Chapitre 4 : Les lentilles
1. Définition :
Une lentille est un milieu transparent homogène d’indice n limité par deux dioptres dont l'un au moins
est sphérique, l'autre pouvant être, à la limite, plan. C’est un système centré dont l’axe est la droite qui
joint les deux centres des dioptres respectifs.
L’épaisseur d’une lentille est la distance S1S2 où S1 et S2 sont les sommets des deux dioptres. Une
lentille est dite mince ou épaisse selon que son épaisseur est ou n’est pas petite devant les rayons de
courbure de ses deux faces et devant leur différence si ceux-ci sont de même sens.
2. Formes d’une lentille : Il existe six formes possibles de lentilles :
- lentilles biconvexes, - lentilles biconcaves, - lentilles plan-convexe, - lentilles plan-concaves
- ménisques à bords minces et ménisques à bords épais (cf. fig 1).
S1
S2
S1
S1
S2
Lentille plan-convexe
Lentille biconcave
Lentille biconvexe
S1
S2
S1
S2
S1
S2
Lentille plan-concave
S2
Ménisques à bords épais
Ménisques à bords minces
Fig1 : les déférentes formes de lentilles
3. Nature d’une lentille : nous avons deux sortes de lentilles minces :
- les lentilles convergentes : ou lentilles à bords minces, où F est dans le milieu objet, F′ est alors dans
le milieu image.
- les lentilles divergentes : ou lentilles à bords épais, dont les deux foyers sont inversés. i.e. F est dans
le milieu image, F′ est alors dans le milieu objet.
Dans l’approximation, on représente les lentilles minces comme suite :
+
+
O
F
Espace objet
F′
Espace image
Lentille convergente
O
F′
Espace objet
F
Espace image
Lentille divergente
Fig2 : représentation de lentilles minces
1
Chapitre 4 : Les lentilles
4. Relation de conjugaison et grandissement :
Pour une lentille mince d’indice de réfraction n (plongée dans l’air d’indice n0=1), de centre O et
de foyers objet F et image F’, la position de l’image d’un objet se détermine suivant la relation
suivante (relation de conjugaison):
1
1
1
1
1
1
−
= (𝑛 − 1) ( − ) =
=−
(𝑑é𝑚𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙 ′ 𝑒𝑥𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑒1)
′
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑅2 𝑅1
𝑂𝐹
𝑂𝐹
𝑂𝐴′ 𝑂𝐴
Dans le cas d’une lentille les foyers F et F′ sont symétriques par rapport au centre O.
Quant au grandissement il est selon la relation suivante :
𝛾=
̅̅̅̅̅̅ 𝑂𝐴′
̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵′
=
̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝐴𝐵
𝑂𝐴
5. Foyers principal et secondaires :
Nous savons que caque faisceau parallèle se rencontre en un seul point :
Foyer principal F et/ou F’ pour le faisceau parallèle à l’axe optique.
Foyer secondaire pour les faisceaux. Ce foyer secondaire est un point qui appartient au plan
focal objet (FS) et/ou image(F’S). Le plan focal est le plan perpendiculaire à l’axe optique et qui
passe par le foyer principal F et/ou F’ (nous avons une infinité de foyers secondaires)
+
+
Foyer principal
image
O
F
Foyer principal
objet
F′
F
F′
Plan focal
image
Plan focal
objet
+
+
F′S
F
O
O
F′
Cas d’un foyer secondaire image
F
O
-
F
’
FS
Cas d’un foyer secondaire objet
Pour trouver la direction de sortie pour un faisceau parallèle incident et/ou la direction des rayons
incidents pour un faisceau qui ressort parallèle, il suffit de représenter le plan focal objet et/ou image,
puis trace le rayon qui passe par le centre et qui est parallèle au faisceau, son intersection avec le plan
focal objet et/ou image sera également le point d’intersection du reste du faisceau parallèle..
2
Chapitre 4 : Les lentilles
6. Construction géométrique :
On procède de la même manière que pour les dioptres sphérique, donc pour trouver graphiquement
l’image A’B’ d’un objet AB, il suffit de trouver le conjugué B’ de B en utilisant deux des trois rayons
principaux à savoir :
-
Le rayon qui passe par le centre O ne sera pas dévié.
