image-
nes perteneceran a Ia circunfercncia y Ia definiran univocamente.
Es c6modo elegir los puntos z 1 = 0, z 2 = eif y z3 = oo. Tras una
1
i
serie de calculos sencillos obtenemos w1 = 0, w2 = - r.>
2 2(v2-1)
y w 3 = 1. De esta manera, tenemos un sistema de tres ecuaciones
con tres incognitas a, b y R:
=
.
= 4 se transforma mediante
una aplicaci6n homografica·en una circunferencia de ecuaci6n general (u - a) 2 +(v - b)2 = R 2 . Para determinar a, by R haHemos
2
b
< u < 1.
7r
Fig.41
2
Asi, Ia funcion homografica w = _z_ transforma el interior del
z -1
7r
angulo 0 < <p < 4 en Ia region del semiplano inferior w que se
obtiene al elimina r aqueila parte del circulo
K=
{ I 2 2il <T./2}
wE<C: w- 1 +
q ue pertenece a dicho semi plano (fig. 41).
~
Fig.42
<1111
transforma en el eje real y los angu los se conservan. Tomemos dos
puntos z 1 0 y z 2 oo en Ia recta x 0. Sus imagenes son los
1
.
puntos w = - y w 1. Busquemos Ia unagen de Ia recta x 0
Solucion. 1) Hailemos Ia imagen del eje imaginario mediante Ia
aplicacion w. Tenemos:
iy -1
i
w=-.-=1+-.
ty
y
Asi pues, Ia recta x = 0 se ha transformado en Ia recta u = 1.
Hallemos Ia imagen d e Ia recta X = 1. Esta imagen sera ortogonal
al eje real, pues Ia aplicacion dada transforma el eje real en el
eje real. Por consiguiente, dicha imagen es Ia circunferencia de
2
ecuaci6n (u - af + v = R 2 y centro en el eje real. El p unto
z 1 se transforma en el punto w 0, y el punto z oo, en el
punto w = 1. Para determinar a y R tenemos un sistema de dos
·
.
ecuac10nes
a2 -_ R 2, (1 - a )2 = R2, cuyas soluCJones
son a = -1
=
R =
=
2'
2. La ecuaci6n de Ia circunferencia buscada.es
lw- il= i·
i
=
=
en Ia forma (u- a) + v = R (Ia imagen es una circunferencia).
Las constantes a y R se obtienen a partir del sistema de ecuaciones (
3
i -a)
a = -, R
de
t>
2
2
=
2) Las imagenes de las rectas x == 0 y x == 1 son circunferencias con centros en el eje real, dado que el eje real se
2
2
= R 2 , (1- a)2 = R 2 . Rcsolviendolo obtenemos:
.
.
= -1 . La recta x = 0 se transforma en Ia ctrcunfereneta
ec:o~i6n ~~- ~~ = ~·
Determinemos ahora Ia imagen de Ia recta x = 1. Las
imagenes de los p untos (t = 1, {2 = oo son los puntos w 1 == 0 y
w 2 = 1. Dado que dicha recta se transforma en una circunferencia,
los puntos w1 y w2 pertenecen a ella, y como su centro se
encuentra en el eje real, Ia ecuaci6n de Ia circunferencia tiene Ia
forma (u- ad +v2 =
Los numeros a 1 y R, se determinan del
sistema de ecuaciones = Ri, (1- 1) 2 = Ri, del cual obtenemos
Rr.
Asf pues, Ia franja D se transforma en Ia region limitada por
1 y por Ia circunferencia r
Ia recta de ecuacion Re w
{wE<C: lw - I= i}tangente a dicha recta (fig. 42).
=
=
2
=
1
=
=
ai
a1
a
= R 1 = 2~. La ecuaci6n de Ia circunferencia es
lw - 2~~ = 2~.
z- 1
- Ia franja D se
z-2
Por consiguiente, mediante Ia fu nci6n w = -
transforma en Ia region limitada por dos circunferencias tangentes
0
Fig.44
Fig.43
una a otra y cuyas ecuaciones son
(fig.43).
~
lw - ~I = ~ y lw - iI= i
dos incognitas
obtenemos a
(~-a)
4
= -,
3
en Ia circunferencia
R
2
= R 2 y (2-
2
= -.
La
3
a) =
2
R 2 . Resolviendolo,
.
.
circunferencm 1 2 se transforma
r = {wE C:
lw - ~I = ~ }. Asf pues, e l
anillo K se transforma en una region doblemente conexa cuya
1
frontera se compone de Ia recta Re w =
Ia circunferencia
(fig. 44).
~ Soluci6n. AI punto z = 1 le corresponde el punto w = oo, luego
Ia circunferencia
/1 = { z E C: lzl = 1}
se transforma en una recta ortogonal a l eje real (para Ia aplicaci6n
dada el eje real se transforma en el eje real). AI pun to z = -1
le corresponde el punto w
=
1
. Asf pues, Ia circunferencia 'Yl
2
transforma en Ia recta de ecuacion u
se
1
= -.
2
La imagen de Ia circunferencia 12 = {z E C: lzl = 2} es
una circunferencia en el plano w con centro en el eje real. Su
2
2
ecuacion es (u - a) + v = R 2 . Las imagenes de los puntos
Z 1 = -2 y z 2 = 2 pertenecen a esa circunferencia. A los puntos
z1
y
z2
les corresponden los puntos w 1
= 32 y
w2
= 2.
Para
determinar a y R obtenemos un sistema de dos ecuaciones con
2y
r
Wlcione5 elementiles en el
Fig. 45
1
..,. Soluci6n. 1) La fu nci6n w 1 = - transforma el conjunto P \ K
z
en Ia franja
G
d
= dw 1 = -z
i4
convierte Ia franja G
1
w,
donde h es un numero real cualquiera.
D1 =
{w
1
1
= -z
1
= -;-I
1
Wz = w, - dz I
dtd2
WJ
= d, + dz Wz,
transforma Ia lunula en Ia franja
y
2.
< Rew 1 < 2.}.
d
d
d, ( 1 d2)
d2
d1 +dz
--;conlleva a Ia region requerida (fig. 46). .,..
E C:
2
1
El ancho de Ia franja es igual a
d1
- I
3) El resultado de Ia composici6n de las aplicaciones
= Wz + ih = -zd + ihl o bien w = -wz + 1 + ih = --zd + 1 + i h,
2) La funci6n w 1
~ -~~a; l
1
d2
@)
Fig.46
en Ia franja G' = { w2 E C: 0 < Re w2 < 1}. Segun Ia soluci6n del ej. 35, 1), Ia forma general de Ia aplicaci6n buscada es
d,dz
w=-w3 =- d 1+d2
(1 1) =
-;--
d z-d
1 (
=-;-
2)
d , + d2
dz - d,
d1d2
1)
d,dz ( w - = --transforma Ia franja D1
1
dz- d,
dz
Dz = {Wz E <C: 0 < Re w2 < 1}; Ia aplicaci6n
La funci6n w 2
en Ia franja
w Wz + ih (o Ia aplicaci6n w -w2 + 1 + ih h E R) transforma Ia franja D 2 en sf mism al es decir en Ia franja D (v. ej.3511)).
=
=
1
1
.
Fmalmente
obtenemos que w
1
w
t® ' t® t
= {w 1 E C: 0 < Re w, < ~},
mientras que Ia aplicaci6n w 2
w
LLL
t®
0
2
= -dI d,- d2 ( dZ
..,. Soluci6n. 1) Para mayor claridad escribamos las condiciones de
partida en forma de una tabla
. o b1en
.
= -d,- (dz
- - 1) + th,
d2- d,
z
- 1) + 1+ ih, donde h E R es arbitrario (fig. 45).
z
-1
i
1+ i
w
0
2i
1- i
Busquemos Ia funci6n en Ia fo rma w
=kz+1
- - _El p unta - 1
z-b
se transforma en el punta w = 0. De acuerdo con Ia tabla, para
determinar k y b tenemos el ·sistema de ecuaciones
1 +i
2i = k - i - b'
{ 1 -i=k
2+ i
.
1 +t- b
=
(i -b) (2 + i)
0, oo, 1, resp.ectivamente.
<1111
Dividiendo las ecuaciones miembro a miembro, obtendremos una
ecu aci6n respecto a b:
2i
(1 + i) (1 - b + i)
1- i
i, 1, H - i; '
00, i,1;
-
Soluci6n. Es comodo resolver es te ejemplo de Ia misma manera que cl ej. 46: escribimos los datos en for~~ de una t~~la,
luego d eterminamos Ia forma genera l de Ia funcwn homograftca
y, finalmente, hallamos las incognitas a pa rtir del sistema d e
ecuacioncs.
1) Te nemos:
3 +2i
I: 1-: l7ll+i I
Tras una serie de transformaciones obtenemos b = - (i _ )2
1
Sustituyendo esta expresi6n en Ia primera ecuaci6n del sistema
hallamos que k =
l
-2:. Finalmente resulta
2i(z + 1)
w = - --'---'-
luego w = z - a, con lo que se verifica oo .-. 1. Del sistema de
z-b
ecuaciones
4z -1- Si
2) Las condiciones de partida escritas en forma de tabla
obtenemos a
sug ieren que Ia aplicaci6n hom~rafica se debe buscar en Ia forma
z- a
z- z
w = k - - - . Es obvio que se verifica Ia condici6n i----. oo. Las
= -i -
i= -1-a = 1+a,
-1-b
1+ b
i
a
{
1 + i=-.-b'
12, b
=i -
w=
2. Asi p ues,
z+i+2
.
z - i+2
2) Con ayuda de la tabla
incognitas k y a se determinan a partir del sistema de ecuaciones
i=k -1-a = k1+a,
-1 -i
1+ i
{
1
+i - a
= k 11+z
_ _ = k(1 + i - z
a).
1
Resolviendo este sistema obtenemos a = 3i, k = --.-, luego
w=
(1 + 2i)z + 6 - 3i
S(z - i)
1 - 2z
~
=
obtenemos que Ia aplicacion homografica tiene Ia forma w
.
i z-a
- - . En este caso -1 ~-+ oo e oo .-. z. ue da por dt
e ermmar
a.
·o
1
z + ello
. d e Ia ecuacwn
.,
Para
utilicemos Ia condicion i .-. 1. A parhr
i-a
1=i-i +1
obtenemos que a = -1 + 2i. Por consiguiente,
w -1/2
z -1/2
2) A partir de Ia condici6n w _
= k~
, hallamos
2
Ia funci6n w. Tenemos:
2w - 1
2z -1
- - - k-(2w - I ) (z - 2) = k(2z - 1) (w - 2),
w-2- z-2'
z{l- 4k) + 2k- 2
w=
.
2z{l - k) + k- 4
2 + i(z + 1)
w= - - - -
z+1
3) A partir de Ia tabla
I: ~ -~ I: I: I
vemos que Ia funci6n buscada tiene Ia forma w = az + b. De
las condiciones 0 = -a+ b, 1 = ia + b obtenemos que a = b,
1-i
a
Por tanto,
2
1-i
w = - -(z + 1}.
~
2
= --.
2z{1 - i) + i - 4
3) Las condiciones de partida sugieren que Ia funci6n w
I
1
I+ h(z - i)
satisface las condiciones - - .
+h
Por
W-t
<Ill
Soluci6n. 1) Buscamos Ia funci6n homogrtifica w en Ia forma
w-1
z-1
- 1 -1
2
k
- - . = k - -.. Dado que 0~--+ -1, entonces - - . =-. =-:-,
w-t
z-t
-1-t 1+t t
2i
de donde k = - -.. Por consiguiente,
1 +t
w-1
2i z- I
w-i I +i z-i'
w((I +i)(z-i)+2i{l -z)) =2{z-I)+(l+i)(z-i),
w(z(I-i)+i+I) = z{3+ i)-I-i,
w
(3+i)z-1-i
(1-i)z+i+l .
<111
t
= (w -
.
t) {1
+ hz -
.
th), w
=
. .
Z - t
z(1+ih) +h
hz + _ ih · Dado
1
.
1
{1 + i)
que 1~--+ oo, entonces h + 1- th = 0, h = _ + i = - -- 1
2
Obtenemos
z(3 - i) - (1 + i)
w=
. ~
(I+ i) (I- z)
tanto, z -
.
= --.
Z-t
=
Soluci6n. Para mayor claridad compongamos Ia tabla
Seg{m e l teorema 1, p. 1.3, para tres puntos
cualesquiera z1 E C, z2 E C, 'z3 E C y Ires puntos
cualesquiera w 1 E C, w2 E C, w3 E C, existe una sola
homografica L tal que L(zt:) = WJ.: (k = 1, 2, 3). Dicha
se puede determinar a partir de Ia expresi6n
dife rentes
diferentes
aplicaci6n
aplicaci6n
Hallar ~a aplicaci6n del serniplano suRerior eq s1
mismo que satisfaga las condiciones de normalizaci6n si- •
.guientes:
•
.
"1) w(O) 1, w(l) ;;= 2, w(2) oo; 2) w(O) 1, w(i) 2i.
51.
=
(1)
ZJ - z 2
Dado que - Z3 -
Z1
z +1
Ia forma -
z
1
= -,
2
- = (1
W3 -
w2
W3 -
W1
1
1+i
= --,
Ia ex presion (1) toma
2
(w - 1)
z- i
w- 1
tz -1
=
2(z-1)
w-2'
w=--.
2-z
2) Compongamos Ia tabla
={
La funci6n w transforma el semi plano superior P
z E C:
1m z > 0} en el circulo unidad K
w E C: lwl < 1}, cuyo
centro w 0 es Ia imagen del punto i. .,..
=
=
Soluci6n. 1) Segun e l teorema 1, p.l.3, tenemos
z
w- 1
2
+ i)---. , cfe dondc w = -.- - .
={
=
z
0
i
-t
w
1
2i
-2i
N6tcse que el punto -i se transforma en el punlo -2i, ya
que i se transforma en 2i (las imagenes de los puntos simetricos
son puntas simetricos). Volvamos a aplicar el teorema 1, p. 1.3.
Obtenemos
2z
4i
w - 1
2z + 1
z - i = 2i + 1 • W - 2i W = - 2 • Z - 2
...
I
1
Soluci6n. Segun el teorema 1, p . 1.1, toda funci6n homografica
az+b
-
-
= - - es una aplicaci6n homeomorfa de C en C. Como
w
ez + d
1
ad- be
w = (ez + d)2 , en el caso 1) se debe cumplir Ia condici6n
.,
Lfun"'
1 Sl
o uc10n.
a
cton
ad- be > 0, yen el caso 2) Ia condici6n ad- be< 0. En el caso 3)
·' h omogra'fica hene
·
I a f orma w
Ia aplicac10n
· az + b
= t--1\ad-be
<0
ez +d
=
7f
2
z-R
= kz+R
- - , p uesto que
w
0 para z
R y w - t oo cuando z -+ -R. A partir de
Ia condici6n w(O) = 1 se obtiene q ue k = -1. De este modo,
(Ia multiplicaci6n por i hace que el serniplano inferior gire en
un angulo
=
.
Ia forma w
w hene
R-z
w=--.
R +z
en sentido positivo, es decir, que se transforme en
La funci6n w transforma el eje real Ox en el eje real
el serniplano derecho). Recordemos que conforme a Ia definicion
general de funci6n homografica, los numeros a, b, c, d son
reales. .,..
0' u. Por consiguiente, la· imagen del intervalo - R < x < R es el
sernieje real positivo (un rayo) y Ia imagen de Ia sernicircunferencia
1
16l>r.l6
={z E C:
lzl < RI\Im z > 0} es Ia sernirrecta de pendiente - ~
2
que sale del origen de coorder1adas. Utilizando Ia regia del
recorrido y Ia propil!dad de las transformaciones conformes de
conservar los m6dulos y los signos de los angulosl obtenemos
que Ia imagen del semicirculo superior es el cuarto cuadrante
D = {(u~v) E ~: u > Olv < 0} . ll>
1
i
-
=X
(1)
0
1
<1111
1
1
9
.
1) = 1
+ ( y• - 4
161
2
i =
es decir~· Iz- 4
1
1
16
.
En este caso Ia imagen simetrica es Ia circunferencia d e radio
9
. = - +i.
2 +t- t
2
l
y centro en el p un to z = -.
ll>
4
Soluci6n. Utilicemos Ia formula (1) del ej. 53.
<1111
i9
1) Es evidente que z
2
= x2 + 4.
2
• 2
(x)
z = - = =
- = -(2 + i).
z 2+i = 2-i
5
En el caso 2) zo = i R = 3 z• = i+
Y
+4
obtenemos que
donde z 0 es el centro de la circunferencia y R es su radio.
En el caso 1) Zo = 01 R = 1; por consiguiente1
1
•
I
Sustituyendo x =
en el segundo miembro de Ia igualx
dad x"
-2--~ tras una serie de transformaciones sencillas
R2
1
X
= x2 + 4
2x*
y.
= z0 + -==~
z- z
1
= 1 +1e-io =
3) Escribamos Ia recta defmida en el plano mediante Ia
ecuaci6n y = 2 en Ia forma 'Y = {z E C.: -oo < Re z < +oo~
Im z = 2} 1 es decir1 z = x + i2.
