Chapitre-03-Suite-Numerique

1ère S
Matière : Mathématiques
Suites Numériques
Suite numérique
Dé…nition d’une suite numérique
Dé…nition 1 Une suite numérique est une "succession"de nombre réels. Ces nombres réels
sont les termes de la suite.
A un rang donné n; on associe un nombre réel un:
(un) : N! R
n7! un
unest appelé le terme général de la suite (un):
Remarque 2 Il arrive qu’une suite ne soit pas dé…nie sur tout N, on dit alors que la suite
est dé…nie à partir du rang.
Exemple 3 Soit (un)n2Nla suite numérique dé…nie par :
un=2n1
n+ 1
Calculons les trois premiers termes de la suite (un)n2N:
u0=1; u1=1
2uet 2= 1
Dé…nir une suite
De façon explicité
Dé…nition 4 Une suite (un)n2Nest dé…nie de façon explicite si le terme général uns’exprime
en fonction de n:
un=f(n),8n2N
Exemple 5 Soit la suite numérique (un)n2Ntelle que :
un= 3n+ 5
par exemple :u10 = 3 10 + 5 = 35:
1

Par récurrence
Dé…nition 6 Lorsque le terme général undépend du ou des terme(s) précédent(s), on dé…nit
alors la suite par une relation de récurrence et d’un ou des premier(s) terme(s).
La suite est dite récurrente à un terme si unne dépend que du terme précédent. Cette
suite est alors dé…nie par :u0
un+1 =f(un)
La suite est dite récurrente à deux termes si undépend des deux termes qui le précèdent.
Cette suite est alors dé…nie par :
u0,u1
un+2 =f(un; un+1)
La fonction fainsi dé…nie s’appelle la fonction associée à la suite (un)n2N:
Exemple 7 .
On donne la suite (un)n2Ndé…nie par :
u0= 2
un+1 = 3un2
Déterminer u1; u2; u3et u4:
u1= 3u02 = 3 22 = 4
u2= 3u12 = 3 42 = 10
u3= 3u22 = 3 10 2 = 28
u4= 3u32 = 3 28 2 = 82
On donne la suite (vn)n2Ndé…nie par :
v0= 2 ,v1= 1
vn+2 =vn+1 +vn
Déterminer v2; v3et v4.
v2=v1+v0= 2 + 1 = 3
v3=v2+v1= 3 + 1 = 4
v4=v3+v2= 4 + 3 = 7
2

Sens de variations
Dé…nition 8 Soit (un)n2Nune suite numérique.
On dit que (un)n2Nest croissante si pour tout n2N,un+1 un:
On dit que (un)n2Nest décroissante si pour tout n2N,un+1 un:
On dit que (un)n2Nest constante ou stationnaire si pour tout n2N; un+1 =un;
On dit que (un)n2Nest monotone si la suite (un)n2Nest croissante ou décroissante.
Dans la pratique pour déterminer la variations d’une suite, on déterminera le signe de
un+1 un.
Si cette di¤érence est positive, pour tout n2N;la suite sera croissante.
Si la di¤érence est négative pour tout n2N, la suite sera décroissante.
Si (un)n2Nest strictement positive, étudier la position de un+1
unpar rapport à 1:
Si ce rapport est supérieur à 1pour tout n2N, la suite sera croissante.
Si le rapport est inférieur à 1pour tout n2N, la suite sera décroissante.
Exemple 9 .
On considère la suite numérique (un)n2Ndé…nie par :un=5n3
2n+7 .
Soit n2N:
un+1 un=5 (n+ 1) 3
2 (n+ 1) + 7 5n3 2n+ 7
=5n+ 5 3
2n+ 2 + 7 5n3 2n+ 7
=5n+ 2
2n+ 9 5n3 2n+ 7
=(5n+ 2) (2n+ 7) (5n3) (2n+ 9)
(2n+ 9) (2n+ 7)
=41
(2n+ 9) (2n+ 7)
comme 41
(2n+9)(2n+7) 0pour tout n2N. Ceci signi…e que la suite (un)n2Nest stricte-
ment croissante.
On considère la suite numérique (vn)n2Ndé…nie par :vn=23n
32n:
Tous les termes de la suite sont strictements positifs.
3

Soit n2N:
vn+1
vn
=
23(n+1)
32(n+1)
23n
32n
=23(n+1)
32(n+1) 32n 23n
=23n23
32n3232n 23n
=8
9
comme 8
9<1pour tout n2N:Ceci signi…e que la suite (vn)n2Nest strictement décrois-
sante.
Suites majorées, suites minorées, suites bornées
Dé…nition 10 .
La suite (un)n2Nest majorée s’il existe un réel Mtel que pour tout entier n2N; unM:
La suite (un)n2Nest minorée s’il existe un réel mtel que pour tout entier n2N; unm:
La suite (un)n2Nest bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Remarque 11 .
4

Les suites de terme général cos nou (1)nsont bornées.
La suites de terme général n2est minorée par 0:
Exemple 12 Soit (un)n2Nla suite numérique dé…nie par :
(8n2N); un=2 + cos n
3sin pn
Soit n2N:
On a
1cos n1() 12 + cos n3
et
1sin pn1() 23sin pn4() 1
41
3sin pn1
2
donc 1
42 + cos n
3sin pn3
2
d’où
(8n2N);1
4un3 2
ceci signi…e que la suite (un)n2Nest bornée.
Suites arithmétiques
Dé…nition des suites arithmétiques
Dé…nition 13 Soit (un)n2Nune suite numérique.
La suite (un)n2Nest arithmétique si et seulement si il existe un réel rtel que pour tout
entier n2N,un+1 =un+r:
Le nombre rs’appelle alors la raison de la suite arithmétique (un)n2N:
Comment reconnait-on une suite arithmétique ?
Propriété 14 Une suite est arithmétique lorsque la di¤érence entre deux termes consécutifs
est constante. On a alors :
(8n2N); un+1 un=r
Exemple 15 Montrer que la suite (un)n2Ndé…nie par :un= 2n+ 3 est arithmétique.
On calcule la di¤érence entre deux termes consécutifs quelconques :
un+1 un= 2 (n+ 1) + 3 (2n+ 3)
= 2
donc
(8n2N); un+1 un= 2
Ceci signi…e que la suite (un)n2Nest une suite arithmétique de raison 2et de premier
terme u0= 3:
5