Un rayon parallèle à l’axe optique sort en passant par le foyer image F’.
Un rayon qui passe par le foyer objet F ressort parallèlement à l’axe optique.
Espace objet
Espace image
+
+
B
F′
F
A
A′
O
F′
O
Espace objet
F
Espace image
B′
b- Lentille divergente
a- Lentille convergente
Fig3 : construction géométrique dans une lentille
Les différents cas possibles vont être vus dans l’exercice 2.
7. Association de lentilles :
On considère deux lentilles L1 et L2 de centres optiques O1 et O2, de distances focales
𝑓′1 = ̅̅̅̅̅̅̅
𝑂1 𝐹′1 𝑒𝑡 𝑓′2 = ̅̅̅̅̅̅̅
𝑂2 𝐹′2 et dont les axes optiques sont confondus. Leur association réalise un
système appelé “doublet ”.
a- Doublet accolé :
Dans ce cas, les centres optiques O1 et O2 des deux lentilles L1 (de distance focale f’1) et L2 (de distance
focale f’2) sont confondus en O. ce système est équivalent à une lentille de centre O et de distance
focale f’ tel que :
1
1
1
=
+
𝑓′ 𝑓′1 𝑓′2
F’1
F1
O1 O2
F2
↔
F’2
O
F
Fig4 : doublet accolé
L1 +L2
F’
L
b- Doublet non accolé :
Cette fois-ci, les centres optiques O1 et O2 des deux lentilles L1 (de distance focale f’1) et L2 (de
distance focale f’2) ne sont pas confondus et que ̅̅̅̅̅̅̅
𝑂1 𝑂2 = 𝑒 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒 ̅̅̅̅̅̅̅
𝐹′1 𝐹2 = 𝑑
Le doublet est toujours équivalent à une lentille unique L de distance focale équivalente f ' telle que :
L1
L2
d
F
F1 O1
F’1
F’2
F2
O2
F’
e
Fig4 : doublet non accolé
3
Chapitre 4 : Les lentilles
De la figure 5, On constate que :
- Tout rayon incident qui émerge (sort) du système (doublet) parallèlement à l'axe, passe par le
foyer objet F de la lentille équivalente L. Or ce rayon passe par le foyer objet F2 de la lentille L2. Le
foyer F2 est donc l'image de F à travers la lentille L1.
- Tout rayon incident parallèle à l'axe émergera du doublet en passant par un point qui représente
donc le foyer image F' de la lentille équivalente L. Or ce rayon passe par le foyer image F'1 de L1. F'
est donc l'image de F'1 à travers la lentille L2.
- Tout rayon incident passant par F1 émerge du doublet en passant par F'2. F'2 est donc l'image de
F1 à travers le système (doublet) ou par la lentille équivalente L.
Le doublet est toujours équivalent à une lentille unique L de distance focale équivalente f ' telle que :
1
1
1
𝑒
=
+
−
𝑓′ 𝑓′1 𝑓′2 𝑓′1 ∗ 𝑓′2
Ce système est celui utilisé dans la réalisation d’un microscope, qui permet d’observer des objets
microscopiques.
c- Doublet afocal :
Dans un tel doublet les foyers F'1 et F2 sont confondus (d = 0). D’où, tout rayon incident parallèle à l'axe
émerge (sort) du doublet parallèlement à l'axe (cf. fig.6).
F’1 ≡F2
F1
O2
O1
F’2
e
Fig6 : doublet afocal
Un tel système est utilisé pour l'observation d'objets éloignés, donc il est utilisé dans la réalisation d’une lunette
astronomique
4
Corrigé de la série N°3
Exercice N°1 :
D1
D2
I
I'
1. Propriétés de la lentille :
- Elle doit être mince, i.e. la distance entre
les sommets des deux dioptres est négligeable
C2 S1
A
Et peut être assimilé à un point O.
- Les foyers F et F’ sont symétriques par rapport à O.