Entonces
•
•
. +
1
X+ i2
X
•
2
z =x +ty = - - = -=- + t2- - 1
x - i2
x2 + 4
x2 + 4
x +4
Soluci6n. Segun la formula (3) 1 p. 1.21 tenemos
•
entonces z"
0
•
z*
1
2 + 2tg 2. La imagen simetrica es Ia recta de ecuaci6Q x = ~.
x
<1111
= 1 + ei9
2) Dado que z
e
•
1
~
= T.
Entonces z = i = 2e
son
los puntos de Ia circunferimcia de radio 2 y centro en el origen
de coordenadas.
ll>
Soluci6n. 1) Es obvio que arg w(x) = a+ 2 arg (x - {3) 1 puesto
que arg (x- P) = - arg (x- /3);
2) Derivando w(x) obtenemos
'( }
ia Z
wz=e
16"
~
4
-
P- _Z + f3 =eia
(z - /3)2
f3 -
P
(z - {3)2
i~
=e~
i2b
(z - f3)2
3) Por cuanto
lw (z)l
1
=
2
b
lz - fJI 2
, para
iO Z - 2i
obtenemos w = e - -.. Puesto que
z + 2t
V2b < lz - PI tiene
lz- PI
Iugar u na contracci6n, mientras que para .J2b >
una dilataci6n. De Ia igualdad lz - PI = l(x - a)
deduce que
inf
zER
+ i(y -
4i
i8
I
w (z) = e
ocurre
b)l se
(z
+ 2if'
I
7f'
•
argw (2z) =8--=0,
2
entonces 8 =
lz - PI = )(x- a)2 + (y + W lx~a
=b.
Y- 0
7f'
2, lo cual implica q ue
z- 2i
w=i-- .
z +2i
3) De manera analoga a 1) y 2) b uscamos Ia funci6n w en
. z- (a+ bi)
Ia forma w = e' 81
(
• Tene mos:
z- a- bi)
.; .
ei(B1- 7f/2)
2bt.
I
i8
I
•
18
w (z) = e I (z - (a- bi))2, w (a+ bi) = - 2b e I =
2b
'
y>O
A partir de Ia d esigualdad V2b < b vemos que para b ~ 2
todo el semiplano se contrae. Si b < 2, Ia region que esta dentro
del circulo K = { E C:
< V2b} se dilata. .,..
z
lz - PI
I
•
a rg w (a+ bt) = 81 7f'
de d onde 81 = 2
+ 8.
w
~
.z - a
z-t-a
2) Toll}ando a = 2i en Ia formula general w = e' 0 - - ,
Realizando el cambio z = {J hallamos
- 10
. t'2b
ei(a- 1f/2)
I
w (fJ) = ~ (i2W =
2b
7f'
2
=
8,
Finalmente,
= ei(('lf/ 2)+n) . z -
(a+ bi) .
z - (a - bi)
Soluci6n. 1) conforme a Ia formula (4), p.l.3, Ia forma general de
Ia aplicaci6n que transforma el semiplan o superior en el circulo
unidad es w = ei8 z -
~. De Ia condici6n w(i) = 0 se deduce
z-a
.
i8z - i
.
. .,
que a = z. De este modo, w = e - -.. Denvando Ia func10n w
z +z
obtenemos
·
1
1
•
eiO
I •
l i0
i(0- 1f/2)
w (z) = 2z- -.-, w (z) = -- e = - e
.
2
(z + zf
2
1
A p artir de las cond iciones de partida argw (i) =
se deduce que 8 = 0. Por tanto,
z- t
z +t
w = - -..
7f'
-2=
8-
7f'
2
~
Soluci6n. Transformemos primeramente el semiplano P en el
circulo unidad K 1 = {w E C: lw l < 1} de forma que el punta i
se transforme en su centro w = 0. Utilizando el ej.56, 1), tenemos
·oZ - i
I
1 i(O-'If/2)
7f'
w 1 = e' - -. y w (i) = -e
. Para 8 = - la de rivada
z +t
2
2
1
iK/ 2 z -i
.z-t
w'(i ) = - > 0. Por consiguiente, Wt = e - - - t - 2
z+i- z+i.
Ahara nos qued a efectuar una aplicaci6n de semejanza y una
traslaci6n w = Rw1 + wo. Finalmente obtenemos
w
i
= Riz- -. + w0 .
.,..
z+ ~
_. Soluci6n. Dad o que mediante una aplicaci6n homografica los
puntas sirnetricos se transforman en puntas simetricos y 0 I-+ 1,
entonces oo ~--+ - 1. H acienda uso d e Ia tabla
2ei9 - ia1
2ei0 ~--+ iv, iv = - .9 • . En particular, para v = 0 tene2e' + ta 1
.
•
.
7r
mos 2e'8 - ia 1 = 0. Esta igualdad se verifica si B = - , a1 = 2.
2
z- 2i
Asf, w(z ) = ---.. .,..
z +2t
.. Soluci6n. Transformemos inicialmente el drculo K en el circulo
unidad K 1 = {w 1 E C: lwd < 1} con ayuda d e Ia funci6n
z
~
~
w1 = - - 2i. Tenemos w 1 = 0 ~--+ w = -4, w1 = -i ~--+ 0. Dad o
2
que el punta w = - 4i es simetrico al punto - 4 respecto a Ia
recta v
= u, entonces w 1 = oo
1-+
-4i . Compongamos Ia tabla
vemos que Ia funci6n hornografica que transforma K en P, tiene
Ia forma
z- a
w = k -- .
z- b
A partir d e Ia condici6n de normalizaci6n obtenemos k = -1 ,
b = :-a. Por tanto,
y busquemos Ia aplicaci6n requerida mediante Ia formula general
de las aplicaciones homograficas:
z-a
w= - - - .
z +a
w1 - a
w=k- - .
b
conforme a Ia condici6n d e normalizaci6n,
WJ -
Derivando la funci6n, obtenemos
2a
I
w(z ) =- (z+ a)2 ,
arg w I (0) = arg
(
2)
-a
I
2
w(O)=- ~,
=
1r -
arg a
7r
de d onde arg a
=2
Por consiguiente, a
-4 =
a +i
1
7r
a = -i,
(a 1
>
0) y
2
= u + iv.
k = - 4i.
iz + 2
= -4- - - - - 2i - 1
z - 2 - 4i
se transforma en el eje imaginario del plano w, es decir,
=
b = 1,
z 2' .
. 2z+ z
La frontera del cfrculo K
w
- 4i = k ,
Por consiguiente,
1
w = - 4t z
z - i a1
---.
-. Sea w
z + ta 1
k b + i = 0,
de donde
= -2'
= ia
ka
b
Utilizando el ejemplo anterior, obtenemos
W 1 + ii
iOZ- a
- - = e --_, 9 E R es arbitrario.
w1 +a
z- a
Sustituyendo w 1 por - w, resulta
w- ii
;oz- a
.,... Soluci6n. Sea w = w(z) Ia aplicaci6n buscada. Entonces Ia
funci6n
w - b ·o
w ~--+ ---e'
(9 E R es arbitrario)
w- b
transforma el semiplano superior del plano w en el circulo unidad
con centro en el origen de coordenadas. Este mismo circulo es Ia
imagen del semiplano superior del plano z mediante Ia aplicaci6n
z -a ·
z ~--+ --e''P
z-ii
--=e - -.
w-a
z-ii
Derivando esta igualdad, hallamos
(w(z) - a)2
Haciendo z
w- b
iO
1
z- a
-
-
1
w (a)
Por consiguiente, arg w'(a)
z-ii
(9 1
= r.p- 9
1mb
(w(z) -b)
Hacienda el cambio z
w(a) = b, obtenemos
=a
1
(z)
Im a
= eio --~
2
9 = ~, debido a que
2
= -ei
0
.
=9 ± 1r = --7r2 (segun las condiciones
< arg W
-1r
1
(a) ~
w-a
z-a
w-a
z- a
- - = i - - _.
1
(z - a)
(z - ii) 2 ·
.
3
de partida). De los dos valores 91 = - 27r, 82 =
es arbitrario).
Derivando ambos miembros de esta igualdad, obtenemos
---~w
2
-
=a y dado que w(a) =a, obtenemos
(r.p E R es arbitrario).
Por tanto,
-w-- -b = e
ei 0
w'(z)
.
7r.
7r
2
elegimos
Finalmente,
....
y tomando en consideraci6n que
1mb ·o
w1 (a)= --e' 1.
I ma
Imb
Dado que - 1rna
obtenemos
> 0, entonces arg w 1(a) = 91 • Tomando
w(z)-b
w(z)- b
=e
;0 z-a
_,
z-a
91
= a,
o
1
argw (a) =a.
.,... Soluci6n. 1) Para z = ei'P obtenemos
w = eia
.,... Soluci6n. Sea w = w(z) Ia aplicaci6n buscada. Haciendo
w1 = ei7f w = -w obtenemos el semiplano superior y a ~--+ -ii.
Sea a
ei'P - a
.
ei'P :..:.. a
ei'P - a
. = e'er .
.
= ei(a- tp) . -:--1- ae''P
e''P(e-•'P - ii)
·
e-itp- a
= >.ei 01• Entonces
i
9(r.p)=a-r.p+2arctg(e'P~ a) =a-rp+2arctg
sen r.p - >. sen 91
.
,
cos r.p - /\ cos 91
2) Derivando Ia funci6n dada, obtenemos
'( )
w z =e
ia 1
~
2
- iiz + ii(z - a)
ia 1 - lal
=e
2
(1 - iiz)
(1 - iiz )2 '
2
w'(O) = eia(l -lal
w (a)=
(1)
eia
f
),
1
-lal2 .
I(~ =:~;2 1 > 1, Ia parte correspondiente del cfrculo
se dilata; si I (~ =:~~2 ~ < 1, entonces se contrae. Resolviendo estas
3) Si
desigualdades elementales, obtenemos que el conjunto de los pun-
too inte<imos del cin:ulo G
~ { zE C lz- ~~ < /
~ { zEC lz- ~~ > /
"' ~ ~ {zE C lz- ~~ ~
: ,
11
-I} se mnt•oe.
/l:l'
: , - I}
11
La ""unfe.en-
- 1} es isomit<ico. Si
a~ O,
entonces lw' (z)l = 1.
4) A partir d e las estimaciones 11 - iiz l ~ 1 - lallz l ~
I - liil, II - iizl ~ I + lallzl ~ I + lal, para Ia d erivada w'(z)
determinamos
max lw'(z) l = I+ lal ,
lzl~ l
1-lal
= - -.
2) AI ig ual que antes, hacemos a =
se dilata y el conjunto de los puntos exteriores del cfrculo
D
Soluci6n. 1) Utilicemos Ia soluci6n del ej. 62, tomando en 2)
1
a = -. Obtenemos
2
eia
= arg - - = 0 =} a = 0,
arg w'
1
2
1-4
entonces
1
z- 2 2z -1
w= --z__
2-z
1
2
minlw'(z)l = 1 - lal.
I•I ~I
1 + lal
w' (
~)
=
Por consiguiente,
arg w' (
eia ,
1
1 --
t
2. Entonces,
~) = ~
=}
a=
~·
4
i
2 .2z - i 2iz + 1
w = e 2 - - . - = t - - = --.-.
;" z -
2 + iz
tz
1+ -
2 +tz
2
.
e•a
-lal 2 ·
3) En el punto 2), ej. 62, se demostr6 que w'(a) =
1
Tomando aqul a = 0, obtendremos w'(O) = eia . A partir de Ia
7r
7r
condici6n arg w' (0) = - - resulta que a = - - . Por tanto,
2
2
· 11
w=e-' 2 z= - iz
(despues de sustituir a
= -~
y a = 0 en Ia form ula general
. z- a
w =e'a - - ).
1 - iiz
4) Sea w = w(z) Ia aplicaci6n b uscad a de K en Kt.
·o z - a
i i(J
w- a
f
Las funciones z ,_.. e' - - -- y w ,_.. e ---- trans orman,
1 - az
1- aw
respectivamente, los circulos K y Kt en sf mismos (0 E lit tp E ~
son arbitrarios). Dado que arg w'(a) =a, de un modo ancilogo a
w-a
· z-a
Ia soluci6n del ej. 60, tenemos - _ = e'a _
..,..
1 - aw
1 - az
cfrculo Kt
<1111
Soluci6n. La funci6n Wt(z)
z
=-
Rt
unidad, y Ia fu nci6n
y w(l) = 0.
transforma K en el d rculo
<1111
Wz
- Wt(a)
= e;o 1Wt- Wt
=
(a)wt
z
a
ie Rt - Rt
e
1 - az
z- a
= eieR1 ~
Rl - az
= {w E C
Soluci6n. Hacemos w 1 = w - 1. Entonces lwd = lw - 11 ~ 1.
Toda aplicaci6n del circulo unidad K en el cfrculo unidad
K2 = {Wt E C: lwd < 1} tiene Ia forma general
in z- a
w1 = e ----,
R2
1- az
I
transforma este d rculo unidad en sf mismo. Sea w = w(z) una
aplicaci6n del drculo K en el drculo K 1• Entonces Ia funci6n
·
Segtin las condiciones de partida,
w-b
z
W 3-- e'~~'R2 ---=2 -
Jl2 -
2"
Haciendo z
hallamos
R2
-
(~- bw(z))
=a
2-
•·
.
{
= b,
R 1 Ri -IW i(O-IPJ
w'(a)= R2. R~ - lal2e
lbl 2
R2 R 1 - Ial 2 > 0, entonceshaciendo 8-rp = a obtenemos
que arg w' (a) = a. Finalmente resulta
R2
w- b
-
R22 - bw
·
= e'QR 1
z- a
_
R 21 -az
--
-1
2
_ aeiO -_ -~,
2
i(O- IP)
2e
·o
Rl
i(O-IP)
~ -IW w (a) = R~ - la!Z . e
'
0
2
Los parametros desconocidos se determinan del sistema de ecuaciones
y tomando en consideraci6n que w(a)
I
R1 R~ Como - · 2
(R~- az )
-
1
W -
Derivando esta igualdad, obtenemos
2
R~ -laf
R w'(z)(R~ -lbl ) _ R
1
w
Wt
b
i(O-IP)
Z - a
=e
Rt 2
.
2
R2bw
R 1 - az
1
0
bw
tambien transforma el drculo unidad en si rnismo. En las formulas
obtenidas 8 E IR, rp E IR son arbitrarias. Asi,
R2
0 E JR.
~
Haciendo e'
= -1
1- a ;o _ - 1.
- e
1-a
-
t>
en Ia segunda ecuaci6n del sistema, obtenemos
2a
2
2
1- a= - 2a + 2lal , o bien a= 2lal - 1.
Dado q ue (2lal 2 - 1) E IR, entonces a es un numero real y a= a .
El valor de a se halla a partir de Ia ecuaci6n de segundo
a
1
,
1
grado a2 - - - 0, cuyas raiCes son a1
1 y a2
=
1-aeie I = IaI = ~
2
Puesto que
2
sistema}, entonces a
=
= --2
(vease Ia primera ecuaci6n del
1 ·o
= - -12 . Por consiguiente, a = --,
e' = -1 .
2
Sustituyendo estos valores en Ia formula para w1, obtenemos
1
WJ
A si pues, w
z +2
2z + 1
= ---z
= -1+ 2
1- z
= w1 + 1 = --.
2+z
<01111
Soluci6n. Utilicemos el teorema siguiente: para que exista una
transformacion conforme del anillo K' = {z E C: r1 < lz l < rz}
en el anillo K" = {w E C: R 1 < lwl < R z} es necesario y
-R2
2+z
suficiente que se cumpla Ia condicion R t
= rr2
aplicacion puede ser solo de uno de dos tipos:
~
w = az,
a
o bien w = -,
z
1
Ademas, Ia
a E C.
Para determinar Ia aplicacion de modo univoco hay que indicar
un par de puntos frontera que correspondan uno a otro mediante
dicha aplicacion.
1) Es evidente que en el caso considerado Ia funcion
tiene Ia forma w
<01111
.,.,
w- 2i
..
S ol uc1on.
10memos Wt = z - 2 y w2 = - - . De este modo,
2
el problema se ha reducido a Ia transformacion del circulo
K 2 = {wi E C: lwd < 1} en el cfrculo K 3 = {w2 E C: lw2 1 < 1}
bajo las condiciones w2(0) =
-~, w~(O)
= 0. Utilicemos Ia
2
solucion del ej. 64, tomando en esta R 1 = R 2 = 1, a = 0.
Obtenemos
i
w2 + 2
=wt,
i
1 - -w2
i
i
WJ-z - 2-2
2
w2 =
=
i
i
1 + 2W1 1 + -(z - 2)
2
2
Como w = 2(w2 + i), cntonces
w = 2(wz
+ t). = 2 ( 2z -
4- i
2 + i(z - 2)
2z- 4- i
= 2 + i(z- 2)
z --2 +i
+ i) = 2-
iz + 2 - 2i ·
= z~,
puesto que segtin las condiciones de
partida Ia imagen de Ia circunfe rencia interior del anillo K es Ia
circunferencia exterior del anillo K 1. Como w(S) = - 4, tenemos
a
. . te,
- 4 = -,
fuego a= -20. por constgUien
5
20
w=- - .
z
2) Hagamos w 1 = z - 2i y w2 = w - 3 + 2i . Entonces
1 < lw 11 < 2 y 2 < lw21 < 4, y el problema se ha reducido
a Ia transformacion de un anillo concentrico en otro, con Ia
Particularidad de que ~ = ~- Ademas, w 1 = -2i ~---+ - 4. Vemos,
2
1
.
pues, que Ia circunferenci~ exterior de ~ anillo se tra_nsf?rm~
en Ia circunferencia extenor del otro anillo; por cons1gUiente,
w 2 = aw 1, es decir, w - 3 + 2i = a(~- 2i). La constante ~
se determina de Ia condicion -4 = -2ta, de donde a = - 2z-.
