Universit´e de Picardie Jules Verne. Ann´ee 2019-2020.
Option cristaux liquides; C. Meyer
TD 1 Etude de la forme d’´equilibre d’une goutte.
Exercice 1: rappel sur les multiplicateurs de Lagrange
On consid`ere une boite de conserve cylindrique de rayon ret de hauteur h.
On souhaite minimiser la surface de la boite sachant que le volume de la boite est fix´e et ´egal
`a V. Trouver la condition entre ret hcorrespondante.
Exercice 2: rappel sur la d´eriv´ee fonctionnelle
Calculer la d´eriv´ee fonctionnelle de Fpar rapport `a h(x) not´ee δF
δh(x)dans les quatre cas
suivants:
1) h(x)−→ F=Zdxh(x).
2) h(x)−→ F=Zdx[h(x)]2.
3) h(x)−→ F=Zdxg[h(x)].
4) h(x)−→ F=Zdx[h0(x)]2o`u h0(x) = ∂h
∂x.
Exercice 3: rappel sur l’´equation d’Euler-Lagrange
Quelle est la surface d’aire minimale qui relie deux cercles de mˆeme rayon parall`eles et centr´es
sur le mˆeme axe?
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Probl`eme: forme d’´equilibre d’une goutte.
On consid`ere un substrat solide Sen contact avec une vapeur Vde densit´e ρV. On appelle
γSV la tension de surface solide/vapeur. L’´etat o`u le substrat est en contact direct avec la
vapeur sera pris comme ´etat de r´ef´erence. On d´epose sur le substrat Sune goutte de liquide
Lde densit´e ρL; on note respectivement γLV et γSL les tensions de surface liquide/vapeur et
solide/liquide. On suppose que la goutte est cylindrique; l’axe (Oz) du cylindre est perpendi-
culaire au plan de la feuille qui lui-mˆeme est rapport´e au rep`ere (xOy); (Ox) est port´ee par
l’interface solide/vapeur.
1) a) On choisit pour ´epaisseur suivant (Oz) de la goutte, l’unit´e de longueur; ainsi, une aire
d’une portion de goutte dans le plan (xOy) sera mesur´ee par le mˆeme nombre que le volume
associ´e dans l’espace. Calculer l’´energie potentielle de pesanteur en un point (x,y,0) d’un petit
´el´ement dxdy ×1 de goutte liquide par rapport `a l’´energie potentielle de r´ef´erence.
b) Calculer l’´energie potentielle de pesanteur en un point d’abscisse xd’une tranche d’´epaisseur
dx de la goutte suivant (Ox) et d’´epaisseur 1 suivant (Oz).
c) Calculer l’´energie potentielle de pesanteur not´ee Fgravitationnelle de la goutte liquide d’´epaisseur
1 suivant (Oz); on notera x0et x1les extr´emit´es de la goutte sur x0x.
2) Calculer l’´energie libre not´ee Finterf ace de la goutte due aux interfaces.
3) En d´eduire l’´energie libre totale not´ee Ftotale de la goutte.
On pose: x=λu avec −1≤u≤1. Dans le cas o`u le mouillage est presque total, c’est `a
dire lorsque l’angle de mouillage θest faible, on cherche `a trouver le profil de la goutte `a
l’´equilibre.
4) a) Simplifier dans ce cas l’expression de l’´energie libre totale.
b) Exprimer le volume not´e Ade la goutte.
c) Ecrire les ´equations de minimisation de l’´energie libre de la goutte sachant que le volume
Ade la goutte est fix´e. On introduira un multiplicateur de Lagrange not´e µ.
5) Calculer h(u) en fonction de µ, ∆ρet gcomme solution d’une ´equation diff´erentielle
du second ordre dans laquelle on aura introduit l’inverse du carr´e de la longueur capillaire:
K2=∆ρg
γLV
.
6) R´eexprimer h(u) en fonction de A,λet u.
7) Exprimer µ2en fonction de ∆ρ,g,Ket λ.
8) Calculer l’angle de mouillage θdans le cas d’un mouillage presque total (cas o`u Kλ << 1).
9) Expliquer la forme de la goutte dans le cas o`u Kλ >> 1.
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