2. Relation de conjugaison :
n0 D1 n D2 n0
Nous avons : 𝐴 → 𝐴1 → 𝐴′
S2 C1
n
n0
A'
A1
n0
Fig. 7
En I : la lumière passe d’un milieu d’indice n0 à un milieu d’indice n. le rayon incident provenant de A va
subir une réfraction à travers le dioptre D1, l’intersection de ce rayon avec l’axe nous donne l’image A1
suivant la relation de conjugaison du dioptre sphérique :
𝑛
𝑆1 𝐴1
−
𝑛0
𝑆1 𝐴
=
𝑛 − 𝑛0
𝑆1 𝐶1
=
𝑛 − 𝑛0
… … (1)
𝑅1
En I’ : la lumière passe d’un milieu d’indice n à un milieu d’indice n0. le rayon réfracté en I donnant A1 va
subir une deuxième réfraction à travers le dioptre D2, l’intersection de ce rayon avec l’axe nous donne
l’image A2 suivant la relation de conjugaison du dioptre sphérique:
𝑛0
𝑆2 𝐴′
−
𝑛
𝑆2 𝐴1
=
𝑛0 − 𝑛
𝑆2 𝐶2
=
𝑛0 − 𝑛
… … (2)
𝑅2
Dans le cas où cette lentille est mince, on aura S1≡S2≡O. d’où les équations 1 et 2 deviennent :
𝑛
𝑂𝐴1
−
𝑛0
𝑂𝐴
=
𝑛 − 𝑛0
𝑂𝐶1
𝑒𝑡
𝑛0
𝑂𝐴′
−
𝑛
𝑂𝐴1
=
𝑛0 − 𝑛
𝑂𝐶2
Sommant les deux équations nous obtenons :
𝑛0
𝑂𝐴′
−
𝑛0
𝑂𝐴
=
𝑛 − 𝑛0
𝑅1
+
𝑛0 − 𝑛
𝑅2
= (𝑛 − 𝑛0 ) (
(𝒏 − 𝒏𝟎 ) 𝟏
1
1
𝟏
𝟏
𝟏
− )⇔
−
=
( − ) … (𝑰)
′
𝑅1 𝑅2
𝒏𝟎
𝑹𝟏 𝑹𝟐
𝑶𝑨 𝑶𝑨
Qui est la relation de conjugaison d’une lentille mince.
-
La distance focale :
Par définition, 𝑓′ = ̅̅̅̅̅
𝑂𝐹′ est la distance focale de la lentille, comme les foyers de la lentille sont symétriques
̅̅̅̅̅
et que 𝑓 = 𝑂𝐹′. Nous concluons que : 𝒇’ = −𝒇.
Sachant également que le foyer image est la position de l’image d’un objet provenant de l’infini i.e. :
̅̅̅̅ → ∞ ⇒ ̅̅̅̅̅
𝑠𝑖 𝑂𝐴
𝑂𝐴′ = ̅̅̅̅̅
𝑂𝐹 ′ 𝑑 ′ 𝑜ù ∶
(𝑰) ⇔
𝟏
𝑶𝑭′
=
(𝒏 − 𝒏𝟎 ) 𝟏
𝟏
𝒏𝟎
𝑹𝟐 − 𝑹𝟏
( − ) ⇔ 𝒇′ =
(
) … (𝑰𝑰)
(𝒏 − 𝒏𝟎 ) 𝑹𝟏 𝑹𝟐
𝒏𝟎
𝑹𝟏 𝑹𝟐
𝑠𝑖 𝒇′ > 𝟎: 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆.
{
𝑠𝑖 𝒇′ < 𝟎: 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆.
5
Corrigé de la série N°3
3. Si on plonge cette lentille dans un milieu d’indice n’>n, la relation (II) s’écrit :
𝒇′ =
𝒏′
𝑹𝟐 − 𝑹𝟏
(
)
(𝒏 − 𝒏′) 𝑹𝟏 𝑹𝟐
Pour connaitre le nature de ce système on doit chercher le signe de f’ :
Nous acons :(𝒏 − 𝒏′) < 𝟎 𝒄𝒂𝒓 𝒏 < 𝒏′
Comme la lentille est biconvexe donc : 𝑅1 > 0 𝑒𝑡 𝑅2 < 0 d’où : {
(𝑹𝟐 − 𝑹𝟏 ) < 𝟎
𝑹𝟏 𝑹𝟐 < 𝟎
Donc :
𝒇′ =
𝒏′
𝑹𝟐 − 𝑹𝟏
(
) < 𝟎 ⇒ 𝒍𝒆 𝒔𝒚𝒔𝒕è𝒎𝒆 𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕
(𝒏 − 𝒏′) 𝑹𝟏 𝑹𝟐
Exercice N°2 :
Pour une lentille convergente, nous avons 7 positions possibles pour l’objet qui nous des images avec des
caractéristiques différentes (cf. figure 8) :
̅̅̅̅ → ∞, ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅ , ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ , 2𝑂𝐹
̅̅̅̅ < ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ , ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ , ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡 𝑟é𝑒𝑙: 𝑂𝐴
𝑂𝐴 < 2𝑂𝐹
𝑂𝐴 = 2𝑂𝐹
𝑂𝐴 < 𝑂𝐹
𝑂𝐴 = 𝑂𝐹
𝑂𝐴 > 𝑂𝐹
Objet virtuel : quel que soit sa position donne toujours des images qui possèdent les mêmes caractéristiques.