Finalmente,
w = 3 - 2i - 2i(z - 2i) = 3 - 2i - 2iz - 4 =
-2iz- 1 - 2{ -(2iz + 1 + 2i). ~
=
=
<1111
Soluci6n. Hallemos dos puntos ±a que sean simetricos respecto a Ia ci-rcunferencia 8K =
{z E C: lz -hi = R} y respecto al eje imaginario. Estos puntos
satisfacen Ia condici6n
(h- a)(h +a)= R
es decir, h2
-
a
2
= R2
Tomando p = 1 y R = 1 en Ia formula (2) del ejemplo anterior y
multiplicando su segundo miembro por 2 (lo que'corresponde a!
5
factor adicional 2 en {1)), obtenemos 1 = 2(h- Vh2 - 1) h = -.
-0
1
Sustituyendo h
-a
5
=-
4
w=e
2
;o
a1.2
4z- 3
2-4z +3
1
I
4
en {1) hallamos finalmente
_..
=
R2. Busquemos Ia apli-
±Jh2 -
caci6n w en la forma
Fig.47
w
= eio z -
vh2 - R2
z + Jh2 + R2
1
{1)
B E 1R.
Para z = iy tenemos
w
<1111
lwl = ie;ol·[~y- Jh2 _ R21ty + J 1h2- Rz - 1.
iO iy - .fFi2=_ R 2
=e
iy + vh 2
-
1
R2
(3- a)(3- a*)= 81
p=
-
R2
h+R+vh2 -R2
1
.../Ji+R- ~
= vl}+R+vh+R =
=h~>-Jh2-R2 =~-/-(~r -1.
(8- a)(8- a*)= 256.
1
1
h + R- Vh
1
Resolviendo este sistema obtenemos a= 0 y a* = -24. Ahora se
puede solucionar el problema de dos maneras:
1) Aplicando a = 0 ~---+ w = 0 y a* = -24 ~---+ w = 00 Ia
circunferencia 1 2 se transforma en Ia circunferencia ~~ = {w E C:
lwl = 1}. Por consiguiente
Por consiguientel el eje imaginario se transforma en Ia circunferencia 1- Por cuanto el pun to h + R se encuentra en Ia circun ferencia
8K (fig.47), la cual se transforma en Ia circunferencia de radio p
y centro en el punto w = 0 entonces
2
Soluci6n. Hallemos ante todo dos puntos a y a* simetricos
respecto a /1 y / 2:
z
z +24
w=k--.
(2)
Ya que el punto z = 24 E 12 se transforma en un punto
24
-8
de Ia circunferencia ~~~ entonces 1 = lkl-~ lkl
21 k
2e' 1
...
B = JR. La funci6n w
=
48
=
= w(z) adquiere Ia forma
;o 2z
z+24
Como el punto z = 12 -€ 1 1 se transforma en un punto de Ia
circunferencia pI entonces
w=e - -
<1111
I
Soluci6n. Utilicemos Ia soluci6n del ejemplo antenor. Ya que se
debe cumplir Ia condici6n lwl = 21 entonces
Vh2 -1
w = e 2
v'ii2=}
z + h2 -1
iO Z -
1
B E lit
p = eio
a•
{1)
17 Ja•. ) 6
u-"
1~ :~4~ = ~: = ~.
=
=
2) Aplicando el punto a
0 en w
oo y el punto
-24, en w = 0. En este caso Ia circunferencia /l se
trans forma en la circunferencia 1'. Tenemos:
z +24
w=k---,
z
i6 z + 24
w=e - - -
p -
Los puntos fijos de Ia funcion homognifica S o Lo s-• que establece Ia correspondencia entre v y ( son 0 e oo, luego v k(, donde k -;s una constante compleja.
Por consiguiente, Ia aplicaci6n lineal L tiene Ia forma
=
eiB
36
1 = lk l12'
k
= -,
3
24 + 24
_8 E
lit
=
2
-3-24-- 3
3z '
=
ZJ
k Z - Z1 •
( )
1
w- z 2
z- z 2
En caso de que z2 oo, para L tenemos w - z 1 k(z- z1) .
La formula (1) se denomina forma normal de una aplicnci611 lwmogrtiftca con
dos pun los fijos. Como
k = w - z 1 • z - z2
(2)
W -
(el punto z = 24 E 12 se transforma en un punto de Ia circun ferencia de radio p y centro w = 0). .,..
=
W - Z2
no depende de z, entonces tomando z
Nota. AI resolver ciertos problemas en los que se utilizan las funciones homogrMicas, es comodo utilizar Ia denominada forma normal de Ia aplicacion homografica
con dos puntas fijos.
. ' 11omogra' f"tea L : z ,_. az +
b , d Jstmta
" .
d e Ia ap1Jcacwn
· . • 1"d.enhca
.
11od a f uncwn
cz + d
w = z, tiene a lo s umo dos puntos fijos, los cuales se mantienen invariables
mediante Ia aplicacion L. En efecto, Ia ecuacion
z
az + b
= ...---cz + d
Z- Z t
b
= 0 y w = d obtenemos
a + d- J(a - d} 2 + 4bc
{3)
k - __:_-~~~==
- a
Si z
+ d + J(a -
d)Z + 4bc ·
a
=oo, entonces k =d.
Sc dis tingucn Ires casos: 1} k > 0; 2) k = ei0 (8 i= 0); 3) k = reio (8 i= 0, r i=
1). En el caso 1) Ia aplicaci6n (1} se denomina hiperb6/ica; en el caso 2), eliptica y
en el caso 3), loxodr6mica.
tiene dos raices
ZJ.2
=
a-d± J(a- d)2 +4bc
2c
=
que pueden coincidir si (a - d)2 + 4bc
0, mientras que en el caso contrario
tenemos dos p untos fijos.
El caso en que oo es un punto fijo es-posible solo para c 0, es decir, si L es
una funcion lineal entera. Si ambos puntos fijos coinciden con oo, entonces c = 0
Yc d = a, lo que corresponde a una traslaci6n paralela.
Sea L una funci6n h2mografica condos puntas fijos diferentes z1 y z 2 • Para
mayor comodidad consideraremos que los puntas z y w
L(z) estan en un
mismo plano. Tomaremos tambien un plano auxiliar para representar las variables
v y (. Hagamos
w - z1
v= - - =S(w},
=
~ Soluci6n. 1) Es evidente que w = z 11a .
2) La aplicaci6n w1 = (zei~/4 ) 413 = z413 ei~/3 hace corresponder el interior del angulo con el semiplano superior. Hagamos
uso de las condiciones de normalizaci6n escribiendolas en forma
de una tabla:
=
w- z2
z- z,
( =- = S(z ).
z- z2
En el caso z = oo hacemos v = w - z = S(w}, ( = z - z = S(z).
De las formulas v = S(w}, w = L(z}, z = s-1((} obtenemos
2
1
v
= (S o L oS-
z
1- i
i
0
Wt
~
-1
0
w
2
-1
0
1
1
)((}.
17•
Funciones tri onome!ricas e hi
La aplicacion w = w(w.) tiene dos puntas fijos: - 1 y 0.
Apliquemos fa formula (1):
W +1
1
- = kWI+
-- ,
w
de donde
w
= __WI_:.. ___
(k - 1 )wi
WI
Queda por determinar k. Utilicemos el hecho de que
= 2. Tenemos:
= ~ ,_.
2+1
~+ 1
- = k-3--,
2
\Y4
00
-1
w
0
1
00
= w(z) tiene Ia forma
1
= WI - = ( Z +
W
-
WI+
es decir,
1
-
1
Es evidente que Ia funcion w
w
0
WI
+k
WI
·-1
z
1
Z
1)
2
-1
2) La tabla de las condiciones de normalizaci6n es
3~
k- -,----- 2(~+1)'
k -1=
3~-2
2( ~+ 1)
.
Sustituyendo wi = z413 ei"/3 en Ia formula dew, obtenemos
2( ~ + 1) ei"13 z 413
w- (~ -2)ei"/3 z 4/3 +3~·
z
1
-1
0
WI
-1
1
00
w
-1
1
00
.,..
La aplicacion w
w2
= w(w 1") tiene dos puntas fijos Wt = 1 y
= oo. Entonces, a! igual que antes,
w
= 1 + k(wi -
A partir de Ia condicion -1
Final mente,
w
"
=1 -
deduce que Ia funcion
WI .
= -
~ ( z + ~)
1) Escribamos las condiciones de normalizacion en forma
de una tabla:
1), encontramos k
= 1.
~ ( z + ~) r =-~ (z + ~) =-z 2: 1.
2
( 1+
=
·
W - Z
ia
WI -
w+i =e
transforma el semi-
circulo J( en el semiplano superior. En cada uno de los tres
casos determinaremos Ia aplicacion requerida w a partir de las
condiciones de normalizacion.
= 1 + k( - 1 -
i
3) Dado que z
2 >-+ w 1
solucion del ej. 60 obtenemos
..,. Soluci6n. De las propiedades de Ia funcion de Zhukovski se
1).
WI+
3
4
3.'
=34:i
>-+
dw
-i
4%
w
a= arg
=i , utilizando Ia
(~i)
4
dwi
Diferenciando w como una funcion compuesta, llegamos a
dw
dw dwi
dz
dwi dz
-=--,
La constante a se determina del sistema de ecuaciones
de donde
· dw
arg
·
(~i)
dw1
=argw
'(i)2
'(i)2
-argw 1
3.
W1- -1
w - t·
.
4
--.=1
3'
w+1
.
W1
w= -
+ -t
4w 1 +3
4w 1 - 3
=
=- 7r ±7r= 7r .
2
.l+a
1 = -t-1 +a'
-1
_
= - .1-a
t-1- a'
o bien
2
1 +a= -i(1 +a)
{ 1 - a= i(1 - a).
Sus soluciones son a= i y a= -i. Por consiguiente, Ia funci6n w
tiene Ia fo rma
-2z2 +3z- 2
2z2 + 3z + 2 ·
-
4
~ (z + ~)
-i
z
. 2
w
=- t
1( 1)
- 2 z+ ; +i
z
=t
+ ~z + 2i
1 .
-z-; + 2t
. z2 + 2iz + 1
- z2 + 2iz - 1
3.
2
z + 2iz + 1
= iz
2 + 2z + i .
=t
2) Ya que z =
i
2 ~--+ w 1 = 41 ~--+ w = 0, entonces
3
jq
w= e
..,. S oluci6n. Transformemos prime ramente el semidrculo K e n el
semiplano superior w 1 med ian te Ia funci6n w 1 = -
~
(z
+ ~) ,
Wi
- 1
1
00
w
1
- 1
-i
0
t>
w=e --_,
w 1 -a
1 +a'
iO WI -
-z
4wl
+ 3(
24iei9
=
24ieiB
-36 =
2.
+ 3i)2 '
dw
iO
- 3te '
(~i)
dw
arg
arg
dw
1
7r
=
-2 +B.
(~i)
(.)
(.)
4
= arg w' _: - arg w; _: .
d~
2
BErro
a
i B1 - a
- 1 =e _,
1 -a
3'1
Por otra parte, como vimos en el problema anterior,
2
dw
A partir de las condiciones de normalizaci6n obtenemos
iO 1 + a
1=e · - -
(~i)
dw1-
La funci6n buscada w tiene Ia fo rma estand ar:
iBwl-a
+3. = e
dw1 - (4wl
dw
-1
w1
dw
1) Escribamos Ia tabla de normalizaci6n:
1
4
4
Diferenciando la funci6n w respecto a Ia variable w1, hallamos
y desp ues el semiplano superior en e l drculo unidad d e manera
que se verifiquen las con diciones d e normalizaci6n .
z
4
w i - -1
.
iB
-1=e .
Sustituyendo en esa igualdad
arg
(~i)
dw
1
argw'
7r
=
-2
+
8,
(~) = i, argw\ (~) = ±7r y eligiendo argw\ (~) =-7r
(dado_que
- 1r
< arg w' ( ~) -
arg w;
7r
7r
2
2'
--+B= - -
( ~)
0
Considcremos Ia funcion
:s:; 1r), obtenemos
w2=
= 0.
-2
(z + ~) z
w = 4w 1 +3i = _ 2 ( z+
3i
~) + 3i
2z
2
+ 3iz + 2
2z2 -
3iz + 2 ·
R l /a '
Vemos que w1 = -R11a ._. w2 = 0, Wt = R 1/ a ._. w2 = oo,
1
w2(RI/ai) = "2(1 + i)2 = i. Por consiguiente, Ia fu ncion w2 trans-
Finalmente,
4w1 - 3i
w 1 + Rifa
W1-
~
fo rma el semicirculo dado en el primer cuadrante del plano w 2 .
Por eso Ia aplicacion buscada es
w
= w~ = (zl fa + Rl /a ) 2
z l/a _ R lfa
zlfa _ Rl / a
..,. Soluci6n. La transformaci6n considerada se cfcctua mediante
Ia funcion de Zhukovski w
= ~ ( z + ~) . Asimismo, se puede
utilizar una funcion homografica que tra nsforme Ia region G en
el primer cuad rante y despues elevar al cuadrado el resultado.
Tomemos w 1
2) La fu ncion w 1 = 11
transforma Ia region D
Z a + R 11a
en Ia region D' = {w 1 E C: lwtl > R 1fa Aim w1 > 0}. conforme a
la solucion del ej. 74, tenemos
w=
zlf a _ Rl /a ) 2
( zl /a R lfa
+
~
z- 1
= --.
Entonces z = 1 .--. w = 0, z = - 1 .--.
z+ 1
1
= oo. Verifiquemos que Ia funcion w 1 transforma G en
el primer cuadrante. Para ello calculemos w 1(z) para z = i.
w
i -1
Obtenemos w 1(z) = -.'+ 1
2
z
w w} ( z + 1
~
= =
-1)
2
= - (i- 1)
2
= i. Por consiguiente,
..,. Soluci6n. 1) La funcion w 1 = z 11a transforma el sector S en el
semicfrculo superior de radio R 1/a y centro en el punto w 1 = 0.
..,. Soluci6n. 1) Hallemos los vertices de Ia lilllula, o sea, los
puntas de interseccion de las circunferencias definidas mediante
las ecuaciones lzl = 1 y lz- il = 1. Tomando z = ei 8 obtenemos
1 = iei8 - il, o bien 1 = I cos B + i(sen B- 1)1 = yl2(1- sen B),
1
7r
j!.
i~
de donde encontramos sen 8 = -, 8 = -, z 1 = e 6 y z2 = e 6
2
6
(fig. 48). La aplicacion homografica que transforma el pun to z2 en
e l cero y el punto z 1 en oo es
0
Wt=
Zt
z +T
-2
v'3
i
2
=
z----
2
2z + v'3 - i
2z - v'3- i
.
Teniendo en cuenta que w 1(0)
1
v'3i
- 2+ 2
y w 1(i) = -
=
1 + v'3i
, encon2
Fig. 48
tramos Ia imagen de Ia lunula D 1 en el
plano w 1 (fig. 49). Las tra nsformaciones
posteriores son evidentes. Primero efec27r
; 2..
tuamos un giro en un ang ulo de mediante w2 = e- T w 1 y
obtene mos
_
(
3 _
W-W2--
w= wi12 . Fina lmente,
w = - ( 2z + v'3 -
i)
3) La funci6n w 1
3/2
2z- v'3- i
Fig. 53
Fig. 52
Fig. 51
3
d espues hacemos
8
8
v'3i
i)
3
2z + v'3 2z- v'3- i
= 2z+v'3-i
r.;
.
2z- v3 -
transforma Ia lt1nula D 3
t
en el interior d el angulo representado en Ia figura 51. La funci6n
buscada w es
8
8
w
3
)
= (e;~3 w 1)3= ( 2z+v'3-i
r.;
2z- v3- i
4) AI igual que en los casos ante riores, los puntos extremes
. ..
· 51<
de Ia lunula D4 (fig. 52) son z 1 = e'6, z2 = e' 6. La funci6n
auxiliar w 1 es Ia misma. Como
.
Wt(2t)
iv'3
1
= 2- 2'
Wt( - i)
~ + iJ3
=
2
2'
Ia funci6n Wt transforma Ia lt1nula D4 e n el inte rior del angulo
Fig. 49
...
Fig. SO
representado en Ia figura 53. Haciendo w2 = e'3 w1 (giro en un
7f
2) Los vertices d e Ia lt1nula D 2 coinciden con los d e
. ..
Ia lt1nula D 1: z 1
w1
= e'6,
2z + v'3 - i
r.;
•
v3-t
= 2z -
= e' 6 . Por medio
de Ia funci6n
nuevamente obtene mos en el plano w 1 el
3
3), finalmente obtenernos
·51<
z2
7r
interior d el angulo
angulo de
formado p or dos semirrectas que salen
d el origen de coordenadas (fig. 50). Haciendo
w2
=
...
e-•:r
w ,
1
3/2
w = w2
.(
=t
i)
2z +
v'3 -
2z-
v'3- i
312
.
