Matière : Mathématiques
1ère S
Suites Numériques
Suite numérique
Dé…nition d’une suite numérique
Dé…nition 1 Une suite numérique est une "succession" de nombre réels. Ces nombres réels
sont les termes de la suite.
A un rang donné n; on associe un nombre réel un :
(un ) :
N ! R
n 7 ! un
un est appelé le terme général de la suite (un ) :
Remarque 2 Il arrive qu’une suite ne soit pas dé…nie sur tout N, on dit alors que la suite
est dé…nie à partir du rang.
Exemple 3 Soit (un )n2N la suite numérique dé…nie par :
un =
2n 1
n+1
Calculons les trois premiers termes de la suite (un )n2N :
u0 =
1; u1 =
1
2
et
u2 = 1
Dé…nir une suite
De façon explicité
Dé…nition 4 Une suite (un )n2N est dé…nie de façon explicite si le terme général un s’exprime
en fonction de n:
un = f (n) , 8n 2 N
Exemple 5 Soit la suite numérique (un )n2N telle que :
un = 3n + 5
par exemple : u10 = 3
10 + 5 = 35:
1
Par récurrence
Dé…nition 6 Lorsque le terme général un dépend du ou des terme(s) précédent(s), on dé…nit
alors la suite par une relation de récurrence et d’un ou des premier(s) terme(s).
La suite est dite récurrente à un terme si un ne dépend que du terme précédent. Cette
suite est alors dé…nie par :
u0
un+1 = f (un )
La suite est dite récurrente à deux termes si un dépend des deux termes qui le précèdent.
Cette suite est alors dé…nie par :
u0 , u1
un+2 = f (un ; un+1 )
La fonction f ainsi dé…nie s’appelle la fonction associée à la suite (un )n2N :
Exemple 7 .
On donne la suite (un )n2N dé…nie par :
u0 = 2
un+1 = 3un
2
Déterminer u1 ; u2 ; u3 et u4 :
u1
u2
u3
u4
=
=
=
=
3u0
3u1
3u2
3u3
2=3
2=3
2=3
2=3
2 2=4
4 2 = 10
10 2 = 28
28 2 = 82
On donne la suite (vn )n2N dé…nie par :
v0 = 2 , v1 = 1
vn+2 = vn+1 + vn
Déterminer v2 ; v3 et v4 .
v2 = v1 + v0 = 2 + 1 = 3
v3 = v2 + v1 = 3 + 1 = 4
v4 = v3 + v2 = 4 + 3 = 7
2
Sens de variations
Dé…nition 8 Soit (un )n2N une suite numérique.
On dit que (un )n2N est croissante si pour tout n 2 N, un+1
un :
On dit que (un )n2N est décroissante si pour tout n 2 N, un+1
un :
On dit que (un )n2N est constante ou stationnaire si pour tout n 2 N; un+1 = un ;
On dit que (un )n2N est monotone si la suite (un )n2N est croissante ou décroissante.
Dans la pratique pour déterminer la variations d’une suite, on déterminera le signe de
un+1 un .
Si cette di¤érence est positive, pour tout n 2 N; la suite sera croissante.
Si la di¤érence est négative pour tout n 2 N, la suite sera décroissante.
Si (un )n2N est strictement positive, étudier la position de
un+1
un
par rapport à 1:
Si ce rapport est supérieur à 1 pour tout n 2 N, la suite sera croissante.
Si le rapport est inférieur à 1 pour tout n 2 N, la suite sera décroissante.
Exemple 9 .
On considère la suite numérique (un )n2N dé…nie par : un =
5n 3
2n+7
.
Soit n 2 N:
un+1
un =
=
=
=
=
41
comme (2n+9)(2n+7)
ment croissante.