L
+
Espace d’objets réels
Espace d’images réelles
1
7
6
2
3 4
5
AB à ∞
2F
F
O
F’
Fig. 8
Pour le premier cas l’image se forme sur le foyer image de la lentille.
2
Image réelle
renversée et réduite
3
Image réelle, renversée et de
même taille que l’objet
F’
F’
2F
F
O
2F
Fig. 9.a
F
O
Fig. 9.b
4
Image réelle,
renversée et agrandie
5
Image est à l’infini
F’
F’
2F
Fig. 9.c
F
O
F
O
Fig. 9.d
6
Corrigé de la série N°3
Image virtuelle, droite
et agrandie
Image réelle, droite et
réduite
7
6
F’
F’
F
O
F
O
Fig. 9.e
Fig. 9.f
Dans le cas d’une lentille divergente on aura aussi 7 possibilités qui donnent des images avec des
caractéristiques différentes.(cf. fig.10)
Nous remarquons que la nature des objets et images sera le contraire de ce que nous avons vu pour la lentille
convergente (à cause de renversement des positions des foyers objet et image).
-
Un objet à l’infini : l’image est sur F’.
Un objet réel donne toujours une image virtuelle, droite et réduite.
Pour un objet virtuel :
L’objet entre O et F : c réelle, droite et agrandie.
L’objet sur F : l’image se trouvera à l’infini.
L’objet entre F et 2F : l’image est virtuelle, renversée et agrandie.
L’objet sur 2F : l’image est virtuelle, renversée et de même taille que l’objet.
L’objet après 2F : l’image est virtuelle, renversée et réduite.
+
1
Espace d’images réelles
L
Espace d’objets réels
3
2
4
5
AB à ∞
O
F’
F
6
7
2F
Fig. 10
Les constructions pour une lentille divergente se feront sous forme d’un devoir maison.
Exercice N°4 : nous avons
̅̅̅̅̅̅′
𝑂𝐴
̅̅̅̅
𝐷 = ̅̅̅̅̅
𝐴𝐴′ = ̅̅̅̅
𝐴𝑂 + ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ = ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ − ̅̅̅̅
𝑂𝐴 𝑒𝑡 𝛾 = 𝑂𝐴
= −1 ⇒ ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ = −𝑂𝐴
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅′ ⇒ ̅̅̅̅̅
Des deux relations précédent, on déduit que : 𝐷 = 2𝑂𝐴
𝑂𝐴′ = 𝐷⁄2 𝑒𝑡 ̅̅̅̅
𝑂𝐴 = − 𝐷⁄2
D’autre part, on sait que la position de l’image à travers une lentille est donnée par la relation de conjugaison
d’une lentille mince :
7
Corrigé de la série N°3
L
D
1
1
1
2 2 4
1
−
= ′ ⇒ + = = ′ ⇒ 𝑓 ′ = 𝐷⁄4
′
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ 𝑓
𝐷 𝐷 𝐷 𝑓
𝑂𝐴 𝑂𝐴
F
2F
O
F’
2F’
Exercice N°5 : nous avons une lentille convergente L de distance focale f’=20cm
Pour pouvoir déterminer la position et la nature de l’imae, il suffit d’appliquer la relation de conjugaison :
̅̅̅̅ + 𝑓 ′
̅̅̅̅ ∗ 𝑓 ′
1
1
1
1
1
1
𝑂𝐴
𝑂𝐴
′ =
̅̅̅̅̅
−
=
⇒
=
+
=
⇒
𝑂𝐴
… (1)