5) Hallemos los puntos extremes de Ia lunula D 5 (fig. 54).
8
Para ello tomemos z 2ei y resolvamos Ia ecuaci6n
=
l2eis - ,fi 12 = 2
0
.,.
(5)
La funci6n w2 = w 1e - •2 transforma el conjunto de puntos
obtenido en el interior del angulo formado por el semieje real
positivo y Ia bisectriz del primer cuad rante en el plano w2 • Es
evidente que Ia funci6n buscada cs
w -- w 24
Fig. 54
nemos cosO= ../2' 0 =
i))
z - ../2(1 z - ../2(1 + i)
4
-
-
(
i))
z - ../2(1 z - ../2(1 + i)
4
.,.
~
Soluci6n.
4'
...
z, =
•
- t
1f
( 1
i )
z 1 = 2e'4 = 2 ../2 + ../2
Obviamente, z2 =
(
Fig. 55
respecto a 0. Tras una serie de transformaciones sencillas, obte1
-
-
= v'2(1 + i).
../2(1- i). AI igual que antes, hacemos
z - z2 z - ../2(1 - i)
w,=--=
.
zz - ../2(1 + i)
...
z,
Determinemos las imagenes de los puntos z = 2 y z = 2../2
en el plano w 1 :
(../2 - 1 + if
=
2 -../2(1 + i)
../2-1 - i
(/.2 - 1)2+ 1
2 - 2.f2 + 2i(../2-1)
i- 1
1
i
=-- --+4- 2../2
../2 - ../2 ../2"
Vemos que el punto z = 2 se tr:ansforma en un punto de Ia
w 1 (2) =
2 - ../2(1 - i)
=
../2 - 1 + i
=
~
w= Jw,1-w,
+ 1 = v -iz-: 1 = ~1+tz
v~
bisectriz del segundo cuadrante. Como
~
w 1(2v2) =
Soluci6n. Tomando w1 = - iz obtenemos el plano con un corte
a Io largo del segmento [- 1, 1], es decir, reducimos este problema
al anterior. Asf pues,
...
2../2 - ../2(1 - i) 2 - (1-i) 1 + i .
=
= - = t,
2../2 - V2(1 + i) 2- (1 + i)
1- i
Ia imagen del punto z = 2../2 pertenece a! eje imaginario del plano
w,. De este modo, Ia Iunula Ds se transforma en el interior del
angulo formado por el semieje imaginario positivo y Ia bisectriz
del segundo cuadrante (fig. 55).
~
Soluci6n. To memos Ia funci6n lineal w1 = az + b y exijamos que
z 1 ...... - 1, z2 ...... 1. Para determinar a y b obtenemos un sistema
de d os ecuaciones con dos incognitas:
·1(
w2
w 1 con el corte descrito en el
plano con un corte a lo largo del semieje positive, y Ia aplicacion
- 1 = az1 + b
{
1 = az2 +b.
2
=-Z2- Zt
Sus soluciones son a
y b
= e - •;r w1 transforma el plano
buscada es w
Z t + z2
= ---.
Z t - Z2
= ,fiiii. = e -ii Jz - i.
.,..
Asf pues, el
problema se ha reducido a Ia transformacion del plano w1 con
un corte a lo largo del segmento [-1, 1] en el semi plano superior
(v. ej. 77). Por consiguiente,
w
=
Jw + 1 = V
1
1 - w1
=
/az +b+1
1 - az - b
<111
+ +
--tE£-z
i
+
z1 z2
2z
z2
z1
-
1
Zz - Z t
2z
z1
Zz
1--- +-Z2 - Zt
~
=
- -.
...
z2 - z
Soluci6n. La funcion w 1 = z 2 transforma dicho semiplano en el
plano con un cortea lo largo del segmento (- h2, 0]. Tomando w 2 =
w 1 + h 2 obtenemos una aplicacion del plano w 1 con el corte indicado en el plano con un corte a lo largo del segmento [0, h2 ]. Por
consig uiente, w = ,fiiii. = Jz 2 + h2 es Ia aplicacion buscada. .,..
Z2- Z t
Soluci6n. La funcion w 1 = z
Soluci6n. En el plano w 1 = z 2 Ia imagen de Ia region dada es
el plano con d os cortes a Io largo d e los intervalos (-oo, -h2)
dos cortes en el plano con un corte a lo largo d el semieje real
.. homogra' fica w
y (0, +oo ) d eI e1.e rea I. L a ap licaCion
2
<111
+ R transforma el plano con
z- R
. . Por constguten
. . te, w
posthvo.
buscada. .,..
-.,
= v~
Wt = ~+R
-z--R es Ia ap1·tcacJOn
<>
-
=
2
WJ
transforma esta imagen en el plano con un corte a lo largo del
semieje real positivo. Finalmente,
w=../Wi.=
~ Soluci6n. La funcion w 1 z - i transforma el plano dado en
un plano con un corte que comienza en ei-punto w 1 = 0 y se
extiende a lo largo de Ia bisectriz del primer cuadrante. La funcion
= Wt + h
Jz2
+ h2
z
. .,..
~ Soluci6n. 1) La funcion w1
1
= ,JZ (escogiendo apropiadamente
Ia rama) transforma Ia region dada en el semidrculo superior. En-
= ( :: ~ ~ ) = ( ~ ~ ~)
2
tonces w
> 0 se ded uce que k > 0:
8
ei > 0 para 0 = 0, es decir,
A partir de Ia condicion w'(O)
Puesto que lkl = 1, entonces k =
= 1. Finalmente ha llamos ·
2
k
es Ia aplicacion buscada.
w=
2) La funcion w 1 = ,fZ (su rama apropiada) transforma
Ia region dada en el semiplano superior del que se ha eliminad o el semid rculo unidad superior con centro en w1 = 0. Por
2
.
Ia f unClon
., buscad a es w = ,fZ _ 1)
cons1.g wente,
1
Notese que, aunque las funciones w en ambos casos
parecen tener Ia misma forma, en cada uno elegimos difere ntes
ramas de ,JZ. ..,.
z
(1 - z)2
.
..,.
(,JZ+
~ Soluci6n. El cambio z = R eio en la formula de w produce
w= u
ia
1 ( Re + ]i.e
1
+ iv = 2
=
i(( + ~)
R
-ia) =
cos
a+
Consiguientemente,
~
Soluci6n. Sea z
= z(w1)
Ia aplicaci6n del semiplano superior
Wi - {3
·
del plano w 1 en el drculo K . Entonces z
k- -, k
e'8 ,
Wl- {3
0 E JR, de d onde hallamos
zjj- k{3
Wi =
.
z- k
La aplicaci6n buscada tiene Ia forma
=
w = -wi- ~ =- (zjj- k{3) 2
z- k
4
Dado que w(O)
2
= 0 = -{3
4e
> 0,
R
cos a,
=
i(
R-
~) sen a.
(1)
De las igualdades (1) obtenemos
2v
sena = - - ,
1
2u
cosa= - - ,
1
R-R
R+ -
R
2
I>
+
4u
1
4
v
2
4v
(R + ~Y (R- ~r
(1)
i
(2)
= 1.
entonces {3 = - .
Vemos pues -que las imagenes de las circunferencias 1 n =
{z E C: izl = R} son elipses cuyos focos coinciden (elipses confocales). En particular, a Ia circunferencia 11 = {z E C: izl = 1}
Je corresponde el segmento "{= {wEC: -l ~ Rew~l, l mw=O}
k)
z-
1( ( z
+
k
Im {3
=
i ( + ~)
~) sen a)·
Sustituyendo este valor en Ia formula (1), tras una serie de
transformaciones sencillas obtenemos
w =4
Derivando w, tenemos
-
1
u=
i (R-
2
-
1)
kz
= (z- k)2 •
(v. sec. 5).
Escribiendo las dos primeras ec~aciones de (2) en Ia forma
u
w'(z) = - k (z + k) .
(z - k)3
~
18 'l.u. 36
_ 1
- 2
(R + ..!._)
R
'
_v _ ~
sen a - 2
(R_. !. )
R
'
Como w 1(oo) = oo, entonces
dw 2 (oo)
arg - - - arg2
.
dw 1
Haciendo w = w2 eia, obtenemos
elevando al cuadrado ambos miembros de las igualdades obtenidas y sumando miembro a miembro los resultados, obtenemos
-----=
1
=
(3)
R
La igualdad (3) muestra que las imagenes de las semirrcctas
arg = son ramas de hiperbolas confocales. En particular, Ia
imagen de arg z = 0 es Ia semirrecta cp0 = { w E C: Re w ~ 1,
Im w = 0} . En efecto, para a = 0, a partir de (2) se obtiene
R + 1/ R
que v = 0, u =
~ yR · R = 1. De un modo analogo
2
se establece que a Ia semirrecta arg z = 1r le corresponde Ia
semirrecta tp-,; = {w E C: Re w :::::; - 1, Im w = 0}, y a las
z a
dw(oo) =
eia (
c
r::-1"
semirrectas arg
= ± 7r2", el eje Re w =0.
1+
z
)
I
=
Jz2 -Cl z=oo
Asf pues, Ia aplicaci6n buscada es
dz
e ia
w= -
c
= 0.
~eia,
dw(oo)
arg - - =a.
dz
C
+ J z 2 - 2) .
(z
2) Realicemos una aplicaci6n de semejanza tal que los
focos de Ia elipse sean los puntos ( - 1, 0) y (1, 0). Obtenemos
z
~
w, = Ja2- b2.
Hallemos el radio r de Ia circunferencia que resulta de aplicar Ia
funci6n de Zhukovski a Ia elipse dada:
uf
---=---2
( ~)
Sea
a=
ecuaci6n
a
~.
a= ~
va
+
vr
(~)
2
= 1.
El valor de r se obtiene a partir de Ia
(r +;)'
0
bien
r
2
-
2ar ~ 1 = 0,
de <fonde
r =a+
-1 (el ra9,ical se toma con el signo "+", pues r
por las condiciones de partida). Tenemos:
~
Soluci6n. 1) Haciendo w,
z
= -c el segrnento [-c, c] se transforma
- r=
en el segmento [-1, 1]. Ahora transformemos Ia funci6n w 1
mediante Ia aplicaci6n inversa de Ia funci6n de Zhukovski.
Obtenemos
w2
Diferenciemos Ia funci6n w 2 :
-=1 +
dw 1
>1
a
~
a +b
Ja2-b2 + y~= Ja2-b2.
Ahora utilicemos Ia aplicaci6n inversa de Ia funci6n de Zhukovski
haciendo w2 = w1 +
Entonces, Ia funci6n buscada w es
Vwr-"1-
v
= w, + wr - 1.
dw2
2
w =~=~(~ + v~~~-1)=
w, .
Vwr-"1
= a:b
18•
(z+Jz2- (a2-b2)).
Mediante Ia aplicacion in versa de Ia funcion de Zhukovski,
transformemos el anillo eliptico en uno circular:
3) Utilicemos Ia solucion del problema anterior. Transfermemos Ia region dada en el semiplano_superior del que se ha
eliminado un semicirculo unidad. Tenemos:
WI=
w2
a:b(z+Jz2-(a2~b2)).
w
w=!(w
1 +_!_)=
2
WI
,...---- -
= !( z+Jz2-(a2 -b2) +
a+b
a+b
)
= x ( z + J'z-2---(-a-2----b2-) ) ,
2 - b2) ) .
(a
-
x E C es arbitrario.
z+Jz2-(a2-b2)
-
a
ai= ,ja2 - b2 ,
=
puesto que
az-bJz2 - (a2-b2)
1(r·+ 1)- .
a= -
· 2
....
a2-b2
2
El modulo de Ia region es igual a Ia razon entre los radios
de las circunferencias del anillo concentrico. En el plano Wt los
semiejes mayores de las elipses son
=
=! (z +Jz2-(a2 -b2) + (a+b)(z-J..-z2-_(-a2-_b2) ))
2
a+b
a2-b2
Jz
Si aplicamos un giro y una semejanza obtenemos de nuevo un
anillo concentrico. Asi pues, en el caso general Ia aplicacion
buscada w tiene Ia forma
Ahara vemos que Ia relacion entre w1 y w se establece con ayuda
de Ia funcion de Zhukovski:
2
J
= Wt + wi - 1 = ~ (z +
TJ
r2
=
._
I ~2
r
1
-
a2=
r
va2- +k2
-
a 2 - b2,
= a± .Ja2=1.
,
,
r.2
a± b
Ia2 +k2
= ,ja2 +k2 ± Jb2 +k2
1
---1
a2- b2
t>
J.L=
a-b
,ja2 + k2- ,jb2 + k2.
....
Nota. Toda region doblemente conexa, cuyas fronteras no degeneran en un punto,
puede transformarse conformemente en un anillo concentrico en el cualla raz6n I'
entre los radios de las circunferencias exterior c interior esta complctamentc
determinada. El numero J.l se denomina modulo de una region doblemeute couexn.
<1111
Sol ucion. La aplicacion d e semejanza w 1 =
-
z
~
v~-~
transforma
Ia elipse dada en Ia elipse con focos en los puntas ±1 y cjes
_
a
b
a=
Ja2-b2'
b=-===
Ja2-~·
<1111
Soluci6n. Sea a > 0. Como Ia funcion de Zhukovski transforma
el circulo unidad en todo el plano con un corte a lo largo del
segmento [ -1 1 1] 1 el cual es Ia imagen de Ia frontera del drculo1
entonces dicha funcion transfonna Ia region dada en todo cl
plano w con un corte a lo largo_del segmento [ - 1, ~
Sea a
< 0.
La funcion de Zhukovski w
transforma el punto a en
~ (a + ~) < -1
en -1. Sea z = x. Para x-+ -0 tenemos
.
nuentras :ue para x-+
1( 1)
+0, 2" x + ;-
-+
(a + ~) ] .
= ~ ( z + ~)
y el punto - 1
2.)
~ (x + X
2
-+
-oo
I
+oo. Por tanto, en el
caso cons1derado, Ia funcion de Zhukovski transforma Ia region
dada en todo el plano w con cortes a lo largo d e las semirrectas
( -oo, ~(a+~)] y (- l,+oo).
~
~
~
Solucion. La funcion de Zhukovski w 1
=~
(z+ ~)
transforma
el conjunto dado en "tod o el plano w 1 con un corte a lo largo
de Ia semirrecta ( -oo,
g
~ (a + ~) ) . En efecto, ~ (a + ~) ~
= 1, z = x-+ -oo cuando x-+ - 0, y la circunferencia
1 = {z E C: lzl = 1} se transforma en el corte a lo largo d el
segmento [- 1, 1]. Asf obtenemos el plano con un corte a lo largo
de Ia semirrecta 1' = ( -oo,
Ia funcion w2
= w1 - ~
( a+
~ (a+ ~) )
~)
. Ahora consideremos
que transforma el plano w 1 con
su corte en todo el plano w 2 con un corte a lo largo del semieje
real negativo. Con ayuda de la funcion w3 = -w2 obtenemos
un plano con un corte a lo largo del semieje real positive. Por
consiguiente, la funcion buscada es
Solucion. La funcion de Zhukovski w1 =
~
( z + ~) transforma
Ia region dada en todo el plano w 1 con un corte a Io largo del
segmento [ -1,
~]. De.este modo, llegamos a las condiciones del
. 79 d - d
-
(I) -
ej. , on e z1 - w 1 - -1,
Ia aplicaGi6n buscada es
w=
z2
5
= w(2) = -.
4
1
1 +~ (z+~)
~- ~
4
2
.
.
Por cons1gu1ente,
(z + 2.).
z
=
~ Soluci6n. La funcion w 1 z 2 transforma el conjunto d ado en el
circulo unidad con un corte a lo largo del segmento [-a?, 1]. La
(w 2..)
~ 1 + W1 transforma el circulo
2
con el corte en todo el plano w2 con dos cortes a lo largo de
funci6n d e Zhukovski w2 =
las semirrectas (
-oo, -~ ( (i +
~2 ))
y
[0, +oo), mientras que
este plano con los dos cortes es transformado por Ia funcion
w3 =
w2+~ (ci+ ~)
w2
en todo el plano con un corte a lo
largo del semieje real positivoo Por consiguiente, w
aplicaci6n buscadao Finalmente,
= v'W3 es Ia
0 e'00 ] , mientras que Ia funci6n w2 =
[(1 _ h)e'o,
1(
2
w1
+
1)
w
1
tra nsforma este cfrculo en todo el plano W2 con un corte a Io
la rgo del segmento [-1, h1h donde
w=
1(
hi
=2
2
1 )
1- h + 1- h
=
(1- h) + 1
2(1 - h)
0
L1 longitud de este segmento es
2
(1 - h) + 1
(2 - h)
..;..._
___ + 1 = -2
2(1-h)
2(1- h)
Tomemos Ia mitad de Ia longitud de este segmento y calculemos
..,.. Soluci6n. La funci6n w 1 = z 2 transforma el conjunto dado en
el circulo unidad con d os cortes a lo largo de los segmentos
[-1, -<i] y [0, l]o La funci6n de Zhukovski w2
= ~2 (w 1 + w,
_!__)
funci6n w3
= w2 + ~ ( o? + ~2 )
~ ( ci +~2 ) , +oo)
0
h
4(1 - h)
4(1 - h)
Efectuemos una traslaci6n de forma tal que el corte [- 1, h1]
se haga simetrico respecto al origen d e coordenadaso Para ello
tomemos
h2
= W2 - 4(1 _
La funci6n w 3 trans forma el plano w2 con el corte [-1, h1l
en todo el plano w 3 con un corte a lo la rgo del segmento
WJ
transforma este drculo con dos cortes en todo el plano w2 con
un corte a lo largo de Ia semjrrecta [ -
2
(2- h)2
h~ ----
La
h)
o
°
transforma el plano w2 con cl
2
2
(2- h) (2- h) ] Consideremos e n el p lano w el e~rculo
•
[ 4(1 - h) ' 4fl. - h)
urudad K 1 = { w E <C: lwl < 1} 1 en el cual se transforma el dr-
corte indicado en todo el plano w3 con un corte a lo largo del
se~eje real positivoo Por consiguiente,
0
(>
~-ulo
.
