Calcul des Semelles de fondation en béton armé

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CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ (Cours et
applications)
Chapter · February 2020
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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université Mouloud MAMMERI de Tizi-Ouzou
Faculté du génie de la construction
Département de génie civil
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
(Cours et applications)
CHERIFI FATIHA
Maître de conférences à l’université Mouloud MAMMERI de Tizi-Ouzou
Année universitaire 2018-2019
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
AVANT-PROPOS
La fondation d’un ouvrage est l’élément de liaison fondamental entre celui-ci et le sol ; elle
est chargée de transmettre correctement à ce dernier des charges et des surcharges
engendrées par la construction en service. La fondation assure donc la stabilité et la
pérennité de la construction, c’est pourquoi sa réalisation ne doit pas être négligée.
Pour projeter correctement une fondation, il est indispensable de posséder des
renseignements aussi précis que possibles sur les caractéristiques géotechniques des
différentes couches qui constituent le terrain de fondation, à une profondeur suffisante qui
dépend des dimensions de l’ensemble du système de fondation projeté. Le niveau de la
nappe, la qualité de l’eau contenue dans le sol et la vitesse de son écoulement peuvent
changer durant la construction.
La détermination des dimensions des semelles et des quantités des armatures découle des
calculs de béton armé, et dépend à la fois des charges appliquées sur les fondations, et de
la nature du terrain sur lequel celles-ci vont reposer.
Le présent cours est un guide de calcul des semelles de fondations selon les Règles B.A.E.L.
91. On y trouvera, pour chaque cas abordé, les méthodes et formules habituelles de calcul,
ainsi que des exemples numériques entièrement développés.
1
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
SOMMAIRE
Avant-propos ...................................................................................................................................... 1
Sommaire ............................................................................................................................... 2
1) Généralités ........................................................................................................................ 4
1.1 Définition des fondations .................................................................................................. 4
1.2 Stabilité des fondations .................................................................................................... 4
1.3 Différents types de fondations .......................................................................................... 4
2) Fondations superficielles .................................................................................................. 5
2.1 Hypothèses ....................................................................................................................... 5
2.2 Combinaisons d’actions ................................................................................................... 6
2.3 Résistance de calcul du sol ............................................................................................... 6
2.4 État limite d’ouverture des fissures : E.L.S. ....................................................................... 6
3) Semelles continues rigides soumises à une charge verticale centrée ................................. 6
3.1 Caractéristiques des semelles continues ........................................................................... 7
3.2 Semelles rigides ............................................................................................................... 7
3.2.1 Diagramme de contraintes ............................................................................................. 7
3.2.2 Dispositions constructives .............................................................................................. 8
3.3 Calcul des semelles continues rigides ................................................................................ 8
3.3.1 Dimensionnement à l’E.L.S ............................................................................................ 8
3.3.2 Ferraillage à l’E.L.U. – Armatures principales ............................................................... 10
3.3.3 Longueurs et mode d’ancrage des armatures principales ............................................ 11
3.3.4 Ferraillage à l’E.L.U. - Armatures de répartition ........................................................... 12
3.3.5 Espacement des barres................................................................................................ 13
Application ........................................................................................................................... 13
4) Semelle rectangulaire soumise à une charge verticale centrée ........................................ 15
4.1 Dimensionnement ......................................................................................................... 15
4.2 Ferraillage ....................................................................................................................... 16
Application ........................................................................................................................... 18
5) Semelle circulaire sous pilier circulaire soumise à un effort normal centré....................... 20
5.1 Dimensions de la semelle - Dispositions constructives .................................................... 20
5.2 Ferraillage en quadrillage ............................................................................................... 21
5.3 Ferraillage en cerces ...................................................................................................... 24
Application ........................................................................................................................... 25
6) Semelle soumise à un effort normal et à un moment de flexion....................................... 29
6.1 Semelle rectangulaire reposant sur le sol ....................................................................... 29
6.1.1 Dimensionnement .................................................................................................... 29
2
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
6.1.2 Ferraillage ................................................................................................................. 32
Application ........................................................................................................................... 36
6.2 Semelle continue sous mur ............................................................................................. 41
6.2.1 Dimensionnement .................................................................................................... 41
6.2.2 Ferraillage ................................................................................................................. 42
Application 1 ........................................................................................................................ 43
Application 2 ........................................................................................................................ 47
6.3 Semelle et poteau circulaires .......................................................................................... 48
7) Semelles continues sous poteaux .................................................................................... 50
7.1 Réactions d’appuis de la semelle.................................................................................... 50
7.1.1 Uniformité du sol ......................................................................................................... 50
7.1.2 Variabilité du sol ....................................................................................................... 51
7.2 Dimensionnement de la semelle ..................................................................................... 52
7.3 Ferraillage de la semelle ................................................................................................. 53
Application .......................................................................................................................... 53
8) Les radiers ....................................................................................................................... 56
8.1 Définition du radier ........................................................................................................ 56
8 .2 Les différents types de radiers ....................................................................................... 56
8.3 Principe de fonctionnement ........................................................................................... 57
8.4 Dimensionnement ......................................................................................................... 58
8.5 Principe de calcul ............................................................................................................ 58
9) Semelles sur pieux ........................................................................................................... 59
9.1 Semelle sur deux pieux soumise à un effort normal centré ............................................ 60
9.1.1 Dimensions de la semelle ............................................................................................. 60
9.1.2 Ferraillage de la semelle .............................................................................................. 61
9.1.3 Vérifications ................................................................................................................ 62
9.1.4 Résumé du procédé de calcul d’une semelle sur deux pieux ........................................ 64
Application ........................................................................................................................... 65
9.2 Semelle sur 04 pieux soumise à un effort normal centré ................................................. 67
9.2.1 Dimensions.................................................................................................................. 68
9.2.2 Ferraillage ................................................................................................................... 68
9.2.3 Vérification de la résistance de béton (E.L.U.) ............................................................. 69
9.2.4 Résumé du procédé de calcul d’une semelle carrée sur quatre pieux .......................... 70
Application ........................................................................................................................... 71
10) Pathologies des fondations............................................................................................. 73
10.1 Généralités .................................................................................................................. 73
10.2 Causes des désordres des fondations ............................................................................ 74
10.3 Les désordres ............................................................................................................... 77
Bibliographie ........................................................................................................................ 79
3
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
1) Généralités
1.1 Définition des fondations
Les fondations d’une construction sont constituées par les parties de l’ouvrage qui sont en
contact avec le sol auquel elles transmettent les charges de la superstructure.
Les éléments de fondation transmettent les charges au sol, soit directement (cas des
semelles reposant sur le sol), soit par l’intermédiaire d’autres organes (exemple : semelles
sur pieux).
1.2 Stabilité des fondations
Les massifs des fondations doivent être en équilibre sous l’action :
- des sollicitations dues à la superstructure qui sont :
Des forces verticales ascendantes ou descendantes ;
Des forces obliques (telle la poussée des terres) ;
Des forces horizontales (séisme) ;
Des moments de flexion ou de torsion.
- des sollicitations dues au sol qui sont :
Des forces verticales ascendantes ou descendantes ;
Des forces obliques (adhérence, remblais, etc.).
Les massifs de fondation doivent être stables : des tassements uniformes sont admissibles
dans certaines limites, mais des tassements différentiels sont rarement compatibles avec la
tenue de l’ouvrage. Il est donc nécessaire d’adapter le type et la structure des fondations à la
nature du sol qui va supporter l’ouvrage : l’étude géologique et géotechnique a pour objectif
de préciser le type, le nombre et la dimension des fondations nécessaires pour fonder un
ouvrage donné sur un sol donné.
Le choix du type de fondation dépend essentiellement de la résistance du sol. En pratique, la
valeur de la contrainte du sol à introduire dans les calculs (désignée par 𝜎𝑠𝑜𝑙 ) est donnée par
l’expérience ou à partir des résultats des sondages effectués par un labo de mécanique des
sols.
Dans les fondations, l’enrobage minimal est égal à 3 cm.
1.3 Différents types de fondations
Les fondations peuvent être classées par rapport aux terrains suivant 03 types :
Fondations superficielles ;
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CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Fondations semi profondes (puits) ;
Fondations profondes (pieux).
2) Fondations superficielles
Sont des fondations dont la profondeur n’excède pas en général 2 à 3 mètres
(𝐷⁄𝐴 < 1,5 : 𝐷 est l’ancrage de la fondation - fouille - ; 𝐴 est sa largeur) (Fig.1) ; on
distingue :
Les fondations fonctionnelles, constituées par des semelles isolées sous poteaux ;
Les fondations linéaires, constituées par des semelles continues sous poteaux ou
murs ;
Les fondations surfaciques, constituées par des radiers ou des cuvelages sous
poteaux ou murs.
𝒉𝒔
Gros béton
D
D
A
𝒉𝒔 D
D
D
D
A
D
(b)
D
D
(a)
D
DD
D
D
Figure 1. Fondation superficielle : (a) Sol argileux ; (b) Sol rocheux.
D
2.1 Hypothèses
Les calculs sont menés sur la base des hypothèses suivantes :
la largeur 𝐴 doit être supérieure ou égale à 60 𝑐𝑚, distance permettant le travail à un
ouvrier,
les semelles sont très rigides (relativement indéformable) de sorte que les contraintes
sous la semelle aient une répartition linéaire,
les éléments de fondation sont, généralement, relativement massifs et ne se prêtent
guerre à l’application des méthodes de la résistance des matériaux
les semelles de fondations sont calculées à l’E.L.S. pour le dimensionnement de la surface
au sol et à l’E.L.U. vis-à-vis de leur comportement mécanique,
dosage minimum du béton :
5
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CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Béton de propreté : 150 𝑘𝑔/𝑚3,
𝑘𝑔
𝑘𝑔
Béton armé : 300 𝑚3 à sec ; 400 𝑚3 humide.
2.2 Combinaisons d’actions
Selon le B.A.E.L., deux combinaisons sont à considérer.
G+Q (E.L.S.)
1,35 G + 1,5 Q (E.L.U.)
Selon le RPA99 modifié en 2003, les fondations superficielles sont dimensionnées selon les
combinaisons d’action :
G+Q+E
0.8 G ± E
2.3 Résistance de calcul du sol
La justification de l’État Limite Ultime (E.L.U.) de résistance est satisfaite vis-à-vis du sol
lorsque l’inégalité suivante est vérifiée : σ ≤ σ
̅
𝜎̅ =
𝑞𝑢
(𝐸. 𝐿. 𝑈. )
2
𝜎̅ =
𝑞𝑢
(𝐸. 𝐿. 𝑆. )
3
qu : résistance ultime du sol entrainant la rupture du sol ou capacité portante du sol sous la
semelle de fondation,
𝜎̅ : contrainte de référence de calcul.
Cette inégalité est à vérifier lorsque la réaction du sol est uniforme.
2.4 État limite d’ouverture des fissures : E.L.S.
En absence de justification adéquate vis-à-vis des actions de service, la section d’armatures à
adopter en fonction de la section d’armatures calculée à l’E.L.U. est telle que :
𝐴 = { 1,1 𝐴𝑠
1,5 𝐴𝑠
si la fissuration est préjudiciable
si la fissuration est très préjudiciable
3) Semelles continues rigides soumises à une charge verticale centrée
6
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
3.1 Caractéristiques des semelles
On distingue les semelles flexibles de faible épaisseur et les semelles rigides. Nous ne
considérerons ici que les semelles rigides (Fig. 2).
Une semelle est considérée comme rigide si sa hauteur totale ℎ est telle que :
ℎ≥
(𝐵 − 𝑏 )
+ 0,05 𝑚
4
ℎ doit être supérieure ou égale à 15 𝑐𝑚. Les petites semelles sur terrain très résistant ou
peu chargé seront donc de section rectangulaire et de 15 cm d’épaisseur ;
La hauteur de rive 𝑒 des semelles trapézoïdales est de 10 à 15 − 20 𝑐𝑚 ;
Les semelles reposent toujours sur une couche de béton de propreté de 5 à 10 𝑐𝑚
d’épaisseur dosé à 150 kg/m3 de chaux hydrique ou de ciment de laitier.
b
e
h
B
Figure 2. Semelle continue.
Le diagramme de répartition des contraintes normales (pressions) au contact sol-fondation
dépend à la fois :
de la rigidité de la semelle
de la nature du sol (pulvérulent, cohérent non rocheux ou rocheux)
3.2 Semelles rigides
3.2.1 Diagramme de contraintes
Les contraintes sous une semelle rigide pleine ont une répartition rectangulaire (uniforme)
pour tous les types de sol sauf pour le rocher et le béton de puits pour lesquels le
diagramme est bitriangulaire.
Lorsque la semelle est rigide, on ne peut plus considérer qu’elle travaille en flexion.
7
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CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
L’examen des tracés des isostatiques dans une semelle rigide chargée ponctuellement
montre qu’on peut considérer la semelle comme une succession de bielles de béton (Fig.3)
travaillant en compression, inclinées et transmettant aux aciers inférieurs des efforts de
traction. Cela conduit à la « méthode des bielles ».
3.2.2 Dispositions constructives
L’enrobage minimal 𝑒 des armatures doit être supérieur ou égal à 3 𝑐𝑚 ;
Les armatures doivent être soigneusement ancrées. Si l’ancrage ne peut être réalisé par
des barres droites, il est nécessaire de prévoir des ancrages courbes (crochets) ;
Les armatures verticales des murs et poteaux doivent être prolongées jusqu’à la base de
la semelle lorsqu’elles sont comprimées ; dans le cas où elles peuvent être tendues, elles
doivent être munies de retours situés dans le plan des armatures inférieures de la
semelle ;
Si le mur est important, on peut le faire reposer sur la semelle par l’intermédiaire d’un
libage qui a pour effet de raidir la semelle et permet de remédier aux légers tassements
différentiels susceptibles de se produire (Fig.4).
Figure 3. Bielles de béton.
Figure 4. Libage d’une semelle continue.
3.3 Calcul des semelles continues rigides
3.3.1 Dimensionnement à l’E.L.S.
Soit :
P : la charge centrée verticale (Fig. 5) transmise au sol par mètre linéaire dans le sens du mur
qui comprend :
Le poids de 1 m de mur et de semelle ;
Les charges permanentes agissant sur 1 m de mur ;
Les surcharges agissant sur 1 m de mur.
On note 𝑃𝑢 cette charge à l’ELU et 𝑃𝑠 à l’ELS.
𝜎̅ : La contrainte limite admissible au sol
𝜎𝑠𝑜𝑙 : La contrainte effectivement appliquée
8
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CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Condition de portance
On doit avoir :
𝜎𝑠𝑜𝑙 ≤ 𝜎̅
Sachant que 𝜎𝑠𝑜𝑙 = 𝑃𝑠 ⁄𝐵, on en déduit la largeur de la semelle 𝐵 :
𝑩≥
𝑷𝒔
̅
𝝈
Condition de rigidité
Pour que la semelle soit considérée rigide, sa hauteur utile 𝑑 doit vérifier la condition de
transmission des efforts suivant des bielles de béton, inclinées d’un angle 𝜃 tel que 𝜃 ≥ 45° :
𝒅≥
En posant 𝑑0 =
𝐵−𝑏
2
𝑩−𝒃
𝟒
, on peut écrire :
𝑑0
2
𝑑≥
La condition d’une semelle rigide permet de négliger la vérification concernant l’effort
tranchant (hauteur importante). Il n’y a pas lieu en particulier de prévoir des étriers ou des
barres relevées.
Pour des raisons de constructions, la hauteur des patins 𝑒 est donnée en fonction du
diamètre ∅ des armatures tendues.
𝟏𝟓 𝒄𝒎
𝒆 ≥ 𝑴𝒂𝒙 { 𝟔∅ + 𝟔 𝒄𝒎 → 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒆𝒔 𝒔𝒂𝒏𝒔 𝒄𝒓𝒐𝒄𝒉𝒆𝒕𝒔
𝟏𝟐∅ + 𝟔 𝒄𝒎 → 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒆𝒔 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒄𝒓𝒐𝒄𝒉𝒆𝒕𝒔
P
𝑩−𝒃
𝟐
b
d
e
h
c
b
B
Figure 5. Dimensionnement d’une semelle continue.
9
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
3.3.2 Ferraillage à l’E.L.U. – Armatures principales
Les semelles sont des pièces qui ne satisfont donc pas aux hypothèses de la la résistance des
matériaux. Pour le calcul des armatures, on utilise la méthode des bielles.
La méthode des bielles suppose que les efforts provenant des murs sont transmis au sol par
des bielles de béton oblique symétriques par rapport à l’axe de la semelle. Ces bielles
transmettant des efforts horizontaux de traction aux aciers inférieurs et des efforts verticaux
de compression au sol sous la semelle.
On suppose que les bielles de béton comprimées sont limitées par des droites obliques qui
prennent naissance à partir d’un point 𝑂, fictif, défini par (Fig. 6) :
𝐵 ⁄2 (𝐵 − 𝑏 )⁄2
=
(triangles semblables ODC et BEC)
ℎ0
𝑑
𝐵 (𝐵 − 𝑏 )
=
ℎ0
𝑑
La contrainte au sol, pour un mètre de largeur, est :
𝑃𝑢
(B en centimètre)
𝐵 × 100
La réaction exercée par le sol sur une tranche 𝑑𝑥 de un mètre de largeur est :
𝜎𝑠𝑜𝑙 =
𝑑𝑅 = 𝜎𝑠𝑜𝑙 (𝑑𝑥 × 100) =
𝑃𝑢
𝑑𝑥
𝐵
𝑑𝑅 se décompose en une compression de la bielle 𝑑𝐹𝑐 et une traction de l’armature 𝑑𝐹.
𝑑𝐹 = 𝑑𝑅
𝑥
𝑃𝑢
𝑃𝑢
=
𝑥 𝑑𝑥 =
(triangles semblables ∶ O D O′ et dR O dF)
ℎ0 𝐵ℎ0
8ℎ0
L’effet de traction au centre des armatures (𝑥 = 0) vaut :
𝐵 ⁄2
𝐵 ⁄2
𝐹=∫
𝑑𝐹 = ∫
0
0
𝑃𝑢
𝑃𝑢 𝐵
𝑥 𝑑𝑥 =
𝐵ℎ0
8ℎ0
En utilisant les propriétés des triangles semblables, on tire l’expression de la hauteur ℎ0 en
fonction des dimensions de la semelle et du mur.
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CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝐵𝐸 𝐶𝐸
(ODC et BEC sont des triangles semblables)
=
𝑂𝐷 𝐷𝐶
(𝐵 − 𝑏)⁄2 𝐵 − 𝑏
𝑑
𝑃𝑢 (𝐵 − 𝑏)
=
=
⇒𝐹=
ℎ0
𝐵 ⁄2
𝐵
8𝑑
La section d’armatures transversales par mètre de semelle est :
𝑨𝒔 =
𝑭
𝑷𝒖 (𝑩 − 𝒃)
⁄𝒎𝒍
=
𝝈𝒔
𝟖 𝒅 𝝈𝒔
𝑓
𝜎𝑠 : Contrainte limite de traction de l’acier 𝜎𝑠 = 𝑒⁄𝛾𝑠 .
Pu
b/2
O
B
α
dFc dR
h0
e
D
E
O’
x
dF
C
d
c
σsol
dx
Figure 6. Éléments de ferraillage d’une semelle continue.
3.3.3 Longueurs et mode d’ancrage des armatures principales
Pour déterminer la longueur des barres et leur mode d’ancrage, on calcule la longueur de
scellement droit 𝑙𝑠 .
𝑙𝑠 =
∅
𝑓𝑒
4 0,6 𝜓𝑠2 𝑓𝑡𝑗
𝑓𝑒 : limite élastique des aciers,
11
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CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝑓𝑡𝑗 : résistance caractéristique à la traction du béton,
𝜓𝑠 : coefficient de scellement. Cette valeur dépend du type de l’acier et de la résistance du
béton. Les valeurs de 𝑙𝑠 ⁄∅ sont données dans le Tableau 1.
Tableau 1. Longueurs de scellement : valeurs de 𝒍𝒔⁄∅.
𝑓𝑐28
Nuances
16
18
20
25
30
FeE215
57,4 53,3
49,8
42,7
37,3
FeE235
62,8 58,3
54,4
46,6
40,8
FeE400
47,5 44,1
41,2
35,3
30,9
FeE500
59,4 55.1
51,4
44,1
38,6
40
29,9
32,6
24,7
30,9
50
28,9
27,2
20,6
25,7
60
21,3
23,3
17,6
22,0
𝑙𝑠 : Longueur de scellement droit. Longueur de scellement nécessaire pour qu’une barre
rectiligne de diamètre ∅, soumise à une contrainte égale à la limite élastique 𝑓𝑒 , soit
convenablement ancrée.
Si 𝑙𝑠 > 𝐵⁄4 : toutes les barres doivent être prolongées jusqu’aux extrémités et comporter
des crochets.
