GSP-10

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Exercices résolus de mathématiques.
GSP 10
EXGSP100 – EXGSP110
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Jacques Collot
Septembre 05

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EXGSP100 – Mons, juillet 2003
Soit un triangle ABC dont on trace la bissectrice de l’angle BAC. On définit les
points B’ et C’ comme les projections respectives de B et C sur cette bissectrice.
Les points C’’ et B’’ son définis respectivement comme les intersections des
droites BB’ et CC’ avec les côtés (ou leur prolongement) AC et AB.
a. Que peut on dire du quadrilatère BB’’CC’’ ?
b. Supposons à présent que BC soit fixe, A étant variable tout en vérifiant
que la différence des longueurs des côtés AB et AC soit constante. Quel
est le lieu de B’ et de C’ quand A varie ?

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Tout d'abord, il faut remarquer qu'il y a symétrie complète par rapport à la bissectrice.
En effet, les triangles ' et ' '' sont isométriques par construction (un angle
droit, un côté commun '
AC C AC C
AC et un angle égal par définition de la bissectrice)
si bien que ' '' ' .
Il en est de même pour les triangles ' '' et ' , si bien que ' '' ' .
a) On déduit immédiatement que le quadrilatère
C C C C
AB B AB B B B B B
BB
=
=
'' '' est un trapèze isocèle
(deux côtés parallèles '' et '' car perpendiculaires à la bissectrice et deux
côtés latéraux égaux par symétrie).
b) La différence des longueurs des côtés est matérial
CC
CC BB
isée par les segments ''
et '', de longueurs égales. Si la différence des longueurs des côtés est constante
et vaut par exemple , la longueur de ces segments est constante, si bien que
'' et ''
BC
BC
d
BC décrivent chacun un cercle respectivement de centre et et de
rayon . Comme les points ' et ' sont milieux des segments '' et ''
et que et sont fixes, ils décrivent tous les deux un ce
CB
d B C CC BB
BC rcle de centre ,
milieu de et de rayon /2.
M
BC d
Le 12 septembre 2005. Steve Tumson

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EXGSP101 – Mons, juillet 2003
Soit une circonférence de diamètre AB et de centre O. Soit une seconde
circonférence, tangente intérieurement à la première en A et de centre O’. On
mène relativement à la première circonférence une corde BD tangente en C au
plus petit des deux cercles.
a. Démontrer que AC est bissectrice de l’angle BAD
b. Calculer la longueur du segment AC pour les valeurs suivantes : AB =
100mm et O’A = 20mm
a) est perpendiculaire à puisque est diamètre. ' est perpendiculaire
à puisque est tangent au cercle de centre '. On en déduit que est
parallèle à ' , si bien que les angles alte
AD DB AB O C
BD DB O AD
OC rnes internes et ' sont égaux.
Le triangle ' est isocèle puisque ' et ' sont égaux au rayon. Il s'ensuit
que ' est égal à '.
On a donc = ' et est bien la bissectrice de .
DAC ACO
AO C O A O C
CAO ACO
DAC CAO AC DAB

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b) Des données, on déduit immédiatement que ' = 80mm et que ' ' 20mm
(rayon du petit cercle). Il est clair que les triangles et ' sont semblables,
' 20
on peut donc écrire : ' 80
O B O C O A
DAB CO B
AD O C
AB O B
==
==
2 2 2 2
1 100 25
4 4 4
Dans le triangle rectangle , on peut déduire la longueur du segment
100 25 25 16 1 25 15
Par Thalès entre ' et , on peut déterminer la longueur du segment
AB mm
ADB BD
BD AB AD mm
AO B DCB DC
DC
B
= → = =
= − = − = − =
( )
2 2 2
' 1 25 15 5 15
55
On trouve finalement la longueur de dans le triangle rectangle
25 25 15 25 25 15 5 40 10 10 31.62
AO DC mm
D AB
AC CDA
AC AB AD mm
= = → = =
= + = +  = + = = =
Le 12 septembre 2005. Steve Tumson