0
K L1 funci6n w =
0
~ (w+; )
transforma el drculo K,
en todo el plano w con un corte a lo largo del segmento [ - 1~ 1]
Hacienda
es Ia aplicaci6n buscadao .,...
WJ= ~~;-h~~w= (1 + 4(t~h))w= (1 + 4(:~hJ ~ (w+;}
y sustituyendo en esta igualdad
WJ
..,.. Soluci6n. La funci6n w 1
=
z
transforma Ia reg1on d ada
e•a
en el circulo urudad con un corte a lo largo del segmen to
=Wl -
4(t~ h) = ~ ( (WI + ~I) - 2(1/~ hJ =
=
1 ((
2
z
eia
2
eia)
+-:;-- -
)
h
2(1 -h)
1
0
1
despues de sirnpliiicar por - obtenemos
2
2
h
) (w+2.) = ( -z +-e
ia) _ h2
_
( 1+
4(1 -h)
w
eia
z
2(1 - h)·
superior con el corte [0, i] en el semi plano superior. La funci6n w 1
co_njuntamente con su prolongaci6n analitica (tambien denotada
mediante w 1 ), transforma el exterior de Ia cruz en todo el plano wi con un corte a lo largo del segmento [- ../2, .J2) . La
....
funci6n w 2
=~
transforma, a su vez, el plano
WI
con dicho
corte en todo el plano w2 con un corte a lo largo del segmento
[-1, 1]. La fu nci6n w = w2 + Jwi - 1 (inversa de Ia funci6n de
Zhukovski) trans forma el plano w 2 con el corte descrito en el
exterior del drculo unidad. De este modo, finalmente obtenemos
~ Soluci6n. Para resolver es-
r
t
_
[":;\
te problema necesitamos el
:'1.
0
principia de simetria de Riemann-Sclzwarz, que enunciaremos sin entrar en detalles
(en el cap. 3, t. 6 se hace un
estudio pormenorizado). Este principia consis te en lo siguiente: supongamos que una
region G c C esta limitada
por una curva cerrada de Jordan r una parte de Ia cual
Fig. 56
es un arco l de la circunferencia L del plano complejo ampliado. Consideremos una funci6n I
definida en G U l . Supongamos que esta es continua en G U l ,
analitica en G y sus va lores en l pertenecen a cierta circunferencia C C C. Entonces I se prolonga a traves del arco l en
Ia regi6n G* simetrica a G respecto a L , dando Iugar a una
funci6n analftica en G U l U G* . Tal prolongaci6n (a !raves de l)
es Unica y Ia funci6n I prolongada se determina mediante Ia siguiente propiedad: si dos puntas z E G y z' E G' son simetricos
respecto a L, entonces los puntas w
l(z ) y w•
l(z*) son
simetricos respecto a C. En particular, si L y C coinciden con el
eje real del plano C, entonces l(z ) = I(Z) para z E G U lUG' .
1) El exterior de Ia cruz esta representado en Ia figura 56.
Apliquemos el principia de simetria de RiemannSchwarz. Tomando w1 = ..;z 2 + 1 transformemos el semi plano
W-
Wt
;;:;-+
.jw~
v2
2
_
_
1-
~
v'z 2 + 1 - 2 _
;;:;- +
;;:;v2
v2
= ~( Jz2+1+ Jz2=1).
2) La funci6n
WI
= -z1
transforma el conjunto dado en
el exterior de Ia cruz del problema anterior. Por tanto, para Ia
aplicaci6n buscada w tenemos
"1
~
G-:
1
w=
ywi +1 -yw~- 1)= .J2.z ( ~+J1=;2) . ..,.
v'i (
I
=
=
0
~
Soluci6n. La funci6n buscada w es el resultado de Ia composici6n
de las sig uientes aplicaciones elementales:
2
WI =z -a, w2 = w~,
w3=w2+h , w =,fiii3=vf(z- a)1+h2.
0
®
Fig. 57
®
8
Es facil ver que Ia rama analitica de w que corresponde a Ia
aplicaci6n dada se especifica mediante Ia condici6n w(O) < 0
(fig.57). ~
transforma el exterior d el· segmento l y, consiguie ntemente, el
exterior de la cruz, en el semip lano superior.
Rcsolvamos la segu nda parte del problema. Denotemos Ia
longitud del segmento (-v'a2 + Cl, Vb 2 + Cl) mediante 2f3 y
escojamos un a E IR de forma tal que se verifiquen las condiciones
-~ + a
f3/2
0
~
Solu ci6n. De Ia soluci6n del
ej. 96 sabemos que Ia funci6n
Wt = v'z2+C2 (Ia ra ma que
sa tis face w 1(0) < 0) transforma conforme me nte el semiplano superior con un corte a
lo largo del segmento [0, ci)
en el semi plano supe rior, adeFig. 58
mas de que el segmento rectilfneo
L
z E C: -oo ~ Re z ~ -a, lm z 0}
={
=
U { z E C: b ~ Re z ~ +oo, Im z
de Ia frontera se tran sforma en el segmento
L' = {Wt
EC:
-oo
~ Re w1 ~ -
_u {W( ~ c~ ~ < Jb2 + Cl ~ Re Wt ~ +oo,
~+a
f3/2
= 1,
las cuales son equivalentes a las ecuaciones
2(J b2 +il+ a)
2(-Ja2 +il+a)
--=~=:-----=='=== - 1·
= -1
Jb2+CJ.+Ja2+CJ.- ,
Jb2+CJ.+Ja2-CJ.
.
J a2 + Cl - Vb2 + Cl
La soluci6n de estas ecuaciones es a = - - -2- - - 1
L1 funci6n w 2 = {j(w 1 + a) transforma el plano w1 con
2
un corte a lo largo del segmento (- J a 2 + Cl, Jb + Cl) en todo
el plano w2 con un corte a lo largo del segmento l-1, 1]. Para
obtener la aplicaci6n requerida del plano w 2 con el corte dado,
utilice mos la funci6n inversa de Ia fu nci6n de Zhukovski
w
1m w1 =
=
=
u
= 0}
J a2 + Cl,
= -1;
donde
a=
0} u
w2
J
+ w~ -
1=
~ ( )z +i'+a+ J( )z'+<'+a)' -P')•
2
~-~
2
f3=
~+~
2
.
~
Im W( = 0}.
S~fun
el pnnctpto de simetria d e Riemann -Schwarz, Ia funCion w! puede prolonga rse analiticamente en el semi plano inferior
a traves del scgmento L , con lo que el exterior de la cruz del
plano Wt se trans forma en el exterior d el segmento
l = {wt EC:
- Va2 +il~ Rew 1 ~Jb2 +il,
Imw 1 =o } .
Seglill Ia soluci6n del ej. 79, la funci6n
w=
Wt+~
Vb2 + Cl - Wt =
r - : - - -- -
JZi+C2+~
Jb2 t Cl - J z 2 + Cl
(1)
<1111
Soluci6n. La funci6n w 1 = v'z2 + Cl transforma Ia region dada
en todo el plano w 1 con un corte a lo largo de Ia sem.irrecta
(- J a2 + Cl, +oo) . La aplicaci6n requerida w se obtiene al aplicar
una traslaci6n a la derecha en ~ y extraer Ia raiz cuadrada:
w=
J
-/z2 + Cl +
Ja
2
+ Cl.
~
~ Soluci~n.
La
f~ncion d~ Zhukovski w1 = ~
( z + ~) transforma
el extenor d el C1rculo umdad con los cortes indicados en el exterior
de Ia cruz formada p or el segmento [ -
~el ~je
r.eal y el
segme~to
[-
~ (a+~) ,~ (a + ~)]
(b - ~) (b - ~) i]
i,
del eje
unagmano. Hemos obtemdo un caso particular del ej. 97, donde
se ha sustituido
a
por
~ (a + ~), b p or ~ (a+~)
y c por
~ ( b - ~) . Por consiguiente, podemos utiliza r Ia formula (1},
ej. 97, con las modificaciones indicadas. Para Ia aplicacion buscada
w tenemos
.
W=
=
Soluci6n. Sea A el vertice de Ia
rama d erecha de Ia hipe rbola y F
su foco (fig. 59).
H agamos un corte a lo
la rgo de Ia semirrecta [A, +oo).
Al resolver el ej. 86 demostramos que Ia funcion d e Zhukovski
w = u + iv =
~ ( z + ~)
uz
I(·+D'+ (·-D'-1(z+D'+(•-D' ~
( z2 + ~) + ( b2 + ~)
(z2+~) +(b2+~) + (a2+~) +(b2+~)
(a2+:2) - (z2+z~)
'
////
=a
v2
-----= 1
cos 2a
sen2 a
·
Fig. 59
Por eso Ia funcion w 1
z +
Jz2 -1, w 1(oo) oo, inversa de
Ia funcion de Zhukovski, transforma conformemente Ia mitad
superior de Ia region indicada en el sector 0 < arg w 1 < a,
lw 11> 1
=
(fig. 60). La funcion w2
w~/a transforma es te sector
~
en el semipla no superior sin el
CY semidrculo unidad, y Ia funcion
=
w = 2~ (w
V(z+D '+ (•'+~) + (•'+M+ ("+~)
+ ~) + ( b2+ ~) -
',
---:':JE--...::..:.~-.:;.;:._--
trans-
forma las semirrectas arg z
en las hiperbolas confocalcs
=
V(z+D,+(·-D,+V(-+D'+(•-D'
( a2
=
~
3
2
+
2_)
transforma
w2
Ia region obtenida en el semiplano superior, hacienda corresponder a Ia semirrecta [A, +oo)
Ia semirrecta (- oo, -1). Recurriendo a! principia de simetria d e
Riemann-Schwarz y a Ia aplica-
=
~
Fig.60
cion w = iy 1 + wj, llegamos a Ia
conclusion de que w es Ia funcion buscada. Regresando de WJ
a z, obtenemos d efinitivamente
. (
w=~
(z+Vz2=lr I +(z+Vz2=lr +2
1f/a
a
) 1/2
~-
101.
.
y2 .
x2
hiperbola - -2 cos a
<1111
c
Transformar el exterior de Ja ,rama derecha de
-
.- 2-
sen a
= f' en el s.emipJano superior.
Soluci6n. Sea A el vertice de Ia rama derecha de Ia hiperbola (fig. 59).
Hagamos un corte a lo largo de
Ia semirrecta (-oo, A] . La funcion
w1
z + Vz2 - 1, w1(oo) oo,
transforma Ia rnitad superior de Ia
region dada en Ia region representada en Ia figura 61. La funcion
.
=
a
Segun el principia
de simetria de RiemannSchwarz, esta misma funcion transforma conformemente toda Ia region
dada en todo el sector
a < arg w1 < 1r - a.
Por consiguiente, Ia funcion
=
..
w2 = (e-raw,) .--a
transforma Ia region dada del piaFig. 61
no w 1 en el semiplano superior sin
el semicirculo unidad superior. A su vez, la funci6n de Zhukovski
(w + 2.) transforma Ia region obtenida en el semiplano
2
w3 = ~
2
w
W2
superior del plano w 3 de manera tal que a Ia semirrecta (-oo, A]
le corresponde Ia sernirrecta [1, +oo). Utilizando el principia de
Riemann-Schwarz vemos que Ia funcion w3 transforma el exterior de Ia rama derecha de la hlperbola en todo el plano con
un corte a lo largo de Ia semirrecta [1, +oo). Por consiguiente, w = VWJ - 1 es Ia aplicacion requerida. Tras una serie de
transformaciones sencillas obtenemos
W
=
~ ( ( e - ia ( z + Jz2-=1 ~) 2(.-.._a) _
- ( e-i~ ( z +
<1111
.
.
"2 ( - Ia
. z + J z 2- c2 )
= ( e- 10 w1) •- a =
e --c -
1r- 2a
i=2a
= 2(~arctg ~) = 2arcctg ~ = 2arctg ~,
2
a
a
b
Ia formula obtenida se puede escribir en la forma
w=
_
( .z+~ ) P
e - ta _ _ _ __
c
Jz2-=1) )- .-_a)) . .,_
donde
2(..
= ~c (z + J z2 -
Fig.62
hace corresponder Ia region dada con el serniplano superior.
Dado que
b
a= arctg -,
a
p=
a'
2arctg b
c=
Va
2
+fil.
Para reducir Ia ecuacion de Ia hlperbola a Ia forma - cos2 a
y2
a
b
ry-:-i:2
- - = 1 hemos tomado cos a=-, sen a=-, c = va~ +b-.
sen2 a
c
c
·
b
Entonces a = arctg -. ..-
Solucion. Hagamos un corte a lo largo del segmento [A 1, A2 ]
(fig. 62). Vemos que Ia funcion w1
= J a2 + b2 ,
transferrna Ia rnitad superior de
Ia region dada en el sector a < arg w 1 < 1r - a,
lwd > 1, donde
b
a= arctg - .
.
c2), dond e
a
19 J:" . 36
103. Hall~ la imagen d e losconjlt!ltos siguiente~ mediante
Ia ·apJi.c~ciiSn w = ch z:
·
•
=
1) una 'Ted rectangular x C !-- y := C; ·
2) la franja G {z E ~ 0 < lpv~ ·~ 1rJ;
3) !,a semifianja 'ID = { z E C R~
Ot 0 < ~ z
=
~
z;;:
Soluci6n. 1) Sea
e•
w=u+~=
+e- •
2
=
ex+iy
+ e-x-iy
2
~
< 1r}..
Soluci6n. La composici6n de las aplicaciones w 1 = z - 1 y
7r
w 2 = - w 1 transfonna Ia fra nja G en Ia franja D del ej. 103,3).
h
Por tanto, Ia fu nci6n w 3 = ch w 2 transforma Ia region dada en el
se miplano infe rior. Entonces
=
w
= -w3 = - ch
(z - 1)7r
h
.
~
=!2 (e:z:(cos y +iseny)+e-:z:(cos y-i seny)) =
=
cosy ch x + i sen y sh x.
Tenemos u =cos y ch x, v =sen y sh x. Si x
= C, cntonces
vz
ch zc + sh zc = 1.
uz
u =cosy ch C,
v =sen y sh C,
-2
Hemos obtenido una familia de e lipses confocales con focos en
los puntos Re z = ±1.
Si y = C, entonces
u = cos C ch x,
v = sen C sh x,
uz
vz
- 2- - - 2- = 1.
ch C
sh C
Las rectas y = C se transforman en una familia de hiperbolas
confocales con focos en los puntos Re z = ±1.
2) Para y = 0 se tiene u = ch x, v = 0, y para y = 1r
se tie ne u = - ch x, v = 0. La funci6n w = ch z transforma Ia
franja G en todo el plano con cortes a lo largo de las semirrectas
(-oo, - 1], [1, +oo).
3) Dado que ~(0) 1 y w(i1r) - 1,_el segmento [0, i1r] se
transforma en el segmento [ - 1, 1]; n6tese que al mover un pun to
de 0 a i1r el punto imagen se desplaza de 1 a - 1. Los puntos
imagenes en el p lano w se encuentran, segun la regia del recorrido,
a Ia izquierda, es decir, pertenecen al semiplano inferior. Si z = x
y x --+ -oo, Ia semirrecta ( -oo, 0] se transforma en Ia semirrecta
[1, +oo), mientras que si z
x + i1r, x --+ -oo, Ia funci6n
w(z) = - ch x tiende a -oo y la semirrecta 1 = {z E C Rc z ~ 0,
Im z = i1r} se trans forma en Ia semirrecta (- oo, -1] . De acuerdo
con Ia regia del recorrido, la semifranja D se transforma med iante
la funci6n w = ch z en el semiplano inferior. ~
=
2
Fig.64
Fig.63
=
~
Soluci6n. Sea d el ancho de Ia franja. Es evidente que d
.,..
(fig. 63). La com posicion de las aplicaciones
7r
- w 1 y w = e101 = e
=
d
19•
11"(1-i):
h
Wt
h
= ../2
= e- •4 z, w 2 =
resuelve el problema planteado.
~
~ Soluci6n. La funci6n w,
z
= -z·- 2
transforma Ia lunula circular
en Ia franja vertical G = { w1 E C: 0
<
Re w 1
<
~},
y Ia
=
.
