Université de Picardie Jules Verne. Année 2019-2020. Option cristaux liquides; C. Meyer TD 1 Etude de la forme d’équilibre d’une goutte. Exercice 1: rappel sur les multiplicateurs de Lagrange On considère une boite de conserve cylindrique de rayon r et de hauteur h. On souhaite minimiser la surface de la boite sachant que le volume de la boite est fixé et égal à V . Trouver la condition entre r et h correspondante. Exercice 2: rappel sur la dérivée fonctionnelle Calculer la dérivée fonctionnelle de F par rapport à h(x) notée δF dans les quatre cas δh(x) suivants: Z 1) h(x) −→ F = dxh(x). Z 2) h(x) −→ F = dx[h(x)]2 . Z 3) h(x) −→ F = dxg[h(x)]. Z 4) h(x) −→ F = dx[h0 (x)]2 où h0 (x) = ∂h . ∂x Exercice 3: rappel sur l’équation d’Euler-Lagrange Quelle est la surface d’aire minimale qui relie deux cercles de même rayon parallèles et centrés sur le même axe? 1 Problème: forme d’équilibre d’une goutte. On considère un substrat solide S en contact avec une vapeur V de densité ρV . On appelle γSV la tension de surface solide/vapeur. L’état où le substrat est en contact direct avec la vapeur sera pris comme état de référence. On dépose sur le substrat S une goutte de liquide L de densité ρL ; on note respectivement γLV et γSL les tensions de surface liquide/vapeur et solide/liquide. On suppose que la goutte est cylindrique; l’axe (Oz) du cylindre est perpendiculaire au plan de la feuille qui lui-même est rapporté au repère (xOy); (Ox) est portée par l’interface solide/vapeur. 1) a) On choisit pour épaisseur suivant (Oz) de la goutte, l’unité de longueur; ainsi, une aire d’une portion de goutte dans le plan (xOy) sera mesurée par le même nombre que le volume associé dans l’espace. Calculer l’énergie potentielle de pesanteur en un point (x,y,0) d’un petit élément dxdy × 1 de goutte liquide par rapport à l’énergie potentielle de référence. b) Calculer l’énergie potentielle de pesanteur en un point d’abscisse x d’une tranche d’épaisseur dx de la goutte suivant (Ox) et d’épaisseur 1 suivant (Oz). c) Calculer l’énergie potentielle de pesanteur notée Fgravitationnelle de la goutte liquide d’épaisseur 1 suivant (Oz); on notera x0 et x1 les extrémités de la goutte sur x0 x. 2) Calculer l’énergie libre notée Finterf ace de la goutte due aux interfaces. 3) En déduire l’énergie libre totale notée Ftotale de la goutte. On pose: x = λu avec −1 ≤ u ≤ 1. Dans le cas où le mouillage est presque total, c’est à dire lorsque l’angle de mouillage θ est faible, on cherche à trouver le profil de la goutte à l’équilibre. 4) a) Simplifier dans ce cas l’expression de l’énergie libre totale. b) Exprimer le volume noté A de la goutte. c) Ecrire les équations de minimisation de l’énergie libre de la goutte sachant que le volume A de la goutte est fixé. On introduira un multiplicateur de Lagrange noté µ. 5) Calculer h(u) en fonction de µ, ∆ρ et g comme solution d’une équation différentielle du second ordre dans laquelle on aura introduit l’inverse du carré de la longueur capillaire: ∆ρg . K2 = γLV 6) Réexprimer h(u) en fonction de A, λ et u. 7) Exprimer µ2 en fonction de ∆ρ, g, K et λ. 8) Calculer l’angle de mouillage θ dans le cas d’un mouillage presque total (cas où Kλ << 1). 9) Expliquer la forme de la goutte dans le cas où Kλ >> 1. 2 3