Si 𝐵⁄8 ≤ 𝑙𝑠 ≤ 𝐵⁄4 : toutes les barres doivent être prolongées jusqu’aux extrémités, mais
peuvent ne pas comporter des crochets.
Si 𝑙𝑠 < 𝐵⁄8 : les barres ne comportent pas de crochets, et on peut les arrêter une sur
deux à 0,71 𝐵 ou alterner des barres de 0,86 𝐵 (Fig. 7).
0.86 B
0.71 B
Figure 7. Disposition des barres. Cas où 𝒍𝒔 < 𝑩⁄𝟖.
3.3.4 Ferraillage à l’E.L.U. - Armatures de répartition
Les armatures principales sont complétées par des armatures longitudinales de répartition
dont la section totale sur la largeur 𝐵 est :
𝑨𝒓 =
𝑨𝒔
∙ 𝑩 (𝐁 𝐞𝐧 𝐦è𝐭𝐫𝐞)
𝟒
N.B. Si le mur est important, la résistance de la semelle dans le sens longitudinal est assurée
par une poutre (nervure) semi-noyée dans la semelle.
12
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CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
3.3.5 Espacement des barres
𝟏𝟓 𝒄𝒎 ≤ 𝒆 ≤ 𝟐𝟓 𝒄𝒎
Remarque
Lorsqu’on utilise la méthode des bielles, il n’y a pas lieu de vérifier la compression du béton,
ni de prévoir des armatures transversales pour équilibrer l’effort tranchant.
Application
Calculer les dimensions et les armatures d’une semelle filante sous mur de 35 𝑐𝑚
d’épaisseur ; elle reçoit une charge verticale centrée par mètre de mur 𝑃𝑠 =
0.71 𝑀𝑁⁄𝑚 (𝐸𝐿𝑆) et 𝑃𝑢 = 1 𝑀𝑁⁄𝑚 (𝐸𝐿𝑈). On donne :
𝜎̅ = 0.35 𝑀𝑃𝑎, contrainte admissible du sol,
Aciers HAFeE500,
𝛾𝑠 = 1.15, coefficient de sécurité des aciers dans la situation courante,
𝑓𝑐28 = 30 𝑀𝑃𝑎, résistance caractéristique à la compression du béton après 28 jours de
durcissement,
𝜌 = 2500 𝐾𝑔⁄𝑚3 , poids volumique du béton armé,
fissuration non préjudiciable.
Solution
1) Dimensions de la semelle
1.1 Condition de portance :
𝑃𝑠
𝑃𝑠
0.71
≤ 𝜎̅ ⟹ 𝐵 ≥ ⟹ 𝐵 ≥
⟹ 𝐵 ≥ 2.03 𝑚
𝐵×1
𝜎̅
0.35
Soit 𝐵 = 210 𝑐𝑚 (largeur de la semelle).
1.2 Condition de rigidité
𝐵−𝑏
210 − 35
≤𝑑≤𝐵−𝑏⟹
≤ 𝑑[𝑐𝑚] ≤ 210 − 35 ⟹ 43.75 ≤ 𝑑 [𝑐𝑚] ≤ 175
4
4
Soient 𝑑 = 45 𝑐𝑚 et ℎ𝑡 = 50 𝑐𝑚 (𝑑 est la hauteur utile ; ℎ𝑡 est la hauteur totale de la
semelle).
13
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CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
1.3 Vérification de la condition de portance en tenant compte du poids propre de la
semelle
Le poids propre 𝑃𝑝 de 1 𝑚 de la semelle est de l’ordre de :
𝑃𝑝 = 2.1 × 1 × 0.45 × 25 = 23.62 𝐾𝑁⁄𝑚 = 0.02362 𝑀𝑁⁄𝑚
𝑃𝑠 ′ et 𝑃𝑢 ′ sont les charges verticales en tenant compte du poids propre de la semelle à l’E.L.S.
et à l’E.L.U. respectivement.
𝑃𝑠 ′ = 0.71 + 0.02362 = 0.734 𝑀𝑁/𝑚
𝑃𝑢 ′ = 1 + 1.35 × 0.02362 = 1.032 𝑀𝑁/𝑚
La condition de portance s’écrit :
𝑃𝑠 ′
𝐵≥
𝜎̅
𝑃𝑠 ′ 0.734
=
𝑚 = 2.09 𝑚 ≃ 2.10 𝑚
𝜎̅
0.35
Ainsi, on retient pour la semelle les dimensions suivantes :
𝐵 = 210 𝑐𝑚 ; 𝑑 = 45 𝑐𝑚 ; ℎ𝑡 = 50 𝑐𝑚.
2) Calcul des armatures par la méthode des bielles
2.1 Armatures principales de traction
𝑃𝑢′ ∙ (𝐵 − 𝑏) 1.035 × (2.10 − 0.35) × 104
𝐴𝑠 =
=
= 11.57 𝑐𝑚2
8 ∙ 𝑑 ∙ 𝜎𝑠
8 × 0.45 × 435
Soit 6𝐻𝐴16 de section 𝐴𝑠 = 12.06 𝑐𝑚2⁄𝑚𝑙 .
Pour le calcul des espacements, on peut procéder comme suit :
On utilise des barres 𝐻𝐴16 (1 𝐻𝐴16 = 2.01 𝑐𝑚2 ). On n’est pas obligé d’en placer un
nombre entier par mètre puisqu’il s’agit d’une semelle filante.
Il faut donc 𝑛 = 11.57⁄2.01 = 5.76 barres, soit un espacement de 100⁄5.76 = 17.36 𝑐𝑚.
Les barres HA16 seront donc espacées de 17 cm.
L’ancrage 𝑙𝑠 des barres est donné par la relation :
𝑙𝑠
𝑓 = 30 𝑀𝑃𝑎
{ 𝑐28
⇒ = 38.6 ⇒ 𝑙𝑠 = 38.6 𝜙 = 38.6 × 1.6 = 61.76 𝑐𝑚
𝐴𝑐𝑖𝑒𝑟𝑠 𝐹𝑒𝐸500 𝜙
D’autre part : 𝐵⁄4 = 210⁄4 = 52.5 𝑐𝑚
𝑙𝑠 > 𝐵⁄4, les crochets sont donc nécessaires. De plus, toutes les barres doivent être
prolongées jusqu’aux extrémités de la semelle.
14
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
2.2 Armatures de répartition
𝐴𝑠
∙ 𝐵 (𝐵 𝑒𝑛 𝑚è𝑡𝑟𝑒)
4
12.06
𝐴𝑟 =
× 2.10 = 6.33 𝑐𝑚2
4
Soit par exemple 9𝐻𝐴10 de section 𝐴𝑟 = 7.06 𝑐𝑚2, espacées de 25 𝑐𝑚 (pour un enrobage
extérieur de 5 𝑐𝑚). Cet espacement changera bien évidemment en fonction de l’enrobage
extérieur choisi.
𝐴𝑟 =
3) Hauteur de rive de la semelle (hauteur des patins)
ℎ𝑝 ≥ 𝑀𝑎𝑥 {
15 𝑐𝑚
;
12 𝜙 + 6 𝑐𝑚 = 12 × 1.6 + 6 = 25.2 𝑐𝑚
soit ℎ𝑝 = 30 𝑐𝑚.
4) Schéma de ferraillage
35
9HA10 (esp = 25 cm)
HA16 tous les 17 cm
45
30
b
50
5
210
Fin de l’application
4) Semelle rectangulaire soumise à une charge verticale centrée
4.1 Dimensionnement
Dans le cas général, on choisit les dimensions de la semelle (𝐴, 𝐵) de telle sorte qu’elle soit
homothétique du poteau (𝑎, 𝑏) (Fig. 8). Supposons que 𝐴 ≤ 𝐵 et 𝑎 ≤ 𝑏 :
𝐴⁄ = 𝑎⁄
𝐵
𝑏
Les côtés 𝐴 et 𝐵 sont déterminés par la relation suivante :
𝐴. 𝐵 ≥
𝑃𝑠
(condition de portance)
𝜎̅
15
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝒃 𝑷𝒔
𝒂 𝑷𝒔
𝑩≥√
𝒐𝒖 𝑨 ≥ √
̅
̅
𝒂 𝝈
𝒃 𝝈
Les hauteurs utiles (𝑑𝑎 𝑒𝑡 𝑑𝑏) des armatures parallèles aux côtés 𝐴 et 𝐵 respectivement
doivent respecter :
𝑩−𝒃
≤ (𝒅𝒂 𝒆𝒕 𝒅𝒃 ) ≤ 𝑨 − 𝒂 (condition de rigidité)
𝟒
La hauteur des patins 𝑒 est donnée en fonction du diamètre ∅ des armatures tendues.
𝒆 ≥ 𝑴𝒂𝒙 {𝟏𝟓 𝒄𝒎; (
𝟔∅ + 𝟔 𝒄𝒎
)} ; 𝒆 𝒆𝒕 ∅ 𝒆𝒏 𝒄𝒎
𝟏𝟐∅ + 𝟏𝟐 𝒄𝒎
P
b
A1
Ab
A
a
Aa
db
b
e
b
B
b
h
c
B
Figure 8. Dimensions d’une semelle rectangulaire sous poteau rectangulaire.
4.2 Ferraillage
En supposant que la répartition des contraintes est uniforme sous la semelle, on peut
écrire (Fig.9) :
𝜎𝑠𝑜𝑙 =
𝑑𝑅 =
𝑃
𝐴×𝐵
𝑃
∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐴×𝐵
16
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝑑𝐹 = 𝑑𝑅 ∙
𝜌
ℎ
Projetons 𝑑𝐹 sur les axes 𝑥 et 𝑦 :
𝑑𝐹𝑎 = 𝑑𝑅 ∙
𝐵 ⁄2
𝐴⁄2
𝑥
𝑃 𝑥
𝑃
𝑃∙𝐴
∫
=
∙ ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 → 𝐹𝑎 =
𝑑𝑦 ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =
ℎ 𝐴𝐵 ℎ
𝐴𝐵 ∙ ℎ −𝐵⁄2
8ℎ
0
Avec
𝐴 𝐴−𝑎
𝑃 (𝐴 − 𝑎 )
=
; 𝐹𝑎 =
ℎ
𝑑𝑎
8 𝑑𝑎
Les sections d’armatures sont donc 𝐴𝑎 parallèlement au côté 𝐴 et 𝐴𝑏 parallèlement au
côté𝐵, avec 𝑃 = 𝑃𝑢 .
𝑨𝒂 =
𝑷𝒖 (𝑨 − 𝒂)
𝟖 ∙ 𝒅𝒂 ∙ 𝝈𝒔
𝑨𝒃 =
𝑷𝒖 (𝑩 − 𝒃)
𝟖 ∙ 𝒅𝒃 ∙ 𝝈𝒔
Remarques
Les armatures 𝐴𝑎 et 𝐴𝑏 seront réparties uniformément suivant les deux directions 𝐴 et 𝐵.
les armatures parallèles au grand côté constitueront le lit inférieur du quadrillage.
Ces armatures s’étendront, dans chaque direction, jusqu’aux extrémités de la semelle.
Elles seront munies ou non de crochets en comparant respectivement les longueurs de
scellement 𝑙𝑠𝑎 et 𝑙𝑠𝑏 des barres à 𝐴/4 et 𝐵/4.
Si 𝑙𝑠𝑎 ≤ 𝐴⁄4 : les barres dans le sens 𝐴 n’ont pas besoin de crochets, sinon il faut en
mettre.
Si 𝑙𝑠𝑏 ≤ 𝐵⁄4 : les barres dans le sens B n’ont pas besoin de crochets, sinon il faut en
placer.
Z
A
h
dFc
dR
O
x
θ
dy
Y
ρ
dx
dFb
c
dFa
dF
y
X
Figure 9. Éléments de ferraillage d’une semelle rectangulaire sous poteau rectangulaire.
17
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Application
Calculer les dimensions et les armatures d’une semelle sous poteau rectangulaire de
section (30𝑋40) 𝑐𝑚2. Le poteau transmet à la semelle un effort vertical centré
𝑃𝑠 = 0.45 𝑀𝑁(𝐸𝐿𝑆) et 𝑃𝑢 = 0.70 𝑀𝑁(𝐸𝐿𝑈).
𝜎̅ = 0.25 𝑀𝑃𝑎, contrainte admissible du sol
Aciers HAFeE400
𝛾𝑠 = 1.15, coefficient de sécurité des aciers dans la situation courante
𝑓𝑐28 = 25 𝑀𝑃𝑎, résistance caractéristique à la compression du béton après 28 jours de
durcissement
𝜌 = 25 𝐾𝑁⁄𝑚3, poids volumique du béton armé
Fissuration non préjudiciable
Solution
1) Dimensions de la semelle
1.1 Condition de portance :
𝑏 𝑃𝑠
40 0.45
𝐵≥√ ∙ ⟹𝐵≥√ ×
⟹ 𝐵 ≥ 1.55 𝑚
𝑎 𝜎̅
30 0.25
Soit 𝐵 = 1.60 𝑚.
𝐴=
𝑎
30
∙𝐵 =
× 1.6 = 1.20 𝑚
𝑏
40
Soit 𝐴 = 120 𝑐𝑚.
1.2 Condition de rigidité
𝐵−𝑏
160 − 40
≤ 𝑑𝑎 𝑒𝑡 𝑑𝑏 ≤ 𝐴 − 𝑎 ⟹
≤ 𝑑[𝑐𝑚] ≤ 120 − 30 ⟹ 30 𝑐𝑚 ≤ 𝑑 ≤ 90 𝑐𝑚
4
4
Soit 𝑑𝑏 = 35 𝑐𝑚 et ℎ𝑡 = 40 𝑐𝑚 (𝑑 est la hauteur utile ; ℎ𝑡 est la hauteur totale de la
semelle).
1.3 Vérification de la condition de portance en tenant compte du poids propre de la
semelle
Soit 𝑃𝑝 le poids propre approximatif de la semelle :
𝑃𝑝 = 𝐵. 𝐴. ℎ𝑡 . 𝜌 = 1.6 × 1.2 × 0.4 × 25 = 19.2 𝐾𝑁 = 0.019 𝑀𝑁
𝑃𝑠 ′ et 𝑃𝑢 ′ les charges verticales en tenant compte du poids propre de la semelle à l’E.L.S. et à
l’E.L.U. respectivement.
18
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝑃𝑠 ′ = 0.45 + 0.019 = 0.47 𝑀𝑁
𝑃𝑢 ′ = 0.70 + 1.35 × 0.019 = 0.73 𝑀𝑁
On vérifie les dimensions comme suit :
𝑏 𝑃𝑠 ′
40 0.47
𝑏 𝑃𝑠 ′
√
√
√
𝐵 = 1.60 𝑚 ;
∙
=
×
= 1.58 𝑚 ; 𝐵 ≥
∙
𝑎 𝜎̅
30 0.25
𝑎 𝜎̅
𝑎
30
𝑎
∙𝐵 =
× 1.58 = 1.19 ; 𝐴 ≥ ∙ 𝐵
𝑏
40
𝑏
Ainsi, les dimensions choisies vérifient les conditions de portance :
𝐴 = 1.20 ;
𝐵 = 160 𝑐𝑚 ; 𝐴 = 120 𝑐𝑚 ; 𝑑𝑏 = 35 𝑐𝑚 ; ℎ𝑡 = 40 𝑐𝑚.
2) Calcul des armatures par la méthode des bielles
2.1 Armatures parallèles au côté 𝑩
𝐴𝑠𝑏 =
𝑃𝑢′ ∙ (𝐵 − 𝑏) 0.73 × (1.6 − 0.4)
=
= 8.99 × 10−4 𝑚2 ≃ 9 𝑐𝑚2
8 ∙ 𝑑𝑏 ∙ 𝜎𝑠
8 × 0.35 × 348
On prend 8𝐻𝐴12 de section 𝐴𝑠𝑏 = 9.05 𝑐𝑚2 avec un espacement moyen de 15 𝑐𝑚.
2.2 Armatures parallèles au côté 𝑨
𝐴𝑠𝑎 =
𝑃𝑢′ ∙ (𝐴 − 𝑎)
8 ∙ 𝑑𝑎 ∙ 𝜎𝑠
Prenons des barres de diamètre 𝜙10 , il s’ensuit :
𝜙𝑎 + 𝜙𝑏
1.2 + 1.0
= 35 −
= 33.9 𝑐𝑚
2
2
0.73 × (1.2 − 0.3)
=
= 6.96 × 10−4 𝑚2 ≃ 7 𝑐𝑚2
8 × 0.339 × 348
𝑑𝑎 = 𝑑𝑏 −
𝐴𝑠𝑎
Soit 9𝐻𝐴10 de section 𝐴𝑠𝑎 = 7.06 𝑐𝑚2 avec un espacement moyen de 18 𝑐𝑚.
L’ancrage 𝑙𝑠 des barres vaut :
𝑙𝑠
𝑓 = 25 𝑀𝑃𝑎
{ 𝑐28
⇒ = 38.6 ⇒ 𝑙𝑠 = 35.3 𝜙
𝐴𝑐𝑖𝑒𝑟𝑠 𝐹𝑒𝐸400 𝜙
𝑙𝑠𝑎 = 35.3 × 1.0 = 35.30 𝑐𝑚 ⟹ 𝑙𝑠𝑎 > 𝐴⁄4 ; les armatures parallèles à 𝐴 doivent
comporter des crochets.
𝑙𝑠𝑏 = 35.3 × 1.2 = 42.36 𝑐𝑚 ⟹ 𝑙𝑠𝑎 > 𝐵⁄4 ; les armatures parallèles à 𝐵 doivent
comporter des crochets.
19
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
3) Débords
ℎ𝑝 ≥ 𝑀𝑎𝑥 {
15 𝑐𝑚
12 𝜙 + 6 𝑐𝑚 = 12 × 1.2 + 6 = 20.4 𝑐𝑚
Soit ℎ𝑝 = 25 𝑐𝑚.
4) Schéma de ferraillage
40
HA10 (esp = 18 cm)
9HA10 (esp = 18 cm)
HA12 (esp = 15 cm)
8HA12 (esp= 15 cm)
120
35 40
5
25
b
160
160
Fin de l’application
5) Semelle circulaire sous pilier circulaire soumise à un effort normal centré
La semelle a la forme d’un cylindre surmonté d’un tronc de cône. Elle peut être armée par
un quadrillage de 02 nappes orthogonales (Fig. 10a), par des cerces et des barres verticales
(Fig. 10b) ou une disposition mixte.
5.1 Dimensions de la semelle - Dispositions constructives
Le diamètre 𝐷 est fixé par la condition :
𝜎𝑠𝑜𝑙 =
𝑃𝑠
≤ 𝜎̅ (condition de portance)
𝜋𝐷 2 ⁄4
Soit
𝑷𝒔
𝑫 ≥ 𝟏, 𝟏𝟑√
̅
𝝈
En notant 𝐷𝑝 le diamètre du poteau, la hauteur utile 𝑑 ou 𝑑𝑥 est fixée par la condition de
rigidité :
20
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝑫 − 𝑫𝒑
≤ (𝒅𝒙 𝒐𝒖 𝒅) ≤ 𝑫 − 𝑫𝒑
𝟒
L’enrobage extérieur est supérieur ou égal à 3 𝑐𝑚.
La distance entre les cerces est égale à 3 𝑐𝑚, sinon en fonction du diamètre maximal du
granulat.
P
P
Dp
Dp
A
A
Ay
Ax
b
dx
e c
b
d
hx
hc
e
D
D
(b)
(a)
Figure 10. Semelle circulaire sous poteau circulaire. (a) Ferraillage en quadrillage (b)
Ferraillage en cerces.
5.2 Ferraillage en quadrillage
Considérons un élément de la semelle de centre de gravité 𝐶 (Fig. 11). La position de 𝐶 étant
définie par sa distance à 𝑂. Appelons 𝑑𝜌 et 𝜌𝑑𝜃 les dimensions de cet élément. Sur
l’élément envisagé, le sol exerce une réaction 𝑑𝑅 :
𝑑𝑅 = 𝜎𝑠𝑜𝑙 ∙ 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜎𝑠𝑜𝑙 =
𝑑𝑅 =
4𝑃𝑢
𝜋𝐷2
4𝑃𝑢
∙ 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜃
𝜋𝐷2
21
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Décomposons 𝑑𝑅 en une force de compression 𝑑𝐹𝑐 portée par 𝐶𝐴, axe de la bielle, et une
force de traction portée par 𝑂𝐶.