5 (n + 1) 3 5n 3
2 (n + 1) + 7 2n + 7
5n + 5 3 5n 3
2n + 2 + 7 2n + 7
5n + 2 5n 3
2n + 9 2n + 7
(5n + 2) (2n + 7) (5n 3) (2n + 9)
(2n + 9) (2n + 7)
41
(2n + 9) (2n + 7)
0 pour tout n 2 N. Ceci signi…e que la suite (un )n2N est stricte-
On considère la suite numérique (vn )n2N dé…nie par : vn =
Tous les termes de la suite sont strictements positifs.
3
23n
:
32n
Soit n 2 N:
23(n+1)
32(n+1)
23n
32n
3(n+1)
vn+1
=
vn
2
32n
32(n+1) 23n
23n 23 32n
= 2n
3
32 23n
8
=
9
=
comme
sante.
8
9
< 1 pour tout n 2 N: Ceci signi…e que la suite (vn )n2N est strictement décrois-
Suites majorées, suites minorées, suites bornées
Dé…nition 10 .
La suite (un )n2N est majorée s’il existe un réel M tel que pour tout entier n 2 N; un
M:
La suite (un )n2N est minorée s’il existe un réel m tel que pour tout entier n 2 N; un
m:
La suite (un )n2N est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Remarque 11 .
4
Les suites de terme général cos n ou ( 1)n sont bornées.
La suites de terme général n2 est minorée par 0:
Exemple 12 Soit (un )n2N la suite numérique dé…nie par :
(8n 2 N) ; un =
2 + cos n
p
3 sin n
Soit n 2 N:
On a
1
et
1
p
sin n
1 () 1
cos n
1 () 2
donc
3
1
4
d’où
sin
p
4 ()
n
2 + cos n
p
3 sin n
1
4
est bornée.
(8n 2 N) ;
ceci signi…e que la suite (un )n2N
2 + cos n
3
1
4
3
1
p
sin n
1
2
3
2
un
3
2
Suites arithmétiques
Dé…nition des suites arithmétiques
Dé…nition 13 Soit (un )n2N une suite numérique.
La suite (un )n2N est arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que pour tout
entier n 2 N, un+1 = un + r:
Le nombre r s’appelle alors la raison de la suite arithmétique (un )n2N :
Comment reconnait-on une suite arithmétique ?
Propriété 14 Une suite est arithmétique lorsque la di¤érence entre deux termes consécutifs
est constante. On a alors :
(8n 2 N) ; un+1 un = r
Exemple 15 Montrer que la suite (un )n2N dé…nie par : un = 2n + 3 est arithmétique.
On calcule la di¤érence entre deux termes consécutifs quelconques :
un+1
un = 2 (n + 1) + 3
= 2
(2n + 3)
donc
(8n 2 N) ; un+1
un = 2
Ceci signi…e que la suite (un )n2N est une suite arithmétique de raison 2 et de premier
terme u0 = 3:
5
Expression du terme général en fonction de n
Une suite arithmétique est dé…nie par une relation de récurrence :
(8n 2 N) ; un+1 = un + r
On exprime directement un en fonction de n:
Théorème 16 Soit (un )n2N une suite arithmétique de raison r:
(8n 2 N) ; un = u0 + nr
8 (n; p) 2 N2 ; un = up + (n
p) r
Démonstration 17 .
Soit (un )n2N une suite arithmétique de raison r:
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n; un = u0 + nr:
u0 + 0
r = u0 et donc l’égalité est vraie quand n = 0:
Soit n 2 N. Supposons que un = u0 + nr et montrons que un+1 = u0 + (n + 1) r:
un+1 = un + r (d’après la dé…nition de la suite arithmétique)
= u0 + nr + r
= u0 + (n + 1) r
D’après le principe de récurrence on déduit que
(8n 2 N) ; un = u0 + nr
Soient n et p deux entiers naturels. un = u0 + nr et up = u0 + pr: Donc
un
up = (u0 + nr)
(u0 + pr) = nr
pr = (n
p)r
donc
un = up + (n
p) r
Exemple 18 Considérons la suite arithmétique (un )n2N tel que : u5 = 7 et u9 = 19:
1. Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un )n2N :
2. Exprimer un en fonction de n:
6
On exprime u9 en fonction de u5 ; on a alors :
u9 = u5 + (9
5) r () 19 = 7 + 4r () 12 = 4r () r =
12
= 3:
4
On peut alors trouver u0 :
u5 = u0 + 3
5 () u0 = 7
15 =
8
un en fonction de n :
un = 3n
Exercice d’application 19 .