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝑂𝐴′ ̅̅̅̅
𝑂𝐴 𝑓 ′ ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ 𝑓 ′ ̅̅̅̅
𝑂𝐴 ̅̅̅̅
𝑂𝐴 ∗ 𝑓 ′
𝑂𝐴 + 𝑓 ′
Nous faisons à présent l’application numérique pour les trois cas :
((−40) ∗ 20)
⁄
a- Objet réel à 40cm : ̅̅̅̅
𝑂𝐴 = −40𝑐𝑚 ⇒ ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ =
(−40 + 20) = +40𝑐𝑚 (image réelle)
((−10) ∗ 20)
⁄
(−10 + 20) = −20𝑐𝑚 (image virtuelle)
(40 ∗ 20)
c- Objet réel à 40cm : ̅̅̅̅
𝑂𝐴 = +40𝑐𝑚 ⇒ ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ =
⁄(40 + 20) = +13.3𝑐𝑚 (image réelle)
Si on veut déduire les autres caractéristiques de l’image, à savoir le sens et la grandeur, on doit calculer le
̅̅̅̅
grandissement, sachant que : 𝛾 = ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ ⁄𝑂𝐴
̅̅̅̅ = −10𝑐𝑚 ⇒ ̅̅̅̅̅
b- Objet réel à 10cm : 𝑂𝐴
𝑂𝐴′ =
a- 𝛾1 = +40⁄−40 = −1 (image renversée, de même taille que l’objet)
b- 𝛾2 = −20⁄−10 = +2 (image droite et agrandie)
c- 𝛾3 = +13,3⁄+40 = + 1⁄3 (image droite et réduite)
d- Pour ce qui est des constructions, et en prenant l’échelle de 1cm sur la feuille pour 10cm au réel.
B’
B
B
B
b
a
A
A’
F
A
O
B’
c
A’ F’
A A’
B’
Construction géométrique des trois cas a, b et c
Exercice N°6 :
Pour trouver l’imae A’B’, il suffit de chercher l’image de point B,
Pour se faire, on choisi 2 des 3 rayons principaux :
8
M.P.
Corrigé de la série N°3
- un rayon qui passe par F ressort parralèle donc
il arrive perpendiculre au miroir donc il revient sur
lui-même, au retour le sens positif est de droit à gauche
donc pour la lentille, le foyer objet est celui de droite
alors que le foyer image sera celui de gauche, comme le
rayon revient parallèle à la lentille il passera par le foyer.
L
+
B
F’
A
+
J
A’
O
F
B’
F
F’
K
-
Un rayon qui arrive parallèle va passer par le foyer image de la lentille qui se trouve sur le miroir,
donc le rayon va être réflichi (angle d’incidence = angle de réflexiogn, OJ=-OK). Au retour, le rayon
rayon réfilichi par le miroir provient de F pour la lentille donc il ressort parallèle.
Le grandissement du système vaut donc -1.
Exercice N°7 : f’1=75cm et D=4m.
Nous avons un doublet accolé donc :
𝑓′ − 𝑓′
𝑓 ′1 ∗ 𝑓′
1
1
1
1
1
1
′
=
+
⇒
=
− ′ = ′1
⇒
𝑓
=
2
𝑓′ 𝑓′1 𝑓′2 𝑓′2
𝑓′ 𝑓 1 𝑓 1 ∗ 𝑓 ′
𝑓 ′1 − 𝑓′
Or que le système à la distance D ne donne qu’une seule image nette, d’où :
𝑓 ′ = 𝐷⁄4 = 1𝑚 (voir l’exercice 12 ainsi que le TP3 : méthode de Selbermann), donc
𝑓 ′2 =
0.75 ∗ 1
= −3𝑚 < 0 ⇒ 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒.
