Dynamique La dynamique est l’étude des mouvements d’un solide en tenant compte des forces qui les produisent. 𝐹 𝑃⃗ La quantité de mouvement : L’expression de la quantité de mouvement s’écrit : 𝑃⃗ = 𝑚𝑣 Théorème du centre d’inertie ou relation fondamentale de la dynamique : Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures est égale au dérivé par rapport au temps de la quantité de mouvement. Expression : ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = I. ⃗⃗⃗⃗ 𝑑(𝑃) 𝑑𝑡 ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎 = ⃗) 𝑑(𝑚𝑣 𝑑𝑡 =𝑚 ⃗) 𝑑(𝑣 𝑑𝑡 = 𝑚𝑎 Enoncé : Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures exercé sur un solide est égale au produit de sa masse par l’accélération du centre d’inertie. Travail, Energie cinétique, Energie potentielle, Energie mécanique : Travail : Le travail d’une force noté W est le produit de la force F et le déplacement effectué au cours du temps l. Remarque : un mobile n’effectue un travail que si la force exercée est parallèle au déplacement. Expression : Première méthode : La force est une grandeur vectorielle, le déplacement correspond également à un point de départ et un point d’arriver donc l’expression s’écrit : 𝑊 = 𝐹. 𝑙 Youssouf ouédraogo Physique [email protected] On sait aussi que l’expression du produit scalaire de deux vecteurs 𝑢 ⃗ 𝑒𝑡 𝑣 s’écrit : 𝑢 ⃗ . 𝑣 = 𝑢. 𝑣. 𝑐𝑜𝑠𝛼 Avec 𝛼 = (𝑢 ⃗ , 𝑣 ). L’expression du travail serait : 𝑊 = 𝐹. 𝑙. 𝑐𝑜𝑠𝛼. Deuxième méthode : 𝑊 = 𝐹. 𝑙 𝐹 ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑁 𝛼 ⃗⃗⃗𝑡 𝐹 L’expression du travail du solide est : ⃗⃗⃗𝑡 . 𝑙 Or 𝐹𝑡 = 𝐹. 𝑐𝑜𝑠𝛼 Alors 𝑊 = 𝐹. 𝑙. 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑊=𝐹 𝑠𝑖 𝑊 > 0, alors le travail est un travail moteur. 𝑠𝑖 𝑊 < 𝑂, alors le travail est un travail résistant. 𝑠𝑖 𝑊 = 0, alors le travail est un nul. Energie cinétique : L’énergie cinétique est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. Expression : (cas d’un solide en mouvement de translation) 𝑉 ∆𝐸𝑐 = ∫𝑉 𝑓 𝑃𝑑𝑣 ; P est la quantité de mouvement 𝑖 𝑉 ∫𝑉 𝑓 𝑚𝑣𝑑𝑣 𝑖 1 1 Par intégration on obtient ∆𝐸𝑐 = 2 𝑚𝑉²𝑓 − 2 𝑚𝑉 2 𝑖 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 . 1 ∆𝐸𝑐 = 𝑚(𝑉 2𝑓 − 𝑉 2 𝑖 ) 2 Démontrons que la variation de l’énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces extérieures. ∆𝐸𝑐 = 𝑅⃗ 𝐹 𝑅⃗ 𝛼 𝑃⃗ Youssouf ouédraogo 𝐹 𝛼 𝑃⃗ Physique [email protected] Soit un solide soumis à l’action de plusieurs forces et se déplaçant de A vers B avec des vitesses différentes. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre A et B on obtient : 1 ∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐𝐵 − 𝐸𝑐𝐴 = 𝑚(𝑉 2 𝐵 − 𝑉 2𝐴 ) 2 Trouvons l’expression liant l’abscisse, la vitesse et l’accélération On sait que : 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑣 = 𝑣 ⇔ 𝑑𝑡 = 𝑒𝑡 = 𝑎 ⇔ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 𝑣 𝑑𝑡 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑋 𝑑𝑣 𝑎 ⇔ 𝑎𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑣 ; en intégrant les deux égalités on obtient : 𝑉 1 ∫ 𝑎𝑑𝑥 = ∫ 𝑉𝑑𝑣 ⇔ 𝑎(𝑋 − 𝑋0 ) = (𝑉 2 − 𝑉 2 0 ) ⇔ 𝑉 2 − 𝑉 2 0 = 2𝑎(𝑋 − 𝑋0 ) 2 𝑋0 𝑉0 En utilisant cette relation on peut écrire que : 𝑉²𝐵 − 𝑉 2𝐴 = 2𝑎(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 ) En remplaçant dans l’expression de la variation de l’énergie cinétique entre A et B et après simplification on obtient : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝐸𝑐 = 𝑚𝑎⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 on sait que d’après la deuxième loi de Newton ∑ 𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎 ; alors ∆𝐸𝑐 = ∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 . 