Soit (un )n2N la suite dé…nie par :
8
<
:
8
u0 = 1
(8n 2 N) ; un+1 =
4
4 un
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 1
un < 2:
2. Pour tout entier naturel n, on pose :
vn =
1
un
2
a) Montrer que la suite (vn )n2N est arithmétique. Préciser son premier terme et sa
raison.
b) Déterminer vn en fonction de n:
c) En déduire un en fonction de n:
Sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique
Théorème 20 Pour tout entier naturel non nul n;
1 + 2 + 3 + ::: + n =
n (n + 1)
2
Démonstration 21 Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n; 1 +
2 + 3 + ::: + n = n(n+1)
:
2
1(1+1)
2
= 1, donc l’égalité est vraie pour n = 1:
7
Soit n 2 N : Supposons que 1 + 2 + 3 + ::: + n =
n(n+1)
2
1 + 2 + 3 + ::: + n + 1 =
et montrons que :
(n + 1) (n + 2)
2
Alors
0
1
1 + 2 + 3 + ::: + n + 1 = @1| + 2 + 3{z+ ::: + n}A + n + 1
hypothese de récurrence
n (n + 1)
+n+1
2
(n + 1) (n + 2)
=
2
=
Donc d’après le principe de récurrence on déduit que pour tout entier naturel non nul
1 + 2 + 3 + ::: + n =
n (n + 1)
2
Théorème 22 (Admis)
Soit (uk )k2N une suite arithmétique. Soient n et p deux entiers naturels tels que n
n
X
uk = up + up+1 + ::: + un
k=p
(premier terme + dernier terme)
2
(up + un ) (n p + 1)
=
2
=
(nombre de termes)
Exemple 23 :
Calculer les sommes suivantes :
67
X
k=33
k ;
n
X
k=1
(2k
1) avec (n 2 N ) et
67
X
n
X
k=0
(3k + 2) avec (n 2 N) :
k = 33 + 34 + 35 + ::: + 67
k=33
=
(33 + 67)
= 1750
8
(67
2
33 + 1)
p:
Soit n 2 N :
n
X
(2k
1) = 1 + 3 + 5 + ::: + 2n
1
k=1
=
(1 + (2n
n
X
n
2
= n
Soit n 2 N:
1))
2
(3k + 2) = 2 + 5 + 8 + 11 + ::: + 3n + 2
k=0
(2 + 3n + 2) (n + 1)
2
(3n + 4) (n + 1)
=
2
=
Suites géométriques
Dé…nition des suites géométriques
Dé…nition 24 Soit (un )n2N une suite numérique.
La suite (un )n2N est géométrique si et seulement si il existe un réel q tel que pour tout
entier naturel n, un+1 = q un :
Le nombre q s’appelle alors la raison de la suite géométrique (un )n2N :
Comment reconnait-on une suite géométrique
Propriété 25 Une suite est géométrique lorsque le rapport entre deux termes consécutifs
est constant. On a alors :
un+1
(8n 2 N) ;
=q
un
Exemple 26 Soit (un )n2N la suite dé…nie par :
un = 3
2n
Montrer que la suite (un )n2N est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Soit n 2 N: un 6= 0 ensuite
3 2n+1
un+1
=2
=
un
3 2n
donc
(8n 2 N) ;
un+1
=2
un
On en déduit que la suite (un )n2N est une suite géométrique de raison 2: Son premier
terme est u0 = 3:
9
Expression du terme général en fonction de n
Théorème 27 Soit (un )n2N une suite géométrique de raison q 6= 0:
(8n 2 N) ; un = u0
qn
8 (n; p) 2 N2 ; un = up
qn
p
Démonstration 28 .