=
§)
0
funci6n w 2 = 27riw1 transforma Ia franja G en Ia fra nja horizonta l
D {w2 E C: 0 < Im w2 < 11"}. Por tanto, Ia funci6n w ew2
=
2
2.. iz
®
1!
e2""w' = e z-2 transforma Ia lunula en el semiplano superior
(veanse las propiedades d e Ia funci6n exponencia l).
.,..
Fig.66
®
~
.,
La f unc10n
" w = -z+-2 trans forma Ia reg1on
., d a d a en
So Iucwn.
1
z
Ia semifranja G = {w 1 E C: 0 < Re w1 < 2, Im w1 < 0}, y Ia
fu nci6n w2
= 211" w,
0
< Re w2 < 11",
(
~---+
transforma G en Ia semifra nja D
Im w2
< 0}.
cos ( se deduce que w
buscada (fig. 66).
=
.,..
= {w2 E C:
De las p rop iedades de Ia fu nci6n
7r(z + 2)
cos w2 cos
es Ia fu nci6n
2z -
=
D
Fig. 65
~ Soluci6n. L'l aplicaci6n buscada w tiene Ia forma w = eiw2 ,
7r
z+ 2
donde w2 = -w1, w 1 = - - (fig. 65).
3
z -2
Asi pues,
w
= e j !3 .z+2
z- 2
.,..
~
Soluci6n. La aplicaci6n requerid a w se obtiene de una composicion de aplicaciones elementales: w1
1l"Z, w2
ew' ,
WJ -Ch11"
w2
w2 + y w4
w
,Jw.i. Las transfo r2
w2
w3 - ch27r
maciones sucesivas esta n representadas en Ia figura 67. .,..
1)
= 1(
-
=
=
, =
=
7r
7r
w2 = -w 1 - - tra nsforma D en Ia franJ·a
2
4
.
0
l
DI
=
{
w2 E
7r } . C: - 7r < Re w2 < 4
4
Tomando
w3
-i
_ ~) = tg7r..:.__;_(z+3i)
= tgw2 = tg ( ~(-z+i)
2 z- i
4
4(z - i)
1
obtenemos Ia aplicaci6n de Ia franja D en el d rculo unidad con
centro en el origen de coordenadas (fig. 68).
H aciendo z = -3i en Ia expresi6n de w 3 obtenemos
w3( -3i) = 0. Derivando w3 (z) hallamos
i7r
7r
1
Fig.67
w;(z) =
(z- i)2 cos2~
4
(z
z
r
w~(-3i)=i
+ 3.i)
-
-
16 1
1
•
argw3 (- 3t} =
t>
I
7r
2.
Tomemos ahora w = w(w3 ) y-exijamos que se cumpla Ia condici6n
7r
1
de normalizaci6n arg w ( -3i) = 3". Diferenciando w respecto a
Ia variable
Z1
encontramos
dw
dz
arg -dw(z)
~
z +i
Soluci6n. La funci6n w 1 = - - . transforma el conjunto G en
Z- 1
la franja vertical D = {w 1 E C: 0
< Re w 1 < 1}
I
y Ia funci6n
dz
I
dw3
1
dw3. dz
dw(w3)
=arg -
•=-Ji
o bien
.
7r
I
7r
- = arg w (0) + -~
3
dw
2
dw3
de donde
I
1DJ=O
.
+a rg -dw3(z)
dz
I
I
7r7r
a rgw (0) = - - -
3
1
• =-Ji
2
7r
= --.
6
= w(w3) debe satisfacer las condiciones w(O) = 0,
arg w' (0) = -- Por consiguiente,
6
con dichos cortes e n todo el plnno con un corte a lo la rgo de Ia
semirrecta [0; +oo)o Por consiguicnte,
La funci6n w
1f
0
7r ( z +3i) = J3 - i tg1f ( z + 3i )
w=e - i 6lr w3 = e - (!.6 tg-4 z-i
2
4 z-i
= -i
Teniendo en cuenta Ia igualdad tg z
sentar w(z) en Ia forma
w
=-
1 + i./3
2
th
es Ia aplicacion buscadao
th iz, podemos repre-
1ri(z + 3i)
4(z - i)
0
..,.. Solucion. Tomando WI
w2 + 1
es la aplicacion buscadao
= -1
z
transformamos dicha region en
~}
[ ~, ~]
< Re WI <
tes a Io largo de los segmentos [ 0,
~]
y
con cor0
La fun-
=
cion w2
27rwi transforma el conjunto G en Ia franja vertical D
{w2 E C: 0 < Rew2 < 1r} con cortes a lo largo de
2
2
los segmentos [ 0, :] y [ : , 1r] , y Ia funcion w 3 = cos w2
I cos 1fZ -cos 1fh
V
~
Ia franja vertical G = { WI E C: 0
=
,
cos2z + 1
~
..,.. Soluci6n. La funci6n WI = 1fZ transforma Ia franja G en Ia
franja D = {WI E C: 0 < Re WI < 1r}, mientras que Ia funci6n
w2
cos WI transforma la franja D en todo el plano con dos
cortes a lo largo de las semirrectas ( -oo, -1] y [cos 1rh, +oo ). De
este modo,
·
W2 -cos
1fh
w= , , __
_
cos2z + ch 2h
w=.JWi=
0
=
1 + cos 1r z
~
transforma Ia franja D en todo el p lano con cortes a lo largo
2
2
de las semirrectas ( - oo, cos : ] y [cos :, +oo) Tomando
0
= cos w2 -cos 21f //b
obtenemos todo el plano con un corte a
cos w2 - cos 21r a
lo largo del semieje real positivoo Por tanto,
w4
211'
21f
cos - - cos-
=
w=rw4 =
..,.. Soluci6n. Tomando WI cos 2z transformamos el conjunto G en
todo el plano con cortes a lo largo de las semirrectas (- oo, - ch 2h]
w 1 +ch2h
y [ -1, +oo) La funcion w 2 =
tra nsforma el plano
z
es Ia aplicacion requeridao
0
W1
z
+1
j
0
b
211'
21f
cos - - cos~
a
@Ejercicios
2
l. Utilizando Ia aplicacion w = z hallil r Ia imagen del circulo K = {z E C: lz-11 < 2}.
2. Demostrar q~e si el punta z recorre tma circunferenciil 1 = {z E C: lzl = 2},
I
entonces cl punta
. w = z - 2i + -z recorre unil elipse de ejes principilles igualcs
a 5 y 3.
3. Ha llar Ia imagen del primer cuildrante del plilno z mediilnte Ia i!plicacion
2
i- z )
w= ( i+z
4. Demostrar que Ia funci6n
w =
(II-z
+ z)
2
.
aplica de forma biunivoca y con forme Ia
region G = {z E C: lzl < 1, lm z > 0} en Ia region D = {wE C: lmw > 0}.
5. Hallar Ia imagen de Ia region G = {
w=
z
E C:
lzl
<
~}
6. Hallar Ia imagen de Ia region G = {
z E C: lzl
< 2, 0 < arg z <
~}
mediante Ia
2
4
7. Hallar Ia imagen del conjunto G = {z E C: Re z ~ 0, lm z ~ 0} mediante Ia
z 2 -· i
- ••
z +1
8. Transformar el conjunto D =
2
.z + 2z + 1
w =--1
.
z2- 2z -1
9. Demostrar que Ia funcion
{z E C: lzl ~ 1,
w=
Rez
~ 0}
con ayuda d e Ia funcion
(1 + z 3 f - i(I - z 3) 2
(1 + z3)2 + i(1 - z3)2
~}
G = { z E C: lz l < 1, 0 < argz <
en Ia region D = {w E C:
lwl
< 1}.
10. Hallar las imagenes d e las regiones indicadas mediante las aplicaciones especificadas:
a) G={ zEC: lz l<2,lmz > 1},
i)
w=- z +/3r-;
.
(
z- v3- 1
b) G = {zE C: Izl >2}n{z EC: jz -v'2 j <v'2 },
w=
3
;
4
(
z - v'2(1i))
v'2
.
;
z- 2(1+z)
3
en todo el plano complejo w con un corte a lo largo d e
12. Hallar Ia aplicacion de una hojil y conforme que transforma el interior del angulo
0 < Mg (z - i - 1) <
7r
'2
en Ia region G
= {w E C: Re w > 0}.
13. Hallar Ia funcion biunivoca y conforme que transforma el interior del cingula
7r
rr
- - < arg (z - i) < - en el semi plano superior.
4
4
.
14. Hallar Ia funcion biunivoca y conforme que transforma el interior del cing ula
1r
7r
16.
18.
- - < a rg (z -a) < - en Ia region G = {w E C: Im w > 0}.
6
3
Hallar Ia funcion de una hoja y conforme que transforma Ia region G = {z E C:
Rez > O,lmz > 0} en Ia region D ={wE C: Rew > 1}.
Hallar una funci6n lineal entera que transforma el tricingulo con vertices en los
puntas 0, 1, i en el triangulo semejante con vertices en 0, 2, 1 + i.
Hallar una aplicaci6n lineal entera con un punta fijo 1 + 2i, Ia cual transforma el
punta i en el punta - i.
Para las aplicaciones indicadas a continuacion, hallar los puntas fijos de arden finito
Zo (si existen), cl angufo de g iro (J alrededor de Zo y e) factor de difa tacion X.
Reducir estas aplicaciones a Ia forma canonica w- z0 = A(z- z0 ).
a) w 2z + 1 - 3i;
b) w
iz + 4;
c) w z + I - 2i;
d) w- w 1 a(z- z1) (a ::j:. 0);
e) w az + b (a ::j:. 0).
=
=
=
=
=
Z - ZJ
aplica univoca y conformemente Ia region
98 •
Ia semirrecta arg w =
17.
z + 16)
aplicacion w = ( ~
z - 16
J7r
7r
'4.
del angulo 0 < arg z <
15.
1-z
2z+/3 + i)
w=- (
/3 .
2z- 3 + 1
11. Hallar Ia funcion potencial que transforma de modo biunivoco y conforme el interior
mediante Ia aplicaci6n
(~)2
aplicacion w = - 2-
c) G = {zE C: lzl <1}n {zEC: lz+il> 1} ,
19. Para Ia funci6n w = - - :
z- z 2
a) demostrar que la preimagen d e la familia u = {w E C: lwl = A (0 < A < +oo)}
cs una familia de circunferencias (circunferencias de Apolonio). Para un A fij o
hallar el radio y el centro de Ia circunferencia correspondiente en el plano z;
b) haUar las preimagenes de las sernirrectas arg w = 9;
c) constrwr una red en el plano z que corresponda a una red polar en el plano w;
d) hallar una region d el plano z que correspond a a l sernicirculo K = {w E C: lwl < 1,
lm w>O}.
20. Hallar Ia forma general d e Ia funcion homografica w = w(z) que transforma el
circulo K = {z E C: lzl < 1} en el serniplano derecho P ={wE C: Rew > 0}
de modo que w(z1) = 0, w(z 2) = oo, donde z 1 y z2 son dos puntas fijos de Ia
circunferencia {)K tales que arg z 1 < arg z 2 .
21. Hallar el centro w0 y cl radio R de Ia circunfcrcncia que cs Ia imagen del cje real
(lm z 2
#
z- z1
0) mediante Ia funcion w = - - .
z- z2
22. Hallar Ia forma general de Ia funci6n homog rafica w = w(z) que ·transforma cl
circulo K = {z E C: )z) < R} en si mismo bajo las condiciones siguientcs:
a) w(a) = 0 ()a) < R);
b) w(a)
b (Ia) < R, )b) < R);
c) w(±R} ±R.
23. Transformar el circulo K = {z E C: )z) < 1} en si mismo de form a tal que
dos puntos fijos z 1, z 2 d el interior d el circulo sc transformen en los puntos ±a
=
=
(0 <a < 1).
24. Transformar el circulo K = {z E C: )z) < 1} en si mismo d e forma tal que cl
segmento del eje real "/ = {z E C: 0 ~ Rc z ~a (a < 1), lm z = 0} se transforme
en un segmento del ejc real simetrico rcspccto al origcn de coordenadas. Hallar Ia
longitud del seg mento transformado.
25. Demostrar que toda aplicacion linea l de un drculo en o tro se determina univocamente
indicando las imagenes de un pw1to interior y de un p unto frontera.
26. Demostrar que si una aplicacion lineal tiene dos puntos fijos, el producto de las
derivadas en estos puntos es ig ual a uno.
27. a) Determinar para que valores de m Ia funcion w = R(z + mz"), donde n EN,
transforma conformemente el circulo K = {z E C: )z) < 1} en cierta region y
hallar esta region.
b) Resolver el mismo problema para Ia aplicacion del exterior d el circulo K
mediante Ia funcion w = R ( z +
;~)
y para Ia aplicacion d el interior del mismo
circulo efectuadas por Ia ftmcion w = R (
~ + mz") .
28. Sea P = {z E C: Im z > 0} el semi plano con w1 corte a Jo largo del arco de Ia
circunferencia "/ = {z E C: )z ) = 1} que va desde el p unto z = 1 hasta el pun to
z = eia, donde 0 < a < 1r. Transformar cste semi p lano en el semip lano"superior.
29. Transformar en el semiplano superior el interior del an gulo 0 < arg z < 1r{3,
0 < f3 < 2 con un corte a lo largo del arco de Ia circunferencia "/ = {z E C: )z) = 1}
que comienza en el punto z = 1 y term ina en el pun to z = eia, d onde 0 <a < {3.
30. Transformar en el semiplano superior cl interior del semicirculo unidad s uperior
con un corte a lo largo del segmento [0, -i].
31. Transformar Ia red polar mediante las funcioncs siguicntcs:
a) w
= ~ (z-
b) w
=Z
D;
a )
+ -:;
(a> 0);
c ) ,
= 21 ( z + ~
corrcspondicntcs a los cortes.
35. Transformar el exterior del d rculo unidad G
={
z E C: )z) > 1} en cl plano w
w- 1
con un corte a lo largo d el arco arg - - = f3 (0 < lf31 < 1r) de forma tal que
w+1
w(oo) = oo, arg w'(oo) =a.
36. Hallar las imagcnes de los conjuntos siguientes mediante Ia aplicaci6n w = e':
=
=
a) Ia red rectangular x C, y C;
b) las rectas y = kx + b;
c) Ia franja a < y < f3 (0 ~ a < {J ~ 27r);
d) Ia franja entre las rcctas y x, y = x + 27f;
c) Ia semifranja X < 0, 0 < y < a ~ 27f;
f) Ia scmifranja x > 0, 0 < y <a~ 27f;
g) cl rcctangulo (a, {J} x (;, 6) (6-; ~ 27r).
37. Dctcrminar las imiigenes mediante Ia aplicacion w = In z de los conjuntos s iguientes:
=
a)
b)
c)
d)
c)
Ia red polar )z ) = R, arg z = () ;
las espiralcs logaritmicas r = Aek"' (A > 0);
cl angulo 0 < arg z <a~ 27f;
el sccto r S = {zE C: )z] <1, O<argz <a~27r};
el anillo K
{z E C: r 1 < )z) < r 2 } con un corte a lo largo del segmento
=
(r 1, Tz] .
38. Dcterminar las imagenes de los conjuntos sigu ientes med iante Ia aplicacion w
c
= iclei
1
(0 ~ ;
< 1r}.
=
arcscn z:
a) cl semiplano s uperior;
b) cl plan o condos cortes a lo largo d e las semirrcctas ( - oo, -1 ], (1, +oo) d el cje
real;
c) el primer cuadrante;
d) el semi plano P = {z E C: Re z < 0} con un corte a lo largo de Ia semirrecta
39. Hallar las imagencs de:
a) Ia red rectangular x C, y C;
b) Ia semifranja P = {z E C: 0 < Rez < 7f, lm z
c) Ia franja G = {z E C: 0 < Rez < 1r};
=
2
c) w
=
(- oo,-1 ] del cje real.
2
1(z
32. Transformar en cl scmiplano superior el exterior del circulo unidad con cortes a lo
IMgo del segmento [-a, -1] y de Ia semirrecta [1, +oo), dondc a > 1.
33. Transformar cl d rculo ]( = {z E C: )zl < 1} con un corte a lo largo del segmento
[a, 1), 0 <a< 1, en el circulo K' ={wE C: )w) < 1} de fo rma tal que w(O}
0,
w'(O) > 0. Haii<H w'(O) y Ia longitud del arco corrcspondientc al corte. ;.Para que
valor de a Ia imagen del corte es una semicircunfcrcncia?
34. Transformar cl circulo K = {z E C: )z) < 1} con cortes a lo largo de los segmentos
(a, 1], [- 1, - b] (0 < a < 1,0 < b < 1) en cl circulo J(' = {wE C: )w) < 1} de
fo rma tal que w(O) = 0, w'(O) > 0. Dctcrminar w'(O) y las lon gitudes de los arcos
=
> 0};
Funciones elementales en el e ia!lo C0!}1p~ejo
d) Ia franja D
= {z E
e) Ia franja D I
=
{
C: 0 < Re z <
z E C: -
7r <
4
~};
Re z <
Respuestas
7r4 }
=
mediante Ia aplicacion w
tg z.
40. Hallar las imagenes de:
a) Ia franja P
{z E C: 0 < Imz < 1r};
1
b) lasemifranjaP ={zEC: Rez>O, O < lm.: <rr}
mediante Ia aplicacion w clh z .
4L Transformar Ia region comprendida entre las parabolas confocales y 2 4(x + 1),
2
y
S(x + 2) en el semi plano superior.
