4ème – Ch. 4
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Chapitre 4
Triangle, milieux et parallèles.
Voir : 5ème, chapitre 7 ; 4ème, chapitre 5.
I) Milieux et parallèles
A) Milieux
Propriété 1 : (théorème direct)
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est
parallèle au troisième (côté).
Traduction par une figure codée :
Hypothèses Conclusion
Si
B
A
C
K
J
+
+
alors
B
A
C
K
J
//
(KJ) (BC)
Rédaction :
• On a dans le triangle ABC, le milieu K du côté [AB] et le milieu J du côté [AC].
• Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle
est parallèle au troisième.
• On déduit ainsi que, la droite (KJ) est parallèle à la droite (BC).
Remarque :
Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
B) Milieu et parallèle
Propriété 2 : (théorème réciproque)
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un
second (côté), alors elle coupe le troisième (côté) en son milieu.
Traduction par une figure codée :
Hypothèses Conclusion
Si
B
A
C
K
J
(KJ) // (BC)
alors
B
A
C
J
+
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Rédaction :
• Dans le triangle ABC, K milieu de [AB], J ∈ [AC] et (KJ) // (BC).
• Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un
second, alors elle coupe le troisième en son milieu.
• Donc, J milieu de [AC].
Remarque :
Cette propriété permet de démontrer qu’un point est le milieu d’un segment.
C) Longueur
Propriété :
Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est
égale à la moitié de celle du troisième côté.
Exemples :
§A) et §B) on a, KJ = BC / 2.
Remarque :
Cette propriété permet de calculer la longueur d’un segment.
D) Remarques
B
A
C
K
J
+
+
+
I
Cette propriété est connue sous le nom de
« théorème des milieux ».
Dans un triangle, il y a trois « droites des milieux ».
On dit que le triangle IJK est le « triangle des milieux »
du triangle ABC.
II) Parallèles et sécantes (Thalès relatif au triangle)
Propriété : (théorème direct relatif à ABC)
Dans un triangle ABC, où M est un point du côté [AB] et N un point du côté [AC], si
(MN) est parallèle à (BC), alors on a :
AM
AB = AN
AC = MN
BC
Tableau de proportionnalité :
Côtés de
Côtés correspondants de ABC
AMN AM AN MN
AB AC BC
Traduction par une figure :
Hypothèses Conclusion
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Si
B
A
C
M
N
(MN) (BC)//
alors
AM
AB = AN
AC = MN
BC
(échelle de réduction)
AB
AM = AC
AN = BC
MN
(échelle d’agrandissement)
Autre formulation :
Dans un triangle, si on coupe deux côtés par une parallèle au troisième, alors on
obtient deux triangles à côtés proportionnels.
Exemple :
O
ST
R
K
6,5
4,5
6
?
9
et (KT) // (OS)
• On reconnaît une figure « clé » du cours :
On a dans le triangle ROS, K ∈ [RO], T ∈ [RS]
et (KT) // (OS)
RK = 6, RO = 9 et OS = 4,5.
• On peut alors utiliser le théorème de Thalès dans le
triangle.
• On peut ainsi conclure que :
RK
RO = RT
RS = KT
OS c’est-à-dire 6 6,5 KT
==
9 RS 4,5
soit 6
9 = KT
4,5 donc KT = 6×4,5
9 = 9
3 = 3 d’où KT = 3.
Remarques :
• Les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs
des côtés correspondants (ou associés) du triangle ABC.
• La propriété 2 (milieu et parallèle) est un cas particulier : AK
AB = AJ
AC = KJ
BC = 1
2.
• Cette propriété permet de calculer la longueur d’un segment.
• Les triangles AMN et ABC sont déterminés par deux parallèles (MN) et (BC)
coupant deux sécantes (AB) et (AC). M ∈ [AB) et N ∈ [AC).
1
/
3
100%