𝑑𝐹 𝑂𝐶
=
(𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑂𝐴𝐶 𝑒𝑡 𝑑𝐹𝐶𝑑𝑅)
𝑑𝑅 𝑂𝐴
𝑑𝐹 =
𝜌
4𝑃𝑢 1
∙ 𝑑𝑅 =
∙
∙ 𝜌2 𝑑𝜌 𝑑𝜃
𝑂𝐴
𝜋𝐷2 𝑂𝐴
Décomposons maintenant 𝑑𝐹 suivant les axes x et y :
𝑑𝐹𝑥 = 𝑑𝐹 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝐹𝑥 =
4𝑃𝑢 1
∙
∙ 𝜌2 𝑑𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
𝜋𝐷2 𝑂𝐴
𝐷⁄2
𝜋⁄2
4𝑃𝑢 1
4𝑃𝑢 1
𝑃𝐷 1
2
[𝜌3 ] [𝑠𝑖𝑛𝜃] = 𝑢 ∙
∫
∫
∙
𝜌
𝑑𝜌
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 =
∙
2
2
𝜋𝐷 𝑂𝐴 0
𝜋𝐷 𝑂𝐴
3𝜋 𝑂𝐴
−𝜋⁄2
Z
A
h
dFc
dR
O
θ dθ
dρ
Y
ρ
dFy
c
dFx
dF
X
Figure 11. Éléments de ferraillage en quadrillage d’une semelle circulaire.
D’après la Figure 10 :
𝐷 − 𝐷𝑝
𝐷
𝐷 − 𝐷𝑝
𝐷
2 =
2
soit
=
𝑂𝐴
𝑑𝑥
𝑂𝐴
𝑑𝑥
D’où
22
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝐹𝑥 =
𝑃𝑢 (𝐷 − 𝐷𝑝 )
3 𝜋 𝑑𝑥
𝐹𝑦 =
𝑃𝑢 (𝐷 − 𝐷𝑝 )
3 𝜋 𝑑𝑦
On obtiendra de la même manière :
La section des armatures du lit inférieur 𝐴𝑖 et du lit supérieur 𝐴𝑠 est donnée par les relations
suivantes :
𝑨𝒊 =
𝑷𝒖 (𝑫 − 𝑫𝒑 )
𝟑 𝝅 𝒅𝒙 𝝈𝒔
𝑨𝒔 =
𝑷𝒖 (𝑫 − 𝑫𝒑 )
𝟑 𝝅 𝒅𝒚 𝝈𝒔
Remarques
Les deux nappes orthogonales ont une section différente dans la mesure où la hauteur
utile diffère ; dans la pratique, on place en général deux nappes identiques de section
égale à la section du lit supérieur (la plus grande).
Les armatures sont toutes munies de crochets et sont disposées comme montré dans la
Figure 12 :
1𝑚 ≤ 𝐷 ≤ 3𝑚
50 % des armatures dans la zone centrale
25 % dans chaque zone latérale
𝐷 > 3𝑚
30 % dans la zone centrale
25 % dans chaque zone intermédiaire
10 % dans chaque zone latérale
𝐷 < 1𝑚
On admet que l’effort est uniformément reparti et on dispose les
barres avec un écartement constant dans chaque direction.
Les deux armatures extrêmes étant en général trop courtes pour être efficaces, elles ne
sont pas prises en compte dans 𝐴𝑖 et 𝐴𝑠 et sont considérées comme des barres de
répartition.
Toutes les barres étant munies de crochets, la hauteur de rive 𝑒 est donnée par :
𝒆 ≥ 𝑴𝒂𝒙 {𝟏𝟓 𝒄𝒎, 𝟏𝟐∅ + 𝟔 𝒄𝒎}
23
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
D/3
D/3
D/5
D/3
As
D/5 D/5 D/5 D/5
0.10
As/4
0.25
As/2
0.30
0.25
As/4
0.10
Ai/4
Ai/2
0.1
Ai/4
1m ≤ D ≤ 3m
0.25
0.3 0.25 0.1
Ai
D > 3m
Figure 12. Disposition des armatures en quadrillage d’une semelle circulaire.
5.3 Ferraillage en cerces
Les sections des cerces valent (Fig.13) :
𝐴𝑐 =
𝐹𝑥 ⁄2 𝑷𝒖 (𝑫 − 𝑫𝒑 )
=
𝜎𝑠
𝟔 𝝅 𝒅 𝝈𝒔
Fx/2
Fx/2
Fx
Figure 13. Éléments de calcul des armatures en cerces d’une semelle circulaire.
Remarques
La cerce supérieure est disposée de telle sorte que son axe se trouve sur une droite à
45⁰passant par le collet de la semelle.
On dispose des armatures verticales liées aux cerces, qui assurent leur maintien pendant
le bétonnage et constituent en outre une butée efficace pour les bielles de béton
comprimé.
24
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
L’épaisseur de rive est telle qu’il y ait 3 𝑐𝑚 entre chaque cerce et au moins 3 𝑐𝑚
d’enrobage supérieur et inférieur : si 𝑚 est le nombre de cerces :
𝒆 ≥ 𝒎 ∅ + 𝟑(𝒎 + 𝟏) 𝒄𝒎
Application
Calculer les dimensions et les armatures d’une semelle circulaire de diamètre 𝐷 sous un
poteau circulaire de diamètre 𝑑𝑝 = 50 𝑐𝑚.
Les charges transmises sont : 𝑃𝑠 = 0.99 𝑀𝑁(𝐸𝐿𝑆) et 𝑃𝑢 = 1.42 𝑀𝑁(𝐸𝐿𝑈).
𝜎̅ = 0.35 𝑀𝑃𝑎, contrainte admissible du sol
Aciers HAFeE400
𝛾𝑠 = 1.15, coefficient de sécurité des aciers dans la situation courante
𝑓𝑐28 = 25 𝑀𝑃𝑎, résistance caractéristique à la compression du béton après 28 jours de
durcissement
𝜌 = 25 𝐾𝑁⁄𝑚3, poids volumique du béton armé
Solution
1) Dimensions de la semelle
1.1 Condition de portance :
𝜎𝑠𝑜𝑙 ≤ 𝜎̅ ⟹
𝑃𝑠
4 𝑃𝑠
𝑃𝑠
≤ 𝜎̅ ⟹ 𝐷 ≥ √ ∙ ⟹ 𝐷 ≥ 1.13√
2
𝜋𝐷
𝜋 𝜎̅
𝜎̅
4
0.99
𝐷 ≥ 1.13√
⟹ 𝐷 ≥ 1.90 𝑚 ; 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝐷 = 200 𝑐𝑚
0.35
1.2 Condition de rigidité
𝑑 𝑜𝑢 𝑑𝑥 ≥
𝐷 − 𝑑𝑝
200 − 50
⟹ 𝑑 𝑜𝑢 𝑑𝑥 ≥
⟹ 𝑑𝑥 ≥ 37.5 𝑐𝑚 ; 𝑑𝑥 = 40 𝑐𝑚 ; ℎ𝑡 = 45 𝑐𝑚
4
4
1.3 Vérification de la condition de portance en tenant compte du poids propre de la
semelle
Soit 𝑃𝑝 le poids propre surestimé de la semelle :
25
CHERIFI FATIHA
𝑃𝑝 =
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝜋𝐷2
𝜋 × 22
. ℎ𝑡 . 𝜌 =
× 0.45 × 25 = 19.2 𝐾𝑁 = 0.035 𝑀𝑁
4
4
𝑃𝑠 ′ et 𝑃𝑢 ′ les charges verticales en tenant compte du poids propre de la semelle à l’E.L.S. et à
l’E.L.U. respectivement.
𝑃𝑠 ′ = 0.99 + 0.035 = 1.025 𝑀𝑁
𝑃𝑢 ′ = 1.42 + 1.35 × 0.035 = 1.47 𝑀𝑁
On vérifie les dimensions comme suit :
𝑃𝑠
1.025
𝑃𝑠
1.13√ = 1.13√
= 1.93 𝑚 𝑒𝑡 𝐷 = 2.0 𝑚 ⟹ 𝐷 ≥ 1.13√
𝜎̅
0.35
𝜎̅
Les dimensions de la semelle sont alors : 𝐷 = 200 𝑐𝑚 ; 𝑑𝑥 = 40 𝑐𝑚 ; ℎ𝑡 = 45 𝑐𝑚.
2) Ferraillage en quadrillage
La semelle est armée de deux nappes orthogonales.
2.1 Armatures du lit inférieur
𝐴𝑖 =
𝑃𝑢′ ∙ (𝐷 − 𝑑𝑝 ) 1.47 × (2.0 − 0.5)
=
= 16.82 × 10−4 𝑚2 = 16.82 𝑐𝑚2
3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝜎𝑠
3 × 𝜋 × 0.4 × 348
2.2 Armatures du lit supérieur
𝐴𝑠 =
𝑃𝑢′ ∙ (𝐷 − 𝑑𝑝 )
3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝜎𝑠
𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 − 𝜙𝑥 = 40 − 1.4 = 38.6 𝑐𝑚 (en choisissant le même diamètre pour les deux
nappes)
𝐴𝑠 =
0.73 × (2.0 − 0.5)
= 17.43 × 10−4 𝑚2 = 17.43 𝑐𝑚2
3 × 𝜋 × 0.386 × 348
Remarque
En choisissant de placer deux nappes identiques, on calcule uniquement la section
supérieure. En supposant que les armatures seront des 𝐻𝐴14 :
𝑑𝑠 = 𝑑𝑖 − 𝜙14 = 40 − 1.4 = 38.6 𝑐𝑚
𝑃𝑢′ ∙ (𝐷 − 𝑑𝑝 )
𝐴𝑠 =
= 17.43 𝑐𝑚2
3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑𝑠 ∙ 𝜎𝑠
Nous avons donc 12𝐻𝐴14 ; avec les deux barres de répartition sur les bords, cela nous
donne 13 intervalles sur environ 1.90 𝑚 de large, soit un espacement de 14.5 𝑐𝑚, ce qui est
correct.
26
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
2.3 Débords
ℎ𝑝 ≥ 𝑀𝑎𝑥 {
15 𝑐𝑚
12 𝜙 + 6 𝑐𝑚 = 12 × 1.4 + 6 = 22.8 𝑐𝑚
Soit ℎ𝑝 = 25 𝑐𝑚.
2.4 Schéma de ferraillage
3HA14
50
6HA14
12HA14 (esp = 14.5 cm)
12HA14 (esp = 14.5 cm)
40 45
5
25
3HA14
b
200
3HA14
6HA14
3HA14
3) Ferraillage en cerces
Supposons que l’on utilise trois cerces 𝐻𝐴20. Le schéma nous permet de déterminer la
hauteur utile.
𝐷 𝑑𝑝
200 − 50
−
− 5 𝑐𝑚 =
− 5 = 70 𝑐𝑚
2
2
2
𝑑 = 𝑒 + ∅20 + 3 𝑐𝑚 = 70 + 2 + 3 = 75 𝑐𝑚
𝑒=
Calculons le poids propre de la semelle en considérant une épaisseur moyenne de 𝑒.
𝜋𝐷2
𝜋 × 22
𝑃𝑝 =
∙𝑒⋅𝜌 =
× 0.70 × 25 = 0.055 𝑀𝑁
4
4
𝑃𝑠 ′ = 0.99 + 0.055 = 1.045 𝑀𝑁
𝑃𝑢 ′ = 1.42 + 1.35 × 0.055 = 1.49 𝑀𝑁
𝑃𝑠 ′
1.045
√
𝐷 ≥ 1.13
⟹ 𝐷 ≥ 1.13√
⟹ 𝐷 ≥ 1.95 𝑚
𝜎̅
0.35
Cette condition est vérifiée (D = 2 m).
𝑃𝑢 ′ (𝐷 − 𝑑𝑝 ) 1.49 × (2 − 0.5) × 104
𝐴𝑐 =
=
= 4.54 𝑐𝑚2
6 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝜎𝑠
6 × 𝜋 × 0.75 × 348
{
𝐴𝑐 = 4.54 𝑐𝑚2
⟹ 𝐴𝑐 < 3HA20
3HA20 = 9.42 𝑐𝑚2
27
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
On refait les calculs avec 3HA14 = 4.62 𝑐𝑚2 .
𝑑 = 𝑒 + ∅14 + 3 𝑐𝑚 = 70 + 1.4 + 3 = 74.4 𝑐𝑚
𝐴𝑐 =
𝑃𝑢 (𝐷 − 𝑑𝑝 ) 1.49 × (2 − 0.5) × 10−4
=
= 4.58 𝑐𝑚2 ⟹ acceptable
6 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝜎𝑠
6 × 𝜋 × 0.744 × 348
∅14
+ 3 𝑐𝑚 + ∅14 + 3 𝑐𝑚 = 82.5 𝑐𝑚
2
ℎ𝑝 ≥ 𝑚 ⋅ 𝜙 + (𝑚 + 1) ∙ 3 𝑐𝑚 ; 𝑚 est le nombre de cerces
ℎ𝑡 = 𝑑 +
ℎ𝑝 ≥ 3 × 1.4 + (3 + 1) × 3 𝑐𝑚 = 16.2 𝑐𝑚 ; soit ℎ𝑝 = 20 𝑐𝑚
P
dp
45 ͦ
d e
20
200
3 cm
5 cm
Fin de l’application
Remarque
On peut être obligé d’excentrer la semelle par rapport au mur (semelle continue) ou au
poteau (semelle isolée), lorsqu’on est en présence d’une construction existante ou d’une
limite de propriété à ne pas franchir. Dans ce cas, le diagramme des contraintes est non pas
uniforme mais trapézoïdal (chapitres 6).
Par ailleurs, on peut prévoir des poutres de redressement. La répartition des contraintes est
alors uniforme et on calcule la semelle comme précédemment (chapitres 3-5), le moment
(𝑁 ∙ 𝑒) étant repris par la poutre de redressement.
N1
N2
e
Poutre de redressement
CDG
28
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
6) Semelle soumise à un effort normal et à un moment de flexion
Dans ce qui précède nous avons considéré des semelles soumises uniquement à une
charge 𝑃, mais il peut arriver que l’élément supporté par la semelle lui transmet une charge
centrée 𝑃 et un moment de flexion 𝑀 (moment rapporté au centre de gravité du béton seul
de la section située à la base du mur ou du poteau) ou, ce qui revient au même, une charge
excentrée 𝑃 située à la distance 𝑒 = 𝑀/𝑃 de l’axe du mur ou du poteau.
6.1 Semelle rectangulaire reposant sur le sol
Lorsque la semelle repose sur le sol (on peut distinguer des semelles reposant sur le sol et
d’autres reposant sur des pieux), le diagramme des contraintes du sol a la forme d’un
trapèze ou, éventuellement, d’un triangle car aucune traction du sol n’est admise.
Supposons la semelle rectangulaire (les autres formes de semelles peuvent se traiter de
façon analogue), la répartition des contraintes est trapézoïdale (Fig. 14a).
6.1.1 Dimensionnement (à l’E.L.S.)
Diagramme trapézoïdal
On démontre en R.D.M. que dans une section rectangulaire de dimensions 𝐴 × 𝐵, soumise à
un effort normal 𝑃𝑠 situé à la distance 𝑒𝑠 de l’axe (Fig. 14a), on a :
𝜎𝑀 =
𝜎𝑀 =
𝑃𝑠
𝑀𝑠
𝑃𝑠
𝑀𝑠
+
𝑉 ; 𝜎𝑚 =
−
𝑉
𝐴𝐵
𝐼
𝐴𝐵
𝐼
𝑃𝑠
𝑒𝑠
𝑃𝑠
𝑒𝑠
∙ (1 + 6 ) ; 𝜎𝑚 =
∙ (1 − 6 )
𝐴𝐵
𝐵
𝐴𝐵
𝐵
𝜎𝑀 , 𝜎𝑚 - les contraintes (maximale et minimale) sous la semelle,
𝑃𝑠 , 𝑀𝑠 - l’effort normal et le moment fléchissant, appliqués à la semelle, à l’E.L.S,
𝐴, 𝐵 - les dimensions de la semelle rectangulaire (𝐴 ≥ 𝐵),
𝐼 - le moment d’inertie de la semelle,
𝑉 - la position des fibres les plus sollicitées,
𝑒𝑠 - l’excentricité de l’effort normal par rapport à l’axe du poteau.
La contrainte au sol est totalement en compression si 𝜎𝑀 et 𝜎𝑚 sont positifs ou nuls, soit si :
𝑒𝑠 ≤
𝑩
𝟔
(𝑃𝑠 tombe à l’intérieur du noyau central de la semelle).
29
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Considérons la contrainte 𝜎 correspondant au point situé au quart de la largeur de la
semelle, distance mesurée à partir du point d’application de 𝜎𝑀 (Fig. 14b). Nous avons :
𝜎=
3𝜎𝑀 + 𝜎𝑚
𝑃𝑠
3𝑒𝑠
=
(1 +
)
4
𝐴𝐵
𝐵
On admet que l’on doit avoir :
𝜎 ≤ 𝜎̅
𝑃𝑠
3𝑒𝑠
(1 +
) ≤ 𝜎̅
𝐴𝐵
𝐵
C’est la condition de résistance du sol (𝜎̅ étant la contrainte admissible du sol) ; d’où :
𝑨 ∙ 𝐁 ≥ (𝟏 +
𝟑𝒆𝒔 𝑷𝒔
)
̅
𝑩
𝝈
P
M
b
e
σm
B/4
3B/4
P
σM
σm
σM
R=P
σ
B
B
(a)
(b)
Figure 14. Semelle rectangulaire soumise à un effort normal et à un moment. Diagramme
de contraintes trapézoïdal.
Diagramme triangulaire
Le diagramme des contraintes sera triangulaire (Fig.15) si 𝑃𝑠 tombe à l’extérieur du noyau
𝑩
central de la semelle, c.à.d. 𝒆𝒔 > 𝟔 .
30
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
P
M
b
e
X/3
σM
X
P
B
Figure 15. Semelle rectangulaire soumise à un effort normal et à un moment. Diagramme
de contraintes triangulaire.
𝑃𝑠 = (
𝜎𝑀
𝑥 𝐵
) ∙ 𝐴 ∙ 𝑥 𝑒𝑡
= − 𝑒𝑠
2
3 2
𝜎𝑀 =
2 𝑃𝑠
𝐵
3 𝐴 ( 2 − 𝑒𝑠 )
La condition de résistance du sol s’écrit :
𝐵
3 𝜎𝑀 + 𝜎𝑚
𝜎( ) =
≤ 𝜎̅
4
4
3
4
𝜎𝑀 ≤ 𝜎̅ ⇒ 𝜎𝑀 ≤ 𝜎̅ ⇒ 𝜎𝑀 ≤ 1,33 𝜎̅
4
3
̅ ; 𝝈𝑴 =
𝝈𝑴 ≤ 𝟏, 𝟑𝟑 𝝈
𝟐 𝑷𝒔
𝑩
𝟑 𝑨 ( 𝟐 − 𝒆𝒔 )
Remarques
𝜎𝑀 ≤ 1,33 𝜎̅ dans le cas général.
𝜎𝑀 ≤ 𝜎̅ si le moment 𝑀 est dû à un vent dominant agissant la majorité du temps.
Les relations précédentes permettent de déterminer les dimensions 𝐴 et 𝐵 de la semelle.
31
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Les hauteurs utiles :
𝑩−𝒃
≤ 𝒅𝒂 ≤ 𝒅𝒃 ≤ 𝑨 − 𝒂
𝟒
6.1.2 Ferraillage (à l’E.L.U.)
Pour le ferraillage de la semelle, deux cas peuvent se présenter selon que l’excentricité
𝑒𝑢 est supérieure, ou inférieure ou égale à 𝐵⁄6.
Résultante dans le noyau central : 𝒆𝒖 ≤
𝑩
𝟔
Dans ce cas, deux autres cas peuvent également se présenter selon que l’excentricité est
supérieure, ou inférieure ou égale à 𝐵⁄24.