42. Hallar Ia funcion w
w(z) que transforma Ia region limitada por Ia circunferencia
'Y {z E C: lzl 1} y Ia recta de ecuaci6n Im z
1 (el semiplano P {z E C:
lnu < 1} sin el d rculo unidad):
a) en el circulo I<
{w E C: lwl < 1} con las condiciones de normalizacion
- l+ i
I
7r
w(-3i) = - - , argw (-3i) = 2·
2
b) en el semiplano superior con las condiciones de normalizaci6n w( - 3i) = 1 + i,
1
argw (-3i) 1r.
43. Transformar Ia franja G
z E C: 0 < Re z < 1} con dos cortes a lo largo de los
segmentos {0 ~ x ~ h 1, y
0} y {1 - h 2 ~ x ~ 1, y
0} (h 1 + h 2 < 1) en el
semiplano superior.
44. Sea D
{z E C: 0 < Re z < 1r, lm z > 0} una semifranja con dos cortes a lo
=
=
=
=
=
=
=
={
=
=
=
largo del segmento -y1
-y2
= {z E C:
Re z
= {z E C:
Re z
= ~, 0 ~ Im z ~ h 1 }
y de Ia semirrecta
= ~~ h 2 ~ Im z < +oo} (h 2 > h 1). Transformar esta semifranja
en el semiplano superior.
45. Transformar en el semiplano s uperior Ia region limitad a por las circunferencias
'Y1 = {z E C: lz - 11 = 1}, 'Y2 = {z E C: lz + 11
1} con un corte a lo largo de Ia
semirrecta -y3 {z E C: 2 ~ Re z < +oo, Im z 0}.
46. Transformar en el semiplano superior Ia region limitada por las circunferencias
'Y1 = {z E C: lz- II = 1}, -y2 = {z E C: lz- 21
2} con un corte a lo largo d el
segmento -y3
{z E C: 2 ~ Rez ~ a, Im z 0} (a < 4) .
47. Transformar en el semiplano s uperior Ia region limitada por las circunferencias 'Y1 = {z E C: lz - 11 = 1}, -y2 = {z E C: lz - 21 = 2} con dos cortes a lo largo d e los segmentos -y3 = {z E C: 2 ~ Re z ~ a, Im z = 0} y
-y4 = {z E C: b ~ Re z ~ 4, Im z = 0} (a< b).
48. Transformar en cl semiplano superior Ia region limitada por las circunferencias
'Y1
{z E C: lz- 11
1}, -y2 {z E C: lz + 11 1} con un corte a.Jo largo del
segmento -y3
{z E C: Re z 0, -a~ Im z ~ ,13} (a~ 0, f3 ~ 0).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1. a) t;
1
=
=
=
Capitulo 2
=
b) sen 8-
2. w
2·
= kz.
1
2 sen"+2 x - 2 sen"+ 1 x cos x
10. 5 11 = - +
sen" x 1 - 2 sen x cos x + sen2 x
11
sen x- sen(n + 1)x sen x +sen nx
+----~-~--~-1 - 2 sen x cos x + sen2 x
1
sen"+2 x - sen"+ 1 x cos x -sen x cos (n
u - -" - sen" x
12. a) z
-
•
+ 1)x +cos nx
2
1 - 2 sen x cos x + sen x
.
'
+ Z(Zz- Zt)
= Z1Z2- ZzZI
;
Zz- Zt
z2 -z1
--
b) z- z 1 = = ( z - zt).
Zz- Zt
16. Zt = -1, WJ = 1.
19. a) La circunferencia d e radio R y centro en el punto a;
b) Ia recta x + y = 1;
c) Ia semirrecta que sale del origen de coordenadas y forma un angulo a
con el eje real positivo;
d) el eje real;
( 1)2 - = 14;
2
e) Ia hiperbola
x-
xz
yz
f) Ia elipse -3 + -4
2
y
= 1·,
g) Ia parabola y = 2x + 1.
2
6) v
20. a) Jm z 2 = 2;
1
2
8)
=
c) z 2 + z2 1;
d) Re (z + 1) = lzl;
e) lzl + Re z = 1.
9)
c
10) Ia circunferenc1· a x 2 + y 2 + -y
c
21. a) El anillo d e rad ios r y R y centro en el punto zo;
c) Ia fra nja comprendida entre las rectas x = a y x = b;
2
d) Ia region comprend ida entre las circunferencias (x - 1)
y (x - 2)2 + (y - 2)2 = 8;
e) el semidrculo unidad d erecho con centro en el punto z
+ (y
= 0.
34. a) Elips e;
b) espiral de Arqufmed es;
c) rama de hiperbola;
d) cicloides.
c) oo;
1
,12;
d)
d) para ningun a.
2
=2
= 2,5,
z:f:- 1.
35. a) oo;
b) 1;
24. a) Para ningun a;
2
b) J3;
9
2
- 1)
22. z = 12 + 16i.
25 . a)
= 0 s i c = 0;
= 0 s1· c r-..J.. O; e I eJe· y = 0 s1. c = 0 .
32 . a) El exterior d el circulo lzl ~ 2;
b) cl scmipla no cerrad o q ue esta a Ia izquierda d e Ia recta Re z
b) el semiplano d erecho incluido el eje imaginario;
c)
> 0 s in el drculo u 2 + v 2 - u ~ 0;
el semi plano v < 0 s in el circulo u 2 + v2 + v ~ 0;
Ia ci rcunferencia x 2 + y 2 - :_ = 0 si c f:. 0; el eje x
7) el semi plano u
b) 1m -=-;
z
=-lui;
1
-2;
e) no existe;
f) 1 + i;
+ t;.
g) no exis te;
h) no exis te;
i) no exis te.
1
b) (1 - z)2 .
30. b) El segm ento [
-~, ~] .
36 . a) Continua;
31. 1) La circunferencia u 2 + v 2 -
~=
c
0 si c f:. 0; el ejc u
2
2) Ia circunferencia u
2
+ ~ + ~ = 0 si c f:. 0; el eje v = 0 si c = 0;
2
3) Ia circunferencia ( u 4) Ia semirrecta a rg w
1
5) Ia recta v
= 2;
= 0 s i c = 0;
~)
= - a;
c
2
+ ( v + ~) =
2
~;
b) continua;
c) d iscontinua en todos los puntos;
d) continua en todos los puntos salvo en z
= 2i;
e) continua en todos los puntos salvo en las rcctas arg z
40. a) Analftica en
7r
= ±2.
C\ {0} ;
b) no a nalftica en todo punto z E C, pero diferenciable en el p unto z
c) no analftica en todo punto z E C.
3
42. 5
20 J.o<. )6
= 0;
44. a) f( z) = z 2 + 2z;
2
b) f(z) = e• + z + Sz + 9.
Zo
no hay p untos fijos de orden finito; si a ::/= 1, entonces
= _b_,
0 =arga, k = lal, w- _ b_ = a(z- _ b_) .
1-a
1 -a
1 -a
19. La ecuaci6n de Ia familia de circunferencias de Apolonio respecto a los
Capitulo 3
z-z11 .>..
puntos z 1 y z2 tiene Ia forma -
lz- z
z2) i } · z --z1, donde k > 0. A las semirrectas
= k exp { -21 ( 1r + argz1
z- z2
que sa len del punto w = 0 en el semi plano Re w > 0 les corresponden
20 . w
< 1.
lwl < 4.
3 . El d rculo lwl
6 . El semi p lano 1m w
=
2
1. La linea Re w = 4 cos tp{2 cos tp + 1) - 3,
1m w = 4 sen tp{2 cos tp + 1), 0 ~ tp ~ 21r.
5. El drculo
= 1,
e) si a
en el plano z los a rcos de circun ferencias que se encuentran dentro del
drculo izl < 1 y pasan por los puntos z 1, z2. A las semicircunferencias
con centro en e l pun to w 0 que se encuentran en el semiplano Re w > 0
les corresponden los arcos de circunferencias de Apolonio respecto a los
puntos z 1 y z2 que se encuentran dentro del d rculo lzl < 1.
> 0.
=
7. El drculo lwl ~ 1.
8. El drculo lwl ~ 1.
> 0;
Im w > 0;
Im w < 0.
10. a) Im w
b)
c)
· 1(
= e' 4z3 .
w = - i(z - 1 - ir
w = i(z - 1)2 .
w = 1 + i J3 (z -
22. a) w
11. w
12.
13.
14.
15. w
= -iz2 + 1.
23.
24.
w=±
=
zo
=
1 -a
, (J = arg a, k = la l, w -
w1 - az1
1 -a
=a
(
z-
w 1 - az1 )
1- a
;
1 2
lz2- zd
11- zlz21+
2
c) no hay puntos fijos de orden finito;
d) si a
1, no h ay puntos fijos d e orden finito; si a =I= 1, e ntonces
< R.
w - a
· z - z1
z 2 - z{
=
e'"' - --, donde tp = 1r- arg
,
1- aw
1- z z
1- z z
a=
+ 1 - 3i.
zo = - 1 + 3i, (J = 0, k = 2, w + 1 - 3i = 2(z + 1 - 3i);
zo = 2 + 2i, (J = ~, k = 1, w- 2 - 2i = i(z - 2- 2i);
w 1 - az1
;
1
17. w = (2 + i)z
b)
z -a
=
16. w = (1 + i) (1 - z).
18. a)
01
R 2 - az
w-b
·01 z-a
b)
=
e' 2
;
R2 - bw
R - iiz
z-a
c) w R 2 2
, d onde a es un nlime ro real y lal
R - az
ar
2
=R2 e'.
27. .a) lml
J(1 - lzd
az - 1 + Jl=a2
~
(1 - v 1 -
a 2)z
- a
,
.
2
)
(1 -lz2f2)
p= 2
1-
Jl=a2
a
1
~ - . La region esta limitada por una epicicloide ala rgada, Ia
n
cual constituye Ia trayectoria descrita por un punto situado a una
20*
-R
n
distancia mR del centro de un circulo d e radio - que rueda por el exterior de
un drculo de·radio
b)
1
lml ::::; -.
n
R(n -1)
n
35.
;
29. w
=
zi/fJ
( zi/fJ + 1
30. w
32. w
= ~2
1
33. w + w
(z+ ~
z
+a+
34.
37. a) En Ia red cartesiana rectangular u
2
2
(1 - a)
·
(1 + a) 2 '
(1 + a)
=- . La longitud
4a
6a - 1- a 2
(1 + a) 2
;
en
en
en
en
o-
;
=
<v
"f 1(
1(
38 . a) En Iasemt ranJa - - <u<- v> O·
2
para
1(
2'
1(
b) en la franja - - < u < -;
2
1(
w'(O)
= c, v = c;
rectas;
Ia fra nja 0 < v <a;
Ia semifranja u < 0, 0 < v < a ;
el rectangulo In r 1 < u < In r 2 , 0
2
2(z + ~) - (a+~) + (b +D
(a +~)+(b+~)
b)
c)
d)
e)
2
,
w (0)
Js Ia longitud es igual.a 7r.
w+;=2
si
= const;
o
~)
.
a
4a- ( z + -1 ) =(1 + a) 2
z
1
= a + 7r
g) en Ia region ea < p < efJ, 1 < 8 < (para
1 = 27r esta region
es un anillo concentrico con un corte a lo largo del segmen to (}
1,
ea ::::; p ::::; ei3 ).
del arco que corresponde al corte es ig ual a 2 arccos
a= 3-
•
y I
=
2{3 ·
(1 - z)2/3 _ (l + z )2/3 )2 + ~
( (1 - z)113 + (1 + z)213
3·
=
> 0,
e) en el sector p < 1, 0 < 8 < a (si a = 27r, en e l circulo u nidad con un
corte a lo largo del radio v = 0, 0 ::::; u ::::; 1);
f) en Ia region p > 1, 0 < 8 < a (para a = 27r, en el exterior del circulo
unidad con un corte a lo la rgo de la semirrecta v 0, 1 ::::; u < oo;
-1)2 2a
+ tg
si {3
=
2
(z+ 1
=a
b) en las espirales p = e<e-b)/k (pa ra k = 0, en las semirrectas 8 =b);
c) en el angulo a < 0 < f3 (para a = 0 y {3 = 27r en e l p lano con un corte
a lo largo del eje real positivo);
d) en todo el plano con un corte a lo largo de la espiral p e9;
z -1) + tg2 -a
2
=
+1
< 0.
36. a) En Ia red polar p = const, 8
el segundo caso, su interior se transforma en e l exterior de una
hipocicloide acortada.
28. w
w
{3
En el primer caso, el exterior del circulo unidad; en
zei"t+ iei{J/2 ) 2
( zei1 + ie-ifJ/2 ' donde I
w -1
c) en la semifranja 0 < u < -, v
1
1
a +-+ b+a
b
4
2
1(
d) en la franja
41. w
-" (vz-i) .
= e-/2-I
Las longitudes de los arcos que corresponden a los cortes son iguales a
42.
e
W
-2 < u < 0.
= -
43. w=
'Kiz+i
z-i
+ 2- i
";z+i
e z-i
+ 2+ i
COS 1rZ -COS 7rht
COS 1CZ +COS 1Ch2
> 0;
'
<
27r.
=
44. w=
cos 2z + ch 2h 1
cos 2z + ch 2h2
45. w=
sen 1r Iz
1 +sen 1r lz
46. w=
1 + cos47rlz
cos 47rl z- cos47rla
47. w=
cos 47r Iz - cos 47r 1b
cos 47r Iz - cos 47r 1a.
"
Indice
de materias
A
e -21rj{3 _ e2"i/z
48. w=
I
I
e27r/a _ e2"i/z ·
J
t>
adherencia 32, 96
angu lo entre dos curvas en el punto del
infinito 175
anillo 19
- conmutalivo 19
- unitario 19
aplicaci6n 15
- biyectiva 17
- continua en un conjunto 42, 46
- - en un punto 42, 46
- - - en el sentido de Cauchy 45
- de inversion 181
- definida parametricamente 17
- discontinua 42
- eliptica 259
- hiperb6lica 259
- inversa 17
- invertible 17
- inyectiva 16
- loxodr6mica 259
- suprayectiva 16
- unifonnemente continua 49
aplicaciones mutuamente continuas 51
Apolonio, circunferencia 86
argumento de un numero complejo
57
Arquimedes, espiral 85
automorfismo homografico 184
B
Banach, espacio 22
Bernoulli, lemniscata 124
bola abierta 25
- cerrada 25
Bolzano-Weierstrass, teorema 100
Borci-Lcbesgue, - 102
c
ca mpo 19
- normado 20
- ordenado 59
Cantor, curva 112
-, teorema 36, 50
Cauchy, criterio 99
Cauchy- Riemann, condiciones 143
cicloide 127
- acortada 128
- alargada 128
circulo 183
circunferencia de Apolonio 86
cisoide 225
complemento de un conjunto 11
componente conexa 112
composici6n de aplicaciones 17
conjunto abierto 27, 95
- acotado 26
- cerrado 30, 96
- compacto 40
- - en un espacio metrico 35
- conexo 40
- - abierto 97
- - cerrado 97
- continuo 112
- de puntos de una curva 111
- lineal112
- secuencialmente compacto 35, 101
- totalmente acotado 36
- vacio 7
conjuntos disjuntos 10
- iguales 7
- isomorfos !8
criteria de Cauchy 99
- de compacidad secuencia l 101
- de d iferenciabilidad de una funci6n
de variable compleja 142
cuantificador existencial 5
- universal 5
cuerpo 19
- normado 20
curva cerrada 109
- continua 108
- contrariamente orientada 110
- de Cantor 112
- de Jordan cerrada 109
- s imple 109
-suave 109
- - a trozos 111
- - orientada 109
D
derivada 135
- de una funci6n vectorial 108
desigualdad de Lagrange 154
diametro de lm conjunto 26
diferencia de conjuntos 10
diferencial de una funci6n 141
Dirichlet, nucleo 72
distancia cordal 93
- entre conjuntos 26
dis tancias equivalentes 52
dominio de una aplicaci6n 15
E
ecuaci6n de division del circulo 74
elemento inverso 18
- neutro 18
- nulo 19
- unidad 19
entomo abierto de un conjunto 28
- de un conjunto 28
- de un punto 46, 113
esfera 25
-de Riemann 61
espacio de Banach 22
- mctrico 23
- - completo 25
- - conexo 40
- topol6gico 95
- vectorial 20
- - normado 21
espacios metricos homeomorfos 51
espiral de Arquimedes 85
estructura matematica 18
exterior de un conjunto 30
extremos de un segmento 96
F
forma exponencial de un numero com·
plejo 57
- normal de una aplicaci6n homografica
con dos puntas fijos 259
- trigonometrica de un numero complejo 57
formula de Moivre 58
formulas principales de Ia proyecci6n
estereogrMica 62
Frechet, teorema 37
frontera de un conjunto 34, 96
funci6n C-diferenciable 142
- R2 -diferenciable 142
- acotada 107
- anaHtica 139
- - en el infinito 145
- - en un conjunto abierto 145
- - - arbitrario 145
- - en un punto 145
- - en una curva 145
- - en una region 145
- - - cerrada 145
- compleja 102
- continua en sentido general 108
- - en un punto 103
-
de corriente 152
de una hoja 103
de Zhukovski 206
difercnciable en un punto 134
discontinua 103
exponencial 199
- general 205
hiperb6lica 212
homogrcifica 174
implicita 17
lineal140
mon6gena en un conjunto 139
- en un punto fin ito no aislado 139
multiforme 195
potencial 192
quebrada 96
trigonometrica 211
vectorial diferenciable en un segmento
108
G
grcifico de una aplicaci6n 15
grupo 18
- abeliano 18
- aditivo 19
- multiplicativo 19
H
l>
Hausdorff, tcorema 37
hip6tesis de inducci6n 8
homeomorfismo 51
homogeneidad 140
imagen de un conjunto 16
- de una aplicaci6n 15
interior de un conjunto 29
intersecci6n de conjuntos 9
isomorfismo de un conjunto sobre otro
18
- homografico 183
J
Jordan, curva 109
- , - cerrad;\109
-, teorema 110 ·
L
Lagrange, desigualdad 154
-, teorema 154
Landau, simbolos 21
latitud 62
Lebesgue-Bore!, teorema 102
lemniscata de Bernoulli 124
ley del tercio excluso 6
leyes de Morgan 11
limite de una aplicaci6n 41
- - en el sentido de Cauchy 44
- de una funci6n 103
- de una sucesi6n de numeros compte.