0.75 − 1
Exercice N°8 : nous avons :
La distance entre les deux positions de la lentille est : ̅̅̅̅̅
𝑂𝑂′ = 0.36𝑚
Or nous avons un objet réel qui donne une image réelle, donc l’image est inversée, (cf. exo2), d’où :
̅̅̅̅̅
′𝐴′
̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′
𝑂
1
′
′ 𝐴′ … (2)
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
(1)
𝛾1 =
= −2 ⇒ 𝑂𝐴 = −2𝑂𝐴 …
𝑒𝑡 𝛾1 = ′ = − ⇒ ̅̅̅̅̅
𝑂′ 𝐴 = −2𝑂
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
2
𝑂𝐴
𝑂𝐴
′ 𝑂 + ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅′ − 2𝑂𝐴
̅̅̅̅′ = 2𝑂𝑂
̅̅̅̅̅′ + 4𝑂𝐴
̅̅̅̅
(2) ⇒ ̅̅̅̅̅
𝑂′ 𝑂 + ̅̅̅̅
𝑂𝐴 = −2(𝑂
𝑂𝐴′ ) = 2𝑂𝑂
̅̅̅̅ − 4𝑂𝐴
̅̅̅̅ = 2𝑂𝑂
̅̅̅̅̅′ − ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅′ + ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ = 3𝑂𝑂
̅̅̅̅̅′ ⇒ 𝑂𝐴
̅̅̅̅ = −𝑂𝑂
̅̅̅̅̅′ = −0.36𝑚
⇒ 𝑂𝐴
𝑂′ 𝑂 = 2𝑂𝑂
𝑂𝑂′ ⇒ −3𝑂𝐴
̅̅̅̅ = −2 ∗ (−0.36) = 0.72𝑚
(1) ⇒ ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ = −2𝑂𝐴
D’autre part nous avons :
1
1
1
1
1
3
0.72
′
=
−
=
+
=
⇒
𝑓
=
= 0.24𝑚
𝑓 ′ ̅̅̅̅̅
3
𝑂𝐴′ ̅̅̅̅
𝑂𝐴 0.72 0.36 0.72
9
Corrigé de la série N°3
ème
̅̅̅̅̅̅̅
Exercice N°9 : 𝑓1′ = 20𝑐𝑚, 𝑓2 = −𝑓2′ = 12𝑐𝑚, 𝑂
lentille est divergente)
1 𝑂2 = 30𝑐𝑚 (la 2
Nous avons un objet qui est placé à 20 cm de la première lentille, donc il est sur le foyer objet de celle-ci, d’où l’image
se formera à l’infini, cette image devint un objet pour la deuxième lentille et comme elle est l’infini donc l’image
finale sera sur le foyer image de L2. Vous pouvez utiliser la relation de conjugaison sur L1 puis L2 pour confirmer le
résultat.
𝛾=
′ 𝐵′
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝐴
𝐴′ 𝐵 ′ ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴1 𝐵1 ̅̅̅̅̅̅
𝑂2 𝐴′ ̅̅̅̅̅̅̅
𝑂1 𝐴1 ̅̅̅̅̅̅
𝑂2 𝐹2′ ̅̅̅̅̅̅̅
𝑂1 𝐴1
𝑓2′ 𝑂
1 𝐴1
=
∗
=
∗
=
∗
=− ′
… (1)
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝑓1 ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴1 𝐵1 𝐴𝐵
𝑂2 𝐴1 𝑂
𝑂2 𝐴1 𝑂
𝑂2 𝐴1
𝐴𝐵
1𝐴
1𝐹
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
0
𝑂
𝑂
𝑂
1 𝐴1
1 𝐴1
1 𝐴1
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
=
=
= 1 (𝑂
2 𝑂1 ≪ 𝑂2 𝑂1 )
̅̅̅̅̅̅̅
𝑂2 𝐴1 ̅̅̅̅̅̅̅
𝑂2 𝑂1 + ̅̅̅̅̅̅̅
𝑂1 𝐴1 ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅
𝑂2 𝑂1
𝑂1 𝐴1 ∗ (̅̅̅̅̅̅̅ + 1)
𝑂1 𝐴1
𝑓2′
−12
𝛾=− ′=−
= +0.6
𝑓1
20
Nous remarquons que les deux rayons arrivent d’une manière
L2
L1
B
quelconque sur L2 (en dehors des 3 rayons principaux)
Pour trouver la direction avec laquelle ils sortent, on utilise
la notion du foyer secondaire. Pour le chercher :
Plan focal
image de L2
B’
A’ F’1
A
F1
O1
O2
F2
F’2
nous traçons le plan focal image de L2, puis on trace un rayon qui passe
par le centre et qui est parallèle au deux rayons (rouge et vert), son
intersection avec le plan focal image de L2 sera aussi le point d’intersection
des deux rayons qui est le foyer secondaire de tous le faisceau parallèle à ces deux rayons.