∎ (𝝈 𝑴 − 𝝈 𝒎 ) ≤
𝟏 (𝝈 𝑴 + 𝝈 𝒎 )
𝑩
∙
𝐬𝐨𝐢𝐭 𝒆𝒖 ≤
𝟐
𝟐
𝟐𝟒
Nous supposons d’abord que :
La semelle est entièrement comprimée à sa base c.à.d. que : 𝑒𝑢 ≤
𝐵
6
La différence entre 𝜎𝑀 et 𝜎𝑚 est inférieure à la moitié de la contrainte moyenne,
c.à.d. que :
𝜎𝑀 − 𝜎𝑚 <
1 𝜎𝑀 + 𝜎𝑚
∙
2
2
𝐵
Compte tenu des valeurs indiquées ci-dessus pour 𝜎𝑀 et 𝜎𝑚 , on obtient alors : 𝑒𝑢 ≤ 24
La condition précédente est celle fixée par le D.T.U. n⁰ 13, elle est parfois remplacée par la
suivante :
𝜎𝑀 − 𝜎𝑚 <
2 𝜎𝑀 + 𝜎𝑚
∙
3
2
𝐵
𝑒𝑢 ≤ 18
qui conduit alors à :
Lorsque les deux conditions précédentes sont simultanément remplies, c.à.d. lorsque :
𝒆𝒖 ≤
𝑩
𝑩
𝒆𝒕 𝒆𝒖 ≤
𝟔
𝟐𝟒
(𝐨𝐮 𝐞𝐯𝐞𝐧𝐭𝐮𝐞𝐥𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭
𝐁
)
𝟏𝟖
32
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
on peut, pour les semelles reposant sur le sol, continuer à utiliser la méthode des bielles en
considérant que tout se passe comme si la semelle recevait une contrainte uniforme égale à
𝜎3⁄4 . On remplace la charge réelle 𝑃 par une charge fictive 𝑃′ :
𝑃′ = 𝑃𝑢 (1 +
3𝑒𝑢
)
𝐵
Les sections d’acier (𝐴𝑏 , 𝐴𝑎 ) parallèles au côté 𝐵 et au côté 𝐴 respectivement, sont calculées
par les formules suivantes :
𝒆
𝒆
𝑷𝒖 (𝟏 + 𝟑 𝑩𝒖 ) (𝑩 − 𝒃)
𝑷𝒖 (𝟏 + 𝟑 𝑩𝒖 ) (𝑨 − 𝒂)
𝑨𝒃 =
; 𝑨𝒂 =
𝟖 ∙ 𝒅𝒃 ∙ 𝝈𝒔
𝟖 ∙ 𝒅𝒂 ∙ 𝝈𝒔
∎ (𝝈 𝑴 − 𝝈 𝒎 ) >
𝟏 (𝝈 𝑴 + 𝝈 𝒎 )
𝑩
∙
𝐬𝐨𝐢𝐭 𝒆𝒖 >
𝟐
𝟐
𝟐𝟒
Les armatures 𝐴𝑏 parallèles au côté 𝐵 sont déterminées pour équilibrer le moment 𝑀1 qui
s’applique dans la section 𝑆1 située à une distance 0,35𝑏 de l’axe du poteau du côté de la
contrainte maximale ; les armatures obtenues sont uniformément réparties.
Les armatures 𝐴𝑎 dans la direction A (suivant laquelle il n’existe pas de moment) sont
calculées selon la méthode des bielles en considérant l’effort fictif :
𝑃′ = 𝑃𝑢 (1 +
3𝑒𝑢
)
𝐵
La résultante des efforts à droite vaut (Fig. 16) :
𝑅𝑑 = (𝐵⁄2 − 0,35 𝑏) × (𝜎𝑀 + 𝜎1 )⁄2 × 𝐴
Cette résultante passe par le centre de gravité du trapèze situé à droite de (𝑆1 ) dans le
diagramme des contraintes, donc :
𝐵
− 0,35 𝑏 𝜎1 + 2𝜎𝑀
𝑥𝑑 = ̅̅̅
𝑠𝑔 = 2
×
3
𝜎1 + 𝜎𝑀
D’où :
Le moment 𝑀1 ci-dessus défini vaut :
33
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
2
𝐵
𝜎1 + 2𝜎𝑀
𝑀1 = 𝐴 ( − 𝑜, 35 𝑏) (
)
2
6
2
𝐵
𝑒𝑢
𝑒𝑢 𝑏 𝑃𝑢
𝑀1 = ( − 𝑜, 35 𝑏) (1 + 4 + 1,4 2 )
2
𝐵
𝐵
2𝐵
𝑷
𝑴
𝒃
(𝑺𝟏 )
𝟎. 𝟑𝟓𝒃 𝒙𝒅
s
𝝈𝒎
g
𝝈𝟏
𝑩
𝝈𝑴
𝑹𝒅
Figure 16. Calcul d’une semelle rectangulaire soumise à un effort normal et à un moment
de flexion. Cas d’une répartition trapézoïdale des contraintes sous la semelle
( 𝑩⁄𝟐𝟒 < 𝒆 ≤ 𝑩⁄𝟔 ).
Ainsi, les sections d’armatures disposées suivant les deux côtés de la semelle sont calculées
comme suit :
𝑨𝒃 =
𝟐
𝑴𝟏
𝑩
𝒆𝒖
𝒆𝒖 𝒃 𝑷𝒖
𝐚𝐯𝐞𝐜 𝑴𝟏 = ( − 𝒐, 𝟑𝟓 𝒃) (𝟏 + 𝟒 + 𝟏, 𝟒
)
𝒅𝒃 ∙ 𝝈𝒔
𝟐
𝑩
𝑩𝟐 𝟐 𝑩
𝒆
𝑷𝒖 (𝟏 + 𝟑 𝑩𝒖 ) (𝑨 − 𝒂)
(𝒎é𝒕𝒉𝒐𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒃𝒊𝒆𝒍𝒍𝒆𝒔)
𝑨𝒂 =
𝟖 ∙ 𝒅𝒂 ∙ 𝝈𝒔
NOTA. La section 𝐴𝑏 peut être déterminée par la méthode approchée en remplaçant 𝑑𝑏
par 𝑧 ≃ 0.9 ℎ𝑡 , ℎ𝑡 étant la hauteur de la semelle. Le paramètre 𝑧 représente le bras de
levier entre les résultantes de forces dans le béton 𝐹𝑏 et dans l’acier 𝐹𝑏 .
34
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Résultante hors du noyau central : 𝒆𝒖 >
On procède comme précédemment (cas où
𝑩
𝟔
𝐵
24
𝐵
< 𝑒𝑢 ≤ ), mais avec (Fig.17) :
6
𝐵
𝜎1 𝑥 − ( 2 − 0,35 𝑏)
𝐵
(𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠) ; 𝑥 = 3 ( − 𝑒𝑢 )
=
𝜎𝑀
𝑥
2
D’où :
𝜎1 =
𝐵 + 0,35 𝑏 − 3 𝑒𝑢
∙ 𝜎𝑀
𝐵
3 ( 2 − 𝑒𝑢 )
avec
𝜎𝑀 =
2 𝑃𝑢
𝐵
3 ( 2 − 𝑒𝑢 ) ∙ 𝐴
Le moment maximal est du côté de 𝜎𝑀 , d’où l’aile la plus sollicitée.
2
𝐵
− 𝑜, 35 𝑏
𝑃𝑢
)
𝑀1 = (4 𝐵 + 0,35 𝑏 − 9 𝑒𝑢 ) ( 2
𝐵
27
− 𝑒𝑢
2
𝑷
𝑴
𝒃
𝟎. 𝟑𝟓𝒃
𝑩
− 𝑶. 𝟑𝟓 𝒃
𝟐
𝝈𝟏
𝝈𝑴
𝒙
𝑩
Figure 17. Calcul d’une semelle rectangulaire soumise à un effort normal et à un moment
de flexion. Cas d’une répartition triangulaire des contraintes sous la semelle ( 𝒆 > 𝑩⁄𝟔).
Dans ce cas, les sections d’armatures parallèles aux deux côtés de la semelle sont données
par les relations suivantes :
35
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝟐
𝑩
−
𝒐,
𝟑𝟓
𝒃
𝑴𝟏
𝑷𝒖
)
𝑨𝒃 =
𝐚𝐯𝐞𝐜 𝑴𝟏 = (𝟒 𝑩 + 𝟎, 𝟑𝟓 𝒃 − 𝟗 𝒆𝒖 ) ( 𝟐
𝑩
𝒅𝒃 ∙ 𝝈𝒔
𝟐𝟕
𝟐 − 𝒆𝒖
𝒆
𝑷𝒖 (𝟏 + 𝟑 𝑩𝒖 ) (𝑨 − 𝒂)
(𝒎é𝒕𝒉𝒐𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒃𝒊𝒆𝒍𝒍𝒆𝒔)
𝑨𝒂 =
𝟖 ∙ 𝒅𝒂 ∙ 𝝈𝒔
NOTA. De même que précédemment, la section 𝐴𝑏 peut être déterminée par la méthode
approchée en remplaçant 𝑑𝑏 par 𝑧 ≃ 0.9 ℎ𝑡 , ℎ𝑡 étant la hauteur de la semelle.
Application
I.
Calculer les dimensions, et les sections d’acier nécessaires pour ferrailler une semelle
sous poteau rectangulaire. On donne les paramètres suivants :
charges pondérées à l’E.L.U. : 𝐺 = 675 𝐾𝑁, 𝑄 = 0,
excentricité : prendre 𝑒𝑢 = 𝑒𝑠 = 30 𝑐𝑚,
résistance ultime du sol : 𝑞𝑢 = 0.6 𝑀𝑃𝑎,
dimensions du poteau : 𝑎 × 𝑏 = 40 𝑐𝑚 × 30 𝑐𝑚 (𝑎 = 40 𝑐𝑚),
e
N
a
aciers 𝐹𝑒𝐸400, 𝛾𝑠 = 1.15,
𝑓𝑐28 = 25 𝑀𝑃𝑎,
𝜌 = 25 𝐾𝑁⁄𝑚3 (béton armé),
𝑓issuration préjudiciable,
A
seules les armatures HA12 et HA14 sont disponibles.
II.
Vérifier les résultats obtenus (dimensions et ferraillage) pour les deux cas suivants :
1. 𝑒 = 0.
2. Les sollicitations non pondérées ont les valeurs suivantes : 𝑁 = 600 𝐾𝑁, 𝑀 = 54 𝐾𝑁. 𝑚.
III.
Donner les solutions possibles pour que les crochets ne soient pas nécessaires si seules
les barres HA12 et HA16 sont disponibles (les HA16 doivent être disposées suivant 𝐴).
N.B.
Négliger le poids propre de la semelle.
Considérer les dimensions et le ferraillage économiques.
Faire le schéma complet de ferraillage.
36
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Solution
I.
Calcul des dimensions et des sections d’aciers
On considère dans ce qui suit : 𝑒𝑠 = 𝑒𝑢 = 𝑒
I.1 Dimensions
Par homothétie :
𝐴 𝑎 40
= =
= 𝑘 ⟹ 𝐴 = 𝑘 ∙ 𝐵 = 1.33 × 𝐵
𝐵 𝑏 30
Supposons une répartition trapézoïdale des contraintes :
𝑒𝑠 ≤
𝐴
⟹ 𝐴 ≥ 6 ∙ 𝑒𝑠 ⟹ 𝐴 ≥ 180 𝑐𝑚 ; ce qui est vraissemblable.
6
I.1.1 Condition de portance
𝜎(𝐴⁄4) ≤ 𝜎̅ ⇒ (1 +
3. 𝑒𝑠 𝑁𝑠
).
≤ 𝜎̅
𝐴
𝐴. 𝐵
À l’E.L.S. : 𝜎̅ = 𝑞𝑢 ⁄3 = 0.2 𝑀𝑃𝑎 ; 𝑁𝑠 = 𝐺 ⁄1.35 = 500 𝐾𝑁.
En remplaçant 𝐵 par son expression, en fonction de 𝐴, la condition de portance devient :
𝐴2 ≥ (1 +
3. 𝑒𝑠 𝑘. 𝑁𝑠
2992500
(𝐴 en 𝑐𝑚).
).
⟹ 𝐴2 ≥ 33250 +
𝐴
𝜎̅
𝐴
Soit 𝐴 = 220 𝑐𝑚, 𝐵 = 165 𝑐𝑚.
I.1.2 Condition de rigidité et calcul de la hauteur utile
𝐴−𝑎
220 − 40
≤ 𝑑𝑎 et 𝑑𝑏 < 𝐵 − 𝑏 ⟹
≤ 𝑑𝑎 et 𝑑𝑏 ≤ 165 − 30
4
4
45 𝑐𝑚 ≤ 𝑑𝑎 ≤ 135 𝑐𝑚
Soit 𝑑𝑎 = 50 𝑐𝑚, ℎ𝑡 = 55 𝑐𝑚.
I.2 Ferraillage
I.2.1 Armatures parallèles au côté 𝑨
𝑒𝑢 = 30 𝑐𝑚 ;
𝐴 220
𝐴
220
=
= 36.7 𝑐𝑚 ;
=
= 9.20 𝑐𝑚
6
6
24
24
𝐴
𝐴
Le diagramme des contraintes est trapézoïdal (24 < 𝑒𝑢 < 6 ).
On calcule un moment 𝑀1 tel que :
37
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
2
𝐴
4 𝑒𝑢 1.4 𝑒𝑢
𝑁𝑢
𝑀1 = ( − 0.35 𝑎) (1 +
+
∙
𝑎)
= 223.4 𝐾𝑁. 𝑚 avec 𝑁𝑢 = 675 𝐾𝑁
2
𝐴
𝐴2
2𝐴
On en déduit la section des armatures parallèles au côté 𝐴 :
𝑀1
22.34 ∙ 106
𝐴𝑎 =
=
= 12.85 𝑐𝑚2
400
𝑑𝑎 ∙ 𝜎𝑠 50 ∙
2
1.15 ∙ 10
La fissuration étant préjudiciable, la section d’armatures doit être majorée de 10%.
𝐴𝑎 = 1.1 × 12.85 = 14.14 𝑐𝑚2
On opte pour 10 HA14 d’une section de 15.39 𝑐𝑚2, avec un espacement moyen de 16.5 𝑐𝑚.
I.2.2 Armatures parallèles côté B
Suivant 𝐵, on utilise la méthode des bielles.
𝑒
𝑁𝑢 (1 + 3 𝐴𝑢 ) (𝐵 − 𝑏)
𝐴𝑏 =
8 ∙ 𝑑𝑏 ∙ 𝜎𝑠
En choisissant des barres HA12, la hauteur utile des armatures parallèles à la largeur 𝐵 se
calcule comme suit :
(𝜙14 + 𝜙12 )
(1.4 + 1.2)
= 50 −
= 48.7 𝑐𝑚
2
2
On en déduit la section de ces armatures : 𝐴𝑏 = 9.48 𝑐𝑚2 .
𝑑𝑏 = 𝑑𝑎 −
De même que précédemment, on majore cette section de 10% (fissuration préjudiciable).
𝐴𝑏 = 1.1 × 9.48 = 10.43 𝑐𝑚2
On dispose 10 HA12 d’une section de 11.31 𝑐𝑚2, avec un espacement moyen de 22 𝑐𝑚.
I.2.3 Ancrage des barres
𝑙𝑠
𝑓 = 25 𝑀𝑃𝑎
{ 𝑐28
⟹ = 35.3 ⟹ 𝑙𝑠 = 38.6 ∅
𝐴𝑐𝑖𝑒𝑟 𝐹𝑒𝐸400
∅
𝐴 220
𝐴
𝑙𝑠𝑎 = 35.3 ∅𝑎 = 35.3 × 1.4 = 49.42 𝑐𝑚 ; =
= 55 𝑐𝑚 ⟹ 𝑙𝑠𝑎 <
4
4
4
𝐵 165
𝐴
𝑙𝑠𝑏 = 35.3 ∅𝑏 = 35.3 × 1.2 = 42.36 𝑐𝑚 ; =
= 41.25 𝑐𝑚 ⟹ 𝑙𝑠𝑏 >
4
4
4
Les crochets sont donc nécessaires uniquement suivant la largeur 𝐵 (aciers HA12).
I.3 Hauteur des patins
ℎ𝑝 ≥ 𝑀𝑎𝑥 {
15 𝑐𝑚
12 𝜙 + 6 𝑐𝑚 = 12 × 1.2 + 6 = 20.4 𝑐𝑚
Soit ℎ𝑝 = 25 𝑐𝑚.
38
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
I.4 Schéma de ferraillage
40
HA12 (esp = 22 cm)
10HA14 (esp = 16.5 cm)
HA14 (esp = 16.5 cm)
10HA10 (esp = 22 cm)
165
55
25
220
II.
220
Il s’agit de vérifier les dimensions et le ferraillage calculés précédemment pour les cas
suivants :
II.1 𝒆 = 𝟎 ; 𝑵𝒔 = 𝟓𝟎𝟎 𝑲𝑵
II.1.1 Dimensions
Calculons la contrainte à la base de la semelle.
𝜎𝑠𝑜𝑙 =
𝑁𝑠
5 × 105
=
= 0.14 𝑀𝑃𝑎 = 70% 𝜎̅
𝐴. 𝐵 2200 × 1650
Cette contrainte étant inférieure à la contrainte admissible du sol 𝜎̅ (𝜎̅ = 0.2 𝑀𝑃𝑎), les
dimensions calculées sont suffisantes du point de vue sécurité, mais non économiques (la
semelle est légèrement surdimensionnée).
II.1.2 Ferraillage
Les sections d’acier dans les deux directions sont calculées par la méthode des bielles.
𝑁𝑢 (𝐴 − 𝑎)
67.5 × 104 (220 − 40)
𝐴𝑎 = 1.10 ×
= 1.10 ×
= 1.10 × 8.73 𝑐𝑚2 = 9.6 𝑐𝑚2
400
8 ∙ 𝑑𝑎 ∙ 𝜎𝑠
8 ∙ 50 ∙ 1.15 ∙ 102
𝑑𝑏 = 𝑑𝑎 − ∅12 = 50 − 1.2 = 48.8 𝑐𝑚 (en choisissant des barres HA12 suivant les deux
directions).
𝑁𝑢 (𝐵 − 𝑏)
67.5 × 104 (165 − 30)
𝐴𝑏 = 1.10 ×
= 1.10 ×
= 1.10 × 6.71 𝑐𝑚2 = 7.38 𝑐𝑚2
400
8 ∙ 𝑑𝑏 ∙ 𝜎𝑠
2
8 × 48.8 × 1.15 × 10
Ces valeurs sont inférieures aux sections adoptées (𝐴𝑎 = 15.39 𝑐𝑚2 ; 𝐴𝑏 = 11.31 𝑐𝑚2 ).
En conclusion, le ferraillage de la semelle est suffisant.
39
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
II.2 𝑵𝒔 = 𝟔𝟎𝟎 𝑲𝑵 ; 𝑴𝒔 = 𝟓𝟒 𝑲𝑵. 𝒎 (les charges sont permanentes)
II.2.1 Dimensions
On calcule d’abord l’excentricité :
𝑒𝑠 =
𝑀𝑠
54
𝐴 220
=
= 0.09 𝑚 = 9 𝑐𝑚 et =
= 36.7 𝑐𝑚
𝑁𝑠 600
6
6
𝐴
On en déduit que la répartition des contraintes est trapézoïdale (𝑒𝑠 < 6 ).
La condition de portance s’écrit alors comme suit :
3. 𝑒𝑠
𝑁𝑠
3×9
60 × 104
(1 +
)∙
= (1 +
)∙
= 0.19 𝑀𝑃𝑎 = 95% 𝜎̅
𝐴
𝐴. 𝐵
220 2200 × 1650
Cette contrainte étant légèrement inférieure à la contrainte admissible du sol
(𝜎̅ = 0.2 𝑀𝑃𝑎 ), les dimensions calculées sont suffisantes avec une bonne approche des
deux conditions : sécurité et économie.
II.2.2 Ferraillage
L’excentricité à l’E.L.U. :
𝑒𝑢 =
𝑀𝑢
𝐴 220
𝐴
= 9 𝑐𝑚 𝑒𝑡 =
= 36.7 𝑐𝑚 ⇒ 𝑒𝑢 <
𝑁𝑢
6
6
6
De plus :
𝐴
= 9.17 𝑐𝑚
24
L’excentricité 𝑒𝑢 est inférieure à 𝐴⁄24, la méthode des bielles est applicable.
𝑒𝑢 <
3. 𝑒
3×9
𝑁𝑢 (1 + 𝐴 𝑢 ) (𝐴 − 𝑎)
1.35 × 60 × 104 (1 + 220 ) (220 − 40)
𝐴𝑎 = 1.10 ×
= 1.10 ×
400
8 ∙ 𝑑𝑎 ∙ 𝜎𝑠
8 ∙ 50 ∙ 1.15 ∙ 102
𝐴𝑎 = 1.10 × 11.77 𝑐𝑚2 = 12.95 𝑐𝑚2
𝑑𝑏 = 𝑑𝑎 − ∅12 = 50 − 1.2 = 48.8 𝑐𝑚 (on choisit de disposer des barres HA12 suivant les
deux directions).
𝐴𝑏 = 1.10 ×
3. 𝑒𝑢
3×9
) (𝐵 − 𝑏 )
1.35 × 60 × 104 (1 +
) (165 − 30)
𝐴
220
= 1.10 ×
400
8 ∙ 𝑑𝑏 ∙ 𝜎𝑠
8 ∙ 50 ∙ 1.15 ∙ 102
𝑁𝑢 (1 +
𝐴𝑏 = 1.10 × 9.04 𝑐𝑚2 = 9.94 𝑐𝑚2
Ces valeurs sont inférieures aux sections adoptées (𝐴𝑎 = 15.39 𝑐𝑚2 ; 𝐴𝑏 = 11.31 𝑐𝑚2 ).
En conclusion, le ferraillage de la semelle est suffisant.
40
CHERIFI FATIHA
III.
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Supposons que seuls les aciers HA12 et HA16 sont disponibles ; et que las armatures
HA16 sont disposés suivant la largeur 𝑨.