𝐴𝐵 Le solide est soumis à l’action du poids𝑃⃗ , de la réaction𝑅⃗ et de la force 𝐹 ∆𝐸𝑐 = ⃗⃗⃗ 𝑃. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗ 𝑅. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗ 𝐹. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 𝑊𝑃⃗ + 𝑊𝑅⃗ + 𝑊𝐹 = ∑ 𝑊⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑒𝑥𝑡 ; ∆𝐸𝑐 = ∑ 𝑊⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑒𝑥𝑡 Alors l’expression de la variation de l’énergie cinétique est : 1 1 ∆𝐸𝑐 = 𝑚𝑉²𝑓 − 𝑚𝑉 2 𝑖 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 = ∑ 𝑊⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑒𝑥𝑡 2 2 Enoncé du théorème de l’énergie cinétique : La variation de l’énergie cinétique d’un corps est égale à la somme des travaux des forces extérieures. Application de la relation de CHASLES : A B C D Soit un corps se déplaçant de A vers D avec une vitesse variable, l’expression de la variation de 𝑉 l’énergie cinétique entre A et D est :∆𝐸𝑐 = ∫𝑉 𝐷 𝑃𝑑𝑣. 𝐴 Youssouf ouédraogo Physique [email protected] Pour passer de A vers D le corps va passer les B et C, en appliquant la relation de Chasles on obtient : 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 ∆𝐸𝑐(𝐴,𝐷) = ∫𝑉 𝐷 𝑃𝑑𝑣 = ∫𝑉 𝐵 𝑃𝑑𝑣 + ∫𝑉 𝐶 𝑃𝑑𝑣 + ∫𝑉 𝐷 𝑃𝑑𝑣 = ∆𝐸𝑐(𝐴,𝐵) + ∆𝐸𝑐(𝐵,𝐶) + ∆𝐸𝑐(𝐶,𝐷) 𝐴 𝐴 𝐵 𝐶 En généralisant on peut dire que la variation de l’énergie cinétique entre plusieurs points est : Lorsqu’on a n points c’est-à-dire de 0 à n 𝑉1 𝑉2 𝑉3 𝑉𝑛 ∆𝐸𝑐(0,𝑛) = ∫ 𝑃𝑑𝑣 + ∫ 𝑃𝑑𝑣 + ∫ 𝑃𝑑𝑣 + ⋯ + ∫ 𝑃𝑑𝑣 = ∆𝐸𝑐(0,1) + ∆𝐸𝑐(1,2) + ⋯ + ∆𝐸𝑐(𝑛−1,𝑛) . 𝑉𝑂 𝑉1 𝑉2 𝑉𝑛−1 Energie potentielle : L’énergie potentielle de pesanteur est l’énergie que possède un corps du fait de sa position dans le champ de pesanteur. Expression : 𝑧 𝐸𝑃 = ∫𝑧 1 𝑃𝑑𝑧 = 𝑚𝑔(𝑧1 − 𝑧0 ) + 𝑐𝑡𝑒 0 𝐸𝑝 = 𝑚𝑔ℎ + 𝑐𝑡𝑒 ; ℎ = (𝑧1 − 𝑧2 ) et la constante est déterminée par la position de référence. 𝑧1 ℎ 𝑧2 Energie mécanique : L’énergie mécanique d’un corps est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle. Expression : 𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 . La variation de l’énergie mécanique d’un corps d’un état initial à un état final s’écrit : ∆𝐸𝑚 = ∆𝐸𝑐𝑓 + ∆𝐸𝑝𝑖 Forces conservatives : Les forces conservatives sont des forces dont le travail ne dépend pas du chemin suivi. Forces non conservatives : Les forces non conservatives sont des forces dont le travail dépend du chemin suivi. Remarque : L’énergie mécanique d’un corps soumis uniquement à des forces conservatives est conservée. L’énergie mécanique d’un corps soumis à forces non conservatives est égale à la somme des travaux des forces non conservatives.∆𝐸𝑚 = ∑ 𝑊⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓𝑛𝑐 Youssouf ouédraogo Physique [email protected] Si la somme des travaux des forces extérieur est nulle alors 𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 donc l’énergie cinétique est conservée. Si un corps est soumis uniquement à des forces conservatives alors ∆𝐸𝑐 = ∆𝐸𝑃 . Youssouf ouédraogo Physique [email protected]