Position des foyers F et F’ du système (L1, L2) :
D’après le paragraphe 6.b (doublet non accolé) et la figure 4 de résumé de cours ainsi que la relation de
conjugaison avec origine aux foyers, nous pouvons dire que :
L1
L
L2
2
2
𝐹 → 𝐹2 ⇒ ̅̅̅̅̅
𝐹1 𝐹 ∗ ̅̅̅̅̅̅
𝐹1′ 𝐹2 = −𝑓 ′1 ; 𝐹1′ → 𝐹 ′ ⇒ ̅̅̅̅̅̅
𝐹2 𝐹1′ ∗ ̅̅̅̅̅̅
𝐹2′ 𝐹 ′ = −𝑓 ′ 2 𝑒𝑡 𝐹1 → 𝐹2′ ⇒ ̅̅̅̅̅
𝐹𝐹1 ∗ ̅̅̅̅̅̅
𝐹 ′ 𝐹2′ = −𝑓′²
Sachant que : ̅̅̅̅̅̅
𝐹1′ 𝐹2 = 𝑑 = 22𝑐𝑚 , nous aurons donc :
2
̅̅̅̅̅
𝐹1 𝐹 =
2
−𝑓 ′1 −20²
−𝑓 ′ 2 122
′ ′
̅̅̅̅̅̅
=
= −18.18𝑐𝑚 𝑒𝑡 𝐹2 𝐹 =
=
= +6.54𝑐𝑚
𝑑
22
−𝑑
22
̅̅̅̅̅1 ∗ ̅̅̅̅̅̅
Donc : 𝑓 ′ = (−𝐹𝐹
𝐹 ′ 𝐹2′ )
1⁄
2
= (−(18.18) ∗ (−6.54))
1⁄
2
= ±10.9𝑐𝑚
Or que :
1
1
1
𝑒
1
1
30
11
120
= ′ + ′ − ′
=
+
−
=
⇒ 𝑓′ =
= +10.9𝑐𝑚.
′
′
𝑓
𝑓 1 𝑓 2 𝑓 1 ∗ 𝑓 2 20 −12 20 ∗ (−12) 120
11
Donc le système équivalent est une lentille convergente.
Exercice N°10 : vous pouvez utiliser le schéma de l’exercice 6 pour les montrer.
10
Corrigé de la série N°3
Exercice N°11 : la lentille est mince donc les sommets sont confondus
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑜𝑝𝑡𝑟𝑒:
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑑𝑖𝑜𝑝𝑡𝑟𝑒:
𝑛2
𝑆𝐴1
𝑛3
𝑆𝐴′
−
−
𝑛1
𝑆𝐴
𝑛2
𝑆𝐴1
=
=
𝑛2 − 𝑛1
𝑆𝐶1
𝑛3 − 𝑛2
𝑆𝐶2
1+2⇒
𝑛3
𝑆𝐴′
−
… . (1)
… . . (2)
𝑛1
𝑆𝐴
=
𝑛2 − 𝑛1
𝑆𝐶1
+
𝑛3 − 𝑛2
𝑆𝐶2
La vergence est le rapport entre l’indice de réfraction de milieu et la distance focale de la lentille
Connaissant la définition des foyers objet et image ((voir l’exercice1), on déduit que :
𝐷=
𝑛3
𝑛1 𝑛2 − 𝑛1 𝑛3 − 𝑛2
=− =
+
𝑓′
𝑓
𝑆𝐶1
𝑆𝐶2
Application : 𝐷0 = 1⁄ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐷 = 𝑛⁄ = 𝑛 (1⁄ ) = 𝑛𝐷0 .