𝑙𝑠
𝑓 = 25 𝑀𝑃𝑎
{ 𝑐28
⟹ = 35.3 ⟹ 𝑙𝑠 = 38.6 ∅
𝐴𝑐𝑖𝑒𝑟 𝐹𝑒𝐸400
∅
Suivant la largeur 𝐴 :
𝑙𝑠𝑎 = 35.3 ∅𝑎 = 35.3 × 1.6 = 56.48 𝑐𝑚 ;
𝑙𝑠𝑎 >
𝐴
= 55 𝑐𝑚
4
𝐴
; les crochets sont nécessaires
4
Suivant la largeur B :
𝑙𝑠𝑏 = 35.3 ∅𝑏 = 35.3 × 1.2 = 42.36 𝑐𝑚 ;
𝑙𝑠𝑎 >
𝐵
= 41.25 𝑐𝑚
4
𝐴
; les crochets sont nécessaires
4
En conclusion, les crochets sont indispensables suivant les deux largeurs de la semelle. Pour
que les crochets ne soient pas nécessaires, deux solutions sont à envisager :
1. Augmenter les dimensions de la semelle.
𝐴
⇒ 𝐴 ≥ 4 𝑙𝑠𝑎 ; 4 𝑙𝑠𝑎 = 4 × 56.48 𝑐𝑚 = 225.92 𝑐𝑚 ; soit 𝐴 = 230 𝑐𝑚
4
𝐵
≤ ⇒ 𝐵 ≥ 4 𝑙𝑠𝑏 ; 4 𝑙𝑠𝑏 = 4 × 42.36 𝑐𝑚 = 169.44 𝑐𝑚 ; soit 𝐵 = 170 𝑐𝑚
4
𝑙𝑠𝑎 ≤
𝑙𝑠𝑏
2. Modifier les caractéristiques des matériaux.
𝑙𝑠
(
)
{𝑓𝑐28 = 30 𝑀𝑃𝑎 au lieu de 25 MPa ⟹ = 30.9 ⟹ 𝑙𝑠 = 30.9 ∅
∅
𝐴𝑐𝑖𝑒𝑟 𝐹𝑒𝐸400
𝐴
𝐴
𝑙𝑠𝑎 = 30.9 × 1.6 = 49.44 ; = 55 𝑐𝑚 ; 𝑙𝑠𝑎 <
4
4
𝐵
𝐵
𝑙𝑠𝑏 = 30.9 × 1.2 = 37.08 ; = 41.25 𝑐𝑚 ; 𝑙𝑠𝑏 <
4
4
Fin de l’application
6.2 Semelle continue sous mur
6.2.1 Dimensionnement
Un mur étant généralement non armé ou peu armé, on prendra de préférence 𝑏 ≥ 𝑒𝑠 (𝑏
étant la largeur du mur) ; on se fixe la largeur 𝐵 de la semelle en la rectifiant ultérieurement
si nécessaire et on vérifie que :
41
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Premier cas (répartition trapézoïdale des contraintes sous la semelle) : 𝒆𝒔 ≤
𝑩
𝟔
On admet que l’on doit vérifier que la contrainte moyenne 𝜎(𝐵⁄4) correspondant au point
situé au quart de la largeur 𝐵 de la semelle, distance mesurée à partir du point d’application
de la contrainte maximale 𝜎𝑀 , est inférieure ou égale à la contrainte admissible du sol 𝜎̅ :
𝜎(𝐵⁄4) ≤ 𝜎̅ avec 𝜎 (𝐵⁄4) =
3𝜎𝑀 + 𝜎𝑚
𝑒𝑠 𝑃𝑠
= (1 + 3 ) ∙
4
𝐵 𝐵
La largeur 𝐵 de la semelle doit alors vérifier la condition de portance suivante :
𝑩 ≥ (𝟏 + 𝟑
𝒆𝒔 𝑷𝒔
)∙
̅
𝑩
𝝈
Deuxième cas (répartition triangulaire des contraintes sous la semelle) : 𝒆𝒔 >
𝑩
𝟔
De même que précédemment, on vérifie la condition de portance avec 𝜎𝑚 = 0 :
𝜎 (𝐵 ⁄4) =
3𝜎𝑀
2 𝑃𝑠
𝐵
≤ 𝜎̅ ; 𝜎𝑀 =
; 𝑥 = 3 ( − 𝑒𝑠 )
4
𝑥
2
Dans le cas d’un diagramme triangulaire de contraintes, la condition de portance devient :
𝟐 𝑷𝒔
𝑩
𝟑 ( 𝟐 − 𝒆𝒔 )
≤
̅
𝟏. 𝟑𝟑 𝝈
Celle-ci nous permet de calculer la largeur 𝐵 de la semelle.
Afin de vérifier la condition de rigidité, on prendra pour hauteur utile 𝑑 :
𝒅 ≥
(𝑩 − 𝒃)
𝟒
6.2.2 Ferraillage
Premier cas : 𝒆𝒖 ≤
𝒆𝒖 ≤
𝑩
𝟐𝟒
𝑩
𝟔
(méthode des bielles)
Les armatures perpendiculaires au mur, par unité de longueur de semelle, sont :
42
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝒆
𝑷𝒖 (𝟏 + 𝟑 𝑩𝒖 ) (𝑩 − 𝒃)
𝑨𝒔 =
𝟖 ∙ 𝒅 ∙ 𝝈𝒔
Les armatures de répartition, réparties sur la largeur 𝐵, sont :
𝑨𝒓 = 𝑨𝒔 ∙
𝑩
; 𝑩 𝐞𝐧 𝐦è𝐭𝐫𝐞𝐬
𝟒
𝑩
𝒆𝒖 > 𝟐𝟒 (la méthode des bielles n’est pas valable)
On calcule les armatures 𝐴𝑠 à l’aide des formules du paragraphe précédent, pour équilibrer
le moment 𝑀1 , avec 𝐴 = 1𝑚.
𝑨𝒔 =
𝑴𝟏
𝑩
; 𝑨𝒓 = 𝑨𝒔 ∙
𝒅 ∙ 𝝈𝒔
𝟒
𝟐
𝑩
𝒆𝒖
𝒆𝒖 𝒃 𝑷𝒖
𝑴𝟏 = ( − 𝒐, 𝟑𝟓 𝒃) (𝟏 + 𝟒 + 𝟏, 𝟒
)
𝟐
𝑩
𝑩𝟐 𝟐 𝑩
𝑩
Deuxième cas : 𝒆𝒖 > 𝟔 (la méthode des bielles n’est pas valable)
𝑨𝒔 =
𝑴𝟏
𝑩
; 𝑨𝒓 = 𝑨𝒔 ∙
𝒅 ∙ 𝝈𝒔
𝟒
𝟐
𝑩
− 𝒐, 𝟑𝟓 𝒃
𝑷𝒖
)
𝑴𝟏 = (𝟒 𝑩 + 𝟎, 𝟑𝟓 𝒃 − 𝟗 𝒆𝒖 ) ( 𝟐
𝑩
𝟐𝟕
𝟐 − 𝒆𝒖
Application 1
Dimensionner et déterminer les armatures d’une semelle supportant un mur de 35 𝑐𝑚 de
largeur qui lui transmet :
À l’E.L.S., un effort normal 𝑃𝑠 de 0.46 𝑀𝑁/𝑚 et un moment de flexion 𝑀𝑠 de
0.025 𝑀𝑁/𝑚.
À l’E.L.U., un effort normal 𝑃𝑢 de 0.9 𝑀𝑁/𝑚 et un moment de flexion 𝑀𝑢 de 0.05 𝑀𝑁/𝑚.
𝜎̅ = 0.3 𝑀𝑃𝑎, contrainte admissible du sol
Aciers HAFeE500
43
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝑓𝑐28 = 30 𝑃𝑎, résistance caractéristique à la compression du béton après 28 jours de
durcissement
𝜌 = 25 𝐾𝑁⁄𝑚3, poids volumique du béton armé
Solution
1) Dimensions
𝑒𝑠 =
𝑀𝑠 0.025
=
= 0.054 𝑚
𝑃𝑠
0.46
Il est vraisemblable que : 𝐵 > 6 ∙ 𝑒𝑠 ⟹ 𝐵 > 0.32 𝑚 ; donc que ∶ 𝑒𝑠 <
𝐵
6
Il en résulte une répartition trapézoïdale des contraintes.
1.1 Condition de portance
(1 + 3
𝑒𝑠 𝑃𝑠
𝜎̅
1
𝜎̅
) ∙ ≤ 𝜎̅ ⟹ ∙ 𝐵 − 3𝑒𝑠 ⋅ − 1 ≥ 0 ⟹ ∙ 𝐵2 − 𝐵 − 3𝑒𝑠 ≥ 0
𝐵 𝐵
𝑃𝑠
𝐵
𝑃𝑠
Sous forme : 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ; 𝑥1 =
Δ = (−1)2 − 4 ⋅
−𝑏−√Δ
2𝑎
; 𝑥2 =
−𝑏+√Δ
2𝑎
0.30
⋅ (−3(0.054)) = 1.423
0.46
−(−1) + √1.42
𝐵1 ≥ (
= 1.68 𝑚 ) ; 𝐵2 < 0 (à rejeter)
0.3
2 (0.46)
Soit 𝐵1 = 170 𝑐𝑚
1.2 Calcul de la hauteur utile à partir de la condition de rigidité
𝑑≥
𝐵−𝑏
1.70 − 0.35
⟹𝑑≥(
= 0.34 𝑚)
4
4
Soit 𝑑 = 40 𝑐𝑚, ℎ𝑡 = 45 𝑐𝑚.
1.3 Vérification de la condition de portance en tenant compte du poids de la semelle
Soit 𝑃𝑝 le poids propre surestimé de la semelle :
𝑃𝑝 = 𝐵 × ℎ𝑡 × 𝜌 = 1.7 × 0.45 × 25 = 19.13 𝐾𝑁/𝑚
L’effort normal à l’E.L.S. devient : 𝑃𝑠′ = 0.46 + 0.019 = 0.479 𝑀𝑁/𝑚
𝑒𝑠 ′ =
(1 + 3
𝑀𝑠 0.025
=
= 0.052 𝑚
𝑃𝑠 ′ 0.479
𝑒𝑠 ′ 𝑃𝑠 ′
0.052 0.479
)∙
= (1 + 3
)∙
= 0.31 𝑀𝑃𝑎 > 𝜎̅
𝐵
𝐵
1.7
1.7
44
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝜎𝑠𝑜𝑙 > 𝜎̅, on augmente alors la largeur 𝐵, soit 𝐵 = 1.80 𝑚, et on reprend les calculs.
𝑑≥
𝐵−𝑏
⟹ 𝑑 ≥ 36 𝑐𝑚
4
On conservera les valeurs précédentes : 𝑑 = 40 𝑐𝑚 ; ℎ𝑡 = 45 𝑐𝑚.
𝑃𝑝 = 𝐵 × ℎ𝑡 × 𝜌 = 1.8 × 0.45 × 25 = 20 𝐾𝑁/𝑚
𝑃𝑠′ = 0.46 + 0.020 = 0.48 𝑀𝑁/𝑚
𝑃𝑢′ = 0.90 + 1.35 × 0.02 = 0.93 𝑀𝑁/𝑚
𝑒𝑠 =
𝑀𝑠 0.025
=
= 0.052 𝑚
𝑃𝑠 ′
0.48
𝑒𝑠 𝑃𝑠 ′
0.052 0.48
(1 + 3 ) ∙
= (1 + 3
)∙
= 0.29 𝑀𝑃𝑎 < 𝜎̅
𝐵
𝐵
1.8
1.8
La condition de portance étant vérifiée, on retient les dimensions suivantes :
𝐵 = 180 𝑐𝑚 ; 𝑑 = 40 𝑐𝑚 ; ℎ𝑡 = 45 𝑐𝑚
2) ferraillage
2.1 Armatures principales
𝑒𝑢 =
𝑀𝑢 0.05
𝐵 1.80
𝐵
𝐵
= 0.054 𝑚 ; =
= 0.30 𝑚 ;
= 0.08 𝑚 ; = 0.45 𝑚
′ =
𝑃𝑢
0.93
6
6
24
4
𝑒𝑢 <
𝐵
⟹ répartition trapézoïdale des contraintes
6
𝐵
⟹ la méthodes des bielles peut être appliquée
24
𝑒
0.054
𝑃𝑢 (1 + 3 𝐵𝑢 ) (𝐵 − 𝑏) 0.93 × (1 + 3 1.8 ) × (1.8 − 0.35) × 104
𝐴𝑠 =
=
= 13.11 𝑐𝑚2
8 ∙ 𝑑 ∙ 𝜎𝑠
8 × 0.4 × 435
𝑒𝑢 <
Prenons des barres 𝐻𝐴16, avec un espacement de :
𝑒𝑠𝑝 = 100 𝑐𝑚 ×
1𝐻𝐴16
2.01
= 100 ×
= 15.33 𝑐𝑚 ; soit 𝑒𝑠𝑝 = 15 𝑐𝑚
𝐴𝑠
13.11
On peut également choisir des barres HA14 ; 9HA14 de section 𝐴𝑠 = 13.85 𝑐𝑚2 , avec un
espacement 𝑒𝑠𝑝 :
𝑒𝑠𝑝 = 100 𝑐𝑚 ×
1𝐻𝐴14
1.54
= 100 ×
= 11.74 𝑐𝑚 ; soit 𝑒𝑠𝑝 = 11 𝑐𝑚
𝐴𝑠
13.11
Ancrage des barres
{
𝑙𝑠
𝐵
𝑓𝑐28 = 30 𝑀𝑃𝑎
⟹ = 38.6 ⟹ 𝑙𝑠 = 38.6 ∅ = 38.6 × 1.6 = 61.76 𝑐𝑚 ⟹ 𝑙𝑠 >
∅
4
𝐴𝑐𝑖𝑒𝑟 𝐹𝑒𝐸500
45
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Par conséquent, toutes les barres doivent être munies de crochets et prolongées jusqu’aux
extrémités.
Remarque
Pour éviter les crochets, il faut que :
𝑙𝑠 ≤
𝐵
⟹ 𝐵 ≥ 4𝑙𝑠 ⟹ 𝐵 ≥ 2.47 𝑚 ; avec des barres 𝐻𝐴16
4
Ou bien
𝑙𝑠 = 38.6 ∅ ≤
𝐵
1800
⟹ 38.6 ∅ ≤
⟹ ∅ ≤ 11.66 𝑚𝑚 ; soit ∅ = 10 𝑚𝑚
4
4
13.11⁄
0.79 = 16.59 barres
100⁄16.59 = 6.03 𝑐𝑚.
Il faut
donc
par
mètre, soit
un espacement
de
On préférera, par raison d’économie et de bon espacement des barres, élargir la semelle.
2.2 Armatures de répartition
On choisit des barres HA8 espacées de 100 𝑐𝑚 ×
1𝐻𝐴8
𝐴𝑟
= 15.25 𝑐𝑚.
2.3 Hauteur des patins
ℎ𝑝 ≥ 𝑀𝑎𝑥 {
15 𝑐𝑚
12 𝜙 + 6 𝑐𝑚 = 12 × 1.6 + 6 = 25.2 𝑐𝑚
Soit ℎ𝑝 = 30 𝑐𝑚.
2.4 Schéma de ferraillage
35
HA8 (esp = 15 cm)
HA16 (esp = 15 cm)
40
30
45
5
b
180
b
Les armatures verticales du mur ne sont pas tendues, elles ne sont pas munies de retour
horizontal.
Fin de l’application 1
46
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Application 2
Reprenons les données de l’application 1, en augmentant la valeur de 𝑀𝑢 .
À l’E.L.S., un effort normal 𝑃𝑠 de 0.46 𝑀𝑁/𝑚 et un moment de flexion 𝑀𝑠 de
0.025 𝑀𝑁/𝑚.
À l’E.L.U., un effort normal 𝑃𝑢 de 0.9 𝑀𝑁/𝑚 et un moment de flexion 𝑴𝒖
de 𝟎. 𝟎𝟗 𝑴𝑵/𝒎.
𝜎𝑠𝑜𝑙 = 0.3 𝑀𝑃𝑎
Aciers FeE500
𝑓𝑐28 = 30 𝑀𝑃𝑎,
𝜌 = 25 𝐾𝑁⁄𝑚3, poids volumique du béton armé.
Solution
1) Dimensions
Cette étape reste inchangée : 𝐵 = 180 𝑐𝑚 ; 𝑑 = 40 𝑐𝑚 ; ℎ𝑡 = 45 𝑐𝑚
2) Ferraillage
Rappelons que le poids propre 𝑃𝑝 de la semelle vaut :
𝑃𝑝 = 𝐵 × ℎ𝑡 × 𝜌 = 1.8 × 0.45 × 25 = 20 𝐾𝑁/𝑚
L’effort normal ultime 𝑃𝑢 devient alors :
𝑃𝑢 = 0.90 + 1.35 × 0.02 = 0.93 𝑀𝑁/𝑚
2.1 Armatures principales
𝑒𝑢 =
𝑀𝑢 0.093
𝐵 1.80
𝐵
1.80
𝐵
= 0.1 𝑚 ; =
= 0.30 𝑚 ;
=
= 0.08 𝑚 ; = 0.45 𝑚
′ =
𝑃𝑢
0.93
6
6
24
24
4
𝑒𝑢 <
𝑒𝑢 >
𝐵
⟹ la répartition des contraintes est trapézoïdale
6
𝐵
⟹ on ne peut pas utiliser la méthodes des bielles. On calcule le moment M1
24
2
𝐵
𝑒𝑢
𝑒𝑢 𝑏 𝑃𝑢
𝑀1
𝑀1 = ( − 𝑜, 35 𝑏) (1 + 4 + 1,4
)
; 𝐴𝑠 =
2
2
𝐵
𝐵
2𝐵
𝑑 ∙ 𝜎𝑠
2
1.8
0.1
0.1 × 0.35 0.93
𝑀1 = (
− 0,35 × 0.35) (1 + 4
+ 1,4
)
= 0.19 𝑀𝑁. 𝑚
2
1.8
1.82
2 × 1.8
𝐴𝑠 =
𝑀1
0.19 × 104
=
= 10.92 𝑐𝑚2
𝑑 ∙ 𝜎𝑠
0.4 × 435
Prenons des barres HA16, espacées de :
47
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝑒𝑠𝑝 = 100 𝑐𝑚 ×
1𝐻𝐴16
2.01
= 100 ×
= 18.4 𝑐𝑚 ; 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑒𝑠𝑝 = 18 𝑐𝑚
𝐴𝑠
10.92
Remarque
Pour éviter les crochets, on doit vérifier la condition suivante :
𝑙𝑠 ≤
𝐵
𝐵
⟹ 38.6 𝜙 ≤ ⟹ 𝜙 ≤ 11.6 𝑚𝑚
4
4
Ancrage des barres (voir application 1)
Toutes les barres doivent être munies de crochets et prolongées jusqu’aux extrémités.
2.2 Armatures de répartition
𝐴𝑠
∙𝐵
4
Si on choisit des barres HA8, elles seront espacées de :
𝐴𝑟 =
𝑒𝑠𝑝 = 100 𝑐𝑚 ×
1𝐻𝐴8
0.5
= 100 ×
= 18.3 𝑐𝑚 ; 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑒𝑠𝑝 = 18 𝑐𝑚
𝐴𝑟
10.92⁄4
2.3 Hauteur des patins (voir application 1) : ℎ𝑝 = 25 𝑐𝑚.
2.4 Schéma de ferraillage
35
HA8 (esp = 18 cm)
HA16 (esp = 18 cm)
40
25
45
5
b
b
180
Fin de l’application 2
6.3 Semelle et poteau circulaires
En appliquant le même principe que pour la semelle rectangulaire, il vient :
𝜎=
𝑃 𝑀𝑉
±
𝑆
𝐼
𝑆=
𝜋𝐷2
4
𝐼=
𝜋𝐷2
64
𝑉=
𝐷
2
48
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝐷 et 𝑆 sont respectivement le diamètre et la section de la semelle circulaire.