Soit (un )n2N une suite géométrique de raison non nulle q:
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n; un = u0
Puisque q 6= 0; q 0 = 1 puis u0
qn:
q 0 = u0 et donc l’égalité est vraie quand n = 0:
q n et montrons que : un+1 = u0
Soit n 2 N. Supposons que un = u0
un+1 = un
= u0
= u0
q n+1 :
q
qn q
q n+1
D’après le principe de récurrence on déduit que pour tout entier naturel n, un = u0
qn:
Soient n et p deux entiers naturels.
un = u0
q n et up = u0
Si u0 = 0; on a un = up = 0, alors : un = up
qp
qn p:
Si u0 6= 0, alors up 6= 0. On peut écrire
un
u0
=
up
u0
qn
qn
=
= qn
qp
qp
p
donc
8 (n; p) 2 N2 ; un = up
qn
p
Exemple 29 Soit une suite (un )n2N géométrique de raison q: On donne : u7 = 4374 et
u5 = 486:Trouver la raison q et le premier terme u0 et u10 sachant que la raison est positive.
On exprime u5 en fonction de u7 ; on a alors :
u7 = q 7
5
u5 () 4374 = q 2
486 () q 2 =
On obtient les deux solutions : q = 3 ou q =
10
4374
= 9 () q = 3 ou q =
486
3
3. Comme la raison est positive, q = 3:
On peut alors trouver u0 :
u5 = q 5
u0 () 486 = 35
u0 () u0 =
486
=2
243
On peut alors trouver u10 :
u10 =
=
=
=
Exercice d’application 30 .
Soit (un )n2N la suite dé…nie par :
8
<
:
q 10 7 u7
q 3 4374
23 4374
118098
u0 =
1
(8n 2 N) ; un+1 = 3un
4
Pour tout entier naturel n, on pose :
vn = un
2
1. Montrer que la suite (vn )n2N est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
2. Déterminer vn en fonction de n:
3. En déduire un en fonction de n:
Sommes de termes consécutifs d’une suite géométrique
Théorème 31 n est un entier naturel non nul et q un réel di¤érent de 1 alors on a :
1 + q + q 2 + q 3 + ::: + q n =
1
q n+1
1 q
Démonstration 32 .
On note
S = 1 + q + q 2 + q 3 + ::: + q n
et
q
S = q + q 2 + q 3 + q 4 + ::: + q n+1
Ainsi :
S
q
S = 1 + q + q 2 + q 3 + ::: + q n
= 1 q n+1
donc
S=
1
q n+1
1 q
11
q + q 2 + q 3 + q 4 + ::: + q n+1
Théorème 33 Soit (un )n2N une suite géométrique de raison q 6= 1: Soient n et p deux
entiers naturels tels que n p:
n
X
uk = up + up+1 + ::: + un
k=p
= (premier terme)
qn
1
= up
1
q nombre termes
1 q
1
p+1
q
Démonstration 34 Soient n et p deux entiers naturels tels que n
n
X
uk = up + up+1 + ::: +
k=p
un
|{z}
=q n
p
up
n p
= up + up+1 + ::: + up q
= up 1 + q + q 2 + q 3 + ::: + q n
1 q n p+1
= up
1 q
p
Exemple 35 Calculer les sommes suivantes :
10
X
2k
k=0
10
X
et
n
X
5
avec (n 2 N )
k
3
k=1
2k = 20 + 21 + 22 + ::: + 210
k=0
210 0+1
1 2
= 211 1
= 2047
=
Soit n 2 N :
1
n
n
X
X
5
1
= 5
k
3
3k
k=1
k=1
1
1
1
+ 2 + ::: + n
1
3
3
3
1 n
5 1
3
=
3
1 31
n
5
1
=
1
:
2
3
= 5
12
p: Comme q 6= 1;
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
www:etude
generale:com
13