𝑓′
𝑓′
𝑓′
E
L
Exercice N°12 :
On pose :
B
p’
p
̅̅̅̅
𝑂𝐴 = 𝑝, ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ = 𝑝′ 𝑒𝑡 ̅̅̅̅̅
𝑂𝐹′ = 𝑓′
A
+
F
Nous avons :
𝐷 = ̅̅̅̅̅
𝐴𝐴′ = ̅̅̅̅
𝐴𝑂 + ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ = 𝑝′ − 𝑝 ⇒ 𝑝′ = 𝐷 + 𝑝
A’
+
F’
O
D
B’
D’autre part nous avons :
1 1 1
1
1 1
𝑝 − (𝐷 + 𝑝) 1
− = ′⇒
− = ′⇒
= ⇒ 𝑝2 + 𝐷𝑝 + 𝐷𝑓 ′ = 0
′
(𝐷 + 𝑝) ∗ 𝑝 𝑓 ′
𝑝
𝑝 𝑓
𝐷+𝑝 𝑝 𝑓
Une équation de second ordre avec un seul inconnu. Pour la résoudre, nous devons calculer Δ, tel que :
∆= (−𝐷)2 − 4𝐷𝑓 ′ = 𝐷2 − 4𝐷𝑓′
Pour qu’il ait de solutions réelles pour l’équation, c’est-à-dire que dans notre cas qu’il ait d’image sur
l’écran, il faut que Δ soit supérieur ou égale à 0.
E
∆≥ 0 ⇒ 𝐷² − 4𝐷𝑓′ ≥ 0 ⇒ 𝐷² ≥ 4𝐷𝑓′ ⇒ 𝑓′ ≤ 𝐷⁄4
Maintenant si Δ>0 nous obtenons deux solutions
déférentes donc, dans notre cas nous aurons deux
positions pour cette lentille qui nous donne une image
nette sur l’écran, avec :
−𝐷 − √∆
−𝐷 + √∆
𝑝1 =
𝑒𝑡 𝑝2 =
2
2
Position 1 de L
B
Position 2 de L
p’2
p2
p’1
p1
A
A’
D
d
B’
11
Corrigé de la série N°3
Ces deux positions diffèrent de la taille de l’image obtenue i.e. de grandissement.
D’après la figure ci-contre, on pose l’écart entre les Positions est d, donc :
𝑝2 − 𝑝1 =
−𝐷 + √∆ −𝐷 − √∆
𝑫𝟐 − 𝒅²
−
= √∆= 𝑑 ⇒ ∆= 𝑑 2 ⇒ 𝐷2 − 4𝐷𝑓 ′ = 𝑑 2 ⇒ 𝒇′ =
2
2
𝟒𝑫
C’est l’expression de la distance focale donnée par Bessel.
Dans le cas où : Δ=0, nous aurons un solution double donc une seule position de la lentille qui donne un
image nette sur l’écran, c’est-à-dire d=0, d’où :
𝒇′ =
𝑫
∶ 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑺𝒆𝒍𝒃𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒏
𝟒
Exercice N°13 :
̅̅̅̅ = 𝑝, ̅̅̅̅̅
On pose : 𝑂𝐴
𝑂𝐴′ = 𝑝′ 𝑒𝑡 ̅̅̅̅̅
𝑂𝐹′ = 𝑓′
Nous avons : 𝛾 =
𝑝′⁄
′
𝑝 = |𝑎| ⇒ 𝑝 = |𝑎|𝑝.
̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅
Or : 𝐷 = ̅̅̅̅̅
𝐴𝐴′ = 𝐴𝑂
𝑂𝐴′ = 𝑝′ − 𝑝 = |𝑎|𝑝 − 𝑝 = (|𝑎| − 1)𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝐷⁄(|𝑎| − 1)
D’autre part la relation de conjugaison d’une lentille mince stipule que :
|𝑎|𝐷
1 1 1
1
1
1
1 1 − |𝑎| |𝑎| − 1 1
′
−
=
⇒
−
=
(
−
1)
=
∗
=
⇒
𝑓
=
|𝑎|
|𝑎|
(1 − |𝑎|)(|𝑎| − 1)
𝑝′ 𝑝 𝑓 ′ |𝑎|𝑝 𝑝
𝑝
𝐷
𝑓′
Si nous prenons le cas de l’exercice 4 où le grandissement est égale à -1 :
𝑓′ =
(−1)𝐷
(1 − (−1))((−1) − 1)
=
−𝐷
𝐷
= .
(2)(−2) 4
Nous obtenons exactement le même résultat.
12