La contrainte maximale :
𝜎𝑀 = (1 +
𝐵. 𝑒𝑠 𝑃
)∙
𝐷
𝑆
La contrainte minimale :
𝜎𝑚 = (1 −
8. 𝑒𝑠 𝑃
)∙
𝐷
𝑆
Considérons que la contrainte moyenne sous la semelle est inférieure ou égale à la
contrainte admissible du sol 𝜎̅ :
3𝜎𝑀 + 𝜎𝑚
4𝑒𝑠 𝑃𝑠
= (1 +
) ∙ ≤ 𝜎̅
4
𝐷
𝑆
𝜎𝑀 − 𝜎𝑚 ≤
1 𝜎𝑀 + 𝜎𝑚
𝐷
∙
𝑠𝑖 𝑒𝑠 ≤
2
2
32
𝜎𝑀 − 𝜎𝑚 ≤
2 𝜎𝑀 + 𝜎𝑚
𝐷
∙
𝑠𝑖 𝑒𝑠 ≤
3
2
24
Par conséquent, si :
𝑫
𝒆𝒖 ≤ 𝟑𝟐 (𝒐𝒖
𝑫
𝟐𝟒
)
On pourra appliquer la méthode des bielles en remplaçant la charge réelle par la charge
fictive 𝑃′ :
4𝑒
𝑃𝑢 (1 + 𝑢 ) ∙ (𝐷 − 𝐷𝑝 )
4
𝑒
𝑢
𝐷
𝑃𝑢′ = 𝑃𝑢 (1 +
) ; 𝐴𝑠 =
𝐷
3𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝜎𝑠
Ferraillage en quadrillage :
Ferraillage en cerces :
𝟒𝒆
𝑷𝒖 (𝟏 + 𝑫𝒖 ) ∙ (𝑫 − 𝑫𝒑 )
𝑨𝒔 =
𝟑𝝅 ∙ 𝒅 ∙ 𝝈𝒔
𝟒𝒆
𝑷𝒖 (𝟏 + 𝑫𝒖 ) ∙ (𝑫 − 𝑫𝒑 )
𝑨𝒔 =
𝟔𝝅 ∙ 𝒅 ∙ 𝝈𝒔
Si cette condition n’est pas remplie, les calculs deviennent extrêmement complexes.
49
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
7) Semelle continue sous poteaux
Lorsque les semelles isolées ont des dimensions telles qu’elles se touchent presque dans un
sens, il est avantageux de les relier de manière à former une semelle continue.
La semelle continue sous poteaux peut être plus ou moins rigide. Elle est surmontée par une
poutre de rigidité qui répartit les efforts concentrés transmis par les poteaux. Cette poutre
constitue dans un sens un entretoisement favorable à la stabilité de l’ouvrage.
Le problème principal de ce genre d’ouvrage est de déterminer la répartition de la réaction
du sol sur la semelle.
Le comportement et le dimensionnement des semelles filantes supportant des poteaux sont
difficiles à déterminer car la force portante dépend de plusieurs paramètres :
la compressibilité du sol et sa composition le long de la semelle,
la rigidité de la semelle,
les charges dans les différents poteaux.
Il est prudent de faire une analyse détaillée de l’interaction entre le sol et la semelle,
cependant il n’est pas toujours nécessaire de faire cette analyse longue et complexe.
7.1 Réactions d’appuis de la semelle
7.1.1 Uniformité du sol
Semelle rigide - dans ce cas, on peut dire que la force portante en tout point de la
semelle est substantiellement la même. Cependant, cette réaction ne sera uniforme que
si le centre de la semelle coïncide avec le centre des charges des poteaux (Fig. 18).
Semelle rigide
Figure 18. Réactions d’appuis d’une semelle rigide (sol uniforme).
Semelle souple - dans ce cas, la force portante sera plus grande en dessous des poteaux
qu’entre deux poteaux successifs. La pression n’est donc ni uniforme ni linéaire (Fig. 19).
50
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Semelle souple
Figure 19. Réactions d’appuis d’une semelle souple (sol uniforme).
7.1.2 Variabilité du sol
Si le sol est variable sous la semelle filante, la force portante aura alors un comportement
différent du précédent. Deux cas se présentent :
Semelle rigide - dans ce cas, la semelle tendra à régler uniformément la force portante
mais, à l’endroit où le sol est plus souple, la force sera moindre. Pour garder l’équilibre
vertical des forces, la force portante va donc augmenter de chaque coté de la section
moins porteuse du sol. En résumé, la semelle tend à décharger la partie du sol moins
rigide et à transférer les charges sur les sections plus rigides (Fig. 20).
Semelle rigide
Sol moins ferme
Sol ferme
Figure 20. Réactions d’appuis d’une semelle rigide (sol variable).
Semelle souple - dans ce cas, il y a également deux autres cas :
soit la partie plus souple se trouve entre deux poteaux. La semelle subit alors à cet
endroit une légère déformation vers le haut, qui réduira la force portante et
l’augmentera aux extrémités de cette zone moins porteuse (Fig. 21) ;
Semelle flexible
Sol ferme
Sol plus
mou
Sol ferme
Figure 21. Réactions d’appuis d’une semelle souple (sol mou entre poteaux).
51
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
soit la section plus souple se trouve sous un poteau. Alors la force portante la plus
importante, qui devrait avoir lieu sous cette colonne si le sol avait été uniforme, se
voit réduites par le sol mou, ce qui conduit à une meilleure homogénéité
des réactions d’appuis de la semelle (Fig.22).
Semelle flexible
Sol ferme
Sol plus
mou
Sol ferme
Figure 22. Réactions d’appuis d’une semelle souple (sol mou sous poteaux).
Les moments fléchissant et les efforts tranchants dans la semelle peuvent être trouvés au
moyen de la statique.
7.2 Dimensionnement de la semelle rigide
Les différents paramètres sont représentés sur la Figure 23.
condition de résistance (cas de charges centrées)
𝜎=
∑𝑖=𝑛𝑝𝑜𝑡
∑𝑖=𝑛𝑝𝑜𝑡 𝑁𝑖
𝑁𝑖
𝑖=1
≤ 𝜎̅ ⟹ 𝐵 ≥ 𝑖=1
𝐵∙𝐿
𝐿 ∙ 𝜎̅
𝑛𝑝𝑜𝑡– nombre de poteaux,
𝐿𝑠 – longueur totale de la semelle (y compris les débords),
𝜎̅ – contrainte admissible du sol.
On en déduit alors la largeur 𝐵 de la semelle :
Condition de rigidité
𝑑≥
𝐵−𝑏 𝑙
𝑙
; ≤ ℎ𝑝 ≤
4
9
6
𝑑 – hauteur utile de la semelle,
𝐵 – largeur de la semelle,
𝑏 – largeur du poteau,
52
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
ℎ𝑝 – hauteur de la poutre de rigidité (0.5 m – 1.20 m pour les projets courants),
𝑙 – entre-axes maximal des poteaux.
N1
N2
N3
Nn
............
𝑙
ℎ𝑝
ℎ𝑡
𝜎𝑠𝑜𝑙
B
𝐿𝑠
Figure 23. Caractéristiques géométrique de la semelle filante sous poteaux (Cas de charges
centrées).
7.3 Ferraillage de la semelle
Transversalement, les résultats précédents concernant la semelle continue sous mur reste
valables.
Longitudinalement, la répartition des contraintes dépend de la rigidité longitudinale de la
fondation, de la distance entre poteaux et de la nature du sol.
La poutre de rigidité est calculée comme une poutre continue, sous une charge
uniformément répartie : 𝑞 = 𝜎𝑠𝑜𝑙 × 𝐵.
Application
Dimensionner et ferrailler une semelle continue sous trois poteaux carrés de côté 𝑏 égal
à 40 𝑐𝑚. Les poteaux transmettent à la semelle les charges permanentes non pondérées
suivantes : 𝑁1 = 45 𝑡, 𝑁2 = 50 𝑡, 𝑁3 = 45 𝑡 et 𝑀1 = 6 𝑡. 𝑚, 𝑀2 = 5 𝑡. 𝑚, 𝑀3 = 3 𝑡. 𝑚.
On donne : 𝜎̅ = 0.15 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑐28 = 25 𝑀𝑃𝑎, 𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟 𝐹𝑒𝐸400.
N1=45 t
N2=50 t
M1=6 t.m
l1=5.0 m
G
N3=45 t
M2=5 t.m
M3=3 t.m
l2=3.0 m
53
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Solution
1) Dimensions (E.L.S.)
En choisissant des débords 𝑑 de 15 𝑐𝑚, la longueur de la semelle 𝐿𝑠 vaut :
𝐿𝑠 = 𝑙1 + 𝑙2 + 𝑎 + 2 𝑑 = 5 + 3 + 0.4 + 0.3 = 8.7 𝑚 ; 𝐿𝑠 ⁄6 = 1.45 𝑚
Calculons les sollicitations (𝑁𝑠 , 𝑀𝑠 ) par rapport au centre de gravité 𝐺 de la semelle.
𝑁𝑠 = 45 + 50 + 45 = 140 𝑡
𝑀𝑠 = 6 + 5 + 3 + 45 × 4 + 50 × 1 − 45 × 4 = 64 𝑡. 𝑚
On en déduit l’excentricité 𝑒𝑠 :
𝑒𝑠 = 𝑀𝑠 ⁄𝑁𝑠 = 64⁄140 = 0.4571 𝑚
𝑒𝑠 < 𝐿𝑠 ⁄6, la répartition des contraintes est trapézoïdale et la condition de portance s’écrit :
𝑁𝑠
3 𝑒𝑠
𝑁𝑠
3 𝑒𝑠
(1 +
) ≤ 𝜎̅ ⟹ 𝐵 ≥
(1 +
) ; 𝐵 étant la largeur de la semelle
𝐵. 𝐿𝑠
𝐿𝑠
𝜎̅. 𝐿𝑠
𝐿𝑠
𝐵≥
1400
3 × 45.71
(1 +
) ⟹ 𝐵 ≥ 124.2 𝑐𝑚 ; soit 𝐵 = 150 𝑐𝑚
−1
0.15 × 10
870
La hauteur utile 𝑑 de la semelle doit vérifier la condition de rigidité :
𝐵−𝑏
150 − 40
⟹𝑑≥
; soit 𝑑 = 30 𝑐𝑚, ℎ𝑡 = 35 𝑐𝑚
4
4
La hauteur ℎ𝑝 de la poutre de rigidité est estimée à 1⁄9 à 1⁄6 de la travée maximale :
𝑑≥
𝑙𝑚𝑎𝑥
𝑙𝑚𝑎𝑥
460
460
≤ ℎ𝑝 ≤
⟹
≤ ℎ𝑝 ≤
9
6
9
6
soit ℎ𝑝 = 60 𝑐𝑚, 𝑏𝑝 = 40 𝑐𝑚
Remarque – Il est nécessaire de vérifier la condition de portance en tenant compte du poids
propre de la semelle.
2) Ferraillage (E.L.U.)
Les armatures principales 𝐴𝑏 , disposées parallèlement à la largeur 𝐵, sont calculées par la
méthode des bielles, en négligeant le poids propre de la semelle.
3𝑒
𝑁𝑢 (1 + 𝐿 𝑢 ) (𝐵 − 𝑏)
𝑠
𝐴𝑏 =
8 ∙ 𝑑 ∙ 𝜎𝑠𝑡
𝑁𝑢 = 1.35 𝑁𝑠 = 1.35 × 140 = 189 𝑡
𝑀𝑢 = 1.35 𝑀𝑠 = 1.35 × 64 = 86.4 𝑡. 𝑚
𝑒𝑢 =
𝑀𝑢
= 0.4571 𝑚
𝑁𝑢
54
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
3 × 45.71
(
)
870 ) 150 − 40 = 28.82 𝑐𝑚2 ; soit 5𝐻𝐴10⁄𝑚𝑙
𝐴𝑏 =
8 × 30 × 34.8
Des armatures de répartition 𝐴𝑟 sont disposées suivant la longueur 𝐿𝑠 .
1890 × (1 +
𝐴𝑏 ⁄𝑚𝑙
3.93
∙𝐴=
× 1.5 = 1.5 𝑐𝑚2
4
4
On répartit ces armatures sur les ailes de la semelle 𝐵 − 𝑏 = 110 𝑐𝑚.
𝐴𝑟 =
La poutre de rigidité se calcule comme une poutre continue (renversée) sur trois appuis
(poteaux), soumise à une charge uniformément répartie 𝑞𝑢 agissant de bas en haut :
𝑞𝑢 = 𝜎𝑠𝑜𝑙 × 𝐵 avec 𝜎𝑠𝑜𝑙 =
𝑞𝑢 =
𝑁𝑢
3 𝑒𝑢
(1 +
)
𝐵. 𝐿𝑠
𝐿𝑠
𝑁𝑢
3 𝑒𝑢
1890
3 × 0.4571
(1 +
)=
(1 +
) = 251.48 𝐾𝑁/𝑚𝑙
𝐿𝑠
𝐿𝑠
8.7
8.7
La section de cette poutre peut être considérée comme une section en T de dimensions :
𝐵 = 150 𝑐𝑚 ; 𝑏𝑝 = 40 𝑐𝑚 ; ℎ𝑝 = 60 𝑐𝑚 ; ℎ𝑡 = 35 𝑐𝑚
𝒃𝒑 = 𝟒𝟎 𝒄𝒎
Poutre de rigidité
𝒉𝒑 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎
𝑨𝒓
𝑨𝒃
𝒉𝒕 = 𝟑𝟓 𝒄𝒎
𝑩 = 𝟏𝟓𝟎 𝒄𝒎
N.B. Les sections d’armatures obtenues sont faibles ; ceci est dû aux faibles sollicitations et à
la stabilité de la semelle vis-à-vis des charges appliquées. Les données utilisées dans cet
exemple sont choisies arbitrairement.
Fin de l’application
55
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
8) Les radiers
8.1 Définition du radier
Un radier est une dalle plane, éventuellement nervurée, intéressant la totalité de l’emprise
au sol d’un bâtiment.
L’utilisation de radier général sous une construction coûte généralement plus cher que
l’utilisation de fondations par semelles filantes ou isolées. Les radiers sont donc utilisés dans
des cas très précis où les fondations sur semelles deviennent impossibles à réaliser.
Emploi type :
La contrainte admissible du sol est si faible que la surface nécessaire de fondation atteint
ou excède la moitié de la surface au sol du bâtiment.
La couche d’assise est hétérogène par la présence sous l’emprise de lentilles de sol
incluses aux propriétés mécaniques différentes ; on adopte alors un radier pour
neutraliser ces points particuliers et éviter d’éventuels tassements différentiels.
Lorsque le dernier niveau du sous sol se situe en dessous des plus hautes eaux de la
nappe phréatique, le recours au radier est obligatoire, car c’est le support continu pour
assurer la mise en place de l’étanchéité par produits noirs (bitume) ou écran plastique
souple.
Nota. : le tassement global des radiers de grandes dimensions peut être important, et
rendre ainsi compte de variation de compressibilité de couches profondes.
Pour éviter des tassements différentiels, outre les méthodes citées plus haut, on peut faire
déborder plus largement le radier de l’emprise du coté le plus chargé ; naturellement on doit
centrer le radier sous la résultante des charges.
L'emploi de radiers n’est possible que si certaines conditions sont remplies : le terrain ne
doit pas être de portance trop faible, il ne doit pas être sujet à des tassements différentiels
de grande ampleur, la conception de la construction doit assurer une égale répartition des
charges. Si le terrain ne répond pas à ces exigences, la construction doit être envisagée au
moyen de puits ou pieux.
8 .2 Les différents types de radiers
On distingue 4 catégories de radiers :
Les radiers plats sont appropriés aux constructions d'emprise faible. Les porteurs
verticaux prennent appui directement sur la dalle.
Les radiers nervurés sont constitués de poutres et de poutrelles croisées qui ont pour
fonction de raidir la dalle. Ce type de radier est préconisé lorsque la dalle plate n'est pas
56
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
suffisamment rigide en raison de son épaisseur pour supporter des charges
conséquentes.
Les radiers champignons se composent de poteaux et de chapiteaux. Les charges sont
réparties des poteaux jusqu'aux chapiteaux puis transmises à la dalle. Ce type de radier
permet une meilleure répartition. En revanche, les radiers champignons sont imposants.
Enfin, les radiers voûtés se constituent de plusieurs voûtes, de poteaux et de tirants en
acier. Les voûtes sont placées perpendiculairement au radier ainsi que les tirants
positionnés perpendiculairement à l'axe des voûtes. Les voûtes subissent un effort de
compression mais aucun moment de flexion. Les radiers voûtés sont peu encombrants car
minces (de 12 cm à 20 cm) et de ce fait nécessitent moins de matériaux pour leur
réalisation.
Nota. : les radiers champignons et les radiers voûtés sont très rarement utilisés en raison des
contraintes liées à leur mise en œuvre.
8.3 Principe de fonctionnement
Le radier est soumis à des charges descendantes (poids propre, poids de la superstructure et
actions extérieures) transmises par les murs et les poteaux, et des charges ascendantes du
sol réparties sous toute sa surface (Fig. 24). Ces actions engendrent une déformée semblable
à celle d’un plancher renversé (Fig. 25). On place des armatures dans les zones tendues : en
partie haute en travée et en partie inférieure au droit des murs et des poteaux.
RADIER
Figure 24. Les différentes actions appliquées au radier.
Figure 25. La déformée du radier et la position des zones tendues.
Le radier est conçu pour jouer un rôle de répartiteur de charges. Il est cependant impératif
de vérifier l'équilibre global entre les réactions du sol et l'ensemble des charges apportées
par la superstructure.
57
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
L'influence du radier sur le sol dépend de la raideur verticale du sol dans sa globalité (en
fonction des différentes couches le constituant).
La réaction du sol n'est pas linéaire si le sol est assimilé à un massif multicouche élastique
qui donne lieu à des déformations.
8.4 Dimensionnement
Rappel sur les dalles
Une dalle est une plaque, généralement rectangulaire, dont une dimension (l’épaisseur ℎ𝑡 )
est faible vis-à-vis des deux autres (𝑙𝑥 et 𝑙𝑦 : dimensions en plan entre nus d’appuis, 𝑙𝑥 ≤ 𝑙𝑦 ),
portant dans deux directions (appuyés sur ses quatre bords : 0,4 ≤ 𝛼 = 𝑙𝑥 ⁄𝑙𝑦 ≤ 1).
ℎ𝑡 ≥ 𝑙𝑥 /30 pour un panneau isolé.
ℎ𝑡 ≥ 𝑙𝑥 /40 pour un panneau continu.
Certaines dalles reposant sur 4 cotés et chargées uniformément sont calculées comme des
poutres-dalles reposant seulement sur deux côtés et portant suivant la petite
portée 𝑙𝑥 (𝛼 = 𝑙𝑥 ⁄𝑙𝑦 < 0.4 ) . Une poutre-dalle est une plaque présentant deux bords
libres sensiblement parallèles, distants d’au moins trois fois l’épaisseur.
ℎ𝑡 ≥ 𝑙𝑥 /20 pour un panneau isolé.
ℎ𝑡 ≥ 𝑙𝑥 /25 pour un panneau continu.
Les radiers répondent aux mêmes critères que les dalles. Les annexes E1, E2 et E3 du B.A.E.L.
établis spécialement pour les dalles leur sont appliqués.
8.5 Principe de calcul
Le calcul d’un radier sur un terrain sec se fait comme pour une dalle pleine. On considère
que toutes les charges apportées par les voiles et/ou les poteaux sont réparties
uniformément sur le sol par l’intermédiaire du radier. C’est donc le sol qui sollicite le radier
de bas en haut. Les voiles et/ou les poteaux jouent ainsi le rôle d’appui et la réaction du sol
joue le rôle de la charge.
Le calcul du radier comprend :
-
Le calcul des nervures suivant les deux directions principales (X-X, Y-Y),
-
Le calcul de la dalle, considérée comme un panneau semi-encastré.
Les réactions du sol sont réparties selon un diagramme trapézoïdal ou uniforme selon la
résultante des efforts et des moments. Dans le cas de charges centrées (Fig. 26), ces
réactions sont données par les formules :
58
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝑒𝑥,𝑦 =
𝜎1𝑥,𝑦 =
6 ∙ 𝑒𝑥,𝑦
𝑁
∙ (1 +
)
𝐿𝑥,𝑦
𝐿𝑥,𝑦
𝜎2𝑥,𝑦 =
6 ∙ 𝑒𝑥,𝑦
𝑁
∙ (1 −
)
𝐿𝑥,𝑦
𝐿𝑥,𝑦
𝑀𝑥,𝑦
; 𝑁 = ∑ 𝑁𝑖 effort normal ;
𝑁
𝑀𝑥 = ∑(𝑁𝑖 ∙ 𝑋𝑖 ) moment fléchissant par rapport au centre de gravité du radier
N1
N2
N3
N4
N1
N1
N1
N1
N1
N1
N5
𝜎2𝑥 (𝜎2𝑦 )
𝜎1𝑥 (𝜎1𝑦 )
𝐿𝑥
(𝐿𝑦 )
Figure 26. Schéma statique du radier (charges centrées).
Il est cependant évident de contrôler que le sol peut effectivement reprendre la totalité des
charges
appliquées (∑ 𝑃𝑖 ⁄𝑆𝑟𝑎𝑑 ≤ 𝜎̅ ; ∑ 𝑃𝑖 effort normal total ; 𝑆𝑟𝑎𝑑 surface du radier).
Dans le cas contraire, il faut envisager des fondations profondes.
Lorsque le niveau du radier se situe sous le niveau des plus hautes eaux (PHE) connues de la
nappe phréatique, le calcul se complique.
D’une part du fait de phénomène de marnage possible.
D’autre part, il faut tenir compte de la poussée d’Archimède, et vérifier que le bâtiment
ne se mette pas à flotter et, dans le cas contraire, calculer une hauteur de béton
suffisante pour que son poids puisse s’opposer à la poussée hydrostatique.
