1ère S
Matière
:
Mathématiques
Suites Numériques
Suite numérique
Dé…nition d’une suite numérique
Dé…nition 1 Une suite numérique est une "succession"de nombre réels. Ces nombres réels
sont les termes de la suite.
A un rang donné n; on associe un nombre réel un:
(un) : N! R
n7! un
unest appelé le terme général de la suite (un):
Remarque 2 Il arrive qu’une suite ne soit pas dé…nie sur tout N, on dit alors que la suite
est dé…nie à partir du rang.
Exemple 3 Soit (un)n2Nla suite numérique dé…nie par :
un=2n1
n+ 1
Calculons les trois premiers termes de la suite (un)n2N:
u0=1; u1=1
2uet 2= 1
Dé…nir une suite
De façon explicité
Dé…nition 4 Une suite (un)n2Nest dé…nie de façon explicite si le terme général uns’exprime
en fonction de n:
un=f(n),8n2N
Exemple 5 Soit la suite numérique (un)n2Ntelle que :
un= 3n+ 5
par exemple :u10 = 3 10 + 5 = 35:
1
Par récurrence
Dé…nition 6 Lorsque le terme général undépend du ou des terme(s) précédent(s), on dé…nit
alors la suite par une relation de récurrence et d’un ou des premier(s) terme(s).
La suite est dite récurrente à un terme si unne dépend que du terme précédent. Cette
suite est alors dé…nie par :u0
un+1 =f(un)
La suite est dite récurrente à deux termes si undépend des deux termes qui le précèdent.
Cette suite est alors dé…nie par :
u0,u1
un+2 =f(un; un+1)
La fonction fainsi dé…nie s’appelle la fonction associée à la suite (un)n2N:
Exemple 7 .
On donne la suite (un)n2Ndé…nie par :
u0= 2
un+1 = 3un2
Déterminer u1; u2; u3et u4:
u1= 3u02 = 3 22 = 4
u2= 3u12 = 3 42 = 10
u3= 3u22 = 3 10 2 = 28
u4= 3u32 = 3 28 2 = 82
On donne la suite (vn)n2Ndé…nie par :
v0= 2 ,v1= 1
vn+2 =vn+1 +vn
Déterminer v2; v3et v4.
v2=v1+v0= 2 + 1 = 3
v3=v2+v1= 3 + 1 = 4
v4=v3+v2= 4 + 3 = 7
2
Sens de variations
Dé…nition 8 Soit (un)n2Nune suite numérique.
On dit que (un)n2Nest croissante si pour tout n2N,un+1 un:
On dit que (un)n2Nest décroissante si pour tout n2N,un+1 un:
On dit que (un)n2Nest constante ou stationnaire si pour tout n2N; un+1 =un;
On dit que (un)n2Nest monotone si la suite (un)n2Nest croissante ou décroissante.
Dans la pratique pour déterminer la variations d’une suite, on déterminera le signe de
un+1 un.
Si cette di¤érence est positive, pour tout n2N;la suite sera croissante.
Si la di¤érence est négative pour tout n2N, la suite sera décroissante.
Si (un)n2Nest strictement positive, étudier la position de un+1
unpar rapport à 1:
Si ce rapport est supérieur à 1pour tout n2N, la suite sera croissante.
Si le rapport est inférieur à 1pour tout n2N, la suite sera décroissante.
Exemple 9 .
On considère la suite numérique (un)n2Ndé…nie par :un=5n3
2n+7 .
Soit n2N:
un+1 un=5 (n+ 1) 3
2 (n+ 1) + 7 5n3
2n+ 7
=5n+ 5 3
2n+ 2 + 7 5n3
2n+ 7
=5n+ 2
2n+ 9 5n3
2n+ 7
=(5n+ 2) (2n+ 7) (5n3) (2n+ 9)
(2n+ 9) (2n+ 7)
=41
(2n+ 9) (2n+ 7)
comme 41
(2n+9)(2n+7) 0pour tout n2N. Ceci signi…e que la suite (un)n2Nest stricte-
ment croissante.
On considère la suite numérique (vn)n2Ndé…nie par :vn=23n
32n:
Tous les termes de la suite sont strictements positifs.
3
Soit n2N:
vn+1
vn
=
23(n+1)
32(n+1)
23n
32n
=23(n+1)
32(n+1) 32n
23n
=23n23
32n3232n
23n
=8
9
comme 8
9<1pour tout n2N:Ceci signi…e que la suite (vn)n2Nest strictement décrois-
sante.
Suites majorées, suites minorées, suites bornées
Dé…nition 10 .
La suite (un)n2Nest majorée s’il existe un réel Mtel que pour tout entier n2N; unM:
La suite (un)n2Nest minorée s’il existe un réel mtel que pour tout entier n2N; unm:
La suite (un)n2Nest bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Remarque 11 .
4
Les suites de terme général cos nou (1)nsont bornées.
La suites de terme général n2est minorée par 0:
Exemple 12 Soit (un)n2Nla suite numérique dé…nie par :
(8n2N); un=2 + cos n
3sin pn
Soit n2N:
On a
1cos n1() 12 + cos n3
et
1sin pn1() 23sin pn4() 1
41
3sin pn1
2
donc 1
42 + cos n
3sin pn3
2
d’où
(8n2N);1
4un3
2
ceci signi…e que la suite (un)n2Nest bornée.
Suites arithmétiques
Dé…nition des suites arithmétiques
Dé…nition 13 Soit (un)n2Nune suite numérique.
La suite (un)n2Nest arithmétique si et seulement si il existe un réel rtel que pour tout
entier n2N,un+1 =un+r:
Le nombre rs’appelle alors la raison de la suite arithmétique (un)n2N:
Comment reconnait-on une suite arithmétique ?
Propriété 14 Une suite est arithmétique lorsque la di¤érence entre deux termes consécutifs
est constante. On a alors :
(8n2N); un+1 un=r
Exemple 15 Montrer que la suite (un)n2Ndé…nie par :un= 2n+ 3 est arithmétique.
On calcule la di¤érence entre deux termes consécutifs quelconques :
un+1 un= 2 (n+ 1) + 3 (2n+ 3)
= 2
donc
(8n2N); un+1 un= 2
Ceci signi…e que la suite (un)n2Nest une suite arithmétique de raison 2et de premier
terme u0= 3:
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
/
13
100%