jos 97
- - de puntas de un espacio metrico
24
- -de vectores 21
- parcial de un sucesi6n de numeros
complejos 100
- "'---- de una aplicaci6n 41
- - de una funci6n 103
longitud 62
M
metoda de coordenadas 12
- de inducci6n matematica 8
- de reducci6n al absurdo 6
mtHrica 23
- esferica 93
- inducida 34
modulo de un numero complejo 54
- de una region doblemente conexa 276
Moivre, formula 58
Morgan, leyes 11
N
norma cubica 21
- de un espacio 20
- de w1 vector 21
- euclidea 21
- octaedrica 21
nucleo de Dirichlet 72
numero complejo 56
- - conjugado 56
0
operaci6n de adici6n 19
- de inversion de una relaci6n binaria
15
- de multiplicaci6n 19
orientaci6n contraria 110
- de una curva 109
p
par ordenado 12
paralelo 62
parametrizaci6n de un segmento 96
- de una curva continua 108
- - - en sentido general 112
- - suave 109
- natural de una curva suave 110
parametrizaciones equivalentes 109
- - de una curva suave 109
parametro 17
pares ordenados iguales 12
parte imaginaria de un numero complejo
56
- - de una funci6n compleja 102
- real de un funci6n compleja 102
- - de un numero complejo 56
plano complejo 56
- - ampliado 60
- ecuatorial 62
polo norte 62
- sur 62
preimagen de un conjunto 16
-
cerrada 41, 97
compacta 113
de uniformidad 192
infinitamente conexa 112
multiplementc conexa 111
no simplemente conexa 112
si mplemente conexa 112
- - respccto al plano complejo ;unpliado 110
regiones homogrcificamente isomorfas
183
regia del recorrido 183
rclaci6n binaria 13
- - funcional 15
- - inversa 14
restricci6n de una funci6n 16
- - en un conjunto 16
Riemann, esfera 61
-, superficie 194
Riemann-Cauchy, cond iciones 143 .
Riemann-Schwarz, principia de simctria 282
primera componente de un par ordenado
12
- proyecci6n de una relaci6n binaria 13
principia de simetria de RiemannSchwarz 282
producto cartesiano 12
prolongaci6n de una funci6n 16
propiedad aditiva de una aplicaci6n lineal 140
- circular 149, 178
- distributiva 19
- lineal de Ia diferenciaci6n 136
- simetrica 23
- triangular 20, 23
proyecci6n estereogrcifica 61
punto adherente 32, 95
- aislado 34
- de acumulaci6n 33, 96
- de discontinuidad evitable 42, 103
- de ramificaci6n 195
- - algebraico 195
- - - de n-Csimo orden 195
- - de n-esimo orden 195
- -de arden infinito 195
- de un espacio metrico 23
- del infinito 60
- exterior 30
- frontera 34, 96
- interior 29, 95
- mUltiple 109
p untos simetricos respecto a una circunferencia 179, 181
- - respecto a una recta 179
s
Schwarz-Riemann, - - 282
sccci6n primera de un conjunto 13
- segunda de un conjunto 14
segmento 96
,., scgunda componente de un par ordenado 12
- proyecci6n de una relaci6n binaria 14
semimeridiano 62
simbolo de conjunci6n 6
- de disyunci6n 6
- de equivalencia 6
- de implicaci6n 6
- de inclusion 7
-de Landau o(1) 21
- - 0(1) 21
- de-negaci6n 6
- de pertcnencia 7
R
rama principal 202
- uniforme 194, 202
recta numerica 23
recubrimiento de un conjunto 37
regi6n 41, 97
- n-conexa 112
J
sistema de entomos 36
subconj unto 7
- acotado 94
- 1;1aximal 112
subespacio de un espacio metrico 34
sucesi6n de elementos de w1 conjunto 16
- de numeros complejos, convergente
97
- de puntas de un espacio metrico 97
- - - -, convergente 24
- - - -, fundamenta l 24
- de vectores, convergentc 21
- -, fundamental 22
- numerica acotada 21
- - infinitesima 21
- - real16
superficie de Riemann 194
T
teorema de acotaci6n de un compacta
101
- de Bolz.ano-Weiers trass 100
-de Borei-Lebesgue 102
- de Cantor 36, 50
- de continuidad de Ia aplicaci6n inversa 44
- - de Ia composici6n de aplicaciones
43
- - -de funciones 105
- - de Ia imagen de un compacta 42,
107
- - de Ia norma 21
- - de Ia restricci6n de una aplicaci6n
46
- - de las aplicaciones biyectivas 111
- - de una funci6n diferenciable 136
- de Frecl1et 37
- de Hausdorff 37
- de invariancia de los p untos simetricos respecto a una aplicaci6n homogrilfica 181
- de Jordan 110
- de Ia derivada de Ia composicion
135
- - de Ia. funcion inversa 139
- - del cociente 138
- -del producto de funciones 138
- de Lagrange 154
-de Viete 73
- de Weierstrass 107
- del limite de Ia composicion de funciones 106
topologia de un espacio metrico 52,
94
- definida por entomos 113
- del plano complejo 95
transformacion conforme de primera espede 150
- - de segunda especie 150
- -en un punto 149
- - en una region 150
trocoide 128
I
I
"
In
dice
u
union de conjuntos 10
v
valor absoluto 19
- de una aplicaci6n 15
- principa l del argumento 57
vector 20
Viete, teorema 73
w
Weierstrass, teorema 107
Weierstrass- IJolzano, - 100
z
Zhukovski, funcion 206
Pr6logo a "Variable compleja" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Capitulo 1
Estructuras fundamentales del analisis matematico . . . . . .
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
§ 5.
§ 6.
Elementos de Ia teoria de conjuntos y aplicaciones
Estructuras matematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
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.
5
18
22
35
Espacios y conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limite y contin uidad de una aplicaci6n
de un espacio metrico en otro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
41
Capitulo 2
Numeros complejos y funciones de variable complej a
53
§ 1. Numeros complejos y plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Topologia del plano complejo. Sucesiones de numeros complejos.
53
Propiedades de las funciones continuas en u n compacto . . . . . .
93
§ 3. Cu rvas continuas y suaves. Dominios simplemente y
mu ltiplemente conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
§ 4. Funciones d iferenciables de variable compleja.
Diferenciabilidad en C y en llf . Funciones analiticas ·. . . . . . . . 134
Capitulo 3
Funciones elementales en el plano complejo
§ 1. Funciones homogrMicas y sus propiedades . . . . . . . . . . . .
§ 2. Funci6n potencial w = zn. Fw1ei6n mu ltifo rme z = \YW.
Superficie de Riemmm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Funci6n exponencial w = ez. Funci6n multiforme z = Ln w
§ 4. Funciones potencial y exponencial generales . . . . . . . . . . .
174
. . . 174
. . . 192
. . . 199
. . . 204
EDITORIAL URSS
§ 5. Funci6n de Zhukovski . .......... .
§ 6. Funciones trigonometricas e hiperb6Iicas
Respuestas
DE RECIENTE EDICION
206
211
Snzl!in
Introducci6n a In c;osmologia moderna
En el libro sc exponen los ~xitos de Ia cosmologia de las ultimas dccadas. Sc discuten los
principalcs datos de obscrvaci6n en los que sc apoya Ia cicncia modema del Universo como un
todo, de su pasado y su futuro, asi como las ideas fundamcntales que sicntan las bases de Ia
teoria de su formaci6n. Sc ofrece un cuadro completo que incluye las cucsliones relacionadas
tanto ron el nacimiento y desarrollo de nuestro Universo en las lases mils tempranas, como
ron su estructura actual. Se abordan problemas como el de Ia lase inflacionaria, Ia sintesis
de bariones, Ia relaci6n ron Ia fisica de las particulas clementalcs, Ia radiaci6n de fond o
y Ia estructura a gran cscala del Univcrso. Se cxamina Ia expansi6n acclcrada del Universo
y, tambi~n. el fcn6mcno del cspcjismo gravitatorio.
. . ...................... . ... 303
fndice de materias .................................. 311
Surd in
Fonnaci611 estelar
Comcnzando ron una breve cxcursi6n hist6rica a trav~ d el desarrollo de las ideas sobre el
origcn de las cstrellas, cllibro prcscnta un punto de vista modemo de Ia cstructura y Ia dinamica
del medio interestelar donde sc forman las cstrellas. Se describen los proccsos fundamcntal cs
que llcvan al nacimiento de cstrellas, sistemas y asociaciones cstclares, asi como agregados
estclares de distintos tipos.
Surdin
Problemas resueltos de nstro11omia
En el libro sc han recopilado 430 problemas de astronomia con rcsolucioncs detalladas. Una parte
son problemas dasicos, cl resto son problemas completamentc nuevos. Todos los problemas han
sido resueltos por el autor del libro, y muchas veces las rcsolucioncs romplemcntan e induso
corrigcn los crrores de las soluciones clasicas. El nivel de los problemas L'S en promcdio inferior
al del nivcl de olimpiadas, aunque algunos de ellos exigiran un trabajo persislente. 1.<> mayoria
absoluta de los problemas contiene detallcs intercsantcs; no sc apresure en responder, incluso si
el problema par= simple a primera vista.
Cl!emin
La nah1raleza fisica de las estrellas
Los pulsares, los bursters, Ia fuente asomb rosa 55433, las coronas galiicticas, los cwisares,
Ia radiaci6n de Iondo, los agujeros ncgros ... Estos son los temas lundamentales que
abarca el presente libro. Se describen los procesos lisicos q ue determinan los fen6menos
astron6micos obscrvados, sc analizan las nuevas hip6 tesis y modclos, y se profw1diza
en los misterios de Ia astrofisica q ue s ig ucn inquictando Ia imaginaci6n del hombre.
Logunov
Curso de teoria de Ia relnHvidnd y de Ia gravitnci611
En este libra, siguiendo las ideas de Minkowski, sc ha demostrado que Ia cscncia y el contenido
principal de Ia teoria de Ia relatividad radican en Ia unidad conceptual del cspacio·tiempo, Ia
gcometria del cual es seudoeudidca. Dentro de los lfmites de Ia !coria de Ia relatividad y del
principia de geometrizaci6n sc ha ronstruido unfvocamente Ia teoria relativista de Ia gravitaci6n,
Ia cual explica todos los expcrimcnlos gravitatorios Jlevados a cabo hasta Ia actualidad y
proporciona ideas basicamente nuevas sobre el desarrollo del universo y el rolapso gravitatorio.
Dubrovi11,
Fomenko,
N6vikov
Pietrasl!eii,
Trifonov
Geometria modema (primer y segundo tomo)
En este libro sc abarcan los siguientcs temas: geometria del espacio euclfdeo, del espacio
de Minkowski, y de sus respectivos grupos de transforrnaciones; geometria clilsica de curvas
y superficies; analisis tensorial y geomctria de Riemann; c~lculo variational y tcoria del
campo; fundamcntos de teoria de Ia rclatividad; gcometria y topologfa de varicdadcs, y, m..is
concretamente, elementos de Ia tcoria de homotopias y de Ia teoria de los cspacios fibrados y
algunas de sus aplicaciones, en particular, a Ia tcoria de los campos de gauge.
Teoria de gmpos y su nplicaci6u a Ia mecanica cwi11tica
En este libra se exponen los fundamentos de Ia teoria de los grupos finitos e infmitos; cl
uso de Ia tcorla de las reprcsentacioncs de grupos se ilustra tomando como cjemplo diversas
aplicacioncs y cucstiones relcrentes a Ia mecanica cuantica: tcoria de los atomos, quimica
cuilntica, tcoria del cst!do s6lido y mecanica cuantica relativista.
Rozend6rn
Problemas de geometria diferencial
Este libro contiene una colecci6n de problemas de alto nivel, reJadonados con los prindpales
temas que componen un curso completo de geometria diferenciaL AI resolver los problemas
planteados, el lector hab~ efectuado un recorrido minucioso por Ia geometria diferencial y de
las curvas espaciales y de las superficies. En los problemas se tocan aspectos de Ia geometria
diferencial que tienen innumerables aplicaciones en Ia fisica y en Ia ingenieria. Este libro fue
autorizado por el Ministerio de Educaci6n Media y Superior de Ia URSS para su uso en las
facultades de fisica y de matematicas. Cada lema comienza con una introducd6n te6rica; muchos
de los casi 170 problemas van acompanados de indicaciones para su resolud6n.
BielokUrov,
Shirkov
Matvieev,
Peters6n,
Zhukariev
Guia de Ia teoria cudntica de campos
I
I
El elemento clave de Ia fisica contemporanea es e1 concepto de campo cuantico. Hoy en
dfa se considera que esle conslituye Ia forma universal de Ia materia que subyacc a todas
sus manifestaciones fisicas. Este libro puede ser recomendado como una primera lectura para
aquellos estudiantes y fisicos de otras especialidades que quieran comprender las ideas y
mcHodos mas importantes de Ia teoria cuantica del campo, una de las ramas mas matematizadas
y abstractas de Ia ffsica le6rica.
Problemas resueltos de fisica general para los mds inquietos
Este libro constituye una completa colecci6n de problemas detaUadamente resueltos que fueron
propuestos a los alumnos mas avanzados de los primeros cursos de Ia facultad de fisica de
Ia Universidad Estatal Lomon6sov de Mosai en seminarios especiales. Los problemas abarcan
las siguienles disciplinas: mecanica, fisica estadfstica, termodinamica, electricidad, magnetismo
y 6plica. Ademas de problemas completamente originates se han induido tambien los problemas
mas caracterfsticos y dificiles que se proponen generalmente en el curso de fisica general.
Krasnov,
CMSI: Curso de matemdticas superiores (nueva edidon, modificada y ampliada).
La primera edici6n de este libro vio Ia luz en editorial MIR en dos lomos y simultaneamente en
Kiseliov,
tres idiomas (espai\ol, ingles y frances) a comienzos de los anos 90. Desde ese momenta, estc
Makarenko, libro ha conquistado un Iugar destacado entre los libros de texto de matemalicas superiorcs en
los paises de habla hispana. Parad6jicamente, el original en ruso no fue editado por una sencilla
Shikin,
raz6n: en diciembre del 1991 Ia Uni6n Sovi~tica fue liquidada en contra del deseo popular
Zaliapin
expresado en referEndum en Ia primavera ~e ese mismo ai\o. La edici6n rusa (reelaborada y
muy notablemente ampliada) fue publicada por editorial URSS en el ai\o 2000. En el ai\o 1999
este libro fue premiado en el concurso "Nuevas bbros de texto" otganizado por el Ministerio
de Educad6n de Rusia con Ia consiguiente recomendaci6n oficial para ser usado como tal en
todos los centros de educaci6n superior.
·
En comparad6n con Ia anterior edici6n espanola, Ia obra no s6Jo ha sido reelaborada sino
que ha sldo completada con ramas tan importantes como: teoria de probabilidades, estadistica
matem4tica, teoria de juegos, control 6ptimo, matematicas discretas, metodos numericos, etc.
LiashkO,
Boiarchuk,
Ga~
Golovach
"AntiDemid6vich": Matematica superior. Problemas resueltos. T.l-10.
Esta serie consta de diez vo11lmenes y contiene mas de 2800 problemas resucltos de
las mas variadas ramas de las matematicas superiores. Los cuatro primeros tomos, -ron
los que se abre esta obra, estin dedicados ar estu9io pnictico de las funciones, las
sucesiones, las series, el calculo diferencial e integral de las funciones de una y varias
variables; en ellos se presentan soluciones completamente detalladas de problemas
expuestos en el famoso libro de B. P. Demid6vich.
Sus opiniones, sugerencias y proposiciones
pueden ser enviadns a:
o bien a nuestro dislribuidor excl11sivo
en Espana:
Rusia, 117312 Moscu
Institute de Analisis de Sistemas
de Ia Academia de Ciencias de Rusia
Prospiekt 60-letia Octiabria, 9; k. 203
Editorial URSS
e-mail: URSS®URSS.ru
http:/ /URSS.ru
Espana, 41010-Sevilla
C/ Salado, 18
Libreria Haykf!
e-mail: [email protected]
fax: 34-954-08-47-04
tlf.: 34-625-37-87-73
I
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