Il faut prévoir un radier étanche.
9) Semelles sur pieux
On peut calculer les semelles sur pieux par la méthode générale des bielles ou par une
méthode dite de FREMY qui est préférée par de nombreux concepteurs car elle semble
donner des résultats plus proches des observations expérimentales ; le principe général est
le même, seule la formule est légèrement différente.
59
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Dans le cas d’une semelle sur 04 pieux, la méthode de FREMY est toujours la plus
défavorable ; dans le cas de 02 pieux la meilleure solution consiste à prendre la plus
défavorable entre celles fournies par les deux méthodes, ce qui se traduit par un Max dans la
formule.
9.1 Semelle sur deux pieux soumise à un effort normal centré
9.1.1 Dimensions de la semelle
On considère que les charges sont transmises aux pieux par l’intermédiaire de bielles de
béton comprimé dont l’axe a une inclinaison θ (Fig. 27). Appelons :
𝑃 : La charge transmise au pieu ;
𝑎 et 𝑏 : les dimensions des poteaux (𝑎 ≤ 𝑏) ;
𝑏′ : La distance entre les axes des pieux ;
𝑏𝑠 : La largeur de la semelle ;
𝑑 : la hauteur utile de la semelle ;
𝐏
𝐏
𝐛
𝐛
b/4
θ
𝐅𝐜 𝑷/𝟐
𝐒𝐬
𝐝
𝐒𝐢
𝐒𝟎
𝐅
𝐏/𝟐
𝒃′
𝐏/𝟐
𝒃𝒔
Figure 27. Semelle sur deux pieux.
L’inclinaison de l’axe des bielles a pour valeur :
𝑡𝑔 𝜃 =
𝑑
𝑏′
𝑏
−
2 4
=
2𝑑
𝑏
𝑏′ − 2
Pour que le fonctionnement de la bielle soit correct, on doit avoir :
60
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
45⋄ ≤ 𝜃 ≤ 55⋄ ⇒ 𝑡𝑔 45⋄ ≤ 𝑡𝑔 𝜃 ≤ 𝑡𝑔 55⋄
𝑏
𝜃 < 45⋄ (𝑑 < 0,5 (𝑏′ − 2)), les efforts dans la bielle sont trop grands, ce qui engendre
un risque d’écrasement (éclatement) du béton à l’extrémité de la bielle.
𝑏
𝜃 > 55⋄ (𝑑 > 0,7 (𝑏′ − 2)), la hauteur utile « d » risque d’être trop grande, donc non
économique.
Comme 𝑡𝑔 45⋄ = 1 𝑒𝑡 𝑡𝑔 55⋄ # 1,4 ; il en résulte :
𝒃
𝒃
𝟎, 𝟓 (𝒃′ − ) ≤ 𝒅 ≤ 𝟎, 𝟕 (𝒃′ − )
𝟐
𝟐
9.1.2 Ferraillage de la semelle
Si 𝑃𝑢 est la charge transmise aux pieux à l’E.L.U, la réaction 𝑃𝑢 ⁄2 d’un pieu se décompose
en :
Une force de compression 𝐹𝑐 dans la bielle de béton,
Une force de traction 𝐹 qui doit être équilibrée par les armatures :
𝑃𝑢
= 𝐹𝑐 𝑠𝑖𝑛𝜃
2
𝑃𝑢
= 𝐹 𝑡𝑔𝜃
2
soit
soit
𝐹𝑐 =
𝐹=
𝑃𝑢
2 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑏
𝑃𝑢 (𝑏′ − 2)
4𝑑
On devrait donc avoir pour la section des armatures inférieures 𝐴𝑖 = 𝐹⁄𝜎𝑠 ; mais les essais
ont montré qu’il y avait lieu de majorer ce résultat de 10 %. On aura :
𝑨𝒊 =
𝒃
𝟏, 𝟏 𝑷𝒖 (𝒃′ − 𝟐)
𝟒 ∙ 𝒅 ∙ 𝝈𝒔
61
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Remarques
Ces armatures doivent être ancrées totalement à partir du nu extérieur des pieux
(Fig. 28). Il est nécessaire d’ajouter les armatures suivantes pour équilibrer des efforts de
torsion éventuels :
Des armatures supérieures 𝐴𝑠 telles que l’on ait :
𝐴𝑠 =
𝐴𝑖
(environ)
10
Des cadres verticaux et des cadres horizontaux, de faible diamètre, et espacés de 15
à 20 cm. À titre indicatif, on pourra prendre pour les barres à haute adhérence :
𝐴𝑣
𝐴ℎ
=
≥ 0,002
𝑏𝑠 𝑆𝑣
𝑏𝑠 𝑆ℎ
Des épingles reliant les armatures des deux faces.
Sv
Av
Av
As
Sh
Ah
Ai
Figure 28. Ferraillage d’une semelle sur deux pieux.
9.1.3 Vérifications
Condition de résistance de béton
Il est nécessaire de respecter les conditions suivantes afin que les efforts de compression
dans les bielles et les efforts de cisaillement dans la semelle demeurent dans les limites
convenables.
𝑆𝑠 = (𝑎 ∙ 𝑏⁄2) ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 : section droite d’une bielle à la partie supérieure.
𝑆𝑖 = 𝑆0 𝑠𝑖𝑛𝜃
: section droite d’une bielle en partie inférieure.
62
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝑠
Donc, la contrainte de compression du béton dans la section supérieure 𝜎𝑏𝑐
et
𝑖
inférieure 𝜎𝑏𝑐
vaut respectivement :
𝑠
𝜎𝑏𝑐
𝑖
𝜎𝑏𝑐
𝑃𝑢
𝐹𝑐
𝑃𝑢
2
𝑠𝑖𝑛𝜃
=
=
=
𝑎∙𝑏
𝑆𝑠
𝑎 ∙ 𝑏 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃
2
𝑃𝑢
𝐹𝑐
𝑃𝑢
=
= 2 𝑠𝑖𝑛𝜃 =
𝑆𝑖
𝑆0∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
2 ∙ 𝑆0∙ 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
Avec :
𝑡𝑔𝜃 =
2𝑑
𝑏
𝑏′ − 2
On admet que l’on doit avoir, pour l’état limite ultime :
𝑠
𝑖
𝜎𝑏𝑐
𝑒𝑡 𝜎𝑏𝑐
≤ 0,9 𝑓𝑐28 ⇒
𝑃𝑢
𝑃𝑢
≤ 0,9 𝑓𝑐28 𝑒𝑡
≤ 0,9 𝑓𝑐28
2
𝑎 𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝜃
2 𝑆0 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
D’où
𝑷𝒖 ≤ 𝟎, 𝟗 𝒇𝒄𝟐𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 × 𝐦𝐢𝐧{𝒂𝒃 ; 𝟐𝑺𝟎 }
𝜃 et 𝑃𝑢 étant fixés :
𝑎𝑏 𝑒𝑡 2𝑆0 ≥ 𝑃𝑢 ⁄(0,9 𝑓𝑐28 ∙ 𝑠𝑖𝑛2 𝜃) dans tous les cas, avec 𝜃 ≤ 55∘ :
𝒂𝒃 𝒆𝒕 𝟐𝑺𝟎 ≥ 𝑷𝒖 ⁄(𝟎, 𝟔 𝒇𝒄𝟐𝟖 )
N.B. Cette dernière condition permet la détermination de la section du pieu nécessaire pour
assurer la transmission de la charge 𝑃𝑢 ⁄2 (𝑆0 = 𝜋𝐷2 ⁄4 et 𝐷0 ≥ 2√𝑆0 ⁄𝜋).
Contrainte de cisaillement
En ce qui concerne la contrainte de cisaillement, on admet que l’on doit avoir pour l’E.L.U. :
63
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝜏𝑏 ≤ 0,1 𝑓𝑐28 (0,15 ×
𝜏𝑏 =
𝑓𝑐28
)
𝛾𝑏
𝑉𝑢
𝑃𝑢
=
≤ 0,1 𝑓𝑐28
𝑏𝑠 𝑑 2 𝑏𝑠 𝑑
Soit 𝑷𝒖 ≤ 𝟎, 𝟐 𝒃𝒔 ∙ 𝒅 ∙ 𝒇𝒄𝟐𝟖
ou 𝒃𝒔 ≥
𝑷𝒖
(largeur minimale de la semelle sous l′ effet de l′ effort tranchant)
𝟎, 𝟐 ∙ 𝒅 ∙ 𝒇𝒄𝟐𝟖
9.1.4 Résumé du procédé de calcul d’une semelle sur deux pieux
On note :
𝑎 et 𝑏 (𝑎 < 𝑏) : dimensions du poteau,
𝑆0 : section du pieu,
𝑏′ : entre axe des pieux.
1. Calculer la hauteur utile.
Après avoir choisi 𝑑, on détermine 𝜃 par : 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 4 𝑑⁄(2𝑏′ − 𝑏)
𝑏
𝑏
0,5 (𝑏′ − ) ≤ 𝑑 ≤ 0,7 (𝑏′ − )
2
2
2. Calculer la largeur de la semelle.
Le critère de résistance du béton donne :
𝑏𝑠 ≥
𝑃𝑢
0,2 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑐28
La semelle doit par ailleurs être légèrement plus large que les pieux :
𝑏𝑠 ≥ ∅𝑝𝑖𝑒𝑢𝑥 + 6 à 10 𝑐𝑚 (débords)
64
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
3. Calculer la section d’aciers inférieurs (résistants).
𝑃𝑢 ∙ 𝑏′
𝑏
𝑏2
𝐴𝑖 =
× 𝑀𝑎𝑥 {1,1 (1 −
) ; (1 −
)}
4 ∙ 𝑑 ∙ 𝜎𝑠
2 𝑏′
2 𝑏′ 2
Ces armatures doivent être ancrées totalement au-delà du nu extérieur des pieux.
4. Vérifier les sections de béton.
𝑎𝑏 𝑒𝑡 2𝑆0 ≥
𝑃𝑢
(0,9 𝑓𝑐28 ∙ 𝑠𝑖𝑛2 𝜃)
Si cette condition n’est pas vérifiée, on peut éventuellement jouer quelque peu sur l’angle 𝜃,
donc sur 𝑑 (𝜃 doit rester compris entre 45⁰ et 55⁰), sinon il faut choisir un béton plus
résistant ou changer la section qui est insuffisante.
5. Calculer les aciers de répartition
Il est nécessaire d’ajouter les armatures suivantes pour équilibrer les efforts de torsion
éventuels :
Des armatures supérieures :
𝐴𝑠 =
𝐴𝑖
(environ)
10
Des cadres verticaux et horizontaux espacés respectivement de 𝑆𝑣 𝑒𝑡 𝑆ℎ (de l’ordre de
15 à 20 𝑐𝑚) ; à titre indicatif, on pourra prendre pour des barres à haute adhérence :
𝐴𝑣
𝐴ℎ
=
= 0,002 𝑏𝑠
𝑆𝑣
𝑆ℎ
Des épingles reliant les armatures des deux faces.
Application
Calculer les dimensions et les sections d’acier nécessaires pour ferrailler une semelle sur
deux pieux de diamètre 𝜙 (𝜙 = 70 𝑐𝑚) et d’entre axe 𝑏′ (𝑏′ = 2.1 𝑚), qui supporte un
poteau de dimensions (𝑎 × 𝑏 = 50 𝑐𝑚 × 50 𝑐𝑚) qui lui transmet une charge verticale
65
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
centrée ultime 𝑃𝑢 (𝑃𝑢 = 1.9 𝑀𝑁 ). Elle sera réalisée avec du béton 𝐶30 (𝑓𝑐28 = 30 𝑀𝑃𝑎),
armée par des barres 𝐻𝐴𝐹𝑒𝐸500.
Solution
1) Hauteur utile
𝑏
0.5
𝑑 ≥ 0,5 (𝑏′ − ) ⇒ 𝑑 ≥ 0,5 (2.1 −
)
2
2
𝑑 ≥ 0.925 𝑚 ; soit 𝑑 = 95 𝑐𝑚 ; ℎ = 100 𝑐𝑚
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
2. 𝑑
2 × 95
) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
) = 45.76 ͦ
𝑏
50
𝑏′ − 2
210 − 2
2) Largeur de la semelle
𝑏𝑠 ≥
𝑃𝑢
1.9
; 𝑏𝑠 ≥
; 𝑏𝑠 ≥ 0.33 𝑚
0,2 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑐28
0,2 × 0.95 × 30
En faisant déborder la semelle de 5 cm de chaque coté, on aura 𝑏𝑠 = 80 𝑐𝑚.
Par ailleurs, la largeur de la semelle est égale à :
𝜙
+ 2. (largeur des crochets + leur enrobage)
2
𝐿 = 210 + 70 + 2 × (6 × 2.5 + 5) = 320 𝑐𝑚
𝐿 = 𝑏′ + 2.
Ainsi, le poids propre de la semelle vaut :
𝑃𝑝 = 𝐿. 𝑏𝑠 . ℎ. 𝜌 = 3.2 × 0.8 × 1 × 25 = 64 𝐾𝑁 = 0.064 𝑀𝑁.
Et l’effort vertical ultime devient :
𝑃𝑢 = 1.9 + 1.35 × 0.064 = 1.986 𝑀𝑁
3) Aciers inférieurs
La section de ces aciers résistants sera calculée par la méthode des bielles.
𝐴𝑖 =
𝑏
1.1. 𝑃𝑢 ∙ (𝑏′ − 2)
4 ∙ 𝑑 ∙ 𝜎𝑠
0.5
1.1 × 0.986 × (2.1 − 2 )
=
= 24.45 𝑐𝑚2
4 × 0.95 × 435
On prend 5𝐻𝐴25 de section 𝐴𝑖 = 24.54 𝑐𝑚2 .
4) Vérification des sections de béton
𝑃𝑢
1.986
=
= 0.143 𝑚2
2
(0,9 𝑓𝑐28 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃) (0,9 × 30 × 𝑠𝑖𝑛2 45.76 ͦ )
66
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝑎 × 𝑏 = 0.25 𝑚2 𝑒𝑡 2𝑆0 = 0.77 𝑚2 ; 𝑎𝑏 𝑒𝑡 2𝑆0 ≥
𝑃𝑢
(0,9 𝑓𝑐28 ∙ 𝑠𝑖𝑛2 𝜃)
5) Aciers de répartition
Aciers supérieurs : 𝐴𝑠 = 𝐴𝑖 ⁄10 = 2.45 𝑐𝑚2 ; 5𝐻𝐴8 de section 2.51 𝑐𝑚2
Des cadres verticaux et horizontaux espacés de 15 à 20 𝑐𝑚. Prenons :
𝐴𝑣 𝐴ℎ
=
= 0.002 𝑏𝑠 = 0.002 × 80 = 0.16 𝑐𝑚
𝑆𝑣
𝑆ℎ
La distance entre 𝐴𝑖 et 𝐴𝑠 est de 90 𝑐𝑚 environ. En prenant 5 intervalles de18 𝑐𝑚, on
trouve 𝐴ℎ = 2.88 𝑐𝑚2, ce qui donne 8𝐻𝐴8 (4 brins dans chaque face).
En plaçant les cadres verticaux tous les 15.5 𝑐𝑚, il vient 𝐴𝑣 = 2.48 𝑐𝑚2 , soit 5𝐻𝐴8.
Des épingles reliant les deux faces.
6) schéma de ferraillage
50
50
Sv
As=5HA8
Sh
Av=5HA8
Ah=8HA8
Ai=5HA25
210
320
70
80
Fin de l’application
9.2 Semelle sur 04 pieux soumise à un effort normal centré
Nous examinerons le cas le plus courant d’une semelle carrée supportant un poteau carré de
côté a. La méthode donnée ci après pourrait être généralisée au cas d’un poteau
rectangulaire reposant sur une semelle rectangulaire.
Soient :
𝑃 : charge transmise aux pieux,
𝑎 : Côté du poteau,
67
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝑎′ : Distance entre axes des pieux, distance mesurée parallèlement au bord de la semelle,
𝑑 : hauteur utile de la semelle.
On considère que les charges sont transmises aux pieux par des bielles de béton, dont la
partie inférieure est constituée par la section d’un pieu (𝑆0 ) et la partie supérieure par un
carré de section égale au 1⁄4 de la section du poteau (𝑎2 ⁄4) (Figure 29).
𝒂√𝟐⁄𝟒
a
Fc
Ac
P/4
θ
θ
A
A
F
𝒂′ √𝟐⁄𝟐
a’
Coupe A-A
Figure 29. Semelle carrée sur quatre pieux.
9.2.1 Dimensions
Suivant un plan vertical diagonal, on peut écrire :
𝑡𝑔𝜃 =
𝑑
𝑎′ √2 𝑎√2
2 − 2
=
𝑑√2
𝑎
𝑎′ −
2
On doit avoir 45∘ ≤ 𝜃 ≤ 55∘ ⇒ (𝑡𝑔 45∘ = 1) ≤ 𝑡𝑔 𝜃 ≤ (𝑡𝑔 55∘ # 1,4)
Soit :
𝒂
𝒂
𝟎, 𝟕 (𝒂′ − ) ≤ 𝒅 ≤ 𝒂′ −
𝟐
𝟐
9.2.2 Ferraillage
L’effort 𝑃𝑢 /4 dans un pieu peut être décomposé en :
Une force de compression 𝐹𝑐 dans la bielle de béton,
Une force de traction 𝐹 dirigée suivant la diagonale.
68
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
𝑃𝑢
𝑃𝑢
= 𝐹𝑐 𝑠𝑖𝑛𝜃 soit 𝐹𝑐 =
4
4 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑎
𝑎
𝑃𝑢 (𝑎′ − 2) 𝑃𝑢 (𝑎′ − 2) √2
𝑃𝑢
𝑃𝑢
𝐹
= 𝐹 𝑡𝑔𝜃 soit 𝐹 =
=
=
; 𝐴𝑠 =
4
4 𝑡𝑔 𝜃
8𝑑
𝜎𝑠
4 𝑑 √2
Ces armatures sont disposées suivant les diagonales.
La force 𝐹 peut à son tour être décomposée suivant les deux côtés du carré dans le plan
horizontal.
𝐹1 = 𝐹2 = 𝐹⁄√2 =
𝑃𝑢
𝑎
(𝑎′ − )
8𝑑
2
Deux solutions se présentent pour le ferraillage :
1. On peut équilibrer une proportion 𝛼 de l’effort par des cerces de section 𝐴𝑐 , l’autre
proportion, soit (1 − 𝛼), étant équilibrée par des barres diagonales de section 𝐴𝑑 ,
disposées suivant la diagonale et convenablement ancrées à leurs extrémités avec 𝛼
compris entre 40% et 60%.
𝑨𝒄 =
𝐴 𝑑 = (1 − 𝛼 ) ∙
𝜶 𝑷𝒖
𝒂
(𝒂′ − )
𝟖 ∙ 𝒅 ∙ 𝝈𝒔
𝟐
(𝟏 − 𝜶 )
𝑃𝑢
𝑎
(𝑎′ − ) √2 ⇒ 𝑨𝒅 =
√𝟐 ∙ 𝑨𝒄
8 ∙ 𝑑 ∙ 𝜎𝑠
2
𝜶
2. On peut également équilibrer environ 80% de l’effort par des cerces et 20% par un
quadrillage central.
9.2.3 Vérification de la résistance de béton
Il est nécessaire de vérifier les contraintes de compression dans les bielles de béton.
69
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
À la partie supérieure d’une bielle, la section droite vaut 𝑆𝑠 =
𝑎2
4
sin 𝜃, d’où l’effort de
compression :
𝑠
𝜎𝑏𝑐
𝑃𝑢
𝐹𝑐
𝑃𝑢
= = 42 sin 𝜃 = 2
𝑆𝑠 𝑎
𝑎 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
∙
sin
𝜃
4
À la partie inférieure d’une bielle 𝑆𝑖 = 𝑆0 sin 𝜃 , 𝑆0 est la section d’un pieu. D’où la
contrainte :
𝑖
𝜎𝑏𝑐
𝑃𝑢
𝐹𝑐
𝑃𝑢
4
sin
𝜃 =
= =
𝑆𝑖 𝑆0 sin 𝜃 4 𝑆0 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
L’angle 𝜃 est défini par :
𝑡𝑔 𝜃 =
𝑑√2
𝑎
𝑎′ − 2
𝑠
𝑖
On admet que l’on doit avoir, à l’E.L.U : 𝜎𝑏𝑐
𝑒𝑡 𝜎𝑏𝑐
≤ 𝑓𝑐28
𝑷𝒖 ≤ 𝒇𝒄𝟐𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 × 𝒎𝒊𝒏{𝒂𝟐 ; 𝟒 𝑺𝟎 } 𝐨𝐮 (𝒂𝟐 𝒆𝒕 𝟒 𝑺𝟎 ) ≥
𝑷𝒖
𝒇𝒄𝟐𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽
9.2.4 Résumé du procédé de calcul d’une semelle carrée sur quatre pieux
On note 𝑎 le côté du poteau. Si le poteau est rectangulaire de côtés 𝑏 et 𝑐, on prendra en
première approximation 𝑎 = √𝑎𝑏. 𝑆0 et 𝑎′ sont respectivement la section d’un pieu et la
distance entre deux pieux consécutifs.
