4ème – Ch. 4 Chapitre 4 Triangle, milieux et parallèles. Voir : 5ème, chapitre 7 ; 4ème, chapitre 5. I) Milieux et parallèles A) Milieux Propriété 1 : (théorème direct) Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième (côté). Traduction par une figure codée : Hypothèses A K+ Si Conclusion A K alors +J B J B (KJ) // (BC) C C Rédaction : • On a dans le triangle ABC, le milieu K du côté [AB] et le milieu J du côté [AC]. • Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième. • On déduit ainsi que, la droite (KJ) est parallèle à la droite (BC). Remarque : Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont parallèles. B) Milieu et parallèle Propriété 2 : (théorème réciproque) Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second (côté), alors elle coupe le troisième (côté) en son milieu. Traduction par une figure codée : Hypothèses A K Si Conclusion A alors J +J B B (KJ) // (BC) © 2007-2008 easymaths.free.fr C C Page 1 sur 3 4ème – Ch. 4 Rédaction : • Dans le triangle ABC, K milieu de [AB], J ∈ [AC] et (KJ) // (BC). • Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second, alors elle coupe le troisième en son milieu. • Donc, J milieu de [AC]. Remarque : Cette propriété permet de démontrer qu’un point est le milieu d’un segment. C) Longueur Propriété : Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté. Exemples : §A) et §B) on a, KJ = BC / 2. Remarque : Cette propriété permet de calculer la longueur d’un segment. D) Remarques A K+ B Cette propriété est connue « théorème des milieux ». le nom de Dans un triangle, il y a trois « droites des milieux ». +J + I sous On dit que le triangle IJK est le « triangle des milieux » du triangle ABC. C II) Parallèles et sécantes (Thalès relatif au triangle) Propriété : (théorème direct relatif à ABC) Dans un triangle ABC, où M est un point du côté [AB] et N un point du côté [AC], si (MN) est parallèle à (BC), alors on a : AM AN MN = = AB AC BC Tableau de proportionnalité : Côtés de AMN AM AN MN Côtés correspondants de ABC AB AC BC Traduction par une figure : Hypothèses © 2007-2008 easymaths.free.fr Conclusion Page 2 sur 3 4ème – Ch. 4 A AM AN MN = = AB AC BC (échelle de réduction) M Si alors N B (MN) // (BC) C AB AC BC = = AM AN MN (échelle d’agrandissement) Autre formulation : Dans un triangle, si on coupe deux côtés par une parallèle au troisième, alors on obtient deux triangles à côtés proportionnels. Exemple : O 4,5 S • 9 K 6 ? T R 6,5 et (KT) // (OS) • • On reconnaît une figure « clé » du cours : On a dans le triangle ROS, K ∈ [RO], T ∈ [RS] et (KT) // (OS) RK = 6, RO = 9 et OS = 4,5. On peut alors utiliser le théorème de Thalès dans le triangle. On peut ainsi conclure que : RK RT KT 6 6,5 KT = = = c’est-à-dire = RO RS OS 9 RS 4,5 KT 6 6×4,5 9 = = 3 d’où KT = 3. soit = donc KT = 9 9 3 4,5 Remarques : • Les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs des côtés correspondants (ou associés) du triangle ABC. AK AJ KJ 1 • La propriété 2 (milieu et parallèle) est un cas particulier : = = = . AB AC BC 2 • Cette propriété permet de calculer la longueur d’un segment. • Les triangles AMN et ABC sont déterminés par deux parallèles (MN) et (BC) coupant deux sécantes (AB) et (AC). M ∈ [AB) et N ∈ [AC). © 2007-2008 easymaths.free.fr Page 3 sur 3