1. Calculer la hauteur utile.
𝑎
𝑎
0,7 (𝑎′ − ) ≤ 𝑑 ≤ 𝑎′ −
2
2
Après avoir choisi 𝑑, on détermine 𝜃 par :
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2 𝑑√2
2 𝑎′ − 𝑎
70
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
2. Calculer la section d’armatures.
L’effort de traction dans la base de la semelle doit être équilibré par des cerces et par des
barres diagonales dans une proportion comprise entre 40% et 60%.
En prenant 0,4 ≤ 𝛼 ≤ 0,6, les sections correspondantes doivent valoir :
𝐴𝑐 =
𝛼 𝑃𝑢
𝑎
(𝑎′ − )
8 ∙ 𝑑 ∙ 𝜎𝑠
2
𝐴𝑑 =
(1 − 𝛼 )
√2 ∙ 𝐴𝑐
𝛼
Les armatures diagonales doivent être ancrées totalement au-delà du nu extérieur des
pieux.
3. Vérifier les sections de béton.
𝑎2 𝑒𝑡 4 𝑆0 ≥
𝑃𝑢
𝑓𝑐28 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
Si cette condition n’est pas vérifiée, on peut éventuellement jouer quelque peu sur l’angle θ
(compris entre 45⁰ er 55⁰), c.à.d. sur d, sinon il faut choisir un béton plus résistant ou
changer la section qui est insuffisante.
Application
Calculer les dimensions et les armatures d’une semelle sur quatre pieux de diamètre 𝜙
(𝜙 = 60 𝑐𝑚) et d’entre axe 𝑏′ (𝑏′ = 1.3 𝑚), qui supporte un poteau de dimensions
(𝑎 × 𝑏 = 50 𝑐𝑚 × 50 𝑐𝑚) qui lui transmet une charge verticale centrée ultime
𝑃𝑢 de 2.0 𝑀𝑁. Elle sera réalisée avec du béton 𝐶30 d’une résistance caractéristique à la
compression 𝑓𝑐28 de 30 𝑀𝑃𝑎, armée par des barres 𝐻𝐴𝐹𝑒𝐸500.
Solution
1) Hauteur utile
𝑎
𝑎
0.5
0.5
0,7 (𝑎′ − ) ≤ 𝑑 ≤ 𝑎′ − ⇒ 0,7 (1.3 −
) ≤ 𝑑 ≤ 1.3 −
2
2
2
2
0.735 𝑚 ≤ 𝑑 ≤ 1.05 𝑚
71
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
On choisit une hauteur totale ℎ = 80 𝑐𝑚, soit 𝑑 = 80 − 3 − 1 = 76 𝑐𝑚.
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
2√2. 𝑑
2√2 × 0.76
) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
) = 45.67 ̊
′
2. 𝑎 − 𝑎
2 × 1.3 − 0.5
2) Section d’aciers
Le côté de la semelle sera de l’ordre de : 1.3 + 0.6 + 2 × 0.15 = 2.2 𝑚.
Le poids propre surestimé de la semelle est : 2.2 × 2.2 × 0.8 × 25 = 96.8 𝐾𝑁.
L’effort vertical ultime, en tenant compte du poids propre de la semelle, devient :
𝑃𝑢 = 2 + 1.35 × 0.097 = 2.13 𝑀𝑁
On peut équilibrer une proportion 𝛼 de l’effort par des cerces de section 𝐴𝑐 .
0.5
2.13 × (1.3 −
)
𝛼 𝑃𝑢
𝑎
2 = 8.46 𝛼 𝑐𝑚2
𝐴𝑐 =
(𝑎′ − ) = 𝛼
8 ∙ 𝑑 ∙ 𝜎𝑠
2
8 × 0.76 × 435
40% ≤ 𝛼 ≤ 60% ⇒ 3.38 𝑐𝑚2 ≤ 𝐴𝑐 ≤ 5.08 𝑐𝑚2
Soit 2𝐻𝐴16 pour 4.02 𝑐𝑚2 ; ce qui donne 𝛼 = 4.02⁄8.46 = 0.475.
L’autre proportion, soit (1 − 𝛼) de l’effort tranchant, étant équilibrée par des barres
diagonales de section 𝐴𝑑 .
𝐴𝑑 =
(1 − 𝛼 )
(1 − 0.475)
× √2 × 4.02 = 6.28 𝑐𝑚2 ; soit 2𝐻𝐴20
√2 ∙ 𝐴𝑐 =
𝛼
0.475
3) Vérification des sections de béton
𝑃𝑢
2.13
=
= 0.139 𝑚2
2
𝑓𝑐28 𝑠𝑖𝑛 𝜃 30 × 𝑠𝑖𝑛2 45.67 ̊
(𝑎2 = 0.52 = 0.25 𝑚2 ) 𝑒𝑡 (4 𝑆0 = 4 × 𝜋 × 0.32 = 1.131 𝑚2 ) ⇒ 𝑎2 𝑒𝑡 4 𝑆0 ≥
𝑃𝑢
𝑓𝑐28 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
4) Hauteur en rive
𝑒 ≥ 𝑀𝑎𝑥 {15 𝑐𝑚 ; 12 × 2 + 6} = 30 𝑐𝑚 (enrobage des crochets).
𝑒 ≥ 2 × 1.6 + 3 × 3 = 12.2 𝑐𝑚 (enrobage des cerces).
Soit 𝑒 = 30 𝑐𝑚.
5) Schéma de ferraillage
72
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
50
2HA20
2HA16
220
130
60
Fin de l’application
10) Pathologies des fondations
10.1 Généralités
Dans le contexte médical, la pathologie est définie comme une science qui a pour objet
l’étude des maladies, des effets qu’elles provoquent, leurs causes et leurs mécanismes. Dans
le domaine de bâtiment, le terme pathologie des fondations peut être utilisé pour rapporter
de nombreux sinistres de bâtiments dus à une défaillance de fondations.
Le coût des travaux de fondation excède rarement 10% du prix total d’une construction ;
cependant, la sécurité de la superstructure dépend de la fondation. L’inconvénient d’une
fondation défectueuse est que ses défauts et les erreurs commises n’apparaissent que
rarement de suite, mais avec le temps après la construction où les fondations sont cachées
et l’ouvrage est mis en service et alors qu’il est très onéreux pour y remédier. La meilleure
assurance, dans ce domaine, est d’avoir une bonne étude géotechnique, avec un suivi
rigoureux durant la construction.
Une expertise géotechnique bien exécutée doit comporter la reconnaissance de toutes les
couches qui sont soumises aux sollicitations apportées par la construction. On doit oublier
cette croyance trop répandue que l’influence des fondations est limitée à deux à trois fois
leur largeur.
Toute expertise géotechnique sérieuse doit commencer par une visite du site et l’examen
morphologique de l’ensemble des terrains. Lors de cette expertise, on tente de connaitre
l’histoire des travaux réalisés au voisinage du site auprès du voisin et de prendre
connaissance du comportement des structures existantes. On porte une attention
particulière à la présence de construction, d’excavation, d’arbres, de travaux récents. On
doit ensuite consulter des documents et des plans publics disponibles sur le passé du site
(cartes de sol, rapporte géotechniques, plans d’utilisation du sol, photos aériennes,
73
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
publication scientifiques sur le site, etc.). L’expertise géotechnique doit avoir pour but de
bâtir un mécanisme de pathologie de fondation compatible avec les indices existants sur les
lieux.
10.2
Causes des désordres des fondations
a. Une reconnaissance de sol incomplète : profondeur insuffisante des sondages, présence
de cavités non détectées, nappe d’eau insoupçonnée, agressivité de l’eau, point dur sous
un radier, terrain d’assise non homogène ou peu résistant et très compressible, sol
compressible d’épaisseur variable sous radier, sols différents sous un même bâtiment.
- Sensibilité des sols aux variations hydriques
Les pathologies dues aux sols gonflant se manifestent dans les sols argileux et sont liées aux
variations en eau du terrain. Lors des périodes de sécheresse, le manque d’eau entraîne un
tassement irrégulier du sol en surface : on parle de retrait. À l’inverse, un nouvel apport
d’eau dans ces terrains produit un phénomène de gonflement.
Les sols de fondation argileux se rétractent progressivement de l’extérieur vers l’intérieur de
l’ouvrage, jusqu’à se décoller de la sous-face des semelles ; il en résulte un porte-à-faux de la
fondation qui, tassant de façon différentielle, provoque des fissures dans la structure.
S’ensuivent des désordres progressifs conduisant parfois à la ruine de l’ouvrage.
- Déstabilisation des assises par l’eau
Les fuites de réseaux constituent, principalement en site urbain, une cause fréquente de
sinistre.
L’eau peut agir de différentes façons :
lorsque le débit est important, en entraînant les éléments fins du sol d’assise des
fondations et provoquant l’affaissement de l’ouvrage : phénomène d’affouillement,
en altérant la qualité des sols et en diminuant leur portance en dessous du seuil de
stabilité, voire en provoquant un effondrement structurel,
en générant des variations volumiques des sols, lorsque ces derniers sont gonflants
et en état de succion,
en provoquant la ruine de cavités souterraines sous-jacentes (caves, carrières
souterraines).
Toutefois si l’on a constaté la rupture d’une canalisation, il faut se garder de penser que l’on
a identifié l’origine du sinistre, cette rupture pouvant être une conséquence du mouvement
de sol et non la cause.
Lorsque les sols sont particulièrement compressibles et qu’ils baignent au sein d’une nappe
phréatique, ce qui va souvent de paire, tout abaissement significatif du niveau de cette
74
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
nappe entraîne une reprise de la consolidation des sols et en conséquence le tassement des
ouvrages qui y sont fondés. Les causes de l’abaissement d’une telle nappe peuvent être
naturelles (sécheresse) ou artificielles.
b. Une erreur de calcul ou de conception : fondations inadaptées ou mal calculées,
fondations différentes sous un même ouvrage, radier chargé inégalement, fondations sur
un remblai récent non stabilisé, chargement dissymétrique de l’ouvrage.
- Insuffisance de portance des sols
Lorsque le mode de fondation est inadapté ou que celle-ci est insuffisamment dimensionnée
pour que la transmission des charges de l’ouvrage au sol d’assise puisse se faire
correctement, les désordres surviennent généralement très tôt dans la vie de l’ouvrage.
Cette cause est donc relativement facile à identifier. Néanmoins on devra tenir compte
d’éventuelles modifications, du sol ou de l’ouvrage, qui peuvent entraîner des désordres
«tardifs». Vis à vis de l’ouvrage on sera notamment attentif aux modifications qu’il a pu subir
dans sa nature ou son usage (surcharge sur un plancher par exemple).
Les processus d’évolution naturelle des sols sont généralement très lents en regard de la
durée de vie d’un ouvrage. Cependant, sous les effets de l’eau par exemple, certains sols
peuvent voir leurs caractéristiques mécaniques se dégrader rapidement.
Toute charge appliquée sur une certaine surface de sol provoque un tassement. Tant que la
«capacité portante» n’est pas dépassée, les déformations restent généralement acceptables.
Lorsque les sols sont particulièrement compressibles et que l’on quitte le domaine élastique,
les tassements augmentent notablement. Le cas le plus préjudiciable à un ouvrage est celui
où il est soumis à des tassements différentiels que sa structure ne peut accepter.
C’est le cas :
lorsqu’il existe une dénivellation importante entre les différentes parties des
fondations d’un bâtiment et que cela n’ait pas été correctement pris en compte
(exemple : réalisation de redans).
dans le cas où le bâtiment est construit sur un sol géologiquement hétérogène, avec
des sols d’assise aux comportements différents vis-à-vis notamment de leur
compressibilité.
- Déficience du système de fondation
Pour que les charges de l’ouvrage se transmettent correctement au sol, encore faut-il que la
fondation ait été correctement exécutée. Il s’agit de la cause la plus difficile à suspecter à
priori, les indices n’étant d’ordinaire pas évidents. La mauvaise exécution des fondations
implique nécessairement des investigations poussées pour être étayée.
75
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Si les fondations superficielles sont les plus sujettes aux imperfections, ces dernières sont
par contre relativement faciles à mettre en évidence.
Pour les fondations profondes, qui ne sont pas exemptes de malfaçons, cette recherche
nécessite la mise en œuvre de moyens beaucoup plus conséquents, avec des résultats
parfois aléatoires.
c. Une cause extérieure : vibrations importantes lors du battage des pieux d’une
construction voisine, pieux pouvant être endommagés par les charges apportées par une
fondation superficielle à proximité, une modification des conditions existantes, mouvements
de terrains de grande ampleur (effondrements de cavités, pente instable, glissement de
terrain).
Les modifications de l’environnement immédiat d’une construction peuvent avoir des
conséquences sur ses fondations, conséquences pouvant parfois aller jusqu’à la ruine,
exemple : la création d’une route à proximité d’une construction nécessite la modification
du terrain naturel, et la création d’un talus. Ainsi, la nappe phréatique, détournée de son
cheminement initial, décomprime le sol sous une partie de la construction existante. Il va y
avoir tassement et apparition de fissures.
L’implantation des arbres, grands consommateurs d’eau, est à l’origine de nombreux
désordres ; la règle est de respecter une distance minimale entre la plantation et les
fondations égale à une fois et demie la hauteur de l’arbre adulte ; on peut conserver les
vieux arbres en créant un écran anti racines vertical.
Les phénomènes d’érosions régressives naturelles constituent également, pour les
constructions sur fondations superficielles, une menace d’une extrême gravité. Les moyens
confortatifs qu’il faut déployer dans ces cas exigent des travaux à grande échelle.
- Décompression des sols suite à un décaissement du sol à proximité
Parmi tous les agents extérieurs, dont on ne saurait dresser une liste exhaustive, les travaux
réalisés à proximité d’ouvrages existants constituent une cause importante de sinistre.
C’est généralement le cas de terrassement réalisé en limite de propriété pour la réalisation
d’un nouveau bâtiment. Si les opérations de terrassement sont réalisées sans précaution
(dans la plupart des cas la mise en œuvre d’un système de soutènement approprié est
indispensable), une décompression du sol d’assise des fondations du bâtiment voisin est
engendrée.
La réalisation de tranchées pour le passage de réseaux, notamment si elles sont laissées trop
longtemps ouvertes, peut avoir des conséquences, certes de moindre ampleur, mais
néanmoins suffisantes pour entraîner des désordres importants aux ouvrages situés à
proximité.
76
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
d. L'attaque des fondations par le milieu qui les enrobe : les fondations sont des éléments
réalisés généralement en béton armé dont celui ci est l'objet des différentes attaques
(chlorure, sulfate, eaux,..).
10.3 Les désordres
Lorsqu’un ouvrage est concerné par des mouvements affectant le sol d’assise de son
système de fondations, il est généralement affecté de désordres de différentes natures.
a. Fissuration des murs
Ces fissures peuvent être rangées en deux grandes familles :
les fissures de cisaillement résultent le plus souvent du gauchissement de la structure
suite à un tassement différentiel. Elles se présentent le plus souvent, en diagonale, en
suivant éventuellement les joints de maçonnerie (parpaings, briques…). Elles peuvent se
poursuivre par des fissures horizontales ou verticales au droit des changements de
matériaux, par exemple à la jonction avec un chaînage.
les fissures de traction apparaissent lorsque la structure, ou l’un de ses éléments, se
rompt ; sa résistance étant insuffisante pour s’opposer à des forces tendant à l’étirer.
C’est notamment le cas en partie haute des murs, en l’absence de chaînage horizontal,
lorsque l’ensemble de l’ouvrage est soumis à une déformation.
Ces fissures affectent généralement l’intégralité de l’épaisseur des maçonneries et sont dites
évolutives. Elles peuvent être la cause d’infiltrations et rendre un ouvrage impropre à sa
destination.
Il est essentiel de distinguer les désordres résultants de mouvements de fondation de ceux
qui n’affectent que l’enduit superficiel, et surtout de ceux qui ont une origine typiquement
structurelle : rotation de plancher, poussée de charpente, chocs thermiques, etc.
Il convient de bien savoir identifier ces différents types de fissures, toute confusion pouvant
avoir des conséquences préjudiciables à la poursuite de l’étude.
b. Ouverture de joints de rupture
Les joints de rupture se font à la jonction entre deux parties d’ouvrage qui présentent une
différence de niveau de fondation ou une grande hétérogénéité de charge (par exemple
dans le cas d’un nombre d’étages différents), lorsque la structure n’est pas suffisamment
rigide pour accepter des tassements différentiels importants.
Les joints de rupture se comportent comme des «fusibles» et s’avèrent être un bon indice
sur la nature des mouvements en cause. Dans certains cas, l’ampleur des tassements
77
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
différentiels peut être suffisamment importante pour que le désaffleurement créé constitue
une gêne dans l’usage des locaux. Il convient de signaler également que lorsqu’un joint n’a
pas été initialement projeté, il peut se créer à son emplacement une fissuration importante
et généralement inesthétique.
c. Phénomènes de distorsion
Lorsque la structure d’un ouvrage est relativement souple, la déformation de son ossature
peut se traduire, à défaut d’une fissuration des murs porteurs, par un déséquerrage des
huisseries, une inclinaison des planchers, ou encore par des désordres ne concernant que les
remplissages fragiles et les plafonds.
d. Basculement de l’ouvrage
Si l’ouvrage est suffisamment rigide et le mouvement de sol de grande ampleur, l’ouvrage
peut être l’objet d’un basculement général, éventuellement perceptible par les occupants.
e. Mouvements affectant les dallages
Ces mouvements sont généralement liés à des phénomènes de tassement du sol d’assise
(compressible, rétractable, sensible à des venues d’eaux parasites…) ou à une mauvaise
réalisation de la forme (matériaux impropres, insuffisance de compactage).
Il est également possible d’assister à des gonflements (sols gonflants par humidification,
réactions chimiques entre un constituant du sol (sulfates) et le ciment…).
La localisation des désordres permet généralement d’avoir une première approche sur leur
origine :
en périmétrie et non au cœur de l’ouvrage (phénomènes de retrait dus à la
sécheresse),
à proximité de réseaux enterrés (fuites éventuelles),
dans des zones de terrassement en remblai (insuffisance de compactage),
à proximité des murs ou appuis (remblaiement des fouilles de fondation)...etc.
78
CHERIFI FATIHA
CALCUL DES SEMELLES DE FONDATIONS EN BÉTON ARMÉ
Bibliographie
Jean-Pierre Mougin, « BÉTON ARMÉ, BAEL 91 MODIFIÉ 99 et DTU ASSOCIÉS ». Éditions
EYROLLES, 2008.
Jean-Pierre Mougin, « COURS DE BÉTON ARMÉ, BAEL 91, calcul des éléments simples et des
structures de bâtiments ». Éditions EYROLLES, 1998.
Gérard Baud, « LA CONSTRUCTION DU BÂTIMENT, maçonnerie et béton armé ». Éditions
SPES-VEVEY, 1981.
M. Belazougui, « CALCUL DES OUVRAGES EN BÉTON ARMÉ ». Office des publications
universitaires, 1996.
Marcel Forni, « FONDATIONS SPÉCIALES et reprises en sous-œuvre ». Éditions EYROLLES.
Gérard Philippannat, Bertrand Hubert, « FONDATIONS ET OUVRAGES EN TERRE ». Éditions
EYROLLES, 2001.
José Ouin, « BÉTON ARMÉ AUX ÉTATS LIMITES SELON L’ADDITIF DU BAEL 91 ». Éditions
CASTEILLA, 1999.
Roger FRANK, « CALCUL DES FONDATIONS SUPERFICIELLES ET PROFONDES ». Éditions
« Techniques de l’ingénieur », 2003.
Ali BOUAFIA, « CALCUL PRATIQUE DES FONDATIONS ET DES SOUTÈNEMENTS ». Office des
Publications Universitaires, Éditions : 2.03.4725, 2005.
René BAYON, « L’ÉTABLISSEMENT D’UN PROJET DE BÂTIMENT ». Éditions EYROLLES, 1980.
Patrick PAULTRE, « STRUCTURES EN BÉTON ARMÉ, ANALYSE ET DIMENSIONNEMENT ».
Bibliothèque et Archives nationales du Québec, Presse internationales Polytechnique, 2011.
Y. CHERAIT, « CALCUL DES OUVRAGE EN BÉTON ARMÉ ». Règle CBA 93 RPA 2003, Office des
Publications Universitaires. Éditions : 2.03.4217, 2004.
Liens
http://www.fondasol.ca/5-pathologie-des-fondations-diagnostique-et-traitement/
http://www.alliancebtp.com/wp-content/uploads/plaquette-alliance-btp-HD-ok-.pdf
79
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